資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
5.2數列求和及應用
【備考指南】 1
【知識導圖】 2
【考點梳理】 4
考點一：等差、等比公式求和 4
考點二：錯位相減求和 10
考點三：裂項相消求和 16
考點四：分組（并項）求和 23
考點五：倒序相加求和 29
考點六：數列其他求方法求和 36
【真題在線】 42
【專項突破】 52
考點 考情分析 考頻
等差數列模型 2023年新高考Ⅰ卷T7 2023年新高考Ⅰ卷T20 2023年新高考Ⅱ卷T18 2023年全國甲卷T10 2022年新高考Ⅱ卷T3 2021年新高考Ⅱ卷T17 2021年全國乙卷T19 3年7考
等比數列模型 2023年新高考Ⅱ卷T8 2023年全國甲卷T15 2023年全國乙卷T15 2022年全國乙卷T10 2年4考
等差與等比綜合 2022年新高考Ⅱ卷T17
數列分段遞推公式 2021年新高考Ⅰ卷T17
數列并項遞推公式 2023年全國甲卷T17
數列結構不良型模型 2021年全國甲卷T18
數列前n項和與通項關系 2022年全國甲卷T17
數列與不等式綜合 2022年新高考Ⅰ卷T17
數列單調性 2022年全國乙卷T14
預測：數列求和通常出現在解答題的第二問當中，從最近幾年看，數列考察的難度不適中，考察的形式多樣性，靈活性.建議在復習時緊抓數列的基本概念，加強學生的發散性思維的培樣.提升學生的數學素養.
考點一：等差、等比公式求和
【典例精析】（多選）（2024·全國·模擬預測）已知數列中，，當為奇數時，，當為偶數時，，則（ ）
A．數列是遞減數列 B． C． D．
【答案】BD
【分析】根據題意分別得到數列的奇數項與偶數項的性質，進而得到其通項公式，從而判斷ABC，利用等比數列的求和公式與分組求和法判斷D.
【詳解】對于AB：當為奇數時，，則，
則數列的奇數項是以3為首項，為公比的等比數列，
所以當為奇數時，.
當為偶數時，，則，
則數列的偶數項是以2為首項，為公比的等比數列，
所以當為偶數時，，
所以，，易知A錯誤，B正確；
對于C：由以上分析知，
所以，故C錯誤；
對于D，
，故D正確.
故選：BD.
【變式訓練】
一、解答題
1．（2024·山東濱州·二模）已知等差數列的前項和為，且，．
(1)求的通項公式；
(2)保持數列中各項先后順序不變，在與之間插入個3，使它們和原數列的項構成一個新的數列，求的前150項和．
2．（2024·湖北·模擬預測）已知數列的各項均為正整數，設集合，記T的元素個數為．
(1)若數列，且，，求數列和集合T；
(2)若是遞增的等差數列，求證：；
(3)請你判斷是否存在最大值，并說明理由
3．（2024·江蘇南通·二模）設數列的前項和為，若，.
(1)求，，并證明：數列是等差數列；
(2)求.
4．（2024·青海西寧·二模）已知數列的前項和為，且.
(1)求的通項公式；
(2)若數列，求數列的前項和.
5．（2024·全國·模擬預測）已知數列不為常數數列且各項均為正數，數列的前n項和為，，滿足，其中是不為零的常數，．
(1)是否存在使得數列為等差數列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；
(2)若數列是公比為的等比數列，證明：（且）．
參考答案：
1．(1)
(2)490
【分析】（1）根據等差中項可得，即，進而可得，即可得結果；
（2）由題意可知：在數列中對應的項數為，代入k的值分析可知，利用分組求和運算求解.
【詳解】（1）因為為等差數列，則，即，
可得，，
所以.
（2）因為在與之間插入個3，
可知在數列中對應的項數為
，
當時，則，即；
當時，則，即；
由題意可知：，
所以.
2．(1)；
(2)證明見解析；
(3)存在，理由見解析.
【分析】（1）根據新定義列舉出集合的元素即可求；根據題意可知，求出，即可求解；
（2）設公差為d（），則，即可分析得.
（3）利用的定義結合特例可判斷存在最大值.
【詳解】（1）由，且，得，均不相等，
則都是集合T中的元素，而，
于是，解得，
所以數列．
（2）因為為遞增的等差數列，設的公差為，
當時，，則，
所以．
（3）存在最大值，理由如下:
依題意，集合中的元素個數最多為個，即，
取，此時，
若存在，則，其中，
故，若，不妨設，
則，而，
故為偶數，為奇數，矛盾，
即有，，因此由得到的彼此相異，
于是，即的最大值為，所以必有最大值.
【點睛】關鍵點點睛：數列新定義問題，解答的關鍵在于理解題意并根據數列中項的大小及數字特征分析清楚任意兩項的所有可能取值，從而分析得出的值.
3．(1)，，證明見解析；
(2)420.
【分析】（1）直接代入可得，再代入，結合的值求出；再由仿寫出，作差后得到，即可證明結果.
（2）由（1）知數列為等差數列，然后代入等差數列的前項和公式求解即可.
【詳解】（1）當時，由條件得，所以.
當時，由條件得，所以.
因為，所以（），
兩式相減得：，即，
所以，
從而數列為等差數列.
（2）由（1）知，
所以，
所以數列為等差數列，首項為，
所以，
所以.
4．(1)；
(2).
【分析】（1）根據題意可判斷數列是等比數列，結合求出首項，公比得解；
（2）由（1）可得，根據錯位相減法求和得解.
【詳解】（1）因為，
所以，所以數列是公比為的等比數列，
所以，解得，所以.
（2）由（1）知，
所以，
所以，
相減得，，
所以.
5．(1)存在，
(2)證明見解析.
【分析】（1）由與的關系和等差數列的性質求出的值，或由等差數列的通項公式與前n項和公式代入已知條件中求解.
（2）由已知求出數列的通項，得，結合等比數列前n項和公式證明結論.
【詳解】（1）方法一：由題意可知①，
②，
由得．
因為且，所以．
所以③．
若存在使得數列為等差數列，則（k是不為0的常數，），
代入③化簡得到．
由于不為常數數列且各項均為正數，
所以解得
所以．此時，滿足且為等差數列．
方法二：若是公差為d的等差數列，由，
則，
整理得到，
所以
由③可得或．
（i）若，由①②解得；
（ii）若，代入①②解得，與題意不符．
綜合以上可知存在使得為公差等于1的等差數列．
（2）由于是公比為的等比數列，，所以，
又，所以．
令可知，所以．
因為且，所以，所以，
所以，
又因為，
所以．
由于
，
且當時，，
所以，原不等式成立．
考點二：錯位相減求和
【典例精析】（多選）（2024·全國·模擬預測）函數是取整函數，也被稱為高斯函數，其中表示不超過的最大整數，例如：，.若在函數的定義域內，均滿足在區間上，是一個常數，則稱為的取整數列，稱為的區間數列.下列說法正確的是（ ）
A．的區間數列的通項
B．的取整數列的通項
C．的取整數列的通項
D．若，則數列的前項和
【答案】BD
【分析】由在上，得到，可判定A錯誤；根據，可判定B正確；結合， 可判定C錯誤；得到，利用乘公比錯位相減法求和，可判定D正確.
