資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
課前預學案
6．1　平面向量的概念
一、
大小　方向　大小　方向
[即時練習]
解析：向量是既有大小，又有方向的量，
∵海拔，壓強，溫度只有大小，沒有方向，加速度既有大小，又有方向，
∴加速度是向量．故選C.
答案：C
二、
1．方向　起點　方向　長度　||
3．||　0　0　1
[即時練習]
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
三、
1．相同或相反　a∥b
2．相等　方向　a＝b
3．同一條直線
[即時練習]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：由平行四邊形的性質和相等向量的定義可知：
＝≠≠＝.
答案：(1)(4)
6．2　平面向量的運算
6．2.1　向量的加法運算
一、
1．兩個向量和
2．a＋b　　a＋b
[即時練習]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：由題意得，＝.故選B.
答案：B
二、
1．||a|－|b||　|a|＋|b|　
2．|a|＋|b|　
3．|b|－|a|　|a|－|b|
三、
1．b＋a
2．a＋(b＋c)
[即時練習]
解析：＝＝＝.
答案：
6．2.2　向量的減法運算
一、
相等　相反　0　－b　0
[即時練習]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)√
2．答案：
二、
相反向量　　終點　終點
[即時練習]
1．解析：＝.故選C.
答案：C
2．解析：因為a與b是兩個相等向量，
所以a－b＝0.
答案：0
6．2.3　向量的數乘運算
一、
向量　相同　相反
[即時練習]
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
二、
①(λμ)a　②λa＋μa　③λa＋λb
λa－λb　λμ1a±λμ2b
[即時練習]
解析：3(2a－4b)＝6a－12b.故選D.
答案：D
三、
b＝λa
[即時練習]
1．解析：因為a＝－e，b＝e，所以a＝－2b，則b＝－a.故選B.
答案：B
2．解析：∵b與a的方向相反，
可設a＝λb(λ<0)，∴|a|＝|λ||b|，
∴5＝7|λ|，∴λ＝±，
又∵λ<0，∴λ＝－.
答案：－
6．2.4　向量的數量積
第1課時　向量數量積的概念
一、
1．非零向量　∠AOB＝θ　0≤θ≤π
2．(1)同向　(2)反向　(3)垂直　a⊥b
[即時練習]
解析：因為向量a與向量b的夾角為60°，根據向量夾角的幾何意義，－a與－b構成的夾角和a與b的夾角相等，故選A.
答案：A
二、
|a||b|cos θ　a·b　a·b＝|a||b|cos θ　0
[即時練習]
解析：因為平面向量a，b的夾角為，且|a|＝4，|b|＝4，
所以a·b＝|a||b|cos ＝4×4×＝8.
故選C.
答案：C
三、
1．投影向量
2．投影向量
3．|a|cos θ e
[即時練習]
解析：a和e夾角為銳角，于是a在e上的投影向量和e同向共線，故投影向量為|a|·cos ·e＝e.
答案：e
四、
(1)|a|cos θ　(2)a·b＝0　(3)|a||b|　－|a||b|　|a|2　　(4)≤
[即時練習]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：設向量a與b的夾角為θ，
由|a|＝1，|b|＝3，a·b＝，
得cos θ＝＝＝，
所以θ＝.故選C.
答案：C
第2課時　向量數量積的運算
(1)b·a　(2)λ(a·b)　a·(λb)　(3)a·c＋b·c
[即時練習]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：b·c＝b·(a－2b)＝b·a－2b2＝0－2＝－2.
故選A.
答案：A
6．3　平面向量基本定理及坐標表示
6．3.1　平面向量基本定理
(1)不共線　有且只有　λ1e1＋λ2e2　(2)所有向量
[即時練習]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：由圖可知e1，e2為平面內的一組正交單位基底，A點在e1方向有4個單位，在e2方向有3個單位，所以＝4e1＋3e2.
答案：4e1＋3e2
6．3.2～6.3.3　平面向量的正交分解及坐標表示
平面向量加、減運算的坐標表示
一、
1．互相垂直
2．單位向量　(x，y)　(x，y)
3．(x，y)　坐標　一一對應
[即時練習]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：A：僅當A點與原點重合時，向量與點B的坐標相同，錯誤；
B：只有當A點不與原點重合時，向量與點B的坐標不相同，錯誤；
C：如A中描述，正確；
D：當B與原點O重合時，的坐標值與A的對應坐標值互為相反數，錯誤．故選C.
答案：C
二、
[即時練習]
1．解析：由題意，＝(－1－0，2－1)＝(－1，1).故選A.
答案：A
2．解析：a＋b＝(0，3)＋(4，1)＝(4，4).
答案：(4，4)
6．3.4　平面向量數乘運算的坐標表示
一、
(λx，λy)　相應坐標
[即時練習]
解析：2a－b＝2(2，4)－(－1，1)
＝(4，8)－(－1，1)
＝(5，7).故選A.
答案：A
二、
x1y2－x2y1＝0
[即時練習]
解析：A，1×2－3×1≠0，則不符合題意；
B，1×3－3×(－1)≠0，則不符合題意；
C，1×(－3)－3×1≠0，則不符合題意；
D，1×6－3×2＝0，則向量(1，3)與向量(2，6)共線．
答案：D
三、
　
[即時練習]
解析：由中點坐標公式得x＝＝－1，y＝＝3，故PQ的中點坐標為(－1，3).
答案：(－1，3)
6．3.5　平面向量數量積的坐標表示
1．x1x2＋y1y2　x1x2＋y1y2＝0
2.
3.
4.
[即時練習]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×
2．解析：由數量積的計算公式得a·b＝(－3，4)·(5，2)＝－3×5＋4×2＝－7.故選D.
答案：D
3．解析：由題意，a·b＝(－2，1)·(x，－2)＝－2x－2＝0，解得x＝－1.
答案：－1
6．4　平面向量的應用
6．4.1　平面幾何中的向量方法
[即時練習]
1．解析：因為·＝－5<0，
所以A為鈍角，
所以△ABC一定是鈍角三角形．故選D.
答案：D
2．解析：BC中點為D(，6)，＝(－，5)，
∴＝ ＝.
答案：
6．4.2　向量在物理中的應用舉例
[即時練習]
解析：∵＝(2，2)，＝(－2，3)，
∴F1＋F2＝＋＝(2，2)＋(－2，3)＝(0，5).
∴|F1＋F2|＝＝5.故選D.
答案：D
6．4.3　余弦定理、正弦定理
第1課時　余弦定理
其他兩邊平方的和　夾角的余弦的積　b2＋c2－2bc cos A　a2＋c2－2ac cos B　a2＋b2－2ab cos C　　　　解三角形
[即時練習]
1．答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：由余弦定理可得c2＝12＋22－2×1×2·cos ＝7，所以c＝.
答案：D
第2課時　正弦定理
正弦　　　2R sin B　2R sin C　　　
sin A∶sin B∶sin C
[即時練習]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)√
2．解析：由正弦定理得＝，＝，sin B＝1，
由于0答案：D
3．解析：因為A＝45°，C＝75°，
所以B＝180°－45°－75°＝60°，
因此由正弦定理可知：＝ ＝ a＝2.
答案：2
第3課時　余弦定理、正弦定理應用舉例
視線在水平線上方　視線在水平線下方　順
[即時練習]
1．解析：∵∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，
∴∠ACB＝45°，
由正弦定理＝，即＝，
解得：AC＝＝.
故選B.
答案：B
2．解析：由題意得∠ACB＝65°＋85°＝150°，又AC＝2，BC＝，
由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 150°＝4＋3－2×2××(－)＝13，
所以AB＝ km.
答案： km
第4課時　余弦定理、正弦定理綜合應用
ab sin C　ac sin B　bc sin A
[即時練習]
1．解析：S△ABC＝|AB|·|AC|sin A＝×＝.
故選D.
答案：D
2．解析：由題可知，ab sin C＝2 ×1·b·＝2 b＝4.故選C.
答案：C
第七章　復數
7．1　復數的概念
7．1.1　數系的擴充和復數的概念
一、
1．復數　虛數單位　－1
2．復數集
3．實部　虛部
[即時練習]
解析：1－i的實部為1，虛部為－1.
答案：1　－1
二、
a＝c且b＝d
[即時練習]
解析：因為3＋4i＝3＋bi，所以b＝4.故選C.
答案：C
三、
1．實數　虛數　a＝0　a≠0
[即時練習]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：根據虛數的概念知：1＋i，πi，＋2i，i，i都是虛數；由純虛數的概念知：πi，i都是純虛數．
答案：1＋i，πi，＋2i，i，i　πi，i
7．1.2　復數的幾何意義
一、
1．復平面　實軸　虛軸　
2．Z(a，b)
[即時練習]
1．解析：點M(1，2)對應的復數為1＋2i.
故選B.
答案：B
2．解析：由復數的幾何意義知：復數z＝－2＋3i在復平面上對應的向量的坐標為(－2，3)．
答案：(－2，3)
二、
[即時練習]
解析：∵z＝1＋i，∴＝＝.故選C.
答案：C
三、
相等　互為相反數　共軛虛數　a－bi
[即時練習]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：由共軛復數的定義知z＝3＋4i的共軛復數為＝3－4i.
答案：3－4i
7．2　復數的四則運算
7．2.1　復數加、減運算及其幾何意義
一、
1．(a＋c)＋(b＋d)i
2．向量
3．z2＋z1　z1＋(z2＋z3)
[即時練習]
1．解析：(1＋i)＋(－2＋2i)＝－1＋3i.故選A.
答案：A
2．解析：由于＝，所以對應的復數為6－5i＋(－1＋4i)＝6－1＋(4－5)i＝5－i.
答案：5－i
二、
1．(a－c)＋(b－d)i
[即時練習]
1．解析：∵復數z1＝3＋4i，z2＝3－4i，
∴z1－z2＝(3＋4i)－(3－4i)＝8i.
故選A.
答案：A
2．解析：∵＝－5＋i，＝－3－2i，
∴＝＝(－3－2i)－(－5＋i)＝2－3i，
即向量表示的復數為2－3i.
答案：2－3i
7．2.2　復數乘、除運算
一、
1．(ac－bd)＋(ad＋bc)i
2．z2z1　z1(z2z3)　z1z2＋z1z3
[即時練習]
1．解析：由題可知i(1＋i)＝－1＋i.故選A.
答案：A
2．解析：z＝(1－3i)2＝1－6i＋9i2＝－8－6i，
故z的虛部為－6.
答案：－6
二、
i
[即時練習]
1．解析：z＝＝＝＝1－i.故選A.
答案：A
2．解析：因為＝＝1＋i，所以復數的虛部為1.
答案：1
第八章　立體幾何初步
8．1　基本立體圖形
第1課時　棱柱、棱錐、棱臺
一、
形狀　大小　平面多邊形　公共邊　公共點　直線　曲面　幾何體　軸
[即時練習]
答案：A
二、
平行　四邊形　平行　平行　公共邊　公共頂點
[即時練習]
答案：(1)√　(2)√　(3)×
三、
多邊形　三角形　公共邊　公共頂點
[即時練習]
解析：根據棱錐的定義和結構特征可以判斷，①②是棱錐，③不是棱錐，④是棱錐．故選C.
答案：C
四、
平行于棱錐底面　截面　底面
[即時練習]
解析：由棱臺的定義知，A、D的側棱延長線不交于一點，所以不是棱臺；B中兩個面不平行，不是棱臺，只有C符合棱臺的定義．故選C.
答案：C
第2課時　圓柱、圓錐、圓臺、球、簡單組合體
一、
矩形的一邊所在直線　垂直　平行　平行　圓柱O′O　
直角三角形的一條直角邊　圓錐SO　圓錐底面　圓臺O′O　
[即時練習]
1．解析：根據題中圖形可知，
(1)是圓柱；
(2)是圓錐；
(3)不是圓臺，因為上下兩個面不平行；
因此如圖所示的圖形中有圓柱和圓錐，故選B.
答案：B
2．解析：由題意知，該幾何體是組合體，上、下各一圓錐，顯然B正確．故選B.
答案：B
二、
直徑所在直線　球心　半徑　球O
[即時練習]
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
三、
1．簡單幾何體
2．(1)拼接　(2)截去　挖去
[即時練習]
答案：圓錐　圓柱
8．2　立體圖形的直觀圖
一、
45°　135°　水平面　x′軸或y′軸的線段　保持原長度　一半
[即時練習]
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
8．3　簡單幾何體的表面積與體積
8．3.1　棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積
一、
各個面
[即時練習]
解析：長方體的表面積為S表＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22.故選A.
答案：A
二、
Sh　Sh　
[即時練習]
解析：因為三棱錐的底面為直角邊長分別是2和3的直角三角形，高為4，
所以該三棱錐的體積為V＝Sh＝××2×3×4＝4.
故選A.
答案：A
8．3.2　圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積
第1課時　圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積
一、
πr2　2πrl　2πrl＋2πr2　πr2　πrl　πrl＋πr2　πr′2　πr2　π(r′＋r)l　π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
[即時練習]
1．解析：該圓錐的側面積為πrl＝π×2×3＝6π.故選B.
