資源簡介

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8.1直線、圓的方程
【備考指南】 1
【知識導圖】 2
【考點梳理】 6
考點一：直線的傾斜角與斜率 6
考點二：直線的方程 11
考點三：交點坐標與距離公式 16
考點四：圓的方程 21
考點五：直線與圓的位置關(guān)系 25
考點六：圓與圓的位置關(guān)系 31
【真題在線】 36
【專項突破】 46
考點 考情分析 考頻
直線與圓 2023年新高考Ⅰ卷T6 2023年新高考Ⅱ卷T15 2022年新高考Ⅱ卷T15 2年3考
圓與圓的位置關(guān)系 2022年新高考Ⅰ卷T14
直線方程 2022年新高考Ⅱ卷T3
預測：直線方程、圓的方程是高考的熱點考點，近幾年在全國卷中都有所體現(xiàn)，難度整體適中，直線方程在后續(xù)與圓錐曲線結(jié)合也是常考的內(nèi)容，要全面掌握好基礎(chǔ)知識.建議在復習時在掌握好基礎(chǔ)的同時要靈活的運用.
考點一：直線的傾斜角與斜率
【典例精析】（多選）（2023·黑龍江哈爾濱·二模）點在函數(shù)的圖象上，當，則可能等于（ ）
A．-1 B． C． D．0
【答案】BC
【分析】
根據(jù)目標式的幾何意義為在部分圖象上的動點與點所成直線的斜率，即可求范圍.
【詳解】由表示與點所成直線的斜率，
又是在部分圖象上的動點，圖象如下：
如上圖，，則，只有B、C滿足.
故選：BC
【變式訓練】
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）已知直線和與x軸圍成的三角形是等腰三角形，則k的取值不可能為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山東聊城·二模）已知雙曲線的右焦點為，一條漸近線的方程為，若直線與在第一象限內(nèi)的交點為，且軸，則的值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·全國·模擬預測）已知與三條直線，，都相切的圓有且僅有兩個，則實數(shù)的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2024·全國·模擬預測）已知點為橢圓的右焦點，直線與橢圓交于，兩點，直線與橢圓交于另一點，則（ ）
A．當直線的斜率為時，直線的斜率為
B．當時，點到直線的距離為
C．的最小值為
D．當時，直線的方程可以為
三、填空題
5．（2024·四川成都·三模）拋物線（）的焦點為，過的直線與拋物線相交于，兩點（在第一象限），分別過，作準線的垂線，垂足分別為，，若，則直線的傾斜角等于 .
參考答案：
1．D
【分析】分為圍成的等腰三角形底邊在x軸上、底邊在直線上和底邊在直線上三種情況，分別求解即可.
【詳解】令直線的傾斜角分別為，則，
當圍成的等腰三角形底邊在x軸上時，，；
當圍成的等腰三角形底邊在直線上時，或，
因為，且，解得，
所以，或；
當圍成的等腰三角形底邊在直線上時，，則.
故選：D．
2．C
【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程可得，由軸得，利用斜率公式可得結(jié)果.
【詳解】因為雙曲線的漸近線方程為，依題意有，
即，又右焦點為，且軸，所以，
所以，
故選：C.

3．BC
【分析】根據(jù)題設(shè)可得三條直線中有兩條平行，故可求參數(shù)的值.
【詳解】因為與三條直線兩兩相切的圓有且只有兩個，
故三條直線中有兩條平行，且它們兩條不重合，
若直線與直線平行，則，
若直線與直線平行，則，
直線與直線不平行，
故選：BC.
4．AC
【分析】通過設(shè)點的坐標，結(jié)合橢圓方程求得，由，解出判斷選項A；點到直線距離公式判斷選項B；通徑是焦點弦中的最短弦判斷選項C；由已知條件求直線的斜率判斷選項D.
【詳解】由橢圓方程，得，，，則.
設(shè)，，則.
若直線，的斜率都存在，則，，
得，為定值.
因為，所以，故A正確.
當時，直線的方程為，則點到直線的距離為，故B錯誤.
因為線段為過橢圓焦點的弦，通徑是焦點弦中的最短弦，
所以的最小值為，故C正確.
當時，直線的方程為.
與橢圓方程聯(lián)立，解得或
則直線與橢圓的交點為，.
若點的坐標為，則，
若點的坐標為，則，故D錯誤.
故選：AC.
5．/
【分析】由已知結(jié)合拋物線的定義分別表示，，，求出直線的斜率，即可求解.
【詳解】拋物線的準線為：，
設(shè)，，則，，
又在第一象限，所以，，所以，
由拋物線定義可得，，
所以，
又，所以，所以，
故直線的斜率，所以直線的傾斜角為.
故答案為：.
考點二：直線的方程
【典例精析】（多選）（2024·山東·二模）已知直線，圓，則下列說法正確的是（ ）
A．直線恒過定點 B．直線與圓相交
C．當直線平分圓時， D．當點到直線距離最大值時，
【答案】ACD
【分析】對于A，將直線方程變形即可進一步判斷；對于B，舉反例即可判斷；對于C，將圓心坐標代入直線方程即可驗算參數(shù)；對于D，當點到直線距離最大值時，有，結(jié)合它們的斜率關(guān)系即可判斷.
【詳解】對于A，即，令，有，所以直線恒過定點，故A正確；
對于B，圓的圓心、半徑為，
點到直線的距離為，
從而，
取，則此時有，故B錯誤；
對于C，當直線平分圓時，有點在直線上，
也就是說有成立，解得，故C正確；
對于D，點到直線距離滿足，等號成立當且僅當，
而的斜率為，
所以當?shù)忍柍闪r有，解得，故D正確.
故選：ACD.
【變式訓練】
一、單選題
1．（2024·陜西西安·模擬預測）已知直線與圓相交于兩點，則弦長的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全國·模擬預測）已知拋物線的焦點為，過點的直線在軸上方與拋物線相交于兩點，若，則點到拋物線的準線的距離為（ ）
A． B． C．2 D．3
二、多選題
3．（2024·重慶·三模）已知直線：與圓：交于，兩點，線段的中點為，則（ ）
A．直線恒過定點
B．的最小值為
C．面積的最大值為2
D．點的軌跡所包圍的圖形面積為
4．（2023·河南·模擬預測）已知直線過點，且與軸、軸分別交于A，B點，則（ ）
A．若直線的斜率為1，則直線的方程為
B．若直線在兩坐標軸上的截距相等，則直線的方程為
C．若M為的中點，則的方程為
D．直線的方程可能為
三、填空題
5．（2023·江西·二模）圓，，過作圓的切線，，過作斜率為1的直線與圓交于點（在內(nèi)），線段上有一點使，則的坐標為 ．
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)題意，求得直線恒過點，結(jié)合圓的性質(zhì)和弦長公式，即可求解.
【詳解】因為直線，可得，
由，解得，所以直線恒過點，
可得點在圓內(nèi)部，
又由圓，可得圓心，半徑為，
當直線過圓心時，截得弦長最長，此時，
當直線與垂直時，此時弦長最短，又由，
可得，
所以弦長的取值范圍是.
故選：B.
2．B
【分析】由題意作圖，根據(jù)拋物線性質(zhì)建立方程，求出點的坐標，并且寫出直線方程，聯(lián)立方程，解得點的坐標，可得答案.
【詳解】由題意可知拋物線的焦點，準線，過作，
設(shè)．
由拋物線定義知，得，
由，，則直線的方程為，即，
代入，得，則，得，
所以點到拋物線的準線的距離為．
故選：B．
3．AD
【分析】求得直線過定點判斷A；設(shè)弦心距為，結(jié)合A可得判斷B；的面積，可求最大面積判斷C；的軌跡為以為直徑的圓，可求圓的面積判斷D.
