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第三章
§3.4　函數(shù)中的構(gòu)造問題
函數(shù)中的構(gòu)造問題是高考考查的一個熱點內(nèi)容，經(jīng)常以客觀題出現(xiàn)，同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù)也在解答題中出現(xiàn)，通過已知等式或不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造新函數(shù)，解決比較大小、解不等式、恒成立等問題.
重點解讀
題型一　利用f(x)與x構(gòu)造函數(shù)
例1　(2023·信陽統(tǒng)考)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x>0時，xf′(x)－f(x)<0，且f(－2)＝0，則不等式 >0的解集是
A.(－2,0)∪(0,2)
B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C.(－2,0)∪(2，＋∞)
D.(－∞，－2)∪(0,2)
√
因為f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，
所以f(－x)＝f(x).
所以g(x)為奇函數(shù)，
所以g(－2)＝－g(2).
因為f(－2)＝0，
所以g(－2)＝g(2)＝0.
所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，
因為g(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，
所以g(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，
(1)出現(xiàn)nf(x)＋xf′(x)形式，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝xnf(x).
跟蹤訓(xùn)練1　(多選)(2023·郴州統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，xf′(x)＋2f(x)>0恒成立，則
A.f(1)<4f(2) B.f(－1)<4f(－2)
C.16f(4)<9f(3) D.4f(－2)>9f(－3)
√
√
令g(x)＝x2f(x)，
∵當(dāng)x>0時，xf′(x)＋2f(x)>0，
∴當(dāng)x>0時，g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝
x[xf′(x)＋2f(x)]>0，
∴g(x)＝x2f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.
又f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，y＝x2為定義在R上的偶函數(shù)，
∴g(x)＝x2f(x)為定義在R上的奇函數(shù).
∴g(x)是增函數(shù).
由g(2)>g(1)，可得4f(2)>f(1)，故A正確；
由g(－1)>g(－2)，可得f(－1)>4f(－2)，故B錯誤；
由g(4)>g(3)，可得16f(4)>9f(3)，故C錯誤；
由g(－2)>g(－3)，可得4f(－2)>9f(－3)，故D正確.
題型二　利用f(x)與ex構(gòu)造函數(shù)
例2　(2024·吉安模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)A.f(2 023)－ef(2 022)<2(e－1)
B.f(2 023)－ef(2 022)>2(e－1)
C.f(2 023)－ef(2 022)>2(e＋1)
D.f(2 023)－ef(2 022)<2(e＋1)
√
因此函數(shù)g(x)是增函數(shù)，
整理得f(2 023)－ef(2 022)>2(e－1)，故B正確.
(1)出現(xiàn)f′(x)＋nf(x)形式，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝enxf(x).
跟蹤訓(xùn)練2　(2023·南昌模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＋f′(x)>0，且有f(3)＝3，則f(x)>3e3－x的解集為___________.
設(shè)F(x)＝f(x)·ex，則F′(x)＝f′(x)·ex＋f(x)·ex＝ex[f(x)＋f′(x)]>0，
∴F(x)是增函數(shù).
又f(3)＝3，則F(3)＝f(3)·e3＝3e3.
∵f(x)>3e3－x等價于f(x)·ex>3e3，
即F(x)>F(3)，
∴x>3，即所求不等式的解集為(3，＋∞).
(3，＋∞)
題型三　利用f(x)與sin x，cos x構(gòu)造函數(shù)
∵當(dāng)x∈(0，π)時，f′(x)sin x－f(x)cos x<0，
∴在(0，π)上，g′(x)<0，
∴函數(shù)g(x)在(0，π)上單調(diào)遞減.
∵y＝f(x)，y＝sin x是奇函數(shù)，
∴函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，
∴函數(shù)g(x)在(－π，0)上單調(diào)遞增.
