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(共62張PPT)
第三章
運動和力的關系
第
4
課時
專題強化：“傳送帶”模型中的動力學問題
目標
要求
1.掌握傳送帶模型的特點，了解傳送帶問題的分類。2.會對傳送帶上的物體進行受力分析和運動狀態分析，能正確解答傳送帶上物體的動力學問題。
1.模型特點：物體(視為質點)放在傳送帶上，由于物體和傳送帶相對滑動(或有相對運動趨勢)而產生摩擦力，根據物體和傳送帶間的速度關系，摩擦力可能是動力，也可能是阻力。
2.解題關鍵：抓住v物＝v傳的臨界點，當v物＝v傳時，摩擦力發生突變，物體的加速度發生突變。
3.注意物體位移、相對位移和相對路程的區別
(1)物體位移：以地面為參考系，單獨對物體由運動學公式求得的位移。
(2)物體相對傳送帶的位移大小Δx
①若有一次相對運動：Δx＝x傳－x物或Δx＝x物－x傳。
②若有兩次相對運動：兩次相對運動方向相同，則Δx＝Δx1＋Δx2(圖甲)；
兩次相對運動方向相反，則劃痕長度等于較長的相對位移大小Δx2(圖乙)。
內
容
索
引
考點一　水平傳送帶中的動力學問題
考點二　傾斜傳送帶中的動力學問題
課時精練
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考點一
水平傳送帶中的動力學問題
例1　(多選)(2023·廣東汕頭市期末)如圖所示，水平傳送帶以恒定的速度順時針轉動，在其左側輕放一小滑塊，下列描述小滑塊在傳送帶上運動的v－t(速度—時間)、a－t(加速度—時間)圖像可能
正確的是
√
√
√
若傳送帶速度較小，滑塊可能先在傳送帶上做勻加速直線運動，加速度不變，與傳送帶共速后，做勻速直線運動，加速度為零。若傳送帶速度足夠大，滑塊可能在傳送帶上一直做勻加速直線運動，最終還未與傳送帶共速就已離開傳送帶，故C錯誤，A、B、D正確。
例2　(多選)(2024·四川綿陽市零診)應用于機場和火車站的安全檢查儀，其傳送裝置可簡化為如圖所示的模型。傳送帶始終保持v＝0.4 m/s的恒定速率運行，行李與傳送帶之間的動摩擦因數μ＝0.2，A、B間的距離為2 m，g取10 m/s2。旅客把行李(可視為質點)無初速度地放在A處，則下列說法正確的是
A.開始時行李的加速度大小為2 m/s2
B.行李經過2 s到達B處
C.行李在傳送帶上留下的摩擦痕跡長度為0.12 m
D.當行李的速度與傳送帶的速度相同時，傳送帶立刻停止運動。整個過程中
行李在傳送帶上留下的摩擦痕跡長度為0.04 m
√
√
行李在傳送帶上留下的摩擦痕跡長度為
Δx＝vt1－x＝0.04 m，C錯誤；
例3　(多選)(2023·天津市蘆臺一中期末)如圖甲所示，繃緊的水平傳送帶始終以恒定速率v1順時針運行，初速度大小為v2的小物塊從與傳送帶等高的光滑水平地面上的A處滑上傳送帶。若從小物塊滑上傳送帶開始計時，小物塊在傳送帶上運動的v－t圖像(以地面為參考系)如圖乙所示，已知v2>v1，則
A.t2時刻，小物塊離A處的距離達到最大
B.t2時刻，小物塊相對傳送帶滑動的距離
達到最大
C.0～t2時間內，小物塊始終受到大小不變的摩擦力作用
D.0～t2時間內，小物塊受到的摩擦力先向右后向左
√
√
相對地面而言，小物塊在0～t1
時間內，向左做勻減速直線運
動，t1之后反向向右運動，故小
物塊在t1時刻離A處距離最大，A錯誤；
小物塊在0～t1時間內，向左做勻減速直線運動，相對傳送帶向左運動，在t1～t2時間內，反向向右做勻加速直線運動，但速度小于傳送帶的速度，相對傳送帶向左運動，t2時刻兩者同速，在t2～t3時間內，小物塊相對于傳送帶靜止，所以t2時刻小物塊相對傳送帶滑動的距離達到最大值，B正確；
0～t2時間內，小物塊相對傳送帶向左運動，始終受到向右的滑動摩擦力，滑動摩擦力的大小和方向都不變，故C正確，D錯誤。
情景 滑塊的運動情況
傳送帶不足夠長(滑塊最終未與傳送帶相對靜止) 傳送帶足夠長
一直加速 先加速后勻速
水平傳送帶問題的常見情形及運動分析
情景 滑塊的運動情況
傳送帶不足夠長(滑塊最終未與傳送帶相對靜止) 傳送帶足夠長
v0v0>v時，一直減速 v0>v時，先減速再勻速
情景 滑塊的運動情況
傳送帶不足夠長 (滑塊最終未與傳 送帶相對靜止) 傳送帶足夠長
滑塊一直減速到 右端 滑塊先減速到速度為0，后被傳送帶傳回左端
若v0≤v，則返回到左端時速度為v0；若v0>v，則返回到左端時速度為v
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傾斜傳送帶中的動力學問題
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考點二
例4　如圖所示，傳送帶與水平地面的夾角θ＝37°，從A到B的長度為L＝10.25 m，傳送帶以v0＝10 m/s的速率逆時針轉動。在傳送帶上端A無初速度放一個質量為m＝0.5 kg的黑色煤塊(可視為質點)，它與傳送帶之間的動摩擦因數為μ＝0.5，煤塊在傳送帶上經過會留下黑色痕跡。已知sin 37°＝0.6，g取10 m/s2，求：
(1)當煤塊與傳送帶速度相同時，接下來它們能否
相對靜止；
答案　不能
由于mgsin 37°>μmgcos 37°，所以煤塊與傳送帶速度相同后，它們不能相對靜止。
(2)煤塊從A運動到B的時間；
答案　1.5 s
煤塊剛放上時，受到沿斜面向下的摩擦力，其加速度為a1＝g(sin θ＋μcos θ)＝10 m/s2，
