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第一章
運動的描述 勻變速直線運動的研究
微點突破1
追及相遇問題
目標
要求
1.掌握處理追及相遇問題的方法和技巧。2.會在圖像中分析追及相遇問題。3.熟練運用運動學公式結合運動學圖像解決追及相遇的綜合問題。
內
容
索
引
考點一　追及相遇問題
考點二　圖像中的追及相遇問題
跟蹤訓練
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<
考點一
追及相遇問題
追及相遇問題的實質就是分析兩物體在相同時間內能否到達相同的空間位置。追及相遇問題的基本物理模型：
以甲追乙為例。
1.二者距離變化與速度大小的關系
(1)無論v甲增大、減小或不變，只要v甲(2)若v甲＝v乙，甲、乙間的距離保持不變。
(3)無論v甲增大、減小或不變，只要v甲>v乙，甲追上乙前，甲、乙間的距離就不斷減小。
2.分析思路
可概括為“一個臨界條件”“兩個等量關系”。
(1)一個臨界條件：速度相等。它往往是物體間能否追上或兩者距離最大、最小的臨界條件，也是分析、判斷問題的切入點；
(2)兩個等量關系：時間等量關系和位移等量關系。通過畫草圖找出兩物體的位移關系是解題的突破口。
3.常見追及情景
(1)初速度小者追初速度大者：當二者速度相等時，二者距離最大。
(2)初速度大者追初速度小者(避碰問題)：二者速度相等是判斷是否追上的臨界條件，若此時追不上，二者之間有最小值。
物體B追趕物體A：開始時，兩個物體相距x0，當vB＝vA時，若xB>xA＋x0，則能追上；若xB＝xA＋x0，則恰好追上；若xB特別提醒：若被追趕的物體做勻減速直線運動，一定要注意判斷被追上前該物體是否已經停止運動。
例1　(2023·廣東汕頭市質檢)某一長直的賽道上，一輛賽車前方200 m處有一安全車正以10 m/s的速度勻速前進，這時賽車從靜止出發以2 m/s2的加速度追趕。求：
(1)賽車出發3 s末的瞬時速度大小；
答案　6 m/s
賽車出發3 s末的瞬時速度大小為v1＝a1t1＝2×3 m/s＝6 m/s。
(2)賽車追上安全車所需的時間及追上時的速度大??；
答案　20 s　40 m/s　
此時賽車的速度v＝a1t2＝2×20 m/s＝40 m/s
(3)追上之前兩車的最大距離。
答案　225 m
方法一　物理分析法
當兩車速度相等時，兩車相距最遠
由v0＝a1t3得兩車速度相等時，經過的時間
方法二　二次函數法
方法三　圖像法
拓展　若當賽車剛追上安全車時，賽車手立即剎車，使賽車以4 m/s2的加速度做勻減速直線運動，則兩車再經過多長時間第二次相遇？(設賽車可以從安全車旁經過而不相碰，用物理分析法和圖像法兩種方法解題)
答案　20 s
方法一：物理分析法
假設再經t4時間兩車第二次相遇(兩車一直在運動)，由位移關系得vt4－ ＝v0t4
解得t4＝15 s
所以t4＝15 s不符合實際，兩車第二次相遇時賽車已停止運動
方法二：圖像法
賽車和安全車的v－t圖像如圖。由圖知t＝10 s，
賽車停下時，安全車的位移小于賽車的位移，
由v0t5＝ ，得t5＝20 s。
例2　(2023·湖南長沙市南雅中學檢測)現有A、B兩列火車在同一軌道上同向勻速行駛，A車在前，其速度 vA＝10 m/s，B車速度vB＝40 m/s。因大霧能見度低，B車在距A車d＝900 m時才發現前方有A車，此時B車立即剎車，但B車要減速2 000 m才能夠停止。
(1)B車剎車后減速運動的加速度多大？
答案　0.4 m/s2
設B車減速運動的加速度大小為a2，
則有0－vB2＝－2a2x1
(2)B車剎車t1＝20 s后，兩車距離多少？
答案　380 m
設B車從剎車到停止的時間為t′，
B車剎車t1＝20 s，A車運動的位移大小x2＝vAt1＝10×20 m＝200 m
B車剎車t1＝20 s后，兩車的距離Δx＝d＋x2－x1＝900 m＋200 m－720 m＝380 m
(3)B車剎車t2＝30 s后，A車開始勻加速，則至少以多大加速度aA加速前進才能避免事故？
答案　0.5 m/s2
B車剎車t2＝30 s后，B車運動的速度
vB′＝vB－a2t2＝40 m/s－0.4×30 m/s＝28 m/s
