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8．一元二次方程解法及應(yīng)用
1、 填空題
1.（2009重慶綦江）一元二次方程x2=16的解是 ．
【關(guān)鍵詞】一元二次方程
【答案】，
2.（2009威海）若關(guān)于的一元二次方程的一個根是，則另一個根是______．
【關(guān)鍵詞】一元二次方程
【答案】1
3．（2009山西省太原市）某種品牌的手機(jī)經(jīng)過四、五月份連續(xù)兩次降價(jià)，每部售價(jià)由
3200元降到了2500元．設(shè)平均每月降價(jià)的百分率為，根據(jù)題意列出的方程是 ．
解析：本題考查一元二次方程的增長率問題，由題意可得方程200．
【關(guān)鍵詞】一元二次方程應(yīng)用
【答案】200
4.（2009年江蘇省）某縣2008年農(nóng)民人均年收入為7 800元，計(jì)劃到2010年，農(nóng)民人均年收入達(dá)到9 100元．設(shè)人均年收入的平均增長率為，則可列方程 ．
【關(guān)鍵詞】一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用
【答案】
5．（2009年甘肅慶陽）若關(guān)于x的方程的一個根是0，則 ．
【關(guān)鍵詞】一元二次方程組的解法
【答案】1
6.某果農(nóng)2006年的年收入為5萬元，由于黨的惠農(nóng)政策的落實(shí)，2008年年收入增加到7.2萬元，則平均每年的增長率是__________.
【關(guān)鍵詞】一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用
【答案】20%
7.（2009年包頭）將一條長為20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長各做成一個正方形，則這兩個正方形面積之和的最小值
是 cm2．
【答案】：或
8.（2009年莆田）已知和的半徑分別是一元二次方程的兩根，且則和的位置關(guān)系是 ．
【關(guān)鍵詞】圓、一元二次方程、圓與圓位置關(guān)系
【答案】：相交
9.（2009年莆田）出售某種文具盒，若每個獲利元，一天可售出個，
則當(dāng) 元時，一天出售該種文具盒的總利潤
【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)、最大值
【答案】：3
10.(2009年本溪)11．由于甲型H1N1流感（起初叫豬流感）的影響，在一個月內(nèi)豬肉價(jià)格兩次大幅下降．由原來每斤16元下調(diào)到每斤9元，求平均每次下調(diào)的百分率是多少？設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為，則根據(jù)題意可列方程為 ．
【關(guān)鍵詞】列方程
【答案】
11．(2009年溫州)方程(x-1)2=4的解是
【關(guān)鍵詞】解一元二次方程
【答案】x1=3,x2=-1.
12．（2009臨沂）某制藥廠兩年前生產(chǎn)1噸某種藥品的成本是100萬元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，現(xiàn)在生產(chǎn)1噸這種藥品的成本為81萬元，．則這種藥品的成本的年平均下降率為______________．
【關(guān)鍵詞】二元一次方程
【答案】10%
13．（2009年哈爾濱）如果2是一元二次方程x2＋bx＋2＝0的一個根，那么常數(shù)b的值為 ．
【關(guān)鍵詞】一元二次方程的根
【答案】－3 .把2代入此方程可解得：b=－3
14、（2009年蘭州）閱讀材料：設(shè)一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的兩根為x1，x2，則兩根與方程系數(shù)之間有如下關(guān)系：x1+x2＝－，x1·x2＝.根據(jù)該材料填空：已知x1、x2是方程
x2+6x+3＝0的兩實(shí)數(shù)根，則+的值為 ．
【關(guān)鍵詞】一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系
【答案】10
15．(2009年寧德市)方程的解是______________．
【關(guān)鍵詞】一元二次方程的解
【答案】x1=0, x2=4
16．（2009年赤峰市）已知關(guān)于x的方程x2-3x+2k=0的一個根是1，則k=
17、（2009年崇左）分解因式： ．
【關(guān)鍵詞】利用求根方法因式分解
【答案】
18．（2009年崇左）一元二次方程的一個根為，則另一個根為 ．
【關(guān)鍵詞】利用一元二次方程的根的定義可得，或利用根與系數(shù)的關(guān)系可得。
【答案】
19．（2009年湖北十堰市）方程(x＋2)(x－1)=0的解為 ．
【關(guān)鍵詞】解一元二次方程
【答案】－2，1；－2或1(x=－2，x=1或)
20．（2009年山東青島市）某公司2006年的產(chǎn)值為500萬元，2008年的產(chǎn)值為720萬元，則該公司產(chǎn)值的年平均增長率為 ．
【關(guān)鍵詞】一元二次方程的應(yīng)用
【答案】20%
21．（2009年山西省）請你寫出一個有一根為1的一元二次方程： ．
【關(guān)鍵詞】解一元二次方程；一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
【答案】答案不唯一，如
22．（2009年山西省）請你寫出一個有一根為1的一元二次方程： ．
【關(guān)鍵詞】解一元二次方程；一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
【答案】答案不唯一，如
2、 選擇題
23．（2009年黃石市）三角形兩邊的長是3和4，第三邊的長是方程的根，則該三角形的周長為（ ）
A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不對
【關(guān)鍵詞】解一元二次方程；三角形三邊關(guān)系
【答案】B
