資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題04 基本不等式（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 2
【考點突破】 3
【考點1】利用基本不等式求最值 3
【考點2】基本不等式的綜合應用 4
【考點3】基本不等式的實際應用 6
【分層檢測】 8
【基礎篇】 8
【能力篇】 9
【培優篇】 10
考試要求：
1.了解基本不等式的證明過程.
2.能用基本不等式解決簡單的最值問題.
3.掌握基本不等式在生活實際中的應用.
1.基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.
(2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時取等號.
(3)其中叫做正數a，b的算術平均數，叫做正數a，b的幾何平均數.
2.兩個重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當且僅當a＝b時取等號.
(2)ab≤(a，b∈R)，當且僅當a＝b時取等號.
3.利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正數，如果積xy等于定值P，那么當x＝y時，和x＋y有最小值2.
(2)已知x，y都是正數，如果和x＋y等于定值S，那么當x＝y時，積xy有最大值S2.
1.＋≥2(a，b同號)，當且僅當a＝b時取等號.
2.ab≤≤.
3.應用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某個條件，就會出錯.
4.在利用不等式求最值時，一定要盡量避免多次使用基本不等式.若必須多次使用，則一定要保證它們等號成立的條件一致.
一、單選題
1．（2021·浙江·高考真題）已知是互不相同的銳角，則在三個值中，大于的個數的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2021·全國·高考真題）已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上，則的最大值為（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
3．（2021·全國·高考真題）下列函數中最小值為4的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
4．（2022·全國·高考真題）若x，y滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2023·天津·高考真題）在中，，，記，用表示 ；若，則的最大值為 ．
6．（2022·全國·高考真題）已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時， ．
7．（2021·天津·高考真題）若，則的最小值為 ．
四、解答題
8．（2022·全國·高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【考點1】利用基本不等式求最值
一、單選題
1．（2023·重慶·模擬預測）已知，，且，則的最小值為（ ）．
A．4 B．6 C．8 D．12
2．（22-23高二下·陜西榆林·期中）已知，則的最大值為（ ）
A． B． C．1 D．2
二、多選題
3．（23-24高三上·江蘇揚州·開學考試）下列命題中正確的是（ ）
A．的最小值是2
B．當時，的最小值是3
C．當時，的最大值是5
D．若正數滿足，則的最小值為3
4．（23-24高三上·甘肅·階段練習）已知，若，則（ ）
A．的最大值為 B．的最小值為1
C．的最小值為8 D．的最小值為
三、填空題
5．（22-23高一上·廣東梅州·期末）已知，，若，則的最小值為 .
6．（22-23高二下·福建三明·期中）已知實數，，則的最小值是 .
反思提升：
1.利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數”或“積為常數”的形式.
2.常數代換法，主要解決形如“已知x＋y＝t(t為常數)，求＋的最值”的問題，先將＋轉化為·，再用基本不等式求最值.
3.當所求最值的代數式中的變量比較多時，通常考慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數”或“積為常數”的形式，最后利用基本不等式求最值.
4.構建目標式的不等式求最值，在既含有和式又含有積式的等式中，對和式或積式利用基本不等式，構造目標式的不等式求解.
【考點2】基本不等式的綜合應用
一、單選題
1．（2024·山東濟寧·一模）已知的內角的對邊分別為，且，，則面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·湖北武漢·三模）如圖，在中，M為線段的中點，G為線段上一點，，過點G的直線分別交直線，于P，Q兩點，，，則的最小值為（ ）．
A． B． C．3 D．9
二、多選題
3．（2023·廣東深圳·一模）已知拋物線C：的準線為，直線與C相交于A、B兩點，M為AB的中點，則（ ）
A．當時，以AB為直徑的圓與相交
B．當時，以AB為直徑的圓經過原點O
C．當時，點M到的距離的最小值為2
D．當時，點M到的距離無最小值
4．（22-23高三·廣東廣州·階段練習）“圓冪定理”是平面幾何中關于圓的一個重要定理，它包含三個結論，其中一個是相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等．如圖，已知圓O的半徑為2，點P是圓O內的定點，且，弦AC，BD均過點P，則下列說法正確的是（ ）
A．為定值
B．的取值范圍是
C．當時，為定值
D．時，的最大值為12
三、填空題
5．（2020·天津·高考真題）已知，且，則的最小值為 ．
6．（2023·天津和平·二模）設，，，若，，則的最大值為 ．
反思提升：
(1)當基本不等式與其他知識相結合時，往往是提供一個應用基本不等式的條件，然后利用常數代換法求最值.
(2)求參數的值或范圍時，要觀察題目的特點，利用基本不等式確定等號成立的條件，從而得到參數的值或范圍.