當(dāng)x∈(－π，0)時，sin x<0，
函數(shù)f(x)與sin x，cos x相結(jié)合構(gòu)造可導(dǎo)函數(shù)的幾種常見形式
F(x)＝f(x)sin x，
F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x；
F(x)＝f(x)cos x，
F′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x；
a設(shè)φ(x)＝f(x)sin x，
則φ′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x，
∴當(dāng)x∈(0，＋∞)時，φ′(x)<0，
即φ(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，
又f(x)為奇函數(shù)，∴φ(x)為偶函數(shù)，
課時精練
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一、單項選擇題
1.(2023·濟南模擬)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f′(x)－2x>0，且f(1)＝3，則f(x)>x2＋2的解集是
A.(－1,0)∪(1，＋∞)
B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C.(－1,0)∪(0,1)
D.(－∞，－1)∪(0,1)
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令g(x)＝f(x)－x2，
因為f(x)是偶函數(shù)，
則g(－x)＝f(－x)－(－x)2＝g(x)，
所以函數(shù)g(x)也是偶函數(shù)，
g′(x)＝f′(x)－2x，
因為當(dāng)x≥0時，g′(x)＝f′(x)－2x>0，
所以函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
不等式f(x)>x2＋2即為不等式g(x)>2，
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由f(1)＝3，得g(1)＝2，
所以g(x)>g(1)，
所以|x|>1，解得x>1或x<－1，
所以f(x)>x2＋2的解集是
(－∞，－1)∪(1，＋∞).
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A.α3>β3 B.α＋β>0
C.|α|<|β| D.|α|>|β|
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則f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x＝f(x)，
則f(x)為偶函數(shù)，
又f′(x)＝sin x＋xcos x，
又αsin α－βsin β>0，即f(α)>f( β)，所以|α|>|β|.
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3.定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若對任意實數(shù)x，有f(x)>f′(x)，且f(x)＋2 024為奇函數(shù)，則不等式f(x)＋2 024ex<0的解集是
A.(－∞，0) B.(－∞，ln 2 024)
C.(0，＋∞) D.(2 024，＋∞)
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因為f(x)>f′(x)，所以g′(x)<0，
所以g(x)為定義在R上的減函數(shù)，
因為f(x)＋2 024為奇函數(shù)，
所以f(0)＋2 024＝0，f(0)＝－2 024，
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f(x)＋2 024ex<0，
即g(x)0.
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則g′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x>0，
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5.(2024·惠州模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且3f(x)＋f′(x)<0，f(ln 2)＝1，則不等式e3xf(x)>8的解集為
A.(－∞，2) B.(－∞，ln 2)
C.(ln 2，＋∞) D.(2，＋∞)
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令g(x)＝e3xf(x)，
函數(shù)g(x)的定義域為R，
因為3f(x)＋f′(x)<0，
所以g′(x)＝[e3xf(x)]′＝e3x[3f(x)＋f′(x)]<0，
故g(x)為減函數(shù)，
又因為f(ln 2)＝1，
所以g(ln 2)＝e3ln 2f(ln 2)＝8，
所以不等式e3xf(x)>8可化為g(x)>g(ln 2)，
所以x8的解集為(－∞，ln 2).
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6.已知0A.cos x＋cos y<0 B.cos x＋cos y>0
C.cos x>sin y D.sin x>sin y
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由01
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所以sin y>sin x>0，
所以cos y>cos(π－x)＝－cos x，
所以cos x＋cos y>0.
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二、多項選擇題
7.(2023·福州聯(lián)考)定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)滿足xf′(x)－1>0，則下列結(jié)論正確的是
A.f(2)－ln 2>f(1) 　　 B.f(4)－f(2)>ln 2
C.f(2)＋ln 2>f(e)＋1 　　 D.f(e2)－f(e)>1
√
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構(gòu)造函數(shù)g(x)＝f(x)－ln x，x>0，
因為xf′(x)－1>0，
所以g′(x)>0，
故g(x)是增函數(shù)，
由g(2)>g(1)得，f(2)－ln 2>f(1)－ln 1，
即f(2)－ln 2>f(1)，故A正確；
由g(4)>g(2)得，f(4)－ln 4>f(2)－ln 2，
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即f(4)－f(2)>ln 4－ln 2＝ln 2，故B正確；
由g(e)>g(2)得，f(e)－ln e>f(2)－ln 2，
即f(e)＋ln 2>f(2)＋1，故C錯誤；
由g(e2)>g(e)得，f(e2)－ln e2>f(e)－ln e，
即f(e2)－2>f(e)－1，即f(e2)－f(e)>1，故D正確.