【詳解】對于A，直線方程可化為：，顯然，即直線恒過定點，故A正確：
對于B，設(shè)弦心距為，結(jié)合可知，，當時取等號，故B錯誤；
對于C，的面積，當時，，故C錯誤；
對于D，由，得的軌跡為以為直徑的圓，所以，則此圓的面積為.
故選：AD.
4．AC
【分析】根據(jù)直線點斜式判斷A，由過原點直線滿足題意判斷B，由中點求出A,B坐標得直線方程判斷C，由直線與坐標軸有交點判斷D.
【詳解】對于A，直線l的斜率為1，則直線l的方程為，即，故A正確；
對于B，當直線l在兩坐標軸上的截距都為0時，l的方程為，故B錯誤；
對于C，因為中點，且A，B在軸、軸上，所以，，故AB的方程為，即，故C正確；
對于D，直線與x軸無交點，與題意不符，故D錯誤．
故選：AC．
5．
【分析】設(shè)直線和直線交于點，作的平分線，交于于點，則直線過點，由題意畫出簡圖，當點在左，點在右，由和得出，則，利用兩直線夾角公式列出方程，即可求解；同理可得當點在左，點在右時，的坐標為同一點．
【詳解】因為，，是過點的圓的切線，
所以的方程為，即，
又過作斜率為1的直線，
所以直線的方程為，
設(shè)直線與線段交于點，
聯(lián)立直線和直線的方程得，解得，
即點的坐標為，
當點在左，點在右，如圖所示，
可知，
當時，
則，
作的平分線，交于于第三象限一點，則直線過點，
則
因為點坐標為，
所以直線的方程為，
直線的方程與方程聯(lián)立，，得出點坐標為，
直線的方程與方程聯(lián)立，，解得，
因為在內(nèi)，所以點坐標為，
所以，
設(shè)直線的斜率為，
因為，
所以，即，
解得，
聯(lián)立直線與直線的方程得：，
解得，代入得，
則點的坐標為，
同理可得點當點在左，點在右，得出點的坐標為，
故答案為：．
考點三：交點坐標與距離公式
【典例精析】（多選）（2024·貴州·模擬預測）已知點，點Q在圓上，則（ ）
A．點P在直線上 B．點P可能在圓C上
C．的最小值為1 D．圓C上有2個點到點P的距離為1
【答案】AC
【分析】對于A：根據(jù)點P的坐標消參即可得結(jié)果；對于B：先判斷直線與圓的位置關(guān)系，結(jié)合選項A分析判斷；對于C：根據(jù)圓的性質(zhì)分析判斷；對于D：分析可知，結(jié)合圓的性質(zhì)分析判斷.
【詳解】由題意可知：圓的圓心為，半徑為，
對選項A：由得，消去參數(shù)m得，
所以點P在直線上，故A正確.
對選項B：因為圓心到直線的距離，
可知直線與圓相離，結(jié)合選項A可知：點P不可能在圓C上，故B錯誤；
對選項C：結(jié)合選項B可知的最小值為，故C正確.
對選項D：因為，可知圓C上有且僅有1個點到點P的距離為1，故D錯誤.
故選：AC.
【變式訓練】
一、單選題
1．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）在平面直角坐標系xoy中，已知，動點滿足，且，則下列說法正確的是（ ）
A．動點的軌跡是一個圓 B．動點的軌跡所圍成的面積為6
C．動點的軌跡跟坐標軸不相交 D．動點離原點最短距離為1
2．（2024·江蘇泰州·模擬預測）曲線上的點到直線距離的最小值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·云南昆明·模擬預測）設(shè)直線：與圓C：，則下列結(jié)論正確的為（ ）
A．直線與圓C可能相離
B．直線不可能將圓C的周長平分
C．當時，直線被圓C截得的弦長為
D．直線被圓C截得的最短弦長為
4．（2023·全國·模擬預測）已知平面向量滿足，，且對任意的實數(shù)，都有恒成立，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．與垂直 B．
C．的最小值為 D．的最大值為
三、填空題
5．（2024·全國·模擬預測）在平面直角坐標系中，的坐標滿足，，已知圓，過作圓的兩條切線，切點分別為，當最大時，圓關(guān)于點對稱的圓的方程為 ．
參考答案：
1．B
【分析】由題意得，結(jié)合可知，畫出圖形可知P點軌跡是一個菱形，故A、C錯誤；由點到直線的距離即可驗證D；B轉(zhuǎn)換成面積的兩倍來求即可.
【詳解】設(shè)P點坐標為，則由已知條件可得，整理得．
又因為，所以P點坐標對應(yīng)軌跡方程為．
，且時，方程為；，且時，方程為；
，且時，方程為；，且時，方程為．
P點對應(yīng)的軌跡如圖所示：

，且，所以P點的軌跡為菱形，故A、C錯誤；
原點到：的距離為，D錯誤；
軌跡圖形是平行四邊形，面積為，B正確．
故選：B．
2．C
【分析】設(shè)切點，根據(jù)導數(shù)的幾何意義計算即可求解.
【詳解】令，則，
設(shè)該曲線在點處的切線為，
需求曲線到直線的距離最小，必有該切線的斜率為2，
所以，解得，則切點為，
故切線的方程為，即，
所以直線到直線的距離為，
即該曲線上的點到直線的最小距離為.
故選：C
3．BD
【分析】對于A，由直線過圓內(nèi)的定點即可判斷；對于B，直線不可能過圓心即原點，由此即可判斷；對于CD，由點到直線距離公式、圓的弦長公式驗算即可.
【詳解】因為直線過定點，且點在圓內(nèi)，所以直線與圓必相交，A錯誤；
若直線將圓的周長平分，則直線過原點，此時直線的斜率不存在，但這是不可能的，所以B正確；
當時，直線的方程為，圓心C到直線的距離為，所以直線被截得的弦長為，C錯誤；
因為圓心到直線的距離為，
所以直線被截得的弦長為，等號成立當且僅當，即，D正確，
故選：BD.
4．AC
【分析】根據(jù)題中條件，結(jié)合向量的運算法則，不等式，可化為，利用，可求得，故可求得的值，繼而可判斷出A,B；設(shè)，，用坐標表達及，結(jié)合結(jié)果的幾何意義即可求得最值，繼而判定C,D.
【詳解】由恒成立得，
即恒成立，
因為，，
設(shè)夾角為，則恒成立，
所以，
即，
所以，則，
所以，
所以，
所以與垂直，A正確；
，B不正確；
設(shè)，，
則，
所以
，
其幾何意義是與和連線的距離之和的2倍，
當三點共線時取得最小值，最小值為，C正確；
，，
所以
其幾何意義是與和連線的距離之差的2倍，
當三點共線時最得最大值，最大值為，D不正確，
故選：AC.
5．
【分析】求出點的軌跡，利用切線的性質(zhì)探討取最大的等價條件，由此求出點的坐標，再由對稱求出圓方程.
【詳解】依題意，點的軌跡為直線上，顯然，要最大，當且僅當最大，
在中，，而正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則只需最大，即圓心到點的距離最小，因此，又圓心，
此時直線的方程為，由解得點，
于是圓心關(guān)于點對稱的點的坐標為，所以圓關(guān)于點對稱的圓的方程為．
故答案為：
考點四：圓的方程
【典例精析】（多選）（2024·全國·模擬預測）在平面直角坐標系中，，，且，MN是圓Q：的一條直徑，則（ ）
A．點P在圓Q外 B．的最小值為2
C． D．的最大值為32
【答案】BCD
【分析】根據(jù)化簡可得，即可得P點軌跡，進而根據(jù)圓A與圓Q外切求解A，根據(jù)即可求解B，根據(jù)向量數(shù)量積的運算律即可求CD.
