資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
4.1平面向量
【備考指南】 2
【知識(shí)導(dǎo)圖】 3
【考點(diǎn)梳理】 7
考點(diǎn)一：平面向量的基本概念 7
考點(diǎn)二：平面向量的線性運(yùn)算 11
考點(diǎn)三：平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示 18
考點(diǎn)四：平面向量的數(shù)量積 23
考點(diǎn)五：投影向量 29
考點(diǎn)六：平面向量的應(yīng)用舉例 32
【真題在線】 37
【專項(xiàng)突破】 45
考點(diǎn) 考情分析 考頻
平面向量數(shù)量積運(yùn)算及應(yīng)用 2023年新高考Ⅰ卷T3 2023年新高考Ⅱ卷T13 2022年新高考Ⅱ卷T4 2022年全國(guó)甲卷T13 2022年全國(guó)乙卷T3 2021年新高考Ⅱ卷T15 2021年全國(guó)甲卷T14 2021年全國(guó)乙卷T14 3年8考
向量的線性運(yùn)算 2022年新高考Ⅰ卷T3
向量與三角函數(shù)綜合 2021年新高考Ⅰ卷T10
預(yù)測(cè)：平面向量在選擇題、填空題中考察，主要考察基本概念、基本性質(zhì)的應(yīng)用.近三年全國(guó)卷考察的難度適中.建議在復(fù)習(xí)中，著重掌握基本概念，加強(qiáng)對(duì)基本概念的運(yùn)算.同時(shí)也要適當(dāng)?shù)耐卣箤W(xué)生的思維.
考點(diǎn)一：平面向量的基本概念
【典例精析】（多選）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是兩個(gè)非零向量，下列命題正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】BCD
【分析】由，可知兩向量垂直，可排除A；由，可求得，進(jìn)而證明出兩個(gè)非零向量共線，即B正確；由兩個(gè)向量垂直，可得出它們數(shù)量積為，即C正確；由，兩邊平方可得出，即兩個(gè)向量垂直，即D正確.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)椋莾蓚€(gè)非零向量，所以，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B，，所以，
所以，所以，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以，所以，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)椋裕瑥亩?br/>所以，故D正確.
故選：BCD.
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2021·浙江·三模）已知A，，，是以為球心，半徑為2的球面上的四點(diǎn)，，則不可能等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．
2．（2024·山西朔州·一模）已知，且，則（ ）
A． B． C．4 D．
二、多選題
3．（2023·浙江·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則（ ）
A．
B．是直角三角形
C．在方向上的投影向量的坐標(biāo)為
D．與垂直的單位向量的坐標(biāo)為或
4．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）有關(guān)平面向量的說法，下列錯(cuò)誤的是（ ）
A．若，，則
B．若與共線且模長(zhǎng)相等，則
C．若且與方向相同，則
D．恒成立
三、填空題
5．（22-23高三上·湖北武漢·期中）設(shè)，，是的三個(gè)內(nèi)角，的外心為，內(nèi)心為．且與共線．若，則 ．
參考答案：
1．A
【分析】利用向量的定義得，從而，利用判斷等號(hào)成立條件，確定不可能取的值.
【詳解】由，
由得，，
而，當(dāng)且僅當(dāng)同向時(shí)，等號(hào)成立，
而A，，，在球面上，不可能共線，即不同向，
故
且均小于直徑長(zhǎng)4，即，觀察選項(xiàng)，只有A取不到.
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用向量不等式，向量模長(zhǎng)之間的關(guān)系，判斷線段和的最值.
2．C
【分析】利用向量的數(shù)量積可求.
【詳解】因?yàn)?，，則，，
則，故，
故選：C.
3．ABD
【分析】根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示求出可判斷A；求出向量、以及的模，根據(jù)勾股定理逆定理可判斷B；根據(jù)投影向量的定義求出在方向上的投影向量可判斷C；根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示求出與垂直的單位向量，判斷D.
【詳解】因?yàn)?，所以，A正確
因?yàn)?，所以?br/>所以，即為直角三角形，B正確；
設(shè)與同向的單位向量為，，
所以在方向上的投影向量為，C錯(cuò)誤；
因?yàn)椋O(shè)與垂直的單位向量為，
則，解得或，
故與垂直的單位向量的坐標(biāo)為或，D正確，
故選：ABD．
4．ABC
【分析】取，可判斷A選項(xiàng)；利用平面向量的概念可判斷B選項(xiàng)；利用向量不能比大小可判斷C選項(xiàng)；利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，取，滿足，，但、不一定共線，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，若與共線且模長(zhǎng)相等，則或，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，任何兩個(gè)向量不能比大小，C錯(cuò)；
對(duì)于D選項(xiàng)，恒成立，D對(duì).
故選：ABC.
5．2
【分析】由O，I分別是三角形的外心和內(nèi)心，利用與共線得到線段的長(zhǎng)度關(guān)系，用，表示出相應(yīng)線段，得到等式.
【詳解】
設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，過O，I分別作BC的垂線，垂足分別為M，D，
則，，
因?yàn)榕c共線，所以，又因?yàn)椋?br/>所以，
因?yàn)?，所以?br/>即，所以.
故答案為：2
【解題技巧】
平行向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)
(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.
(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān).
(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的平移混淆.
(4)非零向量a與的關(guān)系：是與a同方向的單位向量.
考點(diǎn)二：平面向量的線性運(yùn)算
【典例精析】（多選）（2024·山東濟(jì)南·二模）如圖，在直角三角形中，，，點(diǎn)是以為直徑的半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，若，則（ ）

A．
B．
C．最大值為
D．，，三點(diǎn)共線時(shí)
【答案】ACD
【分析】依題意可得為的中點(diǎn)，根據(jù)平面向量加法的平行四邊形法則判斷A，建立平面直角坐標(biāo)系，求出圓的方程，設(shè)，，利用坐標(biāo)法判斷B、C，由三點(diǎn)共線得到，即可求出，從而求出，，即可判斷D.
【詳解】因?yàn)?，即為的中點(diǎn)，所以，故A正確；
如圖建立平面直角坐標(biāo)，則，，，，
所以，，則，故B錯(cuò)誤；
又，
所以圓的方程為，
設(shè)，，
則，又，
所以，
因?yàn)?，所以?br/>所以，
所以，故最大值為，故C正確；
因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以，
又，，
所以，即，
所以，
所以，又，，
且，即，
所以，所以，所以，故D正確.
故選：ACD

