資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
5.1等差數(shù)列與等比數(shù)列
【備考指南】 1
【知識導(dǎo)圖】 2
【考點(diǎn)梳理】 3
考點(diǎn)一：等差數(shù)列通項(xiàng)公式 3
考點(diǎn)二：等差數(shù)列性質(zhì) 5
考點(diǎn)三：等差數(shù)列前n項(xiàng)和 6
考點(diǎn)四：等比數(shù)列通項(xiàng)公式 7
考點(diǎn)五：等比數(shù)列性質(zhì) 8
考點(diǎn)六：等比數(shù)列前n項(xiàng)和 10
【真題在線】 11
【專項(xiàng)突破】 13
考點(diǎn) 考情分析 考頻
等差數(shù)列模型 2023年新高考Ⅰ卷T7 2023年新高考Ⅰ卷T20 2023年新高考Ⅱ卷T18 2023年全國甲卷T10 2022年新高考Ⅱ卷T3 2021年新高考Ⅱ卷T17 2021年全國乙卷T19 3年7考
等比數(shù)列模型 2023年新高考Ⅱ卷T8 2023年全國甲卷T15 2023年全國乙卷T15 2022年全國乙卷T10 2年4考
等差與等比綜合 2022年新高考Ⅱ卷T17
數(shù)列分段遞推公式 2021年新高考Ⅰ卷T17
數(shù)列并項(xiàng)遞推公式 2023年全國甲卷T17
數(shù)列結(jié)構(gòu)不良型模型 2021年全國甲卷T18
數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)關(guān)系 2022年全國甲卷T17
數(shù)列與不等式綜合 2022年新高考Ⅰ卷T17
數(shù)列單調(diào)性 2022年全國乙卷T14
預(yù)測：等差與等比數(shù)列是高考的必考點(diǎn)，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)也在解答題中有體現(xiàn)，整體難度適中，考法靈活多變，著重考察基礎(chǔ)知識的基本應(yīng)用與靈活應(yīng)用.建議在復(fù)習(xí)過程中，全面掌握好基礎(chǔ)知識的同時(shí)也要適當(dāng)?shù)耐卣箤W(xué)生的思維訓(xùn)練.
考點(diǎn)一：等差數(shù)列通項(xiàng)公式
【典例精析】（多選）（2024·山東棗莊·一模）將數(shù)列中的所有項(xiàng)排成如下數(shù)陣：
從第2行開始每一行比上一行多兩項(xiàng)，且從左到右均構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列；第1列數(shù)成等差數(shù)列．若，則（ ）
A． B．
C．位于第45行第88列 D．2024在數(shù)陣中出現(xiàn)兩次
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·寧夏吳忠·模擬預(yù)測）若數(shù)列滿足，，它的前項(xiàng)和為，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南·模擬預(yù)測）年月日，河南平頂山抽干湖水成功抓捕了兩只鱷雀鱔，這一話題迅速?zèng)_上熱搜榜．與此同時(shí)，關(guān)于外來物種泛濫的有害性受到了熱議．為了研究某池塘里某種植物生長面積（單位：）與時(shí)間（單位：月）之間的關(guān)系，通過觀察建立了函數(shù)模型（，，且）．已知第一個(gè)月該植物的生長面積為，第個(gè)月該植物的生長而積為，給出下列結(jié)論：
①第個(gè)月該植物的生長面積超過；
②若該植物的生長面積達(dá)到，則至少要經(jīng)過個(gè)月；
③若，則成等差數(shù)列；
④若成等差數(shù)列，，，則．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列命題正確的是（ ）
A．若是等差數(shù)列，則
B．若是等差數(shù)列，則
C．若是正項(xiàng)等比數(shù)列，則
D．若是正項(xiàng)等比數(shù)列，則
三、填空題
4．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知在數(shù)列中，，數(shù)列的前和為，為等差數(shù)列，，則 ．
四、解答題
5．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知在正項(xiàng)數(shù)列中，，且成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解題技巧】
1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想來解決問題.
2.數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.
考點(diǎn)二：等差數(shù)列性質(zhì)
【典例精析】（多選）（2024·黑龍江吉林·二模）已知數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，若，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·山東·二模）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．156 B．252 C．192 D．200
2．（2023·北京西城·三模）已知為無窮等差數(shù)列，則“存在且，使得”是“存在且，使得”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
二、多選題
3．（2023·安徽蕪湖·模擬預(yù)測）下面是關(guān)于公差的等差數(shù)列的四個(gè)命題，其中正確的有（ ）
A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列
C．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列
三、填空題
4．（2023·江西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足：對于任意正整數(shù)，．若使得不等式成立的最小正整數(shù)是2023，則的取值范圍是 ．
四、解答題
5．（2024·山東·二模）已知數(shù)列．求：
(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值．
【解題技巧】
1.項(xiàng)的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.
2.和的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，則
(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
(2)S2n－1＝(2n－1)an.
(3)依次k項(xiàng)和成等差數(shù)列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差數(shù)列.
3.求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值，常用的方法：(1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，或者利用性質(zhì)求其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值；(2)利用公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)，A≠0)為二次函數(shù)，通過二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.
考點(diǎn)三：等差數(shù)列前n項(xiàng)和
【典例精析】（多選）（2024·遼寧·二模）設(shè)是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和.且，，則下面結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C．與均為的最大值 D．滿足的n的最小值為14
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，且，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川南充·三模）設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知、、成等比數(shù)列，，當(dāng)取得最大值時(shí)，（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、多選題
3．（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（ ）
A．為遞減數(shù)列
B．
C．若，，則的取值范圍為
D．
三、填空題
4．（2023·上海青浦·一模）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，記，若，則正整數(shù)的值為 ．
四、解答題
5．（2023·山東威海·一模）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前n項(xiàng)和，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【解題技巧】
1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想來解決問題.
2.數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.
考點(diǎn)四：等比數(shù)列通項(xiàng)公式
【典例精析】（多選）（2024·湖北黃岡·二模）數(shù)列滿足：，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A． B．是等比數(shù)列
C． D．
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·寧夏石嘴山·三模）已知數(shù)列等比數(shù)列，且則的值為（ ）
A． B．2 C．3 D．4
2．（2024·浙江紹興·二模）漢諾塔（Tower of Hanoi），是一個(gè)源于印度古老傳說的益智玩具. 如圖所示，有三根相鄰的標(biāo)號分別為A、B、C的柱子， A柱子從下到上按金字塔狀疊放著個(gè)不同大小的圓盤，要把所有盤子一個(gè)一個(gè)移動(dòng)到柱子B上，并且每次移動(dòng)時(shí)，同一根柱子上都不能出現(xiàn)大盤子在小盤子的上方，請問至少需要移動(dòng)多少次？記至少移動(dòng)次數(shù)為，例如：，，則下列說法正確的是（ ）
A． B．為等差數(shù)列
C．為等比數(shù)列 D．
二、多選題
3．（2024·安徽合肥·二模）已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，則（ ）
A．
B．對任意成等比數(shù)列
C．對任意，都存在，使得成等差數(shù)列
D．若，則數(shù)列遞增的充要條件是
三、填空題
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，給出下列結(jié)論：①；②；③；④存在常數(shù)，使得數(shù)列是等比數(shù)列．其中所有正確結(jié)論的序號為 ．
四、解答題
5．（2024·貴州·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項(xiàng)，，（其中p，m，q成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)；若不存在，請說明理由.
