資源簡介

重難點03 平面向量與復數
考點一 平面向量的概念及線性運算
考點二 平面向量基本定理及坐標表示
考點三 平面向量的數量積
考點四 平面向量的綜合應用
考點五 復數的運算
考點六 復數的幾何意義
考點一：平面向量
一、平面向量的線性運算
1．向量的有關概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小稱為向量的模(或長度)．
(2)零向量：始點和終點相同的向量稱為零向量，記作0．
(3)單位向量：模等于1的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共線向量，規定：零向量與任意向量平行．
(5)相等的向量：大小相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：大小相等且方向相反的向量．
2．向量的線性運算
向量運算 法則(或幾何意義) 運算律
加法 交換律：a＋b＝b＋a； 結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
減法 a－b＝a＋(－b)
數乘 |λa|＝|λ||a|，當λ>0時，λa的方向與a的方向相同； 當λ<0時，λa的方向與a的方向相反； 當λ＝0時，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共線向量基本定理
如果a≠0，且b∥a，則存在唯一的實數λ，使得b＝λa.
平面向量基本定理及坐標表示
1．平面向量基本定理
如果平面內兩個向量a與b不共線，則對該平面內任意一個向量c，存在唯一的實數對(x，y)，使得c＝xa＋yb.平面內不共線的兩個向量a與b組成該平面上向量的一組基底，記為{a，b}．
2．平面向量的正交分解
如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就稱這組基底為正交基底；在正交基底下向量的分解稱為向量的正交分解．
3．平面向量的坐標運算
(1)向量加法、減法、數乘運算及向量的模
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐標的求法
①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標．
②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
4．平面向量共線的坐標表示
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b x1y2－x2y1＝0.
三、平面向量的數量積
1.向量的夾角
給定兩個非零向量a，b，在平面內任選一點O，作＝a，＝b，則稱[0，π]內的∠AOB為向量a與向量b的夾角，記作〈a，b〉.
2.平面向量的數量積
一般地，當a與b都是非零向量時，稱|a||b|·cos〈a，b〉為向量a與b的數量積(也稱內積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
3.平面向量數量積的幾何意義
(1)設非零向量＝a，過A，B分別作直線l的垂線，垂足分別為A′，B′(如圖)，則稱向量為向量a在直線l上的投影向量或投影.
(2)給定平面上的一個非零向量b，設b所在的直線為l，則a在直線l上的投影稱為a在向量b上的投影，如圖，向量a在向量b上的投影為.一個向量在一個非零向量上的投影，一定與這個非零向量共線，它們的方向既有可能相同，也有可能相反.
(3)一般地，如果a，b都是非零向量，則稱|a|·cos〈a，b〉為向量a在向量b上的投影的數量，投影的數量與投影的長度有關，投影的數量既可能是非負數，也可能是負數.a·b等于a在b上的投影的數量與b的模的乘積，即a·b＝(|a|cos〈a，b〉)|b|.特別地a·e＝|a|cos〈a，e〉，其中e為單位向量.
4．向量數量積的運算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量數量積的有關結論
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.
幾何表示 坐標表示
數量積 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2
模 |a|＝ |a|＝
夾角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充要條件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
|a·b|與|a||b|的關系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤
題型1 平面向量的概念及線性運算
1．（23-24高三上·天津南開·階段練習）是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，若，，且，則（ ）.