答案：B
2．解析：圓柱的側面展開為矩形，其中矩形的一條邊長為圓柱底面周長，即2π×2＝4π，另一邊長為2，圓柱的側面面積為2×4π＝8π，故圓柱的表面積為8π＋2π×22＝16π.
答案：16π
二、
πr2h　πr2h　πh(r′2＋r′r＋r2)
[即時練習]
1．解析：底面圓周長l＝2π＝2πr，r＝1，S＝πr2＝π，
所以V＝Sh＝π×2π＝2π2.故選A.
答案：A
2．解析：易知圓錐的高h＝＝4，
所以體積V＝π×32×4＝12π.
答案：12π
第2課時　球的表面積和體積
一、
1．4πR2
2.πR3
[即時練習]
1．解析：因為球的直徑為2，即球的半徑為1，
所以球的表面積為4π×12＝4π.故選D.
答案：D
2．解析：設球的半徑為R，則S＝4πR2＝16π，解得R＝2，
則球的體積V＝πR3＝π.故選B.
答案：B
8．4　空間點、直線、平面之間的位置關系
8．4.1　平面
一、
1．無限延展
2．平行四邊形　45°　2　虛線
[即時練習]
解析：鏡面可以抽象成平面，但不是平面，所以選項A不正確；平面沒有大小，所以選項B和選項C都不正確．故選D.
答案：D
二、
1．不在一條直線上　兩個點　公共直線
[即時練習]
解析：點A在直線l上，則A∈l，l在平面α內，則l α.
故選D.
答案：D
8．4.2　空間點、直線、平面之間的位置關系
一、
1．任何一個
3．(1)平行　異面　相交　(2)平行　相交　異面
[即時練習]
解析：因為兩直線相交只有一個公共點，兩直線平行或異面沒有公共點，故選D.
答案：D
二、
無數　1　0　a α　a∩α＝A　a∥α
[即時練習]
解析：對于B，若直線與平面相交，此時除交點外，其余點都在平面外，B錯誤；
對于AC，若直線與平面平行，則所有點都在平面外，AC錯誤；
對于D，直線無論與平面相交還是平行，則都有無數個點在平面外，D正確．故選D.
答案：D
三、
α∥β　α∩β＝a　0　無數
[即時練習]
解析：由基本事實可知，平面α與平面β相交．故選B.
答案：B
8．5　空間直線、平面的平行
8．5.1　直線與直線平行
一、
1．平行
2．a∥c
[即時練習]
解析：∵E，F，G，H分別是棱SN，SP，MN，MP的中點，
∴EF為△SPN的中位線，GH為△MPN的中位線，
則EF∥PN，GH∥PN，
由平行公理可得，EF∥HG.故選A.
答案：A
二、
相等或互補　
[即時練習]
解析：兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角是相等或互補關系，所以∠B′A′C′＝30°或150°.故選C.
答案：C
8．5.2　直線與平面平行
一、
平面外　此平面內　平行　a α　b α　a∥b
[即時練習]
解析：對A，直線m與平面α內的所有直線平行不可能，故A錯誤；對B，當直線m在平面α內時，滿足直線m與平面α內的無數條直線平行，但m與α不平行；對C，能推出m與α平行；對D，當直線m在平面α內時，m與α不平行．故選C.
答案：C
二、
平行　交線平行　a β，α∩β＝b　
[即時練習]
解析：由線面平行定義知：直線a與平面α無交點，∴直線a與平面α內的任意一條直線不相交．故選D.
答案：D
8．5.3　平面與平面平行
一、
兩條相交直線　a∥β　b∥β　a∩b＝P　a α，b α
[即時練習]
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
二、
平行　a∥b　
[即時練習]
解析：因為α∥β，所以α與β無公共點，因為a α，所以a與β無公共點，所以a∥β.
答案：a∥β
8．6　空間直線、平面的垂直
8．6.1　直線與直線垂直
一、
1．a′　b′
2．(0°，90°]
[即時練習]
　解析：∵B1C1∥BC，∴異面直線AE與B1C1所成的角是∠AEB＝90°－25°＝65°.
答案：65°
二、
直角　a⊥b　
[即時練習]
解析：在長方體ABCD -A1B1C1D1的棱中，與棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8條．
故選D.
答案：D
8．6.2　直線與平面垂直
第1課時　直線與平面垂直的判定
一、
任意一條　垂線　垂面　垂足　有且只有一　垂線段　垂線段
[即時練習]
解析：因為l⊥平面ABC，AB 平面ABC，所以l⊥AB，故選B.
答案：B
二、
兩條相交直線　a∩b＝P　
[即時練習]
1．答案：(1)×　(2)√
2．解析：根據直線與平面垂直的判定定理可知直線垂直三角形所在的平面，所以直線垂直三角形的第三邊．
答案：A
三、
相交　垂直　交點　垂線　垂足　斜足　AO　直角　0°
[即時練習]
解析：如圖所示，因為在正方體ABCD -A1B1C1D1中，
B1B⊥平面ABCD，所以AB即為AB1在平面ABCD中的射影，
∠B1AB即為直線AB1與平面ABCD所成的角．
由題意知，∠B1AB＝45°，故所求角為45°.
答案：45°
第2課時　直線與平面垂直的性質
一、
平行　a∥b
[即時練習]
1．答案：(1)√　(2)√　(3)√
2．解析：因為圓柱的母線垂直于圓柱的底面，在圓柱的一個底面上任取一點(該點不在底面圓周上)，過該點作另一個底面的垂線，也垂直于底面，由線面垂直的性質定理可得，兩條垂線平行，故選B.
答案：B
二、
1．任意一點　
2．都相等
[即時練習]
解析：根據直線與平面的距離、平面與平面的距離的概念可知，直線A1B1到平面ABCD的距離為4，平面ABCD到平面A1B1C1D1的距離也為4.
答案：4　4
8．6.3　平面與平面垂直
第1課時　平面與平面垂直的判定
一、
1．兩個半平面　棱　面　
4．垂直于棱l　二面角的平面角　[0，π]
[即時練習]
解析：根據正方體中的線面位置關系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根據二面角的平面角定義可知，∠ABA1即為二面角A -BC -A1的平面角，又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1＝45°.
答案：45°
二、
1．直二面角　α⊥β　
2．如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直　a α，a⊥β α⊥β
[即時練習]
解析：由面面垂直的判定定理，得α與β垂直，故選C.
答案：C
第2課時　平面與平面垂直的性質
一、
一個平面內　交線　a α　a⊥l　
[即時練習]
答案：(1)×　(2)√　(3)×
第九章　統計
9．1　隨機抽樣
9．1.1　簡單隨機抽樣
一、
1．每一個　全體　每一個
2．一部分　那部分　個體數
[即時練習]
解析：由隨機抽樣的基本概念可得，D正確．故選D.
答案：D
二、
相等　相等　放回
[即時練習]
解析：A選項錯在“一次性”抽取；B選項錯在“有放回”抽取；C選項錯在“一次性”“總體容量無限”．故正確選項為D.
答案：D
三、
1．不透明　不放回
[即時練習]
答案：(1)×　(2)×　(3)√
四、
1.＝
2．樣本均值
[即時練習]
解析：＝×(32×2＋34×4＋38×20＋40×20＋42×26＋43×10＋45×8＋46×6＋48×4)≈41(歲)，
即這個學校老師的平均年齡約為41歲．
答案：41
9．1.2～9.1.3　分層隨機抽樣　獲取數據的途徑
一、
簡單隨機抽樣　分層隨機抽樣　層　比例分配
[即時練習]
答案：(1)√　(2)√　(3)×
二、
　　　
[即時練習]
解析：根據題意知，樣本容量為40，則這40名學生的平均成績為×110＋×106＝108分，所以該組合學生的平均成績約為108分．
答案：108
三、
通過調查獲取數據　通過試驗獲取數據　通過觀察獲取數據
通過查詢獲得數據
[即時練習]
解析：“中國天眼”主要是通過觀察獲取數據．故選C.
答案：C
9．2　用樣本估計總體
9．2.1　總體取值規律的估計
一、
1．差
2．等長　
5．高度　組距×　頻率
[即時練習]
1．答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：由頻數分布表知：樣本數據落在[10，40)內的頻率為＝0.52.故選C.
答案：C
二、
[即時練習]
解析：依題意，該地區初中生有4 500人，而該地區初中生的近視率為30%，所以該地區初中生近視人數為4 500×30%＝1 350.故選D.
答案：D
9．2.2　總體百分位數的估計
1．p%　(100－p)%
2．小　大　n×p%　第j項　平均數
3．25　75
[即時練習]
1．答案：(1)√　(2)√　(3)×
2．解析：將數據從小到大排列為1，2，3，4，5，5.
而6×0.5＝3，所以第50百分位數是＝3.5.故選B.
答案：B
9．2.3　總體集中趨勢的估計
一、
1．最多
2．從小到大(或從大到小)　中間　平均數
3.(x1＋x2＋…＋xn)
[即時練習]
解析：由題意知，該學習小組共有10人，因此眾數和中位數都是85，平均數為＝87.
答案：C
二、
1．橫坐標　面積　
2．相等　
3．最高　中點
[即時練習]
解析：由條形圖知：50個數據出現次數最多的為40，
所以眾數為40.故選C.
答案：C
9．2.4　總體離散程度的估計
1.　
2.
3.
[即時練習]
1．答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：平均數為＝5.
該樣本的方差為＝4.
故選B.
答案：B
第十章　概率
10．1　隨機事件與概率
10．1.1　有限樣本空間與隨機事件
一、
1．隨機現象　
2．(1)重復　(2)明確可知
3．基本結果　樣本點　樣本空間　有限樣本空間
[即時練習]
解析：任取兩個不同的字母的有：{ab，ac，ad，bc，bd，cd}．
答案：{ab，ac，ad，bc，bd，cd}
二、
子集　一個　總有一個樣本點　都不會　
[即時練習]
解析：守株待兔是隨機事件，故A選項正確；
甕中捉鱉是必然事件，故B選項錯誤；
水中撈月是不可能事件，故C選項錯誤；
水滴石穿是必然事件，故D選項錯誤．
故選A.
答案：A
10．1.2　事件的關系和運算
一、
一定發生　B A且A B　
[即時練習]
解析：因為出現的點數小于5包含出現1點，出現2點，出現3點，出現4點四種情況，所以事件B發生時，事件H必然發生，故B H；同理D J，E I；又易知事件A與事件G相等，即A＝G.
答案：(1) 　(2) 　(3) 　(4)＝
二、
至少　同時　
[即時練習]
解析：由題意可知C＝A∪B.
答案：C＝A∪B
三、
不能同時　A∩B　有且僅有　
[即時練習]
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
10．1.3　古典概型
1．(1)有限個　(2)相等　
2.＝
[即時練習]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)√
2．解析：樣本點總數為10，“抽出一本是物理書”包含3個樣本點，所以其概率為.故選B.
答案：B
10．1.4　概率的基本性質
≥　1　0　1　0　P(A)＋P(B)　1－P(A)　1－P(B)　P(A)≤P(B)　P(A)＋P(B)－P(A∩B)
[即時練習]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：因為A與B互斥，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.2＋0.1＝0.3.
答案：0.3
10．2　事件的相互獨立性
1．P(A)P(B)　
[即時練習]
1．答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
2．解析：對于該試驗，第一枚骰子與第二枚骰子出現點數互不影響，而且事件A、B可以同時發生，所以A、B相互獨立，但不互斥，也不對立，更不相等．故選C.
答案：C
10．3　頻率與概率
10．3.1　頻率的穩定性
10．3.2　隨機模擬
一、
增大　縮小　穩定　穩定　頻率fn(A)
[即時練習]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×
2．解析：事件A出現的頻數是6，頻率＝＝.故選B.
答案：B
二、
[即時練習]
1．答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2．解析：用隨機模擬的方法估計概率時，產生的隨機數越多，準確程度越高．故選B.
答案：B
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第六章　平面向量及其應用
6.1　平面向量的概念
預學案01
一、向量的實際背景與概念
我們把既有________又有________的量叫做向量，而把只有________沒有________的量稱為數量．
【即時練習】　下列各量中是向量的為(　　)
A．海拔　　　　 B．壓強
C．加速度　　　 D．溫度
二、向量的幾何表示
1．有向線段
具有________的線段叫做有向線段，它包含三個要素：________、________、________，如圖所示．
以A為起點、B為終點的有向線段記作，線段AB的長度叫做有向線段的長度，記作________．
2．向量的表示
(1)幾何表示：向量可以用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向．
(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑體a，b，c，書寫時用，，)．
3．模、零向量、單位向量
向量的大小，稱為向量的長度(或稱模)，記作________.長度為________的向量叫做零向量，記作________；長度等于________個單位長度的向量，叫做單位向量．
【即時練習】　判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)零向量沒有方向．(　　)
(2)向量的長度和向量的模相等．(　　)
(3)單位向量都平行．(　　)
(4)零向量與任意向量都平行．(　　)
三、相等向量與共線向量
1．平行向量：方向____________的非零向量叫做平行向量，記作________．
2．相等向量：長度________且________相同的向量叫做相等向量，記作________．
3．共線向量：由于任一組平行向量都可以平移到________上，所以平行向量也叫做共線向量．
【即時練習】　
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)平行向量一定方向相同．(　　)
(2)不相等的向量一定不平行．(　　)
(3)零向量與任意向量都平行．(　　)
(4)共線向量一定在同一直線上．(　　)
2．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，則圖中相等的向量是________(填序號)．
(1)與；
(2)與；
(3)與；
(4)與.　　　