【詳解】對A，由，得，整理得，

所以點P在以為圓心，2為半徑的圓上，記為圓A，如圖．
因為，所以圓A與圓Q外切．當點P為兩圓的公共點時，點P在圓Q上，故A錯誤．
對B，由題意，得，故B正確．
對C，，故C正確．
對D，．而，
所以，故D正確．
故選：BCD．
【變式訓練】
一、單選題
1．（2024·河北邯鄲·二模）由動點向圓引兩條切線，切點分別為，若四邊形為正方形，則動點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·河北滄州·二模）若點在圓（為常數(shù)）外，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·全國·模擬預測）已知直線與圓，點，則下列命題中是假命題的是（ ）.
A．若點在圓外，則直線與圓相離 B．若點在圓內(nèi)，則直線與圓相交
C．若點在圓上，則直線與圓相切 D．若點在直線上，則直線與圓相切
4．（2024·湖南邵陽·模擬預測）已知圓，點是圓上的一點，則下列說法正確的是（ ）
A．圓關(guān)于直線對稱
B．的最小值為
C．的最小值為
D．的最大值為
三、填空題
5．（2024·遼寧沈陽·二模）已知，若平面內(nèi)滿足到直線的距離為1的點有且只有3個，則實數(shù) ．
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)正方形可得動點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，求出方程即可.
【詳解】因為四邊形為正方形，且,所以,
故動點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，其方程為.
故選：B
2．C
【分析】由點在圓外代入圓的方程可得，再由圓的一般方程中可得，最后求交集即可.
【詳解】由題意知，
故，
又由圓的一般方程，
可得，即，
即或，
所以實數(shù)的范圍為.
故選：C.
3．AB
【分析】根據(jù)直線和圓相切、相交、相離的等價條件進行求解即可.
【詳解】對于A，因為點在圓外，所以，
則圓心到直線的距離為，
所以直線與圓相交，故命題A是假命題；
對于B，因為點在圓內(nèi)，所以，
則圓心到直線的距離為，
所以直線與圓相離，故命題B是假命題；
對于C，因為點在圓上，所以，
則圓心到直線的距離為，
所以直線與圓相切，故命題C是真命題；
對于D，因為點在直線上，所以，即，
則圓心到直線的距離為，
所以直線與圓相切，故命題D是真命題；
故選：AB.
4．ACD
【分析】求出圓心坐標判斷A；求出圓心到點的距離結(jié)合圓的性質(zhì)判斷B；利用三角代換結(jié)合輔助角公式判斷C；令，聯(lián)立方程組，借助判別式求出最值判斷D.
【詳解】圓的圓心，半徑，
對于A，顯然點在直線上，圓關(guān)于直線對稱，A正確；
對于B，點與點的距離，
則點與點距離的最小值為，B錯誤；
對于C，令，則，
其中銳角由確定，因此當時，，C正確；
對于D，，令，由消去得：
，則，
整理得，解得，因此，，D正確.
故選：ACD

5．或
【分析】設(shè)出動點的坐標，由求得其軌跡方程，由題意知，只需使圓心到直線的距離等于1即可.
【詳解】設(shè)點，由可得：，
兩邊平方整理得：，即點的軌跡是圓,圓心在原點，半徑為2.
若該圓上有且只有3個點到直線的距離為1，
則圓心到直線的距離，解得．
故答案為：或.
考點五：直線與圓的位置關(guān)系
【典例精析】（多選）（2024·安徽合肥·二模）已知圓，圓，則（ ）
A．兩圓的圓心距的最小值為1
B．若圓與圓相切，則
C．若圓與圓恰有兩條公切線，則
D．若圓與圓相交，則公共弦長的最大值為2
【答案】AD
【分析】根據(jù)兩點的距離公式，算出兩圓的圓心距，從而判斷出A項的正誤；根據(jù)兩圓相切、相交的性質(zhì)，列式算出的取值范圍，判斷出B,C兩項的正誤；當圓的圓心在兩圓的公共弦上時，公共弦長有最大值，從而判斷出D項的正誤．
【詳解】根據(jù)題意，可得圓的圓心為，半徑，
圓的圓心為，半徑．
對于A，因為兩圓的圓心距，所以A項正確；
對于B，兩圓內(nèi)切時，圓心距，即，解得．
兩圓外切時，圓心距，即，解得．
綜上所述，若兩圓相切，則或，故B項不正確；
對于C，若圓與圓恰有兩條公切線，則兩圓相交，，
即，可得，解得且，故C項不正確；
對于D，若圓與圓相交，則當圓的圓心在公共弦上時，公共弦長等于，達到最大值，
因此，兩圓相交時，公共弦長的最大值為2，故D項正確．
故選：AD．
【變式訓練】
一、單選題
1．（2024·河北承德·二模）已知圓，圓與軸交于，斜率存在且過原點的直線與圓相交于兩點，直線與直線相交于點，直線 直線 直線的斜率分別為，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·河南·三模）在平面內(nèi)，已知線段的長為4，點為平面內(nèi)一點，且，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·全國·一模）在平面直角坐標系中，，動點滿足，得到動點的軌跡是曲線．則下列說法正確的是（ ）
A．曲線的方程為
B．若直線與曲線相交，則弦最短時
C．當三點不共線時，若點，則射線平分
D．過A作曲線的切線，切點分別為，則直線的方程為
4．（2024·廣東汕頭·一模）如圖，是連接河岸與的一座古橋，因保護古跡與發(fā)展的需要，現(xiàn)規(guī)劃建一座新橋，同時設(shè)立一個圓形保護區(qū).規(guī)劃要求：
①新橋與河岸垂直；
②保護區(qū)的邊界為一個圓，該圓與相切，且圓心在線段上；
③古橋兩端和到該圓上任意一點的距離均不少于.
經(jīng)測量，點分別位于點正北方向 正東方向處，.根據(jù)圖中所給的平面直角坐標系，下列結(jié)論中，正確的是（ ）
A．新橋的長為
B．圓心可以在點處
C．圓心到點的距離至多為
D．當長為時，圓形保護區(qū)的面積最大
三、填空題
5．（2024·河北保定·二模）已知點為圓上位于第一象限內(nèi)的點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，直線分別交軸于兩點，則 ， ．
參考答案：
1．A
【分析】直線和直線分別與圓聯(lián)立方程組，求出兩點的坐標，由，得，直線和直線聯(lián)立方程組，求出點的坐標，由，得，驗證各選項即可.
【詳解】由題意得直線，與圓方程聯(lián)立，得，
可求出點，同理得點，
由于在直線上，因此，化簡后得，
顯然，否則點在圓上，兩點重合，與題意矛盾，則，
再聯(lián)立直線與直線，則點，
因此，
則，即，A選項正確，BD選項錯誤 ，
，即，C選項錯誤.
故選：A.
2．A
【分析】建立直角坐標系，求出點的軌跡時一個圓，再根據(jù)與圓相切時角最大求得結(jié)果.
【詳解】如圖，以線段所在的直線為軸，線段的中垂線為軸，建立平面直角坐標系，
設(shè)，因為，不妨設(shè)，
由，得，
化簡得，即點的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，
當與圓相切時，取得最大值，此時．
因為，，所以，且為銳角，
故的最大值為．
故選：A．

3．ACD
【分析】
由點的軌跡滿足已知條件列兩點間距離公式化簡可求A選項；由弦長公式和基本不等式可求B選項；由角平分線定理的逆定理可求C選項；由幾何關(guān)系和兩圓方程相減可得兩圓公共弦方程可求D選項.