【考點3】基本不等式的實際應用
一、單選題
1．（21-22高二上·四川廣安·開學考試）疫情期間，為保障市民安全，要對所有街道進行消毒處理.某消毒裝備的設計如圖所示，為街道路面，為消毒設備的高，為噴桿，，，處是噴灑消毒水的噴頭，其噴灑范圍為路面，噴射角.若，，則消毒水噴灑在路面上的寬度的最小值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·黑龍江·二模）“不以規矩，不能成方圓”出自《孟子·離婁章句上》.“規”指圓規，“矩”指由相互垂直的長短兩條直尺構成的方尺，是古人用來測量、畫圓和方形圖案的工具，今有一塊圓形木板，按圖中數據，以“矩”量之，若將這塊圓形木板截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個內角滿足，則這塊四邊形木板周長的最大值為（ ）

A． B．
C． D．
二、多選題
3．（22-23高三·重慶沙坪壩·階段練習）加斯帕爾·蒙日（如圖甲）是18~19世紀法國著名的幾何學家，他在研究圓錐曲線時發現：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”（圖乙）．已知長方形R的四邊均與橢圓相切，則下列說法正確的是（ ）
A．橢圓C的離心率為 B．橢圓C的蒙日圓方程為
C．橢圓C的蒙日圓方程為 D．長方形R的面積最大值為18
4．（21-22高二上·江蘇蘇州·期末）如圖1，曲線C：為四葉玫瑰線，它是一個幾何虧格為零的代數曲線，這種曲線在苜蓿葉型立交橋的布局中有非常廣泛的應用.如圖2，苜蓿葉型立交橋有兩層，將所有原來需要穿越相交道路的轉向都由環形匝道來實現，即讓左轉車輛駛入環道后再自右側切向匯入主路，四條環形匝道就形成了苜蓿葉的形狀給出下列結論正確的是（　?。?br/>A．曲線C只有兩條對稱軸
B．曲線C僅經過1個整點（即橫、縱坐標均為整數的點）
C．曲線C上任意一點到坐標原點O的距離都不超過2
D．過曲線C上的任一點作兩坐標軸的垂線與兩坐標軸圍成的矩形面積最大值為2
三、填空題
5．（22-23高二下·江西九江·期末）在中國，周朝時期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，其中“弦”指的是直角三角形的斜邊.現將兩個全等的直角三角形拼接成一個矩形，若其中一個三角形“弦”的長度為，則該矩形周長的最大值為 .
6．（23-24高一上·江蘇蘇州·階段練習）中國宋代的數學家秦九韶曾提出“三斜求積術”，即假設在平面內有一個三角形，邊長分別為，，，三角形的面積可由公式求得，其中為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫-秦九韶公式，現有一個三角形的邊長滿足，則此三角形面積的最大值為 ．
反思提升：
(1)根據實際問題抽象出函數的解析式，再利用基本不等式求得函數的最值.
(2)解應用題時，一定要注意變量的實際意義及其取值范圍.
(3)在應用基本不等式求函數的最值時，若等號取不到，則可利用函數的單調性求解.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2023·北京西城·二模）設，，，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·天津·二模）已知拋物線的焦點為，拋物線上的點到的距離為6，雙曲線的左焦點在拋物線的準線上，過點向雙曲線的漸近線作垂線，垂足為，則與雙曲線兩個焦點構成的三角形面積的最大值為（ ）．
A．2 B． C． D．3
3．（2024·山西呂梁·二模）若函數，且的圖象所過定點恰好在橢圓上，則的最小值為（ ）
A．6 B．12 C．16 D．18
4．（2024·浙江嘉興·二模）若正數滿足，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．2
二、多選題
5．（2023·廣東深圳·模擬預測）已知a，b都是正實數，則下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24高一上·貴州畢節·期末）對于下列四種說法，其中正確的是（ ）
A．的最小值為4 B．的最小值為1
C．的最小值為4 D．最小值為
7．（2024·河南信陽·一模）已知正數滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
8．（2023·海南省直轄縣級單位·模擬預測）已知正數，滿足，若，則 ．
9．（2022·山西晉中·二模）若對任意，恒成立，則實數的取值范圍是 .
10．（2024·河南·三模）在中，角的對邊分別為，若，則的最小值為 ．
四、解答題
11．（2021·山西·一模）已知函數
（1）若不等式恒成立，求實數m的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，若為正實數，且三數之和為m的最大值，求證：
12．（2024·寧夏固原·一模）已知函數．
(1)解不等式；
(2)記（1）中不等式的解集為中的最大整數值為，若正實數滿足，求的最小值．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·陜西安康·模擬預測）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a，b，c成等比數列，以邊為直徑的圓的面積為，若的面積不小于，則的形狀為（ ）
A．等腰非等邊三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等邊三角形
二、多選題
2．（2024·湖北·三模）已知，則下列結論正確的有（ ）
A．的最大值為 B．的最小值為
C．的最小值為3 D．
三、填空題
3．（2024·全國·模擬預測）已知，，且，則的最小值是 ．
四、解答題
4．（2024·江西宜春·模擬預測）記的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．
(1)求的值；
(2)若外接圓的半徑為，且為銳角，求面積的最大值．
【培優篇】
一、單選題
1．（2024·山西晉城·一模）定義表示，，中的最小值．已知實數，，滿足，，則（ ）
A．的最大值是 B．的最大值是
C．的最小值是 D．的最小值是
二、多選題
2．（2023·全國·模擬預測）實數，滿足，則（ ）
A．
B．的最大值為
C．
D．的最大值為
三、填空題
3．（21-22高一下·湖南岳陽·期末）已知函數，若當方程有四個不等實根、、、，(＜＜＜) 時，不等式恒成立，則x1·x2= ，實數的最小值為 ．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
專題04 基本不等式（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 2
【考點突破】 9
【考點1】利用基本不等式求最值 9
【考點2】基本不等式的綜合應用 13
【考點3】基本不等式的實際應用 18
【分層檢測】 24
【基礎篇】 24
【能力篇】 31
【培優篇】 33
考試要求：
1.了解基本不等式的證明過程.