微點撥
(1)向量被賦予了幾何意義，即向量是具有方向的，而數量是一個代數量，沒有方向；
(2)數量可以比較大小，而向量無法比較大小．
微點撥
(1)在空間中，有向線段是固定的線段，而向量是可以自由平移的；
(2)有向線段是向量的表示，并不是說向量就是有向線段，每一條有向線段對應著一個向量，但每一個向量對應著無數多條有向線段．
(3)0與0不同，雖然|0|＝0，但0是向量，而0是數量．
(4)定義中的零向量、單位向量都是只限制長度，不確定方向．
(5)在平面內，所有單位向量的起點平移到同一點，它們的終點可構成一個半徑為1的圓．
微點撥
(1)向量平行與幾何中的直線平行不同，向量平行包括所在直線重合的情況，故也稱向量共線．
(2)共線向量就是平行向量，其中“共線”的含義不是平面幾何中“共線”的含義．實際上，共線向量(平行向量)有以下四種情況：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等．這樣，也就找到了共線向量與相等向量的關系，即共線向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共線向量．
(3)相等向量
向量相等具有傳遞性，即若a＝b，b＝c，則a＝c.而向量的平行不具有傳遞性，若a∥b，b∥c，未必有a∥c.因為零向量平行于任意向量，那么當b＝0時，a，c可以是任意向量，所以a與c不一定平行．但若b≠0，則必有a∥b，b∥c a∥c.因此，解答問題時要看清題目中是任意向量還是任意非零向量．
6.2　平面向量的運算
6.2.1　向量的加法運算　
預學案02
一、向量加法的定義及其運算法則
1．定義：求____________的運算，叫做向量的加法．
對于零向量與任一向量a，規定0＋a＝a＋0＝a.
2．向量求和的法則
向量加法 的三角形 法則 前提 已知非零向量a，b，在平面內任取一點A
作法 作＝a，＝b，連接AC
結論 向量叫做a與b的和，記作________，即a＋b＝＝________
圖形
向量加法 的平行四 邊形法則 前提 已知兩個同一起點的向量a，b，在平面內任取一點O
作法 作＝a，＝b，以OA，OB為鄰邊作 OACB，連接OC
結論 以O為起點的向量就是向量a與b的和，即＝________
圖形
【即時練習】　
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)兩個向量的和可能是數量．(　　)
(2)兩個向量相加就是它們的模相加．(　　)
(3)＝(　　)
(4)向量加法的平行四邊形法則適合任意兩個向量．(　　)
2．如圖，在平行四邊形ABCD中，＝(　　)
A．　　　　B． C．　　　　D．
二、|a＋b|與|a|，|b|之間的關系
1．對于任意向量a，b，都有________≤|a＋b|≤________；
2．當a，b共線，且同向時，有|a＋b|＝________；
3．當a，b共線，且反向時，有|a＋b|＝________或________．
三、向量加法的運算律
1．(加法交換律)a＋b＝________；
2．(加法結合律)(a＋b)＋c＝________．
【即時練習】　化簡：＝__________．
微點撥
(1)在使用向量加法的三角形法則時，要注意“首尾相接”，即第一個向量的終點與第二個向量的起點重合，則以第一個向量的起點為起點，并以第二個向量的終點為終點的向量即兩向量的和．
(2)向量加法的平行四邊形法則的應用前提是“共起點”，即兩個向量是從同一點出發的不共線向量．
微點撥
根據向量加法的三角形法則以及“三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”，可以得出上述結論．
微點撥
(1)當兩個向量共線時，向量加法的交換律和結合律也成立．
(2)多個向量的加法運算可按照任意的次序與任意的組合進行，如(a＋b)＋(c＋d)＝(b＋d)＋(a＋c)；a＋b＋c＋d＋e＝[d＋(a＋c)]＋(b＋e)．
6.2.2　向量的減法運算　
預學案03
一、相反向量
定義 如果兩個向量長度________，而方向________那么稱這兩個向量是相反向量
性質 對于相反向量有：a＋(－a)＝________
若a、b互為相反向量，則a＝________，a＋b＝________
零向量的相反向量仍是零向量
推論 －(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； 如果a與b互為相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0
【即時練習】　
1．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若b是a的相反向量，則a與b一定不相等．(　　)
(2)若b是a的相反向量，則a∥b.(　　)
(3)向量的相反向量是，且＝－.(　　)
2．在平行四邊形ABCD中，向量的相反向量為________．
二、向量的減法
定義 a－b＝a＋(－b)，即減去一個向量相當于加上這個向量的________
作法 在平面內任取一點O，作＝a，＝b，則向量a－b＝________．如圖所示　　
幾何意義 如果把兩個向量＝a，＝b的起點放在一起，則a－b可以表示為從向量b的________指向向量a的________的向量
【即時練習】　
1．在△ABC中，D是BC邊上的一點，則＝(　　)
A． B．
C． D．
2．設a與b是兩個相等向量，則a－b＝________．
微點撥
相反向量仍具備兩個要素：方向和長度．互為相反向量的兩個向量一定是共線向量，任一向量與它的相反向量的和是零向量．
微點撥
(1)向量減法的實質是向量加法的逆運算．利用相反向量的定義．－＝，就可以把減法化為加法．在用三角形法則作向量減法時，只要記住“連接兩向量終點，箭頭指向被減數”即可．
(2)以向量＝a，＝b為鄰邊作平行四邊形ABCD，則兩條對角線的向量為＝a＋b，＝b－a，＝a－b，這一結論在以后應用還是非常廣泛的，應該理解并會應用．
(3)在平行四邊形ABCD中，＝＝，即兩條對角線所在向量可以用從一個頂點出發的兩邊所在向量表示．
6.2.3　向量的數乘運算　
預學案04
一、向量的數乘
定義 實數λ與向量a的積是一個________
記法 λa
長度 |λa|＝|λ||a|
方向 λ＞0 方向與a的方向________
λ＜0 方向與a的方向________
【即時練習】　判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)對于任意的向量a，總有0·a＝0.(　　)
(2)當λ＞0時，|λa|＝λa.(　　)
(3)若a≠0，λ≠0，則a與－λa的方向相反．(　　)
(4)向量－8a(a≠0)的模是向量4a的模的2倍．(　　)
二、向量數乘的運算律
設λ，μ為任意實數
①λ(μa)＝________；
②(λ＋μ)a＝________；
③λ(a＋b)＝________．
特別地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝________．
向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算．對于任意向量a、b，以及任意實數λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝____________．
【即時練習】　3(2a－4b)＝(　　)
A．5a＋7b B．5a－7b
C．6a＋12b D．6a－12b
三、向量共線定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數λ，使________.
【即時練習】　
1．已知a＝－e，b＝e，則下列式子正確的是(　　)
A．b＝a B．b＝－a
C．b＝2a D．b＝－2a
2．若|a|＝5，b與a的方向相反，且|b|＝7，則a＝________b.
微點撥
(1)向量數乘仍是一個向量．λa中的實數λ叫做向量a的系數．
(2)不要忽略特殊情況：當λ＝0時，λa＝0.當λ≠0時，若a＝0，也有λa＝0.
(3)實數與向量可以求積，但是不能進行加減運算．
(4)向量的數乘的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或a的反方向擴大或縮小．當λ＞0時，沿著a的方向擴大(λ＞1)λ倍或縮小(0<λ<1)λ；當λ＜0時，沿著a的反方向擴大(|λ|＞1)λ倍或縮小(|λ|<1)|λ|.
微點撥
(1)向量數乘運算律與實數乘法運算律很相似，只是向量數乘分配律由于因子的不同，可分為(λ＋μ)a＝λa＋μa和λ(a＋b)＝λa＋λb.
(2)向量數乘運算律的理論依據是兩個向量相等的定義．
微點撥
(1)由a＝λb a∥b中，若λ＝0，則a＝0，零向量與任一向量都平行．若λ＞0，則a與b同向；若λ＜0，則a與b反向．
(2)由a∥b a＝λb中，由λ的唯一性，得b≠0.
(3)該定理有兩方面的應用，一是一個向量可以由另一個向量線性表示，則可以判定兩向量平行；二是若兩向量平行，則一個向量可以由另一非零向量線性表示，可以用來求參數λ，它是軸上向量坐標化的依據．
6．2.4　向量的數量積
第1課時　向量數量積的概念　
預學案05
一、向量的夾角
1．定義：已知兩個________a，b，O是平面上的任意一點，作＝a，＝b，則________叫作向量a與b的夾角，夾角的取值范圍是________．
2．特例：
(1)當θ＝0時，向量a，b________．
(2)當θ＝π時，向量a，b________．
(3)當θ＝時，向量a，b________，記作________．
【即時練習】　若向量a與b的夾角為60°，則向量－a與－b的夾角是(　　)
A．60° B．120°
C．30° D．150°
二、向量的數量積
已知兩個非零向量a與b，我們把數量________叫做向量a與b的數量積(或內積)，記作________，即________________(θ為a，b的夾角)．
規定：零向量與任一向量的數量積為________．
【即時練習】　已知平面向量a，b的夾角為，且|a|＝4，|b|＝4，則a·b＝(　　)
A．4 B．4
C．8 D．8
三、投影向量
1．如圖(1)，設a，b是兩個非零向量，＝a，＝b，我們考慮如下的變換：過的起點A和終點B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到，我們稱上述變換為向量a向向量b投影叫做向量a在向量b上的________．
2．如圖(2)，我們可以在平面內任取一點O，作＝a，＝b，過點M作直線ON的垂線，垂足為M1，則就是向量a在向量b上的________．
3．設與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則與e，a，θ之間的關系為＝________．
【即時練習】　已知|a|＝3，e為單位向量，它們的夾角為，則向量a在e上的投影向量是________．
四、向量數量積的性質
設a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則
(1)a·e＝e·a＝________．
(2)a⊥b ________．
(3)當a與b同向時，a·b＝________；當a與b反向時，a·b＝________．特別地，a·a＝________或|a|＝________．
(4)|a·b|____|a||b|.
【即時練習】　
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)a與b的數量積a·b是一個向量．(　　)
(2)若a·b＝0，則a＝0或b＝0.(　　)
(3)若a⊥b，則a·b＝0.(　　)
(4)向量a在b上的投影向量是一個模等于|acos θ|(θ是a與b的夾角)，方向與b相同或相反的一個向量．(　　)
2．若|a|＝1，|b|＝3，a·b＝，則向量a與b的夾角為(　　)
A．　　B． C．　　D．
微點撥
按照向量夾角的定義，只有兩個向量的起點重合時所對應的角才是兩向量的夾角，如圖所示，
∠BAC不是向量與向量的夾角，∠BAD才是向量與向量的夾角．
微點撥
(1)兩向量的數量積是個數量，而不是向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積，其符號由夾角的余弦值決定．
(2)兩個向量的數量積稱為內積，應寫成a·b，不能寫成a×b(兩向量的外積)，它與代數中數a、b的乘積ab(或a·b)是不同的．
(3)在實數中，若a≠0，且ab＝0，則b＝0；但是在數量積中，當a≠0時，由a·b＝0不能推出b一定是零向量．因為其中cos θ有可能為0，即任一與a垂直的非零向量b，都有a·b＝0.
(4)已知實數a、b、c(b≠0)，則ab＝bc a＝c；但對于向量，該推理就是不正確的，即a·b＝b·cDa＝c.
微點撥
(1)向量a在向量b上的投影向量是與向量b平行的向量．
(2)如果向量a與向量b平行或垂直，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性．
微點撥
(1)a⊥b a·b＝0，既可以用來證明兩向量垂直，也可以由垂直進行有關計算．
(2)a·a＝a2＝|a|2與|a|＝＝也用來求向量的模，以實現實數運算與向量運算的相互轉化．
(3)用cos θ＝求兩向量的夾角，且夾角的取值與a·b的符號有關．
設兩個非零向量a與b的夾角為θ，則
當θ＝0時，cos θ＝1，a·b＝|a||b|；
當θ為銳角時，cos θ>0，a·b>0；
當θ為直角時，cos θ＝0，a·b＝0；
當θ為鈍角時，cos θ<0，a·b<0；
當θ＝π時，cos θ＝－1，a·b＝－|a||b|.
(4)|a·b|≤|a||b|可以用來通過構造向量來證明不等式問題或解決最值問題．
第2課時　向量數量積的運算　
預學案06
向量的數量積的運算律
已知向量a，b，c和實數λ，則
(1)a·b＝________(交換律)．
(2)(λa)·b＝________＝________(結合律)．
(3)(a＋b)·c＝________(分配律)．
【即時練習】　
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)若a·b＝a·c且a≠0，則b＝c.(　　)
(2)(a·b)c＝a(b·c)．(　　)
(3)(a·b)2＝a2·b2.(　　)
(4)a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0.(　　)
2．已知a，b是互相垂直的單位向量，若c＝a－2b，則b·c＝(　　)
A．－2 B．－1 C．0 D．2
微點撥
(1)向量的數量積不滿足消去律：若a，b，c均為非零向量，且a·c＝b·c，得不到a＝b.
