資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
3.3正、余弦定理及解三角形
【備考指南】 2
【知識導(dǎo)圖】 3
【考點梳理】 5
考點一：正弦定理解三角形 5
考點二：正弦定理邊角互化的應(yīng)用 11
考點三：三角形面積公式及其應(yīng)用 18
考點四：余弦定理解三角形 23
考點五：余弦定理邊角互化的應(yīng)用 30
考點六：解三角形的實際應(yīng)用 36
【真題在線】 43
【專項突破】 58
考點 考情分析 考頻
三角恒等變換 2023年新高考Ⅰ卷T8 2023年新高考Ⅱ卷T7 2022年新高考Ⅱ卷T6 2021年新高考Ⅰ卷T6 2021年全國甲卷T9 3年5考
三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 2023年新高考Ⅰ卷T15 2023年新高考Ⅱ卷T16 2023年全國乙卷T6 2022年新高考Ⅰ卷T6 2022年新高考Ⅱ卷T9 2022年全國甲卷T11 2022年全國乙卷T15 2021年新高考Ⅰ卷T4 2021年全國甲卷T16 3年9考
解三角形及應(yīng)用 2023年新高考Ⅰ卷T17 2023年新高考Ⅱ卷T17 2023年全國乙卷T18 2022年新高考Ⅰ卷T18 2022年新高考Ⅱ卷T18 2022年全國甲卷T16 2022年全國乙卷T17 2021年新高考Ⅰ卷T19 2021年新高考Ⅱ卷T18 3年9考
三角函數(shù)的圖象變換與解析式 2023年全國甲卷T10 2021年全國乙卷T7 2年2考
同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 2023年全國甲卷T7
三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 2023年全國甲卷T13
預(yù)測：正弦定理、余弦定理及解三角形是高考的必考點，近幾年多以解答題形式出現(xiàn)，考試的難度中等，建議復(fù)習(xí)時注重基礎(chǔ)知識的掌握與靈活應(yīng)用.
考點一：正弦定理解三角形
【典例精析】（多選）（2024·浙江紹興·模擬預(yù)測）下列條件能確定唯一一個三角形的是（ ）
A．，，邊上中線長.
B．，.
C．，，.
D．.
ACD
【分析】結(jié)合條件，利用三角恒等變換公式或正余弦定理解三角形，可判斷三角形形狀或確定解的情況，即可判斷答案.
【詳解】對于A，在中，，則
即，解得，結(jié)合，，
可知為邊長為8的正三角形，唯一確定，A正確；
對于B，，則，故A為銳角，則，
又，故，即,
即得，結(jié)合，滿足， 經(jīng)驗證等號取不到，
又大小關(guān)系不定，由此可知的解必存在且不唯一，即三角形的解不唯一，B錯誤；
對于C，在中，,
故，
結(jié)合，得，
由于，故，
即，則，結(jié)合,
解得，故,
又，，則，即，
而，則B為銳角，唯一確定，從而A唯一確定，
此時三角形的解唯一確定，C正確；
對于D，由，得，即，
故，又，則，則，
此時三角形唯一確定，D正確，
故選：ACD
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·山西晉中·三模）已知雙曲線的左焦點為，過點且斜率為的直線與的兩條漸近線分別交于點，且分別位于第二、三象限，若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川綿陽·模擬預(yù)測）命題：“若與滿足：，則．已知是真命題，則的值不可以是（ ）
A． B．2 C．3 D．4
二、多選題
3．（23-24高一下·四川巴中·階段練習(xí)）對于，有如下判斷，其中正確的判斷是（ ）
A．若，則
B．若，則符合條件的有兩個
C．若點為所在平面內(nèi)的動點，且，則點的軌跡經(jīng)過的垂心
D．已知是內(nèi)一點，若分別表示的面積，則
三、填空題
4．（2024·江西上饒·二模）在中，，，依次成等差數(shù)列，，的取值范圍為 ．
四、解答題
5．（2023·浙江紹興·二模）在三角形中，內(nèi)角對應(yīng)邊分別為且.
(1)求的大小；
(2)如圖所示，為外一點，，，，，求及的面積.
參考答案：
1．B
【分析】由，得，令，中，由正弦定理解得，可求雙曲線離心率.
【詳解】設(shè)O為坐標(biāo)原點，由，得，又兩漸近線關(guān)于軸對稱，所以
直線斜率為，則，
令，則，
中，由正弦定理得，
即，解得，故，
所以的離心率
故選：B
2．C
【分析】由題可知有唯一解，然后根據(jù)正弦定理結(jié)合條件即得.
【詳解】因為是真命題，所以有唯一解，
由正弦定理可知，，
當(dāng)時，，，角有唯一解，即有唯一解；
當(dāng)時，，，角有兩解，即有兩解；
當(dāng)時，，，角有唯一解，即有唯一解；
當(dāng)時，，角無解，即無解；
所以的值可以是,2,4，的值不可以是3.
故選：C.
3．ACD
【分析】根據(jù)正弦定理及比例的性質(zhì)判斷A，根據(jù)正弦定理及大邊對大角判斷B，根據(jù)數(shù)量積的運算得垂直判斷C，根據(jù)向量的運算得出比例關(guān)系判斷D.
【詳解】由正弦定理知，
所以可得，由可得，故A正確；
由正弦定理可知，即，解得，
又，所以，故只有一解，所以三角形一解，故B錯誤；
因為
，所以，所以點的軌跡經(jīng)過的垂心，故C正確；
因為，所以，
設(shè)的中點分別為，如圖，
則，即，所以，故D正確.
故選：ACD
4．
【分析】根據(jù)題意可得，利用數(shù)量積公式得，進(jìn)一步由正弦定理、結(jié)合三角恒等變換將所求轉(zhuǎn)換為求三角函數(shù)值域即可.
【詳解】根據(jù)題意，又，
所以，
而，
由正弦定理有，
所以，
所以
，
而的取值范圍是，
所以的取值范圍是，的取值范圍是，
所以的取值范圍是，
所以的取值范圍為.
故答案為：.
5．(1)
(2)，
【分析】（1）利用正弦定理邊化角可得，根據(jù)式子特點，變換，從而可以化簡三角恒等式為，最后利用輔助角公式求出；
（2）設(shè)，可知用表示，，利用正弦定理可得公共邊的式子，最后可得一個關(guān)于角的三角方程求解出角的大小，然后求出求出和，最后利用面積公式即可求出面積.
【詳解】（1），由正弦定理邊化角得：
，由三角形內(nèi)角和為可得：，
即，
即，
又，
即，又，，即.
（2）設(shè)，在中，，
，，
，
在中，，，，
，
即，
，
，又，
，解得，
，
又由
，
于是.
【解題技巧】
1.已知三角形的兩角和任意一邊解三角形時，可以先由三角形的內(nèi)角和定理，計算出三角形的第三個角，然后由正弦定理求出另外兩邊.
2.已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形的步驟：
(1)求正弦.根據(jù)正弦定理求另外一邊所對角的正弦.
(2)求角.先求另外一邊所對角的取值范圍(根據(jù)大邊對大角)，再根據(jù)其正弦求角，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求第三個角.
(3)求邊.根據(jù)正弦定理求第三條邊.
3.已知兩邊及其中一邊的對角判斷三角形解的個數(shù)的方法
(1)應(yīng)用三角形中大邊對大角的性質(zhì)以及正弦函數(shù)的值域判斷解的個數(shù)；
(2)在△ABC中，已知a，b和A，以點C為圓心，以邊長a為半徑畫孤，此弧與除去頂點A的射線AB的公共點的個數(shù)即為三角形解的個數(shù)，解的個數(shù)見下表：
A為鈍角 A為直角 A為銳角
a>b 一解 一解 一解
a＝b 無解 無解 一解
absin A 兩解
a＝bsin A 一解
a考點二：正弦定理邊角互化的應(yīng)用
【典例精析】（多選）（2024·湖南益陽·模擬預(yù)測）在中，角，，所對的邊依次為，，，已知，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．
B．為鈍角三角形
C．若．則的面積是
D．若的外接圓半徑是，內(nèi)切圓半徑為，則
BD
【分析】由正弦定理可得，設(shè)，，，即可判斷A，利用余弦定理求出，即可判斷B，結(jié)合A求出邊，再結(jié)合B求出，最后由面積公式判斷C，首先由正弦定理求出，利用等面積法求出，即可判斷D.
【詳解】因為，
由正弦定理，可得，
設(shè)，，，
則，故A錯誤；
由題意可知，為最大角，
因為，故為鈍角，故B正確；
若，則，，，
又，所以，
所以的面積，故C錯誤；
由正弦定理得，，即，
由面積公式可得，
即，
所以，
所以，故，故D正確．
故選：BD．
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）在中，分別是角所對的邊，的平分線交于點，，則的最小值為（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知點為圓上的一動點，點，，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·貴州黔東南·二模）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，且，則（ ）
A．，，成等比數(shù)列 B．
C．，，成等差數(shù)列 D．若，則
三、填空題
4．（2024·山東濰坊·二模）在中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，其外接圓半徑為1，，則的面積為 ；當(dāng)A取得最大值時，則 ．
四、解答題
5．（2024·北京通州·二模）在中，角，，的對邊分別為，，，且．
(1)求角的大小；
(2)若，，為邊上的一點，再從下面給出的條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求的面積．
條件①；；
條件②：．
參考答案：
1．B
【分析】由題中等式以及正弦定理進(jìn)行角化邊運算可得邊的關(guān)系，由余弦定理可求出，結(jié)合角平分線由三角形面積公式建立等量關(guān)系，結(jié)合均值不等式可得出最小值.
【詳解】由及正弦定理知，，．
在中，由余弦定理知，，，．
，，
即，得，
，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即時，等號成立，.
故選：B
2．C
【分析】設(shè)外接圓的圓心為，半徑為.連接，，可得點在線段的垂直平分線上，設(shè)點的坐標(biāo)為，可得，，由正弦定理知最小，可得外接圓與圓內(nèi)切時，取得最大值，進(jìn)而計算可求sin∠APB的最大值.
【詳解】設(shè)外接圓的圓心為，半徑為.連接，.
由題意可得，點在線段的垂直平分線上，則可設(shè)點的坐標(biāo)為，
所以，.
由正弦定理知，所以.
當(dāng)最小，即外接圓與圓內(nèi)切時，取得最大值，
此時圓心距等于兩圓半徑之差，
如圖，則.兩邊同時平方，得，
所以，即，所以.
故選：C.
3．AD
【分析】根據(jù)正弦定理角化邊化簡已知，并結(jié)合等比數(shù)列的定義可判斷A；由正弦定理的邊角轉(zhuǎn)化與三角形角度關(guān)系即可判斷B；假設(shè)，，成等差數(shù)列，得，結(jié)合余弦定理可判斷C；由邊之間的關(guān)系確定三邊長度，再利用平方關(guān)系求，利用面積公式可得三角形面積，即可判斷D.
【詳解】，由正弦定理可得，且，則，，成等比數(shù)列，故正確；
將，利用正弦定理化簡得：，即，
，利用正弦定理化簡得：，，，
，故B錯誤；
若，，成等差數(shù)列，則，且，可得，
則由余弦定理可得，故C錯誤；
若，可得，，則，由，可得，所以，故D正確.
故選：AD.
4． /
【分析】空1：利用正弦定理和三角形面積公式得，再利用誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式和二倍角公式即可得，則得到三角形面積；空2：利用正弦定理和面積公式得，再利用余弦定理和基本不等式即可求出答案.
【詳解】由正弦定理得，則，
則.
，
，
則，
，，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等，
因為，則最小時，最大，
取等時，，即，即，
即，即，即.
故答案為：；.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第一空的關(guān)鍵是利用三角恒等變換對題目給的等式化簡得，第二空的關(guān)鍵是利用余弦定理和基本不等式從而得到角最大時的臨界狀態(tài).
5．(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式求出，即可得解；
（2）若選條件①：得到為中點，利用余弦定理求出，即可得到為直角三角形，從而求出的面積；若選條件②：利用余弦定理求出，即可得到為直角三角形，從而得到，再由余弦定理求出，最后由面積公式計算可得．
【詳解】（1）因為，
由正弦定理可得，
即，
所以，
所以，
所以，
因為，所以，
所以，
因為，所以．
（2）若選條件①：，
所以為中點，
所以，
因為，，，
所以由余弦定理，
可得，即，解得或（舍去）．
則，即，所以為直角三角形，
所以．
所以．
所以的面積為．
若選條件②：．
所以，
因為，，，
所以由余弦定理，
可得，即，
解得或（舍去），
則，即，所以為直角三角形，
所以．
所以，
在中由余弦定理，
即，解得，
所以，
所以的面積為．
【解題技巧】
1.若已知三角形的兩邊及其一邊的對角，則可直接應(yīng)用正弦定理求出另一邊的對角，但要注意此三角形解的個數(shù)的判斷；也可用余弦定理求解，在△ABC中，已知a，b和A，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，求出c，此時c的個數(shù)即為三角形解的個數(shù).
考點三：三角形面積公式及其應(yīng)用
【典例精析】（多選）（2024·江西南昌·二模）已知，為上一點，且滿足. 動點滿足，為線段上一點，滿足，則下列說法中正確的是（ ）
A．若，則為線段BC的中點
B．當(dāng)時，的面積為
C．點到的距離之和的最大值為5
D．的正切值的最大值為
ACD
【分析】對A，利用等腰三角形的兩底角相等，以及直角三角形的性質(zhì)即可判斷；對B，根據(jù)余弦定理可得，進(jìn)而可得，結(jié)合三角形面積公式求解即可；對C，先證明，然后根據(jù)兩點之間線段最短可證明，再給出取等的例子即可；對D，用余弦定理證明，再得到，最后給出一個取等的例子即可.
【詳解】對A，若，則，從而. 再由知.
故，這得到.
所以，從而為線段BC的中點，故A正確；
對B，當(dāng)時，，則，又，
故，故，故B錯誤；
對C，由于，故，從而，故.
而，故.
這表明，即，化簡即為.
所以，故.
由于，故，從而. 再由，知.
當(dāng)點在同一條直線上順次排列，且，，，時，驗證知點滿足全部條件，且此時有.
所以點到的距離之和的最大值為，故C正確；
對D，一方面由于，，故，從而.
所以，即.
所以
，
所以.由，及，可知.