2.能用基本不等式解決簡單的最值問題.
3.掌握基本不等式在生活實際中的應用.
1.基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.
(2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時取等號.
(3)其中叫做正數a，b的算術平均數，叫做正數a，b的幾何平均數.
2.兩個重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當且僅當a＝b時取等號.
(2)ab≤(a，b∈R)，當且僅當a＝b時取等號.
3.利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正數，如果積xy等于定值P，那么當x＝y時，和x＋y有最小值2.
(2)已知x，y都是正數，如果和x＋y等于定值S，那么當x＝y時，積xy有最大值S2.
1.＋≥2(a，b同號)，當且僅當a＝b時取等號.
2.ab≤≤.
3.應用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某個條件，就會出錯.
4.在利用不等式求最值時，一定要盡量避免多次使用基本不等式.若必須多次使用，則一定要保證它們等號成立的條件一致.
一、單選題
1．（2021·浙江·高考真題）已知是互不相同的銳角，則在三個值中，大于的個數的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2021·全國·高考真題）已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上，則的最大值為（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
3．（2021·全國·高考真題）下列函數中最小值為4的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
4．（2022·全國·高考真題）若x，y滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2023·天津·高考真題）在中，，，記，用表示 ；若，則的最大值為 ．
6．（2022·全國·高考真題）已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時， ．
7．（2021·天津·高考真題）若，則的最小值為 ．
四、解答題
8．（2022·全國·高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
參考答案：
1．C
【分析】利用基本不等式或排序不等式得，從而可判斷三個代數式不可能均大于，再結合特例可得三式中大于的個數的最大值.
【詳解】法1：由基本不等式有，
同理，，
故，
故不可能均大于.
取，，，
則，
故三式中大于的個數的最大值為2，
故選：C.
法2：不妨設，則，
由排列不等式可得：
，
而，
故不可能均大于.
取，，，
則，
故三式中大于的個數的最大值為2，
故選：C.
【點睛】思路分析：代數式的大小問題，可根據代數式的積的特征選擇用基本不等式或拍雪進行放縮，注意根據三角變換的公式特征選擇放縮的方向.
2．C
【分析】本題通過利用橢圓定義得到，借助基本不等式即可得到答案．
【詳解】由題，，則，
所以（當且僅當時，等號成立）．
故選：C．
【點睛】
3．C
【分析】根據二次函數的性質可判斷選項不符合題意，再根據基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合題意，符合題意．
【詳解】對于A，，當且僅當時取等號，所以其最小值為，A不符合題意；
對于B，因為，，當且僅當時取等號，等號取不到，所以其最小值不為，B不符合題意；
對于C，因為函數定義域為，而，，當且僅當，即時取等號，所以其最小值為，C符合題意；
對于D，，函數定義域為，而且，如當，，D不符合題意．
故選：C．
【點睛】本題解題關鍵是理解基本不等式的使用條件，明確“一正二定三相等”的意義，再結合有關函數的性質即可解出．
4．BC
【分析】根據基本不等式或者取特值即可判斷各選項的真假．
【詳解】因為（R），由可變形為，，解得，當且僅當時，，當且僅當時，，所以A錯誤，B正確；
由可變形為，解得，當且僅當時取等號，所以C正確；
因為變形可得，設，所以，因此
，所以當時滿足等式，但是不成立，所以D錯誤．
故選：BC．
5．
【分析】空1：根據向量的線性運算，結合為的中點進行求解；空2：用表示出，結合上一空答案，于是可由表示，然后根據數量積的運算和基本不等式求解.
【詳解】空1：因為為的中點，則，可得，
兩式相加，可得到，
即，則；
空2：因為，則，可得，
得到，
即，即.
于是.
記，
則，
在中，根據余弦定理：，
于是，
由和基本不等式，，
故，當且僅當取得等號，
則時，有最大值.
故答案為：；.

6．/
【分析】設，利用余弦定理表示出后，結合基本不等式即可得解.
【詳解】[方法一]：余弦定理
設，
則在中，，
在中，，
所以
，
當且僅當即時，等號成立，
所以當取最小值時，.
