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對《二次根式》一章的分析
從有理數(shù)擴充到實數(shù)以后，《二次根式》一章包括了是實數(shù)范疇的基礎(chǔ)概念和運算特點，正是由于一些看似簡單而實際深刻的概念，看似靈活而實際富有規(guī)律的解題方法，構(gòu)成了本章獨特的風(fēng)景，是一席滋潤數(shù)學(xué)修養(yǎng)的豐厚大餐。
一、深刻理解二次根式的三個基礎(chǔ)概念，在洞悉問題的本質(zhì)上下工夫
1、二次根式——雙重身分的代表
第一，，是一個非負數(shù)，這是二次根式存在的條件，用文學(xué)字眼可以比喻為：內(nèi)在的剛強；第二，，也是一個非負數(shù)，這是二次根式具備的性質(zhì)特征，是由算術(shù)平方根意義的產(chǎn)物，可以與，對比加深理解。
例1若，則
點撥：∵∴＜1，∴=。
例2若a、b的實數(shù)，且，則=
點撥：∵，，∴，而，∴，∴，∴===。
2、最簡二次根式——兩種標準的共同驗證
辨別最簡二次根式，課本中明確提出了兩條標準：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。“兩個不”關(guān)注的都是“”內(nèi)的運算，（1）否定的是“除” ；（2）明確的是“乘”，是因數(shù)或因式分解之后的指數(shù)大小不能超過1。
例3 下列各式中屬于最簡二次根式的是（ ）A B C D
點撥：B，C不符合標準（2），D不符合標準（1）,選A。
3、同類二次根式——簡化之后的對照
同類二次根式，其突出的是兩個二次根式最簡化之后的根號內(nèi)形式的一致性。不難理解：兩個同類二次根式可以合并，可是另一個角度：如果兩個二次根式可以合并，那么一定是同類二次根式，卻往往被忽略。
例4已知是最簡二次根式，它與是同類二次根式，下面正確的是（ ）A B C D
點撥：∵不是最簡二次根式，∴需要化簡為：，于是，有，∴，∴選（C）
例5已知，都是正整數(shù)，且滿足：，求的值。
點撥：先化簡，由于與合并為，都是正整數(shù)，所以，可設(shè)：，，且為正整數(shù)，代入已知等式得，，所以，，所以，。
二、精心體驗二次根式的基本變形及運算技巧，培養(yǎng)簡潔、合理的運算能力
1、熟記10到20之間的平方數(shù)；
2、熟記幾組勾股數(shù)；，，，這是輕松求出，等問題的需要。
3、迅速對20到100之間的自然數(shù)分解質(zhì)因數(shù)；
4、熟悉基礎(chǔ)變形：如果，那么
（1）；（2）；（3）；（4）； （5）。
具有這些結(jié)構(gòu)的算式一旦在題目中出現(xiàn)，要能夠準確發(fā)現(xiàn)和靈活當運用，從而簡化運算。
例如6 計算：，
其中：。
點撥：觀察算式的結(jié)構(gòu)特征，可以用公式變形簡化運算。
原式=
=
=。
當時，
原式=2=8。
例7 已知：，求（1）（2）（3）
（4）
點撥：（1）“配方”變形：=；
（2）提分解變形：原式==。
（3）用分式性質(zhì)，分子、分母同除以，向已知靠攏，原式===；
（4）分子、分母同除以，原式===.
例8 化簡：
點撥：發(fā)現(xiàn)題目中的數(shù)1992，1993，1994比較大，把數(shù)用字母表示。
記，原式====1993。
如果，求的值。
點撥：通過分解因式轉(zhuǎn)化已知。已知變形為，
∴，注意到，∴，∴，，代入得，原式==。
例10 計算：
點撥：原式===。
例11
點撥：分母有理化后，可以交錯相消。
原式
=
==900。
三、恰當把握習(xí)題中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)
1、要充分注意題目中的隱含條件
已知：，化箭：
點撥：已知條件中的二次根式存在，須于是，，∴。
原式===。
要深刻領(lǐng)悟配方法的精神實質(zhì)
例13 在實數(shù)范圍內(nèi)解方程：
點撥：瞄準乘積項：，組織平方項：和1；和1；和1，于是原方程可化為：
[]+[]+[]=0，
∴，
∴∴
例14 化簡：。
點撥：題目中 “大”根號內(nèi)必須轉(zhuǎn)化為平方式，注意到是乘積項，但還少了“2”倍，因此，運用分式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化。
===。
要把數(shù)軸作為思維的工具
實數(shù)滿足，的取值范圍是（ ）
（A） （B） （C） （D）任意實數(shù)。
點撥：用“零點分段法”，把數(shù)軸分為三段討論：
∵（1）當時，左式=（2）當時，左式=（3）當時，左式=，∴選（C）。
簡潔的方法是：∵表示點到點的距離，于是，若落在“線段79”之外，則+＞2，不符合題意，∴選（C）。
4、要注意區(qū)分解題的細節(jié)，避免失誤
例15 下面運算過程是否正確，指明正確答案。
（1）；（2）；
（3）已知0＜,并且，；
點撥：（1）隱含著：＜0，∴，；
（2）注意＜，∴，；
（3）∵0＜,∴＜，∴＜0，答案不是雙解，而是單解：。

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