【詳解】對于A中，因為在上，，，所以；
在上，，所以，
在上，，，所以，所以A錯誤；
對于B中，由選項A知，，所以B正確.
對于C中，因為，
所以，所以C錯誤；
對于D中，由選項A知，可得，
則，
所以，
兩式相減，所以D正確.
故選：BD.
【變式訓練】
一、解答題
1．（2024·浙江·二模）歐拉函數的函數值等于所有不超過正整數且與互素的正整數的個數，例如：，，，數列滿足.
(1)求，，，并求數列的通項公式；
(2)記，求數列的前和.
2．（2024·湖南·二模）記為數列的前項和，已知.
(1)證明：數列是等比數列；
(2)求最小的正整數，使得對一切都成立.
3．（2024·浙江寧波·二模）已知等差數列的公差為2，記數列的前項和為且滿足.
(1)證明：數列是等比數列；
(2)求數列的前項和.
4．（2024·全國·模擬預測）已知數列為等差數列，且．
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列滿足，記，求．
5．（2024·河北石家莊·二模）已知數列滿足
(1)寫出;
(2)證明:數列為等比數列;
(3)若，求數列的前項和.
參考答案：
1．(1)，，，
(2)
【分析】（1）根據題意理解可求，，，結合與互素的個數可求數列的通項公式；
（2）求出數列的通項公式，利用錯位相減法求和即可.
【詳解】（1）由題意可知，，，
由題意可知，正偶數與不互素，所有正奇數與互素，比小的正奇數有個，
所以；
（2）由（1）知，所以，
所以 ，
，
所以，①
，②
所以①－②得
，
所以.
2．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）用替換已知，再與已知作差，得到，即可得證；
（2）由（1）可得，利用錯位相減法求出，進而得到結果.
【詳解】（1）由題知，
用替換上式的，得.
兩式作差，，即.
而由，可得.
從而是首項為，公比為的等比數列.
（2）由（1）得，于是，
設，則，
當時，，故，
兩式作差，得.
整理可得.
故，又，因此滿足條件的最小正整數為.
3．(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）根據通項與前項和之間的關系，作差可得，即可利用等比數列的定義求解，
（2）根據錯位相減法求和以及分組求解，結合等差等比數列求和求解.
【詳解】（1）時，，即.
又，也符合，
所以時，，即.
又，所以，
所以，所以數列成等比數列.
（2）由（1）易得.由可得，所以.
所以，
所以.
令，
則，
所以，
所以.
4．(1)
(2)
【分析】（1）根據條件得出數列為等比數列，再根據條件求出，即可求出結果；
（2）根據（1）得到，再利用錯位相減法，即可求出結果.
【詳解】（1）設等差數列的公差為，則，即，則，
則數列為等比數列，設其公比為，由，
得且，解得，所以．
（2）由（1）可得，
所以①，
②，
①②得：
，
所以．
5．(1)，，
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）由數列的遞推式，分別令，2，3，計算可得所求值；
（2）推得，由等比數列的定義，可得證明；
（3）求得，，由數列的錯位相減法求和，結合等比數列的求和公式，可得所求和．
【詳解】（1）由
可得；；；
（2）證明：由題可得，
則數列是首項為1，公比為2的等比數列；
（3）由（2）可得，即，
，
，
前項和，
，
兩式相減可得，
化簡可得．
考點三：裂項相消求和
【典例精析】（多選）（23-24高三下·江西·開學考試）已知數列的前項和為，且，數列與數列的前項和分別為，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】由，化簡得到，得出是以為首項，公比為的等比數列，求得，結合數列的性質，以及數列的求和方法，逐項判定，即可求解.
【詳解】由兩邊同時除以，
可得，所以，，
故數列是以為首項，公比為的等比數列，
所以，即，
對于A中，因為，可得，所以，
即，所以A錯誤；
對于B中，由，
所以，
所以B正確；
對于C中，由，
可得
，所以C正確；
對于D中，由，
當時，顯然成立；
當時，，
所以，所以D正確.
故選：BCD.
【變式訓練】
一、解答題
1．（2024·湖南岳陽·三模）已知等差數列滿足：，且，，成等比數列．
(1)求數列的通項公式；
(2)若等差數列的公差不為零且數列滿足：，求數列的前項和．
2．（2024·全國·模擬預測）已知數列的各項均不小于1，前項和為是公差為1的等差數列．
(1)求數列的通項公式．
(2)求數列的前項和．
3．（2024·河南·二模）在數列中，，對任意正整數，均有.數列滿足：.
(1)求數列和的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
4．（2024·河南周口·模擬預測）已知首項不為1的正項數列，其前n項和為，且點在直線上.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前n項和.
5．（2024·福建三明·三模）已知數列滿足．
(1)求數列的通項公式；
(2)設數列的前n項和為，若不等式對任意的恒成立，求實數t的取值范圍；
(3)記，求證：．
參考答案：
1．(1)或；
(2).
【分析】（1）設數列公差，由條件列出方程，求解后運用等差數列基本量運算即得；
（2）求出數列的通項公式，根據其形式結構進行拆項和裂項，利用分組求和法與裂項求和法即可求得.
【詳解】（1）設數列的公差為，依題意，成等比數列，所以，
解得或，當時，；當時，
所以數列的通項公式為或.
（2）因為等差數列的公差不為零，由（1）知，則
，
所以，
即.
2．(1)；
(2)．
【分析】（1）利用前項和與通項公式之間的關系判定是等差數列，再求通項公式即可.
（2）對需要求和的數列先進行化簡，再利用裂項相消法求和即可.
【詳解】（1）由，得．
因為是公差為1的等差數列，所以．
當時，．兩式相減，得，
所以，又，所以，則，
所以是首項為1，公差為1的等差數列，所以．
（2）由（1）可知，，則，
所以數列的前項和
．
3．(1)，
(2)
【分析】（1）利用累加法求出的通項公式，由可得兩式作差即可得到的通項公式；
（2）由（1）可得，利用裂項相消法計算可得.
【詳解】（1）因為，
當時，，
累加得，即，
經檢驗，滿足，
所以數列的通項公式為，
因為①，
當時，，
當時，②，
①②得，即，
經檢驗，滿足，
所以數列的通項公式為；
（2）由（1）可得
，
所以.
即數列的前項和.
4．(1)
(2)
【分析】（1）由與的關系求得數列為首項為2公差為3的等差數列，然后利用等差數列通項公式求解即可；
（2）先求出，然后利用裂項求和法求解即可.
