資源簡介

(共52張PPT)
第二章
相互作用
第
4
課時
專題強(qiáng)化：動態(tài)平衡和臨界、極值問題
目標(biāo)
要求
1.學(xué)會用圖解法、解析法等解決動態(tài)平衡問題。
2.會分析平衡中的臨界與極值問題。
內(nèi)
容
索
引
考點(diǎn)一　動態(tài)平衡問題
考點(diǎn)二　平衡中的臨界、極值問題
課時精練
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考點(diǎn)一
動態(tài)平衡問題
動態(tài)平衡是指物體的受力狀態(tài)緩慢發(fā)生變化，但在變化過程中，每一個狀態(tài)均可視為平衡狀態(tài)。常用方法：圖解法、解析法、相似三角形法、輔助圓法、正弦定理法。
1.“一力恒定，另一力方向不變”的動態(tài)平衡問題
(1)一個力恒定，另一個力始終與恒定的力垂直，三力可構(gòu)
成直角三角形，可作不同狀態(tài)下的直角三角形，分析力的
大小變化，如圖甲所示。
(2)一力恒定，另一力與恒定的力不垂直但方向不變，作出不同狀態(tài)下的矢量三角形，確定力大小的變化，在變化過程中恒力之外的兩力垂直時，會有極值出現(xiàn)，如圖乙所示。
例1　(多選)如圖所示，在傾角為α的斜面上，放一質(zhì)量為m的小球，小球和斜面及擋板間均無摩擦，當(dāng)擋板繞O點(diǎn)逆時針緩慢地轉(zhuǎn)向水平位置的過程中
A.斜面對球的支持力逐漸增大
B.斜面對球的支持力逐漸減小
C.擋板對小球的彈力先減小后增大
D.擋板對小球的彈力先增大后減小
√
√
對小球受力分析知，小球受到重力mg、斜面的支持力FN1
和擋板的彈力FN2，如圖，當(dāng)擋板繞O點(diǎn)逆時針緩慢地轉(zhuǎn)向
水平位置的過程中，小球所受的合力為零，根據(jù)平衡條件
得知，F(xiàn)N1和FN2的合力與重力mg大小相等、方向相反，作
出小球在三個不同位置力的受力分析圖，由圖看出，斜面對小球的支持力FN1逐漸減小，擋板對小球的彈力FN2先減小后增大，當(dāng)FN1和FN2垂直時，彈力FN2最小，故選項(xiàng)B、C正確，A、D錯誤。
2.“一力恒定，另兩力方向均變化”的動態(tài)平衡問題
一力恒定(如重力)，其他二力的方向均變化，但二力分別與繩子、兩物體重心連線方向等平行，即三力構(gòu)成的矢量三角形
與繩長、半徑、高度等實(shí)際幾何三角形相似，則對
應(yīng)邊比值相等。
基本矢量圖，如圖所示
例2　如圖所示為一簡易起重裝置，AC是上端帶有滑輪的固定支架，BC為質(zhì)量不計(jì)的輕桿，桿的一端C用鉸鏈固定在支架上，另一端B懸掛一個質(zhì)量為m的重物，并用鋼絲繩跨過滑輪A連接在卷揚(yáng)
機(jī)上。開始時，桿BC與AC的夾角∠BCA>90°，現(xiàn)
使∠BCA緩慢變小，直到∠BCA＝30°(不計(jì)一切阻
力)。在此過程中，桿BC所產(chǎn)生的彈力
A.大小不變 B.逐漸增大
C.先增大后減小 D.先減小后增大
√
以結(jié)點(diǎn)B為研究對象，分析受力情況，作出力的合成圖如圖，根據(jù)平衡條件知，F(xiàn)、FN的合力F合與G大小相等、方向相反。
∠BCA緩慢變小的過程中，AC、BC不變，則FN不變，故桿BC所產(chǎn)生的彈力大小不變，故選A。
3.一力恒定，另外兩力方向均變化，但兩力方向夾角保持不變的動態(tài)平衡問題
利用正弦定理或利用輔助圓，恒力為圓的一條弦，恒力所對應(yīng)角的頂點(diǎn)在圓上移動，可保持圓心角不變，根據(jù)不同位置判斷各力的大小變化。
例3　(多選)如圖，柔軟輕繩ON的一端O固定，其中間某點(diǎn)M拴一重物，用手拉住繩的另一端N。初始時，OM豎直且MN被拉直，OM與MN之間的夾角為α(α＞ )。現(xiàn)將重物向右上方緩慢拉起，并保持夾角α不變。在OM由豎直被拉到水平的過程中
A.MN上的張力逐漸增大
B.MN上的張力先增大后減小
C.OM上的張力逐漸增大
D.OM上的張力先增大后減小
√
√
法一：以重物為研究對象分析受力情況，受重力mg、OM繩上拉力F2、MN上拉力F1，由題意知，三個力的合力始終為零，矢量三角形如圖所示，F(xiàn)1、F2的夾角不變，在F2轉(zhuǎn)至水平的過程中，矢量三角形在同一外接圓上，由圖可知，MN上的張
力F1逐漸增大，OM上的張力F2先增大后減小，所以A、D正確，B、C錯誤。
法二：正弦定理
分析動態(tài)平衡問題的流程
返回
平衡中的臨界、極值問題
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考點(diǎn)二
1.臨界問題
當(dāng)某物理量變化時，會引起其他幾個物理量的變化，從而使物體所處的平衡狀態(tài)“恰好出現(xiàn)”或“恰好不出現(xiàn)”，在問題的描述中常用“剛好”“恰能”“恰好”等。臨界問題常見的種類：
(1)由靜止到運(yùn)動，摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力。
(2)繩子恰好繃緊，拉力F＝0。
(3)剛好離開接觸面，支持力FN＝0。
2.極值問題
平衡中的極值問題，一般指在力的變化過程中的最大值和最小值問題。
3.解題方法
(1)極限法：首先要正確地進(jìn)行受力分析和變化過程分析，找出平衡的臨界點(diǎn)和極值點(diǎn)；臨界條件必須在變化中去尋找，不能停留在一個狀態(tài)來研究臨界問題，而要把某個物理量推向極端，即極大和極小。
(2)數(shù)學(xué)分析法：通過對問題的分析，根據(jù)物體的平衡條件寫出物理量之間的函數(shù)關(guān)系(或畫出函數(shù)圖像)，用數(shù)學(xué)方法求極值(如求二次函數(shù)極值、公式極值、三角函數(shù)極值)。
(3)物理分析方法：根據(jù)物體的平衡條件，作出力的矢量圖，通過對物理過程的分析，利用平行四邊形定則進(jìn)行動態(tài)分析，確定最大值與最小值。