24．（2009年鐵嶺市）為了美化環(huán)境，某市加大對綠化的投資．2007年用于綠化投資20萬元，2009年用于綠化投資25萬元，求這兩年綠化投資的年平均增長率．設(shè)這兩年綠化投資的年平均增長率為，根據(jù)題意所列方程為（ ）
A． B．
C． D．
【關(guān)鍵詞】一元二次方程的應(yīng)用
【答案】C
25．（2009年安徽）某市2008年國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）比2007年增長了12%，由于受到國際金融危機(jī)的影響，預(yù)計(jì)今年比2008年增長7%，若這兩年GDP年平均增長率為x%，則x%滿足的關(guān)系是…………………………【 】
A． B．
C． D．
【關(guān)鍵詞】一元二次方程的應(yīng)用
【答案】D
26．(2009武漢)5．已知是一元二次方程的一個解，則的值是（ ）
A． B． C．0 D．0或
【關(guān)鍵詞】二次根式化簡
【答案】A
27.(2009成都)若關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是
(A) (B) 且 (c) (D) 且
【關(guān)鍵詞】一元二次方程根的判別式
【答案】B
28．（2009年湖南長沙）已知關(guān)于的方程的一個根為，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】本題考查了一元二次方程的根。因?yàn)閤=3是原方程的根，所以將x=3代入原方程，原方程成立，即成立，解得k=1。故選A。
29.（2009山西省太原市）用配方法解方程時，原方程應(yīng)變形為（ ）
A． B．
C． D．
解析：本題考查配方，，，，故選B．
【關(guān)鍵詞】配方
【答案】B
30. （2009襄樊市）為了改善居民住房條件，我市計(jì)劃用未來兩年的時間，將城鎮(zhèn)居民的住房面積由現(xiàn)在的人均約為提高到若每年的年增長率相同，則年增長率為
（ ）
A． 　　B．　　C． D．
解析：本題考查方程解決增長率問題，設(shè)年增長率，可列方程，解得，（舍去），所以年增長率10%，故選B。
【關(guān)鍵詞】一元二次方程的應(yīng)用
【答案】B
31（2009呼和浩特）用配方法解方程，則方程可變形為（ ）
A． B．
C． D．
【關(guān)鍵詞】解一元二次方程
32（2009青海）方程的兩個根是等腰三角形的底和腰，則這個三角形的周長為（ ）
A．12 B．12或15 C．15 D．不能確定
【關(guān)鍵詞】一元二次方程的應(yīng)用
【答案】C
33（2009青海）在一幅長為80cm，寬為50cm的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條相同寬度的金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖5所示，如果要使整個掛圖的面積是5400cm2，設(shè)金色紙邊的寬為cm，那么滿足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
關(guān)鍵詞：一元二次方程的應(yīng)用
答案：B
34. （2009襄樊市）如圖5，在中，于且是一元二次方程的根，則的周長為（ ）
A． B． C． D．
解析：本題考查平行四邊形及一元二次方程的有關(guān)知識，∵是一元二次方程的根，∴，∴AE=EB=EC=1，∴AB=，BC=2，∴的周長為，故選A。
【關(guān)鍵詞】一元二次方程的解法、平行四邊形的性質(zhì)
【答案】A
35.（2009年臺州市）用配方法解一元二次方程的過程中，配方正確的是（ ）
A．（ B． C． D．
【關(guān)鍵詞】解一元二次方程
【答案】D
36．（2009年甘肅慶陽）如圖3，在寬為20米、長為30米的矩形地面上修建兩條同樣寬的道路，余下部分作為耕地．若耕地面積需要551米2，則修建的路寬應(yīng)為（　　）
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
( http: / / www. / )
【關(guān)鍵詞】一元二次方程的應(yīng)用
【答案】A
37．（2009年甘肅慶陽）方程的根是（　　）
A． B． C． D．
【關(guān)鍵詞】一元二次方程
【答案】C
38.（2009年河南）方程=x的解是 【 】
（A）x=1 （B）x=0
(C) x1=1 x2=0 (D) x1=﹣1 x2=0
【關(guān)鍵詞】解方程
【答案】C
39.(2009年鄂州)10、某農(nóng)機(jī)廠四月份生產(chǎn)零件50萬個，第二季度共生產(chǎn)零件182萬個.設(shè)該廠五、六月份
平均每月的增長率為x，那么x滿足的方程是（ ）
A、 B．
C、50(1+2x)＝182 D．
【關(guān)鍵詞】一元二次方程的應(yīng)用(增長率)
【答案】B
40.（2009江西）為了讓江西的山更綠、水更清，2008年省委、省政府提出了確保到2010年實(shí)現(xiàn)全省森林覆蓋率達(dá)到63%的目標(biāo)，已知2008年我省森林覆蓋率為60.05%，設(shè)從2008年起我省森林覆蓋率的年平均增長率為，則可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【關(guān)鍵詞】一元二次方程的應(yīng)用
【答案】D
41. （2009年煙臺市）設(shè)是方程的兩個實(shí)數(shù)根，則的值為（ ）
A．2006 B．2007 C．2008 D．2009
【關(guān)鍵詞】一元二次方程
【答案】C
42.（2009年清遠(yuǎn)）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【關(guān)鍵詞】解一元二次方程
【答案】A
43.（2009年衡陽市）兩圓的圓心距為3，兩圓的半徑分別是方程的兩個根，則兩圓的位置關(guān)系是 （ ）
A．相交 B．外離 C．內(nèi)含 D．外切
【關(guān)鍵詞】一元二次方程的解法
【答案】A
44．（2009年日照）若n（）是關(guān)于x的方程的根，則m+n的值為
A.1 B.2 C.-1 D.-2
【關(guān)鍵詞】一元二次方程根的意義,因式分解
【答案】D.
