資源簡介

反比例系數k的幾何意義
一、一點一垂線
【模型結論】反比例函數圖象上一點關于坐標軸的垂線、與另一坐標軸上一點（含原點）圍成的三角形面積為.
【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】(前提：OA=AC)
結論：S△AOB=S△COD S△AOE=S四邊形CEBD S△AOC=
二、一點兩垂線
【模型結論】反比例函數圖象上一點與坐標軸的兩條垂線圍成的矩形面積為.
【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】
結論：S矩形ABOE=S矩形CDOF S矩形AEFG=S矩形CGBD S ABCD=
三、兩點一垂線
【模型結論一】反比例函數與正比例函數圖象的交點及由交點向坐標軸所作垂線圍成的三角形面積等于|k|，
結論：S△ABC =2S△ABO =
【模型結論二】反比例函數與一次函數圖象的交點及坐標軸上任一點構成三角形的面積，等于坐標軸所分的兩個三角形面積之和．
如左圖，已知一次函數與反比例函數交于A、B兩點，且一次函數與x軸交于點C，
則S△AOB=S△AOC+S△BOC=co |yA|+co |yB|=co(|yA|+|yB|)
如右圖，已知一次函數與反比例函數交于A、B兩點，且一次函數與y軸交于點C，
則S△AOB=S△AOC+S△BOC=co |xA|+co |xB|=co(|xA|+|xB|)
四、兩點兩垂線
【模型結論】反比例函數與正比例函數圖象的交點及由交點向坐標軸所作兩條垂線圍成的圖形面積等于2|k|
五、兩點和原點
方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD．【分割】
方法二：作AE⊥x軸于點E，交OB于點M，BF⊥x軸于點F，而S△OAM＝S四邊形MEFB，則S△AOB＝S直角梯形AEFB．
方法三：S△AOB＝S四邊形COFD－S△AOC－S△BOF. 【補形】
方法四：S△AOB＝S△AOD－S△BOD＝OD （|yA|-|yB|）
方法五：S△AOB＝S△BOC－S△AOC＝OC （|xB|-|xA|）
【拓展】
方法一：當AD/AC(或BD/BF)＝m時，則S四邊形OADB＝m|k|．
方法二：作AE⊥x軸于E，則S△OAB＝S直角梯形AEFB（類型一）．
六、兩曲一平行
【模型講解】兩條雙曲線上的兩點的連線與一條（或兩條）坐標軸平行，求這兩點與原點或坐標軸上的點圍成的圖形面積，過這兩點作坐標軸的垂線，結合k的幾何意義求解．
類型一 兩條雙曲線的k值符號相同
結論：S陰影＝|k1|-|k2| S陰影＝|k1|-|k2|
結論：S陰影＝|k1|-|k2| S陰影＝|k1|-|k2|- S直角梯形AFDE
類型二 兩條雙曲線的k值符號相同
結論：S△AOB＝S△ACB＝(|k1|+|k2|) S陰影＝|k1|+|k2|
題型01 一點一垂線
【例1】如圖，A是反比例函數的圖象上一點，軸于B，點C在x軸上，若面積為2，則k的值為（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【變式1-1】如圖，等腰直角三角形的斜邊在軸的負半軸上，頂點在反比例函數的圖象上，的面積為，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】若圖中反比例函數的表達式均為，則陰影部分面積為2的是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】如圖，在的圖象上有兩點、，過這兩點分別向軸引垂線，交軸于、兩點，連結、，記、的面積，，則與的大小關系是（ ）
A． B． C． D．不確定
【變式1-4】如圖，、、是雙曲線上的三點，過這三點分別作軸的垂線，得到三個三角形、、、設它們的面積分別是、、，則、、的大小關系為（ ）
A． B． C． D．無法確定
【變式1-5】如圖，函數（x＞0）和（x＞0）的圖象將第一象限分成三個區域，點M是②區域內一點，MN⊥x軸于點N，則△MON的面積可能是（ ）
A．0.5． B．1． C．2． D．3.5．
【變式1-6】如圖，在平面直角坐標系中，點在第一象限，軸于點，反比例函數的圖象與線段相交于點，且是線段的中點，若的面積為3，則的值為 ．
【變式1-7】如圖，，是反比例函數圖象上的兩點，分別過點，作軸的垂線．已知，則陰影部分面積為（　　）
A．3 B．7 C．8 D．9
題型02 一點兩垂線
【例2】如圖，四邊形是矩形，是正方形，點A、D在x軸的正半軸上，成C在y軸的正半軸上，點F在上，點B、E在反比例函數的圖象上，，則正方形的邊長為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式2-1】如圖，在反比例函數的圖象上有點，它們的縱坐標依次為6，2，1，分別過這些點作x軸與y軸的垂線段．圖中陰影部分的面積記為．若，則的值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
題型03 兩點一垂線
【例3】如圖，直線與雙曲線交于A、B兩點．過點A作軸，垂足為M，連結BM．若，則k的值是（ ）
A．2 B． C．m D．4
【變式3-1】如圖，點和都在反比例函數的圖象上，過點A分別向x軸y軸作垂線，垂足分別是M、N，連接、，若四邊形的面積記作，面積記作，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-2】如圖，在平面直角坐標系中，直線（，m為常數）與雙曲線（，k為常數）交于點A，B，若，過點A作軸，垂足為M，連接，則的面積是（　　）
A．2 B． C．3 D．6
【變式3-3】如圖，正比例函數的圖象與反比例函數的圖象交于、兩點，過點作垂直軸于點，連結.若的面積為2.
