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課程主題 中考探究之存在性問題
在平面直角坐標系中探究是否存在一點，使此點或與之相關聯的點與其他兩點或三點構成某個特殊幾何圖形.這類題不僅要求對平面直角坐標系中函數和特殊三角形或四邊形的知識熟練掌握，還要善于挖掘其中隱含的數量關系，對綜合運用數學知識解決實際問題的能力要求較高.在平面直角坐標系中，探討是否存在一些點，使其構成某些特殊圖形，有以下常見類型：
(1)構造等腰三角形，通常要考慮以已知的線段“為腰”和“為底”兩種情況；
(2)構造直角三角形，要考慮以三個頂點分別為直角三角形的情況；
(3)構造相似三角形，現根據題目的要求確定相似三角形的對應點；
(4)構造平行四邊形，①利用點的平移表示點的坐標，代入函數關系式進行求解；
②做出圖形，構造三角形全等轉移線段長，進而表示點的坐標；③不需作圖，只需明確點的大致位置，結合中點坐標公式建立方程進行求解.
考點一 特殊三角形存在性問題
【例1】在平面直角坐標系xOy中,已知A(0, 2), 動點 P在 的圖象上運動(不與O重合)，連接AP. 過點P作PQ⊥AP, 交x軸于點Q, 連接AQ.
(1)求線段AP長度的取值范圍；
(2)試問：點P運動的過程中，∠QAP 是否為定值 如果是，求出該值；如果不是，請說明理由；
(3) 當△OPQ為等腰三角形時，求點Q的坐標.
考點二 特殊四邊形存在性問題
【例1】如圖，在平面直角坐標系中，直線 與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線 經過A、B兩點且與x軸的負半軸交于點 C.
(1)求該拋物線的解析式；
(2)若點 D為直線AB上方拋物線上的一個動點，當 時，求點D的坐標；
(3)已知E、F 分別是直線 AB 和拋物線上的動點，當B、O、E、F 為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接寫出所有符合條件的E點的坐標.
【例2】如圖，拋物線 與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，( , 連接AC和BC.
(1)求拋物線的解析式；
(2)點D在拋物線的對稱軸上，當△ACD的周長最小時，點D的坐標為 .
(3)點E 是第四象限內拋物線上的動點，連接CE和 BE.求 面積的最大值及此時點 E 的坐標；
(4)若點M是y軸上的動點，在坐標平面內是否存在點N，使以點A、C、M、N為頂點的四邊形是菱形 若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由.
考點三 相似三角形存在性問題
【例1】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD 是等腰梯形， , BC在x軸上, 點A在y軸的正半軸上, 點A、D的坐標分別為A(0, 2)、D(2, 2), 連接AC.
(1)求出直線AC的函數解析式；
(2)求過點A,C,D 的拋物線的函數解析式;
(3) 在拋物線上有一點P(m, n)(n<0), 過點P作PM垂直于x軸, 垂足為M, 連接PC, 使以點C, P, M為頂點的三角形與Rt△AOC相似, 求出點P的坐標.
【例2】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知二次函數 的圖象經過點A(-2, 0), C(0, -6)，其對稱軸為直線，
(1)求該二次函數的解析式；
(2)若直線 將 的面積分成相等的兩部分，求m的值；
(3)點B是該二次函數圖象與x軸的另一個交點，點 D是直線 2上位于x軸下方的動點，點E是第四象限內該二次函數圖象上的動點，且位于直線. 2 右側.若以點 E 為直角頂點的 與 相似，求點E的坐標.
一、選擇題
1. 如圖, △ABC中, AB=20cm, AC=12cm, 點P從點B 出發以3cm/s的速度向點A運動,點Q從點A同時出發以2cm/s的速度向點 C運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點.也隨之停止運動，當△APQ是等腰三角形時，運動的時間是( )
A. 2.5s B. 3s C. 3.5s D. 4s
2. 如圖, 在直角梯形ABCD中, AD∥BC,∠ABC=90°, AB=8,AD=3,BC=4,點P為AB邊上一動點,若△PAD與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點P的個數是( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
二、填空題
3. 如圖, 已知線段AB=4, O是AB的中點, 直線l經過點O, ∠1=60°, P點是直線l上一點, 當△APB為直角三角形時，則BP= .