45.（2009年長沙）已知關(guān)于的方程的一個根為，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．1 B． C．2 D．
【關(guān)鍵詞】一元二次方程、根
【答案】：A
46.（2009年包頭）關(guān)于的一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根分別是，且，則的值是（ C ）
A．1 B．12 C．13 D．25
【關(guān)鍵詞】一元二次方程、根與系數(shù)關(guān)系
【關(guān)鍵詞】面積、最小值
47.(2009寧夏)2．某旅游景點(diǎn)三月份共接待游客25萬人次，五月份共接待游客64萬人次，設(shè)每月的平均增長率為，則可列方程為（ ）A
A． B．
C． D．
【關(guān)鍵詞】列方程
【答案】A
48．（2009眉山）若方程的兩根為、，則的值為( )
A．3 B．－3 C． D．
【關(guān)鍵詞】一元二次方程
【答案】B
49．（2009東營）若n（）是關(guān)于x的方程的根，則m+n的值為（ ）
（A）1 （B）2 （C）-1 （D）-2
【關(guān)鍵詞】一元二次方程
【答案】D
50．(2009年南充)方程的解是（ ）
A． B． C．或 D．或
【關(guān)鍵詞】解一元二次方程
【答案】D
51.（2009年蘭州）2008年爆發(fā)的世界金融危機(jī)，是自上世紀(jì)三十年代以來世界最嚴(yán)重的一場金融危機(jī)。受金融危機(jī)的影響，某商品原價(jià)為200元，連續(xù)兩次降價(jià)后售價(jià)為148元，下面所列方程正確的是
A． B．
C． D．
【關(guān)鍵詞】一元二次方程、增長率
【答案】B
52.（2009年濟(jì)南）若是一元二次方程的兩個根，則的值是（ ）
A．　　　　B．　　　　C．　　　D．
【關(guān)鍵詞】一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系
【答案】B
53．(2009年濰坊)已知關(guān)于的一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根是，且，則的值是（ ）
A．8 B． C．6 D．5
【關(guān)鍵詞】一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系
【答案】D
54．(2009年濰坊)關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則整數(shù)的最大值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【關(guān)鍵詞】一元二次方程根的判別法
【答案】C
55.．(2009年咸寧市)方程的解為（ ）
A． B． C． D．
【關(guān)鍵詞】一元二次方程的解
【答案】D
56．（2009年黃石市）三角形兩邊的長是3和4，第三邊的長是方程的根，則該三角形的周長為（ ）
A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不對
【關(guān)鍵詞】解一元二次方程；三角形三邊關(guān)系
【答案】B
57. (2009年云南省)一元二次方程的解是（ ）
A．x1 = 0 ，x2 = B． x1 = 0 ，x2 =
C．x1 = 0 ，x2 = D． x1= 0 ，x2 = ( http: / / www. / )
【關(guān)鍵詞】一元二次方程
【答案】A
3、 解答題
58.（2009仙桃）解方程：．
【關(guān)鍵詞】一元二次方程
【答案】解：
∴
59．（2009年山西省）解方程：
【關(guān)鍵詞】解一元二次方程
【答案】解：移項(xiàng)，得配方，得
∴∴
60．（2009年赤峰市）某工廠今年3月份的產(chǎn)值為100萬元，由于受國際金融風(fēng)暴的影響，5月份的產(chǎn)值下降到81萬元，求平均每月產(chǎn)值下降的百分率。
61.（2009年常德市）常德市工業(yè)走廊南起漢壽縣太子廟鎮(zhèn)，北至桃源縣盤塘鎮(zhèn)創(chuàng)元工業(yè)園．在這一走廊內(nèi)的工業(yè)企業(yè)2008年完成工業(yè)總產(chǎn)值440億元，如果要在2010年達(dá)到743.6億元，那么2008年到2010年的工業(yè)總產(chǎn)值年平均增長率是多少？《常德工業(yè)走廊建設(shè)發(fā)展規(guī)劃綱要（草案）》確定2012年走廊內(nèi)工業(yè)總產(chǎn)值要達(dá)到1200億元，若繼續(xù)保持上面的增長率，該目標(biāo)是否可以完成？
【關(guān)鍵詞】年平均增長率
【答案】設(shè)2008年到2010年的年平均增長率為 x ，則
化簡得 ： ， （舍去）
答：2008年到2010年的工業(yè)總產(chǎn)值年平均增長率為 30%，若繼續(xù)保持上面的增長率，
在2012年將達(dá)到1200億元的目標(biāo)．
62.(2009武漢)17．解方程：．
【關(guān)鍵詞】解一元二次方程
【答案】解：，
，
．
(2009年上海市)20．解方程組：
【關(guān)鍵詞】解二元二次方程組
【答案】或
63.(2009年義烏)解方程。
【關(guān)鍵詞】一元二次方程的解法
【答案】；
64．（2009年甘肅白銀）（6分）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算“”，其法則為：，求方程（43）的解．
【關(guān)鍵詞】實(shí)數(shù)概念；一元二次方程
【答案】 本小題滿分6分
解：∵ ， ∴ ．
∴ ． ∴ ．
∴ ．
65．（2009年甘肅慶陽）（8分）某企業(yè)2006年盈利1500萬元，2008年克服全球金融危機(jī)的不利影響，仍實(shí)現(xiàn)盈利2160萬元．從2006年到2008年，如果該企業(yè)每年盈利的年增長率相同，求：
（1）該企業(yè)2007年盈利多少萬元？
（2）若該企業(yè)盈利的年增長率繼續(xù)保持不變，預(yù)計(jì)2009年盈利多少萬元？
【關(guān)鍵詞】一元二次方程的應(yīng)用
【答案】本小題滿分8分
解：（1）設(shè)每年盈利的年增長率為，
根據(jù)題意，得．
解得（不合題意，舍去）．
．
答：2007年該企業(yè)盈利1800萬元．
（2） ．
答：預(yù)計(jì)2009年該企業(yè)盈利2592萬元．
66.(2009年鄂州)22、關(guān)于x的方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.