【解題技巧】
1.等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解.
考點(diǎn)五：等比數(shù)列性質(zhì)
【典例精析】（多選）（2024·廣東梅州·二模）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，在中依次選取若干項(xiàng)（至少3項(xiàng)），，，，，，使成為一個(gè)等比數(shù)列，則下列說法正確的是（ ）
A．若取，，則
B．滿足題意的也必是一個(gè)等比數(shù)列
C．在的前100項(xiàng)中，的可能項(xiàng)數(shù)最多是6
D．如果把中滿足等比的項(xiàng)一直取下去，總是無窮數(shù)列
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（23-24高二上·江蘇徐州·期末）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為.若對任意的，都有，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列滿足，則有（ ）
A．最小值 B．最大值18 C．最小值27 D．最大值
二、多選題
3．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列，則數(shù)列的公比可能為（ ）
A．1 B． C． D．
三、填空題
4．（2021·江西上饒·一模）已知數(shù)列、均為正項(xiàng)等比數(shù)列，、分別為數(shù)列、的前項(xiàng)積，且，則的值為 .
四、解答題
5．（2023·山東威海·二模）已知2n＋2個(gè)數(shù)排列構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，其中第1個(gè)數(shù)為1，第2n＋2個(gè)數(shù)為8，設(shè)．
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前100項(xiàng)和．
【解題技巧】
(1)等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項(xiàng)公式的變形，二是等比中項(xiàng)的變形，三是前n項(xiàng)和公式的變形.根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口.
(2)涉及等比數(shù)列的單調(diào)性與最值的問題，一般要考慮公比與首項(xiàng)的符號對其的影響.
考點(diǎn)六：等比數(shù)列前n項(xiàng)和
【典例精析】（多選）（2024·浙江紹興·二模）已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且，，則（ ）
A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列
C．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則 D．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·湖南邵陽·模擬預(yù)測）記為公比小于1的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（ ）
A．6 B．3 C．1 D．
2．（2024·北京海淀·二模）設(shè)是公比為的無窮等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，.則“”是“存在最小值”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
二、多選題
3．（2024·江西贛州·一模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A． B．
C．?dāng)?shù)列為單調(diào)數(shù)列 D．?dāng)?shù)列為單調(diào)數(shù)列
三、填空題
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，為實(shí)數(shù)，則 .
四、解答題
5．（2024·廣西桂林·三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，且數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若都有不等式恒成立，求的取值范圍．
【解題技巧】
1.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對公比q的分類討論，當(dāng)q＝1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝＝.
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和，若，，則（ ）
A． B． C．15 D．40
2．（2023·全國·高考真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（ ）
A．－1 B． C．0 D．
3．（2023·全國·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
4．（2023·全國·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（ ）．
A．120 B．85 C． D．
5．（2022·全國·高考真題）已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
6．（2022·全國·高考真題）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類推，其中．則（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·全國·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.若，，則（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．（2021·全國·高考真題）等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為，設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
二、多選題
9．（2021·全國·高考真題）設(shè)正整數(shù)，其中，記．則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
10．（2023·全國·高考真題）已知為等比數(shù)列，，，則 .
11．（2022·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則公差 ．
四、解答題
12．（2023·全國·高考真題）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項(xiàng)和．
(1)若，求的通項(xiàng)公式；
(2)若為等差數(shù)列，且，求．
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）若5個(gè)正數(shù)之和為2，且依次成等差數(shù)列，則公差的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測）折紙是一種用紙張折成各種不同形狀的藝術(shù)活動(dòng)，起源于中國，其歷史可追溯到公元583年，民間傳統(tǒng)折紙是一項(xiàng)利用不同顏色、不同硬度、不同質(zhì)地的紙張進(jìn)行創(chuàng)作的手工藝．其以紙張為主材，剪刀、刻刀、畫筆為輔助工具，經(jīng)多次折疊造型后再以剪、刻、畫手法為輔助手段，創(chuàng)作出或簡練、或復(fù)雜的動(dòng)物、花卉、人物、鳥獸等內(nèi)容的立體幾何造型作品．隨著一代代折紙藝人的傳承和發(fā)展，現(xiàn)代折紙技術(shù)已發(fā)展至一個(gè)前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其復(fù)雜而又栩栩如生的折紙作品是由一張完全未經(jīng)裁剪的正方形紙張所創(chuàng)作出來的，是我們中華民族的傳統(tǒng)文化，歷史悠久，內(nèi)涵博大精深，世代傳承．在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐課上某同學(xué)將一張腰長為l的等腰直角三角形紙對折，每次對折后仍成等腰直角三角形，則對折6次后得到的等腰直角三角形斜邊長為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河北邢臺(tái)·二模）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差不為0，若，，成等比數(shù)列，則的第5項(xiàng)為（ ）
A． B． C．或1 D．或1
4．（2023·四川成都·二模）如果為各項(xiàng)都大于零且不相等的等差數(shù)列，則下列選項(xiàng)一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·河南·三模）已知等比數(shù)列的公比為，若，且成等差數(shù)列，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·江西上饒·二模）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若是等差數(shù)列，，則（ ）
A． B． C．1 D．2
二、多選題
7．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)的積為，且公比，若對于任意正整數(shù)，，則（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全國·模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，則（ ）
A．是等比數(shù)列
B．是遞增的等差數(shù)列
C．當(dāng)時(shí)，的最大值為28
D．，，
三、填空題
9．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的首項(xiàng)，且，記的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，則當(dāng)不等式成立時(shí)，的最大值為 ．
10．（2023·全國·三模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則當(dāng) 時(shí)，最大.
11．（2024·海南省直轄縣級單位·模擬預(yù)測）在數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，首項(xiàng)，且函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則 ．
四、解答題
12．（2022·全國·模擬預(yù)測）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，對都有成立.
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
13．（2022·新疆·一模）在數(shù)列中，，，且.
(1)證明：是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
14．（2022·重慶·一模）學(xué)習(xí)資料：有一正項(xiàng)數(shù)列，若作商，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.這是一種數(shù)列放縮的方法.現(xiàn)有一等差數(shù)列的前項(xiàng)和為的前項(xiàng)和為.