例4　(2023·河南洛陽市期末)如圖所示，一光滑球體放在支架與豎直墻壁之間，支架的傾角θ＝60°，光滑球體的質(zhì)量為m，支架的質(zhì)量為2m，已知最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，整個裝置保持靜止，則支架和地面間的動摩擦因數(shù)至少為
√
對光滑球體受力分析如圖所示，根據(jù)平衡條件可得FN2cos θ＝mg，對支架受力分析如圖所示
根據(jù)牛頓第三定律可知FN3＝FN2，
對支架由平衡條件可得FN4＝2mg＋FN3cos θ，
Ff＝FN3sin θ，又達(dá)到最大靜摩擦力時Ff＝μFN4，
例5　如圖所示，質(zhì)量m＝5.2 kg的金屬塊放在水平地面上，在斜向右上的拉力F作用下，向右以v0＝2.0 m/s的速度做勻速直線運(yùn)動。已知金屬塊與地面間的動摩擦因數(shù)μ＝0.2，g＝10 m/s2。求所需拉力F的最小值。
返回
在力的方向發(fā)生變化的平衡問題中求力的極小值時，一般利用三角函數(shù)求極值。也可利用“摩擦角”將四力平衡轉(zhuǎn)化為三力平衡，從而求拉力的最小值。例如：如圖所示，物體在拉力F作用下做勻速直線運(yùn)動，改變θ大小，求拉力的最小值時，可以用支持力與摩擦
力的合力F′代替支持力與摩擦力，F(xiàn)min＝
mgsin θ，其中FN與Ff的合力F′方向一定，
“摩擦角”θ滿足tan θ＝
課時精練
1.(2023·江蘇南京市模擬)如圖甲所示，筆記本電腦支架一般有多個卡位用來調(diào)節(jié)角度，某人將電腦放在該支架上，由卡位4緩慢調(diào)至卡位1(如圖乙)，電腦與支架始終處于相對靜止?fàn)顟B(tài)，則
A.電腦受到的支持力變大
B.電腦受到的摩擦力變大
C.支架對電腦的作用力減小
D.電腦受到的支持力與摩擦力兩力大小之和等于其重力大小
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根據(jù)題意，電腦始終處于平衡狀態(tài)，對電腦受力分析，
如圖所示，由平衡條件可得，電腦受到的支持力大小
為FN＝Gcos θ
電腦受到的摩擦力大小Ff＝Gsin θ
由卡位4緩慢調(diào)到卡位1，θ減小，故FN增大，F(xiàn)f減小，故B錯誤，A正確。
支架對電腦的作用力即為電腦受到的支持力與摩擦力的合力，支持力與摩擦力的合力大小等于電腦的重力，保持不變，根據(jù)“三角形兩邊之和大于第三邊”可知，電腦受到的支持力與摩擦力兩力大小之和大于其重力大小，C、D錯誤。
2.(2023·山東煙臺市模擬)如圖所示，用一個質(zhì)量不計(jì)的網(wǎng)兜把足球掛在光滑豎直墻壁上的A點(diǎn)，足球與墻壁的接觸點(diǎn)為B。若只增大懸繩的長度，足球始終保持靜止?fàn)顟B(tài)，關(guān)于懸繩對球的拉力F和墻壁對
球的支持力FN，下列說法正確的是
A.F和FN都增大 B.F增大，F(xiàn)N減小
C.F減小，F(xiàn)N增大 D.F和FN的合力不變
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對球受力分析，由平衡條件得懸繩對球的拉力滿足
Fcos θ＝mg，墻壁對球的支持力滿足tan θ＝ ，所
以當(dāng)增大懸繩的長度時，夾角θ減小，則cos θ增大，
tan θ減小，所以F和FN都減小，故A、B、C錯誤；
因?yàn)樽闱蚴冀K保持靜止?fàn)顟B(tài)，所以F和FN的合力始終與mg等大反向，故D正確。
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3.(2024·重慶市渝中區(qū)期中)如圖甲所示，用瓦片做屋頂是我國建筑的特色之一。鋪設(shè)瓦片時，屋頂結(jié)構(gòu)可簡化為圖乙所示，建筑工人將瓦片輕放在兩根相互平行的檁條正中間，若瓦片能始終靜止在檁條上。已知檁條與水平面夾角均為θ，瓦片質(zhì)量為m，檁條間距離為d，重力加速度為g，下列說法正確的是
A.瓦片共受到4個力的作用
B.檁條對瓦片作用力方向垂直檁條向上
C.緩慢減小檁條的傾斜角度θ時，瓦片
與檁條間的摩擦力變大
D.緩慢增大檁條間的距離d時，兩根檁條對瓦片的彈力都增大
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瓦片受重力、兩根檁條的支持力和摩擦力，共5個力，
A錯誤；
檁條對瓦片作用力應(yīng)為支持力與摩擦力的合力，方向
豎直向上，B錯誤；
摩擦力等于mgsin θ，減小檁條的傾斜角度θ時，摩擦力
減小，C錯誤；
檁條對瓦片的兩個彈力等大，合力等于mgcos θ，當(dāng)增大檁條間的距離 d時，兩彈力與豎直方向的夾角增大，則兩彈力增大，D正確。
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4.(2024·云南省聯(lián)考)如圖所示，晾曬衣服的繩子(可視為輕繩)固定在兩根豎直桿A、B上，繩子的質(zhì)量及衣架掛鉤之間的摩擦均可忽略不計(jì)，衣服處于靜止?fàn)顟B(tài)。保持A桿及A桿上繩子的結(jié)點(diǎn)位置不動，則下列說法正確的是
A.若保持繩子的長度、繩子與B桿的結(jié)點(diǎn)不變，將B桿
緩慢向右移動，繩子上的拉力大小逐漸減小
B.若保持繩子的長度、B桿的位置不變，將繩子與B桿
的結(jié)點(diǎn)緩慢向上移動，繩子上的拉力大小逐漸增大
C.若保持繩子的長度、B桿的位置不變，將繩子與B桿的結(jié)點(diǎn)緩慢向下移動，
繩子上的拉力大小保持不變
D.若保持繩與B桿的結(jié)點(diǎn)不變，只改變繩子的長度，繩子上的拉力大小可能保
持不變
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與B桿的結(jié)點(diǎn)，繩子與豎直方向之間的夾角保持不變，繩子上的拉力保持不變，故B錯誤，C正確；
若只改變繩子的長度，則繩子與豎直方向之間的夾角一定隨之改變，繩子上的拉力一定改變，故D錯誤。