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8.(2023·保定模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，滿足xf′(x)－f(x)＝(x－1)ex(e為自然對數(shù)的底數(shù))，且f(1)＝0，則
A.3f(2)>2f(3)
B.f(1)C.f(x)在x＝1處取得極小值
D.f(x)無極大值
√
√
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則g(1)＝e＋c＝0，解得c＝－e，
即f(x)＝ex－ex，x>0，
令g′(x)>0，則x>1，
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故g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，
則3f(2)<2f(3)，故A錯誤；
令f′(x)＝ex－e>0，得x>1，
令f′(x)＝ex－e<0，得0則f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，
∴f(1)1
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三、填空題
9.(2024·晉中統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若f(1)＝4，且f′(x)－2x<3對任意的x∈R恒成立，則不等式f(2x－3)<2x(2x－3)的解集為___________.
(2，＋∞)
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令g(x)＝f(x)－x2－3x，
則g′(x)＝f′(x)－2x－3<0在R上恒成立，
所以g(x)是減函數(shù).
又f(2x－3)<2x(2x－3)，
即f(2x－3)－(2x－3)2－3(2x－3)<0，
又f(1)－12－3×1＝0，
即g(2x－3)1，解得x>2，
所以不等式f(2x－3)<2x(2x－3)的解集為(2，＋∞).
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∵f(x)＜f′(x)tan x，
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10§3.4　函數(shù)中的構(gòu)造問題
重點解讀　函數(shù)中的構(gòu)造問題是高考考查的一個熱點內(nèi)容，經(jīng)常以客觀題出現(xiàn)，同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù)也在解答題中出現(xiàn)，通過已知等式或不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造新函數(shù)，解決比較大小、解不等式、恒成立等問題．
題型一　利用f(x)與x構(gòu)造函數(shù)
例1 (2023·信陽統(tǒng)考)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x>0時，xf′(x)－f(x)<0，且f(－2)＝0，則不等式>0的解集是(　　)
A．(－2,0)∪(0,2)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－2,0)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(0,2)
思維升華 (1)出現(xiàn)nf(x)＋xf′(x)形式，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝xnf(x)．
(2)出現(xiàn)xf′(x)－nf(x)形式，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝.
跟蹤訓(xùn)練1 (多選)(2023·郴州統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，xf′(x)＋2f(x)>0恒成立，則(　　)
A．f(1)<4f(2) B．f(－1)<4f(－2)
C．16f(4)<9f(3) D．4f(－2)>9f(－3)
題型二　利用f(x)與ex構(gòu)造函數(shù)
例2 (2024·吉安模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)A．f(2 023)－ef(2 022)<2(e－1)
B．f(2 023)－ef(2 022)>2(e－1)
C．f(2 023)－ef(2 022)>2(e＋1)
D．f(2 023)－ef(2 022)<2(e＋1)
跟蹤訓(xùn)練2 (2023·南昌模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＋f′(x)>0，且有f(3)＝3，則f(x)>3e3－x的解集為________．
題型三　利用f(x)與sin x，cos x構(gòu)造函數(shù)
例3 設(shè)f(x)是定義在(－π，0)∪(0，π)上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且當(dāng)x∈(0，π)時，f′(x)sin x－f(x)cos x<0，則關(guān)于x的不等式f(x)<2f sin x的解集為_____________________________．
跟蹤訓(xùn)練3 已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f′(x)sin x＋f(x)cos x<0，若a＝f ，
b＝－f ，則a與b的大小關(guān)系為________．(用“<”連接)一、單項選擇題
1．(2023·濟南模擬)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f′(x)－2x>0，且f(1)＝3，則f(x)>x2＋2的解集是(　　)
A．(－1,0)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(0,1)
D．(－∞，－1)∪(0,1)