(1)求；
(2)求證：.
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5.1等差數(shù)列與等比數(shù)列
【備考指南】 1
【知識導(dǎo)圖】 2
【考點(diǎn)梳理】 3
考點(diǎn)一：等差數(shù)列通項(xiàng)公式 3
考點(diǎn)二：等差數(shù)列性質(zhì) 8
考點(diǎn)三：等差數(shù)列前n項(xiàng)和 12
考點(diǎn)四：等比數(shù)列通項(xiàng)公式 17
考點(diǎn)五：等比數(shù)列性質(zhì) 21
考點(diǎn)六：等比數(shù)列前n項(xiàng)和 26
【真題在線】 31
【專項(xiàng)突破】 39
考點(diǎn) 考情分析 考頻
等差數(shù)列模型 2023年新高考Ⅰ卷T7 2023年新高考Ⅰ卷T20 2023年新高考Ⅱ卷T18 2023年全國甲卷T10 2022年新高考Ⅱ卷T3 2021年新高考Ⅱ卷T17 2021年全國乙卷T19 3年7考
等比數(shù)列模型 2023年新高考Ⅱ卷T8 2023年全國甲卷T15 2023年全國乙卷T15 2022年全國乙卷T10 2年4考
等差與等比綜合 2022年新高考Ⅱ卷T17
數(shù)列分段遞推公式 2021年新高考Ⅰ卷T17
數(shù)列并項(xiàng)遞推公式 2023年全國甲卷T17
數(shù)列結(jié)構(gòu)不良型模型 2021年全國甲卷T18
數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)關(guān)系 2022年全國甲卷T17
數(shù)列與不等式綜合 2022年新高考Ⅰ卷T17
數(shù)列單調(diào)性 2022年全國乙卷T14
預(yù)測：等差與等比數(shù)列是高考的必考點(diǎn)，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)也在解答題中有體現(xiàn)，整體難度適中，考法靈活多變，著重考察基礎(chǔ)知識的基本應(yīng)用與靈活應(yīng)用.建議在復(fù)習(xí)過程中，全面掌握好基礎(chǔ)知識的同時(shí)也要適當(dāng)?shù)耐卣箤W(xué)生的思維訓(xùn)練.
考點(diǎn)一：等差數(shù)列通項(xiàng)公式
【典例精析】（多選）（2024·山東棗莊·一模）將數(shù)列中的所有項(xiàng)排成如下數(shù)陣：
從第2行開始每一行比上一行多兩項(xiàng)，且從左到右均構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列；第1列數(shù)成等差數(shù)列．若，則（ ）
A． B．
C．位于第45行第88列 D．2024在數(shù)陣中出現(xiàn)兩次
【答案】ACD
【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得第一列的通項(xiàng)公式，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，對各個(gè)選項(xiàng)分析，即可求解.
【詳解】由第1列數(shù) 成等差數(shù)列，設(shè)公差為，
又由，可得，解得，
則第一列的通項(xiàng)公式為，
又從第2行開始每一行比上一行多兩項(xiàng)，且從左到右均構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，
可得，所以A正確,B錯(cuò)誤；
又因?yàn)槊恳恍械淖詈笠粋€(gè)數(shù)為，
且，可得是的前一個(gè)數(shù)，且在第45行，
因?yàn)檫@一行共有個(gè)數(shù)，則在第45行的第88列，所以C正確；
由題設(shè)可知第行第個(gè)數(shù)的大小為，
令，若，則即；
若，則即；若，則，無整數(shù)解.
故D正確.
故答案為：ACD.
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·寧夏吳忠·模擬預(yù)測）若數(shù)列滿足，，它的前項(xiàng)和為，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南·模擬預(yù)測）年月日，河南平頂山抽干湖水成功抓捕了兩只鱷雀鱔，這一話題迅速?zèng)_上熱搜榜．與此同時(shí)，關(guān)于外來物種泛濫的有害性受到了熱議．為了研究某池塘里某種植物生長面積（單位：）與時(shí)間（單位：月）之間的關(guān)系，通過觀察建立了函數(shù)模型（，，且）．已知第一個(gè)月該植物的生長面積為，第個(gè)月該植物的生長而積為，給出下列結(jié)論：
①第個(gè)月該植物的生長面積超過；
②若該植物的生長面積達(dá)到，則至少要經(jīng)過個(gè)月；
③若，則成等差數(shù)列；
④若成等差數(shù)列，，，則．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列命題正確的是（ ）
A．若是等差數(shù)列，則
B．若是等差數(shù)列，則
C．若是正項(xiàng)等比數(shù)列，則
D．若是正項(xiàng)等比數(shù)列，則
三、填空題
4．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知在數(shù)列中，，數(shù)列的前和為，為等差數(shù)列，，則 ．
四、解答題
5．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知在正項(xiàng)數(shù)列中，，且成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
參考答案：
1．B
【分析】依題意可得，則是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，從而得到，即可求出的通項(xiàng)公式，再由等比數(shù)列求和公式計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)椋矗?br/>又，即，所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
所以，則，
所以.
故選：B
2．B
【分析】由可求得，由可知①正確；令可求得，知②錯(cuò)誤；根據(jù)解析式和可推導(dǎo)得到，知③正確；利用可求得，由此可得，知④錯(cuò)誤.
【詳解】由題意得：，解得：，；
對于①，，①正確；
對于②，令，又，，即至少需要經(jīng)過個(gè)月，②錯(cuò)誤；
對于③，由得：，
，則成等差數(shù)列，③正確；
對于④，由得：，，
成等差數(shù)列，，④錯(cuò)誤.
故選：B.
3．AC
【分析】結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)及前項(xiàng)和公式，逐項(xiàng)判斷即可得.
【詳解】對A：設(shè)的公差為，
則，故A正確；
對B：取，則，故B錯(cuò)誤.
對C：設(shè)的公比為，因?yàn)椋?br/>所以，故C正確；
對D：取，則，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
4．
【分析】由已知可得數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)，可得，結(jié)合，求得，得解.
【詳解】為等差數(shù)列，所以設(shè)，為常數(shù)，
，，當(dāng)時(shí)，，
，則（常數(shù)）.
數(shù)列為等差數(shù)列，
，，
所以，即，即，
則，
，，，
經(jīng)檢驗(yàn)可得，
則，，
，
.
故答案為：.
5．(1)
(2)
【分析】（1）利用等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)可得數(shù)列為等比數(shù)列，從而得解；
（2）分為偶數(shù)和奇數(shù)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【詳解】（1）成等差數(shù)列，
，即，而，
為等比數(shù)列，
又，得.
（2），
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，
，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，
，
.