(2)實數運算滿足乘法結合律，但向量的數量積運算不滿足乘法結合律，即(a·b)c不一定等于a(b·c)，這是由于(a·b)c表示一個與c共線的向量，而a(b·c)表示一個與a共線的向量，而c與a不一定共線．
(3)常用結論
①(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
②(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2.
③(a＋b)·(c＋d)＝a·c＋a·d＋b·c＋b·d.
6．3　平面向量基本定理及坐標表示
6.3.1　平面向量基本定理
預學案07
平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個________向量，那么對于這一平面內的任一向量a，________一對實數λ1，λ2，使a＝________．
(2)基底：不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內________的一組基底．
【即時練習】　
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)只有非零向量才能用平面內的一組基底e1，e2線性表示．(　　)
(2)同一向量用兩組不同的基底表示時，表示方法是相同的．(　　)
(3)若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)
(4)平面向量的基底不唯一，只要基底確定后，平面內的任何一個向量都可用這組基底唯一表示．(　　)
2．如圖所示，向量可用向量e1，e2表示為________．
微點撥
(1)基底不唯一，只要是同一平面內的兩個不共線向量都可以構成基底向量．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．
(2)基底給定時，分解形式唯一．λ1，λ2是被a，e1，e2唯一確定的數值．
(3){e1，e2}是表示同一平面內所有向量的一個基底，則當a與e1共線時，λ2＝0；當a與e2共線時，λ1＝0；當a＝0時，λ1＝λ2＝0.
(4)由于零向量與任何向量都是共線的，因此零向量不能作為基底中的向量．
6.3.2～6.3.3　平面向量的正交分解及坐標表示
平面向量加、減運算的坐標表示
預學案08
一、平面向量的正交分解及坐標表示
1．向量的正交分解
把一個向量分解為兩個________的向量，叫做把向量作正交分解．
2．向量的坐標表示
在平面直角坐標系中，設與x軸、y軸方向相同的兩個________分別為i，j，取{i，j}作為基底，對于平面內的任意一個向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數x，y，使得a＝xi＋yj，我們把有序實數對________叫做向量a的坐標，記作a＝________，此式叫做向量a的坐標表示，其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標．
3．向量與坐標的關系
設＝xi＋yj，則向量的坐標________就是終點A的坐標；反過來，終點A的________(x，y)就是向量的坐標．
因此，在平面直角坐標系內，每一個平面向量都可以用一有序實數對唯一表示，即以原點為起點的向量與實數對是________的．
【即時練習】　
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)兩個向量的終點不同，則這兩個向量的坐標一定不同．(　　)
(2)向量的坐標就是向量終點的坐標．(　　)
(3)在平面直角坐標系中，兩個相等向量的坐標相同．(　　)
(4)點的坐標與向量的坐標相同．(　　)
2．平面直角坐標系中，的坐標(　　)
A．與點B的坐標相同
B．與點B的坐標不相同
C．當A與原點O重合時，與點B的坐標相同
D．當B與原點O重合時，與點A的坐標相同
二、平面向量加、減運算的坐標表示
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
數學公式 文字語言表述
向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 兩個向量和的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和
向量減法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 兩個向量差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的差
已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標．
【即時練習】　
1．在平面直角坐標系中，若點A(0，1)，B(－1，2)，則的坐標為(　　)
A．(－1，1)　　　B．(1，1) C．(－1，2)　　　D．(－1，3)
2．已知向量a＝(0，3)，b＝(4，1)，則a＋b的坐標是________．
微點撥
(1)平面向量的正交分解實質上是平面向量基本定理的一種應用形式，只是兩個基向量e1和e2互相垂直．
(2)由向量坐標的定義，知兩向量相等的充要條件是它們的橫、縱坐標對應相等，即a＝b x1＝x2且y1＝y2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(3)向量的坐標只與向量的起點、終點的相對位置有關，而與它們的具體位置無關．
(4)當向量確定以后，向量的坐標就是唯一確定的，因此向量在平移前后，其坐標不變．
6.3.4　平面向量數乘運算的坐標表示　
預學案09
一、平面向量數乘運算的坐標表示
符號表示 若a＝(x，y)，則λa＝________
文字表示 實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的________
【即時練習】　
已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，則2a－b＝(　　)
A．(5，7)　 B．(5，9)
C．(3，7)　 D．(3，9)
二、平面向量共線的坐標表示
向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)共線的充要條件是______________．
【即時練習】　下列向量與a＝(1，3)共線的是(　　)
A．(1，2) B．(－1，3)
C．(1，－3) D．(2，6)
微點撥
兩個向量共線條件的三種表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)當b≠0時，a＝λb.
(2)x1y2－x2y1＝0.
(3)當x2y2≠0時，＝，即兩向量的相應坐標成比例．
三、中點坐標公式
若P1，P2的坐標分別是(x1，y1)，(x2，y2)，線段P1P2的中點P的坐標為(x，y)，則此公式為線段P1P2的中點坐標公式．
【即時練習】　已知P(2，6)，Q(－4，0)，則PQ的中點坐標為________．
6.3.5　平面向量數量積的坐標表示　
預學案10
平面向量數量積的坐標表示
1．平面向量數量積的坐標表示：
設向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.
數量積 a·b＝____________
向量垂直 a⊥b ____________
2.向量模的公式：設a＝(x1，y1)，則|a|＝________．
3．兩點間的距離公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則||＝________．
4．向量的夾角公式：設兩非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b夾角為θ，則cos θ＝________．
【即時練習】　
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)向量的模等于向量坐標的平方和．(　　)
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b x1x2－y1y2＝0.(　　)
(3)若兩個非零向量的夾角θ滿足cos θ<0，則兩向量的夾角θ一定是鈍角．(　　)
2．已知a＝(－3，4)，b＝(5，2)，則a·b的值是(　　)
A．23　　　 B．7
C．－23　　　 D．－7
3．已知a＝(－2，1)，b＝(x，－2)，且a⊥b，則x＝________．
微點撥
(1)公式a·b＝|a||b|cos θ與a·b＝x1x2＋y1y2都是用來求兩向量的數量積的，沒有本質區別，只是書寫形式上的差異，兩者可以相互推導．
(2)已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b與a⊥b的坐標表示如下：
a∥b x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0；
a⊥b x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0.
兩個結論不能混淆，可以對比學習，分別簡記為：縱橫交錯積相等，橫橫縱縱積相反．
(3)與向量a同向的單位向量的坐標表示：
因為與向量a同向的單位向量a0＝，若a＝(x，y)則|a|＝，所以a0＝＝(x，y)＝()，此式為與向量a＝(x，y)同向的單位向量的坐標表示．
6.4　平面向量的應用
6.4.1　平面幾何中的向量方法
預學案11
用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：
(1)建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；
(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；
(3)把運算結果“翻譯”成幾何關系．
【即時練習】　
1．在△ABC中，若·＝－5，則△ABC的形狀一定是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．銳角三角形 D．鈍角三角形
2．在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，則BC邊的中線AD的長為________．
微點撥
(1)平面幾何中經常涉及求距離(線段長度)、夾角問題，證明平行、垂直問題，而平面向量的運算，特別是數量積的運算主要涉及向量的模、夾角、垂直等知識，因此可以用向量方法解決部分幾何問題．
(2)用向量解決平面幾何問題，就是將幾何邏輯推理論證問題轉化為向量的運算問題，將“證”轉化為“算”，思路清晰，便于操作．
6.4.2　向量在物理中的應用舉例　
預學案12
向量在物理中的應用
(1)物理問題中常見的向量有力、速度、加速度、位移等．
(2)向量的加減法運算體現在力、速度、加速度、位移的合成與分解．
【即時練習】　已知向量＝＝(－2，3)分別表示力F1，F2，則|F1＋F2|為(　　)
A．(0，5)　　　　B．(4，－1)　　　C．2　　　　D．5
微點撥
向量在物理中的應用，實際上是把物理問題轉化為向量問題，然后通過向量運算解決向量問題，最后用所獲得的結果解釋物理現象．
6．4.3　余弦定理、正弦定理
第1課時　余弦定理
預學案13
余弦定理
文字 表述 三角形中任何一邊的平方，等于__________________減去這兩邊與它們的__________________的兩倍
公式 表達 a2＝______________________，b2＝______________________， c2＝______________________
推論 cos A＝__________________，cos B＝__________________， cos C＝__________________
一般地，三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做____________．
【即時練習】　
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣．(　　)
(2)余弦定理只適用于銳角三角形．(　　)
(3)已知三角形的三邊求三個內角時，解是唯一的．(　　)
(4)在△ABC中，若a2>b2＋c2，則△ABC一定為鈍角三角形．(　　)
2．已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝，則c＝(　　)
A．　 　B． C．　 　D．
微點撥
(1)余弦定理對任意的三角形都成立．
(2)在余弦定理中，每一個等式都包含四個量，因此已知其中三個量，利用方程思想可以求得未知的量．
(3)余弦定理的推論是余弦定理的第二種形式，適用于已知三角形三邊來確定三角形的角的問題．用余弦定理的推論還可以根據角的余弦值的符號來判斷三角形中的角是銳角還是鈍角．
第2課時　正弦定理　
預學案14
正弦定理
文字語言 在一個三角形中，各邊和它所對角的________的比相等
符號語言 ＝________＝________＝2R(R為△ABC外接圓的半徑)
常見變形 a＝2R sin A，b＝________，c＝________， sin A＝，sin B＝________，sin C＝________， a∶b∶c＝________，＝2R
【即時練習】　
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)在△ABC中必有a sin A＝b sin B．(　　)
(2)在△ABC中，若a＞b，則必有sin A>sin B．(　　)
(3)在△ABC中，若sin A＝sin B，則必有A＝B.(　　)
2．在△ABC中，A＝，a＝2，b＝2，則B為(　　)
A． B． C．或 D．
3．在△ABC中，已知b＝6，A＝45°，C＝75°，則a＝________．
微點撥
(1)正弦定理對任意三角形都適用．
(2)正弦定理中的比值是一個定值，它的幾何意義為三角形外接圓的直徑．
(3)正弦定理是直角三角形對角關系的一個推廣，正弦定理對任意三角形都成立，它的主要功能是實現三角形中邊角關系的互化．
第3課時　余弦定理、正弦定理應用舉例
預學案15
　
實際測量中的有關名稱、術語
名稱 定義 圖示
仰角 在視線和水平線所成的角中，________的角稱為仰角
俯角 在視線和水平線所成的角中，________的角稱為俯角
方向角 從指定方向線到目標方向線的水平角(指定方向線是指正北或正南或正東或正西，方向角小于90°) 　南偏西60°
方位角 從正北的方向線按________時針到目標方向線所轉過的水平角
【即時練習】　
1．在相距2千米的A、B兩點處測量目標C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，則A，C兩點之間的距離是(　　)千米．
A．　　　　B．　　　　C．6　　　　D．2
2．已知A船在燈塔C北偏東85°且A到C的距離為2 km，B船在燈塔C北偏西65°且B到C的距離為 km，則A，B兩船的距離為________．
微點撥
解三角形在實際測量中的常見問題
(1)
(2)高度問題
(3)角度問題
測量角度就是在三角形內利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根據需要得出所求的角．
第4課時　余弦定理、正弦定理綜合應用　
預學案16
三角形面積公式
已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則△ABC的面積公式為
(1)S＝________＝________＝________；
(2)S＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc表示a，b，c邊上的高)．
【即時練習】　
1．在△ABC中，若AB＝1，AC＝，A＝，則S△ABC的值為(　　)
A．2 B．
C．1 D．
2．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，a＝1，C＝45°，△ABC的面積為2，則b＝(　　)
A．2 B．4
C．4 D．4
微點撥
△ABC中的常用結論
(1)A＋B＋C＝180°，sin (A＋B)＝sin C，cos (A＋B)＝－cos C；
(2)大邊對大角，即a>b A>B sin A>sin B；
(3)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．
第七章　復數
7.1　復數的概念
7．1.1　數系的擴充和復數的概念
預學案17
一、復數的有關概念
1．復數的定義
形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做________，其中i叫做________，滿足i2＝________.
2．復數集
全體復數所構成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做________．
3．復數的表示方法
復數通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做復數z的________，b叫做復數z的________．
【即時練習】　1－i的實部等于________，虛部等于________．
二、復數相等的充要條件
在復數集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取兩個數a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我們規定：a＋bi與c＋di相等當且僅當____________．
【即時練習】　若復數3＋4i＝3＋bi，i為虛數單位，則b＝(　　)
A．1　　　　 　B．2　　　　 　C．4　　　　 　D．5
三、復數的分類
1．復數z＝a＋bi(a，b∈R)
2．復數集、實數集、虛數集、純虛數集之間的關系
【即時練習】　
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)若a，b為實數，則z＝a＋bi為虛數．(　　)
(2)復數i的實部不存在，虛部為0.(　　)
(3)bi是純虛數．(　　)
(4)如果兩個復數的實部的差和虛部的差都等于0，那么這兩個復數相等．(　　)
2．在下列數中，屬于虛數的是________，屬于純虛數的是________．
0，1＋i，πi，＋2i，i，i.