煤塊速度達到v0后，加速度大小改變，繼續沿傳送帶向下加速運動，則有
a2＝g(sin θ－μcos θ)＝2 m/s2，
x2＝L－x1＝5.25 m，
得t2＝0.5 s
故煤塊從A運動到B的時間為t＝t1＋t2＝1.5 s。
(3)煤塊從A到B的過程中在傳送帶上留下痕跡的長度。
答案　5 m
第一過程痕跡長Δx1＝v0t1－x1＝5 m，
第二過程痕跡長Δx2＝x2－v0t2＝0.25 m，
Δx2與Δx1部分重合，故痕跡總長為5 m。
拓展　若煤塊和傳送帶之間的動摩擦因數為0.75，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，求煤塊從A運動至B的時間。
答案　1.441 s
由于Ff＝μ′FN＝μ′mgcos θ＝mgsin θ
即最大靜摩擦力等于煤塊重力沿傳送帶向下的分力，故煤塊和傳送帶達到共速后將做勻速直線運動，所以煤塊先做勻加速直線運動，后做勻速直線運動。a′＝g(sin θ＋μ′cos θ)＝12 m/s2，
勻速運動位移x2′＝L－x1′≈6.08 m
總時間t′＝t1′＋t2′＝1.441 s。
例5　(2024·遼寧沈陽市模擬)如圖，MN是一段傾角為θ＝30°的傳送帶，一個可以看作質點、質量為m＝1 kg的物塊，以沿傳送帶向下的速度v0＝4 m/s從M點開始沿傳送帶運動。物塊運動過程的部分v－t圖像如圖所示，取g＝10 m/s2，則
A.物塊最終從傳送帶N點離開
B.傳送帶的速度v＝1 m/s，方向逆時針
C.物塊沿傳送帶下滑時的加速度a＝2 m/s2
D.物塊將在5 s時回到原處
√
從圖像可知，物塊速度減為零后沿傳送帶反向向上運動，最終的速度大小為1 m/s，因此沒從N點離開，可知傳送帶順時針運動，速度大小為1 m/s，故A、B錯誤；
情景 滑塊的運動情況
傳送帶不足夠長 傳送帶足夠長
一直加速(一定滿足關系μ>tan θ) 先加速后勻速(一定滿足關系μ>tan θ)
傾斜傳送帶問題的常見情形及運動分析
情景 滑塊的運動情況
傳送帶不足夠長 傳送帶足夠長
一直加速(加速度為gsin θ＋μgcos θ) 若μ≥tan θ，先加速后勻速
若μ情景 滑塊的運動情況
傳送帶不足夠長 傳送帶足夠長
v0v0>v時，若μtan θ，一直減速，加速度大小為μgcos θ－gsin θ；若μ＝tan θ，一直勻速 v0>v時，若μ>tan θ，先減速后勻速；若μ情景 滑塊的運動情況
傳送帶不足夠長 傳送帶足夠長
(摩擦力方向一定沿傳送帶向上) μμ>tan θ，一直 減速 μ>tan θ，先減速到速度為0后反向加速，若v0≤v，運動到原位置時速度大小為v0；若v0>v，運動到原位置時速度大小為v
返回
課時精練
1.(2023·江蘇揚州市高郵中學期中)如圖所示，飛機場運輸行李的傾斜傳送帶保持恒定的速率運行，將行李箱無初速度地放在傳送帶底端，當傳送帶將它送入飛機貨艙前行李箱已做勻速運動。假設行李箱與傳送帶之間的動摩擦因數為μ，傳送帶與水平面的夾角為θ，已知滑動摩擦力近似等于最大靜摩擦力，下列說法正確的是
A.要實現這一目的前提是μB.做勻速運動時，行李箱與傳送帶之間的摩擦力為零
C.全過程傳送帶對行李箱的摩擦力方向沿傳送帶向上
D.若使傳送帶速度足夠大，可以無限縮短傳送的時間
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要實現這一目的前提是沿傳送帶向上的最大靜摩
擦力大于重力沿傳送帶向下的分力，即μmgcos θ
>mgsin θ，可得μ>tan θ，故A錯誤；
做勻速運動時，行李箱與傳送帶之間的摩擦力大
小為mgsin θ，故B錯誤；
行李箱在加速階段和勻速階段受到的摩擦力方向均沿傳送帶向上，故C正確；
若使傳送帶速度足夠大，行李箱在傳送帶上一直做勻加速運動，傳送時間不會無限縮短，故D錯誤。
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2.(2023·廣東惠州市調研)如圖甲所示，將一物塊P輕輕放在足夠長的水平傳送帶上，取向右為速度的正方向，物塊P最初一段時間的速度—時間圖像如圖乙所示，下列說法正確的是
A.物塊一直受滑動摩擦力
B.傳送帶做順時針的勻速運動
C.傳送帶做順時針的勻加速運動
D.物塊最終有可能從圖甲的左端滑下傳送帶
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由題圖乙可知，物塊先做勻加速運動，當與傳送帶共速后，與傳送帶一起做順時針的勻加速運動，故B錯誤，C正確；
當物塊與傳送帶一起順時針加速后，物塊受靜摩擦力，物塊不可能從題圖甲的左端滑下傳送帶，故A、D錯誤。
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3.(多選)(2023·四川省資中縣第二中學檢測)如圖所示，由于運力增加，某機場欲讓貨物盡快通過傳送帶。已知傳送帶兩軸心間距為5 m，傳送帶順時針勻速傳動，其速度的大小可以由驅動系統根據需要設定，一可視為質點的貨物以7 m/s初速度從左端滑上傳送帶，已知貨物與傳送帶間的動摩擦因數為μ＝0.4，取g＝10 m/s2，則下列傳送帶的速度符合要求的是
A.8 m/s B.9 m/s
C.10 m/s D.11 m/s