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·天津·期中）已知在所在平面內，，、分別為線段、的中點，直線與相交于點，若，則（ ）
A．的最小值為
B．的最小值為
C．的最大值為
D．的最大值為
3．（22-23高一下·天津和平·期末）蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物．巢房是嚴格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底，由三個相同的菱形組成．巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜．如圖是一個蜂巢的正六邊形開口，下列說法不正確的是（ ）

A． B．
C． D．在上的投影向量為
4．（2023·天津南開·二模）在中，，，為所在平面內的動點，且，則的最大值為（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
5．（21-22高三上·天津北辰·期中）在中，點滿足，若存在點，使得，且，則（ ）
A． B．2 C．1 D．
1、平行向量有關概念的四個關注點 (1)非零向量的平行具有傳遞性． (2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關． (3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等的向量． (4)是與a同方向的單位向量． 2、平面向量線性運算的常見類型及解題策略 (1)向量求和用平行四邊形法則或三角形法則；求差用向量減法的幾何意義． (2)求參數問題可以通過向量的運算將向量表示出來，進行比較，求參數的值．
題型2 平面向量基本定理及坐標運算
6．（23-24高三上·天津武清·階段練習）在中，，E是線段上的動點（與端點不重合），設，則的最小值是（ ）
A．10 B．4 C．7 D．13
7．（23-24高三上·天津濱海新·階段練習）已知是的重心，且，則（ ）
A． B．1 C．2 D．3
8．（2023·天津和平·一模）如圖，在中，，，P為CD上一點，且滿足，若，則的最小值為（ ）
A．2 B．3 C． D．
9．（20-21高三上·天津河北·階段練習）已知是邊長的等邊三角形，點D，E分別是，上的點，且，，連接DE并延長到點F，使，則的值為（ ）
A．6 B．18 C． D．
10．（19-20高三下·天津濱海新·階段練習）如圖，，點由射線、線段及的延長線圍成的陰影區域內（不含邊界）.且，則實數對可以是（ ）
A． B． C． D．
一、(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數乘運算． (2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決． 二、(1)利用向量的坐標運算解題，主要是利用加法、減法、數乘運算法則，然后根據“兩個向量相等當且僅當它們的坐標對應相等”這一原則，化歸為方程(組)進行求解． (2)向量的坐標表示使向量運算代數化，成為數與形結合的載體，可以使很多幾何問題的解答轉化為我們熟知的數量運算． 二、
題型3 平面向量的數量積
11．（23-24高三上·天津·期末）已知，，m為實數，若，則向量在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
12．（23-24高三上·天津河北·期末）如圖，在平行四邊形中，與交于點，是線段的中點，的延長線與交于點.若，則等于（ ）

A． B． C． D．
13．（23-24高三上·天津東麗·階段練習）如圖，是由三個全等的鈍角三角形和一個小的正三角形拼成一個大的正三角形，若，，點M為線段上的動點，則的最大值為（ ）

A． B． C．6 D．10
14．（2014·河南開封·一模）若，且，則與的夾角是（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·天津河西·模擬預測）在中，，，，設，，，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
1、計算平面向量數量積的主要方法 (1)利用定義：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)利用坐標運算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2. (3)利用基底法求數量積． (4)靈活運用平面向量數量積的幾何意義． 2、(1)求平面向量的模的方法 ①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2； ②幾何法：利用向量的幾何意義． (2)求平面向量的夾角的方法 ①定義法：cos θ＝； ②坐標法． (3)兩個向量垂直的充要條件 a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．
題型4 平面向量的綜合應用
16．（2024·天津·一模）已知平行四邊形的面積為，，且.若F為線段上的動點，且，則實數的值為 ；的最小值為 .
17．（2024·天津·一模）在平行四邊形中，是線段的中點，點滿足，若設，，則可用表示為 ；點是線段上一點，且，若，則的最大值為 .
18．（2024·天津和平·一模）青花瓷，常簡稱青花，代表了我國古代勞動人民智慧的結晶，是中國瓷器的主流品種之一.圖一是一個由波濤紋和葡萄紋構成的正六邊形青花瓷盤，已知圖二中正六邊形的邊長為，圓的圓心為正六邊形的中心，半徑為，若點在正六邊形的邊上運動，動點在圓上運動且關于圓心對稱.（i）請用表示 ；（ii）請寫出的取值范圍 .
19．（2024·天津河西·一模）在中，D是AC邊的中點，，，，則 ；設M為平面上一點，且，其中，則的最小值為 ．
20．（2024·天津·一模）在中，，則 ；若點為所在平面內的動點，且滿足，則的取值范圍是 ．
21．（2024·天津河東·一模）已知，如圖所示，點為中點，點滿足，記，用表示 ；當時 ．

22．（2024·天津南開·一模）平面四邊形ABCD中，，E為BC的中點，用和表示 ；若，則的最小值為
23．（23-24高三下·天津和平·開學考試）在中，M是邊BC的中點，N是線段BM的中點．設，，記，則 ；若，的面積為，則當 時，取得最小值．
24．（23-24高三上·天津·期末）在矩形中，，，，，過M點作交于N點，若E，F分別是和上動點，且，則的最小值為 .