微點撥
(1)i與實數之間可以運算，亦適合加、減、乘的運算律．
(2)復數集是最大的數集，任何一個數都可寫成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.
(3)復數a＋bi的實部、虛部不一定是a、b，只有當a∈R，b∈R時，a、b才是該復數的實部、虛部．
微點撥
(1)應用復數相等的充要條件時注意要先將復數化為z＝a＋bi(a，b∈R)的形式，即分離實部和虛部．
(2)只有當a＝c且b＝d的時候才有a＋bi＝c＋di，a＝c和b＝d有一個不成立時，就有a＋bi≠c＋di.
(3)由a＋bi＝0，a，b∈R，可得a＝0且b＝0.
微點撥
(1)兩個虛數不能比較大小．
(2)a＝0是復數z＝a＋bi為純虛數的必要不充分條件．
7.1.2　復數的幾何意義
一、復平面和復數的幾何意義
1．如圖所示，點Z的橫坐標是a，縱坐標是b，復數z＝a＋bi可用點Z(a，b)表示．這個建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做________，x軸叫做________，y軸叫做________．顯然，實軸上的點都表示實數；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數．
2．復數的幾何意義
(1)按照這種表示方法，每一個復數，有復平面內唯一的一個點和它對應；反過來，復平面內的每一個點，有唯一的一個復數和它對應．因此，復數集C和復平面內所有的點所成的集合是一一對應的，即復數z＝a＋bi復平面內的點________，這是復數的一種幾何意義．
(2)
如圖所示，設復平面內的點Z表示復數z＝a＋bi，連接OZ，顯然向量由點Z唯一確定；反過來，點Z(相對于原點來說)也可以由向量唯一確定．因此，復數集C與復平面內的向量所成的集合也是一一對應的(實數0與零向量對應)，即復數z＝a＋bi平面向量，這是復數的另一種幾何意義．
【即時練習】　
1．復平面內的點M(1，2)對應的復數為(　　)
A．－1＋2i B．1＋2i
C．2－i D．2＋i
2．復數z＝－2＋3i在復平面上對應的向量的坐標為________．
二、復數的模
復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應的向量為，則的模叫做復數z的模或絕對值，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝________．
如果b＝0，那么z＝a＋bi是一個實數a，它的模等于|a|(a的絕對值)．
【即時練習】　若z＝1＋i，則|z|＝(　　)
A．0　　　　 B．1　
C．　　　　 D．2
三、共軛復數
一般地，當兩個復數的實部________，虛部____________時，這兩個復數叫做互為共軛復數．虛部不等于0的兩個共軛復數也叫做________．復數z的共軛復數用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝________.
【即時練習】　
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)復數即為向量，反之，向量即為復數．(　　)
(2)復數的模一定是正實數．(　　)
(3)復數與向量一一對應．(　　)
(4)若z1與z2互為共軛復數，則|z1|＝|z2|.(　　)
2．復數z＝3＋4i(i是虛數單位)的共軛復數是________．
微點撥
(1)復平面內點的坐標與復數實部虛部的對應：點Z的橫坐標是a，縱坐標是b，復數z＝a＋bi(a，b∈R)可用點Z(a，b)表示．
(2)實軸與復數的對應：實軸上的點都表示實數．
(3)虛軸與復數的對應：除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數，原點對應的有序實數對為(0，0)，它所確定的復數是z＝0＋0i＝0，表示的是實數．
(4)復數與向量的對應：復數z＝a＋bi(a，b∈R)的對應向量是以原點O為起點的，否則就談不上一一對應，因為復平面上與相等的向量有無數個．
【學習札記】
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
微點撥
(1)數的角度理解：復數a＋bi(a，b∈R)的模|a＋bi|＝，兩個虛數不能比較大小，但它們的模表示實數，可以比較大小．
(2)幾何角度理解：表示復數的點Z到原點的距離．|z1－z2|表示復數z1，z2對應的點之間的距離．
微點撥
(1)結構特點：實部相等，虛部互為相反數．
(2)幾何意義：在復平面內兩個共軛復數的對應點關于實軸對稱．
【學習札記】
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7．2　復數的四則運算
7.2.1　復數加、減運算及其幾何意義
一、復數加法法則
1．運算法則
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個復數，則z1＋z2＝________________．
2．復數加法的幾何意義
兩個向量與的和就是與復數(a＋c)＋(b＋d)i對應的向量，復數的加法可以按照____________的加法來進行．
如圖，復數z1＋z2是以為鄰邊的平行四邊形的對角線所對應的復數．
3．加法運算律
對任意z1，z2，z3∈C，有
交換律：z1＋z2＝________．
結合律：(z1＋z2)＋z3＝____________．
【即時練習】　
1．(1＋i)＋(－2＋2i)＝(　　)
A．－1＋3i B．1＋i
C．－1＋i D．－1－i
2．在復平面上，如果對應的復數分別是6－5i，－1＋4i，那么對應的復數為________．
二、復數的減法法則
1．運算法則
復數的減法是加法的逆運算．
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個復數，則z1－z2＝____________．
2．復數減法的幾何意義
如圖，復數z1－z2是從向量的終點指向向量的終點的向量所對應的復數．
【即時練習】　
1．已知復數z1＝3＋4i，z2＝3－4i，則z1－z2＝(　　)
A．8i B．6
C．6＋8i D．6－8i
2．已知復數－5＋i與－3－2i分別表示向量和，則表示向量的復數為________．
微點撥
(1)復數加法可以從數與形兩方面領會：代數形式上，復數加法類似于多項式加法的合并同類項；幾何形式上，復數加法類似于向量加法．
(2)復數的加法可以推廣到多個復數相加的情形：各復數的實部分別相加，虛部分別相加．
(3)實數加法的運算性質對復數加法仍然成立．
【學習札記】
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
微點撥
(1)復數減法的幾何意義就是平面向量減法的三角形法則．
(2)在確定兩個復數的差所對應的向量時，應按照“首同尾連向被減”的方法確定．
【學習札記】
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7.2.2　復數乘、除運算
一、復數乘法法則及其運算律
1．復數的乘法法則
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個復數，那么它們的積(a＋bi)(c＋di)＝____________．
2．復數乘法的運算律
對于任意z1，z2，z3∈C，有
交換律 z1z2＝________
結合律 (z1z2)z3＝________
乘法對加法的分配律 z1(z2＋z3)＝________
【即時練習】　
1．復數i(1＋i)＝(　　)
A．－1＋i B．2＋i
C．1＋i D．－2－i
2．復數z＝(1－3i)2，其中i為虛數單位，則z的虛部為________．
二、復數的除法法則
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)(a，b，c，d∈R)，則＝＝________(c＋di≠0)．
【即時練習】　
1．復數z＝化簡的結果是(　　)
A．1－i B．1＋i
C．－1－i D．－1＋i
2．復數的虛部為________．
微點撥
(1)復數的乘法運算與多項式乘法運算很類似，可仿多項式乘法進行，但結果要將實部、虛部分開(i2換成－1)．
(2)多項式乘法的運算律在復數乘法中仍然成立，乘法公式也適用．
(3)常用結論
①(a±bi)2＝a2±2abi－b2(a，b∈R)；
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
③(1±i)2＝±2i.
微點撥
(1)分子、分母同乘分母的共軛復數c－di，化簡后即得結果，這個過程實際上就是把分母實數化，這與根式除法的分母“有理化”很類似．
(2)注意最后結果要將實部、虛部分開．
第八章　立體幾何初步
8.1　基本立體圖形
第1課時　棱柱、棱錐、棱臺
一、空間幾何體
名稱 定義
空間幾何體 在我們周圍存在著各種各樣的物體，它們都占據著空間的一部分．如果只考慮這些物體的________和________，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體
多面體 由若干個__________圍成的幾何體叫做多面體．圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面；兩個面的________叫做多面體的棱；棱與棱的________叫做多面體的頂點
旋轉體 一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內的一條定________旋轉所形成的________叫做旋轉面，封閉的旋轉面圍成的________叫做旋轉體，這條定直線叫做旋轉體的________
【即時練習】　如圖所示，下列判斷正確的是(　　)
A．①是多面體，②是旋轉體
B．①是旋轉體，②是多面體
C．①②都是多面體
D．①②都是旋轉體
二、棱柱的結構特征
棱柱 有兩個面互相________，其余各面都是________，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相________，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱 記作：棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′ 底面(底)：兩個互相________的面 側面：其余各面 側棱：相鄰側面的________ 頂點：側面與底面的________ 直棱柱：側棱垂直于底面的棱柱 斜棱柱：側棱不垂直于底面的棱柱 正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱
【即時練習】　判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)棱柱的底面互相平行．(　　)
(2)棱柱的各個側面都是平行四邊形．(　　)
(3)長方體是四棱柱，直四棱柱是長方體．(　　)
三、棱錐的結構特征
棱錐 有一個面是________，其余各面都是有一個公共頂點的________，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐 記作：棱錐S-ABCD 底面(底)：多邊形面 側面：有公共頂點的各個三角形面 側棱：相鄰側面的________ 頂點：各側面的________ 正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐
【即時練習】　下面圖形中，為棱錐的是(　　)
A．①③　　 B．①③④
C．①②④　 D．①②
四、棱臺的結構特征
棱臺 用一個______的平面去截棱錐，底面與截面之間那部分多面體叫做棱臺 可記作： 棱臺ABCD-A′B′C′D′ 上底面：平行于棱錐底面的______ 下底面：原棱錐的________ 側面：其余各面 側棱：相鄰側面的公共邊 頂點：側面與上(下)底面的公共頂點 由三棱錐、四棱錐、五棱錐…… 截得的棱臺分別叫做三棱臺、四棱臺、五棱臺……
【即時練習】　下列圖形中，是棱臺的是(　　)
微點撥
(1)多面體的一個重要特征是圍成多面體的每一個面都是平面圖形，沒有曲面．
(2)多面體也包括它內部部分，而不是只有表面．
微點撥
(1)側棱互相平行且相等，側面都是平行四邊形．
(2)兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形，如圖a所示．
(3)過不相鄰的兩條側棱的截面是平行四邊形，如圖b所示．
(4)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體不一定是棱柱，如圖c所示．
微點撥
對于棱錐要注意有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體不一定是棱錐，必須強調其余各面是共頂點的三角形．
微點撥
棱臺中各側棱延長后必相交于一點，否則不是棱臺．
第2課時　圓柱、圓錐、圓臺、球、簡單組合體
一、圓柱、圓錐、圓臺的結構特征
結構特征 圖形 表示
圓柱 以________________為旋轉軸，其余三邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓柱，旋轉軸叫做圓柱的軸；________于軸的邊旋轉而成的圓面叫做圓柱的底面；________于軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓柱的側面；無論旋轉到什么位置，________于軸的邊都叫做圓柱側面的母線 圓柱用表示它的軸的字母表示，如圖中的圓柱記作________
圓錐 以__________________所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓錐 圓錐也用表示它的軸的字母表示，如圖中的圓錐記作________
圓臺 用平行于________的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺 圓臺也用表示它的軸的字母表示，如圖中的圓臺記作________
【即時練習】　
1．如圖所示的圖形中有(　　)
A.圓柱、圓錐和圓臺
B．圓柱和圓錐
C．圓柱和圓臺
D．棱柱、棱錐和圓錐
2．下列選項中的三角形繞直線l旋轉一周，能得到如圖所示幾何體的是(　　)
二、球的結構特征
結構特征 圖形 表示
球 半圓以它的________為旋轉軸，旋轉一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉體叫做球體，簡稱球．半圓的圓心叫做球的________，連接球心和球面上任意一點的線段叫做球的________；連接球面上兩點并且經過球心的線段叫做球的直徑 球常用表示球心的字母來表示，左圖可表示為____
【即時練習】　判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)球面上四個不同的點一定不在同一平面內．(　　)
(2)球的半徑是球面上任意一點和球心的連線段．(　　)
(3)球面上任意三點可能在一條直線上．(　　)
(4)用一個平面去截球，得到的截面是一個圓面．(　　)
三、簡單組合體
1．概念：由________組合而成的幾何體叫做簡單組合體．
2．基本形式：(1)由簡單幾何體________而成；
(2)由簡單幾何體________或________一部分而成．
【即時練習】　如圖，糧囤可以看作是由________和________構成的幾何體．
微點撥
(1)以直角三角形斜邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉成的曲面圍成的旋轉體不是圓錐．
(2)圓臺也可以看作是等腰梯形以其底邊的垂直平分線為軸，各邊旋轉半周形成的曲面所圍成的幾何體．
微點撥
球與球面是完全不同的兩個概念，球是指球面所圍成的空間，而球面只指球的表面部分．
微點撥
識別組合體，要準確理解簡單幾何體(柱、錐、臺、球)的結構特征．若用分割的方法，則需要根據幾何體的結構特征恰當地作出輔助線(或面)．
8.2　立體圖形的直觀圖
一、用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟
【即時練習】　判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)相等的線段在直觀圖中仍然相等．(　　)
(2)平行的線段在直觀圖中仍然平行．(　　)
(3)一個角的直觀圖仍是一個角．　(　　)
(4)相等的角在直觀圖中仍然相等．(　　)
二、用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖的步驟
(1)畫底面，這時使用平面圖形的斜二測畫法即可．
(2)畫z′軸，z′軸過點O′，且與x′軸的夾角為90°，并畫出高線(與原圖高線相等，畫正棱柱時只需要畫側棱即可)，連線成圖．
(3)擦去輔助線，被遮線用虛線表示．
微點撥
畫水平放置的平面圖形的直觀圖，關鍵是確定多邊形頂點的位置，借助于平面直角坐標系確定頂點后，只需把這些頂點順次連接即可．
微點撥
畫空間幾何體的直觀圖時，需特別注意實虛線的應用，被遮住的線必須用虛線，體現層次性和立體感．
8．3　簡單幾何體的表面積與體積
8.3.1　棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積
一、棱柱、棱錐、棱臺的表面積
棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是圍成它們的________的面積的和．
【即時練習】　已知長方體同一頂點上的三條棱長分別為1，2，3，則該長方體的表面積為(　　)
A．22　　　 B．20　　　　　
C．10　　　 D．11
二、棱柱、棱錐、棱臺的體積
幾何體 體積 說明
棱柱 V棱柱＝________ S為棱柱的底面積，h為棱柱的高
棱錐 V棱錐＝________ S為棱錐的底面積，h為棱錐的高
棱臺 V棱臺＝(S′＋＋S)h S′，S分別為棱臺的上、下底面面積，h為棱臺的高
【即時練習】　三棱錐的底面為直角邊長分別是2和3的直角三角形，高為4，則該三棱錐的體積為(　　)
A．4 B．6 C．12 D．24
微點撥
(1)棱柱、棱錐、棱臺的側面積也就是它的展開圖的面積．
(2)注意區分側面積與表面積，表面積包括側面積和底面積．
微點撥
棱柱、棱錐、棱臺的體積公式之間的關系
V＝ShV＝(S′＋＋S)hV＝Sh.