【詳解】A：設(shè)，因為，動點滿足，
所以，化簡可得，故A正確；
B：由選項A可知，圓心，半徑，設(shè)圓心到直線的距離為，則，
設(shè)弦長為，由弦長公式得，
因為，當且僅當，取等號，
所以弦最短時，故B錯誤；
C：
因為，則，又，
所以，，則，
所以由角平分線定理的逆定理可知射線平分，故C正確；
D：過A作曲線的切線，切點分別為，
則由集合關(guān)系可知在以為直徑的圓上，半徑為，圓心為，
此圓方程為，
兩圓方程相減可得公共線的方程為，故D正確；
故選：ACD.
4．AC
【分析】根據(jù)給定條件，求出直線的方程，聯(lián)立求出點的坐標判斷A；設(shè)，由題意列出不等式組，再結(jié)合代換求得的范圍，判斷BCD.
【詳解】如圖，以為 軸建立直角坐標系，則，，
依題意，直線的斜率，直線方程為：，
直線的斜率，則直線方程為，
由，解得 ，即，，A正確；
設(shè)，即，直線的一般方程為，
圓的半徑為，顯然，由，得，
則，解得，即長的范圍是，B錯誤，C正確；
當，即長為時，圓的半徑最大，圓形保護區(qū)的面積最大，D錯誤.
故選：AC
【點睛】關(guān)鍵點點睛：某些實際應(yīng)用問題，由題意建立平面直角坐標系，利用坐標法求解是解題的關(guān)鍵.
5． 2
【分析】設(shè)直接計算可得，由角平分線定理可得，由此求出，得出點坐標，再由直角三角形求出點坐標即可得解.
【詳解】圓的標準方程為，圓心，
則為的角平分線，所以．
設(shè)，則，
所以，則，
即，解得，則，
所以點與重合，
此時，可得，
所以．
故答案為：；
【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)角平分線定理，可轉(zhuǎn)化為，建立方程求出參數(shù)，得到圓的圓心、半徑，求出M的坐標是解題的關(guān)鍵.
考點六：圓與圓的位置關(guān)系
【典例精析】（多選）（23-24高三上·河北保定·階段練習）已知圓，圓，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若和外離，則或
B．若和外切，則
C．當時，有且僅有一條直線與和均相切
D．當時，和內(nèi)含
【答案】ABC
【分析】首先得到兩圓圓心坐標與半徑，從而求出圓心距，再根據(jù)兩圓的位置關(guān)系由圓心距與半徑的和差關(guān)系得到不等式（方程），即可判斷.
【詳解】圓的圓心為，半徑，
圓的圓心為，半徑，
所以，
若和外離，則，解得或，故A正確；
若和外切，則，解得，故B正確；
當時，，則和內(nèi)切，故僅有一條公切線，故C正確；
當時，，則和相交，故D錯誤.
故選：ABC．
【變式訓練】
一、單選題
1．（2024·山東聊城·二模）若圓與圓恰有一條公切線，則下列直線一定不經(jīng)過點的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·江西宜春·模擬預測）圓與圓的公共弦長為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·河南鄭州·三模）已知直線（不同時為0），圓，則（ ）
A．當時，直線與圓相切
B．當時，直線與圓不可能相交
C．當時，與圓外切且與直線相切的動圓圓心的軌跡是一條拋物線
D．當時，直線與坐標軸相交于兩點，則圓上存在點滿足
4．（2024·浙江溫州·二模）已知圓與圓相交于兩點．若，則實數(shù)的值可以是（ ）
A．10 B．2 C． D．
三、填空題
5．（2024·寧夏·一模）若兩圓和恰有三條公切線，則的最小值為 ．
參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)兩圓公切線條數(shù)確定兩圓位置關(guān)系，從而可得圓心所滿足的軌跡方程，從而逐項判段直線與圓位置關(guān)系，確定直線是否過點即可.
【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，
若圓與圓恰有一條公切線，則兩圓內(nèi)切，
所以，即，所以點的軌跡為圓，
對于A，圓心到直線的距離為，則該直線過點，故A不符合；
對于B，圓心到直線的距離為，則該直線過點，故B不符合；
對于C，圓心到直線的距離為，則該直線過點，故C不符合；
對于D，圓心到直線的距離為，則該直線不過點，故D符合；
故選：D.
2．D
【分析】先求出兩圓的公共弦所在直線的方程，再求出圓心到公共弦的距離，由弦長即可求出兩圓的公共弦長.
【詳解】由，作差．
得兩圓的公共弦所在直線的方程為．
由，得．
所以圓心，半徑，
則圓心到公共弦的距離．
所以兩圓的公共弦長為．
故選：D．
3．ACD
【分析】首先將圓的方程化為標準式，即可得到圓心坐標與半徑，求出圓心到直線的距離即可判斷A，利用特殊值判斷B，根據(jù)拋物線的定義判斷C，求出以為直徑的圓的方程，即可判斷兩圓相交，從而判斷D.
【詳解】圓即，圓心為，半徑；
對于A：若，則圓心到直線的距離，
所以直線與圓相切，故A正確；
對于B：當，時滿足，此時直線方程為，
則圓心到直線的距離為，顯然直線與圓相交，故B錯誤；
對于C：當時直線，則直線與直線平行，
且兩平行線間的距離，
依題意動圓圓心到直線的距離與到的距離相等，
且點不在直線上，
根據(jù)拋物線的定義可知動圓圓心的軌跡是一條拋物線，故C正確；
對于D：不妨令，，的中點為，又，
所以以為直徑的圓的方程為，
又，所以圓與圓相交，
所以圓上存在點滿足，故D正確.
故選：ACD
4．BD
【分析】
根據(jù)題意，由條件可得弦所在的直線方程，然后將轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離關(guān)系，列出方程，代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意可得弦所在的直線方程為，
因為圓，圓心，
圓，圓心，
設(shè)圓心與圓心到直線的距離分別為，
因為，即，
所以，又，
即，化簡可得，
即，解得或.
故選：BD
5．10
【分析】根據(jù)兩圓外切得到方程，求出，對不等式變形后，利用基本不等式求出最小值.
【詳解】的圓心為，半徑為，
的圓心為，半徑為，
兩圓外切，則，即，
故，
又，故，
當且僅當，即時，等號成立，
故的最小值為10.
故答案為：10
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2023·全國·高考真題）已知實數(shù)滿足，則的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
3．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
4．（2021·全國·高考真題）已知直線與圓，點，則下列說法正確的是（ ）
A．若點A在圓C上，則直線l與圓C相切 B．若點A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離
C．若點A在圓C外，則直線l與圓C相離 D．若點A在直線l上，則直線l與圓C相切
5．（2021·全國·高考真題）已知點在圓上，點、，則（ ）
A．點到直線的距離小于
B．點到直線的距離大于
C．當最小時，
D．當最大時，
三、填空題
6．（2022·全國·高考真題）設(shè)點，若直線關(guān)于對稱的直線與圓有公共點，則a的取值范圍是 ．
7．（2022·全國·高考真題）若雙曲線的漸近線與圓相切，則 ．
8．（2022·全國·高考真題）過四點中的三點的一個圓的方程為 ．
9．（2022·全國·高考真題）寫出與圓和都相切的一條直線的方程 ．
10．（2022·全國·高考真題）設(shè)點M在直線上，點和均在上，則的方程為 ．
參考答案：
1．B
【分析】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合倍角公式運算求解；方法二：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合余弦定理運算求解；方法三：根據(jù)切線結(jié)合點到直線的距離公式可得，利用韋達定理結(jié)合夾角公式運算求解.