25．（2023·天津紅橋·一模）如圖所示，在中，點為邊上一點，且，過點的直線與直線相交于點，與直線相交于點（，交兩點不重合）.若，則 ，若，，則的最小值為 .
考點二：復數
1．復數的有關概念
(1)復數的定義：一般地，當a與b都是實數時，稱a＋bi為復數．其中i稱為虛數單位，滿足i2＝－1.
(2)復數的分類：
復數z＝a＋bi(a，b∈R)
(3)復數相等：
a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共軛復數：
a＋bi與c＋di互為共軛復數 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)復數的模：
向量的長度稱為復數z＝a＋bi的模(或絕對值)，記作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．
2．復數的幾何意義
(1)復數z＝a＋bi(a，b∈R)復平面內的點Z(a，b)．
(2)復數z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3．復數的四則運算
(1)復數的加、減、乘、除運算法則：
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)幾何意義：復數加、減法可按向量的平行四邊形法則或三角形法則進行．
如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復數加、減法的幾何意義，即＝＋，＝－.
題型1 復數的運算
1．（2024·天津·一模）若復數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·天津·開學考試）已知復數滿足（為虛數單位），則（ ）
A．3 B． C．5 D．
3．（23-24高三上·天津武清·階段練習）若復數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
4．（19-20高三上·天津北辰·期中）是虛數單位，則（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23高二下·全國·階段練習）若復數，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·天津·一模）已知是虛數單位，化簡的結果為 .
7．（2024·天津南開·一模）i是虛數單位，復數，則的虛部為
8．（2024·天津和平·一模）i為虛數單位，復數則 .
9．（2024·天津河東·一模）是復數單位，化簡的結果為 ．
10．（23-24高三上·天津·期末）設，則的共軛復數為 ．
1、對復數為純虛數理解不透徹，對于復數為純虛數，往往容易忽略虛部不等于0； 2、兩個復數不能直接比大小，但如果成立，等價于。 (1)復數的乘法：復數乘法類似于多項式的乘法運算． (2)復數的除法：除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數．
題型2 復數的幾何意義
11．（23-24高三上·天津紅橋·階段練習）已知為虛數單位，則在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
12．（19-20高三上·天津寧河·階段練習）若復數在復平面內對應的點在第二象限，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
13．（2020·天津·一模）已知復數滿足，則在復平面內與復數對應的點的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
14．（20-21高三上·天津南開·期中）已知i為虛數單位，復數，則z在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
15．（2019·天津·一模）已知復數，且復數在復平面內對應的點關于實軸對稱，則
A． B． C． D．
16．（2023高三·天津·專題練習）已知復數（是虛數單位），則復數在復平面內對應的點位于第 象限．
17．（2022·天津和平·二模）復數：滿足（是虛數單位），則復數z在復平面內所表示的點的坐標為 .
18．（20-21高三上·天津靜海·階段練習）若復數滿足，其中為虛數單位，則在復平面內所對應的點位于第 象限．
19．（18-19高三·天津南開·階段練習）若復數滿足，其中為虛數單位，則的共軛復數在復平面內對應點的坐標為 ．
20．（2018·天津·一模）復數，，則在復平面內所對應的點位于第 象限．
復數與復平面內的點、平面向量存在一一對應關系，兩個復數差的模可以理解為兩點之間的距離. 由于復數、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數、向量與解析幾何聯系在一起，解題時可運用數形結合的方法，使問題的解決更加直觀．重難點03 平面向量與復數
考點一 平面向量的概念及線性運算
考點二 平面向量基本定理及坐標表示
考點三 平面向量的數量積
考點四 平面向量的綜合應用
考點五 復數的運算
考點六 復數的幾何意義
考點一：平面向量
一、平面向量的線性運算
1．向量的有關概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小稱為向量的模(或長度)．
(2)零向量：始點和終點相同的向量稱為零向量，記作0．
(3)單位向量：模等于1的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共線向量，規定：零向量與任意向量平行．
(5)相等的向量：大小相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：大小相等且方向相反的向量．
2．向量的線性運算
向量運算 法則(或幾何意義) 運算律
加法 交換律：a＋b＝b＋a； 結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
減法 a－b＝a＋(－b)
數乘 |λa|＝|λ||a|，當λ>0時，λa的方向與a的方向相同； 當λ<0時，λa的方向與a的方向相反； 當λ＝0時，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共線向量基本定理
如果a≠0，且b∥a，則存在唯一的實數λ，使得b＝λa.