(1)求k的取值范圍。
(2)是否存在實(shí)數(shù)k，使方程的兩個實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于0 若存在，求出k的值；若不存在，說明理由
【關(guān)鍵詞】一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用
【答案】（1）由△=(k+2)2－4k·＞0 ∴k＞－1
又∵k≠0 ∴k的取值范圍是k＞－1，且k≠0
（2）不存在符合條件的實(shí)數(shù)k
理由：設(shè)方程kx2+(k+2)x+=0的兩根分別為x1、x2，由根與系數(shù)關(guān)系有：
x1+x2=，x1·x2=，
又 則 =0 ∴
由（1）知，時，△＜0，原方程無實(shí)解
∴不存在符合條件的k的值。
67.（2009年廣西梧州）解方程：
【關(guān)鍵詞】解一元二次方程
【答案】
解:
或
即或
68.(2009年甘肅定西)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算“”，其法則為：，求方程（43）的解．
【關(guān)鍵詞】，新定義運(yùn)算；解一元二次方程.
【答案】
解：∵ ， ∴ ．
∴ ． ∴ ．
∴ ．,
69.（2009年新疆）解方程：．
【關(guān)鍵詞】解一元二次方程
【答案】,,或,
70.（2009年天津市）如圖①，要設(shè)計(jì)一幅寬20cm，長30cm的矩形圖案，其中有兩橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為2∶3，如果要使所有彩條所占面積為原矩形圖案面積的三分之一，應(yīng)如何設(shè)計(jì)每個彩條的寬度？
分析：由橫、豎彩條的寬度比為2∶3，可設(shè)每個橫彩條的寬為，則每個豎彩條的寬為．為更好地尋找題目中的等量關(guān)系，將橫、豎彩條分別集中，原問題轉(zhuǎn)化為如圖②的情況，得到矩形．
結(jié)合以上分析完成填空：如圖②，用含的代數(shù)式表示：
= ____________________________cm；=____________________________cm；
矩形的面積為_____________cm；列出方程并完成本題解答．
【關(guān)鍵詞】一元二次方程的應(yīng)用
【答案】(Ⅰ）；
（Ⅱ）根據(jù)題意，得.整理，得.解方程，得（不合題意，舍去）.則．答：每個橫、豎彩條的寬度分別為cm，cm.
71．（2009年廣東省）某種電腦病毒傳播非常快，如果一臺電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會有81臺電腦被感染．請你用學(xué)過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會不會超過700臺？
【關(guān)鍵詞】一元二次方程的應(yīng)用
【答案】解：設(shè)每輪感染中平均每一臺電腦會感染臺電腦，依題意得：
1+，
，
或，
或（舍去），
．
答：每輪感染中平均每一臺電腦會感染8臺電腦，3輪感染后，被感染的電腦會超過700臺．
72．（2009年廣東省）小明用下面的方法求出方程的解，請你仿照他的方法求出下面另外兩個方程的解，并把你的解答過程填寫在下面的表格中．
方程 換元法得新方程 解新方程 檢驗(yàn) 求原方程的解
令則 所以
【關(guān)鍵詞】解一元二次方程；換元法
【答案】解：
方程 換元法得新方程 解新方程 檢驗(yàn) 求原方程的解
令，則……1分 ……2分 （舍去）……3分 ，所以．……4分
令，則……6分 ……7分 （舍去）……8分 ，所以．……9分
73．（2009年蘭州）用配方法解一元二次方程：
【關(guān)鍵詞】解一元二次方程的配方法
【答案】解：移項(xiàng)，得，二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得
配方，，由此可得，，
74.（2009年包頭）某商場試銷一種成本為每件60元的服裝，規(guī)定試銷期間銷售單價(jià)不低于成本單價(jià)，且獲利不得高于45%，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量（件）與銷售單價(jià)（元）符合一次函數(shù)，且時，；時，．
（1）求一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若該商場獲得利潤為元，試寫出利潤與銷售單價(jià)之間的關(guān)系式；銷售單價(jià)定為多少元時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是多少元？
（3）若該商場獲得利潤不低于500元，試確定銷售單價(jià)的范圍．
【關(guān)鍵詞】一次函數(shù)、二次函數(shù)、最大值
解：（1）根據(jù)題意得解得．
所求一次函數(shù)的表達(dá)式為．
（2）
，
拋物線的開口向下，當(dāng)時，隨的增大而增大，
而，
當(dāng)時，．
當(dāng)銷售單價(jià)定為87元時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是891元．
（3）由，得，
整理得，，解得，．
由圖象可知，要使該商場獲得利潤不低于500元，銷售單價(jià)應(yīng)在70元到110元之間，而，所以，銷售單價(jià)的范圍是．
75.. (2009年湖州)隨著人民生活水平的不斷提高，我市家庭轎車的擁有量逐年增加.據(jù)統(tǒng)計(jì)，某小區(qū)2006年底擁有家庭轎車64輛，2008年底家庭轎車的擁有量達(dá)到100輛.