若保持繩子的長度、繩子與B桿的結(jié)點(diǎn)不變，將B桿緩慢向右移動，繩子與豎直方向之間的夾角增大，繩子上的拉力逐漸增大，故A錯誤；
若保持繩子的長度、B桿的位置不變，只移動繩子
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5.(2023·寧夏六盤山高級中學(xué)模擬)如圖所示，某健身者右手拉著抓把沿水平方向從圖示位置B緩慢移動到位置A，不計(jì)繩子質(zhì)量，忽略繩子和重物與所有構(gòu)件間的摩擦，A、B、重物共面，則重物上升過程中
A.繩子的拉力逐漸增大
B.該健身者所受合力逐漸減小
C.該健身者對地面的壓力逐漸減小
D.該健身者對地面的摩擦力逐漸增大
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FN＝Mg－mgsin θ，在水平方向，則有FTcos θ＝Ff，當(dāng)從B緩慢移到A時，θ角逐漸變小，地面對健身者的支持力逐漸變大，地面對健身者的摩擦力逐漸變大，由牛頓第三定律可知，健身者對地面的壓力逐漸增大，健身者對地面的摩擦力逐漸增大，C錯誤，D正確。
由題意可知，重物和健身者一直處于動態(tài)平衡狀態(tài)，由平衡條件可知，健身者所受合力等于零，繩上的拉力大小不變，其大小等于重物的重力mg，A、B錯誤；
對健身者受力分析，如圖所示，由平衡條件可知，在豎直方向，則有FTsin θ＋FN＝Mg，又有FT＝mg，可得
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6.(2023·廣東梅州市質(zhì)檢)在水平外力F的作用下，A、B兩個圓柱體按如圖所示的方式分別放在水平地面、靠在豎直墻面，將A緩慢向右移動一小段距離(B未與地面接觸)，不計(jì)一切摩擦，則在此過程中，關(guān)于水平地面對A的彈力FN1、豎直墻面對B的彈力FN2，下列說
法正確的是
A.FN1不變，F(xiàn)N2變大 B.FN1變小，F(xiàn)N2變大
C.FN1變大，F(xiàn)N2變小 D.FN1不變，F(xiàn)N2變小
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直方向有FN1＝(mA＋mB)g，當(dāng)將A緩慢向右移動一小段距離，水平地面對A的彈力FN1不變，故A正確，B、C、D錯誤。
以圓柱體B為研究對象，分析受力如圖所示
當(dāng)將A緩慢向右移動一小段距離，F(xiàn)1與豎直方向的夾角增大，由圖看出墻對B的彈力FN2增大；以圓柱體A、B整體為研究對象，根據(jù)平衡條件，在豎
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7.如圖所示，物體甲放置在水平地面上，通過跨過光滑定滑輪的輕繩與小球乙相連，整個系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)。現(xiàn)對小球乙施加一個水平力F，使小球乙緩慢上升一小段距離，整個過程中物體甲保持靜止，甲受到地面的摩擦力為Ff，則該過程中
A.Ff變小，F(xiàn)變大 B.Ff變小，F(xiàn)變小
C.Ff變大，F(xiàn)變小 D.Ff變大，F(xiàn)變大
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以小球乙為研究對象受力分析，設(shè)繩與豎直方
向的夾角為α，根據(jù)平衡條件可得，水平拉力
F＝mgtan α，夾角α逐漸增大，則水平拉力F逐
漸增大，繩子的拉力為FT＝ ，故繩子的拉力逐漸增大；以物體甲為研究對象受力分析，根據(jù)平衡條件可得，物體甲受到的地面的摩擦力與繩子拉力水平方向的分力等大反向，F(xiàn)f＝FTcos θ＝ ，逐漸增大，故選D。
8.制作木器家具時，工人師傅常在連接處打入木楔，如圖所示，假設(shè)一個不計(jì)重力的木楔兩面對稱，頂角為α，豎直地被打入木制家具縫隙中。已知接觸面的動摩擦因數(shù)為μ，且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。要使木楔能自鎖而不會自動滑動，α與μ應(yīng)滿足
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9.如圖所示，豎直面內(nèi)固定一光滑大圓環(huán)軌道，O為圓心，在大圓環(huán)軌道最高點(diǎn)A固定一個光滑的小滑輪，一輕繩繞過小滑輪，一端連接套在大圓環(huán)軌道上的小球，用力F拉輕繩另一端，在小球從B點(diǎn)緩慢上升到C點(diǎn)的過程中，有
A.拉力F逐漸增大
B.拉力F先減小后增大
C.小球?qū)Υ髨A環(huán)軌道的壓力大小保持不變
D.小球?qū)Υ髨A環(huán)軌道的壓力先增大后減小
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在小球從B點(diǎn)緩慢上升到C點(diǎn)的過程中，重力大小、方向均不變，AB變小，OA、OB不變，則拉力F逐漸減小，大圓環(huán)軌道對小球的支持力FN大小不變，由牛頓第三定律知小球?qū)Υ髨A環(huán)軌道的壓力大小保持不變，故選C。
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10.(2024·重慶市七校開學(xué)考)小李發(fā)現(xiàn)小區(qū)的消防通道被一質(zhì)量為m的石墩擋住了，為了移開石墩小李找來一根結(jié)實(shí)的繩子，將繩的一端系在石墩上，雙手緊握繩的另一端用力斜向上拖拽石墩。設(shè)繩子與水平方向的夾角為θ，小李對繩施加的最大拉力為0.6mg，g為重力加速度，石墩與水平地面間的動摩擦因數(shù)
為 ，且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。則下列說法正確的是
A.無論θ取何值，小李都不可能拖動石墩
B.小李能拖動石墩，且當(dāng)θ＝ 時最省力
C.小李能拖動石墩，且當(dāng)θ＝ 時最省力