平面向量基本定理及坐標表示
1．平面向量基本定理
如果平面內兩個向量a與b不共線，則對該平面內任意一個向量c，存在唯一的實數對(x，y)，使得c＝xa＋yb.平面內不共線的兩個向量a與b組成該平面上向量的一組基底，記為{a，b}．
2．平面向量的正交分解
如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就稱這組基底為正交基底；在正交基底下向量的分解稱為向量的正交分解．
3．平面向量的坐標運算
(1)向量加法、減法、數乘運算及向量的模
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐標的求法
①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標．
②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
4．平面向量共線的坐標表示
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b x1y2－x2y1＝0.
三、平面向量的數量積
1.向量的夾角
給定兩個非零向量a，b，在平面內任選一點O，作＝a，＝b，則稱[0，π]內的∠AOB為向量a與向量b的夾角，記作〈a，b〉.
2.平面向量的數量積
一般地，當a與b都是非零向量時，稱|a||b|·cos〈a，b〉為向量a與b的數量積(也稱內積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
3.平面向量數量積的幾何意義
(1)設非零向量＝a，過A，B分別作直線l的垂線，垂足分別為A′，B′(如圖)，則稱向量為向量a在直線l上的投影向量或投影.
(2)給定平面上的一個非零向量b，設b所在的直線為l，則a在直線l上的投影稱為a在向量b上的投影，如圖，向量a在向量b上的投影為.一個向量在一個非零向量上的投影，一定與這個非零向量共線，它們的方向既有可能相同，也有可能相反.
(3)一般地，如果a，b都是非零向量，則稱|a|·cos〈a，b〉為向量a在向量b上的投影的數量，投影的數量與投影的長度有關，投影的數量既可能是非負數，也可能是負數.a·b等于a在b上的投影的數量與b的模的乘積，即a·b＝(|a|cos〈a，b〉)|b|.特別地a·e＝|a|cos〈a，e〉，其中e為單位向量.
4．向量數量積的運算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量數量積的有關結論
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.
幾何表示 坐標表示
數量積 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2
模 |a|＝ |a|＝
夾角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充要條件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
|a·b|與|a||b|的關系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤
題型1 平面向量的概念及線性運算
1．（23-24高三上·天津南開·階段練習）是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，若，，且，則（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量加減、數乘幾何意義用表示出，即可得結果.
【詳解】由題設
，
所以，即，
又，故.
故選：A
2．（23-24高三上·天津·期中）已知在所在平面內，，、分別為線段、的中點，直線與相交于點，若，則（ ）
A．的最小值為
B．的最小值為
C．的最大值為
D．的最大值為
【答案】D
【分析】
利用向量的線性運算和數量積的公式，結合基本不等式求最值即可.
【詳解】
，且為線段的中點，
所以,
則,,
設,
則，
且和共線，，
所以，.
故為線段的中點,且,
所以,
且,若，
則,
即,
故,當且僅當時，等號成立；
,當的最大時, 即最小時，
此時，
.