故答案為：.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D為原點，OC為x軸，建立平面直角坐標系.
則C（2t,0），A（1，），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
設BD=x,CD=2x.由余弦定理得
，，
，，
令，則，
，
，
當且僅當，即時等號成立.
[方法四]：判別式法
設，則
在中，，
在中，，
所以，記，
則
由方程有解得：
即，解得：
所以，此時
所以當取最小值時，，即.

7．
【分析】兩次利用基本不等式即可求出.
【詳解】，
，
當且僅當且，即時等號成立，
所以的最小值為.
故答案為：.
8．(1)；
(2)．
【分析】（1）根據二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將化成，再結合，即可求出；
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式將化成，然后利用基本不等式即可解出．
【詳解】（1）因為，即，
而，所以；
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
當且僅當時取等號，所以的最小值為．
【考點1】利用基本不等式求最值
一、單選題
1．（2023·重慶·模擬預測）已知，，且，則的最小值為（ ）．
A．4 B．6 C．8 D．12
2．（22-23高二下·陜西榆林·期中）已知，則的最大值為（ ）
A． B． C．1 D．2
二、多選題
3．（23-24高三上·江蘇揚州·開學考試）下列命題中正確的是（ ）
A．的最小值是2
B．當時，的最小值是3
C．當時，的最大值是5
D．若正數滿足，則的最小值為3
4．（23-24高三上·甘肅·階段練習）已知，若，則（ ）
A．的最大值為 B．的最小值為1
C．的最小值為8 D．的最小值為
三、填空題
5．（22-23高一上·廣東梅州·期末）已知，，若，則的最小值為 .
6．（22-23高二下·福建三明·期中）已知實數，，則的最小值是 .
參考答案：
1．A
【分析】利用基本不等式和消元思想對本題目進行求解.
【詳解】解：已知，且xy+2x+y=6，
y=
2x+y=2x+=2(x+1)，當且僅當時取等號，
故2x+y的最小值為4.
故選:A
2．A
【分析】根據題意，利用基本不等式，即可求解.
【詳解】因為，
由基本不等式可得，可得，
當且僅當，即時，等號成立，所以的最大值為.
故選：A.
3．BCD
【分析】利用基本不等式對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】A選項，①，
但是無解，所以①等號不成立，所以A選項錯誤.
B選項，當時，，
，
當且僅當時等號成立，所以B選項正確.
C選項，當時，，
所以，
當且僅當時等號成立，所以C選項正確.
D選項，是正數，
，
當且僅當時等號成立，所以D選項正確.
故選：BCD
4．ACD
【分析】
AD選項，由基本不等式求出最值；B選項，化為，求出最小值；C選項，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【詳解】對于，由，即，
當且僅當，且，即時，取等號，所以A正確；
對于，因為，
當且僅當時，取到最小值，所以B錯誤；
對于C，因為，所以，
當且僅當，且，即，時，取等號，所以C正確；
對于，當且僅當，且，
即時，取等號，所以正確.
故選：ACD.
5．3
【分析】先移項，結合基本不等式把積化為和，可求答案
【詳解】因為，，，
所以，即；
因為，當且僅當時取到等號，
所以，
解得或（舍）
所以當時，有最小值3.
故答案為：3
6．3
【分析】構造成對勾函數的形式,結合基本不等式來解.
【詳解】,令,則,
當且僅當即時等號成立.故的最小值為3.
故答案為：3
反思提升：
1.利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數”或“積為常數”的形式.
2.常數代換法，主要解決形如“已知x＋y＝t(t為常數)，求＋的最值”的問題，先將＋轉化為·，再用基本不等式求最值.
3.當所求最值的代數式中的變量比較多時，通常考慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數”或“積為常數”的形式，最后利用基本不等式求最值.
4.構建目標式的不等式求最值，在既含有和式又含有積式的等式中，對和式或積式利用基本不等式，構造目標式的不等式求解.
【考點2】基本不等式的綜合應用
一、單選題
1．（2024·山東濟寧·一模）已知的內角的對邊分別為，且，，則面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·湖北武漢·三模）如圖，在中，M為線段的中點，G為線段上一點，，過點G的直線分別交直線，于P，Q兩點，，，則的最小值為（ ）．
A． B． C．3 D．9
二、多選題
3．（2023·廣東深圳·一模）已知拋物線C：的準線為，直線與C相交于A、B兩點，M為AB的中點，則（ ）
A．當時，以AB為直徑的圓與相交
B．當時，以AB為直徑的圓經過原點O
C．當時，點M到的距離的最小值為2
D．當時，點M到的距離無最小值
4．（22-23高三·廣東廣州·階段練習）“圓冪定理”是平面幾何中關于圓的一個重要定理，它包含三個結論，其中一個是相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等．如圖，已知圓O的半徑為2，點P是圓O內的定點，且，弦AC，BD均過點P，則下列說法正確的是（ ）
A．為定值
B．的取值范圍是
C．當時，為定值
D．時，的最大值為12
三、填空題
5．（2020·天津·高考真題）已知，且，則的最小值為 ．
6．（2023·天津和平·二模）設，，，若，，則的最大值為 ．
參考答案：
1．A
【分析】利用正弦定理對已知條件進行邊角轉化，求得，結合余弦定理以及不等式求得的最大值，再求三角形面積的最大值即可.