【詳解】方法一：因為，即，可得圓心，半徑，
過點作圓C的切線，切點為，
因為，則，
可得，
則，
，
即為鈍角，
所以；
法二：圓的圓心，半徑，
過點作圓C的切線，切點為，連接，
可得，則，
因為
且，則，
即，解得，
即為鈍角，則，
且為銳角，所以；
方法三：圓的圓心，半徑，
若切線斜率不存在，則切線方程為，則圓心到切點的距離，不合題意；
若切線斜率存在，設(shè)切線方程為，即，
則，整理得，且
設(shè)兩切線斜率分別為，則，
可得，
所以，即，可得，
則，
且，則，解得.
故選：B.

2．C
【分析】法一：令，利用判別式法即可；法二：通過整理得，利用三角換元法即可，法三：整理出圓的方程，設(shè)，利用圓心到直線的距離小于等于半徑即可.
【詳解】法一：令，則，
代入原式化簡得，
因為存在實數(shù)，則，即，
化簡得，解得，
故 的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
則，
，所以，則，即時，取得最大值，
法三：由可得，
設(shè)，則圓心到直線的距離，
解得
故選：C.
3．D
【分析】根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長.
【詳解】由，則，
解得，
所以雙曲線的一條漸近線為，
則圓心到漸近線的距離，
所以弦長.
故選：D
4．ABD
【分析】轉(zhuǎn)化點與圓、點與直線的位置關(guān)系為的大小關(guān)系，結(jié)合點到直線的距離及直線與圓的位置關(guān)系即可得解.
【詳解】圓心到直線l的距離，
若點在圓C上，則，所以，
則直線l與圓C相切，故A正確；
若點在圓C內(nèi)，則，所以，
則直線l與圓C相離，故B正確；
若點在圓C外，則，所以，
則直線l與圓C相交，故C錯誤；
若點在直線l上，則即，
所以，直線l與圓C相切，故D正確.
故選：ABD.
5．ACD
【分析】計算出圓心到直線的距離，可得出點到直線的距離的取值范圍，可判斷AB選項的正誤；分析可知，當最大或最小時，與圓相切，利用勾股定理可判斷CD選項的正誤.
【詳解】圓的圓心為，半徑為，
直線的方程為，即，
圓心到直線的距離為，
所以，點到直線的距離的最小值為，最大值為，A選項正確，B選項錯誤；
如下圖所示：
當最大或最小時，與圓相切，連接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD選項正確.
故選：ACD.
【點睛】結(jié)論點睛：若直線與半徑為的圓相離，圓心到直線的距離為，則圓上一點到直線的距離的取值范圍是.
6．
【分析】首先求出點關(guān)于對稱點的坐標，即可得到直線的方程，根據(jù)圓心到直線的距離小于等于半徑得到不等式，解得即可；
【詳解】解：關(guān)于對稱的點的坐標為，在直線上，
所以所在直線即為直線，所以直線為，即；
圓，圓心，半徑，
依題意圓心到直線的距離，
即，解得，即；
故答案為：
7．
【分析】首先求出雙曲線的漸近線方程，再將圓的方程化為標準式，即可得到圓心坐標與半徑，依題意圓心到直線的距離等于圓的半徑，即可得到方程，解得即可．
【詳解】解：雙曲線的漸近線為，即，
不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑，
依題意圓心到漸近線的距離，
解得或（舍去）．
故答案為：．
8．或或或．
【分析】方法一：設(shè)圓的方程為，根據(jù)所選點的坐標，得到方程組，解得即可；
【詳解】[方法一]：圓的一般方程
依題意設(shè)圓的方程為，
（1）若過，，，則，解得，
所以圓的方程為，即；
（2）若過，，，則，解得，
所以圓的方程為，即；
（3）若過，，，則，解得，
所以圓的方程為，即；
（4）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；
故答案為：或 或 或．
[方法二]：【最優(yōu)解】圓的標準方程（三點中的兩條中垂線的交點為圓心）
設(shè)
（1）若圓過三點，圓心在直線，設(shè)圓心坐標為，
則，所以圓的方程為；
（2）若圓過三點， 設(shè)圓心坐標為，則，所以圓的方程為；
（3）若圓過 三點，則線段的中垂線方程為，線段 的中垂線方程 為，聯(lián)立得 ，所以圓的方程為；
（4）若圓過三點，則線段的中垂線方程為， 線段中垂線方程為 ，聯(lián)立得，所以圓的方程為．
故答案為：或 或 或．
【整體點評】方法一；利用圓過三個點，設(shè)圓的一般方程，解三元一次方程組，思想簡單，運算稍繁；
方法二；利用圓的幾何性質(zhì)，先求出圓心再求半徑，運算稍簡潔，是該題的最優(yōu)解．
9．或或
【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，分情況討論即可.
【詳解】[方法一]：
顯然直線的斜率不為0，不妨設(shè)直線方程為，
于是，
故①，于是或，
再結(jié)合①解得或或，
所以直線方程有三條，分別為，，
填一條即可
[方法二]：
設(shè)圓的圓心，半徑為，
圓的圓心，半徑，
則，因此兩圓外切，
由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然符合題意；
又由方程和相減可得方程，
即為過兩圓公共切點的切線方程，
又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為，
直線OC與直線的交點為，
設(shè)過該點的直線為，則，解得，
從而該切線的方程為填一條即可
[方法三]：
圓的圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為，
兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，
如圖，
當切線為l時，因為，所以，設(shè)方程為
O到l的距離，解得，所以l的方程為，
當切線為m時，設(shè)直線方程為，其中，，
由題意，解得，
當切線為n時，易知切線方程為，
故答案為：或或.
10．
【分析】設(shè)出點M的坐標，利用和均在上，求得圓心及半徑，即可得圓的方程.
【詳解】[方法一]：三點共圓
∵點M在直線上，
∴設(shè)點M為，又因為點和均在上，
∴點M到兩點的距離相等且為半徑R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程為.
故答案為：
[方法二]：圓的幾何性質(zhì)
由題可知，M是以（3，0）和（0，1）為端點的線段垂直平分線 y=3x-4與直線的交點(1,-1)., 的方程為.
故答案為：
一、單選題
1．（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）已知直線，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2024·遼寧葫蘆島·一模）光線從點射到軸上，經(jīng)軸反射后經(jīng)過圓上的點，則該光線從點A到點的路線長的最小值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
3．（2024·安徽·模擬預測）已知直線，圓，則該動直線與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定
4．（2024·全國·模擬預測）已知圓：，直線：，則直線與圓有公共點的必要不充分條件是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三下·陜西西安·階段練習）圓心為，且與直線相切的圓在x軸上的弦長為（ ）
A．2 B．4 C． D．
6．（2024·山東濟南·二模）已知圓，若圓C上有且僅有一點P使，則正實數(shù)a的取值為（ ）
A．2或4 B．2或3 C．4或5 D．3或5
二、多選題
7．（2024·全國·模擬預測）已知圓，直線，則（ ）．
A．直線恒過定點
B．直線與圓有兩個交點
C．當時，圓上恰有四個點到直線的距離等于1
D．若，則圓與圓0恰有三條公切線
8．（2024·安徽·二模）已知雙曲線：（，）左右焦點分別為，，.經(jīng)過的直線與的左右兩支分別交于，，且為等邊三角形，則（ ）
A．雙曲線的方程為
B．的面積為
C．以為直徑的圓與以實軸為直徑的圓相交
D．以為直徑的圓與以實軸為直徑的圓相切
三、填空題
9．（2024·浙江杭州·二模）寫出與圓相切且方向向量為的一條直線的方程 ．
10．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）點為圓上的動點，則的取值范圍為 .