另一方面，如上圖所示，考慮一個邊長為的正三角形，分別設(shè)的中點為，再分別設(shè)的中點為.
則，，，，，.
所以滿足全部條件，且此時.
綜上，的最大值是，故D正確.
故選：ACD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點在于，在D選項中，需要先用余弦定理考慮的下界，再相應(yīng)地推出的上界，進(jìn)而得到的最大值.
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·安徽合肥·二模）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．則面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知 的內(nèi)角 的對邊分別為 若面積 則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·廣西桂林·三模）在中，，，，則（ ）
A． B．
C．的面積為 D．外接圓的直徑是
三、填空題
4．（2024·河北保定·二模）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則的面積為 .
四、解答題
5．（2024·四川南充·三模）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)在中，a，b，c分別是角A、B、C所對的邊，記的面積為S，若，.求證：.
參考答案：
1．A
【分析】由題意及正切與正弦與余弦的關(guān)系，兩角和的正弦公式及余弦公式可得角的大小，再由余弦定理及基本不等式可得的最大值，進(jìn)而求出該三角形的面積的最大值．
【詳解】因為，可得，
即，
整理可得，
即，
在三角形中，，
即，,可得；
由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
而，
所以，
所以．
即該三角形的面積的最大值為．
故選：A．
2．A
【分析】先利用余弦定理的變形：，結(jié)合三角形的面積公式，可把條件轉(zhuǎn)化為：，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和三角形中，可求得.
【詳解】因為，所以，
又由，
所以.
所以
所以，又因為在中，，所以.
故選：A
3．ABD
【分析】根據(jù)二倍角余弦公式計算判斷A，根據(jù)余弦定理求解判斷B，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系及三角形面積公式求解判斷C，根據(jù)正弦定理求解判斷D.
【詳解】對于A，，故A正確；
對于B，由A選項知，
由余弦定理得.
故，故B正確；
對于C，由于在中，，故，
所以，
所以，故C錯誤；
對于D，設(shè)外接圓半徑為R，
則由正弦定理得，故D正確.
故選：ABD
4．
【分析】由正弦定理角化邊可得，再結(jié)合余弦定理可得，根據(jù)三角形面積公式即可求解.
【詳解】解：因為，由正弦定理可得：，即，
又，所以，
由，
所以，
故答案為：.
5．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由三角恒等變換化簡，再由正弦型三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解；
（2）根據(jù)題意可得，在直角三角形中即可得證.
【詳解】（1），
令，則，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
（2）由得，即，
在中，，，，，
，
，
【解題技巧】
1.在用面積公式時要結(jié)合條件準(zhǔn)確的選好面積公式.
考點四：余弦定理解三角形
【典例精析】（多選）（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點分別為，是上的兩個動點，則（ ）
A．存在點，使得
B．若，則的面積為
C．記的上頂點為，若軸，則直線AP與AQ的斜率之積為
D．若是的上頂點，則的最大值為
ACD
【分析】由可判斷A；設(shè)，，由余弦定理可求出，再由三角形的面積公式可判斷B；設(shè)，，則，表示出結(jié)合橢圓方程可判斷C；設(shè)，求出，由二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷D.
【詳解】由橢圓方程，得，，所以．
對于A，，所以存在點，使得．故A正確；
對于B，設(shè)，，則，因為，
所以由余弦定理得．
所以．所以．故B錯誤；
對于C，由題得，設(shè)，，則．
所以，又．
所以．所以．故C正確；
對于D．．設(shè)．則．
所以
．
因為．所以當(dāng)時，取得最大值18．
所以的最大值為，故D正確
故選：ACD．
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·河南·三模）在中，，且交于點，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高三上·江西吉安·期末）記的內(nèi)角對邊分別為已知．若，則的形狀是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰銳角三角形
C．等腰鈍角三角形 D．不等腰鈍角三角形
二、多選題
3．（2024·廣西·二模）已知內(nèi)角的對邊分別為為的重心，，則（ ）
A． B．
C．的面積的最大值為 D．的最小值為
三、填空題
4．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測）在中，角的對邊分別為，為線段延長線上一點，平分，且直線與直線相交于點，則 ．
四、解答題
5．（2024·云南曲靖·二模）在中，角的對邊分別為，且.
(1)求角的取值范圍；
(2)已知內(nèi)切圓的半徑等于，求周長的取值范圍.
參考答案：
1．B
【分析】利用誘導(dǎo)公式求出，再利用余弦定理求出及即可得解.
【詳解】由，得，
而為銳角，則，
在中，由余弦定理得，
所以.
故選：B