【詳解】因為，由正弦定理可得：，
即，，
又，，故；由，解得；
由余弦定理，結合，可得，
即，解得，當且僅當時取得等號；
故的面積，當且僅當時取得等號.
即的面積的最大值為.
故選：A.
2．B
【分析】先利用向量的線性運算得到，再利用三點共線的充要條件，得到，再利用基本不等式即可求出結果.
【詳解】因為M為線段的中點，所以，又因為，所以，
又，，所以，
又三點共線，所以，即，
所以，
當且僅當，即時取等號.
故選：B.
3．BC
【分析】將直線代入，結合韋達定理求得坐標、點到準線的距離及．當時，由可判斷A；當時，由可判斷B；當時，得的關系式，代入表達式，利用基本不等式可判斷C；當時，得的關系式，代入表達式，利用對勾函數的性質可判斷D．
【詳解】拋物線，準線方程是，
直線代入，可得，，
設，則，
，
，
設，則，
點到準線的距離，
，
當時，，點到準線的距離，則以AB為直徑的圓與相切，故A錯誤；
當時，，則，則以AB為直徑的圓經過原點O，故B正確；
當時，即，得，
則，當且僅當時等號成立，故C正確；
當時，即，得，
所以，令，
則，由對勾函數的性質得，當時，單調遞增，
故當時，取最小值，故D錯誤．
故選：BC．
4．ACD
【分析】根據所給定義可判斷A，利用數量積的運算律和向量的加法運算可判斷B，利用數量積的運算律和所給定義可判斷C，利用基本不等式可判斷D.
【詳解】如圖，設直線PO與圓O于E，F．則
，故A正確．
取AC的中點為M，連接OM，
則
，
而
故的取值范圍是故B錯誤；
當時，
，故C正確．
當時，圓O半徑取AC中點為，中點為，
則
，
最后等號成立是因為，
不等式等號成立當且僅當，故D正確．
故選:ACD.
5．4
【分析】根據已知條件，將所求的式子化為，利用基本不等式即可求解.
【詳解】，,
，當且僅當=4時取等號，
結合,解得，或時，等號成立.
故答案為：
【點睛】本題考查應用基本不等式求最值，“1”的合理變換是解題的關鍵，屬于基礎題.
6．3
【分析】由已知可解得，.根據換底公式可得，.根據基本不等式得出，然后根據對數運算性質即可得出答案.
【詳解】因為，所以，.
又，，
所以，.
因為，，根據基本不等式有，
當且僅當，即，時等號成立，
所以.
則，
所以的最大值為.
故答案為：.
反思提升：
(1)當基本不等式與其他知識相結合時，往往是提供一個應用基本不等式的條件，然后利用常數代換法求最值.
(2)求參數的值或范圍時，要觀察題目的特點，利用基本不等式確定等號成立的條件，從而得到參數的值或范圍.
【考點3】基本不等式的實際應用
一、單選題
1．（21-22高二上·四川廣安·開學考試）疫情期間，為保障市民安全，要對所有街道進行消毒處理.某消毒裝備的設計如圖所示，為街道路面，為消毒設備的高，為噴桿，，，處是噴灑消毒水的噴頭，其噴灑范圍為路面，噴射角.若，，則消毒水噴灑在路面上的寬度的最小值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·黑龍江·二模）“不以規矩，不能成方圓”出自《孟子·離婁章句上》.“規”指圓規，“矩”指由相互垂直的長短兩條直尺構成的方尺，是古人用來測量、畫圓和方形圖案的工具，今有一塊圓形木板，按圖中數據，以“矩”量之，若將這塊圓形木板截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個內角滿足，則這塊四邊形木板周長的最大值為（ ）

A． B．
C． D．
二、多選題
3．（22-23高三·重慶沙坪壩·階段練習）加斯帕爾·蒙日（如圖甲）是18~19世紀法國著名的幾何學家，他在研究圓錐曲線時發現：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”（圖乙）．已知長方形R的四邊均與橢圓相切，則下列說法正確的是（ ）
A．橢圓C的離心率為 B．橢圓C的蒙日圓方程為
C．橢圓C的蒙日圓方程為 D．長方形R的面積最大值為18
4．（21-22高二上·江蘇蘇州·期末）如圖1，曲線C：為四葉玫瑰線，它是一個幾何虧格為零的代數曲線，這種曲線在苜蓿葉型立交橋的布局中有非常廣泛的應用.如圖2，苜蓿葉型立交橋有兩層，將所有原來需要穿越相交道路的轉向都由環形匝道來實現，即讓左轉車輛駛入環道后再自右側切向匯入主路，四條環形匝道就形成了苜蓿葉的形狀給出下列結論正確的是（　?。?br/>A．曲線C只有兩條對稱軸
B．曲線C僅經過1個整點（即橫、縱坐標均為整數的點）
C．曲線C上任意一點到坐標原點O的距離都不超過2
D．過曲線C上的任一點作兩坐標軸的垂線與兩坐標軸圍成的矩形面積最大值為2
三、填空題
5．（22-23高二下·江西九江·期末）在中國，周朝時期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，其中“弦”指的是直角三角形的斜邊.現將兩個全等的直角三角形拼接成一個矩形，若其中一個三角形“弦”的長度為，則該矩形周長的最大值為 .