【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·寧夏銀川·一模）在中，，，，是內(nèi)一點(diǎn)，，且的面積是的面積的倍，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·一模）在中，，，，則（ ）
A． B．6 C． D．
二、多選題
3．（2024·遼寧·二模）的重心為點(diǎn)，點(diǎn)O，P是所在平面內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn)，滿足，則（ ）
A．三點(diǎn)共線 B．
C． D．點(diǎn)在的內(nèi)部
4．（22-23高一下·山東·階段練習(xí)）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（ ）

A．若，則M為的重心
B．若M為的內(nèi)心，則
C．若，，M為的外心，則
D．若M為的垂心，，則
三、填空題
5．（2024·上海松江·二模）已知正三角形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)滿足，且，，，則的取值范圍是 .
參考答案：
1．B
【分析】過作于，于，由可得，由，得為等腰三角形，即為中點(diǎn)，可求得，，，又，，所以，計(jì)算即可.
【詳解】
過作于，于，
，，
因?yàn)?，所以，即?br/>因?yàn)椋詾榈妊切危?br/>又，所以為中點(diǎn)，所以，
因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以?br/>又，所以，所以，，
由圖形可知，，則，，
所以
.
故選：.
2．A
【分析】
根據(jù)向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積，由，得，化簡(jiǎn)得，可得.
【詳解】
，有，
由，得．
由，
得，
所以，即．
故選：A
3．AC
【分析】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，向量共線的判定及向量的線性運(yùn)算即可判斷．
【詳解】
，
因?yàn)辄c(diǎn)為的重心，
所以，所以，
所以三點(diǎn)共線，故A正確，B錯(cuò)誤；
，
因?yàn)椋?br/>所以，即，故C正確；
因?yàn)椋?br/>所以點(diǎn)的位置隨著點(diǎn)位置的變化而變化，故點(diǎn)不一定在的內(nèi)部，故D錯(cuò)誤；
故選：AC．
4．ABD
【分析】A選項(xiàng)，，作出輔助線，得到，，三點(diǎn)共線，同理可得為的重心；B選項(xiàng)，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，將面積公式代入得到；C選項(xiàng)，設(shè)外接圓半徑，由三角形面積公式求出三個(gè)三角形的面積，得到比值；D選項(xiàng)，得到，作出輔助線，由面積關(guān)系得到線段比，設(shè)，，，表示出，，，結(jié)合三角函數(shù)得到，，進(jìn)而求出余弦值；
【詳解】對(duì)A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以?br/>取的中點(diǎn)，則，所以，
故，，三點(diǎn)共線，且，
同理，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，可得，，三點(diǎn)共線，，，三點(diǎn)共線，
所以為的重心，A正確；

對(duì)B選項(xiàng)，若為的內(nèi)心，可設(shè)內(nèi)切圓半徑為，
則，，，
所以，
即，B正確；
對(duì)C選項(xiàng)，若，，為的外心，則，
設(shè)的外接圓半徑為，故，，
，
故，，，
所以，C錯(cuò)誤；

對(duì)D選項(xiàng)，若為的垂心，，
則，
如圖，，，，相交于點(diǎn)，
又，
，即，
，即，
，即，
設(shè)，，，則，，，
因?yàn)?，?br/>所以，即，
，則，D正確；
故選：ABD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查向量與四心關(guān)系應(yīng)用，關(guān)鍵是利用三角形的幾何關(guān)系及向量數(shù)量積及向量線性表示逐項(xiàng)判斷.
5．
【分析】取的中點(diǎn)，由題意可得，從而推得三點(diǎn)共線，進(jìn)而得出，即可得出答案.
【詳解】取的中點(diǎn)，則，
又，又因?yàn)椋?br/>故三點(diǎn)共線，即點(diǎn)在中線上運(yùn)動(dòng)，
在正三角形中，，
又，，則，
故.
故答案為：
【解題技巧】
1.(1)解決平面向量線性運(yùn)算問題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運(yùn)用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化.
(2)在求向量時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運(yùn)用平行四邊形法則、三角形法則及三角形中位線定理、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為用已知向量線性表示.
2.與向量的線性運(yùn)算有關(guān)的參數(shù)問題，一般是構(gòu)造三角形，利用向量運(yùn)算的三角形法則進(jìn)行加法或減法運(yùn)算，然后通過建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù)的值.
考點(diǎn)三：平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示
【典例精析】（多選）（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，則（ ）
A．若，則 B．若，則
C．的最大值為5 D．若，則
【答案】AD
【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)公式即可判斷A；根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)公式即可判斷B；根據(jù)向量的模的坐標(biāo)公式結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可判斷C；根據(jù)，求出的關(guān)系，進(jìn)而可判斷D.
【詳解】因?yàn)?，?br/>所以，，
對(duì)于A，若，則，所以，故A正確；
對(duì)于B，若，則，所以，
又，解得或，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，
，其中，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若，則，
即，所以，
所以
，故D正確.
故選：AD.
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知單位向量、的夾角是 ，點(diǎn)滿足，則（ ）
A． B． C． D．3
2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知AB是圓的直徑，是圓上一點(diǎn)，，點(diǎn)是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且的面積記為，圓的面積記為，當(dāng)取得最大值時(shí)，（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·甘肅武威·模擬預(yù)測(cè)）已知是同一平面內(nèi)的四點(diǎn)，且，則（ ）
A．當(dāng)點(diǎn)在直線的兩側(cè)時(shí)，
B．當(dāng)點(diǎn)在直線的同側(cè)時(shí)，
C．當(dāng)點(diǎn)在直線的兩側(cè)時(shí)，的最小值為3
D．當(dāng)點(diǎn)在直線的同側(cè)時(shí)，
4．（2023·湖北襄陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）在直角梯形中，為中點(diǎn)，分別為線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)，若，則的值可能是（ ）