B車運動的位移
A車運動的位移x4＝vAt2＝300 m
A、B兩車的距離為d′＝d＋x4－x3＝180 m
為保證兩車恰好不相撞，則B車追上A車時兩車速度恰好相等
設B車減速t秒時兩車的速度相同，有
物理分 析法 抓住“兩物體能否同時到達空間某位置”這一關鍵，認真審題，建立物體運動情景圖，分析兩物體的速度大小關系，利用速度相等時兩物體的位置關系，判斷能否追上、二者相距最近或最遠
函數方程判斷法 設經過時間t，二者間的距離Δx＝xB＋x0－xA，假設追上，Δx＝0，方程中Δ＝b2－4ac，Δ<0，追不上；Δ＝0，恰好追上，一解；Δ>0，兩解或發生了相撞；或利用函數極值求解二者距離最大值或最小值
圖像法 將兩個物體運動的速度—時間關系或位移—時間關系畫在同一圖像中，然后利用圖像分析求解相關問題
解答追及相遇問題的三種方法
返回
圖像中的追及相遇問題
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考點二
1.x－t圖像、v－t圖像中的追及相遇問題：
(1)利用圖像中斜率、面積、交點的含義進行定性分析或定量計算。
(2)有時將運動圖像還原成物體的實際運動情況更便于理解。
2.利用v－t圖像分析追及相遇問題：在有些追及相遇情景中可根據兩個物體的運動狀態作出v－t圖像，再通過圖像分析計算得出結果，這樣更直觀、簡捷。
3.若為x－t圖像，注意交點的意義，圖像相交即代表兩物體相遇；若為a－t圖像，可轉化為v－t圖像進行分析。
例3　(多選)(2024·廣東省四校聯考)兩車在不同的行車道上同向行駛，t＝0時刻，乙車在甲車前方25 m。兩車速度—時間(v－t)圖像分別為圖中直線甲和直線乙，交點坐標圖中已標出，則
A.乙車的加速度是0.6 m/s2
B.第5 s末兩車相距40 m
C.相遇前，甲、乙兩車的最大距離是55 m
D.25 s末時甲車追上乙車
√
√
v－t圖像中圖線的斜率即為物體運動的加速度，所以乙車的加速度為a乙＝ ＝0.2 m/s2，故A錯誤；
例4　(2024·山東德州市月考)物理興趣小組的同學用兩個相同的遙控小車沿直線進行追逐比賽，兩小車分別安裝不同的傳感器并連接到計算機中，A小車安裝加速度傳感器，B小車安裝速度傳感器，兩車初始時刻速度大小均為v0＝30 m/s，A車在前、B車在后，兩車相距100 m，其傳感器讀數與時間的函數關系圖像如圖所示，規定初始運動方向為正方向。下列說法正確的是
A.t＝3 s時兩車間距離為25 m
B.3～9 s內，A車的加速度大于B車的加速度
C.兩車最近距離為10 m
D.0～9 s內兩車相遇一次
√
返回
跟蹤訓練
1.(2023·重慶市第八中學檢測)一運動員將靜止的足球沿邊線向前踢出，足球獲得12 m/s的初速度，同時該運動員沿邊線向前追趕足球，速度v隨時間t的變化規律如圖所示。已知足球停下時該
運動員剛好追上足球，則足球的加速度大小與運
動員加速階段的加速度大小之比為
A.4∶3 B.3∶4
C.4∶5 D.7∶9
√
1
2
3
4
1
2
3
4
2.(多選)如圖甲所示，A車和B車在同一平直公路的兩個平行車道上行駛，該路段限速54 km/h。當兩車車頭平齊時開始計時，兩車運動的位移—時間圖像如圖乙所示，0～5 s時間內，A車的圖線是拋物線的一部分，B車的圖線是直線，在兩車不違章的情況下，
下列說法正確的是
A.A車運動的加速度大小為1 m/s2
B.t＝3.5 s時，兩車的速度相同
C.A車追上B車的最短時間為7.2 s
D.兩車相遇兩次
√
1
2
3
4
√
由勻變速直線運動規律可知x＝v0t＋ ，由題圖乙可知當t＝2 s時x＝10 m，當t＝5 s時x＝40 m，解得v0＝3 m/s，a＝
2 m/s2，故A錯誤；
由題圖乙可知B車勻速運動的速度vB＝ ＝10 m/s，由勻變速直線運動規律可得vA＝v0＋at＝vB，解得t＝3.5 s，故B正確；
1
2
3
4
A車加速到vmax＝54 km/h＝15 m/s后做勻
速運動，追上B車的時間最短，由vmax
＝v0＋at0，可知A車的加速時間t0＝6 s，
A車追上B車滿足vBt＝v0t0＋ ＋
vmax(t－t0)，解得t＝7.2 s，此后A車速度大于B車，不會再相遇，故C正確，D錯誤。