（1） 若該小區(qū)2006年底到2009年底家庭轎車擁有量的年平均增長率都相同，求該小區(qū)到2009年底家庭轎車將達(dá)到多少輛？
（2） 為了緩解停車矛盾，該小區(qū)決定投資15萬元再建造若干個停車位.據(jù)測算，建造費(fèi)用分別為室內(nèi)車位5000元/個，露天車位1000元/個，考慮到實(shí)際因素，計(jì)劃露天車位的數(shù)量不少于室內(nèi)車位的2倍，但不超過室內(nèi)車位的2.5倍，求該小區(qū)最多可建兩種車位各多少個？試寫出所有可能的方案.
【關(guān)鍵詞】一元二次方程解決應(yīng)用題，二元一次方程及不等式解決問題，方案題
【答案】(1)設(shè)家庭轎車擁有量的年平均增長率為，則：
，
解得：%，（不合題意，舍去），
.
答：該小區(qū)到2009年底家庭轎車將達(dá)到125輛．
(2)設(shè)該小區(qū)可建室內(nèi)車位個，露天車位個，則：
由①得：=150-5代入②得： HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.DSMT4 ，
是正整數(shù)，=20或21，
當(dāng)時，當(dāng)時.
方案一：建室內(nèi)車位20個，露天車位50個；方案二：室內(nèi)車位21個，露天車位45個.
76．（2009年中山）某種電腦病毒傳播非常快，如果一臺電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會有81臺電腦被感染．請你用學(xué)過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會不會超過700臺？
【關(guān)鍵詞】一元二次方程的應(yīng)用
【答案】解：設(shè)每輪感染中平均每一臺電腦會感染臺電腦，依題意得：
，
，
或，
（舍去），
．
答：每輪感染中平均每一臺電腦會感染8臺電腦，3輪感染后，被感染的電腦會超過700臺．
77.（2009年寧波市）2009年4月7日，國務(wù)院公布了《醫(yī)藥衛(wèi)生體制改革近期重點(diǎn)實(shí)施方案（2009~2011年》，某市政府決定2009年投入6000萬元用于改善醫(yī)療衛(wèi)生服務(wù)，比2008年增加了1250萬元．投入資金的服務(wù)對象包括“需方”（患者等）和“供方”（醫(yī)療衛(wèi)生機(jī)構(gòu)等），預(yù)計(jì)2009年投入“需方”的資金將比2008年提高30%，投入“供方”的資金將比2008年提高20%．
（1）該市政府2008年投入改善醫(yī)療衛(wèi)生服務(wù)的資金是多少萬元？
（2）該市政府2009年投入“需方”和“供方”的資金各多少萬元？
（3）該市政府預(yù)計(jì)2011年將有7260萬元投入改善醫(yī)療衛(wèi)生服務(wù)，若從2009~2011年每年的資金投入按相同的增長率遞增，求2009~2011年的年增長率．
【關(guān)鍵詞】一元二次方程的應(yīng)用
【答案】解：（1）該市政府2008年投入改善醫(yī)療服務(wù)的資金是：
（萬元）
（2）設(shè)市政府2008年投入“需方”萬元，投入“供方”萬元，
由題意得
解得
2009年投入“需方”資金為（萬元），
2009年投入“供方”資金為（萬元）．
答：該市政府2009年投入“需方”3900萬元，投入“供方”2100萬元．
（3）設(shè)年增長率為，由題意得
，
解得，（不合實(shí)際，舍去）
答：從2009~2011年的年增長率是10%．
78.(2009年濰坊)要對一塊長60米、寬40米的矩形荒地進(jìn)行綠化和硬化．
（1）設(shè)計(jì)方案如圖①所示，矩形P、Q為兩塊綠地，其余為硬化路面，P、Q兩塊綠地周圍的硬化路面寬都相等，并使兩塊綠地面積的和為矩形面積的，求P、Q兩塊綠地周圍的硬化路面的寬．
（2）某同學(xué)有如下設(shè)想：設(shè)計(jì)綠化區(qū)域?yàn)橄嗤馇械膬傻葓A，圓心分別為和，且到的距離與到的距離都相等，其余為硬化地面，如圖②所示，這個設(shè)想是否成立？若成立，求出圓的半徑；若不成立，說明理由．
解：（1）設(shè)兩塊綠地周圍的硬化路面的寬都為米，根據(jù)題意，得：
解之，得：
經(jīng)檢驗(yàn)，不符合題意，舍去．
所以，兩塊綠地周圍的硬化路面寬都為10米．
（2）設(shè)想成立．設(shè)圓的半徑為米，到的距離為米，根據(jù)題意，得：
解得：．符合實(shí)際．
所以，設(shè)想成立，此時，圓的半徑是10米．