A．1 B． C． D．3
三、填空題
5．（2024·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，則，則實(shí)數(shù) .
參考答案：
1．C
【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則得到，再根據(jù)及數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)?，所以?br/>即，
所以
.
故選：C
2．A
【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算分析可知點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取到最大值，即可得結(jié)果.
【詳解】由題意可知：，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，
不妨設(shè)，則，
可知直線對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)解析式為，可設(shè)，
可得，
則，且，
因?yàn)殚_口向上，對(duì)稱軸為，
且，可知當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取到最大值，
此時(shí)，且，所以.
故選：A.
3．ACD
【分析】依據(jù)在直線的同側(cè)或兩側(cè)分類研究，在兩側(cè)時(shí)由數(shù)量積和模的運(yùn)算計(jì)算結(jié)果，可判斷A、C；在同側(cè)時(shí)利用數(shù)量積的三角形式求解可判斷B，結(jié)合平面向量基本定理，判斷答案D.
【詳解】
設(shè)，由，，
得
；由，得，，
當(dāng)點(diǎn)在直線的兩側(cè)時(shí)，如圖①，，
所以，即，故A正確；
因?yàn)椋?br/>所以當(dāng)時(shí)，的最小值為3，故C正確；
當(dāng)點(diǎn)在直線的同側(cè)時(shí)，如圖②，
，
所以，故B錯(cuò)誤；
設(shè)，則，
即解得，
所以，即，故D正確．
故選：ACD.
4．AB
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，用坐標(biāo)表示出，再根據(jù)列方程可得，然后可得.
【詳解】
如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，
不妨設(shè)，則，
則
設(shè)，則
∵，
∴，
∴整理得，
因?yàn)椋?br/>故選：AB.
5．2
【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算求，結(jié)合向量平行坐標(biāo)表示求.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
因?yàn)椋?br/>所以，
解得，
故答案為：.
【解題技巧】
1.應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.一般將向量“放入”相關(guān)的三角形中，利用三角形法則列出向量間的關(guān)系.
2.用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個(gè)基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.注意同一個(gè)向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個(gè)基底下的分解都是唯一的.
3.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；
(2)若a∥b(b≠0)，則a＝λb.
4.向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù).當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí)，也可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來求解.
考點(diǎn)四：平面向量的數(shù)量積
【典例精析】（多選）（2024·山東濰坊·二模）已知向量，，為平面向量，，，，，則（ ）
A． B．的最大值為
C． D．若，則的最小值為
【答案】BCD
【分析】對(duì)A，設(shè)，根據(jù)可得，從而可得的范圍；對(duì)B，化簡(jiǎn)，根據(jù)點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離求解最大值即可；對(duì)C，化簡(jiǎn)，再結(jié)合滿足圓的方程求范圍即可；對(duì)D，根據(jù)滿足圓的方程進(jìn)行三角換元求解最值即可.
【詳解】對(duì)A，設(shè)，根據(jù)有，
即，為圓心為，半徑為的圓，又的幾何意義為原點(diǎn)到圓上的距離，則，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B，
，則轉(zhuǎn)化為求圓上的點(diǎn)到的距離最大值，
為，故B正確；
對(duì)C，，因?yàn)?，故，故C正確；
對(duì)D，因?yàn)?，故?br/>又因?yàn)?，故?br/>，
故當(dāng)時(shí)，取最小值取最小值，故D正確.
故選：BCD
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·四川綿陽(yáng)·三模）在半徑為的中，弦的長(zhǎng)度為，則的值為（ ）
A． B． C． D．與有關(guān)
2．（2024·河北保定·二模）已知圓，過點(diǎn)的直線l與圓O交于B，C兩點(diǎn)，且，則（ ）
A．2 B． C． D．
二、多選題
3．（2024·湖北黃石·三模）下列命題恒成立的有（ ）
A．已知平面向量，，則
B．已知，，則
C．已知復(fù)數(shù)，，則
D．已知復(fù)數(shù)，，則
4．（2024·吉林延邊·一模）已知是圓上的兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．若點(diǎn)到直線的距離為，則
B．若，則
C．若，則的最大值為6
D．的最小值為
三、填空題
5．（2024·江蘇蘇州·二模）設(shè)A，B，C，D為平面內(nèi)四點(diǎn)，已知，，與的夾角為，M為AB的中點(diǎn)，，則的最大值為 ．
參考答案：
1．B
【分析】取線段AB的中點(diǎn)D，得，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合解直角三角形，求得.
【詳解】
取線段AB的中點(diǎn)D，得，所以.
所以.
故選：B
2．D
【分析】根據(jù)條件可得，結(jié)合圖形得出，然后根據(jù)轉(zhuǎn)化法利用向量積求出向量的模即可
【詳解】如圖，在中，，，，，，
所以.