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4.(2023·安徽省十校聯盟期中)某快遞公司為了提高效率，使用電動傳輸機輸送快件，如圖所示，水平傳送帶AB長度L＝5.25 m，始終保持恒定速度v＝1 m/s運行，在傳送帶上A處輕輕放置一快件(可視為質點)，快件與傳送帶之間的動摩擦因數μ＝0.2，快件由靜止開始加速，與傳送帶共速后做勻速運動到達B處，忽略空氣阻力，重力加速度取g＝10 m/s2，下列說法正確的是
A.快件所受摩擦力的方向與其運動方向始終相反
B.快件先受滑動摩擦力作用，后受靜摩擦力作用
C.快件與傳送帶的相對位移為0.5 m
D.快件由A到B的時間為5.5 s
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快件加速時，滑動摩擦力方向與運動方向相同，勻速后，與傳送帶之間無相對運動趨勢，不受摩擦力作用，故A、B錯誤；
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5.(2021·遼寧卷·13)機場地勤工作人員利用傳送帶從飛機上卸行李。如圖所示，以恒定速率v1＝0.6 m/s運行的傳送帶與水平面間的夾角α＝37°，轉軸間距L＝3.95 m。工作人員沿傳送方向以速度v2＝1.6 m/s從傳送帶頂端推下一件小包裹(可視為質點)。小包裹與傳送帶間的動摩擦因數μ＝0.8。取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，
cos 37°＝0.8。求：
(1)小包裹相對傳送帶滑動時加速度的大小a；
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答案　0.4 m/s2
小包裹的初速度v2大于傳送帶的速度v1，所以
開始時小包裹受到的傳送帶的摩擦力沿傳送帶
向上，因為小包裹所受滑動摩擦力大于重力沿
傳送帶方向上的分力，即μmgcos α>mgsin α，
所以小包裹與傳送帶共速后做勻速直線運動至傳送帶底端，根據牛頓第二定律可知
μmgcos α－mgsin α＝ma，解得a＝0.4 m/s2
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(2)小包裹通過傳送帶所需的時間t。
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答案　4.5 s
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在傳送帶上滑動的距離為
6.(多選)(2024·重慶名校聯盟期中)如圖甲為一足夠長的傾斜傳送帶，傾角θ＝37°，現以恒定速率v＝4 m/s順時針轉動。一煤塊以初速度v0＝12 m/s從A端沖上傳送帶，煤塊的v－t圖像如圖乙所示，已知煤塊與傳送帶間的動摩擦因數為0.25，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，則
A.圖乙中t1＝0.75 s
B.圖乙中t2＝2 s
C.煤塊運動過程中距離A點的最遠距離
為10 m
D.煤塊在傳送帶上留下的痕跡長為
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0～t1內，傳送帶位移大小為x1＝vt1＝
4 m，由圖像知煤塊位移大小為8 m，煤塊比傳送帶多走Δx1＝4 m，t1～t2內，傳送帶位移大小為x2＝v(t2－t1)＝4 m，由圖像知煤塊位移大小為2 m，傳送帶
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7.(2023·遼寧阜新市聯考)如圖甲所示，足夠長的勻速運動的傳送帶的傾角為θ，在傳送帶上某位置輕輕放置一物塊，結果物塊的速度隨時間變化的關系如圖乙所示，其中v0、t0已知。重力加速度大小為g。下列說法正確的是
A.物塊可能沿傳送帶向上運動
B.物塊與傳送帶間的動摩擦因數大于tan θ
C.t0時間后物塊的加速度大小為2gsin θ－
D.若傳送帶反轉，則物塊將一直以大小為gsin θ－ 的加速度做勻加速
直線運動
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v－t圖像的斜率表示加速度，根據題圖
乙可知，t0時刻之前的加速度大于t0時刻
之后的加速度，可知物塊t0時刻之前受
到的滑動摩擦力沿傳送帶向下，即開始
時物塊相對傳送帶向上運動，傳送帶逆時針轉動，根據題圖乙可知，物塊始終向下做加速直線運動，A錯誤；
根據上述，t0時刻之后物塊向下做加速度較小的勻加速直線運動，則有mgsin θ>μmgcos θ，解得μ1
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由于mgsin θ>μmgcos θ，若傳送帶反轉，物塊始終相對傳送帶向下運動，摩擦力始終沿傳送帶向上，對物塊始終有mgsin θ－μmgcos θ＝ma2，即若傳送帶反轉，則物塊將一直以大小為2gsin θ－ 的加速度做勻加速直線運動，D錯誤。
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8.(2024·廣東深圳市二檢)快遞物流已經深入我們的生活，準確迅速分揀是一個重要環節，圖甲是快遞分揀傳送裝置。它由兩臺傳送機組成，一臺水平傳送和一臺傾斜傳送，圖乙是該裝置示意圖，CD部分傾角θ＝37°，B、C間距離忽略不計。已知水平傳送帶以4 m/s的