2．已知α，β∈，且αsin α－βsin β>0，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．α3>β3 B．α＋β>0
C．|α|<|β| D．|α|>|β|
3．定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若對任意實數(shù)x，有f(x)>f′(x)，且f(x)＋2 024為奇函數(shù)，則不等式f(x)＋2 024ex<0的解集是(　　)
A．(－∞，0) B．(－∞，ln 2 024)
C．(0，＋∞) D．(2 024，＋∞)
4．(2023·成都模擬)已知函數(shù)y＝f(x)對任意的x∈滿足f′(x)cos x－f(x)sin x>0(其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù))，則下列不等式成立的是(　　)
A．f >f 　　 B．f C．2f(0)f
5．(2024·惠州模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且3f(x)＋f′(x)<0，f(ln 2)＝1，則不等式e3xf(x)>8的解集為(　　)
A．(－∞，2) B．(－∞，ln 2)
C．(ln 2，＋∞) D．(2，＋∞)
6．已知0A．cos x＋cos y<0 B．cos x＋cos y>0
C．cos x>sin y D．sin x>sin y
二、多項選擇題
7．(2023·福州聯(lián)考)定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)滿足xf′(x)－1>0，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．f(2)－ln 2>f(1) 　　 B．f(4)－f(2)>ln 2
C．f(2)＋ln 2>f(e)＋1 　　 D．f(e2)－f(e)>1
8．(2023·保定模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，滿足xf′(x)－f(x)＝(x－1)ex(e為自然對數(shù)的底數(shù))，且f(1)＝0，則(　　)
A．3f(2)>2f(3)
B．f(1)C．f(x)在x＝1處取得極小值
D．f(x)無極大值
三、填空題
9．(2024·晉中統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若f(1)＝4，且f′(x)－2x<3對任意的x∈R恒成立，則不等式f(2x－3)<2x(2x－3)的解集為________．
10．已知函數(shù)f(x)定義在上，f′(x)是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有f(x)＜f′(x)tan x成立，又知f ＝，則關(guān)于x的不等式f(x)＞sin x的解集是________．
§3.4　函數(shù)中的構(gòu)造問題
1．B　2.D　3.C　4.C　5.B
6．B　[由0令f(x)＝(0則f′(x)＝，
當(dāng)00，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，
當(dāng)f(x)＝f(y)時，0所以sin y>sin x>0，
所以所以cos y>cos(π－x)＝－cos x，
所以cos x＋cos y>0.]
7．ABD　[構(gòu)造函數(shù)g(x)＝f(x)－ln x，x>0，
則g′(x)＝f′(x)－＝，
因為xf′(x)－1>0，所以g′(x)>0，
故g(x)是增函數(shù)，
由g(2)>g(1)得，f(2)－ln 2>f(1)－ln 1，
即f(2)－ln 2>f(1)，故A正確；
由g(4)>g(2)得，f(4)－ln 4>f(2)－ln 2，即f(4)－f(2)>ln 4－ln 2＝ln 2，故B正確；
由g(e)>g(2)得，f(e)－ln e>f(2)－ln 2，
即f(e)＋ln 2>f(2)＋1，故C錯誤；
由g(e2)>g(e)得，
f(e2)－ln e2>f(e)－ln e，
即f(e2)－2>f(e)－1，
即f(e2)－f(e)>1，故D正確．]
8．BCD　[設(shè)g(x)＝(x>0)，
則g′(x)＝＝＝′，
可設(shè)g(x)＝＋c，
則g(1)＝e＋c＝0，解得c＝－e，
故g(x)＝－e，
即f(x)＝ex－ex，x>0，
令g′(x)>0，則x>1，
故g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，
∴g(2)即<，
則3f(2)<2f(3)，故A錯誤；
令f′(x)＝ex－e>0，得x>1，
令f′(x)＝ex－e<0，得0則f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，
∴f(1)9．(2，＋∞)
10.
解析　∵f(x)＜f′(x)tan x，
∴f′(x)sin x－f(x)cos x＞0，x∈，
令g(x)＝，x∈，
∴g′(x)＝＞0，
∴g(x)在上為增函數(shù)，
由f(x)＞sin x，得＞1＝，
即g(x)>g，∴x＞，
又0∴不等式的解集為.§3.4　函數(shù)中的構(gòu)造問題
重點解讀　函數(shù)中的構(gòu)造問題是高考考查的一個熱點內(nèi)容，經(jīng)常以客觀題出現(xiàn)，同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù)也在解答題中出現(xiàn)，通過已知等式或不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造新函數(shù)，解決比較大小、解不等式、恒成立等問題．
題型一　利用f(x)與x構(gòu)造函數(shù)
例1 (2023·信陽統(tǒng)考)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x>0時，xf′(x)－f(x)<0，且f(－2)＝0，則不等式>0的解集是(　　)
A．(－2,0)∪(0,2)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－2,0)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(0,2)
答案　D
解析　設(shè)g(x)＝，x≠0.