11．（2024·浙江·二模）如圖為世界名畫《星月夜》，在這幅畫中，文森特·梵高用夸張的手法，生動地描繪了充滿運動和變化的星空.假設(shè)月亮可看作半徑為1的圓的一段圓弧，且弧所對的圓心角為.設(shè)圓的圓心在點與弧中點的連線所在直線上.若存在圓滿足：弧上存在四點滿足過這四點作圓的切線，這四條切線與圓也相切，則弧上的點與圓上的點的最短距離的取值范圍為 .（參考數(shù)據(jù)：）
四、解答題
12．（2024·河南開封·三模）已知，，對于平面內(nèi)一動點，軸于點M，且，，成等比數(shù)列．
(1)求點P的軌跡C的方程；
(2)已知過點A的直線l與C交于M，N兩點，若，求直線l的方程．
13．（2024·云南昆明·模擬預測）一動圓圓E與圓外切，同時與圓內(nèi)切．
(1)求動圓圓心E的軌跡方程；
(2)設(shè)A為E的右頂點，若直線與x軸交于點M，與E相交于點B，C（點B在點M，C之間），若N為線段上的點，且滿足，證明：．
14．（2024·全國·模擬預測）已知直線與拋物線交于兩點，且．
(1)求拋物線的標準方程；
(2)若點，求外接圓的方程．
參考答案：
1．C
【分析】利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合兩直線平行判斷即得.
【詳解】當時，直線，則，
當時，，解得，
所以“”是“”的充要條件.
故選：C
2．A
【分析】求出點關(guān)于x軸的對稱點，則最短路徑的長為減去圓的半徑，計算求得結(jié)果
【詳解】由題意可得圓心，半徑點關(guān)于x軸的對稱點，
所以，
該光線從點A到點的路線長的最小值為，
故選：A
3．C
【分析】根據(jù)題意可得直線表示過定點，且除去的直線，點在圓上，可判斷直線與圓相交.
【詳解】因為直線，即，
當時，，解得，
所以直線表示過定點，且除去的直線，
將圓的方程化為標準方程為，因為，點在圓上，
所以直線與圓可能相交，可能相切，相切時直線為，不合題意，
所以直線與圓相交.
故選：C.
4．A
【分析】先根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，借助點到直線的距離公式，求出的取值范圍，即直線與圓有公共點的充要條件，再確定那個是必要不充分條件.
【詳解】由題意可知圓的圓心坐標為，半徑為1.
因為直線與圓有公共點，所以直線與圓相切或相交，
所以圓心到直線的距離，解得.
其必要不充分條件是把的取值范圍擴大，
所以選項中只有是的必要不充分條件.
故選：A
5．B
【分析】根據(jù)直線與圓相切的位置關(guān)系，圓心到直線的距離為圓的半徑，求出圓的標準方程，令，求出，進而得到圓在x軸上的弦長.
【詳解】圓心到直線的距離為，即圓的半徑，
所以圓的方程為，
令，則或4，故圓在軸上的弦長為4，
故選：B.
6．D
【分析】根據(jù)題意可知：點P的軌跡為以的中點為圓心，半徑的圓，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系分析求解.
【詳解】由題意可知：圓的圓心為，半徑，且，
因為，可知點P的軌跡為以線段的中點為圓心，半徑的圓，
又因為點P在圓上，
可知圓與圓有且僅有一個公共點，則或，
即或，解得或.
故選：D.
7．BD
【分析】利用分離參數(shù)的方法求出直線l過的定點，判斷A；判斷直線過的定點在圓內(nèi)，即可判斷B；結(jié)合圓心到直線的距離以及圓的半徑可判斷C；判斷兩圓的位置關(guān)系可判斷D.
【詳解】直線的方程整理為，由，得，
所以直線過定點，A錯誤．
，即定點在圓內(nèi)，
因此直線與圓相交，有兩個交點，B正確．
當時，直線方程為，圓心到直線的距離為，圓半徑為2，，
因此與直線平行且距離為1的兩條直線只有一條與圓相交，另一條與圓相離，
因此圓上只有2個點到直線的距離等于1，C錯誤．
當時，圓的標準方程為，
圓心為，半徑為3，兩圓圓心距為，
兩圓外切，因此它們有三條公切線，D正確．
故選：BD．
8．BD
【分析】根據(jù)雙曲線定義結(jié)合為等邊三角形得，，由余弦定理得 ，進而求出方程為判斷選項A；求出判斷選項B；利用兩圓相切的幾何意義可判斷選項C、D.
【詳解】由已知得，由雙曲線定義知：，
因為，所以，故，，
在中，由余弦定理得：，
解得：，所以，方程為，A錯誤.
的面積為，B正確.
取的中點，，兩圓內(nèi)切，故C錯誤.
取的中點，則，兩圓外切，故D正確.
故選：BD
9．或（寫出一個即可）
【分析】由條件可設(shè)直線方程為，結(jié)合條件列方程求即可得結(jié)論.
【詳解】因為切線的方向向量為，
所以切線的斜率為，
故可設(shè)切線方程為，
因為直線與圓相切，
又圓的圓心坐標為，半徑為，
圓心到直線的距離為，
所以，
所以或，
所以與圓相切且方向向量為的直線為或，
故答案為：或（寫出一個即可）.
10．
【分析】法一：設(shè)，代入方程得到，從而題目實際上就是求的取值范圍使得該方程有解，而這直接使用二次方程判別式就可得到結(jié)果；法二：利用圓的幾何性質(zhì)，將命題轉(zhuǎn)化為距離問題，再使用距離公式求解.
【詳解】法一：我們要求的取值范圍使得存在滿足，，
由于滿足前一個方程的必不為零，故這等價于，.
而這又可以等價轉(zhuǎn)化為，，
故我們就是要求的取值范圍，使得關(guān)于的方程有解.
該方程中的系數(shù)顯然非零，所以命題等價于，解得.
法二：由于圓和軸無公共點，故命題等價于求實數(shù)的取值范圍，
使得直線和圓有公共點.
該圓的方程可化為，故命題等價于點到直線的距離不超過，即.
解得.
故答案為：.
11．
【分析】設(shè)弧的中點為，根據(jù)圓與圓相離，確定兩圓的外公切線與內(nèi)公切線，確定圓的位置，分析可得弧上的點與圓上的點的最短距離.
【詳解】如圖，
設(shè)弧的中點為，弧所對的圓心角為，
圓的半徑，在弧上取兩點，則，
分別過點作圓的切線，并交直線于點，
當過點的切線剛好是圓與圓的外公切線時，劣弧上一定還存在點，使過點的切線為兩圓的內(nèi)公切線，
則圓的圓心只能在線段上，且不包括端點，
過點，分別向作垂線，垂足為，則即為圓的半徑，
設(shè)線段交圓于點，則弧上的點與圓上的點的最短距離即為線段的長度.
在中，，
則，
即弧上的點與圓上的點的最短距離的取值范圍為.
故答案為：.
【點睛】結(jié)論點睛：本題考查了根據(jù)兩圓位置關(guān)系求距離的范圍的問題.可按如下結(jié)論求解：
相離的兩個圓（圓心分別為和 ,半徑分別為和）上的兩個動點之間的距離的最小值是兩圓心之間的距離減去兩圓的半徑，最大值是兩圓心之間的距離加上兩圓的半徑，即.
12．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)點點距離，結(jié)合等比中項即可化簡求解，
（2）聯(lián)立直線與曲線的方程，根據(jù)韋達定理可得，即可利用向量數(shù)量積的坐標運算求解.