1
2
3
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3.(2024·云南曲靖市檢測)5G自動駕駛是基于5G通信技術實現網聯式全域感知、協同決策與智慧云控，相當于有了“千里眼”的感知能力，同時，5G網絡超低延時的特性，讓“汽車大腦”可以實時接收指令，極大提高了汽車運行的安全性。A、B兩輛5G自動駕駛測試車，在同一直線上向右勻速運動，B車在A車前，A車的速度大小v1＝8 m/s，B車的速度大小v2＝20 m/s，如圖所示。當A、B兩車相距x0＝20 m時，B車因前方突發情況緊急剎車，已知剎車過程的運動可視為勻減速直線運動，加速度大小a＝2 m/s2，從此時開始計時，求：
(1)A車追上B車之前，兩者相距的最遠距離Δx；
1
2
3
4
答案　56 m
當兩車速度相等時，兩車的距離最大，設經過時間t1兩車速度相等，則有v1＝v2－at1
得t1＝6 s
在t1時間內A車位移為x1＝v1t1＝48 m
則此最遠的距離為Δx＝x2＋x0－x1＝56 m
1
2
3
4
(2)A車追上B車所用的時間t。
1
2
3
4
答案　15 s
1
2
3
4
設經過時間t2，B車停下來，則有0＝v2－at2
得t2＝10 s
此過程中A車和B車的位移分別為
x1′＝v1t2＝80 m
此時x2′＋x0>x1′
說明A車還沒追上B車，設再經過時間t3才追上，則有x2′＋x0－x1′＝v1t3得t3＝5 s，所以A車追上B車所用的時間為t＝t2＋t3＝15 s。
4.(2024·黑龍江哈爾濱市第三中學檢測)如圖所示為車輛行駛過程中常見的變道超車情形。圖中A車車長LA＝4 m，B車車長LB＝6 m，兩車車頭相距L＝26 m時，B車正以vB＝10 m/s的速度勻速行駛，A車正以vA＝15 m/s的速度借道超車，此時A車司機發現前方不遠處有一輛汽車C正好迎面駛來，其速度為vC＝8 m/s，C車車頭和B車車頭之間相距d＝94 m，現在A車司機有兩個選擇，一是放棄超車，駛回與B相同的車道，而后減速行駛；二是加速超車，在B與C相遇之前超過B車，不考慮變道過程的時間和速度的變化。
1
2
3
4
(1)若A車選擇放棄超車，回到B車所在車道，則A車至少應該以多大的加速度勻減速剎車，才能避免與B車相撞；
1
2
3
4
若A車選擇放棄超車， 回到B車所在車道，當兩車速度相同時，A恰好追上B，此時A加速度最小，根據運動學公式有vA－a1t1＝vB
1
2
3
4
(2)若A車選擇加速超車，求A車能夠安全超車的加速度至少多大；
1
2
3
4
A車加速超車最長時間為
A車安全超車，根據運動學公式有
解得A車能夠安全超車的加速度至少為
1
2
3
4
(3)若A車選擇超車，但因某種原因并未加速，C車司機在圖示位置做出反應(不計反應時間)，則C車減速的加速度至少多大才能保證A車安全超車。
1
2
3
4
答案　1 m/s2
C車做勻減速運動最長時間為
A車安全超車，根據運動學公式有
解得C車減速的最小加速度為a3＝1 m/s2。
1
2
3
4
返回微點突破1　追及相遇問題
目標要求　1.掌握處理追及相遇問題的方法和技巧。2.會在圖像中分析追及相遇問題。3.熟練運用運動學公式結合運動學圖像解決追及相遇的綜合問題。
考點一　追及相遇問題
追及相遇問題的實質就是分析兩物體在相同時間內能否到達相同的空間位置。追及相遇問題的基本物理模型：以甲追乙為例。
1．二者距離變化與速度大小的關系
(1)無論v甲增大、減小或不變，只要v甲(2)若v甲＝v乙，甲、乙間的距離保持不變。
(3)無論v甲增大、減小或不變，只要v甲>v乙，甲追上乙前，甲、乙間的距離就不斷減小。
2．分析思路
可概括為“一個臨界條件”“兩個等量關系”。
(1)一個臨界條件：速度相等。它往往是物體間能否追上或兩者距離最大、最小的臨界條件，也是分析、判斷問題的切入點；
(2)兩個等量關系：時間等量關系和位移等量關系。通過畫草圖找出兩物體的位移關系是解題的突破口。
3．常見追及情景
(1)初速度小者追初速度大者：當二者速度相等時，二者距離最大。
(2)初速度大者追初速度小者(避碰問題)：二者速度相等是判斷是否追上的臨界條件，若此時追不上，二者之間有最小值。