（1）求的值；
（2）直接寫出：①點坐標____________；點坐標_____________；②當時，的取值范圍__________________；
（3）軸上是否存在一點，使為直角三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
題型04 兩點兩垂線
【例4】如圖，在中，軸，點B、D在反比例函數的圖象上，若的面積是20，則k的值是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【變式4-1】如圖，點A是第一象限內雙曲線y＝ （m＞0）上一點，過點A作AB∥x軸，交雙曲線y＝ （n＜0）于點B，作AC∥y軸，交雙曲線y＝ （n＜0）于點C，連接BC．若△ABC的面積為 ，則m，n的值不可能是（　　）
A．m＝ ，n＝﹣ B．m＝ ，n＝﹣
C．m＝1，n＝﹣2 D．m＝4，n＝﹣2
【變式4-2】如圖，A，B是函數y=（m＞0）的圖象上關于原點對稱的任意兩點，BCx軸，ACy軸，△ABC的面積記為S，則（　　）
A． B． C． D．
題型05 兩點和原點
【例5】如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數的圖象與邊長是6的正方形的兩邊，分別相交于，兩點，的面積為10．則的值是( )
A．12 B．10 C．8 D．24
【變式5-1】如圖，已知直線l與x，y軸分別交于A，B兩點，與反比例函數的圖象交于C，D兩點，連接，． 若和的面積都為3，則k的值是（ ）
B． C． D．
【變式5-2】如圖，點，為函數圖象上的兩點，過，分別作軸，軸，垂足分別為，，連接，，，線段交于點，且點恰好為的中點．當的面積為時，的值為（ ）
B． C． D．
【變式5-3】下列圖形中，陰影部分面積與另外三個不同的是（　　）
A．B．C． D．
【變式5-4】如圖，平面直角坐標系中，直線分別與軸、軸分別交于點、，點、為線段的三等分點，且、在反比例函數的圖象上，若的面積為12，則的值為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【變式5-5】如圖，點，在軸的正半軸上，以為邊向上作矩形，過點的反比例函數的圖象經過的中點．若的面積為1，則的值為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式5-6】如圖，矩形，雙曲線分別交、于、兩點，已知，，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
題型06 兩曲一平行
【例6】如圖，過反比例函數的圖象上一點作軸交反比例函數的圖象于點，連接，，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】如圖，點在反比例函數的圖象上，點在反比例函數的圖象上，點在軸上．若四邊形是正方形，且面積為9，則的值為（ ）
A．11 B．15 C． D．
【變式6-2】如圖，四邊形是平行四邊形，點O是坐標原點，點C在y軸上，點B在反比例函數的圖象上，點A在反比例函數的圖象上，若平行四邊形的面積是7，則（ ）
A． B． C． D．
【變式6-3】如圖，設點作反比例函數的圖象上，軸于點，交反比例函數的圖象于點A，軸于點，交反比例函數的圖象于點，則四邊形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-4】如圖，點A是反比例函數y1＝（x＞0）圖象上一點，過點A作x軸的平行線，交反比例函數（x＞0）的圖象于點B，連接OA、OB，若△OAB的面積為1，則k的值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【變式6-5】如圖，矩形OABC與反比例函數（k1是非零常數，x>0）的圖象交于點M，N，與反比例函數（k2是非零常數，x>0）的圖象交于點B，連接OM，ON．若四邊形OMBN的面積為3，則k1-k2=（ ）
A．3 B．-3 C． D．
【變式6-6】如圖，正方形的頂點A，D分別在函數和的圖象上，點B，C在x軸上，則點D的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-7】如圖，點在反比例函數的圖象上，點在反比例函數的圖象上，連接，與軸交于點，且軸，，是正半軸上一點，連接，，則的面積為（ ）
A．3 B． C． D．
【變式6-8】如圖，點B在反比例函數的圖象上，點C在反比例函數的圖象上，軸，且A為軸上任一點．則的面積為（ ）
A．3.5 B．4 C．5.5 D．6
【變式6-9】如圖，在平面直角坐標系中，點是函數圖象上的一個動點，過點作軸交函數的圖象于點，點、在軸上在的左側，且，連接、，這關于四邊形的面積的結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．四邊形的面積無法確定
【變式6-10】如圖，點P是函數的圖象上一點，過點P分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為點A、B，交函數的圖象于點C、D，連接、、、，其中，下列結論：①；②；③，其中正確的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①
【變式6-11】如圖，點C在反比例函數y的圖象上，CA∥y軸，交反比例函數y的圖象于點A，CB∥x軸，交反比例函數y的圖象于點B，連結AB、OA和OB，已知CA＝2，則△ABO的面積為 ．
【變式6-12】如圖，點在反比例函數的圖象上，軸，且交y軸于點C，交反比例函數于點B，已知．
（1）求直線的解析式；
（2）求反比例函數的解析式；
（3）點D為反比例函數上一動點，連接交y軸于點E，當E為中點時，求的面積．

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