資源簡介

知識點一：圓的認識
1.定義：圓是由曲線圍成的封閉圖形。
2.各部分名稱：
圓心：圓中心的一點，用字母o表示。圓心決定圓的位置。
半徑：連接圓心和圓上任意一點的線段，用字母r表示。半徑決定圓
的大小。
直徑：通過圓心并且兩端都在圓上的線段，用字母d表示。在同圓或
等圓中，d＝2r或r＝d
知識點二:圓的周長
1.圓周率:圓的周長與直徑的比值，用字母π表示，是一個無限不
循環小數。
2.周長公式:C＝πd或C＝2πr
知識點三:圓的面積
1.面積公式：S＝πr2
2.圓環面積公式：S＝πR2-πr2或S＝π（R2-r2）
3.外方內圓：正方形的邊長是圓的直徑
4.外圓內方；正方形的對角線是圓的直徑，把正方形看作兩個等腰直
角三角形。
易錯點一：在組合圖形中，準確找出半徑
典例 將兩個大小不同的圓擺放在一個長方形中（如下圖所示），小圓
的半徑是多少厘米？
解析 根據圖意可得，大圓的直徑是長方形的寬，大圓的直徑加上
小圓的直徑是長方形的長。
（8-6）÷2＝1（厘米）
答:小圓的半徑是1厘米。
易錯點二：在組合圖形中，確定對稱軸條數
典例 畫出所有的對稱軸。
解析 正方形有4條對稱軸，圓有無數條對稱軸，所以正方形和圓按
題中圖的形式組合在一起，共有4條對稱軸，可以用虛線表示出對
稱軸（如圖所示）。
易錯點三：圓的周長公式的應用
典例 一根鐵絲可以圍成一個直徑是16分米的圓，如果用這根鐵絲
圍成一個最大的正方形，那么正方形的邊長是多少分米？（π取3.14，
下同）
解析 用同樣一根鐵絲分別圍成圓和正方形，說明圓的周長和正方形
的周長相等。
16×3.14÷4
＝50.24÷4
＝12.56（分米）
答：正方形的邊長是12.56分米。
易錯點四：有關圓周長的一半的計算
典例 在下圖中從M到N，路線①與路線②相比哪條路更近？
解析 根據圓的周長公式分別求出兩條路線的長度，然后比較大小即
可。路線①3.14×（2＋4＋6）÷2
＝3.14×12÷2
＝18.84（cm）
路線②3.14×2÷2＋3.14×4÷2＋3.14×6÷2
＝3.14×（2＋4＋6）＋2
＝3.14×12÷2
＝18.84（cm）
答:路線①與路線②一樣近。
易錯點四：有關半圓形的周長的計算
典例 如圖所示，一個半圓形的周長是15.42米，這個半圓形的直徑
是多少米？
解析 半圓形的周長＝圓周長的一半＋直徑。
解：設這個半圓形的半徑為r米。
πr＋2r＝15.42
3.14r＋2r＝15.42
5.14r＝15.42
r＝3 3×2＝6（米）
答：這個半圓的直徑是6米。
易錯點五：圓周長與行程問題的轉化
典例 在長為251.2厘米的桌面上平放著一支底面半徑為0.5厘米的
圓柱形鉛筆，如果將這支鉛筆沿著桌面的長邊從一端滾動到另一端，
需要滾動多少圈？
解析 鉛筆滾動過的總路程和桌面的長邊相等，并且鉛筆滾動一周正
好就是鉛筆底面的周長，根據鉛筆底面滾動一圈的長度×滾動的圈
數＝滾動的總長度可得:
一圈的長度0.5×2×3.14＝3.14（厘米）
滾動的圈數251.2÷3.14＝80（圈）
答：需要滾動80圈。