故選：D
3．ABD
【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律判斷A，根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則判斷B，利用特殊值判斷C，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)判斷D.
【詳解】對(duì)于A：
，故A正確；
對(duì)于B：
，故B正確；
對(duì)于C：令，，則，
而，，
所以，，
所以，
顯然不成立，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：
，故D正確.
故選：ABD
4．ACD
【分析】對(duì)于A選項(xiàng)：利用圓的弦長(zhǎng)公式即可求解；對(duì)于B選項(xiàng)：運(yùn)用余弦定理即可求解；對(duì)于C選項(xiàng)：將轉(zhuǎn)化為到直線的距離之和的倍，進(jìn)而求解；對(duì)于D選項(xiàng)：利用數(shù)量積公式即可求解；
【詳解】依題意，圓的圓心，半徑為
如圖所示：
對(duì)于A選項(xiàng)：因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)：因?yàn)?，且?br/>所以在中，由余弦定理可得：,
所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)：由，
其幾何意義為到直線的距離之和的倍
設(shè)的中點(diǎn)為,結(jié)合梯形的中位線可知：
則有，
因?yàn)椋?
在直角三角形中，,
所以點(diǎn)的軌跡為以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓.
因?yàn)榈降木嚯x為，
所以，
所以，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D選項(xiàng)：因?yàn)椋?br/>所以當(dāng)所成的角為時(shí)，.
故選項(xiàng)D正確;
故選：ACD.
5．
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，確定點(diǎn)的軌跡方程，設(shè)的坐標(biāo)，分別求出向量，的坐標(biāo)，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)即可求解．
【詳解】以A為原點(diǎn)，所在直線為軸，過作的垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，
因?yàn)?，，與的夾角為，
，
由于，故，
所以，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，所以在以為圓心，半徑為1的圓上，
設(shè)，
則，，
得，
所以當(dāng)，即時(shí)，最大，最大值為，
此時(shí)，則．
故答案為：．
【解題技巧】
平面向量數(shù)量積的兩種運(yùn)算方法
(1)基底法：當(dāng)已知向量的模和夾角θ時(shí)，可利用定義法求解，適用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關(guān)計(jì)算問題；(2)坐標(biāo)法：當(dāng)平面圖形易建系求出各點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解.
考點(diǎn)五：投影向量
【典例精析】（多選）（2024·重慶·三模）已知，，是平面上的三個(gè)非零向量，那么（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則與的夾角為
D．若，則，在方向上的投影向量相同
【答案】ABD
【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的概念和向量的共線定理即可判斷A；對(duì)等式兩邊同時(shí)平方可得，即可判斷判斷B；如圖，根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可判斷C；根據(jù)投影向量的概念即可判斷D.
【詳解】A項(xiàng)，若，則，其中，，
若，則，，故；
若，不同時(shí)為零，則，根據(jù)向量共線定理得，，故A正確；
B項(xiàng)，若，兩邊平方得，，故B正確；
C項(xiàng)，利用向量線性運(yùn)算的平行四邊形法則，作平行四邊形，如圖，
，則，
由知平行四邊形為荾形，為等邊三角形，
所以與的夾角為，故C錯(cuò)誤；
D項(xiàng)，，在方向上的投影向量分別是，
又，，故D正確.
故選：ABD.
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量，，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·云南曲靖·二模）已知是的外心，，，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·山東聊城·二模）已知向量，若在上的投影向量為，則（ ）
A． B．
C． D．與的夾角為
4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，則（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則向量與向量的夾角的余弦值為
D．若，則向量在向量上的投影向量為
三、填空題
5．（2024·黑龍江·二模）已知向量，，若向量在向量上的投影向量為，則 ．
參考答案：
1．C
【分析】由投影向量的公式計(jì)算即可．
【詳解】設(shè)與夾角為，則，
在上的投影向量為：，
故選：C．
2．C
【分析】依題意可知是的中點(diǎn)，從而得到，，解法一：過點(diǎn)作，垂足為，即可得到，結(jié)合投影向量的定義即可得解；解法二：設(shè)，根據(jù)向量在向量上的投影向量等于計(jì)算可得.
【詳解】由，所以是的中點(diǎn)，又是的外心，
則，再由，又，
則為正三角形，則，
角度一：如圖，過點(diǎn)作，垂足為，則，，
所以向量在向量上的投影向量等于.
角度二：設(shè)，則，所以，
所以向量在向量上的投影向量等于.
故選：C.
3．ACD
【分析】根據(jù)投影向量的公式求出的值，再根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛?，即?br/>所以，即，解得，故A正確；
對(duì)于B，，所以，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，所以，故C正確；
對(duì)于D，，所以與的夾角為，故D正確.
故選：ACD.
4．AC
【分析】利用向量共線的充要條件的坐標(biāo)表示判斷A；利用向量垂直的充要條件的坐標(biāo)表示判斷B；利用向量夾角的坐標(biāo)表示判斷C; 利用向量投影的坐標(biāo)表示判斷D
【詳解】若，則，解得，故A正確．
若，則，解得，故B錯(cuò)誤．
若，則，又，所以向量與向量的夾角的余弦值為，故C正確．
若，則，又，所以向量在向量上的投影向量為，故D錯(cuò)誤．
故選：AC．
5．
【分析】借助投影向量定義計(jì)算即可得.
【詳解】，故.
故答案為：.
考點(diǎn)六：平面向量的應(yīng)用舉例
【典例精析】（多選）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，，，且，MN是圓Q：的一條直徑，則（ ）
A．點(diǎn)P在圓Q外 B．的最小值為2
C． D．的最大值為32
【答案】BCD
【分析】根據(jù)化簡(jiǎn)可得，即可得P點(diǎn)軌跡，進(jìn)而根據(jù)圓A與圓Q外切求解A，根據(jù)即可求解B，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可求CD.
【詳解】對(duì)A，由，得，整理得，