因為f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，
所以f(－x)＝f(x)．
因為g(－x)＝＝－＝－g(x)，
所以g(x)為奇函數(shù)，
所以g(－2)＝－g(2)．
因為f(－2)＝0，
所以g(－2)＝g(2)＝0.
當(dāng)x>0時，g′(x)＝<0，
所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，
此時不等式>0的解集是(0,2)．
因為g(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，
所以g(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x<0時，不等式>0的解集是(－∞，－2)．
綜上所述，不等式>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．
思維升華 (1)出現(xiàn)nf(x)＋xf′(x)形式，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝xnf(x)．
(2)出現(xiàn)xf′(x)－nf(x)形式，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝.
跟蹤訓(xùn)練1 (多選)(2023·郴州統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，xf′(x)＋2f(x)>0恒成立，則(　　)
A．f(1)<4f(2) B．f(－1)<4f(－2)
C．16f(4)<9f(3) D．4f(－2)>9f(－3)
答案　AD
解析　令g(x)＝x2f(x)，
∵當(dāng)x>0時，xf′(x)＋2f(x)>0，
∴當(dāng)x>0時，g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝
x[xf′(x)＋2f(x)]>0，
∴g(x)＝x2f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．
又f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，y＝x2為定義在R上的偶函數(shù)，
∴g(x)＝x2f(x)為定義在R上的奇函數(shù)．
∴g(x)是增函數(shù)．
由g(2)>g(1)，可得4f(2)>f(1)，故A正確；
由g(－1)>g(－2)，可得f(－1)>4f(－2)，故B錯誤；
由g(4)>g(3)，可得16f(4)>9f(3)，故C錯誤；
由g(－2)>g(－3)，可得4f(－2)>9f(－3)，故D正確．
題型二　利用f(x)與ex構(gòu)造函數(shù)
例2 (2024·吉安模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)A．f(2 023)－ef(2 022)<2(e－1)
B．f(2 023)－ef(2 022)>2(e－1)
C．f(2 023)－ef(2 022)>2(e＋1)
D．f(2 023)－ef(2 022)<2(e＋1)
答案　B
解析　令g(x)＝，
則g′(x)＝>0，
因此函數(shù)g(x)是增函數(shù)，
于是得g(2 023)>g(2 022)，即>，
整理得f(2 023)－ef(2 022)>2(e－1)，故B正確．
思維升華 (1)出現(xiàn)f′(x)＋nf(x)形式，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝enxf(x)．
(2)出現(xiàn)f′(x)－nf(x)形式，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝.
跟蹤訓(xùn)練2 (2023·南昌模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＋f′(x)>0，且有f(3)＝3，則f(x)>3e3－x的解集為________．
答案　(3，＋∞)
解析　設(shè)F(x)＝f(x)·ex，則F′(x)＝f′(x)·ex＋f(x)·ex＝ex[f(x)＋f′(x)]>0，
∴F(x)是增函數(shù)．
又f(3)＝3，則F(3)＝f(3)·e3＝3e3.
∵f(x)>3e3－x等價于f(x)·ex>3e3，
即F(x)>F(3)，
∴x>3，即所求不等式的解集為(3，＋∞)．
題型三　利用f(x)與sin x，cos x構(gòu)造函數(shù)
例3 設(shè)f(x)是定義在(－π，0)∪(0，π)上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且當(dāng)x∈(0，π)時，f′(x)sin x－f(x)cos x<0，則關(guān)于x的不等式f(x)<2f sin x的解集為________．
答案　∪
解析　令g(x)＝，x∈(－π，0)∪(0，π)，
則g′(x)＝，
∵當(dāng)x∈(0，π)時，f′(x)sin x－f(x)cos x<0，
∴在(0，π)上，g′(x)<0，
∴函數(shù)g(x)在(0，π)上單調(diào)遞減．
∵y＝f(x)，y＝sin x是奇函數(shù)，
∴函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，
∴函數(shù)g(x)在(－π，0)上單調(diào)遞增．
當(dāng)x∈(0，π)時，sin x>0，則不等式f(x)<2f sin x可化為<，
即g(x)當(dāng)x∈(－π，0)時，sin x<0，則不等式f(x)<2f sin x可化為>＝，
即g(x)>g，
∴－綜上可得，不等式的解集為∪.