2．C
【分析】由條件運用正弦定理角化邊，由余弦定理求出，根據(jù)條件可求得，從而可判斷.
【詳解】由已知，根據(jù)正弦定理得，，則，
∴，又，∴，
，
又，∴，∴，即，
此時，，∴為等腰鈍角三角形．
故選：C．
3．BC
【分析】利用重心性質(zhì)及向量線性運算得，即可判斷A，此式平方后結(jié)合基本不等式，向量的數(shù)量積的定義可求得，的最大值，直接判斷B，再結(jié)合三角形面積公式、余弦定理判斷CD．
【詳解】是的重心，延長交于點，則是中點，
，A錯；
由得，所以，
又，即
所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，B正確；
，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，，
，C正確；
由得，
所以，
，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最小值是，D錯．
故選：BC．

4．
【分析】利用余弦定理計算及，的值，在中使用兩角差的正弦公式計算即可.
【詳解】如圖所示，因為，所以，
在中，由余弦定理得，
即，故，
由余弦定理得，
所以
又因為直線平分，所以，
所以，
所以，
化簡得.
故答案為：.
5．(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）由正弦定理可得，利用三角恒等變換可得，可求角的取值范圍；
（2）由三角形的面積可求得，結(jié)合余弦定理可得，計算可得或，進(jìn)而可求得
的周長，設(shè)與圓內(nèi)切于點，，進(jìn)而分析可得的周長的取值范圍.
【詳解】（1）
由正弦定理得：，
，，
.
.
， ，，
角的取值范圍是.
（2），
，即，
由余弦定理得：.
，
. ，
（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），
,或.
設(shè)與圓內(nèi)切于點，則.
（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.
的周長，
（當(dāng)且僅當(dāng)時兩處都取等號）.
，
，
時，，,
的周長的取值范圍是.
【解題技巧】
1.已知兩邊及其中一邊的對角解三角形的方法：用余弦定理列出關(guān)于第三邊的等量關(guān)系建立方程，運用解方程的方法求出此邊長，再用余弦定理和三角形內(nèi)角和定理求出其他兩角.
2.已知兩邊及其夾角解三角形的方法：
首先用余弦定理求出第三邊，再用余弦定理和三角形內(nèi)角和定理求出其他兩角.
3.已知三邊關(guān)系解三角形
考點五：余弦定理邊角互化的應(yīng)用
【典例精析】（多選）（2023·海南·模擬預(yù)測）古希臘的數(shù)學(xué)家海倫在他的著作《測地術(shù)》中最早記錄了“海倫公式”：，其中，a，b，c分別為的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，該公式具有輪換對稱的特點．已知在中，，且的面積為，則（ ）
A．角A，B，C構(gòu)成等差數(shù)列 B．的周長為36
C．的內(nèi)切圓面積為 D．邊上的中線長度為
ACD
【分析】
利用正弦定理和余弦定理可知，滿足，即A正確；根據(jù)海倫公式可得，所以周長為，故B錯誤；由等面積法可知內(nèi)切圓的半徑，可知C正確，由利用余弦定理可得邊上的中線長度為，即D正確.
【詳解】
對于A，由正弦定理可知，
設(shè)，，，
由余弦定理可得，
所以，，故角A，B，C構(gòu)成等差數(shù)列，故A正確；
對于B，根據(jù)海倫公式得，，得，
所以，，，所以的周長為，故B錯誤；
對于C，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則，得，
所以的內(nèi)切圓面積為，故C正確；
對于D，設(shè)的中點為，則，
在中，，故D正確．
故選：ACD
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）我國南宋時期杰出的數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了“三斜求積術(shù)”，其內(nèi)容為：“以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實；一為從隅，開平方得積.”把以上文字寫成公式，即（其中S為面積，a，b，c為的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊）.若，且，則利用“三斜求積”公式可得的面積（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·湖南長沙·階段練習(xí)）在中，，則（ ）
A． B． C． D．1
二、多選題
3．（2023·安徽亳州·模擬預(yù)測）已知三個內(nèi)角、、的對應(yīng)邊分別為、、，且，.則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．面積的最大值為
B．
C．的最大值為
D．的取值范圍為
三、填空題
4．（2024·江西九江·二模）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知A，B，C成等差數(shù)列，，則面積的最大值是 ， .
四、解答題
5．（2024·四川南充·二模）在①；②；③；這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題.
在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且滿足______.
(1)求；
(2)若的面積為，為的中點，求的最小值.
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)題意利用正、余弦定理求，代入題中公式運算求解.
【詳解】因為，由余弦定理可得，解得，
又因為，由正弦定理可得，且，即，解得，
所以.
故選：B.
2．C
【分析】利用余弦定理的邊角變換得到，再利用正弦定理的邊角變換與三角函數(shù)的和差公式即可得解.
【詳解】因為，所以，
因為，
兩式相減，得，
由正弦定理，得，即，
因為，所以.
故選：C.
3．ACD
【分析】利用基本不等式、余弦定理可求得的最大值，結(jié)合三角形的面積公式可判斷A選項；利用余弦定理可判斷B選項；利用正弦定理、平面向量數(shù)量積的定義、三角恒等變換化簡，結(jié)合正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷C選項；利用三角恒等變換可得出，結(jié)合正切函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，因為，，由余弦定理和基本不等式可得
，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
故，
所以，的面積的最大值為，A對；
對于B選項，，B錯；
對于C選項，由正弦定理可得，則，
因為，則，所以，，
由平面向量數(shù)量積的定義可得
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，
故的最大值為，C對；
對于D選項，因為，則，
由題意可知，，所以，，
，
當(dāng)時，，則；
當(dāng)時，，則.
綜上所述，的取值范圍為，D對.
故選：ACD.
4． 12
【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)可得B，結(jié)合重要不等式及三角形面積公式即可求得三角形面積的最大值；運用正弦定理可得，，由余弦定理可得，代入求解即可.
【詳解】由題意知，，
又，所以，
又，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.
故面積的最大值為.
因為，，
所以，，
所以，
由余弦定理得，
所以.
故答案為：；.
5．(1)
(2)
【分析】（1）若選①，利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式得到，即可得解；若選②，根據(jù)平方關(guān)系及誘導(dǎo)公式得到，再利用正弦定理將角化邊，最后由余弦定理計算可得；若選③，利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理將邊化角，即可得解；
（2）由面積得，結(jié)合余弦定理和基本不等式求最值.
【詳解】（1）若選擇①：，
由正弦定理可得，
又，，故，，
所以，又，故.
若選擇②：，
則，
由正弦定理可得，
故，
又，故.
若選擇③ ；
由正弦定理可得，
再由余弦定理得，即，
，．
（2），又，
在中由余弦定理，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
的最小值為．
【解題技巧】
1.判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別.
2.余弦定理揭示第三邊與其余兩邊及這兩邊夾角余弦間的關(guān)系，靈活進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，結(jié)合三角恒等變換可求三角函數(shù)式的值.
考點六：解三角形的實際應(yīng)用
【典例精析】（多選）（23-24高一下·重慶榮昌·階段練習(xí)）已知a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，下面四個結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則為等腰三角形
B．在銳角中，不等式恒成立
C．若，，且有兩解，則b的取值范圍是
D．若，的平分線交于點D，，則的最小值為9
BCD
【分析】A項，用余弦定理統(tǒng)一成邊形式化簡判斷；B項， 由為銳角三角形，與正弦函數(shù)的單調(diào)性可得；C項，結(jié)合圖形，根據(jù)邊角的關(guān)系與解的數(shù)量判斷；D項，根據(jù)三角形面積可得到，將變?yōu)椋归_后利用基本不等式，即可求得答案.
【詳解】選項A，因為，即，
所以有
整理可得，所以或，
故為等腰三角形或直角三角形，故A錯誤；
選項B，若為銳角三角形，所以，所以，
由正弦函數(shù)在單調(diào)遞增，則，故B正確.
選項C，如圖，若有兩解，則，
所以，則b的取值范圍是，故C正確．
選項D，的平分線交于點D，，
由，由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得，
得，
即，得，
得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，故D正確.
故選：BCD.
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·云南昆明·一模）早期天文學(xué)家常采用“三角法”測量行星的軌道半徑．假設(shè)一種理想狀態(tài)：地球E和某小行星M繞太陽S在同一平面上的運動軌道均為圓，三個星體的位置如圖所示．地球在位置時，測出；行星M繞太陽運動一周回到原來位置，地球運動到了位置，測出，．若地球的軌道半徑為R，則下列選項中與行星M的軌道半徑最接近的是（參考數(shù)據(jù)：）（ ）