6．（23-24高一上·江蘇蘇州·階段練習）中國宋代的數學家秦九韶曾提出“三斜求積術”，即假設在平面內有一個三角形，邊長分別為，，，三角形的面積可由公式求得，其中為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫-秦九韶公式，現有一個三角形的邊長滿足，則此三角形面積的最大值為 ．
參考答案：
1．C
【分析】由已知利用三角形的面積公式可求，利用余弦定理，基本不等式可求，即可得解DE的最小值.
【詳解】解：到地面的距離，
因為，
則，即，
從而利用余弦定理得：，當且僅當時等式成立，
故DE，
則，當且僅當時等式成立，
故DE的最小值為.
故選：C.
2．A
【分析】利用余弦定理結合基本不等式可求周長的最大值.
【詳解】因為四邊形木板的一個內角滿足，如圖，

設，由題設可得圓的直徑為，
故，因，為三角形內角，故，
故，
故，
故，
故，當且僅當時等號成立，
同理，當且僅當等號成立，
故四邊形周長的最大值為，
故選：A.
3．CD
【分析】
由結合離心率公式判斷A；當長方體R的對稱軸恰好就是的對稱軸橢圓C時，求出蒙日圓的半徑，進而判斷BC；設長方體R的長為，寬為，由基本不等式判斷D.
【詳解】
由題意可知，則橢圓C的離心率為，故A錯誤；
當長方體R的對稱軸恰好就是橢圓C的對稱軸時，其長為寬為，
所以橢圓C的蒙日圓的半徑為，即橢圓C的蒙日圓方程為，故C正確，B錯誤；
設長方體R的長為，寬為，則，長方形R的面積為，
當且僅當時，取等號，即長方形R的面積最大值為18，故D正確；
故選：CD
4．BCD
【分析】對于A，由圖象可得答案，對于B，由圖象結合曲線方程判斷即可，對于C，由曲線方程結合基本不等式可判斷，對于D，利用基本不等式判斷
【詳解】因為曲線上任一點，關于軸的對稱點滿足曲線方程，關于軸的對稱點滿足曲線方程，關于直線的對稱點滿足曲線方程，關于直線的對稱點滿足曲線方程，所以可知曲線有4條對稱軸，所以A錯誤，
由，得，
所以，所以，當且僅當時等號成立，
所以曲線C上任意一點到坐標原點O的距離都不超過2，所以C正確，
由圖可知將第一象內的整數點分別代入曲線方程中，等號不成立，所以曲線在第一象限不經過整數點，由對稱性可知曲線只經過原點，所以曲線C僅經過1個整點，所以B正確，
由曲線的對稱性，在第一象限內的曲線上任取一點，則過這一點作兩坐標軸的垂線與兩坐標軸圍成的矩形面積為，當且僅當時等號成立，所以所圍成的矩形的面積的最大值為2，所以D正確，
故選：BCD
5．8
【分析】矩形的一組鄰邊長為，則該矩形的周長為，且，由基本不等式的結論可求的范圍，進而可求．
【詳解】解法一：設矩形的一組鄰邊長為，則該矩形的周長為，且，而，即，當且僅當時取等號，所以，即該矩形周長的最大值為8.
解法二：設矩形的一組鄰邊長為，則該矩形的周長為，且，由不等式得，當且僅當時取等號，所以，所以，即該矩形周長的最大值為8.
故答案為：8.
6．
【分析】由海倫秦九韶公式可得關于，的式子，再利用基本不等式求出得最大值．
【詳解】由，，可得，
則，
當且僅當時，取得等號，
所以此三角形面積的最大值為．
故答案為：．
反思提升：
(1)根據實際問題抽象出函數的解析式，再利用基本不等式求得函數的最值.
(2)解應用題時，一定要注意變量的實際意義及其取值范圍.