【解題技巧】
1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想來解決問題.
2.數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.
考點(diǎn)二：等差數(shù)列性質(zhì)
【典例精析】（多選）（2024·黑龍江吉林·二模）已知數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】由題意可得，從而可求出，即可判斷A；再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)及前項(xiàng)和公式即可判斷BCD.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>所以，所以，
又因?yàn)椋裕蔄正確；
，故B錯(cuò)誤；
，故C正確；
因?yàn)椋?br/>所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以，所以，故D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在等差數(shù)列中，求的最小（大）值的方法：
（1）利用通項(xiàng)公式尋求正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)，則從第一項(xiàng)起到分界點(diǎn)該項(xiàng)的各項(xiàng)和最小（大）；
（2）借助二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)求解.
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·山東·二模）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．156 B．252 C．192 D．200
2．（2023·北京西城·三模）已知為無窮等差數(shù)列，則“存在且，使得”是“存在且，使得”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
二、多選題
3．（2023·安徽蕪湖·模擬預(yù)測）下面是關(guān)于公差的等差數(shù)列的四個(gè)命題，其中正確的有（ ）
A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列
C．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列
三、填空題
4．（2023·江西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足：對于任意正整數(shù)，．若使得不等式成立的最小正整數(shù)是2023，則的取值范圍是 ．
四、解答題
5．（2024·山東·二模）已知數(shù)列．求：
(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值．
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列公差，再利用性質(zhì)求出.
【詳解】等差數(shù)列中，，得，則，
設(shè)數(shù)列公差為，而，因此，解得，
則，所以.
故選：B
2．B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)結(jié)合充分、必要條件分析判斷.
【詳解】“存在且，使得”，不能推出“存在且，使得”，
例如，則，即，滿足，
但令，則，故不存在存在且，使得，
故“存在且，使得”是“存在且，使得”的不充分條件；
若“存在且，使得”，則取，
則，
故“存在且，使得”是“存在且，使得”的必要條件；
綜上所述：“存在且，使得”是“存在且，使得”的必要不充分條件.
故選：B.
3．ABD
【分析】由題意寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)公差，逐一寫出四個(gè)選項(xiàng)的通項(xiàng)公式，利用等差數(shù)列的定義以及函數(shù)單調(diào)性加以判斷即可.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，所以，
對于A，由，則，所以，即數(shù)列是等差數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，故A正確；
對于B，由，所以，則，所以數(shù)列是以公差為的等差數(shù)列，故B正確；
對于C，由，可得，當(dāng)時(shí)，數(shù)列不是遞增數(shù)列，故C不正確；
對于D，由，可得，所以，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，故D正確；
故選：ABD
4．
【分析】設(shè)，令得到，通過等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，再根據(jù)列不等式求解即可.
【詳解】設(shè)，
令得，
所以當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，
得．
由題意知，
解得．
故答案為：.
5．(1)；
(2)28
【分析】（1）根據(jù)題目條件得到是以13為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式；
（2）求出通項(xiàng)公式，解不等式，得到數(shù)列從第5項(xiàng)開始小于0，從而得到數(shù)列的前4項(xiàng)和最大，利用求和公式求出答案.
【詳解】（1）由，可知，
所以數(shù)列是以13為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，
所以；
（2）由（1）可知，
令，解得，
令，解得，
即數(shù)列從第5項(xiàng)開始小于0，所以數(shù)列的前4項(xiàng)和最大，
最大值為．
【解題技巧】
1.項(xiàng)的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.
2.和的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，則
(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
(2)S2n－1＝(2n－1)an.
(3)依次k項(xiàng)和成等差數(shù)列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差數(shù)列.
3.求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值，常用的方法：(1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，或者利用性質(zhì)求其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值；(2)利用公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)，A≠0)為二次函數(shù)，通過二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.
考點(diǎn)三：等差數(shù)列前n項(xiàng)和
【典例精析】（多選）（2024·遼寧·二模）設(shè)是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和.且，，則下面結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C．與均為的最大值 D．滿足的n的最小值為14
【答案】BCD
【分析】由可判斷A錯(cuò)誤；由A可得B正確；由，可得C正確；由等差中項(xiàng)和前項(xiàng)和的性質(zhì)可得D正確.
【詳解】A：因?yàn)椋裕?br/>所以，故A錯(cuò)誤；
B：由A的解析可得B正確；
C：因?yàn)椋耘c均為的最大值，故C正確；
D：因?yàn)椋桑?br/>故D正確；
故選：BCD.
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，且，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川南充·三模）設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知、、成等比數(shù)列，，當(dāng)取得最大值時(shí)，（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、多選題
3．（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（ ）
A．為遞減數(shù)列
B．
C．若，，則的取值范圍為
D．
三、填空題
4．（2023·上海青浦·一模）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，記，若，則正整數(shù)的值為 ．
四、解答題
5．（2023·山東威海·一模）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前n項(xiàng)和，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式及求和公式可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和，所以可設(shè)，（等差數(shù)列前項(xiàng)和的二級結(jié)論）
同理因?yàn)闉榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和，所以可設(shè)．
又，所以，即，
整理得，解得．
不妨設(shè)，則，則，故，
故選：D．
2．A
【分析】根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列的公差及首項(xiàng)，再借助通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式求出，進(jìn)而求得答案.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，
由、、成等比數(shù)列，得，解得，
因此，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
所以.
故選：A
3．BD
【分析】由于為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，求出首項(xiàng)和公差，可得、的表達(dá)式，即可判斷B；結(jié)合，判斷A；求出、的表達(dá)式，結(jié)合數(shù)列單調(diào)性，即可判斷C，D.
【詳解】由題意知為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
由，，得，
解得，，則，，
則，B正確，
由，得不為遞減數(shù)列，A錯(cuò)誤，
因?yàn)椋捎冢剩?br/>由于，，故的取值范圍為，C錯(cuò)誤，
由于，故，故D正確，
故選：BD
4．或
【分析】對分，討論求出，代入運(yùn)算可得解.
【詳解】令，則，
當(dāng)時(shí)，
，
，
由，得，化簡整理得，，解得或；
當(dāng)時(shí)，
，
由，得，化簡整理得，解得，
這與矛盾，不合題意；
綜上，符合題意的正整數(shù)或.
故答案為：2或3.
5．(1)
(2)當(dāng)為偶數(shù)時(shí), ; 當(dāng)為奇數(shù)時(shí), ;
【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系可得，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解，
(2)數(shù)列的前項(xiàng)的和分奇偶求和,先求，
又，，，是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，再求奇數(shù)項(xiàng)和即可.
【詳解】（1）由得時(shí)，
兩式相減得,整理得
因?yàn)椋?所以數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列
在中令解得
所以.