三、解答題
4. 如圖所示，二次函數 的圖象與一次函數的圖象交于 A、B兩點，點B 在點A 的右側，直線AB分別與x、y軸交于C、D兩點，其中
(1) 求A、B兩點的橫坐標;
(2)若 是以OA 為腰的等腰三角形，求k的值；
(3)二次函數圖象的對稱軸與x軸交于點E，是否存在實數k，使得 ，若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.
5. 如圖1, 在△ABC中, 點D為BC邊上的動點(點D不與點B, C重合). 以D 127為頂點作 射線DE交AC邊于點E, 過點A作AF⊥AD交射線DE于點F, 連接CF.
(1) 求證:
(2) 當DE∥AB時(如圖2), 求AE的長;
(3)點D在BC邊上運動的過程中，是否存在某個位置，使得DF=CF 若存在，求出此時BD 的長；若不存在，請說明理由，
6. 如圖,拋物線 與x軸交于A、B兩點, B點坐標為(3, 0), 與y軸交于點C(0, 3).
(1)求拋物線的解析式；
(2)點P在x軸下方的拋物線上，過點P的直線. 與直線BC交于點E，與y軸交于點F，求PE+EF的最大值;
(3)點D 為拋物線對稱軸上一點.當△BCD 是以BC為直角邊的直角三角形時，求點D的坐標.
7. 已知拋物線 與x軸分別交于A(-3, 0), B(1, 0)兩點, 與y軸交于點C.
(1)求拋物線的表達式及頂點 D的坐標；
(2) 點F是線段AD 上一個動點.
①如圖1, 設 當k為何值時，
②如圖2，以A，F，O為頂點的三角形是否與△ABC相似 若相似，求出點F的坐標；若不相似，請說明理由.
如圖,拋物線 經過點A(-2, 0), B(4, 0)兩點, 與y軸交于點 C, 點D是拋物線上一個動點，設點D 的橫坐標為 連接AC, BC, DB, DC.
(1)求拋物線的函數表達式；
的面積等于 的面積的 時,求m的值;
(3)在 (2)的條件下，若點M是x軸上一動點，點N是拋物線上一動點，試判斷是否存在這樣的點M，使得以點B，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形 若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由.
如圖，頂點為M的拋物線 與x軸交于A(3, 0), B(-1, 0)兩點, 與y軸交于點C.
(1)求這條拋物線對應的函數表達式；
(2)問在y軸上是否存在一點P，使得△PAM為直角三角形 若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由.
(3) 若在第一象限的拋物線下方有一動點D，滿足DA=OA，過D作DG⊥x軸于點G，設 的內心為I，試求 CI的最小值.
如圖，已知拋物線 的頂點為A(4,3),與y軸相交于點. 對稱軸為直線l，點M是線段AB的中點.
(1)求拋物線的表達式；
(2)寫出點M的坐標并求直線AB的表達式；
(3)設動點P，Q分別在拋物線和對稱軸l上，當以A，P，Q，M為頂點的四邊形是平行四邊形時，求P,Q兩點的坐標.
如圖1, 的三個頂點A、O、B分別落在拋物線 的圖象上，點A的橫坐標為 點B的縱坐標為 (點A在點B的左側)
(1) 求點A、B的坐標;
(2) 將 繞點O逆時針旋轉 得到 拋物線 經過 A'、B'兩點,已知點M為拋物線 的對稱軸上一定點，且點A恰好在以OM為直徑的圓上，連接OM、A'M，求 的面積；
(3) 如圖2, 延長OB'交拋物線 于點C,連接. 在坐標軸上是否存在點 D，使得以A、O、D為頂點的三角形與 相似.若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由.

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