【詳解】（1）由題意得，所以，
故當時，，兩式相減得，，
整理化簡得，，因為，所以，
因為，解得或（舍去），
故數列為首項為2公差為3的等差數列，所以；
（2）由（1）得，所以，
所以數列的前n項和.
5．(1)
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）當時求出，時，用，即可求解；
（2）由得出，由得，根據對勾函數的單調性及的值，即可求出得范圍；
（3）由（1）得，則，根據放縮法得即可證明．
【詳解】（1）當時，，
當時，，時成立，
所以．
（2）由得，，顯然時，單調遞增，，
由得，，
又，當且僅當時，即時等號成立，
因為，，且，，，
所以當時，，解得，
當時，，解得，
所以．
（3）證明：由（1）得，，
因為
所以
．
考點四：分組（并項）求和
【典例精析】（多選）（22-23高二上·山東泰安·階段練習）已知數列滿足，設數列的前項和為，則下列結論正確的是（ ）
A．數列為等差數列 B．
C．數列的前10項和為30 D．數列的前項和為
【答案】ABC
【分析】先構造數列 ，知其前 項和求通項 ，進而再求出 ，選項A，由定義證明為等差數列；選項 B，利用等差數列前 項和公式求解即可; 選項 C ，兩項并一項，并項為常數列求和; 選項D，分段討論去絕對值后，分組求和，再利用等差數列求和公式即可求出.
【詳解】由題意，
A項，，
設，則，
所以當 時， ，
兩式相減得， ，
當 時， 也適合上式.
則 ，
解得：，
所以 ，
故數列 是以 9 為首項， 6 為公差的等差數列，，
故A正確；
B項，，故B正確；
選項C，數列 的前10項和為：
，故C正確；
選項D,
則前20項和為：
故D錯誤.
故選：ABC.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查構造數列，等差數列的通項公式和前項和，考查并項求和，考查學生的分類討論能力，具有很強的綜合性.
【變式訓練】
一、解答題
1．（2024·山東聊城·二模）已知數列滿足為常數，若為等差數列，且．
(1)求的值及的通項公式；
(2)求的前項和．
2．（2024·湖北黃石·三模）已知等差數列的前項和為，，，等比數列滿足，是，的等比中項.
(1)求數列的通項公式；
(2)設數列滿足，求數列前項的和.
3．（2024·河北邯鄲·二模）已知正項數列的前項和為，，且．
(1)求的通項公式；
(2)若，求數列的前項和．
4．（2024·陜西咸陽·三模）數列滿足，.
(1)求數列通項公式；
(2)設，求數列的前項和.
5．（2024·全國·模擬預測）數列滿足，，且．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前項和．
參考答案：
1．(1)的值為
(2)
【分析】（1）設等差數列的公差為，結合等差數列的性質可得方程組，解出即可得；
（2）由題意可得，借助分組求和法計算即可得解.
【詳解】（1）由題意知，
因為，所以,
設等差數列的公差為，則，
解得，所以，
所以的值為的通項公式為；
（2）由（1）知，，
所以
．
所以的前項和．
2．(1)或
(2)
【分析】（1）根據題意結合等差數列可得，可得，根據等比數列通項公式結合等比中項可得，即可得；
（2）由（1）可知：，利用分組求和結合并項求和分析求解.
【詳解】（1）設等差數列的公差為，
由題意可知：，解得，
所以.
設等比數列的公比為，則，
由題意可知：，則，解得，
所以或.
（2）由（1）可知：，
設前項的和為，前項的和為，
可知，
對任意，
因為，
，
，
，
則
，
所以，
又因為，
，
，
，
則
，
所以，
所以.
3．(1)
(2)
【分析】（1）首先求出，可證明數列為首項為，公差為的等差數列，得到，利用得到的通項公式；
（2）由（1）知，，化簡可得，利用分組求和以及裂項相消即可求出數列的前項和.
【詳解】（1）當時，由，即，解得：，
所以，則數列為首項為，公差為的等差數列；
所以，則，
當時，，
當時，滿足條件，
所以的通項公式為
（2）由（1）知，，
所以，
故，
即
4．(1)；
(2).
【分析】（1）變形給定等式，利用等差數列求出通項即得.
（2）利用（1）的結論，求出，按為奇數和偶數并結合并項求和法分別求和.
【詳解】（1）數列中，，，顯然，則，
數列是首項為1，公差為1的等差數列，，
所以數列通項公式是.
（2）由（1）知，，
當時，，，
當時，，
所以.
5．(1)
(2)
【分析】（1）根據裂項求和即可求解，
（2）根據并項求和即可求解.
【詳解】（1）由題意可知，數列是等差數列，設數列的公差為．
可轉化為，
即，
即，，即，
，．
（2）由題可得，
，
當為偶數時，；
當為奇數時，．
綜上所述,
考點五：倒序相加求和
【典例精析】（多選）（2024·全國·模擬預測）已知函數是偶函數，是奇函數，且滿足，則下列結論正確的是（ ）
A．是周期函數 B．的圖象關于點中心對稱
C． D．是偶函數
【答案】AD
【分析】先根據函數，的奇偶性及，結合賦值法得到函數是周期為2的周期函數，即可得到是周期函數，進而判斷選項A；由即可得到的圖象的對稱中心，進而判斷選項B；利用倒序相加法及即可判斷選項C；對兩邊同時求導即可判斷選項D．
【詳解】選項A：在中取為，得，
所以，取為，得，
因為函數是偶函數，所以，
取為，得，所以，
所以函數是周期為2的周期函數，所以也是周期函數，所以A正確；
選項B：由得的圖象關于點中心對稱，所以B錯誤；
選項C：設，
則，
兩式相加，得
2022，
所以，即，所以C錯誤；
選項D：對于，兩邊同時對求導得，所以是偶函數，所以D正確
故選：AD
【變式訓練】
一、解答題
1．（2024·天津·二模）已知為等差數列，是公比為2的等比數列．，且．
(1)求數列和的通項公式；
(2)若
①當為奇數，求；
②求．
2．（2024·安徽池州·模擬預測）定義：若對恒成立，則稱數列為“上凸數列”．
(1)若，判斷是否為“上凸數列”，如果是，給出證明；如果不是，請說明理由．
(2)若為“上凸數列”，則當時，．
（ⅰ）若數列為的前項和，證明：；
（ⅱ）對于任意正整數序列（為常數且），若恒成立，求的最小值．
3．（2016·遼寧沈陽·三模）已知函數.
(1)求證：圖象關于點中心對稱；
(2)定義，其中且，求；
(3)對于（2）中的，求證：對于任意都有.
4．（22-23高三上·廣東廣州·階段練習）已知函數滿足，若數列滿足：.
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列滿足，（），數列的前n項和為，若對一切恒成立，求實數的取值范圍.