(3)在應用基本不等式求函數的最值時，若等號取不到，則可利用函數的單調性求解.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2023·北京西城·二模）設，，，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·天津·二模）已知拋物線的焦點為，拋物線上的點到的距離為6，雙曲線的左焦點在拋物線的準線上，過點向雙曲線的漸近線作垂線，垂足為，則與雙曲線兩個焦點構成的三角形面積的最大值為（ ）．
A．2 B． C． D．3
3．（2024·山西呂梁·二模）若函數，且的圖象所過定點恰好在橢圓上，則的最小值為（ ）
A．6 B．12 C．16 D．18
4．（2024·浙江嘉興·二模）若正數滿足，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．2
二、多選題
5．（2023·廣東深圳·模擬預測）已知a，b都是正實數，則下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24高一上·貴州畢節·期末）對于下列四種說法，其中正確的是（ ）
A．的最小值為4 B．的最小值為1
C．的最小值為4 D．最小值為
7．（2024·河南信陽·一模）已知正數滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
8．（2023·海南省直轄縣級單位·模擬預測）已知正數，滿足，若，則 ．
9．（2022·山西晉中·二模）若對任意，恒成立，則實數的取值范圍是 .
10．（2024·河南·三模）在中，角的對邊分別為，若，則的最小值為 ．
四、解答題
11．（2021·山西·一模）已知函數
（1）若不等式恒成立，求實數m的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，若為正實數，且三數之和為m的最大值，求證：
12．（2024·寧夏固原·一模）已知函數．
(1)解不等式；
(2)記（1）中不等式的解集為中的最大整數值為，若正實數滿足，求的最小值．
參考答案：
1．A
【分析】根據對數函數的性質、對數的運算法則及基本不等式判斷即可.
【詳解】因為，，
又，，所以，
且，所以，
所以.
故選：A
2．A
【分析】利用拋物線的定義及焦半徑公式先求，再由雙曲線的性質，基本不等式計算即可.
【詳解】設雙曲線右焦點，易知，，
即，而雙曲線的一條漸近線為，
易知，所以，
由雙曲線的性質可知，
由基本不等式可知，當且僅當時取得等號.
故選：A
3．C
【分析】根據對數函數性質求出定點，根據定點在橢圓上，將定點代入橢圓方程，得到m與n的等量關系，再利用基本不等式即可求解.
【詳解】由題意得，函數，且的圖象所過定點為，則，
所以，
當且僅當，即時等號成立.
故選：C.
4．A
【分析】根據題意可得，利用基本不等式求解.
【詳解】由可得，
，
當且僅當，即時，等號成立，此時符合題意.
所以的最小值為.
故選：A.
5．AC
【分析】AB選項，利用基本不等式求出最小值，得到A正確，B錯誤；C選項，作差法比較出大小關系；D選項，先變形后利用基本不等式進行求解.
【詳解】A選項，因為a，b都是正實數，故，
當且僅當，即時，等號成立，A正確；
B選項，因為a，b都是正實數，故，
當且僅當，即時，等號成立，B錯誤；
C選項，，故恒成立，C正確；
D選項，a是正實數，故，其中，
故，當且僅當，即時，等號成立，D錯誤.
故選：AC
6．BD
【分析】根據題意，結合基本不等式，以及對勾函數的性質，逐項判定，即可求解.
【詳解】對于A中，由，
當且僅當時，即，顯然不成立，所以A錯誤；
對于B中，由，
當且僅當，即時，等號成立，所以B正確；
對于C中，由，令，
可得，則函數在為單調遞減函數，
所以，所以C不正確；
對于D中，由，令，
可得，根據對勾函數的性質，可得在為單調遞增函數，
所以，所以D正確.
故選：BD.
7．AD
【分析】選項A，將等式應用基本不等式求解即可；選項B、C，檢驗特殊情況時的結果即可判斷；選項D，原不等式等價于，應用基本不等式可得.
【詳解】對于選項A，，則，
當且僅當時等號成立，故A正確；
對于選項B，應用重要不等式得：（時取得等號），
接選項A中，當時取得等號，
（當時能取得等號），
即的最小值為，與矛盾，故B錯誤；
對于選項C，因為，則
，
其中，當取得等號，
則，即的最小值為，
且，故C錯誤；
對于選項D，，
且，得：，
而，當且僅當時等號成立，
即，故D正確；
故選：AD．
8．6
【分析】化簡不等式，利用基本不等式求出，即可得出的值.
【詳解】由題意，由，得，
即，故．
又，所以，
當且僅當即時，等號成立，
此時，解得或，則，
所以.
故答案為：.
9．
【分析】先分離參數，再運用基本不等式可求解.
【詳解】因為對任意，恒成立，只需滿足，
因為，所以，當且僅當，即時取等號.
故實數的取值范圍是.
故答案為：
10．
【分析】是的邊長，所以它們是正數，利用乘“1”法結合基本不等式即可求解.
【詳解】因為，
所以
，
當且僅當，即時等號成立，故的最小值為．
故答案為：.
11．（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）化簡函數的解析式，分類討論求得函數最值，即可求解；
（2）由（1）知，結合基本不等式，得到，進而得到，即可求解.
【詳解】（1）由題意，函數，
當時，可得；
當時，可得；
當時，可得，
所以函數的值域為，
因為不等式恒成立，則，即實數m的取值范圍.
（2）由（1）知，
因為，
可得，
所以，
即，
所以，當且僅當時取“=”號.