8．3.2　圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積
第1課時　圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積
一、圓柱、圓錐、圓臺的表面積
圓柱 底面積：S底＝________； 側面積：S側＝________； 表面積：S＝____________
圓錐 底面積：S底＝________； 側面積：S側＝________； 表面積：S＝______________
圓臺 上底面面積：S上底＝________； 下底面面積：S下底＝________； 側面積：S側＝____________； 表面積：S＝________________
【即時練習】　
1．若一個圓錐的底面半徑為2，母線長為3，則該圓錐的側面積為(　　)
A．4π　 　 B．6π　 　 C．3π　 　 D．12π
2．已知圓柱的底面半徑為2，高為2，則該圓柱的表面積是________．
二、圓柱、圓錐、圓臺的體積
幾何體 體積
圓柱 V圓柱＝Sh＝________
圓錐 V圓錐＝Sh＝________
圓臺 V圓臺＝(S＋)h＝________
【即時練習】　
1．已知圓柱的側面展開圖是一個邊長為2π的正方形，則這個圓柱的體積是(　　)
A．2π2 B．π2
C． D．
2．若圓錐的底面半徑為3，母線長為5，則圓錐的體積是________．
微點撥
圓柱、圓錐、圓臺的側面積公式之間的關系：
S圓柱側＝2πrlS圓臺側＝π(r′＋r)lS圓錐側＝πrl.
第2課時　球的表面積和體積
球的表面積和體積
1．球的表面積公式S＝________(R為球的半徑)．
2．球的體積公式V＝________．
【即時練習】　
1．若一個球的直徑為2，則此球的表面積為(　　)
A．2π B．16π
C．8π D．4π
2．一個球的表面積是16π，那么這個球的體積為(　　)
A．π B．π
C．16π D．24π
微點撥
(1)球面不能展成平面圖形，因此不能根據柱、錐、臺求面積的推導方法求解．
(2)不要求掌握其推導過程，只要求記住公式并會應用，要求球的表面積，只需求出球的半徑R.
8．4　空間點、直線、平面之間的位置關系
8.4.1　平面
一、平面
1．平面的概念
幾何中所說的“平面”，是從課桌面、黑板面、平靜的水面等，這樣的一些物體中抽象出來的．類似于直線向兩端無限延伸，幾何中的平面是向四周________的．
2．平面的畫法
我們常用矩形的直觀圖，即____________表示平面，它的銳角通常畫成________，且橫邊長等于其鄰邊長的________倍，如圖①.
如果一個平面的一部分被另一個平面遮擋住，為了增強它的立體感，把被遮擋部分用________畫出來，如圖②.
3．平面的表示法
圖①的平面可表示為平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.
【即時練習】　下列說法正確的是(　　)
A．鏡面是一個平面
B．一個平面長10 m，寬5 m
C．一個平面的面積是另一個平面面積的2倍
D．所有的平面都是無限延展的
二、平面的基本性質
1．基本事實
基本事實 內容 圖形 符號
基本事實1 過______________的三個點，有且只有一個平面 A，B，C三點不共線 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本事實2 如果一條直線上的________在一個平面內，那么這條直線在這個平面內 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α
基本事實3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的________ P∈α，且P∈β α∩β＝l，且P∈l
2.推論
推論 內容 圖形 作用
推論1 經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面 確定平面的依據
推論2 經過兩條相交直線，有且只有一個平面
推論3 經過兩條平行直線，有且只有一個平面
【即時練習】　點A在直線l上，直線l在平面α內，用符號表示，正確的是(　　)
A．A∈l，l∈α B．A∈l，l α
C．A l，l α D．A∈l，l α
微點撥
(1)平面和點、直線一樣，是只描述而不加定義的原始概念，不能進行度量；
(2)平面無厚薄、無大小，是無限延展的．
微點撥
(1)直線可以看成無數個點組成的集合，故點與直線的關系是元素與集合的關系，用“∈”或“ ”表示；
(2)平面也可以看成點集，故點與平面的關系也是元素與集合的關系，用“∈”或“ ”表示；
(3)直線和平面都是點集，它們之間的關系可看成集合與集合的關系，故用“ ”或“ ”表示．
8.4.2　空間點、直線、平面之間的位置關系
一、空間中兩條直線的位置關系
1．異面直線：不同在________平面內的兩條直線．
2.異面直線的畫法(襯托平面法)
如圖(1)(2)所示，為了表示異面直線不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個平面來襯托．
3．空間兩條直線的三種位置關系
(1)從是否有公共點的角度來分：
(2)從是否共面的角度來分：
【即時練習】　若直線a和b沒有公共點，則a與b的位置關系是(　　)
A．相交 B．平行
C．異面 D．平行或異面
二、空間中直線與平面的位置關系
位置關系 直線在平面內 直線與平面相交 直線與平面平行
公共點 ________個公共點 ____個 ____個
符號表示 ________ ________ ________
圖形表示
【即時練習】　若一直線上有一點在已知平面外，則下列結論中正確的是(　　)
A．直線與平面平行
B．直線與平面相交
C．直線上至少有一個點在平面內
D．直線上有無數多個點都在平面外
三、空間中平面與平面的位置關系
位置關系 平行 相交
圖示
表示法 ________ ________
公共點個數 ____個 ________個
【即時練習】　若M∈平面α，M∈平面β，α、β為不同的平面，則平面α與β的位置關系是(　　)
A．平行　　　　 B．相交　
C．重合　　　　 D．不確定
微點撥
1．異面直線的定義表明異面直線不具備確定平面的條件．異面直線既不相交，也不平行．
2．不能把異面直線誤認為分別在不同平面內的兩條直線，如圖中，雖然有a α，b β，即a，b分別在兩個不同的平面內，但是因為a∩b＝O，所以a與b不是異面直線．
微點撥
直線在平面外包括兩種情形：a∥α與a∩α＝A.
微點撥
畫兩個互相平行的平面時，要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應邊平行．
8．5　空間直線、平面的平行
8.5.1　直線與直線平行
一、基本事實4
1．文字表述：平行于同一條直線的兩條直線________．
2．符號表示： ________．
【即時練習】　如圖所示，在三棱錐S-MNP中，E，F，G，H分別是棱SN，SP，MN，MP的中點，則EF與 HG的位置關系是(　　)
A．平行 B．相交
C．異面 D．平行或異面
二、空間等角定理
文字語言 如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角__________
符號語言 OA∥O′A′，OB∥O′B′ ∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°
圖形語言
【即時練習】　已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，則∠B′A′C′＝(　　)
A．30° B．150°
C．30°或150°　 D．大小無法確定
微點撥
基本事實4說明把平行線的傳遞性推廣到空間也能成立，這個基本事實是判斷兩條直線平行的重要方法之一，其關鍵在于尋找聯系所證兩條平行直線的第三條直線．
微點撥
(1)空間等角定理實質上是由如下兩個結論合成的：①若一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行且方向相同(或方向相反)，則這兩個角相等；②若一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，有一組對應邊方向相同，另一組對應邊方向相反，則這兩個角互補．
(2)空間等角定理表明，把空間中的一個角平移后，角的大小不變．
(3)由空間等角定理可得，如果兩條相交直線與另兩條相交直線對應平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等．
8.5.2　直線與平面平行
一、直線與平面平行的判定定理
文字語言 如果________一條直線與________一條直線________，那么該直線與此平面平行
符號語言 a∥α
圖形語言
【即時練習】　下列條件中，能得出直線m與平面α平行的是(　　)
A．直線m與平面α內的所有直線平行
B．直線m與平面α內的無數條直線平行
C．直線m與平面α沒有公共點
D．直線m與平面α內的一條直線平行
二、直線與平面平行的性質定理
文字語言 一條直線與一個平面________，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與________
符號語言 a∥α，________________ a∥b
圖形語言
【即時練習】　如果直線a∥平面α，那么直線a與平面α內的(　　)
A．一條直線不相交
B．兩條相交直線不相交
C．無數條直線不相交
D．任意一條直線不相交
微點撥
(1)用該定理判斷直線a和平面α平行時，必須同時具備三個條件：
①直線a在平面α外，即a α.
②直線b在平面α內，即b α.
③兩直線a，b平行，即a∥b.