參考答案：
1．(1)
(2)① ；②
【分析】（1）利用等差等比數列的通項公式列方程求解；
（2）①利用條件直接求解；②求出當為偶數時，然后利用倒序相加以及錯位相減法求和即可.
【詳解】（1）設數列的公差為的公比為，
由已知可得，得，
；
（2）①為奇數，為偶數．

；
②當為偶數，為奇數，
令，
，
即，
，
所以
所以
所以
所以.
2．(1)是，證明見解析
(2)（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）
【分析】（1）構造函數，利用導數研究其單調性結合“上凸數列”定義判定即可；
（2）（ⅰ）利用“上凸數列”定義及倒序相加法證明即可；令，利用條件及數列求和適當放縮計算即可.
【詳解】（1）是“上凸數列”，理由如下：
因為，
令，
則．
當時，，
所以，
所以在區間上單調遞減，
所以，
所以，
所以是“上凸數列”．
（2）（ⅰ）證明：因為是“上凸數列”，由題意可得對任意，
，
所以，
所以．
（ⅱ）解：令，
由（1）可得當時，是“上凸數列”，
由題意可知，當時，．
因為，
即
．
所以
，
當且僅當時等號成立，
所以．
綜上所述，的最小值為．
3．(1)證明見解析
(2)且
(3)證明見解析
【分析】（1）證明：，即可證明圖象關于點中心對稱；
（2）利用倒序相加法，求；
（3）等價于，構造函數，利用函數的單調性即可證明.
【詳解】（1）證明：當時，，
又，所以圖象關于點中心對稱.
（2）由（1）知
則
∵…①
∴…②
①+②，得，∴且.
（3）證明：當時，由（2）知
于是等價于
令，則
∴當時，，即函數在上單調遞增，又
于是，當時，恒有，即恒成立
故當時，有成立
取，則有成立
所以，對于任意都有.
4．(1)，；
(2)
【分析】（1）由，運用倒序相加求和，可得所求通項公式；
（2）由（1）可得的通項公式，由數列的裂項相消求和可得，再由參數分離和配方法求得最值，即可得到所求的取值范圍.
【詳解】（1）因為,
由①,
則②,
所以可得：，
故，.
（2）由（1）知，，則時，，
所以

.
又由對一切恒成立,可得恒成立,
即有對一切恒成立.
當時,取得最大值，所以；
故實數的取值范圍是.
考點六：數列其他求方法求和
【典例精析】（多選）（2024·吉林延邊·一模）與大家熟悉的黃金分割相類似的還有一個白銀分割，比如A4紙中就包含著白銀分割率．若一個數列從0和1開始，以后每一個數都是前面的數的兩倍加上再前面的數：0，1，2，5，12，29，70，169，408，985，2378，…，則隨著n趨于無窮大，其前一項與后一項的比值越來越接近白銀分割率．記該數列為，其前n項和為，則下列結論正確的是（ ）
A．（） B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】
根據定義即可判定正確，根據，即可求出，利用，求出，從而得到，令，則，利用不動點法求出數列的通項公式，從而判定D.
【詳解】由于一個數列從0和1開始，以后每一個數都是前面的數的兩倍加上再前面的數，則，故A正確；，
對于B，由于，可得，
所以，
由于，所以，故B正確；
對于C，由于，可得，
所以，
由于，則，所以，
則，故C正確；
對于D，由于，則，即，
令，則，，
求不動點，設，令，解得：，，
所以，化簡得：①
，化簡得：②，
則，
且，則數列是第二項為，公比為的等比數列，則，
所以，由于，所以，故D不正確；
故選：ABC
【變式訓練】
一、解答題
1．（2024·江蘇·模擬預測）已知等差數列和等差數列的前項和分別為，，，.
(1)求數列和數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
2．（2024·重慶·一模）已知首項為正數的等差數列的公差為2，前項和為，滿足．
(1)求數列的通項公式；
(2)令，求數列的前項和．
3．（2023·江蘇蘇州·模擬預測）記正項數列的前項和為，已知，且，，成等比數列.
(1)求數列的通項公式；
(2)求證：.
4．（2023·山東·一模）已知正項數列的前項和為，且，．
(1)求；
(2)在數列的每相鄰兩項、之間依次插入、、、，得到數列、、、、、、、、、、，求的前項和．
5．（2023·湖南長沙·模擬預測）若數列滿足，則稱數列為“平方遞推數列”．已知數列中，，點在函數的圖象上，其中n為正整數，
(1)證明：數列是“平方遞推數列”，且數列為等比數列；
(2)設，定義，且記，求數列的前n項和．
參考答案：
1．(1)，
(2)
【分析】（1）利用等差數列前項和的性質，結合，即可求得；
（2）由，把表達式求出后，可直接求和.
【詳解】（1），
設，則，又，
所以，.
（2）
.
2．(1)
(2)當為偶數時，，當為奇數時，.
【分析】（1）根據等差數列前和公式即可求出，則得到其通項公式；
（2）分為奇數和偶數討論并結合裂項求和即可.
【詳解】（1）由題意得是公差為2的等差數列，且，
即，又因為，所以，
所以數列的通項公式.
（2）由（1）知，
當為偶數時，，
當為奇數時，，
經檢驗，時，滿足，
綜上，當為偶數時，，
當為奇數時，.
3．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）利用，，成等比數列解得、，再利用得，兩邊同除以可得數列是等比數列，從而得出數列的通項公式；
（2）利用即可得答案.
【詳解】（1）當時，；當時，.
因為，，成等比數列，所以，
所以，解得或（舍），所以，
因為①，所以當時，②.
①②得，化簡得（也成立），
兩邊同除以得，所以，
所以數列是以為首項，為公比的等比數列，
所以，即數列的通項公式為；
（2）因為，所以，當且僅當時取等號，
即，整理得，，
所以，故.
4．(1)，．
(2)
【分析】（1）當時，利用累加法可求得的表達式，結合可得出的表達式，再檢驗的情形，綜合可得出的通項公式；
（2）由求出數列的通項公式，列舉出數列的前項，即可求得的值.
【詳解】（1）解：對任意的，因為，
當時，
，
因為，所以，故．
當時，適合，
所以，．
（2）解：因為，，
所以當時，，
所以，，
所以，數列的前項分別為：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，
所以的前項是由個與個組成．所以．
5．(1)證明見解析
(2)
【分析】
(1)根據“平方遞推數列”的定義和等比數列的定義進行證明
(2)由的新定義和，可得出表達式，再分段求前n項和即可.