故選：D
3．（22-23高一下·天津和平·期末）蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物．巢房是嚴格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底，由三個相同的菱形組成．巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜．如圖是一個蜂巢的正六邊形開口，下列說法不正確的是（ ）

A． B．
C． D．在上的投影向量為
【答案】A
【分析】對A，利用向量的減法和相反向量即可判斷；對B，根據向量的加法平行四邊形法則即可判斷；對C，利用平面向量的數量積運算即可判斷；對D，利用向量的幾何意義的知識即可判斷．
【詳解】連接，與交于點，如圖所示，
對于A：，顯然由圖可得與為相反向量，故A錯誤；
對于B：由圖易得，直線平分角，且為正三角形，根據平行四邊形法則有，與共線且同方向，
易知，均為含角的直角三角形，
故，，即，
所以，
又因為，故，
故，故B正確；
對于C：設正六邊形的邊長為，
則，，
所以，故C正確；
對于D：易知，則在上的投影向量為，故D正確，
故選：A．

4．（2023·天津南開·二模）在中，，，為所在平面內的動點，且，則的最大值為（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】A
【分析】求出，由已知求出點的軌跡為圓，再由平面向量的平行四邊形法則得出，的最大值即圓心到定點的距離加上半徑，代入化簡求值即可．
【詳解】，，所以，則，
又因為，
所以，所以
由可得，點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，
取的中點，則，
所以，
故選：A
5．（21-22高三上·天津北辰·期中）在中，點滿足，若存在點，使得，且，則（ ）
A． B．2 C．1 D．
【答案】A
【分析】由可得，又，結合已知得，從而可得結果.
【詳解】，
∴，
，可得，
∵
∴則.
故選：A.
1、平行向量有關概念的四個關注點 (1)非零向量的平行具有傳遞性． (2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關． (3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等的向量． (4)是與a同方向的單位向量． 2、平面向量線性運算的常見類型及解題策略 (1)向量求和用平行四邊形法則或三角形法則；求差用向量減法的幾何意義． (2)求參數問題可以通過向量的運算將向量表示出來，進行比較，求參數的值．
題型2 平面向量基本定理及坐標運算
6．（23-24高三上·天津武清·階段練習）在中，，E是線段上的動點（與端點不重合），設，則的最小值是（ ）
A．10 B．4 C．7 D．13
【答案】D
【分析】由已知條件結合平面向量基本定理可得，，則，化簡后利用基本不等式可得答案.
【詳解】因為，所以，
因為，所以，
因為三點共線，所以，，
，
當且僅當，即時取等.
故選：D.
7．（23-24高三上·天津濱海新·階段練習）已知是的重心，且，則（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】由重心條件與，將分別用基底表示兩次，則由平面向量基本定理建立方程組求解即可.
【詳解】由是的重心，
則，，
由，
；
已知構成，則向量不共線，
由平面向量基本定理得，
，解得，則.
故選：C.
8．（2023·天津和平·一模）如圖，在中，，，P為CD上一點，且滿足，若，則的最小值為（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【分析】設，可得出，可得出關于、的方程組，即可解得實數的值；利用數量積得出，利用平面向量數量積的運算性質結合基本不等式可求得的最小值.
【詳解】設，則
，
所以，，解得.
，，
，
當且僅當時，即當時，等號成立.
所以，的最小值為.
故選：A.
9．（20-21高三上·天津河北·階段練習）已知是邊長的等邊三角形，點D，E分別是，上的點，且，，連接DE并延長到點F，使，則的值為（ ）
A．6 B．18 C． D．
【答案】A
【分析】以為基底，根據已知的關系，利用向量的線性運算表示出，再利用向量的數量積的運算律化簡求值.
【詳解】由，，得，
又，則，
又，，
則
故選：A
10．（19-20高三下·天津濱海新·階段練習）如圖，，點由射線、線段及的延長線圍成的陰影區域內（不含邊界）.且，則實數對可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題可利用平面向量基本定理和平行四邊形法則將四個答案一一代入，然后判斷點的位置，排除錯誤答案，即可得出結果.
【詳解】根據平面向量基本定理和平行四邊形法則可知：
若取，則，點在陰影區域內，A正確；
若取，則，點在直線的上方，B錯誤；
若取，則，點在直線的下方，C錯誤；
若取，則，點在射線上，D錯誤，
故選：A.
【點睛】本題考查平面向量基本定理和平行四邊形法則的應用，考查根據平行四邊形法則判斷向量的位置，考查數形結合思想，考查推理能力，是簡單題.