（2）當(dāng)時(shí)
，
又，，...，是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，
所以，
故．所以
當(dāng)時(shí)
，
又，，...，是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，
所以，
故．所以
當(dāng)為偶數(shù)時(shí), ; 當(dāng)為奇數(shù)時(shí), ;
【解題技巧】
1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想來解決問題.
2.數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.
考點(diǎn)四：等比數(shù)列通項(xiàng)公式
【典例精析】（多選）（2024·湖北黃岡·二模）數(shù)列滿足：，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A． B．是等比數(shù)列
C． D．
【答案】AC
【分析】利用已知求得，可判斷A；，可得，判斷BC，進(jìn)而求得，判斷D.
【詳解】由，
當(dāng)，解得，故A正確；
當(dāng)，可得，
所以，所以，
即，而，故C正確，B不正確；
因，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·寧夏石嘴山·三模）已知數(shù)列等比數(shù)列，且則的值為（ ）
A． B．2 C．3 D．4
2．（2024·浙江紹興·二模）漢諾塔（Tower of Hanoi），是一個(gè)源于印度古老傳說的益智玩具. 如圖所示，有三根相鄰的標(biāo)號分別為A、B、C的柱子， A柱子從下到上按金字塔狀疊放著個(gè)不同大小的圓盤，要把所有盤子一個(gè)一個(gè)移動(dòng)到柱子B上，并且每次移動(dòng)時(shí)，同一根柱子上都不能出現(xiàn)大盤子在小盤子的上方，請問至少需要移動(dòng)多少次？記至少移動(dòng)次數(shù)為，例如：，，則下列說法正確的是（ ）
A． B．為等差數(shù)列
C．為等比數(shù)列 D．
二、多選題
3．（2024·安徽合肥·二模）已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，則（ ）
A．
B．對任意成等比數(shù)列
C．對任意，都存在，使得成等差數(shù)列
D．若，則數(shù)列遞增的充要條件是
三、填空題
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，給出下列結(jié)論：①；②；③；④存在常數(shù)，使得數(shù)列是等比數(shù)列．其中所有正確結(jié)論的序號為 ．
四、解答題
5．（2024·貴州·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項(xiàng)，，（其中p，m，q成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)；若不存在，請說明理由.
參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算得，從而可得，再利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.
【詳解】由等比中項(xiàng)性質(zhì)可知，
又.
故選：D
2．C
【分析】由題意可得，判斷A；歸納得到，結(jié)合等差數(shù)列以及等比數(shù)列的概念可判斷B，C；求出，判斷D.
【詳解】由題意知若有1個(gè)圓盤，則需移動(dòng)一次：
若有2個(gè)圓盤，則移動(dòng)情況為：，需移動(dòng)3次；
若有3個(gè)圓盤，則移動(dòng)情況如下：
，共7次，故，A錯(cuò)誤；
由此可知若有n個(gè)圓盤，設(shè)至少移動(dòng)次，則,
所以，而，故為等比數(shù)列，
故即，該式不是n的一次函數(shù)，
則不為等差數(shù)列，B錯(cuò)誤；
又，則，，則為等比數(shù)列，C正確，
，D錯(cuò)誤，
故選：C
3．ACD
【分析】對于A：分，兩種情況計(jì)算可判斷A；對于B： 可說明不成立判斷B；，分，兩種情況計(jì)算可判斷C；根據(jù)，若是遞增數(shù)列，可求判斷D.
【詳解】對于A：當(dāng)時(shí)，，，故成立，
當(dāng)時(shí)，，，所以成立，故A正確；
對于B：當(dāng)時(shí)，，所以不成等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；
對于C：當(dāng)時(shí)，，故不成等差數(shù)列，
當(dāng)時(shí)，若存在，使成等差數(shù)列，
則，則，
整理得，所以，所以，
所以對任意，都存在，使得成等差數(shù)列，故C正確；
對于D：，若是遞增數(shù)列，
則可得，因?yàn)椋裕山獾茫?br/>所以若，則數(shù)列遞增的充要條件是，故D正確.
故選：ACD.
4．②③④
【分析】由已知化簡可得，利用作差法判斷數(shù)列為遞減數(shù)列可判斷①，由已知求得，進(jìn)而可得，可判斷②，由可得，進(jìn)而有，化簡可判斷③，化簡可得，進(jìn)而判斷④.
【詳解】對于①：因?yàn)椋裕茫郑?br/>所以，即，故①錯(cuò)誤．
對于②：在中取，得，所以，則，②正確．
對于③：由可得，所以，③正確．
對于④：由得，而，所以數(shù)列是等比數(shù)列，（點(diǎn)撥：等比數(shù)列的概念）④正確．
故答案為：②③④
5．(1)
(2)不存在滿足題意的3項(xiàng)，理由見解析
【分析】（1）利用通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和的關(guān)系求解即可.
（2）先假定存在，分析題意推出矛盾即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由得：，
所以，則，
所以數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列；
當(dāng)時(shí)，，，
.
（2）假設(shè)存在滿足題意的項(xiàng)，
由（1）得：，又，
所以.
因?yàn)椋傻缺葦?shù)列，所以，即，
因?yàn)椋傻炔顢?shù)列，所以，所以，
所以，
整理可得：，又，，
即，
解得：，則，這與題設(shè)矛盾，所以假設(shè)錯(cuò)誤，即不存在滿足題意的3項(xiàng).
【解題技巧】
1.等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解.
考點(diǎn)五：等比數(shù)列性質(zhì)
【典例精析】（多選）（2024·廣東梅州·二模）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，在中依次選取若干項(xiàng)（至少3項(xiàng)），，，，，，使成為一個(gè)等比數(shù)列，則下列說法正確的是（ ）
A．若取，，則
B．滿足題意的也必是一個(gè)等比數(shù)列
C．在的前100項(xiàng)中，的可能項(xiàng)數(shù)最多是6
D．如果把中滿足等比的項(xiàng)一直取下去，總是無窮數(shù)列
【答案】AB
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)判斷A、B、D，利用反例說明C.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列的通項(xiàng)公式為，
對于A，取，，則，，
由于為等比數(shù)列，則，則有，即，故A正確；
對于B，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則，
若為等比數(shù)列，即，，，，，是等比數(shù)列，
則，，，，，，是等比數(shù)列，
故滿足題意的也必是一個(gè)等比數(shù)列，故B正確；
對于C，在的前項(xiàng)中，可以取，，，，，，，
可以使成為一個(gè)等比數(shù)列，此時(shí)為項(xiàng)，故C錯(cuò)誤；
對于D，取，，則，則，
不是數(shù)列的項(xiàng)，
所以把中滿足等比的項(xiàng)一直取下去，不總是無窮數(shù)列，故D錯(cuò)誤．
故選：AB．
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（23-24高二上·江蘇徐州·期末）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為.若對任意的，都有，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列滿足，則有（ ）
A．最小值 B．最大值18 C．最小值27 D．最大值
二、多選題
3．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列，則數(shù)列的公比可能為（ ）
A．1 B． C． D．
三、填空題
4．（2021·江西上饒·一模）已知數(shù)列、均為正項(xiàng)等比數(shù)列，、分別為數(shù)列、的前項(xiàng)積，且，則的值為 .