【詳解】（1）
點在函數的圖象上，，
是“平方遞推數列”．
因為，
對兩邊同時取對數得，
∴數列是以1為首項，2為公比的等比數列．
（2）
由（1）知，
由數列的通項公式得，
當時，；當時，．
又由，得
當且時，；
當且時，
，
綜上，
一、解答題
1．（2023·全國·高考真題）設為數列的前n項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和．
2．（2023·全國·高考真題）已知為等差數列，，記，分別為數列，的前n項和，，．
(1)求的通項公式；
(2)證明：當時，．
3．（2023·天津·高考真題）已知是等差數列，．
(1)求的通項公式和．
(2)設是等比數列，且對任意的，當時，則，
（Ⅰ）當時，求證：；
（Ⅱ）求的通項公式及前項和．
4．（2021·天津·高考真題）已知是公差為2的等差數列，其前8項和為64．是公比大于0的等比數列，．
（I）求和的通項公式；
（II）記，
（i）證明是等比數列；
（ii）證明
5．（2021·全國·高考真題）設是首項為1的等比數列，數列滿足．已知，，成等差數列．
（1）求和的通項公式；
（2）記和分別為和的前n項和．證明：．
6．（2021·全國·高考真題）已知數列滿足，
（1）記，寫出，，并求數列的通項公式；
（2）求的前20項和.
參考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）根據即可求出；
（2）根據錯位相減法即可解出．
【詳解】（1）因為，
當時，，即；
當時，，即，
當時，，所以，
化簡得：，當時，，即，
當時都滿足上式，所以．
（2）因為，所以，
，
兩式相減得，
，
，即，．
2．(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）設等差數列的公差為，用表示及，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的結論求出，，再分奇偶結合分組求和法求出，并與作差比較作答；方法2，利用（1）的結論求出，，再分奇偶借助等差數列前n項和公式求出，并與作差比較作答.
【詳解】（1）設等差數列的公差為，而，
則，
于是，解得，，
所以數列的通項公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
當為偶數時，，
，
當時，，因此，
當為奇數時，，
當時，，因此，
所以當時，.
方法2：由（1）知，，，
當為偶數時，，
當時，，因此，
當為奇數時，若，則
，顯然滿足上式，因此當為奇數時，，
當時，，因此，
所以當時，.
3．(1)，；
(2)(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)，前項和為.
【分析】(1)由題意得到關于首項、公差的方程，解方程可得，據此可求得數列的通項公式，然后確定所給的求和公式里面的首項和項數，結合等差數列前項和公式計算可得.
(2)(Ⅰ)利用題中的結論分別考查不等式兩側的情況，當時，，
取，當時，，取，即可證得題中的不等式；
(Ⅱ)結合(Ⅰ)中的結論，利用極限思想確定數列的公比，進而可得數列的通項公式，最后由等比數列前項和公式即可計算其前項和.
【詳解】（1）由題意可得，解得，
則數列的通項公式為，
求和得
.
（2）(Ⅰ)由題意可知，當時，，
取，則，即，
當時，，
取，此時，
據此可得，
綜上可得：.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，
則數列的公比滿足，
當時，，所以，
所以，即，
當時，，所以，
所以數列的通項公式為，
其前項和為：.
【點睛】本題的核心在考查數列中基本量的計算和數列中的遞推關系式，求解數列通項公式和前項和的核心是確定數列的基本量，第二問涉及到遞推關系式的靈活應用，先猜后證是數學中常用的方法之一，它對學生探索新知識很有裨益.
4．（I），；（II）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.
【分析】（I）由等差數列的求和公式運算可得的通項，由等比數列的通項公式運算可得的通項公式；
（II）（i）運算可得，結合等比數列的定義即可得證；
（ii）放縮得，進而可得，結合錯位相減法即可得證.
【詳解】（I）因為是公差為2的等差數列，其前8項和為64．
所以，所以，
所以；
設等比數列的公比為，
所以，解得（負值舍去），
所以；
（II）（i）由題意，，
所以，
所以，且，
所以數列是等比數列；
（ii）由題意知，，
所以，
所以，
設，
則，
兩式相減得，
所以，
所以.
【點睛】關鍵點點睛：
最后一問考查數列不等式的證明，因為無法直接求解，應先放縮去除根號，再由錯位相減法即可得證.
5．（1），；（2）證明見解析.
【分析】（1）利用等差數列的性質及得到，解方程即可；
（2）利用公式法、錯位相減法分別求出，再作差比較即可.
【詳解】（1）因為是首項為1的等比數列且，，成等差數列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用錯位相減法求和
，
，
．
設， ⑧
則． ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最優解】：公式法和錯位相減求和法
證明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以.
[方法三]：構造裂項法
由（Ⅰ）知，令，且，即，
通過等式左右兩邊系數比對易得，所以．
則，下同方法二．
[方法四]：導函數法
設，
由于，
則．
又，
所以
，下同方法二．
【整體點評】本題主要考查數列的求和，涉及到等差數列的性質，錯位相減法求數列的和，考查學生的數學運算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時采用作差法，或者作商法要根據式子得結構類型靈活選擇，關鍵是要看如何消項化簡的更為簡潔.
（2）的方法一直接作差后利用錯位相減法求其部分和，進而證得結論；
方法二根據數列的不同特點，分別利用公式法和錯位相減法求得,然后證得結論,為最優解；
方法三采用構造數列裂項求和的方法，關鍵是構造，使，求得的表達式，這是錯位相減法的一種替代方法，
方法四利用導數方法求和，也是代替錯位相減求和法的一種方法.
6．（1）；（2）.
【分析】(1)方法一：由題意結合遞推關系式確定數列的特征，然后求和其通項公式即可；
(2)方法二：分組求和，結合等差數列前項和公式即可求得數列的前20項和.
【詳解】解：（1）[方法一]【最優解】：
顯然為偶數，則，
所以，即，且，
所以是以2為首項，3為公差的等差數列，
于是．
[方法二]：奇偶分類討論
由題意知，所以．
由（為奇數）及（為偶數）可知，
數列從第一項起，
若為奇數，則其后一項減去該項的差為1，
若為偶數，則其后一項減去該項的差為2．
所以，則．
[方法三]：累加法
由題意知數列滿足．
所以，
，
則．
所以，數列的通項公式．
（2）[方法一]：奇偶分類討論
．
[方法二]：分組求和
由題意知數列滿足，
所以．
所以數列的奇數項是以1為首項，3為公差的等差數列；
同理，由知數列的偶數項是以2為首項，3為公差的等差數列．
從而數列的前20項和為：
．
【整體點評】(1)方法一：由題意討論的性質為最一般的思路和最優的解法；
方法二：利用遞推關系式分類討論奇偶兩種情況，然后利用遞推關系式確定數列的性質；
方法三：寫出數列的通項公式，然后累加求數列的通項公式，是一種更加靈活的思路.
(2)方法一：由通項公式分奇偶的情況求解前項和是一種常規的方法；
方法二：分組求和是常見的數列求和的一種方法，結合等差數列前項和公式和分組的方法進行求和是一種不錯的選擇.