一、(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數乘運算． (2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決． 二、(1)利用向量的坐標運算解題，主要是利用加法、減法、數乘運算法則，然后根據“兩個向量相等當且僅當它們的坐標對應相等”這一原則，化歸為方程(組)進行求解． (2)向量的坐標表示使向量運算代數化，成為數與形結合的載體，可以使很多幾何問題的解答轉化為我們熟知的數量運算． 二、
題型3 平面向量的數量積
11．（23-24高三上·天津·期末）已知，，m為實數，若，則向量在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量加減法以及向量垂直的坐標表示可得，由投影向量定義可求得結果.
【詳解】根據題意可知，
由可得，解得，所以；
所以向量在上的投影向量為.
故選：D
12．（23-24高三上·天津河北·期末）如圖，在平行四邊形中，與交于點，是線段的中點，的延長線與交于點.若，則等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據兩個三角形相似對應邊成比例，得到，運用向量的加減運算和向量中點的表示，結合向量數量積的定義和性質，將向量用，表示，計算即可得到結果．
【詳解】平行四邊形，，，，，
可得，
是線段的中點，
可得，
；
，
則
．
故選：C
13．（23-24高三上·天津東麗·階段練習）如圖，是由三個全等的鈍角三角形和一個小的正三角形拼成一個大的正三角形，若，，點M為線段上的動點，則的最大值為（ ）

A． B． C．6 D．10
【答案】D
【分析】利用平面向量的線性表示和數量積，轉化為函數的最值問題求解.
【詳解】根據題意可得，，
所以，
又因為，
所以,，
設,則，
所以，
，
所以
，
令，
當單調遞增，單調遞減，
當，取最大值為.
故選：D
14．（2014·河南開封·一模）若，且，則與的夾角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意即可得，得到，從而可得到與的夾角.
【詳解】，，，，
，
，，
故選：B.
15．（2023·天津河西·模擬預測）在中，，，，設，，，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用余弦定理及向量的數量積的定義，結合基本不等式即可求解.
【詳解】在中，，，
由余弦定理，得，即，于是有.
由，得，即,于是有.
聯立，得，
由，得,
將代入中，得.
由，，，知,
所以,
因為，
所以,
當且僅當即時，等號成立，
所以.
故當時，取得最大值為.
故選：B.
1、計算平面向量數量積的主要方法 (1)利用定義：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)利用坐標運算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2. (3)利用基底法求數量積． (4)靈活運用平面向量數量積的幾何意義． 2、(1)求平面向量的模的方法 ①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2； ②幾何法：利用向量的幾何意義． (2)求平面向量的夾角的方法 ①定義法：cos θ＝； ②坐標法． (3)兩個向量垂直的充要條件 a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．
題型4 平面向量的綜合應用
16．（2024·天津·一模）已知平行四邊形的面積為，，且.若F為線段上的動點，且，則實數的值為 ；的最小值為 .
【答案】 /0.5 5
【分析】根據題意，利用平面向量的線性運算即可求出第一空，建立平面直角坐標系，依據條件建立方程，結合基本不等式求解第二空即可.
【詳解】
因為所以即
又所以，
由共線，則，解得
作，以為原點建立平面直角坐標系，
設且，則，而的面積為，
則，故，
則，
則，
當且僅當時取“=”，
故答案為：；5.
17．（2024·天津·一模）在平行四邊形中，是線段的中點，點滿足，若設，，則可用表示為 ；點是線段上一點，且，若，則的最大值為 .
【答案】
【分析】由向量的線性運算，可將可用，表示出來；再由，可得，從而得，代入向量夾角公式，利用基本不等式求得最值．
【詳解】由，可得，
則
；
由，可得，
則，
由，可得，
即，
整理得，
故，
當且僅當時等號成立，
則的最大值為．
故答案為：；．
18．（2024·天津和平·一模）青花瓷，常簡稱青花，代表了我國古代勞動人民智慧的結晶，是中國瓷器的主流品種之一.圖一是一個由波濤紋和葡萄紋構成的正六邊形青花瓷盤，已知圖二中正六邊形的邊長為，圓的圓心為正六邊形的中心，半徑為，若點在正六邊形的邊上運動，動點在圓上運動且關于圓心對稱.（i）請用表示 ；（ii）請寫出的取值范圍 .