D.小李能拖動石墩，且當(dāng)θ＝ 時最省力
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對石墩進(jìn)行受力分析如圖所示
Fcos θ＝μFN
FN＋Fsin θ＝mg
11.(2023·江蘇揚(yáng)州市質(zhì)檢)如圖所示，在質(zhì)量為m的物塊甲上系著兩條細(xì)繩，其中長30 cm的細(xì)繩另一端連著輕質(zhì)圓環(huán)，圓環(huán)套在水平棒上可以滑動，圓環(huán)與棒間的動摩擦因數(shù)μ＝0.75。另一細(xì)繩跨過光滑定滑輪與重力為G的物塊乙相連，定滑輪固定在距離圓環(huán)50 cm的地方，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，OA與棒的夾角為θ，兩繩夾角為φ。當(dāng)G＝6 N時，圓環(huán)恰好開始滑動。最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，g＝10 m/s2，
sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)OA繩與棒間的夾角θ；
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答案　53°
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當(dāng)圓環(huán)恰好要開始滑動時，設(shè)此時水平棒對圓環(huán)的支持力大小為FN，細(xì)繩對圓環(huán)的拉力大小為FT，對圓環(huán)受力分析，
如圖甲所示，根據(jù)平衡條件有μFN＝FTcos θ ①
FN＝FTsin θ ②
(2)物塊甲的質(zhì)量m。
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答案　1 kg
由題意，根據(jù)幾何關(guān)系可知φ＝90°
按如圖乙所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立xOy直角坐標(biāo)系，對物塊甲受力分析，根據(jù)平衡條件有Gcos θ＋FTsin θ－mg＝0 ③
FTcos θ－Gsin θ＝0 ④
聯(lián)立③④解得m＝1 kg。
12.(多選)(2023·安徽安慶市三模)如圖所示，把傾角為30°的粗糙斜面體C置于粗糙水平地面上，質(zhì)量為2m的物塊A通過跨過光滑輕定滑輪的輕繩與質(zhì)量為m的小球B連接，O點(diǎn)為輕繩與定滑輪的接觸點(diǎn)，初始時，小球B在水平向右的拉力F作用下，使輕繩OB段與水平拉力F的夾角為θ＝120°，A、B均保持靜止?fàn)顟B(tài)。現(xiàn)改變拉力F，
并保持夾角θ大小不變，將小球B向右上方緩
慢拉起至OB水平，物塊A始終保持靜止?fàn)顟B(tài)。
g為重力加速度，
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下列關(guān)于該過程的說法正確的是
A.拉力F一直變大
B.拉力F最小為
C.斜面體C所受地面摩擦力一直變小
D.斜面體C所受地面摩擦力先變小后變大
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對小球B受力分析，將FT、F、mg組成矢量三角形，
由于FT和F的夾角始終不變，作輔助圓如圖所示
拉力F一直變大，初始狀態(tài)時最小，為 ，A、
B正確；
拉力F的水平分力先變大后變小，對A、B、C整體
進(jìn)行受力分析知斜面體C所受地面摩擦力大小等于拉力F的水平分力大小，也是先變大后變小，故C、D錯誤。
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返回第4課時　專題強(qiáng)化：動態(tài)平衡和臨界、極值問題
目標(biāo)要求　1.學(xué)會用圖解法、解析法等解決動態(tài)平衡問題。2.會分析平衡中的臨界與極值問題。
考點(diǎn)一　動態(tài)平衡問題
動態(tài)平衡是指物體的受力狀態(tài)緩慢發(fā)生變化，但在變化過程中，每一個狀態(tài)均可視為平衡狀態(tài)。常用方法：圖解法、解析法、相似三角形法、輔助圓法、正弦定理法。
1．“一力恒定，另一力方向不變”的動態(tài)平衡問題
(1)一個力恒定，另一個力始終與恒定的力垂直，三力可構(gòu)成直角三角形，可作不同狀態(tài)下的直角三角形，分析力的大小變化，如圖甲所示。
(2)一力恒定，另一力與恒定的力不垂直但方向不變，作出不同狀態(tài)下的矢量三角形，確定力大小的變化，在變化過程中恒力之外的兩力垂直時，會有極值出現(xiàn)，如圖乙所示。
例1　(多選)如圖所示，在傾角為α的斜面上，放一質(zhì)量為m的小球，小球和斜面及擋板間均無摩擦，當(dāng)擋板繞O點(diǎn)逆時針緩慢地轉(zhuǎn)向水平位置的過程中(　　)
A．斜面對球的支持力逐漸增大
B．斜面對球的支持力逐漸減小
C．擋板對小球的彈力先減小后增大
D．擋板對小球的彈力先增大后減小
答案　BC
解析　對小球受力分析知，小球受到重力mg、斜面的支持力FN1和擋板的彈力FN2，如圖，當(dāng)擋板繞O點(diǎn)逆時針緩慢地轉(zhuǎn)向水平位置的過程中，小球所受的合力為零，根據(jù)平衡條件得知，F(xiàn)N1和FN2的合力與重力mg大小相等、方向相反，作出小球在三個不同位置力的受力分析圖，由圖看出，斜面對小球的支持力FN1逐漸減小，擋板對小球的彈力FN2先減小后增大，當(dāng)FN1和FN2垂直時，彈力FN2最小，故選項(xiàng)B、C正確，A、D錯誤。
2．“一力恒定，另兩力方向均變化”的動態(tài)平衡問題
一力恒定(如重力)，其他二力的方向均變化，但二力分別與繩子、兩物體重心連線方向等平行，即三力構(gòu)成的矢量三角形與繩長、半徑、高度等實(shí)際幾何三角形相似，則對應(yīng)邊比值相等。