一、單選題
1．（2005·重慶·高考真題）有一塔形幾何體由若干個正方體構成，構成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點，已知最底層正方體的棱長為2，且該塔形的表面積（含最底層正方體的底面面積）超過39，則該塔形中正方體的個數至少是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2023·全國·高考真題）記為等差數列的前項和．若，則（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
3．（23-24高三上·云南曲靖·階段練習）已知數列是公比為q（）的正項等比數列，且，若，則（ ）
A．4069 B．2023
C．2024 D．4046
4．（2024·全國·模擬預測）已知是數列的前項和，，，不等式對任意的恒成立，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·山西晉中·模擬預測）已知正項數列的前項和為，若，且恒成立，則實數的最小值為（ ）
A． B． C． D．3
6．（2024·江蘇南京·二模）我們把各項均為0或1的數列稱為數列，數列在計算機科學和信息技術領域有著廣泛的應用．把佩爾數列（，，，）中的奇數換成0，偶數換成1，得到數列．記的前n項和為，則（ ）
A．16 B．12 C．10 D．8
二、多選題
7．（2023·山西晉中·二模）對于三次函數，給出定義：設是函數的導數，是函數的導數，若方程有實數解，則稱為函數的“拐點”．某同學經過探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．若函數，則（ ）
A．一定有兩個極值點
B．函數在R上單調遞增
C．過點可以作曲線的2條切線
D．當時，
8．（2024·全國·模擬預測）已知，，數列和的公共項由小到大排列組成數列，則（ ）
A．
B．為等比數列
C．數列的前項和
D．、、不是任一等差數列的三項
三、填空題
9．（2024·江西宜春·模擬預測）已知數列是等差數列，，記，分別為，的前項和，若，，則 ．
10．（2024·全國·模擬預測）已知數列滿足，，，數列，滿足，則數列的前2024項的和為 ．
11．（2023·上海寶山·一模）已知函數，正項等比數列滿足，則
四、解答題
12．（2024·全國·模擬預測）已知數列的前項和為，，．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和．
13．（2024·福建福州·模擬預測）已知數列滿足，（）．
(1)求數列的通項公式；
(2)記數列的前項和為，證明：．
14．（2024·天津紅橋·二模）已知是等差數列，是公比為正數的等比數列，且，，，．
(1)求數列{，的通項公式；
(2)設，
（ⅰ）求；
（ⅱ）求．
參考答案：
1．C
【分析】設從最底層開始的第層的正方體棱長為，則為等比數列，由此求出塔形表面積的表達式，令即可得出的范圍．
【詳解】設從最底層開始的第層的正方體棱長為，
則為以2為首頂，以為公比的等比數列，
是以4為首項，以為公比的等比數列．
塔形的表面積，
令，解得，
該塔形中正方體的個數至少為6個．
故選：C．
2．C
【分析】方法一：根據題意直接求出等差數列的公差和首項，再根據前項和公式即可解出；
方法二：根據等差數列的性質求出等差數列的公差，再根據前項和公式的性質即可解出．
【詳解】方法一：設等差數列的公差為，首項為，依題意可得，
，即,
又，解得：，
所以．
故選：C.
方法二：，，所以，，
從而，于是，
所以．
故選：C.
3．D
【分析】由等比數列的性質可得，由，可得，故有，即可計算.
【詳解】由數列是公比為q（）的正項等比數列，故，
，故，
即有，
由，則當時，
有，
故，
故，
故.
故選：D.
4．A
【分析】根據題意，由條件可得數列是等差數列，再由錯位相減法可得，代入計算，分離參數，結合基本不等式即可得到結果.
【詳解】，，又，
數列是首項為1、公差為1的等差數列，
，，
①，
②，
①②得，，
，不等式，
即，
故對任意的恒成立．
又，當且僅當，即時等號成立，
，
故選：A．
5．B
【分析】由已知等式交叉相乘后得到，仿寫作差后得到，進而得到，然后利用裂項相消法求出不等式左邊的最大值即可.
【詳解】因為，
所以，即，
即，則，
與上式作差后可得，
因為正項數列，所以，
所以，
因為，，
所以
，
所以實數的最小值為，
故選：B.
6．C
【分析】根據題意求得數列的前8項，通過觀察找到規律，即可求解.
【詳解】因為，，，，
所以，
，
，
，
，
，…，
可以看出數列的前20項為，
故.
故選：C.
7．BCD
【分析】對求導，得出，沒有極值點，可判斷A，B；由導數的幾何意義求過點的切線方程條數可判斷C；求出三次函數的對稱中心，由于函數的對稱中心為，可得，由倒序相加法求出所給的式子的值，可判斷D.
【詳解】由題意知，，恒成立，
所以在R上單調遞增，沒有極值點，A錯誤，B正確；
設切點為，則，
切線方程為，
代入點得，
即，解得或，
所以切線方程為或，C正確；
易知，令，則．
當時，，，所以點是的對稱中心，
所以有，即．
令，
又，
所以，
所以，D正確．
故選：BCD.
8．BCD
【分析】分別求出數列和的幾項找出公共項判斷A；根據等差數列的定義可判斷B；通過錯位相減求和并判斷的單調性可判斷C；利用等差數列的通項可判斷D
【詳解】設的第n項與的第m項相等，即，
當時，，
當時，，
當時，，故A錯；
令，即，
，不是中的項，即不是的項，
，是中的項，即不是的項，
所以，則，即為等比數列，故B對；
由，
得，
兩式相減得，
所以，且，所以單調遞增，所以，故C對；
設、、是等差數列的第i、j、p項，的首項為，公差為d，
，
因為是有理數，是無理數
所以原假設不成立，即、、不是任一等差數列的三項
故選：BCD
9．
【分析】根據已知條件得到關于、的二元一次方程組，解方程組，求出、，即可求出數列的通項公式，，由此可得數列的通項公式，分組求和即可求解.
【詳解】設等差數列的公差為．由，得①，
由得②，
聯立①②，，解得，
所以．
則，
所以
．
故答案為：
10．1
【分析】利用數列的遞推公式求出數列的項，再利用特殊角的三角函數值及數列的周期性，結合數列的求和公式即可求解.
【詳解】因為，，
所以
…，
所以數列的各項依次為3，1，，，，2，3，1，，，，2，…，其周期為6．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
…，
所以數列是周期為12的周期數列，前12項依次為3，0，2，0，，0，，0，，0，1，0，
其前項12的和為．
又，
所以數列的前2024項的和為等于前8項的和．
故答案為：.
11．
【分析】利用倒序相加法，結合函數的對稱性以及等比數列的性質即可求得正確答案.
【詳解】函數，可看成向左平移1個單位，向上平移1個單位得到,
因為的對稱中心為，所以的對稱中心為，
所以，
因為正項等比數列滿足，所以，
所以，
所以，
①，
②，
則①②相加得：
即，
所以.
故答案為：.