思維升華 函數(shù)f(x)與sin x，cos x相結(jié)合構(gòu)造可導(dǎo)函數(shù)的幾種常見形式
F(x)＝f(x)sin x，
F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x；
F(x)＝，
F′(x)＝；
F(x)＝f(x)cos x，
F′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x；
F(x)＝，
F′(x)＝.
跟蹤訓(xùn)練3 已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f′(x)sin x＋f(x)cos x<0，若a＝f ，b＝－f ，則a與b的大小關(guān)系為________．(用“<”連接)
答案　a解析　設(shè)φ(x)＝f(x)sin x，
則φ′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x，
∴當(dāng)x∈(0，＋∞)時，φ′(x)<0，
即φ(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，
又f(x)為奇函數(shù)，∴φ(x)為偶函數(shù)，
∴φ＝φ>φ，
即f ·sin>f ·sin ，
即－f >f ，
即f <－f ，∴a課時精練
一、單項選擇題
1．(2023·濟南模擬)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f′(x)－2x>0，且f(1)＝3，則f(x)>x2＋2的解集是(　　)
A．(－1,0)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(0,1)
D．(－∞，－1)∪(0,1)
答案　B
解析　令g(x)＝f(x)－x2，
因為f(x)是偶函數(shù)，
則g(－x)＝f(－x)－(－x)2＝g(x)，
所以函數(shù)g(x)也是偶函數(shù)，
g′(x)＝f′(x)－2x，
因為當(dāng)x≥0時，g′(x)＝f′(x)－2x>0，
所以函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
不等式f(x)>x2＋2即為不等式g(x)>2，
由f(1)＝3，得g(1)＝2，
所以g(x)>g(1)，
所以|x|>1，解得x>1或x<－1，
所以f(x)>x2＋2的解集是
(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
2．已知α，β∈，且αsin α－βsin β>0，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．α3>β3 B．α＋β>0
C．|α|<|β| D．|α|>|β|
答案　D
解析　令f(x)＝xsin x，x∈，
則f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x＝f(x)，
則f(x)為偶函數(shù)，
又f′(x)＝sin x＋xcos x，
當(dāng)x∈時，f′(x)≥0，
所以f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減．
又αsin α－βsin β>0，即f(α)>f( β)，
所以|α|>|β|.
3．定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若對任意實數(shù)x，有f(x)>f′(x)，且f(x)＋2 024為奇函數(shù)，則不等式f(x)＋2 024ex<0的解集是(　　)
A．(－∞，0) B．(－∞，ln 2 024)
C．(0，＋∞) D．(2 024，＋∞)
答案　C
解析　設(shè)g(x)＝，
則g′(x)＝，
因為f(x)>f′(x)，所以g′(x)<0，
所以g(x)為定義在R上的減函數(shù)，
因為f(x)＋2 024為奇函數(shù)，
所以f(0)＋2 024＝0，f(0)＝－2 024，
g(0)＝＝－2 024，
f(x)＋2 024ex<0，
即<－2 024，
即g(x)0.