基本矢量圖，如圖所示
基本關(guān)系式：＝＝。
例2　如圖所示為一簡易起重裝置，AC是上端帶有滑輪的固定支架，BC為質(zhì)量不計(jì)的輕桿，桿的一端C用鉸鏈固定在支架上，另一端B懸掛一個質(zhì)量為m的重物，并用鋼絲繩跨過滑輪A連接在卷揚(yáng)機(jī)上。開始時，桿BC與AC的夾角∠BCA>90°，現(xiàn)使∠BCA緩慢變小，直到∠BCA＝30°(不計(jì)一切阻力)。在此過程中，桿BC所產(chǎn)生的彈力(　　)
A．大小不變 B．逐漸增大
C．先增大后減小 D．先減小后增大
答案　A
解析　以結(jié)點(diǎn)B為研究對象，分析受力情況，作出力的合成圖如圖，根據(jù)平衡條件知，F(xiàn)、FN的合力F合與G大小相等、方向相反。
根據(jù)三角形相似得＝＝，又F合＝G，得FN＝ G
∠BCA緩慢變小的過程中，AC、BC不變，則FN不變，故桿BC所產(chǎn)生的彈力大小不變，故選A。
3．一力恒定，另外兩力方向均變化，但兩力方向夾角保持不變的動態(tài)平衡問題
利用正弦定理或利用輔助圓，恒力為圓的一條弦，恒力所對應(yīng)角的頂點(diǎn)在圓上移動，可保持圓心角不變，根據(jù)不同位置判斷各力的大小變化。
例3　(多選)如圖，柔軟輕繩ON的一端O固定，其中間某點(diǎn)M拴一重物，用手拉住繩的另一端N。初始時，OM豎直且MN被拉直，OM與MN之間的夾角為α(α＞)。現(xiàn)將重物向右上方緩慢拉起，并保持夾角α不變。在OM由豎直被拉到水平的過程中(　　)
A．MN上的張力逐漸增大
B．MN上的張力先增大后減小
C．OM上的張力逐漸增大
D．OM上的張力先增大后減小
答案　AD
解析　法一：以重物為研究對象分析受力情況，受重力mg、OM繩上拉力F2、MN上拉力F1，由題意知，三個力的合力始終為零，矢量三角形如圖所示，F(xiàn)1、F2的夾角不變，在F2轉(zhuǎn)至水平的過程中，矢量三角形在同一外接圓上，由圖可知，MN上的張力F1逐漸增大，OM上的張力F2先增大后減小，所以A、D正確，B、C錯誤。
法二：正弦定理
根據(jù)正弦定理＝＝，mg與sin θ3保持不變，sin θ1變大，F(xiàn)1變大，sin θ2先增大后減小，F(xiàn)2先增大后減小，故選A、D。
分析動態(tài)平衡問題的流程
受力分析畫不同狀態(tài)下的受力平衡圖構(gòu)造矢量三角形
考點(diǎn)二　平衡中的臨界、極值問題
1．臨界問題
當(dāng)某物理量變化時，會引起其他幾個物理量的變化，從而使物體所處的平衡狀態(tài)“恰好出現(xiàn)”或“恰好不出現(xiàn)”，在問題的描述中常用“剛好”“恰能”“恰好”等。臨界問題常見的種類：
(1)由靜止到運(yùn)動，摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力。
(2)繩子恰好繃緊，拉力F＝0。
(3)剛好離開接觸面，支持力FN＝0。
2．極值問題
平衡中的極值問題，一般指在力的變化過程中的最大值和最小值問題。
3．解題方法
(1)極限法：首先要正確地進(jìn)行受力分析和變化過程分析，找出平衡的臨界點(diǎn)和極值點(diǎn)；臨界條件必須在變化中去尋找，不能停留在一個狀態(tài)來研究臨界問題，而要把某個物理量推向極端，即極大和極小。
(2)數(shù)學(xué)分析法：通過對問題的分析，根據(jù)物體的平衡條件寫出物理量之間的函數(shù)關(guān)系(或畫出函數(shù)圖像)，用數(shù)學(xué)方法求極值(如求二次函數(shù)極值、公式極值、三角函數(shù)極值)。
(3)物理分析方法：根據(jù)物體的平衡條件，作出力的矢量圖，通過對物理過程的分析，利用平行四邊形定則進(jìn)行動態(tài)分析，確定最大值與最小值。
例4　(2023·河南洛陽市期末)如圖所示，一光滑球體放在支架與豎直墻壁之間，支架的傾角θ＝60°，光滑球體的質(zhì)量為m，支架的質(zhì)量為2m，已知最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，整個裝置保持靜止，則支架和地面間的動摩擦因數(shù)至少為(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　對光滑球體受力分析如圖所示，根據(jù)平衡條件可得FN2cos θ＝mg，對支架受力分析如圖所示
根據(jù)牛頓第三定律可知FN3＝FN2，
對支架由平衡條件可得FN4＝2mg＋FN3cos θ，
Ff＝FN3sin θ，
又達(dá)到最大靜摩擦力時Ff＝μFN4，
聯(lián)立以上各式解得μ＝，可知支架和地面間的動摩擦因數(shù)至少為，故選D。
例5　如圖所示，質(zhì)量m＝5.2 kg的金屬塊放在水平地面上，在斜向右上的拉力F作用下，向右以v0＝2.0 m/s的速度做勻速直線運(yùn)動。已知金屬塊與地面間的動摩擦因數(shù)μ＝0.2，g＝10 m/s2。求所需拉力F的最小值。
答案　2 N
解析　設(shè)拉力與水平方向夾角為θ，根據(jù)平衡條件有Fcos θ＝μ(mg－Fsin θ)，整理得cos θ＋μsin θ＝，sin(α＋θ)＝(其中sin α＝)，當(dāng)θ＝－α?xí)rF最小，故所需拉力F的最小值Fmin＝＝2 N。
在力的方向發(fā)生變化的平衡問題中求力的極小值時，一般利用三角函數(shù)求極值。也可利用“摩擦角”將四力平衡轉(zhuǎn)化為三力平衡，從而求拉力的最小值。例如：如圖所示，物體在拉力F作用下做勻速直線運(yùn)動，改變θ大小，求拉力的最小值時，可以用支持力與摩擦力的合力F′代替支持力與摩擦力，F(xiàn)min＝mgsin θ，其中FN與Ff的合力F′方向一定，“摩擦角”θ滿足tan θ＝。
課時精練
1．(2023·江蘇南京市模擬)如圖甲所示，筆記本電腦支架一般有多個卡位用來調(diào)節(jié)角度，某人將電腦放在該支架上，由卡位4緩慢調(diào)至卡位1(如圖乙)，電腦與支架始終處于相對靜止?fàn)顟B(tài)，則(　　)
　