12．(1)
(2)
【分析】（1）根據題意可知數列是首項為2，公比為3的等比數列，可得，結合與之間的關系分析求解；
（2）由（1）可得數列的通項公式，分和兩種情況，利用錯位相減法運算求解.
【詳解】（1）因為，則，
可得，
且，可知數列是首項為2，公比為3的等比數列，
所以．
當時，，
而不滿足上式，所以．
（2）由（1）及可知．
當時，；
當時，，
．
兩式相減得
，
所以；
且滿足該式，所以．
13．(1)，；
(2)證明見解析.
【分析】（1）根據給定條件，利用累加法，結合等差數列前項和公式求解即得.
（2）利用裂項相消法求和即可得證.
【詳解】（1）數列中，當時，，即，
則
，而滿足上式，
所以數列的通項公式是，．
（2）由（1）知，，則，
因此
，而，則，
所以．
14．(1)；
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【分析】（1）利用遞推公式，等差數列，等比數列的性質解方程即可求出、、，再由基本量法寫出通項即可；
（2）（ⅰ）先化簡可得由累乘法求出即可；（ⅱ）先裂項化簡可得，再用分組求和即可.
【詳解】（1）設的首項為，公差為，的公比為，
因為，，
所以，
解得或（舍），
所以，即，
所以，
又，，即，
解得，
所以，即
（2）（ⅰ）因為，則，
則；
（ⅱ）因為，
所以.
【點睛】關鍵點點睛：本題第二問對于分式形式的數列求出可采用裂項相消法.
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5.2數列求和及應用
【備考指南】 1
【知識導圖】 2
【考點梳理】 4
考點一：等差、等比公式求和 4
考點二：錯位相減求和 5
考點三：裂項相消求和 6
考點四：分組（并項）求和 7
考點五：倒序相加求和 8
考點六：數列其他求方法求和 9
【真題在線】 11
【專項突破】 12
考點 考情分析 考頻
等差數列模型 2023年新高考Ⅰ卷T7 2023年新高考Ⅰ卷T20 2023年新高考Ⅱ卷T18 2023年全國甲卷T10 2022年新高考Ⅱ卷T3 2021年新高考Ⅱ卷T17 2021年全國乙卷T19 3年7考
等比數列模型 2023年新高考Ⅱ卷T8 2023年全國甲卷T15 2023年全國乙卷T15 2022年全國乙卷T10 2年4考
等差與等比綜合 2022年新高考Ⅱ卷T17
數列分段遞推公式 2021年新高考Ⅰ卷T17
數列并項遞推公式 2023年全國甲卷T17
數列結構不良型模型 2021年全國甲卷T18
數列前n項和與通項關系 2022年全國甲卷T17
數列與不等式綜合 2022年新高考Ⅰ卷T17
數列單調性 2022年全國乙卷T14
預測：數列求和通常出現在解答題的第二問當中，從最近幾年看，數列考察的難度不適中，考察的形式多樣性，靈活性.建議在復習時緊抓數列的基本概念，加強學生的發散性思維的培樣.提升學生的數學素養.
考點一：等差、等比公式求和
【典例精析】（多選）（2024·全國·模擬預測）已知數列中，，當為奇數時，，當為偶數時，，則（ ）
A．數列是遞減數列 B． C． D．
【變式訓練】
一、解答題
1．（2024·山東濱州·二模）已知等差數列的前項和為，且，．
(1)求的通項公式；
(2)保持數列中各項先后順序不變，在與之間插入個3，使它們和原數列的項構成一個新的數列，求的前150項和．
2．（2024·湖北·模擬預測）已知數列的各項均為正整數，設集合，記T的元素個數為．
(1)若數列，且，，求數列和集合T；
(2)若是遞增的等差數列，求證：；
(3)請你判斷是否存在最大值，并說明理由
3．（2024·江蘇南通·二模）設數列的前項和為，若，.
(1)求，，并證明：數列是等差數列；
(2)求.
4．（2024·青海西寧·二模）已知數列的前項和為，且.
(1)求的通項公式；
(2)若數列，求數列的前項和.
5．（2024·全國·模擬預測）已知數列不為常數數列且各項均為正數，數列的前n項和為，，滿足，其中是不為零的常數，．
(1)是否存在使得數列為等差數列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；
(2)若數列是公比為的等比數列，證明：（且）．
考點二：錯位相減求和
【典例精析】（多選）（2024·全國·模擬預測）函數是取整函數，也被稱為高斯函數，其中表示不超過的最大整數，例如：，.若在函數的定義域內，均滿足在區間上，是一個常數，則稱為的取整數列，稱為的區間數列.下列說法正確的是（ ）
A．的區間數列的通項
B．的取整數列的通項
C．的取整數列的通項
D．若，則數列的前項和
【變式訓練】
一、解答題
1．（2024·浙江·二模）歐拉函數的函數值等于所有不超過正整數且與互素的正整數的個數，例如：，，，數列滿足.
(1)求，，，并求數列的通項公式；
(2)記，求數列的前和.
2．（2024·湖南·二模）記為數列的前項和，已知.
(1)證明：數列是等比數列；
(2)求最小的正整數，使得對一切都成立.
3．（2024·浙江寧波·二模）已知等差數列的公差為2，記數列的前項和為且滿足.
(1)證明：數列是等比數列；
(2)求數列的前項和.
4．（2024·全國·模擬預測）已知數列為等差數列，且．
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列滿足，記，求．
5．（2024·河北石家莊·二模）已知數列滿足
(1)寫出;
(2)證明:數列為等比數列;
(3)若，求數列的前項和.
考點三：裂項相消求和
【典例精析】（多選）（23-24高三下·江西·開學考試）已知數列的前項和為，且，數列與數列的前項和分別為，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練】
一、解答題
1．（2024·湖南岳陽·三模）已知等差數列滿足：，且，，成等比數列．
(1)求數列的通項公式；
(2)若等差數列的公差不為零且數列滿足：，求數列的前項和．
2．（2024·全國·模擬預測）已知數列的各項均不小于1，前項和為是公差為1的等差數列．
(1)求數列的通項公式．
(2)求數列的前項和．
3．（2024·河南·二模）在數列中，，對任意正整數，均有.數列滿足：.
(1)求數列和的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
4．（2024·河南周口·模擬預測）已知首項不為1的正項數列，其前n項和為，且點在直線上.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前n項和.
5．（2024·福建三明·三模）已知數列滿足．
(1)求數列的通項公式；
(2)設數列的前n項和為，若不等式對任意的恒成立，求實數t的取值范圍；
(3)記，求證：．
考點四：分組（并項）求和
【典例精析】（多選）（22-23高二上·山東泰安·階段練習）已知數列滿足，設數列的前項和為，則下列結論正確的是（ ）
A．數列為等差數列 B．
C．數列的前10項和為30 D．數列的前項和為
【變式訓練】
一、解答題
1．（2024·山東聊城·二模）已知數列滿足為常數，若為等差數列，且．
(1)求的值及的通項公式；
(2)求的前項和．
2．（2024·湖北黃石·三模）已知等差數列的前項和為，，，等比數列滿足，是，的等比中項.