A． B． C． D．
2．（2024·廣東·二模）在一堂數(shù)學(xué)實踐探究課中，同學(xué)們用鏡而反射法測量學(xué)校鐘樓的高度.如圖所示，將小鏡子放在操場的水平地面上，人退后至從鏡中能看到鐘樓頂部的位置，此時測量人和小鏡子的距離為，之后將小鏡子前移，重復(fù)之前的操作，再次測量人與小鏡子的距離為，已知人的眼睛距離地面的高度為，則鐘樓的高度大約是（ ）

A． B． C． D．
二、多選題
3．（2023·黑龍江哈爾濱·二模）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，則下列說法正確的是（ ）
A．若，，，則邊上的中線長為
B．若，，，則有兩個解
C．若不是直角三角形，則一定有
D．若是銳角三角形，則一定有
三、填空題
4．（2024·四川綿陽·三模）在中，是邊上一點，，若，且的面積為，則 .
四、解答題
5．（2024·湖北·二模）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，，．
(1)求A；
(2)者，，求的取值范圍．
參考答案：
1．A
【分析】連接，根據(jù)給定條件，在中利用正弦定理求出，再在中利用余弦定理求解即得.
【詳解】連接，在中，，又，則是正三角形，，
由，，得，，
在中，，由正弦定理得，則，
在中，由余弦定理得.
故選：A

2．D
【分析】設(shè)鐘樓的高度為，根據(jù)相似得到，代入數(shù)據(jù)計算得到答案.
【詳解】如下圖，設(shè)鐘樓的高度為，
由，可得：，
由，可得：，
故，
故，
故選：D.

3．CD
【分析】利用向量化即可判斷A；利用正弦定理解三角形即可判斷B；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理結(jié)合兩角和的正弦定理即可判斷C；由，，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可比較，進(jìn)而可判斷D.
【詳解】對于A，由為的中點得：
，
所以邊上的中線長為，故A錯誤；
對于B，，，，
因為，所以，
所以或，
又因為，所以，且只有一個解，
所以只有一個解，故B錯誤；
對于C，因為，
所以，
又因為，
所以，
所以，故C正確；
對于D，因為是銳角三角形，所以，
又，所以，
所以，所以，
同理，
所以，故D正確.
故選：CD.
4．
【分析】作的角平分線,即可利用等面積法得，結(jié)合等腰關(guān)系即可求解，進(jìn)而判斷為等邊三角形，即可利用面積求解，即可求解.
【詳解】作的角平分線,
由得,
故是的角平分線，
根據(jù)等面積法可得,
由于,
所以，
又，所以，
，
所以，所以，
因此，故為等邊三角形，
所以，
，
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)作角平分線，得等腰關(guān)系，利用角平分線定理得比例關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵之處.
5．(1)
(2)
【分析】（1）借助正弦定理、三角形內(nèi)角和與兩角差的正弦公式計算即可得；
（2）借助向量的模長與平方的關(guān)系，結(jié)合數(shù)量積公式計算可得，借助三角函數(shù)的性質(zhì)，可令，，結(jié)合余弦定理計算可得，即可得解.
【詳解】（1）由正弦定理得，
則，
則，，．
即或，解得或．
因為，所以，所以舍去，即；
（2）由得，則，
則，
則，則，即．
令，，因為，，所以．
因為，所以，解得．
由（1）得，則，
又因為．所以，所以7，
解得，所以，解得，
所以．
令，則，則．
因為，所以，即．
【解題技巧】
1.求兩個不可到達(dá)的點之間的距離問題，一般是把問題轉(zhuǎn)化為求三角形的邊長問題，基本方法是：
(1)認(rèn)真理解題意，正確作出圖形，根據(jù)條件和圖形特點尋找可解的三角形.
(2)把實際問題中的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊和角，利用正、余弦定理求解.
2.求解底部不可到達(dá)的物體的高度問題，一般是把問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的邊長問題，基本方法是：
(1)分清仰角和俯角，根據(jù)已知和所求，正確作出圖形；
(2)理清邊角關(guān)系，利用正、余弦定理解直角三角形.
3.求解實際應(yīng)用中的角度問題時，一般把求角的問題轉(zhuǎn)化為解三角形的問題，基本方法是：
(1)明確各個角的含義；
(2)分析題意，分析已知與所求，畫出正確的示意圖；
(3)將圖形中的已知量與未知量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角形的邊與角的關(guān)系，運用正、余弦定理求解.
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國·高考真題）已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全國·高考真題）魏晉時劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測海島的高．如圖，點，，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（ ）
A．表高 B．表高
C．表距 D．表距
二、多選題
4．（2022·全國·高考真題）雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點，且，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
5．（2023·全國·高考真題）在中，，的角平分線交BC于D，則 ．
6．（2022·全國·高考真題）已知中，點D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時， ．
四、解答題
7．（2023·全國·高考真題）設(shè)，函數(shù)．
(1)求不等式的解集；
(2)若曲線與軸所圍成的圖形的面積為2，求．
8．（2023·全國·高考真題）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D為BC上一點，且，求的面積.
9．（2023·全國·高考真題）已知在中，．
(1)求；
(2)設(shè)，求邊上的高．
10．（2022·全國·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．
(1)求的面積；
(2)若，求b．
11．（2022·全國·高考真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．
(1)證明：；
(2)若，求的周長．
12．（2021·全國·高考真題）在中，角、、所對的邊長分別為、、，，.．
（1）若，求的面積；
（2）是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形 若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
參考答案：
1．C
【分析】法一：利用全等三角形的證明方法依次證得，，從而得到，再在中利用余弦定理求得，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解；
法二：先在中利用余弦定理求得，，從而求得，再利用空間向量的數(shù)量積運算與余弦定理得到關(guān)于的方程組，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解.
【詳解】法一：
連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點，如圖，
因為底面為正方形，，所以，則，
又，，所以，則，
又，，所以，則，
在中，，
則由余弦定理可得，
故，則，
故在中，，
所以，
又，所以，
所以的面積為.
法二：
連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點，如圖，
因為底面為正方形，，所以，
在中，，
則由余弦定理可得，故，
所以，則，
不妨記，
因為，所以，
即，
則，整理得①，
又在中，，即，則②，
兩式相加得，故，
故在中，，
所以，
又，所以，
所以的面積為.
故選：C.
2．C
【分析】根據(jù)給定條件，推導(dǎo)確定線面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.
【詳解】取的中點，連接，因為是等腰直角三角形，且為斜邊，則有，
又是等邊三角形，則，從而為二面角的平面角，即，