速率順時針轉動。把一個可視為質點的貨物無初速度放
在A端，圖丙為水平傳送帶AB段數控設備記錄的貨物的運
動圖像，1.3 s時剛好達到B端，且
速率不變滑上C端，已知兩段傳送
帶與貨物間的動摩擦因數相同。重
力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6。
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(1)水平傳送帶AB的長度及動摩擦因數；
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答案　3.6 m　0.5
貨物在水平傳送帶上運動時，
根據牛頓第二定律可得μmg＝ma1
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(2)若CD段的長度為2.6 m，則CD部分傳送帶速度至少為多少，快遞員才能在D端取到貨物。
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答案　3 m/s
依題意，貨物以4 m/s滑上傾斜
傳送帶CD部分，CD以順時針
方向轉動但速度未知，
第一種情況：若傳送帶CD部分速度大于貨物速度，不符合傳送帶速度取最小的情況，故舍棄；
第二種情況：若傳送帶CD部分速度小于貨物速度，貨物所受摩擦力方向沿傳送帶向下，則
mgsin θ＋μmgcos θ＝ma2，解得a2＝10 m/s2
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故貨物先做勻減速直線運動，等到與傳送帶共速時由于μ解得a3＝2 m/s2
v－t圖像如圖：
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解得v＝3 m/s，即傳送帶的速度至少為3 m/s快遞員才能在D端取到貨物。
9.(2023·湖北武漢市三模)如圖所示，生產車間有兩個完全相同的水平傳送帶甲和乙，它們相互垂直且等高，正常工作時都勻速運動，速度大小分別為v甲、v乙，將工件(視為質點)輕放到傳送帶甲上，工件離開傳送帶甲前
已經與傳送帶甲的速度相同，并平穩地傳送到傳送帶乙上，
且不會從傳送帶乙的右側掉落。兩傳送帶正常工作時，對其
中一個工件A在傳送帶乙上留下的痕跡，下圖中可能正確的是
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傳送帶甲、乙正常工作時均做勻速運動，速度大
小分別為v甲、v乙，所以，工件滑上乙時，水平方
向相對傳送帶乙的速度水平向右，沿傳送帶乙方
向相對傳送帶乙的速度與乙的運動方向相反，所
以相對傳送帶乙的速度為這兩個分速度的合速度，方向向右下方，因為合速度方向的反方向為滑動摩擦力方向，力與速度方向相反，工件A做勻減速直線運動，軌跡沿速度方向，故D正確，A、B、C錯誤。
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目標要求　1.掌握傳送帶模型的特點，了解傳送帶問題的分類。2.會對傳送帶上的物體進行受力分析和運動狀態分析，能正確解答傳送帶上物體的動力學問題。
1．模型特點：物體(視為質點)放在傳送帶上，由于物體和傳送帶相對滑動(或有相對運動趨勢)而產生摩擦力，根據物體和傳送帶間的速度關系，摩擦力可能是動力，也可能是阻力。
2．解題關鍵：抓住v物＝v傳的臨界點，當v物＝v傳時，摩擦力發生突變，物體的加速度發生突變。
3．注意物體位移、相對位移和相對路程的區別
(1)物體位移：以地面為參考系，單獨對物體由運動學公式求得的位移。
(2)物體相對傳送帶的位移大小Δx
①若有一次相對運動：Δx＝x傳－x物或Δx＝x物－x傳。
②若有兩次相對運動：兩次相對運動方向相同，則Δx＝Δx1＋Δx2(圖甲)；
兩次相對運動方向相反，則劃痕長度等于較長的相對位移大小Δx2(圖乙)。
考點一　水平傳送帶中的動力學問題
例1　(多選)(2023·廣東汕頭市期末)如圖所示，水平傳送帶以恒定的速度順時針轉動，在其左側輕放一小滑塊，下列描述小滑塊在傳送帶上運動的v－t(速度—時間)、a－t(加速度—時間)圖像可能正確的是(　　)
答案　ABD
解析　若傳送帶速度較小，滑塊可能先在傳送帶上做勻加速直線運動，加速度不變，與傳送帶共速后，做勻速直線運動，加速度為零。若傳送帶速度足夠大，滑塊可能在傳送帶上一直做勻加速直線運動，最終還未與傳送帶共速就已離開傳送帶，故C錯誤，A、B、D正確。
例2　(多選)(2024·四川綿陽市零診)應用于機場和火車站的安全檢查儀，其傳送裝置可簡化為如圖所示的模型。傳送帶始終保持v＝0.4 m/s的恒定速率運行，行李與傳送帶之間的動摩擦因數μ＝0.2，A、B間的距離為2 m，g取10 m/s2。旅客把行李(可視為質點)無初速度地放在A處，則下列說法正確的是(　　)
A．開始時行李的加速度大小為2 m/s2
B．行李經過2 s到達B處
C．行李在傳送帶上留下的摩擦痕跡長度為0.12 m
D．當行李的速度與傳送帶的速度相同時，傳送帶立刻停止運動。整個過程中行李在傳送帶上留下的摩擦痕跡長度為0.04 m
答案　AD