所以點(diǎn)P在以為圓心，2為半徑的圓上，記為圓A，如圖．
因?yàn)?，所以圓A與圓Q外切．當(dāng)點(diǎn)P為兩圓的公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P在圓Q上，故A錯(cuò)誤．
對(duì)B，由題意，得，故B正確．
對(duì)C，，故C正確．
對(duì)D，．而，
所以，故D正確．
故選：BCD．
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·湖南婁底·一模）已知圓內(nèi)接四邊形中，是圓的直徑，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，線段的中點(diǎn)為，且，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知AB，CD為圓O的直徑，P為圓O內(nèi)一點(diǎn)，，，則（ ）
A．
B．
C．
D．的最大值是1
4．（20-21高一下·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）在△中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為a、b、c，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．若，則
C．
D．若，且，則△為等邊三角形
三、填空題
5．（2021·云南昆明·三模）兩同學(xué)合提一捆書，提起后書保持靜止，如圖所示，則與大小之比為 ．
參考答案：
1．C
【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的線性運(yùn)算，結(jié)合圓內(nèi)接四邊形的幾何性質(zhì)，即可得所求.
【詳解】
因?yàn)?，所以，易知?br/>結(jié)合圖形，，，則，故.
所以在直角三角形中可得，故.
故選：.
2．A
【分析】用平面向量基底表示，找到的關(guān)系求解即可.
【詳解】設(shè)，
則，
由，
得，又已知，且，
則有，
故.
故選：A.
3．ABD
【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)、正弦定理進(jìn)行逐一判斷即可.
【詳解】因?yàn)锳B，CD為圓O的直徑，所以O(shè)是AB，CD是中點(diǎn)，
所以，因此選項(xiàng)A正確；
，
因?yàn)镺是AB的中點(diǎn)，AB，CD為圓O的直徑，
所以，于是所以選項(xiàng)B正確；
由：，
所以有，因此選項(xiàng)C不正確；
設(shè)，
，
所以的最大值是1，因此選項(xiàng)D正確，
故選：ABD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
4．ACD
【分析】A由正弦定理及等比的性質(zhì)可說明；B令可得反例；C由和角正弦公式及三角形內(nèi)角和的性質(zhì)有，由正弦定理即可證；D若，，根據(jù)單位向量的定義，向量加法的幾何意義及垂直表示、數(shù)量積的定義易知△的形狀.
【詳解】A：由，根據(jù)等比的性質(zhì)有，正確；
B：當(dāng)時(shí)，有，錯(cuò)誤；
C：，而，即，由正弦定理易得，正確；
D：如下圖，是單位向量，則，即、，則且平分，的夾角為， 易知△為等邊三角形，正確.
故選：ACD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：D選項(xiàng)，注意應(yīng)用向量在幾何圖形中所代表的線段，結(jié)合向量加法、數(shù)量積的幾何意義判斷夾角、線段間的位置關(guān)系，說明三角形的形狀.
5．
【分析】物體處于平衡狀態(tài)，所以水平方向的合力為0，然后可算出答案.
【詳解】物體處于平衡狀態(tài)，所以水平方向的合力為0
所以，所以
故答案為：
【解題技巧】
向量數(shù)量積綜合應(yīng)用的方法和思想
(1)坐標(biāo)法：把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了有關(guān)點(diǎn)與向量具體的坐標(biāo)，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決.
(2)基向量法：適當(dāng)選取一組基底，寫出向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構(gòu)造關(guān)于設(shè)定未知量的方程來進(jìn)行求解.
(3)利用向量運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化歸為三角函數(shù)的問題或三角恒等變換問題是常規(guī)的解題思路和方法，以向量為載體考查三角形問題時(shí)，要注意正弦定理、余弦定理等知識(shí)的應(yīng)用.
一、單選題
1．（2023·全國(guó)·高考真題）已知向量滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國(guó)·高考真題）已知的半徑為1，直線PA與相切于點(diǎn)A，直線PB與交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若，則的最大值為（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全國(guó)·高考真題）已知向量，若，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全國(guó)·高考真題）已知向量，若，則（ ）
A． B． C．5 D．6
5．（2022·全國(guó)·高考真題）已知向量滿足，則（ ）
A． B． C．1 D．2
6．（2022·全國(guó)·高考真題）在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
7．（2023·全國(guó)·高考真題）已知向量，滿足，，則 ．
8．（2022·全國(guó)·高考真題）設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則 ．
9．（2021·全國(guó)·高考真題）已知向量，，， ．
10．（2021·全國(guó)·高考真題）已知向量，若，則 ．
11．（2021·全國(guó)·高考真題）已知向量．若，則 ．
三、解答題
12．（2023·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知的面積為，為中點(diǎn)，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
參考答案：
1．D
【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.
【詳解】因?yàn)?所以,
即,即,所以.
如圖,設(shè),
由題知,是等腰直角三角形,
AB邊上的高,
所以,
,
.
故選:D.
2．A
【分析】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得，或然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定的最大值.
【詳解】如圖所示，，則由題意可知:，
由勾股定理可得

當(dāng)點(diǎn)位于直線異側(cè)時(shí)或PB為直徑時(shí)，設(shè)，
則：
，則
當(dāng)時(shí)，有最大值.

當(dāng)點(diǎn)位于直線同側(cè)時(shí)，設(shè)，
則：
，
，則
當(dāng)時(shí)，有最大值.
綜上可得，的最大值為.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數(shù)量積的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問題，考查了學(xué)生對(duì)于知識(shí)的綜合掌握程度和靈活處理問題的能力.
3．D
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出，，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求出．
【詳解】因?yàn)椋?，?br/>由可得，，
即，整理得：．
故選：D．
4．C
【分析】利用向量的運(yùn)算和向量的夾角的余弦公式的坐標(biāo)形式化簡(jiǎn)即可求得
【詳解】解：,,即,解得,
故選：C
5．C
【分析】根據(jù)給定模長(zhǎng)，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可.
【詳解】解：∵，
又∵
∴9，
∴
故選：C.
6．B
【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運(yùn)算即可解出．
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AB上，，所以，即，
所以．
故選：B．
7．
【分析】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；法二：換元令，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解.
【詳解】法一：因?yàn)?，即?br/>則，整理得，
又因?yàn)椋矗?br/>則，所以.
法二：設(shè)，則，
由題意可得：，則，
整理得：，即.
故答案為：.
8．
【分析】設(shè)與的夾角為，依題意可得，再根據(jù)數(shù)量積的定義求出，最后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得．
【詳解】解：設(shè)與的夾角為，因?yàn)榕c的夾角的余弦值為，即，
又，，所以，
所以．
故答案為：．
9．
【分析】由已知可得，展開化簡(jiǎn)后可得結(jié)果.
【詳解】由已知可得，
因此，.
故答案為：.
10．
【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及向量的線性運(yùn)算列出方程，即可解出．
【詳解】因?yàn)椋杂煽傻茫?br/>，解得．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是熟記平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，設(shè)，
，注意與平面向量平行的坐標(biāo)表示區(qū)分．
11．.
【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則求得向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積為零求得的值
【詳解】,
，解得,
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量垂直的條件，屬基礎(chǔ)題，利用平面向量垂直的充分必要條件是其數(shù)量積.
12．(1)；
(2).
【分析】（1）方法1，利用三角形面積公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面積公式求出，作出邊上的高，利用直角三角形求解作答.
（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面積公式求出即可求解作答；方法2，利用向量運(yùn)算律建立關(guān)系求出a，再利用三角形面積公式求出即可求解作答.
【詳解】（1）方法1：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，，