顯然平面，于是平面，又平面，
因此平面平面，顯然平面平面，
直線平面，則直線在平面內(nèi)的射影為直線，
從而為直線與平面所成的角，令，則，在中，由余弦定理得：
，
由正弦定理得，即，
顯然是銳角，，
所以直線與平面所成的角的正切為.
故選：C
3．A
【分析】利用平面相似的有關(guān)知識以及合分比性質(zhì)即可解出．
【詳解】如圖所示：
由平面相似可知，，而 ，所以
，而 ，
即＝ ．
故選：A.
【點睛】本題解題關(guān)鍵是通過相似建立比例式，圍繞所求目標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可解出．
4．AC
【分析】依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在軸，設(shè)過作圓的切線切點為，利用正弦定理結(jié)合三角變換、雙曲線的定義得到或，即可得解，注意就在雙支上還是在單支上分類討論.
【詳解】[方法一]：幾何法，雙曲線定義的應(yīng)用
情況一
M、N在雙曲線的同一支，依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在軸，設(shè)過作圓的切線切點為B，
所以，因為，所以在雙曲線的左支，
，， ，設(shè)，由即，則，
選A
情況二
若M、N在雙曲線的兩支，因為，所以在雙曲線的右支，
所以，， ，設(shè)，
由，即，則，
所以，即，
所以雙曲線的離心率
選C
[方法二]：答案回代法
特值雙曲線
，
過且與圓相切的一條直線為，
兩交點都在左支,，
，
則，
特值雙曲線，
過且與圓相切的一條直線為，
兩交點在左右兩支，在右支，，
，
則，
[方法三]：
依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在軸，設(shè)過作圓的切線切點為，
若分別在左右支，
因為，且，所以在雙曲線的右支，
又，，，
設(shè)，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以雙曲線的離心率
若均在左支上，
同理有，其中為鈍角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故選：AC.
5．
【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根據(jù)等面積法求出；
方法二：利用余弦定理求出，再根據(jù)正弦定理求出，即可根據(jù)三角形的特征求出．
【詳解】
如圖所示：記，
方法一：由余弦定理可得，，
因為，解得：，
由可得，
，
解得：．
故答案為：．
方法二：由余弦定理可得，，因為，解得：，
由正弦定理可得，，解得：，，
因為，所以，，
又，所以，即．
故答案為：．
【點睛】本題壓軸相對比較簡單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問題，也可以用角平分定義結(jié)合正弦定理、余弦定理求解，知識技能考查常規(guī)．
6．/
【分析】設(shè)，利用余弦定理表示出后，結(jié)合基本不等式即可得解.
【詳解】[方法一]：余弦定理
設(shè)，
則在中，，
在中，，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，
所以當(dāng)取最小值時，.
故答案為：.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D為原點，OC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.
則C（2t,0），A（1，），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得
，，
，，
令，則，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.
[方法四]：判別式法
設(shè)，則
在中，，
在中，，
所以，記，
則
由方程有解得：
即，解得：
所以，此時
所以當(dāng)取最小值時，，即.

7．(1)
(2)2
【分析】（1）分和討論即可;
（2）寫出分段函數(shù),畫出草圖,表達(dá)面積解方程即可.
【詳解】（1）若,則,
即,解得,即,
若,則,
解得,即,
綜上,不等式的解集為.
（2）.
畫出的草圖,則與軸圍成,
的高為,所以,
所以,解得.
8．(1)；
(2).
【分析】(1)首先由余弦定理求得邊長的值為，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得；
(2)由題意可得，則，據(jù)此即可求得的面積.
【詳解】（1）由余弦定理可得：
，
則，，
.
（2）由三角形面積公式可得，
則.
9．(1)
(2)6
【分析】（1）根據(jù)角的關(guān)系及兩角和差正弦公式，化簡即可得解；
（2）利用同角之間的三角函數(shù)基本關(guān)系及兩角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根據(jù)等面積法求解即可.
【詳解】（1），
，即，
又，
，
，
，
即，所以，
.
（2）由（1）知，，
由，
由正弦定理，，可得，
，
.
10．(1)
(2)
【分析】（1）先表示出，再由求得，結(jié)合余弦定理及平方關(guān)系求得，再由面積公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
【詳解】（1）由題意得，則，
即，由余弦定理得，整理得，則，又，
則，，則；
（2）由正弦定理得：，則，則，.
11．(1)見解析
(2)14
【分析】（1）利用兩角差的正弦公式化簡，再根據(jù)正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可得證；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合余弦定理求出，從而可求得，即可得解.
【詳解】（1）證明：因為，
所以，
所以，
即，
所以；
（2）解：因為，
由（1）得，
由余弦定理可得，
則，
所以，
故，
所以，
所以的周長為.
12．（1）；（2）存在，且.
【分析】（1）由正弦定理可得出，結(jié)合已知條件求出的值，進(jìn)一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果；
（2）分析可知，角為鈍角，由結(jié)合三角形三邊關(guān)系可求得整數(shù)的值.
【詳解】（1）因為，則，則，故，，
，所以，為銳角，則，
因此，；
（2）顯然，若為鈍角三角形，則為鈍角，
由余弦定理可得，
解得，則，
由三角形三邊關(guān)系可得，可得，，故.
一、單選題
1．（2024·湖北黃石·三模）若的三個內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，，則（ ）
A． B． C． D．6
2．（2024·四川·模擬預(yù)測）在三棱錐中，，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若的面積為，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·河南·三模）在中，角的對邊分別為，若，，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測）在中，分別是角的對邊，若，則的值為（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
6．（2024·上海嘉定·二模）嘉定某學(xué)習(xí)小組開展測量太陽高度角的數(shù)學(xué)活動．太陽高度角是指某時刻太陽光線和地平面所成的角．測量時，假設(shè)太陽光線均為平行的直線，地面為水平平面．如圖，兩豎直墻面所成的二面角為120°，墻的高度均為3米．在時刻，實地測量得在太陽光線照射下的兩面墻在地面的陰影寬度分別為1米、1.5米．在線查閱嘉定的天文資料，當(dāng)天的太陽高度角和對應(yīng)時間的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示，則時刻最可能為（ ）
太陽高度角 時間 太陽高度角 時間
43.13° 08:30 68.53° 10:30
49.53° 09:00 74.49° 11:00
55.93° 09:30 79.60° 11:30
62.29° 10:00 82.00° 12:00
A． B． C． D．
二、多選題
7．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知中，，．下列說法中正確的是（ ）
A．若是鈍角三角形，則
B．若是銳角三角形，則
C．的最大值是
D．的最小值是
8．（2024·山西臨汾·二模）設(shè)，是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，分別是與軸、軸正方向同向的單位向量.若，則把有序?qū)崝?shù)對叫做向量在斜坐標(biāo)系Oxy中的坐標(biāo)，記作.則下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則A，B，C三點共線
C．若，則
D．若，則四邊形OACB的面積為
三、填空題
9．（2024·北京昌平·二模）已知中，，則 ．
10．（2024·江蘇·二模）設(shè)鈍角三個內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，若，，，則 .
11．（2024·四川涼山·二模）如圖，在平行四邊形中，E，F(xiàn)分別是AD，CD的中點，且，，，則平行四邊形的面積為 ．