四、解答題
5．（2023·山東威海·二模）已知2n＋2個(gè)數(shù)排列構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，其中第1個(gè)數(shù)為1，第2n＋2個(gè)數(shù)為8，設(shè)．
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前100項(xiàng)和．
參考答案：
1．A
【分析】由遞推關(guān)系式結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得，再由裂項(xiàng)相消求和可得，利用數(shù)列的函數(shù)特性可得.
【詳解】由可得,
即數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，
可得，即；
所以，
因此
，且當(dāng)x趨近于+∞時(shí)，趨近于，
所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為.
故選：A
2．C
【分析】由數(shù)列是等比數(shù)列，可得，即，方法一：,則利用基本不等式計(jì)算即可，方法二：利用基本不等式計(jì)算即可.
【詳解】方法一：因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，所以，所以，所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號．
方法二 因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，所以，所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．
故選：C．
3．AC
【分析】，，成等差數(shù)列，得，利用前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系，化簡得，化簡得，求解可得.
【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，
因?yàn)椋傻炔顢?shù)列，所以，
則有，即，
所以，又，
兩邊同除以得，，
解得或.
故選：AC.
4．
【解析】推導(dǎo)出數(shù)列、為等差數(shù)列，由此可得出，即可得解.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則（常數(shù)），
所以，數(shù)列為等差數(shù)列，同理可知，數(shù)列也為等差數(shù)列，
因?yàn)椋?br/>同理可得，因此，.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：已知等差數(shù)列、的前項(xiàng)和分別為、，則.
5．(1)證明見詳解
(2)
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)分析可得，再結(jié)合等差數(shù)列的定義分析證明；
（2）根據(jù)兩角差的正切公式整理得，結(jié)合裂項(xiàng)相消法運(yùn)算求解.
【詳解】（1）由題意可得：，且，可得，
所以，可得，
則，
所以數(shù)列是以公差為的等差數(shù)列.
（2）由（1）可得，
則，
整理得，
則
，
所以數(shù)列的前100項(xiàng)和.
【解題技巧】
(1)等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項(xiàng)公式的變形，二是等比中項(xiàng)的變形，三是前n項(xiàng)和公式的變形.根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口.
(2)涉及等比數(shù)列的單調(diào)性與最值的問題，一般要考慮公比與首項(xiàng)的符號對其的影響.
考點(diǎn)六：等比數(shù)列前n項(xiàng)和
【典例精析】（多選）（2024·浙江紹興·二模）已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且，，則（ ）
A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列
C．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則 D．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則
【答案】ACD
【分析】寫出的表達(dá)式，根據(jù)，，得到或，由此即可判斷AB，進(jìn)一步根據(jù)遞增數(shù)列的定義分別與的關(guān)系即可判斷CD.
【詳解】由題意可知，且，，
故有且（否則若，則的符號會(huì)正負(fù)交替，這與，，矛盾），
也就是有或，
無論如何，數(shù)列是遞增數(shù)列，故A正確，B錯(cuò)誤；
對于C，若數(shù)列是遞增數(shù)列，即，由以上分析可知只能，故C正確；
對于D，若數(shù)列是遞增數(shù)列，顯然不可能是，（否則的符號會(huì)正負(fù)交替，這與數(shù)列是遞增數(shù)列，矛盾），
從而只能是，且這時(shí)有，故D正確.
故選：ACD.
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·湖南邵陽·模擬預(yù)測）記為公比小于1的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（ ）
A．6 B．3 C．1 D．
2．（2024·北京海淀·二模）設(shè)是公比為的無窮等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，.則“”是“存在最小值”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
二、多選題
3．（2024·江西贛州·一模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A． B．
C．?dāng)?shù)列為單調(diào)數(shù)列 D．?dāng)?shù)列為單調(diào)數(shù)列
三、填空題
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，為實(shí)數(shù)，則 .
四、解答題
5．（2024·廣西桂林·三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，且數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若都有不等式恒成立，求的取值范圍．
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列片斷和性質(zhì)列式計(jì)算即得.
【詳解】依題意，成等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，設(shè)其公比為，
則，
由，得，整理得，
由等比數(shù)列的公比小于1，得，解得，
所以.
故選：B
2．A
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的判定以及等比數(shù)列前項(xiàng)和公式判斷即可
【詳解】若且公比，則，所以單調(diào)遞增，存在最小值，故充分條件成立.
若且時(shí)，，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，單調(diào)遞減，故最大值為時(shí)，，而,
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，單調(diào)遞增，故最小值為，，
所以的最小值為，
即由，存在最小值得不到公比,故必要性不成立.
故公比“”是“存在最小值”的充分不必要條件.
故選：A
3．BC
【分析】根據(jù)條件得到或，再對各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷，即可求出結(jié)果.
【詳解】設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，
由題有，解得或，
對于選項(xiàng)A，當(dāng)，為奇數(shù)時(shí)，，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，
對于選項(xiàng)B，因?yàn)椋?dāng)，顯然有，當(dāng)時(shí)，
，所以，故選項(xiàng)B正確，
對于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的遞增數(shù)列，
當(dāng)時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的遞減數(shù)列，所以選項(xiàng)C正確，
對于選項(xiàng)D，由選項(xiàng)B知，所以，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不具有單調(diào)性，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，
故選：BC.
4．
【分析】根據(jù)已知和求通項(xiàng)及等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得結(jié)果.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以，，因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，
即，解得或0（舍去），
所以，，公比，所以.
故答案為：.
5．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)運(yùn)算即可求解；
（2）由（1）可得，結(jié)合錯(cuò)位相減求和法計(jì)算可得，將原問題轉(zhuǎn)化為不等式對恒成立，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，得，即，①，
當(dāng)時(shí)，②，
由①-②得，，又也滿足，
所以．
（2）因?yàn)椋?br/>所以，，
兩式相減得，，
即，則，
故．
由，得，即，
依題意，不等式恒成立，
因?yàn)殡S著n增大而減小，
所以，即的取值范圍為．
【解題技巧】
1.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對公比q的分類討論，當(dāng)q＝1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝＝.