則，解得，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，則，
，
所以.
方法2：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，，
則，解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，有，則，
，過作于，于是，，
所以.
（2）方法1：在與中，由余弦定理得，
整理得，而，則，
又，解得，而，于是，
所以.
方法2：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，則，又，
于是，即，解得，
又，解得，而，于是，
所以.
一、單選題
1．（2024·四川成都·三模）若，是平面上兩個(gè)非零的向量，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2024·遼寧·二模）已知平行四邊形ABCD，點(diǎn)P在的內(nèi)部（不含邊界），則下列選項(xiàng)中，可能的關(guān)系式為（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·北京西城·二模）已知向量，滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·湖北·二模）已知平面向量，，，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·福建三明·三模）函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中兩點(diǎn)為圖象與x軸的交點(diǎn)，為圖象的最高點(diǎn)，且是等腰直角三角形，若，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為（ ）

A． B．
C． D．
6．（2024·河北保定·二模）如圖，圓和圓外切于點(diǎn)，，分別為圓和圓上的動(dòng)點(diǎn)，已知圓和圓的半徑都為1，且，則的最大值為（ ）
A．2 B．4 C． D．
7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則在方向上的投影數(shù)量是（ ）
A． B．2 C． D．
二、多選題
8．（2024·浙江寧波·二模）若平面向量滿足且，則（ ）
A．的最小值為2
B．的最大值為5
C．的最小值為2
D．的最大值為
9．（2024·廣東廣州·一模）已知向量，不共線，向量平分與的夾角，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A． B．
C．向量，在上的投影向量相等 D．
10．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，則（ ）
A． B．
C．與的夾角為 D．在上的投影向量為
三、填空題
11．（2024·黑龍江·二模）已知向量，，若，則 ．
12．（2024·四川南充·三模）若，，，則的值為 .
13．（2024·山西·二模）柯西不等式是數(shù)學(xué)家柯西（Cauchy）在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問題時(shí)得到的一個(gè)重要不等式，而柯西不等式的二維形式是同學(xué)們可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).現(xiàn)已知，，，則的最大值為 .
14．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）若向量在向量上的投影向量為，則等于 ．
參考答案：
1．A
【分析】由，兩邊平方化簡(jiǎn)可得，即，同向，可判斷充分性成立，
由，可得，即，共線，可舉反例，判斷必要性不成立.
【詳解】因?yàn)?，所以?br/>即，即，
由于,是平面上兩個(gè)非零的向量，所以，所以，同向，
所以有，故充分性成立；
因?yàn)?，則，即，
由于是平面上兩個(gè)非零的向量，所以，共線.，
不妨取，此時(shí)，共線.，但，，
故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A
2．C
【分析】根據(jù)題意，設(shè)，結(jié)合平面向量的基本定理，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】設(shè)，由平面向量的基本定理，可得：
當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在直線BD上；
當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在點(diǎn)A和直線BD之間；
當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在點(diǎn)C和直線BD之間；
當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在過點(diǎn)C且與直線BD平行的直線上，
對(duì)于A中，由向量，滿足，所以點(diǎn)在內(nèi)部，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B中，由，滿足，所以點(diǎn)在上，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)于C中，由，滿足，所以點(diǎn)可能在內(nèi)部，所以C正確；
對(duì)于D中，由，滿足，此時(shí)點(diǎn)P在過點(diǎn)C且與直線BD平行的直線上，所以D錯(cuò)誤.
故選：C.
3．B
【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算，先求出，再逐一驗(yàn)證即可.
【詳解】因?yàn)?，?br/>所以，
所以，故A錯(cuò)；
，故B正確；
，故C錯(cuò)；
因?yàn)椋圆黄叫校蔇錯(cuò).
故選：B
4．B
【分析】根據(jù)題意，由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得，再由平面向量的夾角公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】，
，
，
，．
故選：B
5．B
【分析】首先求出，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由是等腰直角三角形，表示出的坐標(biāo)，由最大值為1，即可求出，根據(jù)投影向量計(jì)算公式計(jì)算即可．
【詳解】，則，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
因?yàn)槭堑妊苯侨切危裕?br/>
因?yàn)?，所以?br/>因?yàn)樽畲笾禐?，所以，解得，
所以，則，
則在上的投影向量的坐標(biāo)為：，
故選：B．
6．D
【分析】由，化簡(jiǎn)得到，兩邊平方化簡(jiǎn)可得：，由化簡(jiǎn)即可得到答案.
【詳解】
，
所以，
所以，即，
解得.
.
故選：D
7．C
【詳解】根據(jù)題意，由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算代入計(jì)算，再結(jié)合投影的定義，即可得到結(jié)果.
【分析】設(shè)與的夾角為θ．由題意，得．又，
所以，
所以在方向上的投影數(shù)量為．
故選：C．
8．BD
【分析】由向量方向間的關(guān)系，判斷的最大值和最小值；由，通過的最值，計(jì)算的最值.
【詳解】當(dāng)向量方向相同，與方向相反時(shí)，滿足，
此時(shí)有最小值，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
當(dāng)向量方向相同時(shí)，滿足，
此時(shí)有最大值，B選項(xiàng)正確；
，有，即，則，
向量方向相同時(shí)，的最小值為0，的最小值為3，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
向量方向相反時(shí)，的最大值為2，的最大值為，D選項(xiàng)正確.
故選：BD
9．BC
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合向量加法的幾何意義可得，再借助數(shù)量積的運(yùn)算律逐項(xiàng)分析判斷即得.
【詳解】作向量，在中，，，
由向量平分與的夾角，得是菱形，即，
對(duì)于A，與不一定垂直，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，即，B正確；
對(duì)于C，在上的投影向量，
在上的投影向量，C正確；
對(duì)于D，由選項(xiàng)A知，不一定為0，則與不一定相等，D錯(cuò)誤.
故選：BC
10．ABD
【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)得到垂直關(guān)系；B選項(xiàng)，求出，根據(jù)模長(zhǎng)公式求出答案；C選項(xiàng)，根據(jù)得到答案；D選項(xiàng)，利用得到D正確.
【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)?，?br/>所以．則．所以．故A正確：
B選項(xiàng)，因?yàn)椋裕蔅正確；
C選項(xiàng)，因?yàn)椋遥?br/>所以．故C錯(cuò)誤；
在上的投影向量為．故D正確．
故選：ABD．
11．
【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求出和，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解即可.
【詳解】，即，，，
，，.
故答案為：.
12．
【分析】根據(jù)條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算運(yùn)算，得到，，再利用向量夾角公式，即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，所以，又，?br/>所以，
得到，所以，
故答案為：.
13．
【分析】令，代入公式即可得解.
【詳解】令，
又，，，
所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以的最大值為.
故答案為：
14．
【分析】根據(jù)投影向量的公式運(yùn)算即可得答案.
【詳解】向量在向量上的投影向量為，
所以.
故答案為：.
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4.1平面向量
【備考指南】 2
【知識(shí)導(dǎo)圖】 3
【考點(diǎn)梳理】 7
考點(diǎn)一：平面向量的基本概念 7
考點(diǎn)二：平面向量的線性運(yùn)算 8
考點(diǎn)三：平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示 10
考點(diǎn)四：平面向量的數(shù)量積 12
考點(diǎn)五：投影向量 13
考點(diǎn)六：平面向量的應(yīng)用舉例 14
【真題在線】 15
【專項(xiàng)突破】 16
考點(diǎn) 考情分析 考頻
平面向量數(shù)量積運(yùn)算及應(yīng)用 2023年新高考Ⅰ卷T3 2023年新高考Ⅱ卷T13 2022年新高考Ⅱ卷T4 2022年全國(guó)甲卷T13 2022年全國(guó)乙卷T3 2021年新高考Ⅱ卷T15 2021年全國(guó)甲卷T14 2021年全國(guó)乙卷T14 3年8考
向量的線性運(yùn)算 2022年新高考Ⅰ卷T3
向量與三角函數(shù)綜合 2021年新高考Ⅰ卷T10
預(yù)測(cè)：平面向量在選擇題、填空題中考察，主要考察基本概念、基本性質(zhì)的應(yīng)用.近三年全國(guó)卷考察的難度適中.建議在復(fù)習(xí)中，著重掌握基本概念，加強(qiáng)對(duì)基本概念的運(yùn)算.同時(shí)也要適當(dāng)?shù)耐卣箤W(xué)生的思維.
考點(diǎn)一：平面向量的基本概念
【典例精析】（多選）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是兩個(gè)非零向量，下列命題正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2021·浙江·三模）已知A，，，是以為球心，半徑為2的球面上的四點(diǎn)，，則不可能等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．
2．（2024·山西朔州·一模）已知，且，則（ ）
A． B． C．4 D．
二、多選題
3．（2023·浙江·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則（ ）
A．
B．是直角三角形
C．在方向上的投影向量的坐標(biāo)為
D．與垂直的單位向量的坐標(biāo)為或
4．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）有關(guān)平面向量的說法，下列錯(cuò)誤的是（ ）
A．若，，則
B．若與共線且模長(zhǎng)相等，則
C．若且與方向相同，則
D．恒成立
三、填空題
5．（22-23高三上·湖北武漢·期中）設(shè)，，是的三個(gè)內(nèi)角，的外心為，內(nèi)心為．且與共線．若，則 ．
【解題技巧】
平行向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)
(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.
(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān).
(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的平移混淆.
(4)非零向量a與的關(guān)系：是與a同方向的單位向量.
考點(diǎn)二：平面向量的線性運(yùn)算
【典例精析】（多選）（2024·山東濟(jì)南·二模）如圖，在直角三角形中，，，點(diǎn)是以為直徑的半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，若，則（ ）