四、解答題
12．（2024·黑龍江·二模）某校為激發(fā)學(xué)生對冰雪運動的興趣，豐富學(xué)生體育課活動項目，設(shè)計在操場的一塊扇形區(qū)域內(nèi)澆筑矩形冰場.如圖，矩形內(nèi)接于扇形，且矩形一邊落在扇形半徑上，該扇形半徑米，圓心角．矩形的一個頂點在扇形弧上運動，記.

(1)當(dāng)時，求的面積；
(2)求當(dāng)角取何值時，矩形冰場面積最大？并求出這個最大面積．
13．（2024·北京朝陽·二模）在中，為銳角，且
(1)求的值;
(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，求.
條件①:
條件②:;
條件③:.
注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個解答計分.
14．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·三模）在凸四邊形中，.
(1)若.求的長；
(2)若四邊形有外接圓，求的最大值.
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)正弦定理和比例的性質(zhì)可得，可得結(jié)果.
【詳解】在中，，所以，所以，
由正弦定理以及比例的性質(zhì)可得：.
故選：B
2．C
【分析】根據(jù)線面垂直判定定理，證明線面垂直并作圖，明確外接球的球心位置，利用正弦定理求得底面外接圓的半徑，結(jié)合圖中的幾何性質(zhì)，求得外接球的半徑，可得答案.
【詳解】由題意可知，．且平面，平面，所以平面．
設(shè)的外接圓的半徑為，則由正弦定理可得，即，所以．
設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，則，
即，所以，所以外接球的表面積為．
故選：C．
3．D
【分析】由面積公式得到，再由余弦定理得到，利用輔助角公式計算可得.
【詳解】依題意，所以．
由余弦定理得，
所以，
故，當(dāng)時等號成立,
即的最大值為.
故選：D．
4．D
【分析】由正弦定理化簡已知式可得，由余弦定理即可求出，由正弦定理可求出的值.
【詳解】由及正弦定理，得，可得，
由余弦定理得，又，
所以．又，，由，
得．
故選：D．
5．C
【分析】
利用正弦定理和余弦定理結(jié)合三角變換公式可求三角函數(shù)式的值.
【詳解】由正弦定理可得，由余弦定理可得，
故
，
故選：C.
6．B
【分析】作出示意圖形，在四邊形中利用正弦定理與余弦定理，算出四邊形的外接圓直徑大小，然后在中利用銳角三角函數(shù)定義，算出的大小，即可得到本題的答案.
【詳解】如圖所示，
設(shè)兩豎直墻面的交線為，點被太陽光照射在地面上的影子為點，
點分別是點在兩條墻腳線上的射影，連接 ，，，
由題意可知就是太陽高度角.
∵四邊形中，，，
∴ ，
∴中，，
可得，
∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，是其外接圓直徑，
∴設(shè)的外接圓半徑為，則，
在中，，
所以，
對照題中表格，可知時刻時，太陽高度角為，與最接近.
故選：B.
7．BC
【分析】根據(jù)為鈍角時即可判斷A，根據(jù)正弦定理結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可判斷BCD.
【詳解】對于A,若為鈍角，則,故，A錯誤，
對于B,由正弦定理可得，
由于是銳角三角形，所以且，故，
故，進(jìn)而，故B正確，
對于C, ,由于，所以時，取最大值，故最大值為，C正確，
對于D，由正弦定理可得
當(dāng)時，，故D錯誤，
故選：BC
8．ABD
【分析】根據(jù)向量新定義利用數(shù)量積的運算律求解模長即可判斷A，根據(jù)向量運算得即可判斷B，根據(jù)數(shù)量積運算律求得判斷C，先通過向量模的運算求得四邊形OACB的邊長，再結(jié)合余弦定理和勾股定理利用三角形面積公式求解即可判斷D.
【詳解】對于A，由題意得，
故，
故.正確；
對于B，由題意得，所以，所以A，B，C三點共線.正確；
對于C，由題意得，
所以，
故與不垂直，錯誤；
對于D，因為，所以，
所以，，
，
，所以，
即，所以，在中，由余弦定理知，
，所以，所以，
所以四邊形OACB的面積為.正確.
故選：ABD
9．
【分析】由余弦定理求出，由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出，最后由三角形的面積公式即可求出答案.
【詳解】由余弦定理可得：，
解得：，所以，
又因為，所以，
所以.
故答案為：.
10．
【分析】利用余弦定理表示出，再利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，得到，建立方程，求出b的值，然后利用鈍角三角形，排除一個答案.
【詳解】由余弦定理得，，
而由，得，
因為是鈍角三角形，且，故A為銳角，所以，
所以，解得或，
當(dāng)時，即，，由大邊對大角得：最大角為C，
，故C為銳角，不符合題意；
當(dāng)時，即，，由大邊對大角得：最大角為B，
，故B是鈍角，符合題意，
故答案為：
11．
【分析】
延長與的延長線交于，求出的面積，并探討與面積的關(guān)系即可求出結(jié)果.
【詳解】在中，延長與的延長線交于，連接，由E，F(xiàn)分別是AD，CD的中點，
得，則，
由，得是的中點，且，
，
，于是，
所以的面積.
故答案為：