4．(2023·成都模擬)已知函數(shù)y＝f(x)對任意的x∈滿足f′(x)cos x－f(x)sin x>0(其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù))，則下列不等式成立的是(　　)
A．f >f 　　 B．f C．2f(0)f
答案　C
解析　構(gòu)造函數(shù)g(x)＝f(x)cos x，x∈，
則g′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x>0，
所以g(x)在上單調(diào)遞增，
則g所以f cos即f 則g>g，
所以f cos >f cos，
即f >f ，故B不正確；
則g(0)所以f(0)cos 0即2f(0)則g(0)所以f(0)cos 0即f(0)5．(2024·惠州模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且3f(x)＋f′(x)<0，f(ln 2)＝1，則不等式e3xf(x)>8的解集為(　　)
A．(－∞，2) B．(－∞，ln 2)
C．(ln 2，＋∞) D．(2，＋∞)
答案　B
解析　令g(x)＝e3xf(x)，
函數(shù)g(x)的定義域為R，
因為3f(x)＋f′(x)<0，
所以g′(x)＝[e3xf(x)]′＝e3x[3f x ＋f′ x ]<0，
故g(x)為減函數(shù)，
又因為f(ln 2)＝1，
所以g(ln 2)＝e3ln 2f(ln 2)＝8，
所以不等式e3xf(x)>8可化為g(x)>g(ln 2)，
所以x所以e3xf(x)>8的解集為(－∞，ln 2)．
6．已知0A．cos x＋cos y<0 B．cos x＋cos y>0
C．cos x>sin y D．sin x>sin y
答案　B
解析　由0得＝，
令f(x)＝(0則f′(x)＝，
當(dāng)00，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，
當(dāng)f(x)＝f(y)時，0因為0所以sin y>sin x>0，
所以所以cos y>cos(π－x)＝－cos x，
所以cos x＋cos y>0.
二、多項選擇題
7．(2023·福州聯(lián)考)定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)滿足xf′(x)－1>0，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．f(2)－ln 2>f(1) 　　 B．f(4)－f(2)>ln 2
C．f(2)＋ln 2>f(e)＋1 　　 D．f(e2)－f(e)>1
答案　ABD
解析　構(gòu)造函數(shù)g(x)＝f(x)－ln x，x>0，
則g′(x)＝f′(x)－＝，
因為xf′(x)－1>0，
所以g′(x)>0，
故g(x)是增函數(shù)，
由g(2)>g(1)得，f(2)－ln 2>f(1)－ln 1，
即f(2)－ln 2>f(1)，故A正確；
由g(4)>g(2)得，f(4)－ln 4>f(2)－ln 2，
即f(4)－f(2)>ln 4－ln 2＝ln 2，故B正確；
由g(e)>g(2)得，f(e)－ln e>f(2)－ln 2，
即f(e)＋ln 2>f(2)＋1，故C錯誤；
由g(e2)>g(e)得，f(e2)－ln e2>f(e)－ln e，
即f(e2)－2>f(e)－1，即f(e2)－f(e)>1，故D正確．
8．(2023·保定模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，滿足xf′(x)－f(x)＝(x－1)ex(e為自然對數(shù)的底數(shù))，且f(1)＝0，則(　　)
A．3f(2)>2f(3)
B．f(1)C．f(x)在x＝1處取得極小值
D．f(x)無極大值
答案　BCD
解析　設(shè)g(x)＝(x>0)，
則g′(x)＝＝＝′，
可設(shè)g(x)＝＋c，
則g(1)＝e＋c＝0，解得c＝－e，
故g(x)＝－e，
即f(x)＝ex－ex，x>0，
令g′(x)>0，則x>1，
故g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，
∴g(2)則3f(2)<2f(3)，故A錯誤；
令f′(x)＝ex－e>0，得x>1，
令f′(x)＝ex－e<0，得0則f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，
∴f(1)三、填空題
9．(2024·晉中統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若f(1)＝4，且f′(x)－2x<3對任意的x∈R恒成立，則不等式f(2x－3)<2x(2x－3)的解集為________．
答案　(2，＋∞)
解析　令g(x)＝f(x)－x2－3x，
則g′(x)＝f′(x)－2x－3<0在R上恒成立，
所以g(x)是減函數(shù)．
又f(2x－3)<2x(2x－3)，
即f(2x－3)－(2x－3)2－3(2x－3)<0，
又f(1)－12－3×1＝0，
即g(2x－3)所以2x－3>1，解得x>2，
所以不等式f(2x－3)<2x(2x－3)的解集為(2，＋∞)．
10．已知函數(shù)f(x)定義在上，f′(x)是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有f(x)＜f′(x)tan x成立，又知f ＝，則關(guān)于x的不等式f(x)＞sin x的解集是________．
答案　
解析　∵f(x)＜f′(x)tan x，
∴f′(x)sin x－f(x)cos x＞0，x∈，
令g(x)＝，x∈，
∴g′(x)＝＞0，
∴g(x)在上為增函數(shù)，
由f(x)＞sin x，得＞1＝，
即g(x)>g，∴x＞，
又0∴不等式的解集為.

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