A．
B．
C．最大值為
D．，，三點(diǎn)共線時(shí)
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·寧夏銀川·一模）在中，，，，是內(nèi)一點(diǎn)，，且的面積是的面積的倍，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·一模）在中，，，，則（ ）
A． B．6 C． D．
二、多選題
3．（2024·遼寧·二模）的重心為點(diǎn)，點(diǎn)O，P是所在平面內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn)，滿足，則（ ）
A．三點(diǎn)共線 B．
C． D．點(diǎn)在的內(nèi)部
4．（22-23高一下·山東·階段練習(xí)）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（ ）

A．若，則M為的重心
B．若M為的內(nèi)心，則
C．若，，M為的外心，則
D．若M為的垂心，，則
三、填空題
5．（2024·上海松江·二模）已知正三角形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)滿足，且，，，則的取值范圍是 .
【解題技巧】
1.(1)解決平面向量線性運(yùn)算問題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運(yùn)用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化.
(2)在求向量時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運(yùn)用平行四邊形法則、三角形法則及三角形中位線定理、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為用已知向量線性表示.
2.與向量的線性運(yùn)算有關(guān)的參數(shù)問題，一般是構(gòu)造三角形，利用向量運(yùn)算的三角形法則進(jìn)行加法或減法運(yùn)算，然后通過建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù)的值.
考點(diǎn)三：平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示
【典例精析】（多選）（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，則（ ）
A．若，則 B．若，則
C．的最大值為5 D．若，則
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知單位向量、的夾角是 ，點(diǎn)滿足，則（ ）
A． B． C． D．3
2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知AB是圓的直徑，是圓上一點(diǎn)，，點(diǎn)是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且的面積記為，圓的面積記為，當(dāng)取得最大值時(shí)，（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·甘肅武威·模擬預(yù)測(cè)）已知是同一平面內(nèi)的四點(diǎn)，且，則（ ）
A．當(dāng)點(diǎn)在直線的兩側(cè)時(shí)，
B．當(dāng)點(diǎn)在直線的同側(cè)時(shí)，
C．當(dāng)點(diǎn)在直線的兩側(cè)時(shí)，的最小值為3
D．當(dāng)點(diǎn)在直線的同側(cè)時(shí)，
4．（2023·湖北襄陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）在直角梯形中，為中點(diǎn)，分別為線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)，若，則的值可能是（ ）