12．(1)
(2)當(dāng)時，矩形的面積最大為
【分析】（1）先在中求出，再在中求出，根據(jù)差角的正弦公式求出，利用面積公式求解即可.
（2）在中用表示和，在中求出，則，將矩形的面積寫成關(guān)于的三角函數(shù)的形式，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值即可求解.
【詳解】（1）在中，，，
，，
在中，，即，解得，
，
，
；
（2）在中，，，
在中，，
所以，
所以，
設(shè)矩形的面積為，則
，
由，得，
所以當(dāng)，即時，，
因此，當(dāng)時，矩形的面積，最大面積為.
13．(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）利用二倍角的正弦公式可求，進(jìn)而可求；
（2）選條件①②:由已知可求，進(jìn)而由正弦定理可求，再利用余弦定理可求.
選條件①③: 由已知可求，進(jìn)而由正弦定理可求，后面同選條件①②.
選條件②③:利用余弦定理可求.
【詳解】（1）因為所以
因為∠A為銳角，cosA >0，所以
又因為
所以
（2）選條件①②:
因為又0由得
由得
即又c>0，所以
選條件①③:
因為又0由得
下同選條件①②.
選條件②③:
由得
即解得
經(jīng)檢驗，符合題意.
14．(1)
(2).
【分析】（1）由同角關(guān)系可得正弦值，進(jìn)而由和差角公式，結(jié)合余弦定理即可求解，
（2）根據(jù)正弦定理可得，同理可知，進(jìn)而由三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解最值.
【詳解】（1）因為，所以，
所以，
由余弦定理可知，，即
（2）因為四邊形有外接圓，所以，
因為，且由正弦定理可知，，
所以，即，
設(shè)，則，
由正弦定理可知，，
所以，同理可知，
所以，
因為，所以，所以當(dāng)，
即時，取得最大值為.
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3.3正、余弦定理及解三角形
【備考指南】 2
【知識導(dǎo)圖】 3
【考點梳理】 5
考點一：正弦定理解三角形 5
考點二：正弦定理邊角互化的應(yīng)用 7
考點三：三角形面積公式及其應(yīng)用 8
考點四：余弦定理解三角形 9
考點五：余弦定理邊角互化的應(yīng)用 10
考點六：解三角形的實際應(yīng)用 12
【真題在線】 14
【專項突破】 16
考點 考情分析 考頻
三角恒等變換 2023年新高考Ⅰ卷T8 2023年新高考Ⅱ卷T7 2022年新高考Ⅱ卷T6 2021年新高考Ⅰ卷T6 2021年全國甲卷T9 3年5考
三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 2023年新高考Ⅰ卷T15 2023年新高考Ⅱ卷T16 2023年全國乙卷T6 2022年新高考Ⅰ卷T6 2022年新高考Ⅱ卷T9 2022年全國甲卷T11 2022年全國乙卷T15 2021年新高考Ⅰ卷T4 2021年全國甲卷T16 3年9考
解三角形及應(yīng)用 2023年新高考Ⅰ卷T17 2023年新高考Ⅱ卷T17 2023年全國乙卷T18 2022年新高考Ⅰ卷T18 2022年新高考Ⅱ卷T18 2022年全國甲卷T16 2022年全國乙卷T17 2021年新高考Ⅰ卷T19 2021年新高考Ⅱ卷T18 3年9考
三角函數(shù)的圖象變換與解析式 2023年全國甲卷T10 2021年全國乙卷T7 2年2考
同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 2023年全國甲卷T7
三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 2023年全國甲卷T13
預(yù)測：正弦定理、余弦定理及解三角形是高考的必考點，近幾年多以解答題形式出現(xiàn)，考試的難度中等，建議復(fù)習(xí)時注重基礎(chǔ)知識的掌握與靈活應(yīng)用.
考點一：正弦定理解三角形
【典例精析】（多選）（2024·浙江紹興·模擬預(yù)測）下列條件能確定唯一一個三角形的是（ ）
A．，，邊上中線長.
B．，.
C．，，.
D．.
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·山西晉中·三模）已知雙曲線的左焦點為，過點且斜率為的直線與的兩條漸近線分別交于點，且分別位于第二、三象限，若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川綿陽·模擬預(yù)測）命題：“若與滿足：，則．已知是真命題，則的值不可以是（ ）
A． B．2 C．3 D．4
二、多選題
3．（23-24高一下·四川巴中·階段練習(xí)）對于，有如下判斷，其中正確的判斷是（ ）
A．若，則
B．若，則符合條件的有兩個
C．若點為所在平面內(nèi)的動點，且，則點的軌跡經(jīng)過的垂心
D．已知是內(nèi)一點，若分別表示的面積，則
三、填空題
4．（2024·江西上饒·二模）在中，，，依次成等差數(shù)列，，的取值范圍為 ．
四、解答題
5．（2023·浙江紹興·二模）在三角形中，內(nèi)角對應(yīng)邊分別為且.
(1)求的大小；
(2)如圖所示，為外一點，，，，，求及的面積.
【解題技巧】
1.已知三角形的兩角和任意一邊解三角形時，可以先由三角形的內(nèi)角和定理，計算出三角形的第三個角，然后由正弦定理求出另外兩邊.
2.已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形的步驟：
(1)求正弦.根據(jù)正弦定理求另外一邊所對角的正弦.
(2)求角.先求另外一邊所對角的取值范圍(根據(jù)大邊對大角)，再根據(jù)其正弦求角，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求第三個角.
(3)求邊.根據(jù)正弦定理求第三條邊.
3.已知兩邊及其中一邊的對角判斷三角形解的個數(shù)的方法
(1)應(yīng)用三角形中大邊對大角的性質(zhì)以及正弦函數(shù)的值域判斷解的個數(shù)；
(2)在△ABC中，已知a，b和A，以點C為圓心，以邊長a為半徑畫孤，此弧與除去頂點A的射線AB的公共點的個數(shù)即為三角形解的個數(shù)，解的個數(shù)見下表：
A為鈍角 A為直角 A為銳角
a>b 一解 一解 一解
a＝b 無解 無解 一解
absin A 兩解
a＝bsin A 一解
a考點二：正弦定理邊角互化的應(yīng)用
【典例精析】（多選）（2024·湖南益陽·模擬預(yù)測）在中，角，，所對的邊依次為，，，已知，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．
B．為鈍角三角形
C．若．則的面積是
D．若的外接圓半徑是，內(nèi)切圓半徑為，則
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）在中，分別是角所對的邊，的平分線交于點，，則的最小值為（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知點為圓上的一動點，點，，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·貴州黔東南·二模）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，且，則（ ）
A．，，成等比數(shù)列 B．
C．，，成等差數(shù)列 D．若，則
三、填空題
4．（2024·山東濰坊·二模）在中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，其外接圓半徑為1，，則的面積為 ；當(dāng)A取得最大值時，則 ．
四、解答題
5．（2024·北京通州·二模）在中，角，，的對邊分別為，，，且．
(1)求角的大小；
(2)若，，為邊上的一點，再從下面給出的條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求的面積．
條件①；；
條件②：．
【解題技巧】
1.若已知三角形的兩邊及其一邊的對角，則可直接應(yīng)用正弦定理求出另一邊的對角，但要注意此三角形解的個數(shù)的判斷；也可用余弦定理求解，在△ABC中，已知a，b和A，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，求出c，此時c的個數(shù)即為三角形解的個數(shù).
考點三：三角形面積公式及其應(yīng)用
【典例精析】（多選）（2024·江西南昌·二模）已知，為上一點，且滿足. 動點滿足，為線段上一點，滿足，則下列說法中正確的是（ ）
A．若，則為線段BC的中點
B．當(dāng)時，的面積為
C．點到的距離之和的最大值為5
D．的正切值的最大值為
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·安徽合肥·二模）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．則面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知 的內(nèi)角 的對邊分別為 若面積 則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·廣西桂林·三模）在中，，，，則（ ）
A． B．
C．的面積為 D．外接圓的直徑是
三、填空題
4．（2024·河北保定·二模）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則的面積為 .
四、解答題
5．（2024·四川南充·三模）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)在中，a，b，c分別是角A、B、C所對的邊，記的面積為S，若，.求證：.
【解題技巧】
1.在用面積公式時要結(jié)合條件準(zhǔn)確的選好面積公式.
考點四：余弦定理解三角形
【典例精析】（多選）（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點分別為，是上的兩個動點，則（ ）
A．存在點，使得
B．若，則的面積為
C．記的上頂點為，若軸，則直線AP與AQ的斜率之積為
D．若是的上頂點，則的最大值為
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·河南·三模）在中，，且交于點，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高三上·江西吉安·期末）記的內(nèi)角對邊分別為已知．若，則的形狀是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰銳角三角形
C．等腰鈍角三角形 D．不等腰鈍角三角形
二、多選題
3．（2024·廣西·二模）已知內(nèi)角的對邊分別為為的重心，，則（ ）
A． B．
C．的面積的最大值為 D．的最小值為
三、填空題
4．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測）在中，角的對邊分別為，為線段延長線上一點，平分，且直線與直線相交于點，則 ．
四、解答題
5．（2024·云南曲靖·二模）在中，角的對邊分別為，且.
(1)求角的取值范圍；
(2)已知內(nèi)切圓的半徑等于，求周長的取值范圍.
【解題技巧】
1.已知兩邊及其中一邊的對角解三角形的方法：用余弦定理列出關(guān)于第三邊的等量關(guān)系建立方程，運用解方程的方法求出此邊長，再用余弦定理和三角形內(nèi)角和定理求出其他兩角.
2.已知兩邊及其夾角解三角形的方法：
首先用余弦定理求出第三邊，再用余弦定理和三角形內(nèi)角和定理求出其他兩角.
3.已知三邊關(guān)系解三角形
考點五：余弦定理邊角互化的應(yīng)用
【典例精析】（多選）（2023·海南·模擬預(yù)測）古希臘的數(shù)學(xué)家海倫在他的著作《測地術(shù)》中最早記錄了“海倫公式”：，其中，a，b，c分別為的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，該公式具有輪換對稱的特點．已知在中，，且的面積為，則（ ）
A．角A，B，C構(gòu)成等差數(shù)列 B．的周長為36
C．的內(nèi)切圓面積為 D．邊上的中線長度為
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）我國南宋時期杰出的數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了“三斜求積術(shù)”，其內(nèi)容為：“以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實；一為從隅，開平方得積.”把以上文字寫成公式，即（其中S為面積，a，b，c為的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊）.若，且，則利用“三斜求積”公式可得的面積（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·湖南長沙·階段練習(xí)）在中，，則（ ）
A． B． C． D．1
二、多選題
3．（2023·安徽亳州·模擬預(yù)測）已知三個內(nèi)角、、的對應(yīng)邊分別為、、，且，.則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．面積的最大值為
B．
C．的最大值為
D．的取值范圍為
三、填空題
4．（2024·江西九江·二模）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知A，B，C成等差數(shù)列，，則面積的最大值是 ， .
四、解答題
5．（2024·四川南充·二模）在①；②；③；這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題.
在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且滿足______.
(1)求；
(2)若的面積為，為的中點，求的最小值.
【解題技巧】
1.判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別.
2.余弦定理揭示第三邊與其余兩邊及這兩邊夾角余弦間的關(guān)系，靈活進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，結(jié)合三角恒等變換可求三角函數(shù)式的值.
考點六：解三角形的實際應(yīng)用
【典例精析】（多選）（23-24高一下·重慶榮昌·階段練習(xí)）已知a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，下面四個結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則為等腰三角形
B．在銳角中，不等式恒成立
C．若，，且有兩解，則b的取值范圍是
D．若，的平分線交于點D，，則的最小值為9
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·云南昆明·一模）早期天文學(xué)家常采用“三角法”測量行星的軌道半徑．假設(shè)一種理想狀態(tài)：地球E和某小行星M繞太陽S在同一平面上的運動軌道均為圓，三個星體的位置如圖所示．地球在位置時，測出；行星M繞太陽運動一周回到原來位置，地球運動到了位置，測出，．若地球的軌道半徑為R，則下列選項中與行星M的軌道半徑最接近的是（參考數(shù)據(jù)：）（ ）