解析　開始時行李的加速度大小為a＝＝2 m/s2，A正確；行李與傳動帶共速時t1＝＝0.2 s，行李的位移為x＝at12＝0.04 m，行李勻速運動的時間為t2＝＝4.9 s，行李到達B處的時間為t＝t1＋t2＝5.1 s，B錯誤；行李在傳送帶上留下的摩擦痕跡長度為Δx＝vt1－x＝0.04 m，C錯誤；共速時傳送帶立刻停止運動，行李做勻減速運動的位移為x1＝＝0.04 m，兩段劃痕的長度重合，則摩擦痕跡長度為0.04 m，D正確。
例3　(多選)(2023·天津市蘆臺一中期末)如圖甲所示，繃緊的水平傳送帶始終以恒定速率v1順時針運行，初速度大小為v2的小物塊從與傳送帶等高的光滑水平地面上的A處滑上傳送帶。若從小物塊滑上傳送帶開始計時，小物塊在傳送帶上運動的v－t圖像(以地面為參考系)如圖乙所示，已知v2>v1，則(　　)
A．t2時刻，小物塊離A處的距離達到最大
B．t2時刻，小物塊相對傳送帶滑動的距離達到最大
C．0～t2時間內，小物塊始終受到大小不變的摩擦力作用
D．0～t2時間內，小物塊受到的摩擦力先向右后向左
答案　BC
解析　相對地面而言，小物塊在0～t1時間內，向左做勻減速直線運動，t1之后反向向右運動，故小物塊在t1時刻離A處距離最大，A錯誤；小物塊在0～t1時間內，向左做勻減速直線運動，相對傳送帶向左運動，在t1～t2時間內，反向向右做勻加速直線運動，但速度小于傳送帶的速度，相對傳送帶向左運動，t2時刻兩者同速，在t2～t3時間內，小物塊相對于傳送帶靜止，所以t2時刻小物塊相對傳送帶滑動的距離達到最大值，B正確；0～t2時間內，小物塊相對傳送帶向左運動，始終受到向右的滑動摩擦力，滑動摩擦力的大小和方向都不變，故C正確，D錯誤。
水平傳送帶問題的常見情形及運動分析
情景 滑塊的運動情況
傳送帶不足夠長(滑塊最終未與傳送帶相對靜止) 傳送帶足夠長
一直加速 先加速后勻速
v0v0>v時，一直減速 v0>v時，先減速再勻速
滑塊一直減速到右端 滑塊先減速到速度為0，后被傳送帶傳回左端 若v0≤v，則返回到左端時速度為v0；若v0>v，則返回到左端時速度為v
考點二　傾斜傳送帶中的動力學問題
例4　如圖所示，傳送帶與水平地面的夾角θ＝37°，從A到B的長度為L＝10.25 m，傳送帶以v0＝10 m/s的速率逆時針轉動。在傳送帶上端A無初速度放一個質量為m＝0.5 kg的黑色煤塊(可視為質點)，它與傳送帶之間的動摩擦因數為μ＝0.5，煤塊在傳送帶上經過會留下黑色痕跡。已知sin 37°＝0.6，g取10 m/s2，求：
(1)當煤塊與傳送帶速度相同時，接下來它們能否相對靜止；
(2)煤塊從A運動到B的時間；
(3)煤塊從A到B的過程中在傳送帶上留下痕跡的長度。
答案　(1)不能　(2)1.5 s　(3)5 m
解析　(1)由于mgsin 37°>μmgcos 37°，所以煤塊與傳送帶速度相同后，它們不能相對靜止。
(2)煤塊剛放上時，受到沿斜面向下的摩擦力，其加速度為a1＝g(sin θ＋μcos θ)＝10 m/s2，
煤塊加速運動至與傳送帶速度相同時需要的時間t1＝＝1 s，發生的位移x1＝a1t12＝5 m
煤塊速度達到v0后，加速度大小改變，繼續沿傳送帶向下加速運動，則有
a2＝g(sin θ－μcos θ)＝2 m/s2，
x2＝L－x1＝5.25 m，
由x2＝v0t2＋a2t22，
得t2＝0.5 s
故煤塊從A運動到B的時間為t＝t1＋t2＝1.5 s。
(3)第一過程痕跡長Δx1＝v0t1－x1＝5 m，
第二過程痕跡長Δx2＝x2－v0t2＝0.25 m，
Δx2與Δx1部分重合，故痕跡總長為5 m。
拓展　若煤塊和傳送帶之間的動摩擦因數為0.75，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，求煤塊從A運動至B的時間。
答案　1.441 s
解析　由于Ff＝μ′FN＝μ′mgcos θ＝mgsin θ
即最大靜摩擦力等于煤塊重力沿傳送帶向下的分力，故煤塊和傳送帶達到共速后將做勻速直線運動，所以煤塊先做勻加速直線運動，后做勻速直線運動。a′＝g(sin θ＋μ′cos θ)＝
12 m/s2，
加速時間t1′＝＝ s≈0.833 s，
加速位移x1′＝a′t1′2＝ m，
勻速運動位移x2′＝L－x1′≈6.08 m
勻速運動時間t2′＝＝ s＝0.608 s
總時間t′＝t1′＋t2′＝1.441 s。
例5　(2024·遼寧沈陽市模擬)如圖，MN是一段傾角為θ＝30°的傳送帶，一個可以看作質點、質量為m＝1 kg的物塊，以沿傳送帶向下的速度v0＝4 m/s從M點開始沿傳送帶運動。物塊運動過程的部分v－t圖像如圖所示，取g＝10 m/s2，則(　　)
A．物塊最終從傳送帶N點離開
B．傳送帶的速度v＝1 m/s，方向逆時針
C．物塊沿傳送帶下滑時的加速度a＝2 m/s2
D．物塊將在5 s時回到原處
答案　D
解析　從圖像可知，物塊速度減為零后沿傳送帶反向向上運動，最終的速度大小為1 m/s，因此沒從N點離開，可知傳送帶順時針運動，速度大小為1 m/s，故A、B錯誤；v－t圖像中斜率表示加速度，可知物塊沿傳送帶下滑時的加速度大小為a＝ m/s2＝2.5 m/s2，故C錯誤；速度圖像與時間軸圍成的面積表示位移，由圖像可知，t1＝ s時，物塊的速度為0，之后物塊沿傳送帶向上運動，所以物塊沿傳送帶向下運動的位移x1＝×4× m＝ m，t1＝ s到t2＝2 s，物塊沿傳送帶向上加速運動的位移x2＝×1 m＝ m，物塊沿傳送帶向上勻速運動的時間t勻＝＝3 s，所以物塊回到原處的時間t＝3 s＋2 s＝5 s，故D正確。