79．（2009年廣東省）某種電腦病毒傳播非常快，如果一臺電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會有81臺電腦被感染．請你用學(xué)過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會不會超過700臺？
【關(guān)鍵詞】一元二次方程的應(yīng)用
【答案】解：設(shè)每輪感染中平均每一臺電腦會感染臺電腦，依題意得：
1+，
，
或，
或（舍去），
．
答：每輪感染中平均每一臺電腦會感染8臺電腦，3輪感染后，被感染的電腦會超過700臺．
80．（2009年廣東省）小明用下面的方法求出方程的解，請你仿照他的方法求出下面另外兩個方程的解，并把你的解答過程填寫在下面的表格中．
方程 換元法得新方程 解新方程 檢驗(yàn) 求原方程的解
令則 所以
【關(guān)鍵詞】解一元二次方程；換元法
【答案】解：
方程 換元法得新方程 解新方程 檢驗(yàn) 求原方程的解
令，則……1分 ……2分 （舍去）……3分 ，所以．……4分
令，則……6分 ……7分 （舍去）……8分 ，所以．……9分
81．（2009年山西省）解方程：
【關(guān)鍵詞】解一元二次方程
【答案】解：移項(xiàng)，得配方，得
∴∴
（注：此題還可用公式法，分解因式法求解，請參照給分）
82（2009年衢州）2009年5月17日至21日，甲型H1N1流感在日本迅速蔓延，每天的新增病例和累計(jì)確診病例人數(shù)如圖所示．
(1)　在5月17日至5月21日這5天中，日本新增甲型H1N1流感病例最多的是哪一天？該天增加了多少人？
(2)　在5月17日至5月21日這5天中，日本平均每天新增加甲型H1N1流感確診病例多少人？如果接下來的5天中，繼續(xù)按這個平均數(shù)增加，那么到5月26日，日本甲型H1N1流感累計(jì)確診病例將會達(dá)到多少人？
(3)　甲型H1N1流感病毒的傳染性極強(qiáng)，某地因1人患了甲型H1N1流感沒有及時隔離治療，經(jīng)過兩天傳染后共有9人患了甲型H1N1流感，每天傳染中平均一個人傳染了幾個人？如果按照這個傳染速度，再經(jīng)過5天的傳染后，這個地區(qū)一共將會有多少人患甲型H1N1流感？
【關(guān)鍵詞】折線統(tǒng)計(jì)圖
【答案】解：(1)　18日新增甲型H1N1流感病例最多，增加了75人；
(2)　平均每天新增加人，
繼續(xù)按這個平均數(shù)增加，到5月26日可達(dá)52.6×5+267=530人；
(3)　設(shè)每天傳染中平均一個人傳染了x個人，則
，，
解得(x = -4舍去)．
再經(jīng)過5天的傳染后，這個地區(qū)患甲型H1N1流感的人數(shù)為
(1+2)7=2 187（或1+2+6+18+54+162+486+1 458=2 187），
即一共將會有2 187人患甲型H1N1流感．
83.（2009年舟山）2009年5月17日至21日，甲型H1N1流感在日本迅速蔓延，每天的新增病例和累計(jì)確診病例人數(shù)如圖所示．
(1)　在5月17日至5月21日這5天中，日本新增甲型H1N1流感病例最多的是哪一天？該天增加了多少人？
(2)　在5月17日至5月21日這5天中，日本平均每天新增加甲型H1N1流感確診病例多少人？如果接下來的5天中，繼續(xù)按這個平均數(shù)增加，那么到5月26日，日本甲型H1N1流感累計(jì)確診病例將會達(dá)到多少人？
(3)　甲型H1N1流感病毒的傳染性極強(qiáng)，某地因1人患了甲型H1N1流感沒有及時隔離治療，經(jīng)過兩天傳染后共有9人患了甲型H1N1流感，每天傳染中平均一個人傳染了幾個人？如果按照這個傳染速度，再經(jīng)過5天的傳染后，這個地區(qū)一共將會有多少人患甲型H1N1流感？
【關(guān)鍵詞】折線統(tǒng)計(jì)圖
【答案】解：(1)　18日新增甲型H1N1流感病例最多，增加了75人；
(2)　平均每天新增加人，
繼續(xù)按這個平均數(shù)增加，到5月26日可達(dá)52.6×5+267=530人；
(3)　設(shè)每天傳染中平均一個人傳染了x個人，則
，，
解得(x = -4舍去)．
再經(jīng)過5天的傳染后，這個地區(qū)患甲型H1N1流感的人數(shù)為
(1+2)7=2 187（或1+2+6+18+54+162+486+1 458=2 187），
即一共將會有2 187人患甲型H1N1流感．
84.（2009年益陽市）如圖11，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的長.