A．電腦受到的支持力變大
B．電腦受到的摩擦力變大
C．支架對電腦的作用力減小
D．電腦受到的支持力與摩擦力兩力大小之和等于其重力大小
答案　A
解析　根據(jù)題意，電腦始終處于平衡狀態(tài)，對電腦受力分析，如圖所示，由平衡條件可得，電腦受到的支持力大小為FN＝Gcos θ
電腦受到的摩擦力大小Ff＝Gsin θ
由卡位4緩慢調(diào)到卡位1，θ減小，故FN增大，F(xiàn)f減小，故B錯誤，A正確。
支架對電腦的作用力即為電腦受到的支持力與摩擦力的合力，支持力與摩擦力的合力大小等于電腦的重力，保持不變，根據(jù)“三角形兩邊之和大于第三邊”可知，電腦受到的支持力與摩擦力兩力大小之和大于其重力大小，C、D錯誤。
2.(2023·山東煙臺市模擬)如圖所示，用一個質(zhì)量不計(jì)的網(wǎng)兜把足球掛在光滑豎直墻壁上的A點(diǎn)，足球與墻壁的接觸點(diǎn)為B。若只增大懸繩的長度，足球始終保持靜止?fàn)顟B(tài)，關(guān)于懸繩對球的拉力F和墻壁對球的支持力FN，下列說法正確的是(　　)
A．F和FN都增大 B．F增大，F(xiàn)N減小
C．F減小，F(xiàn)N增大 D．F和FN的合力不變
答案　D
解析　對球受力分析，由平衡條件得懸繩對球的拉力滿足Fcos θ＝mg，墻壁對球的支持力滿足tan θ＝，所以當(dāng)增大懸繩的長度時，夾角θ減小，則cos θ增大，tan θ減小，所以F和FN都減小，故A、B、C錯誤；因?yàn)樽闱蚴冀K保持靜止?fàn)顟B(tài)，所以F和FN的合力始終與mg等大反向，故D正確。
3．(2024·重慶市渝中區(qū)期中)如圖甲所示，用瓦片做屋頂是我國建筑的特色之一。鋪設(shè)瓦片時，屋頂結(jié)構(gòu)可簡化為圖乙所示，建筑工人將瓦片輕放在兩根相互平行的檁條正中間，若瓦片能始終靜止在檁條上。已知檁條與水平面夾角均為θ，瓦片質(zhì)量為m，檁條間距離為d，重力加速度為g，下列說法正確的是(　　)
A．瓦片共受到4個力的作用
B．檁條對瓦片作用力方向垂直檁條向上
C．緩慢減小檁條的傾斜角度θ時，瓦片與檁條間的摩擦力變大
D．緩慢增大檁條間的距離d時，兩根檁條對瓦片的彈力都增大
答案　D
解析　瓦片受重力、兩根檁條的支持力和摩擦力，共5個力，A錯誤；檁條對瓦片作用力應(yīng)為支持力與摩擦力的合力，方向豎直向上，B錯誤；摩擦力等于mgsin θ，減小檁條的傾斜角度θ時，摩擦力減小，C錯誤；檁條對瓦片的兩個彈力等大，合力等于mgcos θ，當(dāng)增大檁條間的距離 d時，兩彈力與豎直方向的夾角增大，則兩彈力增大，D正確。
4.(2024·云南省聯(lián)考)如圖所示，晾曬衣服的繩子(可視為輕繩)固定在兩根豎直桿A、B上，繩子的質(zhì)量及衣架掛鉤之間的摩擦均可忽略不計(jì)，衣服處于靜止?fàn)顟B(tài)。保持A桿及A桿上繩子的結(jié)點(diǎn)位置不動，則下列說法正確的是(　　)
A．若保持繩子的長度、繩子與B桿的結(jié)點(diǎn)不變，將B桿緩慢向右移動，繩子上的拉力大小逐漸減小
B．若保持繩子的長度、B桿的位置不變，將繩子與B桿的結(jié)點(diǎn)緩慢向上移動，繩子上的拉力大小逐漸增大
C．若保持繩子的長度、B桿的位置不變，將繩子與B桿的結(jié)點(diǎn)緩慢向下移動，繩子上的拉力大小保持不變
D．若保持繩與B桿的結(jié)點(diǎn)不變，只改變繩子的長度，繩子上的拉力大小可能保持不變
答案　C
解析　若保持繩子的長度、繩子與B桿的結(jié)點(diǎn)不變，將B桿緩慢向右移動，繩子與豎直方向之間的夾角增大，繩子上的拉力逐漸增大，故A錯誤；若保持繩子的長度、B桿的位置不變，只移動繩子與B桿的結(jié)點(diǎn)，繩子與豎直方向之間的夾角保持不變，繩子上的拉力保持不變，故B錯誤，C正確；若只改變繩子的長度，則繩子與豎直方向之間的夾角一定隨之改變，繩子上的拉力一定改變，故D錯誤。
5.(2023·寧夏六盤山高級中學(xué)模擬)如圖所示，某健身者右手拉著抓把沿水平方向從圖示位置B緩慢移動到位置A，不計(jì)繩子質(zhì)量，忽略繩子和重物與所有構(gòu)件間的摩擦，A、B、重物共面，則重物上升過程中(　　)
A．繩子的拉力逐漸增大
B．該健身者所受合力逐漸減小
C．該健身者對地面的壓力逐漸減小
D．該健身者對地面的摩擦力逐漸增大
答案　D
解析　由題意可知，重物和健身者一直處于動態(tài)平衡狀態(tài)，由平衡條件可知，健身者所受合力等于零，繩上的拉力大小不變，其大小等于重物的重力mg，A、B錯誤；對健身者受力分析，如圖所示，由平衡條件可知，在豎直方向，則有FTsin θ＋FN＝Mg，又有FT＝mg，可得FN＝Mg－mgsin θ，在水平方向，則有FTcos θ＝Ff，當(dāng)從B緩慢移到A時，θ角逐漸變小，地面對健身者的支持力逐漸變大，地面對健身者的摩擦力逐漸變大，由牛頓第三定律可知，健身者對地面的壓力逐漸增大，健身者對地面的摩擦力逐漸增大，C錯誤，D正確。
6.(2023·廣東梅州市質(zhì)檢)在水平外力F的作用下，A、B兩個圓柱體按如圖所示的方式分別放在水平地面、靠在豎直墻面，將A緩慢向右移動一小段距離(B未與地面接觸)，不計(jì)一切摩擦，則在此過程中，關(guān)于水平地面對A的彈力FN1、豎直墻面對B的彈力FN2，下列說法正確的是(　　)
A．FN1不變，F(xiàn)N2變大 B．FN1變小，F(xiàn)N2變大
C．FN1變大，F(xiàn)N2變小 D．FN1不變，F(xiàn)N2變小
答案　A
解析　以圓柱體B為研究對象，分析受力如圖所示
當(dāng)將A緩慢向右移動一小段距離，F(xiàn)1與豎直方向的夾角增大，由圖看出墻對B的彈力FN2增大；以圓柱體A、B整體為研究對象，根據(jù)平衡條件，在豎直方向有FN1＝(mA＋mB)g，當(dāng)將A緩慢向右移動一小段距離，水平地面對A的彈力FN1不變，故A正確，B、C、D錯誤。
7.如圖所示，物體甲放置在水平地面上，通過跨過光滑定滑輪的輕繩與小球乙相連，整個系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)。現(xiàn)對小球乙施加一個水平力F，使小球乙緩慢上升一小段距離，整個過程中物體甲保持靜止，甲受到地面的摩擦力為Ff，則該過程中(　　)