傾斜傳送帶問題的常見情形及運動分析
情景 滑塊的運動情況
傳送帶不足夠長 傳送帶足夠長
一直加速(一定滿足關系μ>tan θ) 先加速后勻速(一定滿足關系μ>tan θ)
一直加速(加速度為gsin θ＋μgcos θ) 若μ≥tan θ，先加速后勻速
若μv0v0>v時，若μtan θ，一直減速， 加速度大小為μgcos θ－ gsin θ；若μ＝tan θ，一直勻速 v0>v時，若μ>tan θ，先減速后勻速；若μ(摩擦力方向一定沿傳送帶向上) μμ>tan θ，一直減速 μ>tan θ，先減速到速度為0后反向加速，若v0≤v，運動到原位置時速度大小為v0；若v0>v，運動到原位置時速度大小為v
課時精練
1.(2023·江蘇揚州市高郵中學期中)如圖所示，飛機場運輸行李的傾斜傳送帶保持恒定的速率運行，將行李箱無初速度地放在傳送帶底端，當傳送帶將它送入飛機貨艙前行李箱已做勻速運動。假設行李箱與傳送帶之間的動摩擦因數為μ，傳送帶與水平面的夾角為θ，已知滑動摩擦力近似等于最大靜摩擦力，下列說法正確的是(　　)
A．要實現這一目的前提是μB．做勻速運動時，行李箱與傳送帶之間的摩擦力為零
C．全過程傳送帶對行李箱的摩擦力方向沿傳送帶向上
D．若使傳送帶速度足夠大，可以無限縮短傳送的時間
答案　C
解析　要實現這一目的前提是沿傳送帶向上的最大靜摩擦力大于重力沿傳送帶向下的分力，即μmgcos θ>mgsin θ，可得μ>tan θ，故A錯誤；做勻速運動時，行李箱與傳送帶之間的摩擦力大小為mgsin θ，故B錯誤；行李箱在加速階段和勻速階段受到的摩擦力方向均沿傳送帶向上，故C正確；若使傳送帶速度足夠大，行李箱在傳送帶上一直做勻加速運動，傳送時間不會無限縮短，故D錯誤。
2．(2023·廣東惠州市調研)如圖甲所示，將一物塊P輕輕放在足夠長的水平傳送帶上，取向右為速度的正方向，物塊P最初一段時間的速度—時間圖像如圖乙所示，下列說法正確的是(　　)
A．物塊一直受滑動摩擦力
B．傳送帶做順時針的勻速運動
C．傳送帶做順時針的勻加速運動
D．物塊最終有可能從圖甲的左端滑下傳送帶
答案　C
解析　由題圖乙可知，物塊先做勻加速運動，當與傳送帶共速后，與傳送帶一起做順時針的勻加速運動，故B錯誤，C正確；當物塊與傳送帶一起順時針加速后，物塊受靜摩擦力，物塊不可能從題圖甲的左端滑下傳送帶，故A、D錯誤。
3.(多選)(2023·四川省資中縣第二中學檢測)如圖所示，由于運力增加，某機場欲讓貨物盡快通過傳送帶。已知傳送帶兩軸心間距為5 m，傳送帶順時針勻速傳動，其速度的大小可以由驅動系統根據需要設定，一可視為質點的貨物以7 m/s初速度從左端滑上傳送帶，已知貨物與傳送帶間的動摩擦因數為μ＝0.4，取g＝10 m/s2，則下列傳送帶的速度符合要求的是(　　)
A．8 m/s B．9 m/s C．10 m/s D．11 m/s
答案　CD
解析　根據題意可知，欲讓貨物盡快通過傳送帶，則需讓貨物在傳送帶上一直做勻加速運動，設貨物通過傳送帶后的速度為v，由牛頓第二定律有ma＝μmg，由運動學公式有v2－v02＝2ax，解得v＝ m/s≈9.4 m/s，即符合要求的傳送帶速度為v1≥ m/s≈9.4 m/s，故選C、D。
4.(2023·安徽省十校聯盟期中)某快遞公司為了提高效率，使用電動傳輸機輸送快件，如圖所示，水平傳送帶AB長度L＝5.25 m，始終保持恒定速度v＝1 m/s運行，在傳送帶上A處輕輕放置一快件(可視為質點)，快件與傳送帶之間的動摩擦因數μ＝0.2，快件由靜止開始加速，與傳送帶共速后做勻速運動到達B處，忽略空氣阻力，重力加速度取g＝10 m/s2，下列說法正確的是(　　)
A．快件所受摩擦力的方向與其運動方向始終相反
B．快件先受滑動摩擦力作用，后受靜摩擦力作用
C．快件與傳送帶的相對位移為0.5 m
D．快件由A到B的時間為5.5 s
答案　D
解析　快件加速時，滑動摩擦力方向與運動方向相同，勻速后，與傳送帶之間無相對運動趨勢，不受摩擦力作用，故A、B錯誤；快件與傳送帶相對運動時，由牛頓第二定律得其加速度大小為a＝＝μg＝2 m/s2，快件由靜止開始加速至速率為v的過程所用時間為t＝＝0.5 s，與傳送帶的相對位移為Δx＝vt－t＝0.25 m，故C錯誤；快件勻速運動的時間為t′＝＝5 s，所以快件運輸總時間為t總＝t＋t′＝5.5 s，故D正確。
5.(2021·遼寧卷·13)機場地勤工作人員利用傳送帶從飛機上卸行李。如圖所示，以恒定速率v1＝0.6 m/s運行的傳送帶與水平面間的夾角α＝37°，轉軸間距L＝3.95 m。工作人員沿傳送方向以速度v2＝1.6 m/s從傳送帶頂端推下一件小包裹(可視為質點)。小包裹與傳送帶間的動摩擦因數μ＝0.8。取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)小包裹相對傳送帶滑動時加速度的大小a；
(2)小包裹通過傳送帶所需的時間t。
答案　(1)0.4 m/s2　(2)4.5 s
解析　(1)小包裹的初速度v2大于傳送帶的速度v1，所以開始時小包裹受到的傳送帶的摩擦力沿傳送帶向上，因為小包裹所受滑動摩擦力大于重力沿傳送帶方向上的分力，即μmgcos α>mgsin α，所以小包裹與傳送帶共速后做勻速直線運動至傳送帶底端，根據牛頓第二定律可知
μmgcos α－mgsin α＝ma，解得a＝0.4 m/s2
(2)根據(1)可知小包裹開始階段在傳送帶上做勻減速直線運動，用時t1＝＝ s＝2.5 s