小萍同學(xué)靈活運(yùn)用軸對稱知識，將圖形進(jìn)行翻折變換，巧妙地解答了此題.
請按照小萍的思路，探究并解答下列問題：
(1)分別以AB、AC為對稱軸，畫出△ABD、△ACD的軸對稱圖形，D點(diǎn)的對稱點(diǎn)為E、F，延長EB、FC相交于G點(diǎn)，證明四邊形AEGF是正方形；
(2)設(shè)AD=x，利用勾股定理，建立關(guān)于x的方程模型，求出x的值.
【關(guān)鍵詞】軸對稱、一元二次方程
【答案】(1)證明：由題意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF .
∴∠DAB＝∠EAB ，∠DAC＝∠FAC ，又∠BAC＝45°，
∴∠EAF＝90°.
又∵AD⊥BC
∴∠E＝∠ADB＝90°∠F＝∠ADC＝90°.
又∵AE＝AD，AF＝AD
∴AE＝AF.
∴四邊形AEGF是正方形.
(2)解：設(shè)AD＝x，則AE＝EG＝GF＝x.
∵BD＝2，DC＝3
∴BE＝2 ，CF＝3
∴BG＝x－2，CG＝x－3.
在Rt△BGC中，BG2＋CG2＝BC2
∴( x－2)2＋(x－3)2＝52.
化簡得，x2－5x－6＝0
解得x1＝6，x2＝－1（舍）
所以AD＝x＝6.
85．（09湖北宜昌）【實(shí)際背景】
預(yù)警方案確定:
設(shè)．如果當(dāng)月W<6，則下個月要采取措施防止“豬賤傷農(nóng)”．
【數(shù)據(jù)收集】
今年2月～5月玉米、豬肉價(jià)格統(tǒng)計(jì)表
月 份 2 3 4 5
玉米價(jià)格(元/500克) 0.7 0.8 0.9 1
豬肉價(jià)格(元/500克) 7.5 m 6.25 6
【問題解決】
(1)若今年3月的豬肉價(jià)格比上月下降的百分?jǐn)?shù)與5月的豬肉價(jià)格比上月下降的百分?jǐn)?shù)相等，求3月的豬肉價(jià)格m；
(2)若今年6月及以后月份，玉米價(jià)格增長的規(guī)律不變，而每月的豬肉價(jià)格按照5月的豬肉價(jià)格比上月下降的百分?jǐn)?shù)繼續(xù)下降，請你預(yù)測7月時是否要采取措施防止“豬賤傷農(nóng)”；
(3)若今年6月及以后月份，每月玉米價(jià)格增長率是當(dāng)月豬肉價(jià)格增長率的2倍，而每月的豬肉價(jià)格增長率都為a，則到7月時只用5.5元就可以買到500克豬肉和500克玉米．請你預(yù)測8月時是否要采取措施防止“豬賤傷農(nóng)”．
【關(guān)鍵詞】分式方程、一元二次方程解法及應(yīng)用、閱讀理解題、一次函數(shù)的實(shí)際問題
【答案】解：（1）由題意， ，
解得： m=7.2．
（2）從2月~5月玉米的價(jià)格變化知，后一個月總是比前一個月價(jià)格每500克增長0.1元．
（或：設(shè)y＝kx+b，將（2，0.7），（3，0.8）代入，得到y(tǒng)=0.1x+0.5，把（4，0.9），
∴6月玉米的價(jià)格是：1.1元/500克;
∵5月增長率： HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.DSMT4 ，∴6月豬肉的價(jià)格：6(1－)=5.76元/500克.