【詳解】（1）由題意可得，則，，，
由于，，成等比數(shù)列，所以，
即，
故點P的軌跡C的方程為
（2）由（1）知點P的軌跡C的方程為：當或，
當時，，如圖；
由題意可知直線有斜率，設(shè)方程為，
聯(lián)立，
則，故,
聯(lián)立，
則，故,
,
解得，
故直線方程為
13．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)圓與圓內(nèi)切、外切的性質(zhì)，結(jié)合橢圓的定義進行求解即可；
（2）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去根，得到一元二次方程，據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系確定點的位置，結(jié)合等邊對等角、外角性質(zhì)進行運算證明即可.
【詳解】（1）設(shè)動圓E圓心坐標，半徑為，由題意可知，，，
當與相外切時，有；①
當與相內(nèi)切時，有．②
將①②兩式的兩邊分別相加，得，所以的軌跡為橢圓，
所以，所以，
所以動圓圓心的軌跡方程為．
（2）
由（1）可知，圓心的軌跡方程，設(shè)點，，
聯(lián)立，得，
則，即，
，.
因為，所以，所以，
即，
所以，，所以點在直線上，
所以，即，因為為△的一個外角，
所以.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是利用一元二次方程根與系數(shù)確定點的位置.
14．(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)，聯(lián)立直線方程與拋物線方程并消元，寫出根與系數(shù)的關(guān)系，代入弦長公式即可解出，從而得到拋物線的標準方程；
（2）設(shè)外接圓的一般方程，聯(lián)立直線方程與拋物線方程并消元，聯(lián)立圓的方程與拋物線方程并消元，由兩點既在拋物線上又在圓上，點在圓上，可得關(guān)于的方程，解出即可得到外接圓的方程．
【詳解】（1）設(shè)，
將與聯(lián)立，化簡得，
所以，，，
所以，
得，
所以拋物線的標準方程為．
（2）
設(shè)外接圓的一般方程為，
由，得①，
由，得②，
因為兩點既在拋物線上又在圓上，
所以①、②兩個方程的解均為和，
故，得，，
將代入，化簡得，
解得，滿足，
所以外接圓的方程為．
【點睛】方法點睛：高考中解析幾何解答題一般圍繞直線與圓錐曲線的位置關(guān)系進行設(shè)題，解決此類問題要做好兩點：一是轉(zhuǎn)化，把題中的已知和所求準確轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的數(shù)與式，即形向數(shù)的轉(zhuǎn)化；二是設(shè)而不求，即聯(lián)立直線方程與圓錐曲線的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解．
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8.1直線、圓的方程
【備考指南】 1
【知識導圖】 2
【考點梳理】 6
考點一：直線的傾斜角與斜率 6
考點二：直線的方程 7
考點三：交點坐標與距離公式 8
考點四：圓的方程 9
考點五：直線與圓的位置關(guān)系 10
考點六：圓與圓的位置關(guān)系 12
【真題在線】 13
【專項突破】 14
考點 考情分析 考頻
直線與圓 2023年新高考Ⅰ卷T6 2023年新高考Ⅱ卷T15 2022年新高考Ⅱ卷T15 2年3考
圓與圓的位置關(guān)系 2022年新高考Ⅰ卷T14
直線方程 2022年新高考Ⅱ卷T3
預測：直線方程、圓的方程是高考的熱點考點，近幾年在全國卷中都有所體現(xiàn)，難度整體適中，直線方程在后續(xù)與圓錐曲線結(jié)合也是常考的內(nèi)容，要全面掌握好基礎(chǔ)知識.建議在復習時在掌握好基礎(chǔ)的同時要靈活的運用.
考點一：直線的傾斜角與斜率
【典例精析】（多選）（2023·黑龍江哈爾濱·二模）點在函數(shù)的圖象上，當，則可能等于（ ）
A．-1 B． C． D．0
【變式訓練】
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）已知直線和與x軸圍成的三角形是等腰三角形，則k的取值不可能為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山東聊城·二模）已知雙曲線的右焦點為，一條漸近線的方程為，若直線與在第一象限內(nèi)的交點為，且軸，則的值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·全國·模擬預測）已知與三條直線，，都相切的圓有且僅有兩個，則實數(shù)的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2024·全國·模擬預測）已知點為橢圓的右焦點，直線與橢圓交于，兩點，直線與橢圓交于另一點，則（ ）
A．當直線的斜率為時，直線的斜率為
B．當時，點到直線的距離為
C．的最小值為
D．當時，直線的方程可以為
三、填空題
5．（2024·四川成都·三模）拋物線（）的焦點為，過的直線與拋物線相交于，兩點（在第一象限），分別過，作準線的垂線，垂足分別為，，若，則直線的傾斜角等于 .
考點二：直線的方程
【典例精析】（多選）（2024·山東·二模）已知直線，圓，則下列說法正確的是（ ）
A．直線恒過定點 B．直線與圓相交
C．當直線平分圓時， D．當點到直線距離最大值時，
【變式訓練】
一、單選題
1．（2024·陜西西安·模擬預測）已知直線與圓相交于兩點，則弦長的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全國·模擬預測）已知拋物線的焦點為，過點的直線在軸上方與拋物線相交于兩點，若，則點到拋物線的準線的距離為（ ）
A． B． C．2 D．3
二、多選題
3．（2024·重慶·三模）已知直線：與圓：交于，兩點，線段的中點為，則（ ）
A．直線恒過定點
B．的最小值為
C．面積的最大值為2
D．點的軌跡所包圍的圖形面積為
4．（2023·河南·模擬預測）已知直線過點，且與軸、軸分別交于A，B點，則（ ）
A．若直線的斜率為1，則直線的方程為
B．若直線在兩坐標軸上的截距相等，則直線的方程為
C．若M為的中點，則的方程為
D．直線的方程可能為
三、填空題
5．（2023·江西·二模）圓，，過作圓的切線，，過作斜率為1的直線與圓交于點（在內(nèi)），線段上有一點使，則的坐標為 ．
考點三：交點坐標與距離公式
【典例精析】（多選）（2024·貴州·模擬預測）已知點，點Q在圓上，則（ ）
A．點P在直線上 B．點P可能在圓C上
C．的最小值為1 D．圓C上有2個點到點P的距離為1
【變式訓練】
一、單選題
1．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）在平面直角坐標系xoy中，已知，動點滿足，且，則下列說法正確的是（ ）
A．動點的軌跡是一個圓 B．動點的軌跡所圍成的面積為6
C．動點的軌跡跟坐標軸不相交 D．動點離原點最短距離為1
2．（2024·江蘇泰州·模擬預測）曲線上的點到直線距離的最小值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·云南昆明·模擬預測）設(shè)直線：與圓C：，則下列結(jié)論正確的為（ ）
A．直線與圓C可能相離
B．直線不可能將圓C的周長平分
C．當時，直線被圓C截得的弦長為
D．直線被圓C截得的最短弦長為
4．（2023·全國·模擬預測）已知平面向量滿足，，且對任意的實數(shù)，都有恒成立，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．與垂直 B．
C．的最小值為 D．的最大值為
三、填空題
5．（2024·全國·模擬預測）在平面直角坐標系中，的坐標滿足，，已知圓，過作圓的兩條切線，切點分別為，當最大時，圓關(guān)于點對稱的圓的方程為 ．
考點四：圓的方程
【典例精析】（多選）（2024·全國·模擬預測）在平面直角坐標系中，，，且，MN是圓Q：的一條直徑，則（ ）
A．點P在圓Q外 B．的最小值為2
C． D．的最大值為32
【變式訓練】
一、單選題
1．（2024·河北邯鄲·二模）由動點向圓引兩條切線，切點分別為，若四邊形為正方形，則動點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·河北滄州·二模）若點在圓（為常數(shù)）外，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·全國·模擬預測）已知直線與圓，點，則下列命題中是假命題的是（ ）.