易錯點七：圓的面積公式推導的有關問題
典例 如圖所示，把一個圓形紙片平均剪成16份，將這16個扇形拼
成一個近似的長方形，已知長方形的長是6.28厘米，這個圓的面積
是多少？
解析 把圓剪拼成一個近似的長方形，形狀改變，面積不變。長方形
的長正好是圓周長的一半。
半徑：6.28-3.14＝2（厘米）
面積：3.14×2×2＝12.56（平方厘米）
答：這個圓的面積是12.56平方厘米。
易錯點八:圓的面積公式的應用
典例 如圖所示，在一個邊長是6米的正方形羊圈外的一個角上拴著
一只羊，繩長為4米。羊在羊圈外可以活動的最大范圍是多少？
解析 羊可以活動的最大范圍應該是拉緊繩子繞一圈的面積，但因為
是在正方形羊圈外的一角上，所以不能進入羊圈內，因此羊可以活動
的范圍應該是以4米為半徑的圓的面積的
3.14x4x4x
＝12.56×4×
＝37.68（平方米）
答:羊在羊圈外可以活動的最大范圍是37.68平方米。
易錯點九：有關圓、長方形、正方形的周長和面積的綜合應用
典例 如圖所示，長方形的寬是多少厘米？
解析 根據題意可知圓的面積和長方形的面積相等，所以求圓的面積
就是求長方形的面積，欲求長方形的寬，用長方形的面積÷長＝寬即
可。16÷2＝8（厘米）
3.14× 8×8
＝25.12×8
＝200.96（平方厘米）
200.96÷16＝12.56（厘米）
答：長方形的寬是12.56厘米。
易錯點十：外方內圓與外圓內方的問題
典例 如圖所示，在一個正方形紙上剪下一個最大的圓形紙片，求剪
下的圓的面積是正方形面積的幾分之幾？
解析 在正方形中畫最大的圓，需要先確定圓心就是正方形對角
線的交點，然后再確定圓的半徑就是正方形邊長的一半。
方法一（設數法）設正方形邊長是4
4÷2＝2
（3.14×2×2）÷（4×4）
＝12.56÷16
＝
方法二（公式法）設圓的半徑為r。
（π×r×r）÷（2r×2r）
＝π÷4
＝
答：剪下的圓的面積是正方形面積的.
易錯點十一：圓內半徑、直徑、周長、面積的關系
典例 如果一個圓的半徑擴大到原來的3倍，周長和面積怎么變？
解析 同一個圓內半徑擴大到原來的幾倍，直徑也擴大到原來的幾
倍，周長也同樣擴大相同的倍數，面積卻擴大倍數的平方倍。
方法一 解：設圓的半徑是1。擴大到原來的3倍后是3
周長 3.14×1×2＝6.28 3.14×3×2＝18.84
18.84÷6.28＝3
面積 3.14×1×1＝3.14 3.14×3×3＝28.26
28.26÷3.14＝9
方法二 直接用公式
解：設圓的半徑為r，擴大到原來的3倍后為3r。
原來周長2πr 后來周長2×π×3r＝6πr 6πr÷2πr＝3
原來面積π×r×r 后來面積π×3r×3r
（π×3r×3r）÷（π×r×r）＝9
答:周長擴大到原來的3倍，面積擴大到原來的9倍。
易錯點十二：有關圓環的面積的計算
典例 如圖所示，一個圓形噴水池的周長是62.8米，繞著這個噴水池修一條寬2米的水泥路，求水泥路路面的面積。
解析 圓環的面積其實就是外圓的面積減去內圓的面積，公式為
π（R2-r2）.