物體B追趕物體A：開始時，兩個物體相距x0，當vB＝vA時，若xB>xA＋x0，則能追上；若xB＝xA＋x0，則恰好追上；若xB特別提醒：若被追趕的物體做勻減速直線運動，一定要注意判斷被追上前該物體是否已經停止運動。
例1　(2023·廣東汕頭市質檢)某一長直的賽道上，一輛賽車前方200 m處有一安全車正以
10 m/s的速度勻速前進，這時賽車從靜止出發以2 m/s2的加速度追趕。求：
(1)賽車出發3 s末的瞬時速度大??；
(2)賽車追上安全車所需的時間及追上時的速度大??；
(3)追上之前兩車的最大距離。
答案　(1)6 m/s　(2)20 s　40 m/s　(3)225 m
解析　(1)賽車出發3 s末的瞬時速度大小為
v1＝a1t1＝2×3 m/s＝6 m/s。
(2)設經t2時間追上安全車，由位移關系得
v0t2＋200 m＝a1t22，解得t2＝20 s
此時賽車的速度v＝a1t2＝2×20 m/s＝40 m/s
(3)方法一　物理分析法
當兩車速度相等時，兩車相距最遠
由v0＝a1t3得兩車速度相等時，經過的時間
t3＝＝ s＝5 s，追上之前兩車最遠相距
Δs＝v0t3＋200 m－a1t32
＝(10×5＋200－×2×52) m＝225 m。
方法二　二次函數法
Δs＝v0t＋200－a1t2＝10t＋200－t2
當t＝＝ s＝5 s時，Δs有極值，相距最遠，將t＝5 s代入解得Δsmax＝225 m。
方法三　圖像法
從圖像可知，當賽車速度等于安全車速度時，即v0＝a1t＝10 m/s，得t＝5 s時相距最遠，Δsmax＝v0t－t＋200 m＝225 m。
拓展　若當賽車剛追上安全車時，賽車手立即剎車，使賽車以4 m/s2的加速度做勻減速直線運動，則兩車再經過多長時間第二次相遇？(設賽車可以從安全車旁經過而不相碰，用物理分析法和圖像法兩種方法解題)
答案　20 s
解析　方法一：物理分析法
假設再經t4時間兩車第二次相遇(兩車一直在運動)，由位移關系得vt4－a2t42＝v0t4
解得t4＝15 s
賽車停下來的時間t′＝＝ s＝10 s
所以t4＝15 s不符合實際，兩車第二次相遇時賽車已停止運動
設再經時間t5兩車第二次相遇，應滿足＝v0t5，解得t5＝20 s。
方法二：圖像法
賽車和安全車的v－t圖像如圖。由圖知t＝10 s，賽車停下時，安全車的位移小于賽車的位移，由v0t5＝，得t5＝20 s。
例2　(2023·湖南長沙市南雅中學檢測)現有A、B兩列火車在同一軌道上同向勻速行駛，A車在前，其速度 vA＝10 m/s，B車速度vB＝40 m/s。因大霧能見度低，B車在距A車d＝
900 m時才發現前方有A車，此時B車立即剎車，但B車要減速2 000 m才能夠停止。
(1)B車剎車后減速運動的加速度多大？
(2)B車剎車t1＝20 s后，兩車距離多少？
(3)B車剎車t2＝30 s后，A車開始勻加速，則至少以多大加速度aA加速前進才能避免事故？
答案　(1)0.4 m/s2　(2)380 m　(3)0.5 m/s2
解析　(1)設B車減速運動的加速度大小為a2，
則有0－vB2＝－2a2x1
解得a2＝＝ m/s2＝0.4 m/s2
(2)設B車從剎車到停止的時間為t′，
則t′＝＝ s＝100 s
B車剎車t1＝20 s運動的位移為
x1＝vBt1－a2t12＝720 m
B車剎車t1＝20 s，A車運動的位移大小
x2＝vAt1＝10×20 m＝200 m
B車剎車t1＝20 s后，兩車的距離Δx＝d＋x2－x1＝900 m＋200 m－720 m＝380 m
(3)B車剎車t2＝30 s后，B車運動的速度
vB′＝vB－a2t2＝40 m/s－0.4×30 m/s＝28 m/s
B車運動的位移
x3＝vBt2－a2t22＝1 020 m
A車運動的位移x4＝vAt2＝300 m
A、B兩車的距離為d′＝d＋x4－x3＝180 m
為保證兩車恰好不相撞，則B車追上A車時兩車速度恰好相等
設B車減速t秒時兩車的速度相同，有
vB′－a2t＝vA＋aAt，xA＝vAt＋aAt2
xB＝vB′t－a2t2，xB－xA＝d′
解得aA＝＝0.5 m/s2。
解答追及相遇問題的三種方法