A．若點在圓外，則直線與圓相離 B．若點在圓內(nèi)，則直線與圓相交
C．若點在圓上，則直線與圓相切 D．若點在直線上，則直線與圓相切
4．（2024·湖南邵陽·模擬預測）已知圓，點是圓上的一點，則下列說法正確的是（ ）
A．圓關(guān)于直線對稱
B．的最小值為
C．的最小值為
D．的最大值為
三、填空題
5．（2024·遼寧沈陽·二模）已知，若平面內(nèi)滿足到直線的距離為1的點有且只有3個，則實數(shù) ．
考點五：直線與圓的位置關(guān)系
【典例精析】（多選）（2024·安徽合肥·二模）已知圓，圓，則（ ）
A．兩圓的圓心距的最小值為1
B．若圓與圓相切，則
C．若圓與圓恰有兩條公切線，則
D．若圓與圓相交，則公共弦長的最大值為2
【變式訓練】
一、單選題
1．（2024·河北承德·二模）已知圓，圓與軸交于，斜率存在且過原點的直線與圓相交于兩點，直線與直線相交于點，直線 直線 直線的斜率分別為，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·河南·三模）在平面內(nèi)，已知線段的長為4，點為平面內(nèi)一點，且，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·全國·一模）在平面直角坐標系中，，動點滿足，得到動點的軌跡是曲線．則下列說法正確的是（ ）
A．曲線的方程為
B．若直線與曲線相交，則弦最短時
C．當三點不共線時，若點，則射線平分
D．過A作曲線的切線，切點分別為，則直線的方程為
4．（2024·廣東汕頭·一模）如圖，是連接河岸與的一座古橋，因保護古跡與發(fā)展的需要，現(xiàn)規(guī)劃建一座新橋，同時設(shè)立一個圓形保護區(qū).規(guī)劃要求：
①新橋與河岸垂直；
②保護區(qū)的邊界為一個圓，該圓與相切，且圓心在線段上；
③古橋兩端和到該圓上任意一點的距離均不少于.
經(jīng)測量，點分別位于點正北方向 正東方向處，.根據(jù)圖中所給的平面直角坐標系，下列結(jié)論中，正確的是（ ）
A．新橋的長為
B．圓心可以在點處
C．圓心到點的距離至多為
D．當長為時，圓形保護區(qū)的面積最大
三、填空題
5．（2024·河北保定·二模）已知點為圓上位于第一象限內(nèi)的點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，直線分別交軸于兩點，則 ， ．
考點六：圓與圓的位置關(guān)系
【典例精析】（多選）（23-24高三上·河北保定·階段練習）已知圓，圓，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若和外離，則或
B．若和外切，則
C．當時，有且僅有一條直線與和均相切
D．當時，和內(nèi)含
【變式訓練】
一、單選題
1．（2024·山東聊城·二模）若圓與圓恰有一條公切線，則下列直線一定不經(jīng)過點的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·江西宜春·模擬預測）圓與圓的公共弦長為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·河南鄭州·三模）已知直線（不同時為0），圓，則（ ）
A．當時，直線與圓相切
B．當時，直線與圓不可能相交
C．當時，與圓外切且與直線相切的動圓圓心的軌跡是一條拋物線
D．當時，直線與坐標軸相交于兩點，則圓上存在點滿足
4．（2024·浙江溫州·二模）已知圓與圓相交于兩點．若，則實數(shù)的值可以是（ ）
A．10 B．2 C． D．
三、填空題
5．（2024·寧夏·一模）若兩圓和恰有三條公切線，則的最小值為 ．
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2023·全國·高考真題）已知實數(shù)滿足，則的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
3．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
4．（2021·全國·高考真題）已知直線與圓，點，則下列說法正確的是（ ）
A．若點A在圓C上，則直線l與圓C相切 B．若點A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離
C．若點A在圓C外，則直線l與圓C相離 D．若點A在直線l上，則直線l與圓C相切
5．（2021·全國·高考真題）已知點在圓上，點、，則（ ）
A．點到直線的距離小于
B．點到直線的距離大于
C．當最小時，
D．當最大時，
三、填空題
6．（2022·全國·高考真題）設(shè)點，若直線關(guān)于對稱的直線與圓有公共點，則a的取值范圍是 ．
7．（2022·全國·高考真題）若雙曲線的漸近線與圓相切，則 ．
8．（2022·全國·高考真題）過四點中的三點的一個圓的方程為 ．
9．（2022·全國·高考真題）寫出與圓和都相切的一條直線的方程 ．
10．（2022·全國·高考真題）設(shè)點M在直線上，點和均在上，則的方程為 ．
一、單選題
1．（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）已知直線，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2024·遼寧葫蘆島·一模）光線從點射到軸上，經(jīng)軸反射后經(jīng)過圓上的點，則該光線從點A到點的路線長的最小值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
3．（2024·安徽·模擬預測）已知直線，圓，則該動直線與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定
4．（2024·全國·模擬預測）已知圓：，直線：，則直線與圓有公共點的必要不充分條件是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三下·陜西西安·階段練習）圓心為，且與直線相切的圓在x軸上的弦長為（ ）
A．2 B．4 C． D．
6．（2024·山東濟南·二模）已知圓，若圓C上有且僅有一點P使，則正實數(shù)a的取值為（ ）
A．2或4 B．2或3 C．4或5 D．3或5
二、多選題
7．（2024·全國·模擬預測）已知圓，直線，則（ ）．
A．直線恒過定點
B．直線與圓有兩個交點
C．當時，圓上恰有四個點到直線的距離等于1
D．若，則圓與圓0恰有三條公切線
8．（2024·安徽·二模）已知雙曲線：（，）左右焦點分別為，，.經(jīng)過的直線與的左右兩支分別交于，，且為等邊三角形，則（ ）
A．雙曲線的方程為
B．的面積為
C．以為直徑的圓與以實軸為直徑的圓相交
D．以為直徑的圓與以實軸為直徑的圓相切
三、填空題
9．（2024·浙江杭州·二模）寫出與圓相切且方向向量為的一條直線的方程 ．
10．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）點為圓上的動點，則的取值范圍為 .
11．（2024·浙江·二模）如圖為世界名畫《星月夜》，在這幅畫中，文森特·梵高用夸張的手法，生動地描繪了充滿運動和變化的星空.假設(shè)月亮可看作半徑為1的圓的一段圓弧，且弧所對的圓心角為.設(shè)圓的圓心在點與弧中點的連線所在直線上.若存在圓滿足：弧上存在四點滿足過這四點作圓的切線，這四條切線與圓也相切，則弧上的點與圓上的點的最短距離的取值范圍為 .（參考數(shù)據(jù)：）
四、解答題
12．（2024·河南開封·三模）已知，，對于平面內(nèi)一動點，軸于點M，且，，成等比數(shù)列．
(1)求點P的軌跡C的方程；
(2)已知過點A的直線l與C交于M，N兩點，若，求直線l的方程．
13．（2024·云南昆明·模擬預測）一動圓圓E與圓外切，同時與圓內(nèi)切．
(1)求動圓圓心E的軌跡方程；
(2)設(shè)A為E的右頂點，若直線與x軸交于點M，與E相交于點B，C（點B在點M，C之間），若N為線段上的點，且滿足，證明：．
14．（2024·全國·模擬預測）已知直線與拋物線交于兩點，且．
(1)求拋物線的標準方程；
(2)若點，求外接圓的方程．
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