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和，若，，則（ ）
A． B． C．15 D．40
2．（2023·全國·高考真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（ ）
A．－1 B． C．0 D．
3．（2023·全國·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
4．（2023·全國·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（ ）．
A．120 B．85 C． D．
5．（2022·全國·高考真題）已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
6．（2022·全國·高考真題）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類推，其中．則（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·全國·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.若，，則（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．（2021·全國·高考真題）等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為，設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
二、多選題
9．（2021·全國·高考真題）設(shè)正整數(shù)，其中，記．則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
10．（2023·全國·高考真題）已知為等比數(shù)列，，，則 .
11．（2022·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則公差 ．
四、解答題
12．（2023·全國·高考真題）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項(xiàng)和．
(1)若，求的通項(xiàng)公式；
(2)若為等差數(shù)列，且，求．
參考答案：
1．C
【分析】根據(jù)題意列出關(guān)于的方程,計(jì)算出,即可求出.
【詳解】由題知,
即,即,即.
由題知,所以.
所以.
故選:C.
2．B
【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項(xiàng)公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個(gè)元素分析、推理作答.
【詳解】依題意，等差數(shù)列中，，
顯然函數(shù)的周期為3，而，即最多3個(gè)不同取值，又，
則在中，或，
于是有，即有，解得，
所以，.
故選：B
3．C
【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結(jié)合數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系推理判斷作答.，
【詳解】方法1，甲：為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，公差為，
則，
因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設(shè)為，
即，則，有，
兩式相減得：，即，對也成立，
因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件，C正確.
方法2，甲：為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，公差為，即，
則，因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數(shù)列，即，
即，，
當(dāng)時(shí)，上兩式相減得：，當(dāng)時(shí)，上式成立，
于是，又為常數(shù)，
因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件.
故選：C
4．C
【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出公比，再根據(jù)的關(guān)系即可解出；
方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)求解．
【詳解】方法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為，
若，則，與題意不符，所以；
若，則，與題意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故選：C．
方法二：設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因?yàn)椋裕駝t，
從而，成等比數(shù)列，
所以有，，解得：或，
當(dāng)時(shí)，，即為，
易知，，即；
當(dāng)時(shí)，，
與矛盾，舍去．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，以及整體思想的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是把握的關(guān)系，從而減少相關(guān)量的求解，簡化運(yùn)算．
5．D
【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，易得，根據(jù)題意求出首項(xiàng)與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)即可得解.
【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，
若，則，與題意矛盾，
所以，
則，解得，
所以.
故選：D.
6．D
【分析】根據(jù)，再利用數(shù)列與的關(guān)系判斷中各項(xiàng)的大小，即可求解.
【詳解】[方法一]:常規(guī)解法
因?yàn)椋?br/>所以，，得到，
同理，可得，
又因?yàn)椋?br/>故，；
以此類推，可得，，故A錯(cuò)誤；
，故B錯(cuò)誤；
，得，故C錯(cuò)誤；
，得，故D正確.
[方法二]：特值法
不妨設(shè)則
故D正確.
7．A
【分析】根據(jù)題目條件可得，，成等比數(shù)列，從而求出，進(jìn)一步求出答案.
【詳解】∵為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，
∴，，成等比數(shù)列
∴，
∴，
∴.
故選：A.
8．B
【分析】當(dāng)時(shí)，通過舉反例說明甲不是乙的充分條件；當(dāng)是遞增數(shù)列時(shí)，必有成立即可說明成立，則甲是乙的必要條件，即可選出答案．
【詳解】由題，當(dāng)數(shù)列為時(shí)，滿足，
但是不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件．
若是遞增數(shù)列，則必有成立，若不成立，則會(huì)出現(xiàn)一正一負(fù)的情況，是矛盾的，則成立，所以甲是乙的必要條件．
故選：B．
【點(diǎn)睛】在不成立的情況下，我們可以通過舉反例說明，但是在成立的情況下，我們必須要給予其證明過程．
9．ACD
【分析】利用的定義可判斷ACD選項(xiàng)的正誤，利用特殊值法可判斷B選項(xiàng)的正誤.
【詳解】對于A選項(xiàng)，，，
所以，，A選項(xiàng)正確；
對于B選項(xiàng)，取，，，
而，則，即，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于C選項(xiàng)，，
所以，，
，
所以，，因此，，C選項(xiàng)正確；
對于D選項(xiàng)，，故，D選項(xiàng)正確.
故選：ACD.
10．
【分析】根據(jù)等比數(shù)列公式對化簡得，聯(lián)立求出，最后得.
【詳解】設(shè)的公比為，則，顯然，
則，即，則，因?yàn)椋瑒t，
則，則，則，
故答案為：.
11．2
【分析】轉(zhuǎn)化條件為，即可得解.
【詳解】由可得，化簡得，
即，解得.
故答案為：2.
12．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程求解即可；
（2）由為等差數(shù)列得出或，再由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，分類討論即可得解.
【詳解】（1），，解得，
，
又，
，
即，解得或（舍去），
.
（2）為等差數(shù)列，
，即，
，即，解得或，
，，
又，由等差數(shù)列性質(zhì)知，，即，
，即，解得或（舍去）
當(dāng)時(shí)，，解得，與矛盾，無解；
當(dāng)時(shí)，，解得.
綜上，.
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）若5個(gè)正數(shù)之和為2，且依次成等差數(shù)列，則公差的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測）折紙是一種用紙張折成各種不同形狀的藝術(shù)活動(dòng)，起源于中國，其歷史可追溯到公元583年，民間傳統(tǒng)折紙是一項(xiàng)利用不同顏色、不同硬度、不同質(zhì)地的紙張進(jìn)行創(chuàng)作的手工藝．其以紙張為主材，剪刀、刻刀、畫筆為輔助工具，經(jīng)多次折疊造型后再以剪、刻、畫手法為輔助手段，創(chuàng)作出或簡練、或復(fù)雜的動(dòng)物、花卉、人物、鳥獸等內(nèi)容的立體幾何造型作品．隨著一代代折紙藝人的傳承和發(fā)展，現(xiàn)代折紙技術(shù)已發(fā)展至一個(gè)前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其復(fù)雜而又栩栩如生的折紙作品是由一張完全未經(jīng)裁剪的正方形紙張所創(chuàng)作出來的，是我們中華民族的傳統(tǒng)文化，歷史悠久，內(nèi)涵博大精深，世代傳承．在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐課上某同學(xué)將一張腰長為l的等腰直角三角形紙對折，每次對折后仍成等腰直角三角形，則對折6次后得到的等腰直角三角形斜邊長為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河北邢臺(tái)·二模）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差不為0，若，，成等比數(shù)列，則的第5項(xiàng)為（ ）
A． B． C．或1 D．或1
4．（2023·四川成都·二模）如果為各項(xiàng)都大于零且不相等的等差數(shù)列，則下列選項(xiàng)一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·河南·三模）已知等比數(shù)列的公比為，若，且成等差數(shù)列，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·江西上饒·二模）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若是等差數(shù)列，，則（ ）
A． B． C．1 D．2
二、多選題
7．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)的積為，且公比，若對于任意正整數(shù)，，則（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全國·模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，則（ ）
A．是等比數(shù)列
B．是遞增的等差數(shù)列
C．當(dāng)時(shí)，的最大值為28
D．，，
三、填空題
9．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的首項(xiàng)，且，記的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，則當(dāng)不等式成立時(shí)，的最大值為 ．
10．（2023·全國·三模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則當(dāng) 時(shí)，最大.