∴W==5.24<6， 要采取措施．
（3）7月豬肉價(jià)格是：元/500克； 7月玉米價(jià)格是：元/500克；
由題意，+=5.5，
解得， ． 不合題意，舍去．
∴， ，∴不(或：不一定)需要采取措施．
86．（09湖南懷化）如圖11，已知二次函數(shù)的圖象與軸相交于兩個不同的點(diǎn)、，與軸的交點(diǎn)為．設(shè)的外接圓的圓心為點(diǎn)．
（1）求與軸的另一個交點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如果恰好為的直徑，且的面積等于，求和的值．
【關(guān)鍵詞】分式方程、一元二次方程解法及應(yīng)用、閱讀理解題、一次函數(shù)的實(shí)際問題
【答案】解 （1）易求得點(diǎn)的坐標(biāo)為
由題設(shè)可知是方程即 的兩根，所以，所
如圖3，∵⊙P與軸的另一個交點(diǎn)為D，由于AB、CD是⊙P的兩條相交弦，設(shè)它們的交點(diǎn)為點(diǎn)O，連結(jié)DB，∴△AOC∽△DOC，則
由題意知點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，從而點(diǎn)D在軸的正半軸上，
所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1）
（2）因?yàn)锳B⊥CD， AB又恰好為⊙P的直徑，則C、D關(guān)于點(diǎn)O對稱，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，即）
又，
所以解得
87．（09湖南懷化）如圖12，在直角梯形OABC中， OA∥CB，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（15，0），B（10，12），動點(diǎn)P、Q分別從O、B兩點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒2個單位的速度沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動，點(diǎn)Q以每秒1個單位的速度沿BC向C運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動時，點(diǎn)Q也同時停止運(yùn)動．線段OB、PQ相交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥OA，交AB于點(diǎn)E，射線QE交軸于點(diǎn)F．設(shè)動點(diǎn)P、Q運(yùn)動時間為t（單位：秒）．
（1）當(dāng)t為何值時，四邊形PABQ是等腰梯形，請寫出推理過程；
（2）當(dāng)t=2秒時，求梯形OFBC的面積；
（3）當(dāng)t為何值時，△PQF是等腰三角形？請寫出推理過程．
【關(guān)鍵詞】一元二次方程解法及應(yīng)用、勾股定理及逆定理、等腰三角形、等腰梯形的判定
【答案】解：（1）如圖4，過B作
則
過Q作
則
要使四邊形PABQ是等腰梯形，則，
即
或（此時是平行四邊形，不合題意，舍去）
（2）當(dāng)時，。
（3）①當(dāng)時，則
②當(dāng)時，
即
③當(dāng)時，
綜上，當(dāng)時，△PQF是等腰三角形．
88．（09湖南邵陽）如圖（十二），直線的解析式為，它與軸、軸分別相交于兩點(diǎn)．平行于直線的直線從原點(diǎn)出發(fā)，沿軸的正方形以每秒1個單位長度的速度運(yùn)動，它與軸、軸分別相交于兩點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動時間為秒（）．
（1）求兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）用含的代數(shù)式表示的面積；
（3）以為對角線作矩形，記和重合部分的面積為，
①當(dāng)時，試探究與之間的函數(shù)關(guān)系式；
②在直線的運(yùn)動過程中，當(dāng)為何值時，為面積的？
【關(guān)鍵詞】直角坐標(biāo)系、一元二次方程解法及應(yīng)用
【答案】解 （1）當(dāng)時，；當(dāng)時，．；
（2），；
（3）①當(dāng)時，易知點(diǎn)在的外面，則點(diǎn)的坐標(biāo)為,
點(diǎn)的坐標(biāo)滿足即，
同理，則，
所以
；
②當(dāng)時，，
解得兩個都不合題意，舍去；
當(dāng)時，，解得，
綜上得，當(dāng)或時，為的面積的．
89．（2009年新疆烏魯木齊市）有一批圖形計(jì)算器，原售價(jià)為每臺800元，在甲、乙兩家公司銷售．甲公司用如下方法促銷：買一臺單價(jià)為780元，買兩臺每臺都為760元．依此類推，即每多買一臺則所買各臺單價(jià)均再減20元，但最低不能低于每臺440元；乙公司一律按原售價(jià)的75%促銷．某單位需購買一批圖形計(jì)算器：
（1）若此單位需購買6臺圖形計(jì)算器，應(yīng)去哪家公司購買花費(fèi)較少？
（2）若此單位恰好花費(fèi)7 500元，在同一家公司購買了一定數(shù)量的圖形計(jì)算器，請問是在哪家公司購買的，數(shù)量是多少？
【關(guān)鍵詞】一元二次方程的應(yīng)用
【答案】解：（1）在甲公司購買6臺圖形計(jì)算器需要用（元）；在乙公司購買需要用（元）（元）．應(yīng)去乙公司購買； 3分
（2）設(shè)該單位買臺，若在甲公司購買則需要花費(fèi)元；若在乙公司購買則需要花費(fèi)元；
①若該單位是在甲公司花費(fèi)7 500元購買的圖形計(jì)算器，
則有，解之得．
當(dāng)時，每臺單價(jià)為，符合題意，
當(dāng)時，每臺單價(jià)為，不符合題意，舍去． 10分
②若該單位是在乙公司花費(fèi)7 500元購買的圖形計(jì)算器，則有，解之得，不符合題意，舍去．
故該單位是在甲公司購買的圖形計(jì)算器，買了15臺． 12分
A
D
C
B
P
Q
D
C
A
B
圖①
O1
O2
圖②
A
D
C
EC
B
圖5
20cm
20cm
30cm
D
C
A
B
圖②
圖①
30cm
累計(jì)確診病例人數(shù)
新增病例人數(shù)
0
4
21
96
163
193
267
17
75
67
30
74
16
17
18
19
20
21
日本2009年5月16日至5月21日
甲型H1N1流感疫情數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)圖
人數(shù)(人)
0
50
100
150
200
250
300
日期
累計(jì)確診病例人數(shù)
新增病例人數(shù)
0
4
21
96
163
193
267
17
75
67
30
74
16
17
18
19
20
21
日本2009年5月16日至5月21日
甲型H1N1流感疫情數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)圖
人數(shù)(人)
0
50
100
150
200
250
300
日期
B
C
A
E
G
D
F
圖11
O
M
A
P
N
y
l
m
x
B
O
M
A
P
N
y
l
m
x
B
E
P
F
圖十二
圖5
PAGE
14
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