物理分析法 抓住“兩物體能否同時到達空間某位置”這一關鍵，認真審題，建立物體運動情景圖，分析兩物體的速度大小關系，利用速度相等時兩物體的位置關系，判斷能否追上、二者相距最近或最遠
函數方程判斷法 設經過時間t，二者間的距離Δx＝xB＋x0－xA，假設追上，Δx＝0，方程中Δ＝b2－4ac，Δ<0，追不上；Δ＝0，恰好追上，一解；Δ>0，兩解或發生了相撞；或利用函數極值求解二者距離最大值或最小值
圖像法 將兩個物體運動的速度—時間關系或位移—時間關系畫在同一圖像中，然后利用圖像分析求解相關問題
考點二　圖像中的追及相遇問題
1．x－t圖像、v－t圖像中的追及相遇問題：
(1)利用圖像中斜率、面積、交點的含義進行定性分析或定量計算。
(2)有時將運動圖像還原成物體的實際運動情況更便于理解。
2．利用v－t圖像分析追及相遇問題：在有些追及相遇情景中可根據兩個物體的運動狀態作出v－t圖像，再通過圖像分析計算得出結果，這樣更直觀、簡捷。
3．若為x－t圖像，注意交點的意義，圖像相交即代表兩物體相遇；若為a－t圖像，可轉化為v－t圖像進行分析。
例3　(多選)(2024·廣東省四校聯考)兩車在不同的行車道上同向行駛，t＝0時刻，乙車在甲車前方25 m。兩車速度—時間(v－t)圖像分別為圖中直線甲和直線乙，交點坐標圖中已標出，則(　　)
A．乙車的加速度是0.6 m/s2
B．第5 s末兩車相距40 m
C．相遇前，甲、乙兩車的最大距離是55 m
D．25 s末時甲車追上乙車
答案　BD
解析　v－t圖像中圖線的斜率即為物體運動的加速度，所以乙車的加速度為a乙＝ m/s2＝0.2 m/s2，故A錯誤；由題圖可得第5 s末時，兩車的速度分別為v甲＝ m/s＝3 m/s，
v乙＝ m/s＝5 m/s，v－t圖像中圖線與t軸所圍成圖形的面積表示物體運動的位移，所以由x＝·t，可得0～5 s內兩車運動的位移分別為x甲＝×5 m＝7.5 m，x乙＝×5 m＝22.5 m，所以第5 s末兩車相距Δx＝x乙－x甲＋x0＝40 m，故B正確；當兩車速度相等時，兩車相距最遠，由題圖可知，第10 s末時，兩車速度相等，之間的距離最大。0～10 s內兩車運動的位移分別為x甲′＝×10 m＝30 m，x乙′＝×10 m＝50 m，所以第10 s末兩車相距Δx′＝x乙′－x甲′＋x0＝45 m，故C錯誤；由題圖可得甲車的加速度為a甲＝
m/s2＝0.6 m/s2，設經過時間t甲車追上乙車，則x甲″－x乙″＝x0，x甲″＝a甲t2＝0.3t2，x乙″＝v0t＋a乙t2＝4t＋0.1t2，聯立解得t＝25 s，所以25 s末時甲車追上乙車，D正確。
例4　(2024·山東德州市月考)物理興趣小組的同學用兩個相同的遙控小車沿直線進行追逐比賽，兩小車分別安裝不同的傳感器并連接到計算機中，A小車安裝加速度傳感器，B小車安裝速度傳感器，兩車初始時刻速度大小均為v0＝30 m/s，A車在前、B車在后，兩車相距100 m，其傳感器讀數與時間的函數關系圖像如圖所示，規定初始運動方向為正方向。下列說法正確的是(　　)
A．t＝3 s時兩車間距離為25 m
B．3～9 s內，A車的加速度大于B車的加速度
C．兩車最近距離為10 m
D．0～9 s內兩車相遇一次
答案　C
解析　在0～3 s內A車做勻減速運動，A車減速到零所需時間tA＝＝3 s，故在t＝3 s時A車減速到零，A車前進的位移為xA＝tA＝45 m，B車前進的位移為xB＝v0tA＝90 m，t＝
3 s時兩車間距離為Δx＝d＋xA－xB＝55 m，故A錯誤；由題圖可知在3～9 s內A車的加速度為aA2＝5 m/s2，在v－t圖像中，圖像的斜率表示加速度，則aB＝＝－5 m/s2，故A、B兩車的加速度大小相等，故B錯誤；t＝3 s后，A車開始由靜止做勻加速運動，B車開始做勻減速運動，3～9 s的過程中，設經歷時間t兩者速度相同，則v共＝aA2t＝v0＋aBt，解得t＝3 s，v共＝15 m/s，A車在t＝3 s內前進的位移為x1＝t＝22.5 m，B車前進的位移為x2＝t＝67.5 m，故此時兩車相距的最小距離為Δxmin＝Δx＋x1－x2＝10 m，此后A車的速度大于B車的速度，兩者間的距離開始增大，故不可能相遇，故C正確，D錯誤。