在傳送帶上滑動的距離為
x1＝t1＝×2.5 m＝2.75 m
共速后，勻速運動的時間為t2＝＝ s＝2 s，所以小包裹通過傳送帶所需的時間為t＝t1＋t2＝4.5 s。
6．(多選)(2024·重慶名校聯盟期中)如圖甲為一足夠長的傾斜傳送帶，傾角θ＝37°，現以恒定速率v＝4 m/s順時針轉動。一煤塊以初速度v0＝12 m/s從A端沖上傳送帶，煤塊的v－t圖像如圖乙所示，已知煤塊與傳送帶間的動摩擦因數為0.25，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，則(　　)
A．圖乙中t1＝0.75 s
B．圖乙中t2＝2 s
C．煤塊運動過程中距離A點的最遠距離為10 m
D．煤塊在傳送帶上留下的痕跡長為(12＋4) m
答案　BCD
解析　0～t1內，根據牛頓第二定律得mgsin θ＋μmgcos θ＝ma1，解得煤塊的加速度大小為a1＝8 m/s2，所以t1＝＝ s＝1 s，故A錯誤；t1～t2內，根據牛頓第二定律得煤塊運動的加速度大小為a2＝gsin θ－μgcos θ＝4 m/s2，所以t2＝＋t1＝2 s，故B正確；由圖像知，在0～t2內，煤塊向上運動的位移為x＝×(12＋4)×1 m＋×4×1 m＝10 m，故C正確；0～t1內，傳送帶位移大小為x1＝vt1＝4 m，由圖像知煤塊位移大小為8 m，煤塊比傳送帶多走Δx1＝4 m，t1～t2內，傳送帶位移大小為x2＝v(t2－t1)＝4 m，由圖像知煤塊位移大小為2 m，傳送帶比煤塊多走Δx2＝2 m，故煤塊向上運動時劃痕是4 m；當煤塊下滑時，有x＝a2t32，解得t3＝ s，傳送帶向上運動的位移為x3＝vt3＝4 m，故劃痕總長為Δx＝4 m－2 m＋10 m＋4 m＝(12＋4) m，故D正確。
7．(2023·遼寧阜新市聯考)如圖甲所示，足夠長的勻速運動的傳送帶的傾角為θ，在傳送帶上某位置輕輕放置一物塊，結果物塊的速度隨時間變化的關系如圖乙所示，其中v0、t0已知。重力加速度大小為g。下列說法正確的是(　　)
A．物塊可能沿傳送帶向上運動
B．物塊與傳送帶間的動摩擦因數大于tan θ
C．t0時間后物塊的加速度大小為2gsin θ－
D．若傳送帶反轉，則物塊將一直以大小為gsin θ－的加速度做勻加速直線運動
答案　C
解析　v－t圖像的斜率表示加速度，根據題圖乙可知，t0時刻之前的加速度大于t0時刻之后的加速度，可知物塊t0時刻之前受到的滑動摩擦力沿傳送帶向下，即開始時物塊相對傳送帶向上運動，傳送帶逆時針轉動，根據題圖乙可知，物塊始終向下做加速直線運動，A錯誤；根據上述，t0時刻之后物塊向下做加速度較小的勻加速直線運動，則有mgsin θ>μmgcos θ，解得μμmgcos θ，若傳送帶反轉，物塊始終相對傳送帶向下運動，摩擦力始終沿傳送帶向上，對物塊始終有mgsin θ－μmgcos θ＝ma2，即若傳送帶反轉，則物塊將一直以大小為2gsin θ－的加速度做勻加速直線運動，D錯誤。
8．(2024·廣東深圳市二檢)快遞物流已經深入我們的生活，準確迅速分揀是一個重要環節，圖甲是快遞分揀傳送裝置。它由兩臺傳送機組成，一臺水平傳送和一臺傾斜傳送，圖乙是該裝置示意圖，CD部分傾角θ＝37°，B、C間距離忽略不計。已知水平傳送帶以4 m/s的速率順時針轉動。把一個可視為質點的貨物無初速度放在A端，圖丙為水平傳送帶AB段數控設備記錄的貨物的運動圖像，1.3 s時剛好達到B端，且速率不變滑上C端，已知兩段傳送帶與貨物間的動摩擦因數相同。重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6。求：
(1)水平傳送帶AB的長度及動摩擦因數；
(2)若CD段的長度為2.6 m，則CD部分傳送帶速度至少為多少，快遞員才能在D端取到貨物。
答案　(1)3.6 m　0.5　(2)3 m/s
解析　(1)由v－t圖像可知，傳送帶AB段的長度為LAB＝(0.5＋1.3)×4 m＝3.6 m
貨物在水平傳送帶上運動時，
根據牛頓第二定律可得μmg＝ma1
由題圖丙可知在傳送帶AB上的加速過程加速度為a1＝ m/s2＝5 m/s2，則μ＝0.5
(2)依題意，貨物以4 m/s滑上傾斜傳送帶CD部分，CD以順時針方向轉動但速度未知，
第一種情況：若傳送帶CD部分速度大于貨物速度，不符合傳送帶速度取最小的情況，故舍棄；
第二種情況：若傳送帶CD部分速度小于貨物速度，貨物所受摩擦力方向沿傳送帶向下，則
mgsin θ＋μmgcos θ＝ma2，解得a2＝10 m/s2
故貨物先做勻減速直線運動，等到與傳送帶共速時由于μ解得a3＝2 m/s2
v－t圖像如圖：
則有x1＝，
x2＝，LCD＝x1＋x2，
解得v＝3 m/s，即傳送帶的速度至少為3 m/s快遞員才能在D端取到貨物。
9．(2023·湖北武漢市三模)如圖所示，生產車間有兩個完全相同的水平傳送帶甲和乙，它們相互垂直且等高，正常工作時都勻速運動，速度大小分別為v甲、v乙，將工件(視為質點)輕放到傳送帶甲上，工件離開傳送帶甲前已經與傳送帶甲的速度相同，并平穩地傳送到傳送帶乙上，且不會從傳送帶乙的右側掉落。兩傳送帶正常工作時，對其中一個工件A在傳送帶乙上留下的痕跡，下圖中可能正確的是(　　)
答案　D