A． B． C． D．
2．（2024·廣東·二模）在一堂數(shù)學(xué)實踐探究課中，同學(xué)們用鏡而反射法測量學(xué)校鐘樓的高度.如圖所示，將小鏡子放在操場的水平地面上，人退后至從鏡中能看到鐘樓頂部的位置，此時測量人和小鏡子的距離為，之后將小鏡子前移，重復(fù)之前的操作，再次測量人與小鏡子的距離為，已知人的眼睛距離地面的高度為，則鐘樓的高度大約是（ ）

A． B． C． D．
二、多選題
3．（2023·黑龍江哈爾濱·二模）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，則下列說法正確的是（ ）
A．若，，，則邊上的中線長為
B．若，，，則有兩個解
C．若不是直角三角形，則一定有
D．若是銳角三角形，則一定有
三、填空題
4．（2024·四川綿陽·三模）在中，是邊上一點，，若，且的面積為，則 .
四、解答題
5．（2024·湖北·二模）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，，．
(1)求A；
(2)者，，求的取值范圍．
【解題技巧】
1.求兩個不可到達(dá)的點之間的距離問題，一般是把問題轉(zhuǎn)化為求三角形的邊長問題，基本方法是：
(1)認(rèn)真理解題意，正確作出圖形，根據(jù)條件和圖形特點尋找可解的三角形.
(2)把實際問題中的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊和角，利用正、余弦定理求解.
2.求解底部不可到達(dá)的物體的高度問題，一般是把問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的邊長問題，基本方法是：
(1)分清仰角和俯角，根據(jù)已知和所求，正確作出圖形；
(2)理清邊角關(guān)系，利用正、余弦定理解直角三角形.
3.求解實際應(yīng)用中的角度問題時，一般把求角的問題轉(zhuǎn)化為解三角形的問題，基本方法是：
(1)明確各個角的含義；
(2)分析題意，分析已知與所求，畫出正確的示意圖；
(3)將圖形中的已知量與未知量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角形的邊與角的關(guān)系，運用正、余弦定理求解.
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國·高考真題）已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全國·高考真題）魏晉時劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測海島的高．如圖，點，，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（ ）
A．表高 B．表高
C．表距 D．表距
二、多選題
4．（2022·全國·高考真題）雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點，且，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
5．（2023·全國·高考真題）在中，，的角平分線交BC于D，則 ．
6．（2022·全國·高考真題）已知中，點D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時， ．
四、解答題
7．（2023·全國·高考真題）設(shè)，函數(shù)．
(1)求不等式的解集；
(2)若曲線與軸所圍成的圖形的面積為2，求．
8．（2023·全國·高考真題）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D為BC上一點，且，求的面積.
9．（2023·全國·高考真題）已知在中，．
(1)求；
(2)設(shè)，求邊上的高．
10．（2022·全國·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．
(1)求的面積；
(2)若，求b．
11．（2022·全國·高考真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．
(1)證明：；
(2)若，求的周長．
12．（2021·全國·高考真題）在中，角、、所對的邊長分別為、、，，.．
（1）若，求的面積；
（2）是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形 若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
一、單選題
1．（2024·湖北黃石·三模）若的三個內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，，則（ ）
A． B． C． D．6
2．（2024·四川·模擬預(yù)測）在三棱錐中，，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若的面積為，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·河南·三模）在中，角的對邊分別為，若，，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測）在中，分別是角的對邊，若，則的值為（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
6．（2024·上海嘉定·二模）嘉定某學(xué)習(xí)小組開展測量太陽高度角的數(shù)學(xué)活動．太陽高度角是指某時刻太陽光線和地平面所成的角．測量時，假設(shè)太陽光線均為平行的直線，地面為水平平面．如圖，兩豎直墻面所成的二面角為120°，墻的高度均為3米．在時刻，實地測量得在太陽光線照射下的兩面墻在地面的陰影寬度分別為1米、1.5米．在線查閱嘉定的天文資料，當(dāng)天的太陽高度角和對應(yīng)時間的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示，則時刻最可能為（ ）
太陽高度角 時間 太陽高度角 時間
43.13° 08:30 68.53° 10:30
49.53° 09:00 74.49° 11:00
55.93° 09:30 79.60° 11:30
62.29° 10:00 82.00° 12:00
A． B． C． D．
二、多選題
7．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知中，，．下列說法中正確的是（ ）
A．若是鈍角三角形，則
B．若是銳角三角形，則
C．的最大值是
D．的最小值是
8．（2024·山西臨汾·二模）設(shè)，是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，分別是與軸、軸正方向同向的單位向量.若，則把有序?qū)崝?shù)對叫做向量在斜坐標(biāo)系Oxy中的坐標(biāo)，記作.則下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則A，B，C三點共線
C．若，則
D．若，則四邊形OACB的面積為
三、填空題
9．（2024·北京昌平·二模）已知中，，則 ．
10．（2024·江蘇·二模）設(shè)鈍角三個內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，若，，，則 .
11．（2024·四川涼山·二模）如圖，在平行四邊形中，E，F(xiàn)分別是AD，CD的中點，且，，，則平行四邊形的面積為 ．

四、解答題
12．（2024·黑龍江·二模）某校為激發(fā)學(xué)生對冰雪運動的興趣，豐富學(xué)生體育課活動項目，設(shè)計在操場的一塊扇形區(qū)域內(nèi)澆筑矩形冰場.如圖，矩形內(nèi)接于扇形，且矩形一邊落在扇形半徑上，該扇形半徑米，圓心角．矩形的一個頂點在扇形弧上運動，記.

(1)當(dāng)時，求的面積；
(2)求當(dāng)角取何值時，矩形冰場面積最大？并求出這個最大面積．
13．（2024·北京朝陽·二模）在中，為銳角，且
(1)求的值;
(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，求.
條件①:
條件②:;
條件③:.
注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個解答計分.
14．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·三模）在凸四邊形中，.
(1)若.求的長；
(2)若四邊形有外接圓，求的最大值.
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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