1.(2023·重慶市第八中學檢測)一運動員將靜止的足球沿邊線向前踢出，足球獲得12 m/s的初速度，同時該運動員沿邊線向前追趕足球，速度v隨時間t的變化規律如圖所示。已知足球停下時該運動員剛好追上足球，則足球的加速度大小與運動員加速階段的加速度大小之比為(　　)
A．4∶3 B．3∶4 C．4∶5 D．7∶9
答案　B
解析　設運動員加速時間為t1，追上時兩者位移相等，即v－t圖像與t軸所圍面積相等，有
×12×t2＝×8×t1＋8×(t2－t1)，解得t2＝2t1，則加速度之比＝＝＝，故選B。
2．(多選)如圖甲所示，A車和B車在同一平直公路的兩個平行車道上行駛，該路段限速
54 km/h。當兩車車頭平齊時開始計時，兩車運動的位移—時間圖像如圖乙所示，0～5 s時間內，A車的圖線是拋物線的一部分，B車的圖線是直線，在兩車不違章的情況下，下列說法正確的是(　　)
A．A車運動的加速度大小為1 m/s2
B．t＝3.5 s時，兩車的速度相同
C．A車追上B車的最短時間為7.2 s
D．兩車相遇兩次
答案　BC
解析　由勻變速直線運動規律可知x＝v0t＋at2，由題圖乙可知當t＝2 s時x＝10 m，當t＝
5 s時x＝40 m，解得v0＝3 m/s，a＝2 m/s2，故A錯誤；由題圖乙可知B車勻速運動的速度vB＝ m/s＝10 m/s，由勻變速直線運動規律可得vA＝v0＋at＝vB，解得t＝3.5 s，故B正確；A車加速到vmax＝54 km/h＝15 m/s后做勻速運動，追上B車的時間最短，由vmax＝v0＋at0，可知A車的加速時間t0＝6 s，A車追上B車滿足vBt＝v0t0＋at02＋vmax(t－t0)，解得t＝7.2 s，此后A車速度大于B車，不會再相遇，故C正確，D錯誤。
3．(2024·云南曲靖市檢測)5G自動駕駛是基于5G通信技術實現網聯式全域感知、協同決策與智慧云控，相當于有了“千里眼”的感知能力，同時，5G網絡超低延時的特性，讓“汽車大腦”可以實時接收指令，極大提高了汽車運行的安全性。A、B兩輛5G自動駕駛測試車，在同一直線上向右勻速運動，B車在A車前，A車的速度大小v1＝8 m/s，B車的速度大小v2＝20 m/s，如圖所示。當A、B兩車相距x0＝20 m時，B車因前方突發情況緊急剎車，已知剎車過程的運動可視為勻減速直線運動，加速度大小a＝2 m/s2，從此時開始計時，求：
(1)A車追上B車之前，兩者相距的最遠距離Δx；
(2)A車追上B車所用的時間t。
答案　(1)56 m　(2)15 s
解析　(1)當兩車速度相等時，兩車的距離最大，設經過時間t1兩車速度相等，則有v1＝v2－at1
得t1＝6 s
在t1時間內A車位移為x1＝v1t1＝48 m
B車位移為x2＝v2t1－at12＝84 m
則此最遠的距離為Δx＝x2＋x0－x1＝56 m
(2)設經過時間t2，B車停下來，則有0＝v2－at2
得t2＝10 s
此過程中A車和B車的位移分別為
x1′＝v1t2＝80 m
x2′＝v2t2－at22＝100 m
此時x2′＋x0>x1′
說明A車還沒追上B車，設再經過時間t3才追上，則有x2′＋x0－x1′＝v1t3得t3＝5 s，所以A車追上B車所用的時間為t＝t2＋t3＝15 s。
4．(2024·黑龍江哈爾濱市第三中學檢測)如圖所示為車輛行駛過程中常見的變道超車情形。圖中A車車長 LA＝4 m，B車車長 LB＝6 m，兩車車頭相距L＝26 m時，B車正以vB＝10 m/s的速度勻速行駛，A車正以vA＝15 m/s的速度借道超車，此時A車司機發現前方不遠處有一輛汽車C正好迎面駛來，其速度為vC＝8 m/s，C車車頭和B車車頭之間相距d＝94 m，現在A車司機有兩個選擇，一是放棄超車，駛回與B相同的車道，而后減速行駛；二是加速超車，在B與C相遇之前超過B車，不考慮變道過程的時間和速度的變化。
(1)若A車選擇放棄超車，回到B車所在車道，則A車至少應該以多大的加速度勻減速剎車，才能避免與B車相撞；
(2)若A車選擇加速超車，求A車能夠安全超車的加速度至少多大；
(3)若A車選擇超車，但因某種原因并未加速，C車司機在圖示位置做出反應(不計反應時間)，則C車減速的加速度至少多大才能保證A車安全超車。
答案　(1) m/s2　(2) m/s2　(3)1 m/s2
解析　(1)若A車選擇放棄超車， 回到B車所在車道，當兩車速度相同時，A恰好追上B，此時A加速度最小，根據運動學公式有vA－a1t1＝vB