(2)實質是線線平行 線面平行．
微點撥
(1)線面平行的性質定理可以看作直線和直線平行的判定定理，實質是線面平行 線線平行．
(2)這里的線線是指與平面平行的一條直線和過這條直線的平面與已知平面的交線，定理中的三個條件缺一不可，即①直線a和平面α平行；②平面α和平面β相交于直線b；③直線a在平面β內．
(3)在應用該定理時，要防止出現“一條直線平行于一個平面就平行于這個平面內的所有直線”的錯誤．
(4)使用定理時，還要注意直線a與平面α平行時，易出現“在平面α內作出一直線b使其與直線a平行”的錯誤作法．
8.5.3　平面與平面平行
一、平面與平面平行的判定定理
文字語言 如果一個平面內的____________與另一個平面平行，那么這兩個平面平行
符號語言 ________，________，________，____________ α∥β
圖形語言
【即時練習】　判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)已知平面α，β和直線m，n若m α，n α，m∥β，n∥β，則α∥β.(　　)
(2)若一個平面α內兩條不平行的直線都平行于另一平面β，則α∥β.(　　)
(3)平行于同一條直線的兩個平面平行．(　　)
(4)平行于同一個平面的兩個平面平行．(　　)
二、平面與平面平行的性質定理
文字語言 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線________
符號語言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b ________
圖形語言
【即時練習】　已知平面α∥平面β，直線a α，則直線a與平面β的位置關系為________．
微點撥
(1)如果一個平面內有一條直線與另一個平面平行，那么這兩個平面不一定平行．即使一個平面內有無數條直線都與另一個平面平行，也不能推出這兩個平面平行．
(2)在這個定理中，要緊緊抓住“兩條”“相交”“平行”這六個字，否則條件不充分，結論不成立．
(3)判定定理說明，要證明面面平行，可證線面平行．
微點撥
(1)該定理是證明直線與直線平行的又一重要方法，簡記為“面面平行，則線線平行”．
(2)定理中有兩個條件：
①α∥β；②γ∩α＝a，γ∩β＝b.兩個條件缺一不可．
(3)面面平行的性質定理給出了在兩個平行平面內作平行直線的方法．
8．6　空間直線、平面的垂直
8.6.1　直線與直線垂直
一、異面直線所成的角
1．定義：已知兩條異面直線a，b，經過空間任一點O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線________與________所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．
2．異面直線所成角的范圍：________．
【即時練習】　如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，∠BAE＝25°，則異面直線AE與B1C1所成的角的大小為________．
二、直線與直線垂直
如果兩條異面直線所成的角是________，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直．直線a與直線b互相垂直，記作________．
【即時練習】　如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1的棱中，與棱AB垂直的棱有(　　)
A．2條　　　　B．4條　　　　C．6條　　　　D．8條
微點撥
(1)兩條異面直線所成的角的大小，是由這兩條異面直線的相互位置決定的，與點O的位置選取無關．
(2)找出兩條異面直線所成的角，要作平行移動(作平行線)，把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角．
微點撥
兩條直線互相垂直，這兩條直線可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和異面垂直兩種情形．
8．6.2　直線與平面垂直
第1課時　直線與平面垂直的判定
一、直線與平面垂直的定義
定義 如果直線l與平面α內的________直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直
記法 l⊥α
有關概念 直線l叫做平面α的________，平面α叫做直線l的________．它們唯一的公共點P叫做________
圖示
畫法 畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直
過一點垂直于已知平面的直線____________條，該點與垂足間的線段叫做這個點到該平面的________，________的長度叫做這個點到該平面的距離．
【即時練習】　空間中直線l和三角形ABC所在的平面垂直，則這條直線和三角形的邊AB的位置關系是(　　)
A．平行 B．垂直
C．相交 D．不確定
二、直線與平面垂直的判定
文字語言 一條直線與一個平面內的______________都垂直，則該直線與此平面垂直
符號語言 l⊥a，l⊥b，a α，b α，__________ l⊥α
圖形語言
【即時練習】　
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)如果一條直線垂直于平面內的無數條直線，那么這條直線和這個平面垂直．(　　)
(2)如果一條直線與一個平面內所有直線都垂直，那么這條直線與這個平面垂直．(　　)
2．一條直線和三角形的兩邊同時垂直，則這條直線和三角形的第三邊的位置關系是(　　)
A．垂直 B．平行
C．相交不垂直 D．不確定
三、直線與平面所成的角
有關概念 對應圖形
斜線 一條直線l與平面α________，但不和這個平面α________，圖中直線PA
斜足 斜線和平面的________，圖中點A
射影 過斜線上斜足以外的一點向平面引________，過________和________的直線叫做斜線在這個平面內的射影，圖中斜線PA在平面α上的射影為________
直線與平面所成的角 定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角． 規定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是________；一條直線和平面平行或在平面內，它們所成的角是__________
取值范圍 [0°，90°]
【即時練習】　在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線AB1與平面ABCD所成的角等于________．
微點撥
定義中的“任意一條”與“所有直線”意義相同，但與“無數條直線”不同，即定義說明這條直線和平面內的所有直線都垂直．
微點撥
(1)判定定理的條件中，“平面內兩條相交直線”是關鍵性詞語，此處強調相交，若兩條直線不相交(即平行)，即使直線垂直于平面內無數條直線也不能判斷直線與平面垂直．
(2)要判斷一條已知直線和一個平面是否垂直，只需要在該平面內找出兩條相交直線與已知直線垂直即可．至于這兩條直線是否與已知直線有交點，這是無關緊要的．
微點撥
(1)直線和平面所成的角θ的取值范圍是0°≤θ≤90°，而斜線和平面所成的角θ的取值范圍是0<θ<90°.
(2)斜線和平面所成的角反映了斜線和平面的位置關系，它是轉化成平面內兩條相交直線所成的角度量的，它是這條斜線和平面內經過斜足的直線所成的一切角中的最小角．
(3)當直線與平面平行或直線在平面內時，直線與平面成0°角；當直線與平面垂直時，直線與平面成90°角．
第2課時　直線與平面垂直的性質
一、直線與平面垂直的性質定理
文字語言 垂直于同一個平面的兩條直線________
符號語言 ________
圖形語言
【即時練習】　
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)垂直于同一條直線的兩個平面互相平行．(　　)
(2)垂直于同一平面的兩條直線互相平行．(　　)
(3)一條直線在平面內，另一條直線與這個平面垂直，則這兩條直線互相垂直．(　　)
2．在圓柱的一個底面上任取一點(該點不在底面圓周上)，過該點作另一個底面的垂線，則這條垂線與圓柱的母線所在直線的位置關系是(　　)
A．相交 B．平行
C．異面 D．相交或平行
二、直線與平面、平面與平面的距離
1．直線到平面的距離：一條直線和一個平面平行時，這條直線上________到這個平面的距離，叫這條直線到這個平面的距離．
2．兩個平行平面間的距離：如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的任意一點到另一個平面的距離________，我們把它叫做兩個平行平面間的距離．
【即時練習】　在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，若點A1到平面ABCD的距離為4，則直線A1B1到平面ABCD的距離為________，平面ABCD到平面A1B1C1D1的距離為________．
微點撥
(1)直線與平面垂直的性質定理給出了判定兩條直線平行的另一種方法．
(2)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關系的內在聯系，提供了“垂直”與“平行”關系轉化的依據．
微點撥
直線與平面的距離、平面與平面的距離最終都要轉化為點到平面的距離．
8．6.3　平面與平面垂直
第1課時　平面與平面垂直的判定
一、二面角
1．定義：從一條直線出發的______________所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的__________；這兩個半平面叫做二面角的________.
2．畫法：
3．記法：二面角α-l-β或α-AB-β或P-l-Q或P-AB-Q.
4．二面角的平面角：如圖，在二面角α-l-β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內分別作____________的射線OA，OB，則射線OA和OB構成的∠AOB叫做____________．平面角是直角的二面角叫做直二面角，二面角的平面角α的取值范圍是________．
【即時練習】　如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BC-A1的平面角等于________．
二、平面與平面垂直的定義與判定定理
1．定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是________，就說這兩個平面互相垂直．平面α與β垂直，記作________．如圖，
2．判定定理：____________________________________________________________.
符號表示為：____________________．
【即時練習】　
直線l⊥平面α，l 平面β，則α與β的位置關系是(　　)
A．平行 B．可能重合
C．相交且垂直 D．相交不垂直
微點撥
(1)構成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面內”“垂直”，即二面角的平面角的頂點必須在棱上，角的兩邊必須分別在兩個半平面內，角的兩邊必須都與棱垂直，這三個要素缺一不可．前兩個要素決定了二面角的平面角的大小的唯一性和平面角所在的平面與棱垂直．
(2)二面角是一個幾何圖形，而不是真正意義的角．
(3)二面角的大小通過其平面角來度量．
(4)二面角的平面角的大小與角的頂點的位置無關，只與二面角的大小有關．
微點撥
(1)判定定理可以簡述為“線面垂直，則面面垂直”．因此要證明平面與平面垂直，可轉化為尋找平面的垂線，即證線面垂直．
(2)兩個平面互相垂直的判定定理不僅是判定兩個平面互相垂直的依據，而且是找出與一個平面垂直的另一個平面的依據．
第2課時　平面與平面垂直的性質
一、平面與平面垂直的性質定理
文字語言 兩個平面垂直，如果__________有一直線垂直于這兩個平面的________，那么這條直線與另一個平面垂直
符號語言 a⊥β
圖形語言
【即時練習】　判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)如果兩個平面垂直，那么一個平面內的直線一定垂直于另一個平面．(　　)
(2)如果兩個平面垂直，那么經過第一個平面內一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內．(　　)
(3)若平面α⊥平面β，且平面α內的一條直線a垂直于平面β內的一條直線b，則直線a必垂直于平面β.(　　)
微點撥
(1)定理的實質是由面面垂直得線面垂直，故可用來證明線面垂直．
(2)已知面面垂直時，可以利用此定理轉化為線面垂直，再轉化為線線垂直．
第八章　立體幾何初步
8.1　基本立體圖形
第1課時　棱柱、棱錐、棱臺
一、空間幾何體
名稱 定義
空間幾何體 在我們周圍存在著各種各樣的物體，它們都占據著空間的一部分．如果只考慮這些物體的________和________，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體
多面體 由若干個__________圍成的幾何體叫做多面體．圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面；兩個面的________叫做多面體的棱；棱與棱的________叫做多面體的頂點
旋轉體 一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內的一條定________旋轉所形成的________叫做旋轉面，封閉的旋轉面圍成的________叫做旋轉體，這條定直線叫做旋轉體的________
【即時練習】　如圖所示，下列判斷正確的是(　　)
A．①是多面體，②是旋轉體
B．①是旋轉體，②是多面體
C．①②都是多面體
D．①②都是旋轉體
二、棱柱的結構特征
棱柱 有兩個面互相________，其余各面都是________，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相________，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱 記作：棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′ 底面(底)：兩個互相________的面 側面：其余各面 側棱：相鄰側面的________ 頂點：側面與底面的________ 直棱柱：側棱垂直于底面的棱柱 斜棱柱：側棱不垂直于底面的棱柱 正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱
【即時練習】　判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)棱柱的底面互相平行．(　　)
(2)棱柱的各個側面都是平行四邊形．(　　)
(3)長方體是四棱柱，直四棱柱是長方體．(　　)
三、棱錐的結構特征
棱錐 有一個面是________，其余各面都是有一個公共頂點的________，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐 記作：棱錐S-ABCD 底面(底)：多邊形面 側面：有公共頂點的各個三角形面 側棱：相鄰側面的________ 頂點：各側面的________ 正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐
【即時練習】　下面圖形中，為棱錐的是(　　)
A．①③　　 B．①③④
C．①②④　 D．①②
四、棱臺的結構特征
棱臺 用一個______的平面去截棱錐，底面與截面之間那部分多面體叫做棱臺 可記作： 棱臺ABCD-A′B′C′D′ 上底面：平行于棱錐底面的______ 下底面：原棱錐的________ 側面：其余各面 側棱：相鄰側面的公共邊 頂點：側面與上(下)底面的公共頂點 由三棱錐、四棱錐、五棱錐…… 截得的棱臺分別叫做三棱臺、四棱臺、五棱臺……
【即時練習】　下列圖形中，是棱臺的是(　　)
微點撥
(1)多面體的一個重要特征是圍成多面體的每一個面都是平面圖形，沒有曲面．
(2)多面體也包括它內部部分，而不是只有表面．
微點撥
(1)側棱互相平行且相等，側面都是平行四邊形．
(2)兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形，如圖a所示．
(3)過不相鄰的兩條側棱的截面是平行四邊形，如圖b所示．
(4)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體不一定是棱柱，如圖c所示．
微點撥
對于棱錐要注意有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體不一定是棱錐，必須強調其余各面是共頂點的三角形．
微點撥
棱臺中各側棱延長后必相交于一點，否則不是棱臺．
第2課時　圓柱、圓錐、圓臺、球、簡單組合體
一、圓柱、圓錐、圓臺的結構特征
結構特征 圖形 表示
圓柱 以________________為旋轉軸，其余三邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓柱，旋轉軸叫做圓柱的軸；________于軸的邊旋轉而成的圓面叫做圓柱的底面；________于軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓柱的側面；無論旋轉到什么位置，________于軸的邊都叫做圓柱側面的母線 圓柱用表示它的軸的字母表示，如圖中的圓柱記作________
圓錐 以__________________所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓錐 圓錐也用表示它的軸的字母表示，如圖中的圓錐記作________
圓臺 用平行于________的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺 圓臺也用表示它的軸的字母表示，如圖中的圓臺記作________
【即時練習】　
1．如圖所示的圖形中有(　　)
A.圓柱、圓錐和圓臺
B．圓柱和圓錐
C．圓柱和圓臺
D．棱柱、棱錐和圓錐
2．下列選項中的三角形繞直線l旋轉一周，能得到如圖所示幾何體的是(　　)
二、球的結構特征
結構特征 圖形 表示
球 半圓以它的________為旋轉軸，旋轉一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉體叫做球體，簡稱球．半圓的圓心叫做球的________，連接球心和球面上任意一點的線段叫做球的________；連接球面上兩點并且經過球心的線段叫做球的直徑 球常用表示球心的字母來表示，左圖可表示為____
【即時練習】　判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)球面上四個不同的點一定不在同一平面內．(　　)
(2)球的半徑是球面上任意一點和球心的連線段．(　　)
(3)球面上任意三點可能在一條直線上．(　　)
(4)用一個平面去截球，得到的截面是一個圓面．(　　)
三、簡單組合體
1．概念：由________組合而成的幾何體叫做簡單組合體．
2．基本形式：(1)由簡單幾何體________而成；
(2)由簡單幾何體________或________一部分而成．
【即時練習】　如圖，糧囤可以看作是由________和________構成的幾何體．
微點撥
(1)以直角三角形斜邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉成的曲面圍成的旋轉體不是圓錐．
(2)圓臺也可以看作是等腰梯形以其底邊的垂直平分線為軸，各邊旋轉半周形成的曲面所圍成的幾何體．
微點撥
球與球面是完全不同的兩個概念，球是指球面所圍成的空間，而球面只指球的表面部分．
微點撥
識別組合體，要準確理解簡單幾何體(柱、錐、臺、球)的結構特征．若用分割的方法，則需要根據幾何體的結構特征恰當地作出輔助線(或面)．
8.2　立體圖形的直觀圖
一、用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟
【即時練習】　判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)相等的線段在直觀圖中仍然相等．(　　)
(2)平行的線段在直觀圖中仍然平行．(　　)
(3)一個角的直觀圖仍是一個角．　(　　)
(4)相等的角在直觀圖中仍然相等．(　　)
二、用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖的步驟
(1)畫底面，這時使用平面圖形的斜二測畫法即可．
(2)畫z′軸，z′軸過點O′，且與x′軸的夾角為90°，并畫出高線(與原圖高線相等，畫正棱柱時只需要畫側棱即可)，連線成圖．
(3)擦去輔助線，被遮線用虛線表示．
微點撥
畫水平放置的平面圖形的直觀圖，關鍵是確定多邊形頂點的位置，借助于平面直角坐標系確定頂點后，只需把這些頂點順次連接即可．
微點撥
畫空間幾何體的直觀圖時，需特別注意實虛線的應用，被遮住的線必須用虛線，體現層次性和立體感．
8．3　簡單幾何體的表面積與體積
8.3.1　棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積
一、棱柱、棱錐、棱臺的表面積
棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是圍成它們的________的面積的和．
【即時練習】　已知長方體同一頂點上的三條棱長分別為1，2，3，則該長方體的表面積為(　　)
A．22　　　 B．20　　　　　
C．10　　　 D．11
二、棱柱、棱錐、棱臺的體積
幾何體 體積 說明
棱柱 V棱柱＝________ S為棱柱的底面積，h為棱柱的高
棱錐 V棱錐＝________ S為棱錐的底面積，h為棱錐的高
棱臺 V棱臺＝(S′＋＋S)h S′，S分別為棱臺的上、下底面面積，h為棱臺的高
【即時練習】　三棱錐的底面為直角邊長分別是2和3的直角三角形，高為4，則該三棱錐的體積為(　　)
A．4 B．6 C．12 D．24
微點撥
(1)棱柱、棱錐、棱臺的側面積也就是它的展開圖的面積．
(2)注意區分側面積與表面積，表面積包括側面積和底面積．
微點撥
棱柱、棱錐、棱臺的體積公式之間的關系
V＝ShV＝(S′＋＋S)hV＝Sh.