A．1 B． C． D．3
三、填空題
5．（2024·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，則，則實(shí)數(shù) .
【解題技巧】
1.應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.一般將向量“放入”相關(guān)的三角形中，利用三角形法則列出向量間的關(guān)系.
2.用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個(gè)基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.注意同一個(gè)向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個(gè)基底下的分解都是唯一的.
3.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；
(2)若a∥b(b≠0)，則a＝λb.
4.向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù).當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí)，也可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來求解.
考點(diǎn)四：平面向量的數(shù)量積
【典例精析】（多選）（2024·山東濰坊·二模）已知向量，，為平面向量，，，，，則（ ）
A． B．的最大值為
C． D．若，則的最小值為
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·四川綿陽(yáng)·三模）在半徑為的中，弦的長(zhǎng)度為，則的值為（ ）
A． B． C． D．與有關(guān)
2．（2024·河北保定·二模）已知圓，過點(diǎn)的直線l與圓O交于B，C兩點(diǎn)，且，則（ ）
A．2 B． C． D．
二、多選題
3．（2024·湖北黃石·三模）下列命題恒成立的有（ ）
A．已知平面向量，，則
B．已知，，則
C．已知復(fù)數(shù)，，則
D．已知復(fù)數(shù)，，則
4．（2024·吉林延邊·一模）已知是圓上的兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．若點(diǎn)到直線的距離為，則
B．若，則
C．若，則的最大值為6
D．的最小值為
三、填空題
5．（2024·江蘇蘇州·二模）設(shè)A，B，C，D為平面內(nèi)四點(diǎn)，已知，，與的夾角為，M為AB的中點(diǎn)，，則的最大值為 ．
【解題技巧】
平面向量數(shù)量積的兩種運(yùn)算方法
(1)基底法：當(dāng)已知向量的模和夾角θ時(shí)，可利用定義法求解，適用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關(guān)計(jì)算問題；(2)坐標(biāo)法：當(dāng)平面圖形易建系求出各點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解.
考點(diǎn)五：投影向量
【典例精析】（多選）（2024·重慶·三模）已知，，是平面上的三個(gè)非零向量，那么（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則與的夾角為
D．若，則，在方向上的投影向量相同
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量，，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·云南曲靖·二模）已知是的外心，，，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·山東聊城·二模）已知向量，若在上的投影向量為，則（ ）
A． B．
C． D．與的夾角為
4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，則（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則向量與向量的夾角的余弦值為
D．若，則向量在向量上的投影向量為
三、填空題
5．（2024·黑龍江·二模）已知向量，，若向量在向量上的投影向量為，則 ．
考點(diǎn)六：平面向量的應(yīng)用舉例
【典例精析】（多選）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，，，且，MN是圓Q：的一條直徑，則（ ）
A．點(diǎn)P在圓Q外 B．的最小值為2
C． D．的最大值為32
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·湖南婁底·一模）已知圓內(nèi)接四邊形中，是圓的直徑，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，線段的中點(diǎn)為，且，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知AB，CD為圓O的直徑，P為圓O內(nèi)一點(diǎn)，，，則（ ）
A．
B．
C．
D．的最大值是1
4．（20-21高一下·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）在△中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為a、b、c，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．若，則
C．
D．若，且，則△為等邊三角形
三、填空題
5．（2021·云南昆明·三模）兩同學(xué)合提一捆書，提起后書保持靜止，如圖所示，則與大小之比為 ．
【解題技巧】
向量數(shù)量積綜合應(yīng)用的方法和思想
(1)坐標(biāo)法：把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了有關(guān)點(diǎn)與向量具體的坐標(biāo)，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決.
(2)基向量法：適當(dāng)選取一組基底，寫出向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構(gòu)造關(guān)于設(shè)定未知量的方程來進(jìn)行求解.
(3)利用向量運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化歸為三角函數(shù)的問題或三角恒等變換問題是常規(guī)的解題思路和方法，以向量為載體考查三角形問題時(shí)，要注意正弦定理、余弦定理等知識(shí)的應(yīng)用.
一、單選題
1．（2023·全國(guó)·高考真題）已知向量滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國(guó)·高考真題）已知的半徑為1，直線PA與相切于點(diǎn)A，直線PB與交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若，則的最大值為（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全國(guó)·高考真題）已知向量，若，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全國(guó)·高考真題）已知向量，若，則（ ）
A． B． C．5 D．6
5．（2022·全國(guó)·高考真題）已知向量滿足，則（ ）
A． B． C．1 D．2
6．（2022·全國(guó)·高考真題）在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
7．（2023·全國(guó)·高考真題）已知向量，滿足，，則 ．
8．（2022·全國(guó)·高考真題）設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則 ．
9．（2021·全國(guó)·高考真題）已知向量，，， ．
10．（2021·全國(guó)·高考真題）已知向量，若，則 ．
11．（2021·全國(guó)·高考真題）已知向量．若，則 ．
三、解答題
12．（2023·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知的面積為，為中點(diǎn)，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
一、單選題
1．（2024·四川成都·三模）若，是平面上兩個(gè)非零的向量，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2024·遼寧·二模）已知平行四邊形ABCD，點(diǎn)P在的內(nèi)部（不含邊界），則下列選項(xiàng)中，可能的關(guān)系式為（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·北京西城·二模）已知向量，滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·湖北·二模）已知平面向量，，，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·福建三明·三模）函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中兩點(diǎn)為圖象與x軸的交點(diǎn)，為圖象的最高點(diǎn)，且是等腰直角三角形，若，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為（ ）

A． B．
C． D．
6．（2024·河北保定·二模）如圖，圓和圓外切于點(diǎn)，，分別為圓和圓上的動(dòng)點(diǎn)，已知圓和圓的半徑都為1，且，則的最大值為（ ）
A．2 B．4 C． D．
7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則在方向上的投影數(shù)量是（ ）
A． B．2 C． D．
二、多選題
8．（2024·浙江寧波·二模）若平面向量滿足且，則（ ）
A．的最小值為2
B．的最大值為5
C．的最小值為2
D．的最大值為
9．（2024·廣東廣州·一模）已知向量，不共線，向量平分與的夾角，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A． B．
C．向量，在上的投影向量相等 D．
10．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，則（ ）
A． B．
C．與的夾角為 D．在上的投影向量為
三、填空題
11．（2024·黑龍江·二模）已知向量，，若，則 ．
12．（2024·四川南充·三模）若，，，則的值為 .
13．（2024·山西·二模）柯西不等式是數(shù)學(xué)家柯西（Cauchy）在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問題時(shí)得到的一個(gè)重要不等式，而柯西不等式的二維形式是同學(xué)們可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).現(xiàn)已知，，，則的最大值為 .
14．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）若向量在向量上的投影向量為，則等于 ．
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