A．Ff變小，F(xiàn)變大 B．Ff變小，F(xiàn)變小
C．Ff變大，F(xiàn)變小 D．Ff變大，F(xiàn)變大
答案　D
解析　以小球乙為研究對象受力分析，設(shè)繩與豎直方向的夾角為α，根據(jù)平衡條件可得，水平拉力F＝mgtan α，夾角α逐漸增大，則水平拉力F逐漸增大，繩子的拉力為FT＝，故繩子的拉力逐漸增大；以物體甲為研究對象受力分析，根據(jù)平衡條件可得，物體甲受到的地面的摩擦力與繩子拉力水平方向的分力等大反向，F(xiàn)f＝FTcos θ＝，逐漸增大，故選D。
8.制作木器家具時，工人師傅常在連接處打入木楔，如圖所示，假設(shè)一個不計(jì)重力的木楔兩面對稱，頂角為α，豎直地被打入木制家具縫隙中。已知接觸面的動摩擦因數(shù)為μ，且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。要使木楔能自鎖而不會自動滑動，α與μ應(yīng)滿足(　　)
A．μ>tan B．μ>tan α
C．μ> D．μ>
答案　A
解析　由于存在對稱性，僅對木楔的一個側(cè)面受力分析，如圖所示，當(dāng)木楔能自鎖而不會自動滑出時，一定滿足FNsin <μFNcos ，整理得μ>tan ，故選A。
9.如圖所示，豎直面內(nèi)固定一光滑大圓環(huán)軌道，O為圓心，在大圓環(huán)軌道最高點(diǎn)A固定一個光滑的小滑輪，一輕繩繞過小滑輪，一端連接套在大圓環(huán)軌道上的小球，用力F拉輕繩另一端，在小球從B點(diǎn)緩慢上升到C點(diǎn)的過程中，有(　　)
A．拉力F逐漸增大
B．拉力F先減小后增大
C．小球?qū)Υ髨A環(huán)軌道的壓力大小保持不變
D．小球?qū)Υ髨A環(huán)軌道的壓力先增大后減小
答案　C
解析　對小球進(jìn)行受力分析如圖所示，根據(jù)相似三角形法可得＝＝
在小球從B點(diǎn)緩慢上升到C點(diǎn)的過程中，重力大小、方向均不變，AB變小，OA、OB不變，則拉力F逐漸減小，大圓環(huán)軌道對小球的支持力FN大小不變，由牛頓第三定律知小球?qū)Υ髨A環(huán)軌道的壓力大小保持不變，故選C。
10.(2024·重慶市七校開學(xué)考)小李發(fā)現(xiàn)小區(qū)的消防通道被一質(zhì)量為m的石墩擋住了，為了移開石墩小李找來一根結(jié)實(shí)的繩子，將繩的一端系在石墩上，雙手緊握繩的另一端用力斜向上拖拽石墩。設(shè)繩子與水平方向的夾角為θ，小李對繩施加的最大拉力為0.6mg，g為重力加速度，石墩與水平地面間的動摩擦因數(shù)為，且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。則下列說法正確的是(　　)
A．無論θ取何值，小李都不可能拖動石墩
B．小李能拖動石墩，且當(dāng)θ＝時最省力
C．小李能拖動石墩，且當(dāng)θ＝時最省力
D．小李能拖動石墩，且當(dāng)θ＝時最省力
答案　C
解析　對石墩進(jìn)行受力分析如圖所示
Fcos θ＝μFN
FN＋Fsin θ＝mg
解得2F(cos θ＋sin θ)＝mg
即F＝，可解得，當(dāng)θ＝時，F(xiàn)最小為0.5mg，故小李能拖動石墩，且當(dāng)θ＝時最省力，故選C。
11.(2023·江蘇揚(yáng)州市質(zhì)檢)如圖所示，在質(zhì)量為m的物塊甲上系著兩條細(xì)繩，其中長30 cm的細(xì)繩另一端連著輕質(zhì)圓環(huán)，圓環(huán)套在水平棒上可以滑動，圓環(huán)與棒間的動摩擦因數(shù)μ＝0.75。另一細(xì)繩跨過光滑定滑輪與重力為G的物塊乙相連，定滑輪固定在距離圓環(huán)50 cm的地方，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，OA與棒的夾角為θ，兩繩夾角為φ。當(dāng)G＝6 N時，圓環(huán)恰好開始滑動。最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)OA繩與棒間的夾角θ；
(2)物塊甲的質(zhì)量m。
答案　(1)53°　(2)1 kg
解析　(1)當(dāng)圓環(huán)恰好要開始滑動時，設(shè)此時水平棒對圓環(huán)的支持力大小為FN，細(xì)繩對圓環(huán)的拉力大小為FT，對圓環(huán)受力分析，如圖甲所示，根據(jù)平衡條件有μFN＝FTcos θ①
FN＝FTsin θ②
聯(lián)立①②解得tan θ＝＝，即θ＝53°。
(2)由題意，根據(jù)幾何關(guān)系可知φ＝90°
按如圖乙所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立xOy直角坐標(biāo)系，對物塊甲受力分析，根據(jù)平衡條件有Gcos θ＋FTsin θ－mg＝0③
FTcos θ－Gsin θ＝0④
聯(lián)立③④解得m＝1 kg。
12.(多選)(2023·安徽安慶市三模)如圖所示，把傾角為30°的粗糙斜面體C置于粗糙水平地面上，質(zhì)量為2m的物塊A通過跨過光滑輕定滑輪的輕繩與質(zhì)量為m的小球B連接，O點(diǎn)為輕繩與定滑輪的接觸點(diǎn)，初始時，小球B在水平向右的拉力F作用下，使輕繩OB段與水平拉力F的夾角為θ＝120°，A、B均保持靜止?fàn)顟B(tài)。現(xiàn)改變拉力F，并保持夾角θ大小不變，將小球B向右上方緩慢拉起至OB水平，物塊A始終保持靜止?fàn)顟B(tài)。g為重力加速度，下列關(guān)于該過程的說法正確的是(　　)
A．拉力F一直變大
B．拉力F最小為mg
C．斜面體C所受地面摩擦力一直變小
D．斜面體C所受地面摩擦力先變小后變大
答案　AB
解析　對小球B受力分析，將FT、F、mg組成矢量三角形，由于FT和F的夾角始終不變，作輔助圓如圖所示