vAt1－a1t12＝vBt1＋L－LB
聯立解得A車的最小加速度為a1＝ m/s2
(2)A車加速超車最長時間為
t2＝＝ s＝5 s
A車安全超車，根據運動學公式有
vAt2＋a2t22＝vBt2＋L＋LA，
解得A車能夠安全超車的加速度至少為
a2＝ m/s2
(3)C車做勻減速運動最長時間為
t3＝＝ s＝6 s
A車安全超車，根據運動學公式有
vAt3＋vCt3－a3t32＝d＋L
解得C車減速的最小加速度為a3＝1 m/s2。微點突破1　追及相遇問題
目標要求　1.掌握處理追及相遇問題的方法和技巧。2.會在圖像中分析追及相遇問題。3.熟練運用運動學公式結合運動學圖像解決追及相遇的綜合問題。
考點一　追及相遇問題
追及相遇問題的實質就是分析兩物體在相同時間內能否到達相同的空間位置。追及相遇問題的基本物理模型：以甲追乙為例。
1．二者距離變化與速度大小的關系
(1)無論v甲增大、減小或不變，只要v甲(2)若v甲＝v乙，甲、乙間的距離保持不變。
(3)無論v甲增大、減小或不變，只要v甲>v乙，甲追上乙前，甲、乙間的距離就不斷減小。
2．分析思路
可概括為“一個臨界條件”“兩個等量關系”。
(1)一個臨界條件：速度相等。它往往是物體間能否追上或兩者距離最大、最小的臨界條件，也是分析、判斷問題的切入點；
(2)兩個等量關系：時間等量關系和位移等量關系。通過畫草圖找出兩物體的位移關系是解題的突破口。
3．常見追及情景
(1)初速度小者追初速度大者：當二者速度相等時，二者距離最大。
(2)初速度大者追初速度小者(避碰問題)：二者速度相等是判斷是否追上的臨界條件，若此時追不上，二者之間有最小值。
物體B追趕物體A：開始時，兩個物體相距x0，當vB＝vA時，若xB>xA＋x0，則能追上；若xB＝xA＋x0，則恰好追上；若xB特別提醒：若被追趕的物體做勻減速直線運動，一定要注意判斷被追上前該物體是否已經停止運動。
例1　(2023·廣東汕頭市質檢)某一長直的賽道上，一輛賽車前方200 m處有一安全車正以10 m/s的速度勻速前進，這時賽車從靜止出發以2 m/s2的加速度追趕。求：
(1)賽車出發3 s末的瞬時速度大小；
(2)賽車追上安全車所需的時間及追上時的速度大??；
(3)追上之前兩車的最大距離。
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拓展　若當賽車剛追上安全車時，賽車手立即剎車，使賽車以4 m/s2的加速度做勻減速直線運動，則兩車再經過多長時間第二次相遇？(設賽車可以從安全車旁經過而不相碰，用物理分析法和圖像法兩種方法解題)
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例2　(2023·湖南長沙市南雅中學檢測)現有A、B兩列火車在同一軌道上同向勻速行駛，A車在前，其速度 vA＝10 m/s，B車速度vB＝40 m/s。因大霧能見度低，B車在距A車d＝
900 m時才發現前方有A車，此時B車立即剎車，但B車要減速2 000 m才能夠停止。
(1)B車剎車后減速運動的加速度多大？
(2)B車剎車t1＝20 s后，兩車距離多少？
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(3)B車剎車t2＝30 s后，A車開始勻加速，則至少以多大加速度aA加速前進才能避免事故？
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解答追及相遇問題的三種方法
物理分析法 抓住“兩物體能否同時到達空間某位置”這一關鍵，認真審題，建立物體運動情景圖，分析兩物體的速度大小關系，利用速度相等時兩物體的位置關系，判斷能否追上、二者相距最近或最遠
函數方程判斷法 設經過時間t，二者間的距離Δx＝xB＋x0－xA，假設追上，Δx＝0，方程中Δ＝b2－4ac，Δ<0，追不上；Δ＝0，恰好追上，一解；Δ>0，兩解或發生了相撞；或利用函數極值求解二者距離最大值或最小值
圖像法 將兩個物體運動的速度—時間關系或位移—時間關系畫在同一圖像中，然后利用圖像分析求解相關問題
考點二　圖像中的追及相遇問題