(1)求數列的通項公式；
(2)設數列滿足，求數列前項的和.
3．（2024·河北邯鄲·二模）已知正項數列的前項和為，，且．
(1)求的通項公式；
(2)若，求數列的前項和．
4．（2024·陜西咸陽·三模）數列滿足，.
(1)求數列通項公式；
(2)設，求數列的前項和.
5．（2024·全國·模擬預測）數列滿足，，且．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前項和．
考點五：倒序相加求和
【典例精析】（多選）（2024·全國·模擬預測）已知函數是偶函數，是奇函數，且滿足，則下列結論正確的是（ ）
A．是周期函數 B．的圖象關于點中心對稱
C． D．是偶函數
【變式訓練】
一、解答題
1．（2024·天津·二模）已知為等差數列，是公比為2的等比數列．，且．
(1)求數列和的通項公式；
(2)若
①當為奇數，求；
②求．
2．（2024·安徽池州·模擬預測）定義：若對恒成立，則稱數列為“上凸數列”．
(1)若，判斷是否為“上凸數列”，如果是，給出證明；如果不是，請說明理由．
(2)若為“上凸數列”，則當時，．
（ⅰ）若數列為的前項和，證明：；
（ⅱ）對于任意正整數序列（為常數且），若恒成立，求的最小值．
3．（2016·遼寧沈陽·三模）已知函數.
(1)求證：圖象關于點中心對稱；
(2)定義，其中且，求；
(3)對于（2）中的，求證：對于任意都有.
4．（22-23高三上·廣東廣州·階段練習）已知函數滿足，若數列滿足：.
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列滿足，（），數列的前n項和為，若對一切恒成立，求實數的取值范圍.
考點六：數列其他求方法求和
【典例精析】（多選）（2024·吉林延邊·一模）與大家熟悉的黃金分割相類似的還有一個白銀分割，比如A4紙中就包含著白銀分割率．若一個數列從0和1開始，以后每一個數都是前面的數的兩倍加上再前面的數：0，1，2，5，12，29，70，169，408，985，2378，…，則隨著n趨于無窮大，其前一項與后一項的比值越來越接近白銀分割率．記該數列為，其前n項和為，則下列結論正確的是（ ）
A．（） B．
C． D．
【變式訓練】
一、解答題
1．（2024·江蘇·模擬預測）已知等差數列和等差數列的前項和分別為，，，.
(1)求數列和數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
2．（2024·重慶·一模）已知首項為正數的等差數列的公差為2，前項和為，滿足．
(1)求數列的通項公式；
(2)令，求數列的前項和．
3．（2023·江蘇蘇州·模擬預測）記正項數列的前項和為，已知，且，，成等比數列.
(1)求數列的通項公式；
(2)求證：.
4．（2023·山東·一模）已知正項數列的前項和為，且，．
(1)求；
(2)在數列的每相鄰兩項、之間依次插入、、、，得到數列、、、、、、、、、、，求的前項和．
5．（2023·湖南長沙·模擬預測）若數列滿足，則稱數列為“平方遞推數列”．已知數列中，，點在函數的圖象上，其中n為正整數，
(1)證明：數列是“平方遞推數列”，且數列為等比數列；
(2)設，定義，且記，求數列的前n項和．
一、解答題
1．（2023·全國·高考真題）設為數列的前n項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和．
2．（2023·全國·高考真題）已知為等差數列，，記，分別為數列，的前n項和，，．
(1)求的通項公式；
(2)證明：當時，．
3．（2023·天津·高考真題）已知是等差數列，．
(1)求的通項公式和．
(2)設是等比數列，且對任意的，當時，則，
（Ⅰ）當時，求證：；
（Ⅱ）求的通項公式及前項和．
4．（2021·天津·高考真題）已知是公差為2的等差數列，其前8項和為64．是公比大于0的等比數列，．
（I）求和的通項公式；
（II）記，
（i）證明是等比數列；
（ii）證明
5．（2021·全國·高考真題）設是首項為1的等比數列，數列滿足．已知，，成等差數列．
（1）求和的通項公式；
（2）記和分別為和的前n項和．證明：．
6．（2021·全國·高考真題）已知數列滿足，
（1）記，寫出，，并求數列的通項公式；
（2）求的前20項和.
一、單選題
1．（2005·重慶·高考真題）有一塔形幾何體由若干個正方體構成，構成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點，已知最底層正方體的棱長為2，且該塔形的表面積（含最底層正方體的底面面積）超過39，則該塔形中正方體的個數至少是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2023·全國·高考真題）記為等差數列的前項和．若，則（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
3．（23-24高三上·云南曲靖·階段練習）已知數列是公比為q（）的正項等比數列，且，若，則（ ）
A．4069 B．2023
C．2024 D．4046
4．（2024·全國·模擬預測）已知是數列的前項和，，，不等式對任意的恒成立，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·山西晉中·模擬預測）已知正項數列的前項和為，若，且恒成立，則實數的最小值為（ ）
A． B． C． D．3
6．（2024·江蘇南京·二模）我們把各項均為0或1的數列稱為數列，數列在計算機科學和信息技術領域有著廣泛的應用．把佩爾數列（，，，）中的奇數換成0，偶數換成1，得到數列．記的前n項和為，則（ ）
A．16 B．12 C．10 D．8
二、多選題
7．（2023·山西晉中·二模）對于三次函數，給出定義：設是函數的導數，是函數的導數，若方程有實數解，則稱為函數的“拐點”．某同學經過探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．若函數，則（ ）
A．一定有兩個極值點
B．函數在R上單調遞增
C．過點可以作曲線的2條切線
D．當時，
8．（2024·全國·模擬預測）已知，，數列和的公共項由小到大排列組成數列，則（ ）
A．
B．為等比數列
C．數列的前項和
D．、、不是任一等差數列的三項
三、填空題
9．（2024·江西宜春·模擬預測）已知數列是等差數列，，記，分別為，的前項和，若，，則 ．
10．（2024·全國·模擬預測）已知數列滿足，，，數列，滿足，則數列的前2024項的和為 ．
11．（2023·上海寶山·一模）已知函數，正項等比數列滿足，則
四、解答題
12．（2024·全國·模擬預測）已知數列的前項和為，，．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和．
13．（2024·福建福州·模擬預測）已知數列滿足，（）．
(1)求數列的通項公式；
(2)記數列的前項和為，證明：．
14．（2024·天津紅橋·二模）已知是等差數列，是公比為正數的等比數列，且，，，．
(1)求數列{，的通項公式；
(2)設，
（ⅰ）求；
（ⅱ）求．
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