8．3.2　圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積
第1課時　圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積
一、圓柱、圓錐、圓臺的表面積
圓柱 底面積：S底＝________； 側面積：S側＝________； 表面積：S＝____________
圓錐 底面積：S底＝________； 側面積：S側＝________； 表面積：S＝______________
圓臺 上底面面積：S上底＝________； 下底面面積：S下底＝________； 側面積：S側＝____________； 表面積：S＝________________
【即時練習】　
1．若一個圓錐的底面半徑為2，母線長為3，則該圓錐的側面積為(　　)
A．4π　 　 B．6π　 　 C．3π　 　 D．12π
2．已知圓柱的底面半徑為2，高為2，則該圓柱的表面積是________．
二、圓柱、圓錐、圓臺的體積
幾何體 體積
圓柱 V圓柱＝Sh＝________
圓錐 V圓錐＝Sh＝________
圓臺 V圓臺＝(S＋)h＝________
【即時練習】　
1．已知圓柱的側面展開圖是一個邊長為2π的正方形，則這個圓柱的體積是(　　)
A．2π2 B．π2
C． D．
2．若圓錐的底面半徑為3，母線長為5，則圓錐的體積是________．
微點撥
圓柱、圓錐、圓臺的側面積公式之間的關系：
S圓柱側＝2πrlS圓臺側＝π(r′＋r)lS圓錐側＝πrl.
第2課時　球的表面積和體積
球的表面積和體積
1．球的表面積公式S＝________(R為球的半徑)．
2．球的體積公式V＝________．
【即時練習】　
1．若一個球的直徑為2，則此球的表面積為(　　)
A．2π B．16π
C．8π D．4π
2．一個球的表面積是16π，那么這個球的體積為(　　)
A．π B．π
C．16π D．24π
微點撥
(1)球面不能展成平面圖形，因此不能根據柱、錐、臺求面積的推導方法求解．
(2)不要求掌握其推導過程，只要求記住公式并會應用，要求球的表面積，只需求出球的半徑R.
8．4　空間點、直線、平面之間的位置關系
8.4.1　平面
一、平面
1．平面的概念
幾何中所說的“平面”，是從課桌面、黑板面、平靜的水面等，這樣的一些物體中抽象出來的．類似于直線向兩端無限延伸，幾何中的平面是向四周________的．
2．平面的畫法
我們常用矩形的直觀圖，即____________表示平面，它的銳角通常畫成________，且橫邊長等于其鄰邊長的________倍，如圖①.
如果一個平面的一部分被另一個平面遮擋住，為了增強它的立體感，把被遮擋部分用________畫出來，如圖②.
3．平面的表示法
圖①的平面可表示為平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.
【即時練習】　下列說法正確的是(　　)
A．鏡面是一個平面
B．一個平面長10 m，寬5 m
C．一個平面的面積是另一個平面面積的2倍
D．所有的平面都是無限延展的
二、平面的基本性質
1．基本事實
基本事實 內容 圖形 符號
基本事實1 過______________的三個點，有且只有一個平面 A，B，C三點不共線 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本事實2 如果一條直線上的________在一個平面內，那么這條直線在這個平面內 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α
基本事實3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的________ P∈α，且P∈β α∩β＝l，且P∈l
2.推論
推論 內容 圖形 作用
推論1 經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面 確定平面的依據
推論2 經過兩條相交直線，有且只有一個平面
推論3 經過兩條平行直線，有且只有一個平面
【即時練習】　點A在直線l上，直線l在平面α內，用符號表示，正確的是(　　)
A．A∈l，l∈α B．A∈l，l α
C．A l，l α D．A∈l，l α
微點撥
(1)平面和點、直線一樣，是只描述而不加定義的原始概念，不能進行度量；
(2)平面無厚薄、無大小，是無限延展的．
微點撥
(1)直線可以看成無數個點組成的集合，故點與直線的關系是元素與集合的關系，用“∈”或“ ”表示；
(2)平面也可以看成點集，故點與平面的關系也是元素與集合的關系，用“∈”或“ ”表示；
(3)直線和平面都是點集，它們之間的關系可看成集合與集合的關系，故用“ ”或“ ”表示．
8.4.2　空間點、直線、平面之間的位置關系
一、空間中兩條直線的位置關系
1．異面直線：不同在________平面內的兩條直線．
2.異面直線的畫法(襯托平面法)
如圖(1)(2)所示，為了表示異面直線不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個平面來襯托．
3．空間兩條直線的三種位置關系
(1)從是否有公共點的角度來分：
(2)從是否共面的角度來分：
【即時練習】　若直線a和b沒有公共點，則a與b的位置關系是(　　)
A．相交 B．平行
C．異面 D．平行或異面
二、空間中直線與平面的位置關系
位置關系 直線在平面內 直線與平面相交 直線與平面平行
公共點 ________個公共點 ____個 ____個
符號表示 ________ ________ ________
圖形表示
【即時練習】　若一直線上有一點在已知平面外，則下列結論中正確的是(　　)
A．直線與平面平行
B．直線與平面相交
C．直線上至少有一個點在平面內
D．直線上有無數多個點都在平面外
三、空間中平面與平面的位置關系
位置關系 平行 相交
圖示
表示法 ________ ________
公共點個數 ____個 ________個
【即時練習】　若M∈平面α，M∈平面β，α、β為不同的平面，則平面α與β的位置關系是(　　)
A．平行　　　　 B．相交　
C．重合　　　　 D．不確定
微點撥
1．異面直線的定義表明異面直線不具備確定平面的條件．異面直線既不相交，也不平行．
2．不能把異面直線誤認為分別在不同平面內的兩條直線，如圖中，雖然有a α，b β，即a，b分別在兩個不同的平面內，但是因為a∩b＝O，所以a與b不是異面直線．
微點撥
直線在平面外包括兩種情形：a∥α與a∩α＝A.
微點撥
畫兩個互相平行的平面時，要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應邊平行．
8．5　空間直線、平面的平行
8.5.1　直線與直線平行
一、基本事實4
1．文字表述：平行于同一條直線的兩條直線________．
2．符號表示： ________．
【即時練習】　如圖所示，在三棱錐S-MNP中，E，F，G，H分別是棱SN，SP，MN，MP的中點，則EF與 HG的位置關系是(　　)
A．平行 B．相交
C．異面 D．平行或異面
二、空間等角定理
文字語言 如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角__________
符號語言 OA∥O′A′，OB∥O′B′ ∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°
圖形語言
【即時練習】　已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，則∠B′A′C′＝(　　)
A．30° B．150°
C．30°或150°　 D．大小無法確定
微點撥
基本事實4說明把平行線的傳遞性推廣到空間也能成立，這個基本事實是判斷兩條直線平行的重要方法之一，其關鍵在于尋找聯系所證兩條平行直線的第三條直線．
微點撥
(1)空間等角定理實質上是由如下兩個結論合成的：①若一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行且方向相同(或方向相反)，則這兩個角相等；②若一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，有一組對應邊方向相同，另一組對應邊方向相反，則這兩個角互補．
(2)空間等角定理表明，把空間中的一個角平移后，角的大小不變．
(3)由空間等角定理可得，如果兩條相交直線與另兩條相交直線對應平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等．
8.5.2　直線與平面平行
一、直線與平面平行的判定定理
文字語言 如果________一條直線與________一條直線________，那么該直線與此平面平行
符號語言 a∥α
圖形語言
【即時練習】　下列條件中，能得出直線m與平面α平行的是(　　)
A．直線m與平面α內的所有直線平行
B．直線m與平面α內的無數條直線平行
C．直線m與平面α沒有公共點
D．直線m與平面α內的一條直線平行
二、直線與平面平行的性質定理
文字語言 一條直線與一個平面________，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與________
符號語言 a∥α，________________ a∥b
圖形語言
【即時練習】　如果直線a∥平面α，那么直線a與平面α內的(　　)
A．一條直線不相交
B．兩條相交直線不相交
C．無數條直線不相交
D．任意一條直線不相交
微點撥
(1)用該定理判斷直線a和平面α平行時，必須同時具備三個條件：
①直線a在平面α外，即a α.
②直線b在平面α內，即b α.
③兩直線a，b平行，即a∥b.
(2)實質是線線平行 線面平行．
微點撥
(1)線面平行的性質定理可以看作直線和直線平行的判定定理，實質是線面平行 線線平行．
(2)這里的線線是指與平面平行的一條直線和過這條直線的平面與已知平面的交線，定理中的三個條件缺一不可，即①直線a和平面α平行；②平面α和平面β相交于直線b；③直線a在平面β內．
(3)在應用該定理時，要防止出現“一條直線平行于一個平面就平行于這個平面內的所有直線”的錯誤．
(4)使用定理時，還要注意直線a與平面α平行時，易出現“在平面α內作出一直線b使其與直線a平行”的錯誤作法．
8.5.3　平面與平面平行
一、平面與平面平行的判定定理
文字語言 如果一個平面內的____________與另一個平面平行，那么這兩個平面平行
符號語言 ________，________，________，____________ α∥β
圖形語言
【即時練習】　判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)已知平面α，β和直線m，n若m α，n α，m∥β，n∥β，則α∥β.(　　)
(2)若一個平面α內兩條不平行的直線都平行于另一平面β，則α∥β.(　　)
(3)平行于同一條直線的兩個平面平行．(　　)
(4)平行于同一個平面的兩個平面平行．(　　)
二、平面與平面平行的性質定理
文字語言 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線________
符號語言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b ________
圖形語言
【即時練習】　已知平面α∥平面β，直線a α，則直線a與平面β的位置關系為________．
微點撥
(1)如果一個平面內有一條直線與另一個平面平行，那么這兩個平面不一定平行．即使一個平面內有無數條直線都與另一個平面平行，也不能推出這兩個平面平行．
(2)在這個定理中，要緊緊抓住“兩條”“相交”“平行”這六個字，否則條件不充分，結論不成立．
(3)判定定理說明，要證明面面平行，可證線面平行．
微點撥
(1)該定理是證明直線與直線平行的又一重要方法，簡記為“面面平行，則線線平行”．
(2)定理中有兩個條件：
①α∥β；②γ∩α＝a，γ∩β＝b.兩個條件缺一不可．
(3)面面平行的性質定理給出了在兩個平行平面內作平行直線的方法．
8．6　空間直線、平面的垂直
8.6.1　直線與直線垂直
一、異面直線所成的角
1．定義：已知兩條異面直線a，b，經過空間任一點O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線________與________所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．
2．異面直線所成角的范圍：________．
【即時練習】　如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，∠BAE＝25°，則異面直線AE與B1C1所成的角的大小為________．
二、直線與直線垂直
如果兩條異面直線所成的角是________，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直．直線a與直線b互相垂直，記作________．
【即時練習】　如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1的棱中，與棱AB垂直的棱有(　　)
A．2條　　　　B．4條　　　　C．6條　　　　D．8條
微點撥
(1)兩條異面直線所成的角的大小，是由這兩條異面直線的相互位置決定的，與點O的位置選取無關．
(2)找出兩條異面直線所成的角，要作平行移動(作平行線)，把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角．
微點撥
兩條直線互相垂直，這兩條直線可能是相交的，也可能是不相交的，即有

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