12．(1)
(2)
【分析】（1）將函數寫成分段函數，分段解不等式，再求各個解集的并集即得；
（2）由（1）得，運用常值代換法，將配湊成，利用基本不等式即可求得.
【詳解】（1）由
當時，由可得，則得，故；
當時，由可得，則得，故；
當時，由可得，則得，故.
綜上可得：的解集為.
（2）由（1）可得，依題，，即，則因，
由，當且僅當時取等號，
由可得，即當，時，取得最小值為.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·陜西安康·模擬預測）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a，b，c成等比數列，以邊為直徑的圓的面積為，若的面積不小于，則的形狀為（ ）
A．等腰非等邊三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等邊三角形
二、多選題
2．（2024·湖北·三模）已知，則下列結論正確的有（ ）
A．的最大值為 B．的最小值為
C．的最小值為3 D．
三、填空題
3．（2024·全國·模擬預測）已知，，且，則的最小值是 ．
四、解答題
4．（2024·江西宜春·模擬預測）記的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．
(1)求的值；
(2)若外接圓的半徑為，且為銳角，求面積的最大值．
參考答案：
1．D
【分析】根據題意可得，，由，得即，又由余弦定理結合基本不等式得，所以，此時，得解.
【詳解】根據題意可得，，，
，又，則，
又，所以，
由余弦定理得，，
所以，當且僅當時等號成立，所以，此時，
所以，即為等邊三角形.
故選：D.
2．BD
【分析】對于ABC根據題意利用基本不等式分析判斷；對于D，整理可得，構建函數，，利用導數判斷函數單調性，結合單調性分析即可判斷.
【詳解】因為，
對于A，因為，當且僅當時，等號成立，
但，可得，則，
可得，可知不為的最大值，故A錯誤；
對于B，因為，
當且僅當，即，時，等號成立，
所以的最小值為，故B正確；
對于C，因為，則，
即，則
，
當且僅當，即，時，等號成立，
這與題干不符，故3不為的最小值，故C錯誤；
對于D，由題意可知：，，則，
構建函數，，則，在內恒成立，
可知在內單調遞減，則，
所以，故D正確；
故選：BD.
3．/．
【分析】利用 “1”的巧用及基本不等式即可求解.
【詳解】由，得，
因為，，
所以，
所以，
當且僅當，即，時，等號成立，
所以的最小值是．
故答案為：．
4．(1)
(2)8
【分析】（1）結合正弦定理、兩角和正弦公式化簡題目已知條件即可求出a的邊長.
（2）利用正弦定理以及先求出，再利用余弦定理和基本不等式求出的最大值即可求解.
【詳解】（1）由題得．
所以．
所以，又，所以，
由正弦定理得，因為，所以.
（2）由正弦定理得，所以，
又為銳角．所以，
由余弦定理得，
所以，當且僅當時取等號，
所以的面積.
故面積的最大值為8.
【培優篇】
一、單選題
1．（2024·山西晉城·一模）定義表示，，中的最小值．已知實數，，滿足，，則（ ）
A．的最大值是 B．的最大值是
C．的最小值是 D．的最小值是
二、多選題
2．（2023·全國·模擬預測）實數，滿足，則（ ）
A．
B．的最大值為
C．
D．的最大值為
三、填空題
3．（21-22高一下·湖南岳陽·期末）已知函數，若當方程有四個不等實根、、、，(＜＜＜) 時，不等式恒成立，則x1·x2= ，實數的最小值為 ．
參考答案：
1．B
【分析】由題先分析出實數，，一負兩正，然后利用基本不等式放縮求出最小值的最大值即可.
【詳解】因為，所以在，，中，負數的個數為1或3，
又，所以在，，中，1個為負數，2個為正數，不妨設，則．
因為，所以，因為，所以，則，
故的最大值是，無最小值．
故選：B.
2．ACD
【分析】對于A選項，利用基本不等式即可判斷；對于B選項，利用參數方程即可求解；對于C選項，利用B選項即可求解；對于D選項，令即可求解,
【詳解】對于A選項，由，得，
所以，當且僅當時取“=”，故A正確；
對于B選項，令且，則，
其中，，
又，所以的最大值為1，
所以的最大值，故B錯誤；
對于C選項，由B中的分析知，，
其中，，
又，所以，故C正確；
對于D選項，令，
則，
且，所以當時，取最大，
故D正確.
故選：ACD.
3． 1
【分析】根據分段函數性質畫出的圖象，結合題設，應用數形結合及對
數函數的性質可得，利用對數的運算易得，由對稱性可得
，再應用參變分離有恒成立，構造
，利用換元法結合基本不等式求最值，即可求的最小值.
【詳解】當時，，
∴，如下圖示：
∴、 、對應A、B、C、D的橫坐標，
由，故，因為，又
得
故答題空1的答案為：.
由對稱性同理可得：，
又因為
得：，，
分離參數得：，
設，
令，則，，則，
再令（）
則，
∴（當且僅當時取“=”），
∴，即，
∴，即實數的最小值為.
故答題空2的答案為：.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