拉力F一直變大，初始狀態(tài)時最小，為mg，A、B正確；拉力F的水平分力先變大后變小，對A、B、C整體進(jìn)行受力分析知斜面體C所受地面摩擦力大小等于拉力F的水平分力大小，也是先變大后變小，故C、D錯誤。第4課時　專題強(qiáng)化：動態(tài)平衡和臨界、極值問題
目標(biāo)要求　1.學(xué)會用圖解法、解析法等解決動態(tài)平衡問題。2.會分析平衡中的臨界與極值問題。
考點(diǎn)一　動態(tài)平衡問題
動態(tài)平衡是指物體的受力狀態(tài)緩慢發(fā)生變化，但在變化過程中，每一個狀態(tài)均可視為平衡狀態(tài)。常用方法：圖解法、解析法、相似三角形法、輔助圓法、正弦定理法。
1．“一力恒定，另一力方向不變”的動態(tài)平衡問題
(1)一個力恒定，另一個力始終與恒定的力垂直，三力可構(gòu)成直角三角形，可作不同狀態(tài)下的直角三角形，分析力的大小變化，如圖甲所示。
(2)一力恒定，另一力與恒定的力不垂直但方向不變，作出不同狀態(tài)下的矢量三角形，確定力大小的變化，在變化過程中恒力之外的兩力垂直時，會有極值出現(xiàn)，如圖乙所示。
例1　(多選)如圖所示，在傾角為α的斜面上，放一質(zhì)量為m的小球，小球和斜面及擋板間均無摩擦，當(dāng)擋板繞O點(diǎn)逆時針緩慢地轉(zhuǎn)向水平位置的過程中(　　)
A．斜面對球的支持力逐漸增大
B．斜面對球的支持力逐漸減小
C．擋板對小球的彈力先減小后增大
D．擋板對小球的彈力先增大后減小
2．“一力恒定，另兩力方向均變化”的動態(tài)平衡問題
一力恒定(如重力)，其他二力的方向均變化，但二力分別與繩子、兩物體重心連線方向等平行，即三力構(gòu)成的矢量三角形與繩長、半徑、高度等實(shí)際幾何三角形相似，則對應(yīng)邊比值相等。
基本矢量圖，如圖所示
基本關(guān)系式：＝＝。
例2　如圖所示為一簡易起重裝置，AC是上端帶有滑輪的固定支架，BC為質(zhì)量不計(jì)的輕桿，桿的一端C用鉸鏈固定在支架上，另一端B懸掛一個質(zhì)量為m的重物，并用鋼絲繩跨過滑輪A連接在卷揚(yáng)機(jī)上。開始時，桿BC與AC的夾角∠BCA>90°，現(xiàn)使∠BCA緩慢變小，直到∠BCA＝30°(不計(jì)一切阻力)。在此過程中，桿BC所產(chǎn)生的彈力(　　)
A．大小不變 B．逐漸增大
C．先增大后減小 D．先減小后增大
3．一力恒定，另外兩力方向均變化，但兩力方向夾角保持不變的動態(tài)平衡問題
利用正弦定理或利用輔助圓，恒力為圓的一條弦，恒力所對應(yīng)角的頂點(diǎn)在圓上移動，可保持圓心角不變，根據(jù)不同位置判斷各力的大小變化。
例3　(多選)如圖，柔軟輕繩ON的一端O固定，其中間某點(diǎn)M拴一重物，用手拉住繩的另一端N。初始時，OM豎直且MN被拉直，OM與MN之間的夾角為α(α＞)。現(xiàn)將重物向右上方緩慢拉起，并保持夾角α不變。在OM由豎直被拉到水平的過程中(　　)
A．MN上的張力逐漸增大
B．MN上的張力先增大后減小
C．OM上的張力逐漸增大
D．OM上的張力先增大后減小
分析動態(tài)平衡問題的流程
受力分析畫不同狀態(tài)下的受力平衡圖構(gòu)造矢量三角形
考點(diǎn)二　平衡中的臨界、極值問題
1．臨界問題
當(dāng)某物理量變化時，會引起其他幾個物理量的變化，從而使物體所處的平衡狀態(tài)“恰好出現(xiàn)”或“恰好不出現(xiàn)”，在問題的描述中常用“剛好”“恰能”“恰好”等。臨界問題常見的種類：
(1)由靜止到運(yùn)動，摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力。
(2)繩子恰好繃緊，拉力F＝0。
(3)剛好離開接觸面，支持力FN＝0。
2．極值問題
平衡中的極值問題，一般指在力的變化過程中的最大值和最小值問題。
3．解題方法
(1)極限法：首先要正確地進(jìn)行受力分析和變化過程分析，找出平衡的臨界點(diǎn)和極值點(diǎn)；臨界條件必須在變化中去尋找，不能停留在一個狀態(tài)來研究臨界問題，而要把某個物理量推向極端，即極大和極小。
(2)數(shù)學(xué)分析法：通過對問題的分析，根據(jù)物體的平衡條件寫出物理量之間的函數(shù)關(guān)系(或畫出函數(shù)圖像)，用數(shù)學(xué)方法求極值(如求二次函數(shù)極值、公式極值、三角函數(shù)極值)。
(3)物理分析方法：根據(jù)物體的平衡條件，作出力的矢量圖，通過對物理過程的分析，利用平行四邊形定則進(jìn)行動態(tài)分析，確定最大值與最小值。
例4　(2023·河南洛陽市期末)如圖所示，一光滑球體放在支架與豎直墻壁之間，支架的傾角θ＝60°，光滑球體的質(zhì)量為m，支架的質(zhì)量為2m，已知最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，整個裝置保持靜止，則支架和地面間的動摩擦因數(shù)至少為(　　)
A. B. C. D.
例5　如圖所示，質(zhì)量m＝5.2 kg的金屬塊放在水平地面上，在斜向右上的拉力F作用下，向右以v0＝2.0 m/s的速度做勻速直線運(yùn)動。已知金屬塊與地面間的動摩擦因數(shù)μ＝0.2，g＝10 m/s2。求所需拉力F的最小值。
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在力的方向發(fā)生變化的平衡問題中求力的極小值時，一般利用三角函數(shù)求極值。也可利用“摩擦角”將四力平衡轉(zhuǎn)化為三力平衡，從而求拉力的最小值。例如：如圖所示，物體在拉力F作用下做勻速直線運(yùn)動，改變θ大小，求拉力的最小值時，可以用支持力與摩擦力的合力F′代替支持力與摩擦力，F(xiàn)min＝mgsin θ，其中FN與Ff的合力F′方向一定，“摩擦角”θ滿足tan θ＝。

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