11．（2024·海南省直轄縣級單位·模擬預(yù)測）在數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，首項(xiàng)，且函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則 ．
四、解答題
12．（2022·全國·模擬預(yù)測）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，對都有成立.
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
13．（2022·新疆·一模）在數(shù)列中，，，且.
(1)證明：是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
14．（2022·重慶·一模）學(xué)習(xí)資料：有一正項(xiàng)數(shù)列，若作商，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.這是一種數(shù)列放縮的方法.現(xiàn)有一等差數(shù)列的前項(xiàng)和為的前項(xiàng)和為.
(1)求；
(2)求證：.
參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，結(jié)合正數(shù)列出不等式組，求解即得.
【詳解】設(shè)這5個(gè)數(shù)分別為，依題意，，即，
由各項(xiàng)均為正數(shù)可得，所以.
故選：D
2．A
【分析】由題意知對折后的等腰直角三角形的腰長成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，進(jìn)而求出對折6次后的腰長，即可求解.
【詳解】由題意可知，對折后的等腰直角三角形的腰長成等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，公比為，
故對折6次后，得到腰長為的等腰直角三角形，
所以斜邊長為.
故選：A．
3．B
【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出方程，求得，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)椋傻缺葦?shù)列，
所以，
又，所以，
解得或（舍） ，
所以.
故選：B
4．B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的基本量，通過作差比較大小即可.
【詳解】因?yàn)槿绻麨楦黜?xiàng)都大于零組不相等的等差數(shù)列，
所以，
對于A，B，，
因?yàn)椋裕裕矗叔e(cuò)誤，B正確；
對于C，D，，
因?yàn)椋裕笥?或者小于0不能確定，
所以和
大小關(guān)系無法確定，故錯(cuò)誤，
故選：B.
5．C
【分析】根據(jù)等差數(shù)列定義和等比數(shù)列通項(xiàng)公式可構(gòu)造方程求得結(jié)果.
【詳解】成等差數(shù)列，，又，
，整理可得：，
，解得：（舍）或.
故選：C.
6．D
【分析】首先根據(jù)因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，可得為等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的求和公式及其性質(zhì)即可得解.
【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，
所以可設(shè)，所以，
所以為等差數(shù)列，
，
所以，
所以.
故選：D
7．AD
【分析】根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性即可求解，即可根據(jù)選項(xiàng)逐一求解.
【詳解】根據(jù)題意，在時(shí)取得最小值，所以為單調(diào)遞增數(shù)列，所以，所以A正確，B錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，滿足題意，所以C錯(cuò)誤；
由可得，即，所以，所以D正確．
故選：AD．
8．AD
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式及其性質(zhì)，對于A選項(xiàng)，當(dāng)由為定值即可判斷；對B，，根據(jù)的正負(fù)即可判斷單調(diào)性；對C，，因?yàn)椋约纯傻媒猓粚，由結(jié)合基本不等式即可得解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?br/>所以，又，所以，.
對于A選項(xiàng)，，
所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故A正確.
對于B選項(xiàng)，易知，
則，
所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
又，故是遞減的等差數(shù)列，故B錯(cuò)誤.
對丁C選項(xiàng)，因?yàn)椋?br/>所以；
因?yàn)椋裕?br/>故當(dāng)時(shí)，的最大值為29，故C錯(cuò)誤.
對于D選項(xiàng)，因?yàn)椋?br/>，由基本不等式知，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，故D正確.
故選：AD.
9．19
【分析】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式及等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，結(jié)合不等式成立問題，分類討論思想即可求解．
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為．
由，得，解得，
所以，
則．
由，得，即．
整理得，．
令，解得．
又，所以．
當(dāng)時(shí)，，不等式不成立；
當(dāng)時(shí)，，所以，不等式成立；
當(dāng)時(shí)，，所以，不等式不成立．
故當(dāng)不等式成立時(shí)，的最大值為19．
故答案為：19．
10．7或8
【分析】利用等比數(shù)列性質(zhì)和前n項(xiàng)和公式求基本量，進(jìn)而寫出通項(xiàng)公式，令求n范圍，即可確定答案.
【詳解】由題意，，所以，解得.
又252，解得.
所以.
令得：，又，
所以當(dāng)或8時(shí)，最大.
故答案為：7或8
11．502
【分析】由題意得偶函數(shù)有唯一零點(diǎn)，從而可得，由此構(gòu)造等比數(shù)列，由等比數(shù)列求和公式以及分組求和即可得解.
【詳解】，令，
顯然定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，
結(jié)合已知有偶函數(shù)有唯一零點(diǎn)，
則這個(gè)零點(diǎn)只能是（否則若，則有，這與有唯一零點(diǎn)矛盾），
所以，即，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，
注意到，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，
從而，所以，
所以.
故答案為：502.
12．(1)，
(2)
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出，當(dāng)時(shí)，由求出，設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，由等比數(shù)列的性質(zhì)列方程求出，即可得出答案.
（2）由（1）得，，再由錯(cuò)位相減法求解即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得.
當(dāng)時(shí)，，
又符合上式，∴.
設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，且.
由得，解得或（舍去），
∴.
（2）由（1）得，，
①，
②，
①②得：
∴
13．(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）由遞推關(guān)系得，結(jié)合已知及等比數(shù)列定義即可證結(jié)論.
（2）由（1）得，當(dāng)n為奇數(shù)，應(yīng)用累加法求，當(dāng)n為偶數(shù)，結(jié)合求，即可確定的通項(xiàng)公式.
【詳解】（1）由得：，且，
則，又，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為4的等比數(shù)列.
（2）由（1）知：，又，則，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，·
綜上，·
14．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）設(shè)公差，根據(jù)可得首項(xiàng)和公差，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)公式可得答案；
（2）求出，計(jì)算出，根據(jù)單調(diào)性再計(jì)算出當(dāng)時(shí)，
可得，利用等比數(shù)列求和公式可得答案.
【詳解】（1）設(shè)公差，，
解得，，
.
（2）（隨遞減），
當(dāng)時(shí)，，即（，僅時(shí)相等），
（從開始放縮），
.
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