解析　傳送帶甲、乙正常工作時均做勻速運動，速度大小分別為v甲、v乙，所以，工件滑上乙時，水平方向相對傳送帶乙的速度水平向右，沿傳送帶乙方向相對傳送帶乙的速度與乙的運動方向相反，所以相對傳送帶乙的速度為這兩個分速度的合速度，方向向右下方，因為合速度方向的反方向為滑動摩擦力方向，力與速度方向相反，工件A做勻減速直線運動，軌跡沿速度方向，故D正確，A、B、C錯誤。第4課時　專題強化：“傳送帶”模型中的動力學問題
目標要求　1.掌握傳送帶模型的特點，了解傳送帶問題的分類。2.會對傳送帶上的物體進行受力分析和運動狀態分析，能正確解答傳送帶上物體的動力學問題。
1．模型特點：物體(視為質點)放在傳送帶上，由于物體和傳送帶相對滑動(或有相對運動趨勢)而產生摩擦力，根據物體和傳送帶間的速度關系，摩擦力可能是動力，也可能是阻力。
2．解題關鍵：抓住v物＝v傳的臨界點，當v物＝v傳時，摩擦力發生突變，物體的加速度發生突變。
3．注意物體位移、相對位移和相對路程的區別
(1)物體位移：以地面為參考系，單獨對物體由運動學公式求得的位移。
(2)物體相對傳送帶的位移大小Δx
①若有一次相對運動：Δx＝x傳－x物或Δx＝x物－x傳。
②若有兩次相對運動：兩次相對運動方向相同，則Δx＝Δx1＋Δx2(圖甲)；
兩次相對運動方向相反，則劃痕長度等于較長的相對位移大小Δx2(圖乙)。
考點一　水平傳送帶中的動力學問題
例1　(多選)(2022·廣東汕頭市期末)如圖所示，水平傳送帶以恒定的速度順時針轉動，在其左側輕放一小滑塊，下列描述小滑塊在傳送帶上運動的v－t(速度—時間)、a－t(加速度—時間)圖像可能正確的是(　　)
例2　(多選)(2024·四川綿陽市零診)應用于機場和火車站的安全檢查儀，其傳送裝置可簡化為如圖所示的模型。傳送帶始終保持v＝0.4 m/s的恒定速率運行，行李與傳送帶之間的動摩擦因數μ＝0.2，A、B間的距離為2 m，g取10 m/s2。旅客把行李(可視為質點)無初速度地放在A處，則下列說法正確的是(　　)
A．開始時行李的加速度大小為2 m/s2
B．行李經過2 s到達B處
C．行李在傳送帶上留下的摩擦痕跡長度為0.12 m
D．當行李的速度與傳送帶的速度相同時，傳送帶立刻停止運動。整個過程中行李在傳送帶上留下的摩擦痕跡長度為0.04 m
例3　(多選)(2023·天津市蘆臺一中期末)如圖甲所示，繃緊的水平傳送帶始終以恒定速率v1順時針運行，初速度大小為v2的小物塊從與傳送帶等高的光滑水平地面上的A處滑上傳送帶。若從小物塊滑上傳送帶開始計時，小物塊在傳送帶上運動的v－t圖像(以地面為參考系)如圖乙所示，已知v2>v1，則(　　)
A．t2時刻，小物塊離A處的距離達到最大
B．t2時刻，小物塊相對傳送帶滑動的距離達到最大
C．0～t2時間內，小物塊始終受到大小不變的摩擦力作用
D．0～t2時間內，小物塊受到的摩擦力先向右后向左
水平傳送帶問題的常見情形及運動分析
情景 滑塊的運動情況
傳送帶不足夠長(滑塊最終未與傳送帶相對靜止) 傳送帶足夠長
一直加速 先加速后勻速
v0v0>v時，一直減速 v0>v時，先減速再勻速
滑塊一直減速到右端 滑塊先減速到速度為0，后被傳送帶傳回左端 若v0≤v，則返回到左端時速度為v0；若v0>v，則返回到左端時速度為v
考點二　傾斜傳送帶中的動力學問題
例4　如圖所示，傳送帶與水平地面的夾角θ＝37°，從A到B的長度為L＝10.25 m，傳送帶以v0＝10 m/s的速率逆時針轉動。在傳送帶上端A無初速度放一個質量為m＝0.5 kg的黑色煤塊(可視為質點)，它與傳送帶之間的動摩擦因數為μ＝0.5，煤塊在傳送帶上經過會留下黑色痕跡。已知sin 37°＝0.6，g取10 m/s2，求：
(1)當煤塊與傳送帶速度相同時，接下來它們能否相對靜止；
(2)煤塊從A運動到B的時間；
(3)煤塊從A到B的過程中在傳送帶上留下痕跡的長度。
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拓展　若煤塊和傳送帶之間的動摩擦因數為0.75，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，求煤塊從A運動至B的時間。
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例5　(2024·遼寧沈陽市模擬)如圖，MN是一段傾角為θ＝30°的傳送帶，一個可以看作質點、質量為m＝1 kg的物塊，以沿傳送帶向下的速度v0＝4 m/s從M點開始沿傳送帶運動。物塊運動過程的部分v－t圖像如圖所示，取g＝10 m/s2，則(　　)
A．物塊最終從傳送帶N點離開
B．傳送帶的速度v＝1 m/s，方向逆時針
C．物塊沿傳送帶下滑時的加速度a＝2 m/s2
D．物塊將在5 s時回到原處
傾斜傳送帶問題的常見情形及運動分析
情景 滑塊的運動情況
傳送帶不足夠長 傳送帶足夠長
一直加速(一定滿足關系μ>tan θ) 先加速后勻速(一定滿足關系μ>tan θ)
一直加速(加速度為gsin θ＋μgcos θ) 若μ≥tan θ，先加速后勻速
若μv0v0>v時，若μtan θ，一直減速，加速度大小為μgcos θ－gsin θ；若μ＝tan θ，一直勻速 v0>v時，若μ>tan θ，先減速后勻速；若μ(摩擦力方向一定沿傳送帶向上) μμ>tan θ，一直減速 μ>tan θ，先減速到速度為0后反向加速，若v0≤v，運動到原位置時速度大小為v0；若v0>v，運動到原位置時速度大小為v

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