62.8÷3.14÷2
＝20÷2
＝ 1O（米）
10＋2＝12（米）
3.14×（122-102）
＝3.14×44
＝138.16（平方米）
答:水泥路路面的面積是138.16平方米。
易錯點十三：圓和長方形、正方形的組合圖形的面積
典例 如圖所示，已知小正方形的面積是10平方厘米，求陰影部分的面積。
解析 根據圖形可知，陰影部分的面積是圓面積的.要求圓的面積需要知道圓的半徑，而在題目中只知道正方形的面積，也就是知道半徑的平方是10，那么根據圓的面積公式S＝πr2，知道半徑的平方可以直接求出圓的面積，所以陰影部分的面積也就可以求出來了。
3.14×10×＝31.4×＝23.55（平方厘米）
答：陰影部分的面積是23.55平方厘米。
易錯點十四：圓與其他圖形的組合圖形的面積
典例 如圖所示，正方形的邊長是4厘米，陰影部分的面積是多少
平方厘米？
解析 陰影部分不是規則圖形，但是可以轉化成規則圖形，再對其
面積進行加減來得到。
方法一：（圓面積的-三角形面積）×2
（3.14×42×-4×4÷2）x2
＝（12.56-8）×2
＝9.12（平方厘米）
方法二：（圓面積的×2）-正方形面積
3.14×42××2-4×4
＝25.12-16
＝9.12（平方厘米）
答：陰影部分的面積是9.12平方厘米
一、填一填。
1.一個圓形花壇的半徑是2.25米,直徑是( )米,周長是( )米。
2.一個圓的直徑是6米,半徑是( )米,周長是( )米,面積是
( )平方米。
3.一個正方形的周長與邊長的比值是( ),一個圓的直徑與半徑
的比值是( )。
4.在一個正方形里面畫一個最大的圓,這個圓的周長是12.56厘米,
這個正方形的面積是( )。
5.要畫一個周長是31.4厘米的圓,圓規兩角之間的距離是( )厘
米。
6.大圓的半徑相當于小圓的直徑,已知大圓面積比小圓面積多9.42
平方分米,大圓的面積是( )平方分米。
7.把一個圓平均分成若干等分后可以拼成一個近似的長方形,這個
長方形的長相當于圓的( ),寬相當于圓的( )。
二、判斷。(對的在括號里畫“√”,錯的畫“ ”)
1.同一個圓的周長和半徑的比是2π∶1。 ( )
2.圓的半徑如果擴大到原來的4倍,圓的周長就擴大到原來的8倍。
( )
3.直徑都是半徑的2倍。 ( )
4.圓的周長是6.28分米,那么半圓的周長是3.14分米。 ( )
三、選擇。(把正確答案的選項填在括號里)
1.圓周率表示( )。
A.圓的周長 B.圓的面積與直徑的倍數關系
C.圓的周長與直徑的倍數關系
2.一個環形,內圓半徑是4分米,外圓半徑是5分米,這個環形的面積
是多少平方分米 列式正確的是( )。
A.3.14×(5×2-4×2) B.3.14×52-3.14×42 C.3.14×(52+42)
3.在長125厘米、寬80厘米的長方形紙板上,最多能畫( )個半
徑為20厘米的圓。
A. 12 B. 7 C. 6
4.一個圓的周長是31.4分米,它的面積是( )平方分米。
A.78.5 B.15.7 C.314
5.如果圓的半徑擴大到原來的5倍,那么它的面積擴大到原來的
( )。
A.5倍 B.10倍 C.25倍
四、計算下面各圖陰影部分的面積。(單位:分米)
五、操作題。(畫出每組圖形的對稱軸)
六、解決問題。
1.雜技演員表演獨輪車走鋼絲,要騎過62.8米長的鋼絲,車輪要滾動
多少周
2.用26米長的籬笆圍成一個圓形苗圃,籬笆接頭處用去0.88米。苗
圃的面積是多少
3.一個半圓的半徑是8分米,這個半圓的周長是多少分米
4.小軍用一根30米長的繩子測一棵樹干的直徑,在樹干上繞了10圈
多1.74米。
5.一個直徑為8分米的圓桌,要在上面鋪一塊比桌面直徑大4分米的
圓形桌布,桌布的面積是多少
第一單元
一、1.4.5 14.13 2.3 18.84 28.26 3.4 2 4.16平方厘米
5.5 6.12.56 7.周長的一半 半徑
二、1.√ 2. 3. 4.
三、1.C 2.B 3.C 4.A 5.C
四、8×(8÷2)-3.14×(8÷2)2÷2=6.88(平方分米)
3.14×52-3.14×(5÷2)2×2=39.25(平方分米)
五、
六、1.40厘米=0.4米 62.8÷(3.14×0.4)=50(周) 答:車輪要滾動50周。
2.(26-0.88)÷3.14=8(米) 3.14×(8÷2)2=50.24(平方米)
答:苗圃的面積是50.24平方米。
3.3.14×8×2÷2+8×2=41.12(分米) 答:這個半圓的周長是41.12分米。
4.(30-1.74)÷10÷3.14=0.9(米)答:這棵樹干的直徑大約是0.9米。
5.(8+4)÷2=6(分米) 3.14×62=113.04(平方分米)
答:桌布的面積是113.04平方分米。

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