1．x－t圖像、v－t圖像中的追及相遇問題：
(1)利用圖像中斜率、面積、交點的含義進行定性分析或定量計算。
(2)有時將運動圖像還原成物體的實際運動情況更便于理解。
2．利用v－t圖像分析追及相遇問題：在有些追及相遇情景中可根據兩個物體的運動狀態作出v－t圖像，再通過圖像分析計算得出結果，這樣更直觀、簡捷。
3．若為x－t圖像，注意交點的意義，圖像相交即代表兩物體相遇；若為a－t圖像，可轉化為v－t圖像進行分析。
例3　(多選)(2024·廣東省四校聯考)兩車在不同的行車道上同向行駛，t＝0時刻，乙車在甲車前方25 m。兩車速度—時間(v－t)圖像分別為圖中直線甲和直線乙，交點坐標圖中已標出，則(　　)
A．乙車的加速度是0.6 m/s2
B．第5 s末兩車相距40 m
C．相遇前，甲、乙兩車的最大距離是55 m
D．25 s末時甲車追上乙車
例4　(2024·山東德州市月考)物理興趣小組的同學用兩個相同的遙控小車沿直線進行追逐比賽，兩小車分別安裝不同的傳感器并連接到計算機中，A小車安裝加速度傳感器，B小車安裝速度傳感器，兩車初始時刻速度大小均為v0＝30 m/s，A車在前、B車在后，兩車相距100 m，其傳感器讀數與時間的函數關系圖像如圖所示，規定初始運動方向為正方向。下列說法正確的是(　　)
A．t＝3 s時兩車間距離為25 m
B．3～9 s內，A車的加速度大于B車的加速度
C．兩車最近距離為10 m
D．0～9 s內兩車相遇一次
1.(2023·重慶市第八中學檢測)一運動員將靜止的足球沿邊線向前踢出，足球獲得12 m/s的初速度，同時該運動員沿邊線向前追趕足球，速度v隨時間t的變化規律如圖所示。已知足球停下時該運動員剛好追上足球，則足球的加速度大小與運動員加速階段的加速度大小之比為(　　)
A．4∶3 B．3∶4 C．4∶5 D．7∶9
2．(多選)如圖甲所示，A車和B車在同一平直公路的兩個平行車道上行駛，該路段限速54 km/h。當兩車車頭平齊時開始計時，兩車運動的位移—時間圖像如圖乙所示，0～5 s時間內，A車的圖線是拋物線的一部分，B車的圖線是直線，在兩車不違章的情況下，下列說法正確的是(　　)
A．A車運動的加速度大小為1 m/s2
B．t＝3.5 s時，兩車的速度相同
C．A車追上B車的最短時間為7.2 s
D．兩車相遇兩次
3．(2024·云南曲靖市檢測)5G自動駕駛是基于5G通信技術實現網聯式全域感知、協同決策與智慧云控，相當于有了“千里眼”的感知能力，同時，5G網絡超低延時的特性，讓“汽車大腦”可以實時接收指令，極大提高了汽車運行的安全性。A、B兩輛5G自動駕駛測試車，在同一直線上向右勻速運動，B車在A車前，A車的速度大小v1＝8 m/s，B車的速度大小v2＝20 m/s，如圖所示。當A、B兩車相距x0＝20 m時，B車因前方突發情況緊急剎車，已知剎車過程的運動可視為勻減速直線運動，加速度大小a＝2 m/s2，從此時開始計時，求：
(1)A車追上B車之前，兩者相距的最遠距離Δx；
(2)A車追上B車所用的時間t。
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4．(2024·黑龍江哈爾濱市第三中學檢測)如圖所示為車輛行駛過程中常見的變道超車情形。圖中A車車長 LA＝4 m，B車車長 LB＝6 m，兩車車頭相距L＝26 m時，B車正以vB＝10 m/s的速度勻速行駛，A車正以vA＝15 m/s的速度借道超車，此時A車司機發現前方不遠處有一輛汽車C正好迎面駛來，其速度為vC＝8 m/s，C車車頭和B車車頭之間相距d＝94 m，現在A車司機有兩個選擇，一是放棄超車，駛回與B相同的車道，而后減速行駛；二是加速超車，在B與C相遇之前超過B車，不考慮變道過程的時間和速度的變化。
(1)若A車選擇放棄超車，回到B車所在車道，則A車至少應該以多大的加速度勻減速剎車，才能避免與B車相撞；
(2)若A車選擇加速超車，求A車能夠安全超車的加速度至少多大；
(3)若A車選擇超車，但因某種原因并未加速，C車司機在圖示位置做出反應(不計反應時間)，則C車減速的加速度至少多大才能保證A車安全超車。
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