【答案】
【分析】（i）根據向量線性運算可直接得到結果；
（ii）根據向量線性運算、數量積運算性質，可將所求數量積轉化為；根據正六邊形性質可求得的范圍，由此可得結果.
【詳解】（i）在圓上運動且關于圓心對稱，為中點，；
（ii）；
當為正六邊形頂點時，取得最大值；當與正六邊形的邊垂直時，取得最小值；
六邊形為正六邊形，為正三角形，；
作，則為中點，；
，即的取值范圍為.
故答案為：；.
19．（2024·天津河西·一模）在中，D是AC邊的中點，，，，則 ；設M為平面上一點，且，其中，則的最小值為 ．
【答案】 4
【分析】以為基底，由，求出；建立平面直角坐標系，利用向量的坐標運算把表示為關于的函數，由二次函數性質求最小值.
【詳解】中，D是AC邊的中點，，，
，
解得，即；
中，，，，
以為坐標原點，為軸，點在第一象限，建立如圖所示為平面直角坐標系，

則有，設
由，得，
解得，，即，
則有，，
，
則有時，有最小值.
故答案為： 4；.
20．（2024·天津·一模）在中，，則 ；若點為所在平面內的動點，且滿足，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】借助模長與數量積的關系即可得，取中點，借助向量的線性運算可得，逐項計算即可得其取值范圍.
【詳解】，
故，
，
取中點，則，
，，
故，
故.
故答案為：；.
21．（2024·天津河東·一模）已知，如圖所示，點為中點，點滿足，記，用表示 ；當時 ．

【答案】 3
【分析】
根據平面向量的線性運算計算即可得；利用轉化法求.
【詳解】,
由題意，為等腰三角形，則，，
所以
.
故答案為：；3
22．（2024·天津南開·一模）平面四邊形ABCD中，，E為BC的中點，用和表示 ；若，則的最小值為
【答案】
【分析】
由向量的加減法運算求解第一個空，利用平面向量定理結合數量積運算律求解第二個空.
【詳解】因為，故；
為等邊三角形，
則
，
若，則D在以E為圓心的圓上且在直線AC的左側部分運動，方可取到最小，
，易知時取得最小值，
故的最小值為.
故答案為：；.
23．（23-24高三下·天津和平·開學考試）在中，M是邊BC的中點，N是線段BM的中點．設，，記，則 ；若，的面積為，則當 時，取得最小值．
【答案】 /0.5 2
【分析】利用平面向量基本定理得到，得到，求出；由三角形面積公式得到，結合和平面向量數量積公式，基本不等式得到的最小值，此時，由余弦定理得到.
【詳解】由題意得
，
故，故；
由三角形面積公式得，
故，
其中，
故
，
當且僅當，即時，等號成立，
此時
，
故.
故答案為：，2
24．（23-24高三上·天津·期末）在矩形中，，，，，過M點作交于N點，若E，F分別是和上動點，且，則的最小值為 .
【答案】
【分析】根據題意建立平面直角坐標系，利用坐標表示向量，計算的最小值．
【詳解】由題意，建立平面直角坐標系，如圖所示：
過點作，垂足為，則，，
由，，可設，,，則,，由，
所以，,，
所以，
當時，取得最小值為．
故答案為：．
25．（2023·天津紅橋·一模）如圖所示，在中，點為邊上一點，且，過點的直線與直線相交于點，與直線相交于點（，交兩點不重合）.若，則 ，若，，則的最小值為 .
【答案】
【分析】根據向量的加減運算，以為基底，表示出，和已知等式比較，即可得的值，求得的值；結合已知用表示，結合三點共線可得，將化為，展開后利用基本不等式，即可求得的最小值.
【詳解】在中，，，則，
故
，
故；
又，而，，
所以，則，
又三點共線，所以，結合已知可知，
故，
當且僅當，結合，即時，取等號；
即的最小值為，
故答案為：；
【點睛】結論點睛：若，則三點共線.
考點二：復數
1．復數的有關概念
(1)復數的定義：一般地，當a與b都是實數時，稱a＋bi為復數．其中i稱為虛數單位，滿足i2＝－1.
(2)復數的分類：
復數z＝a＋bi(a，b∈R)
(3)復數相等：
a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共軛復數：
a＋bi與c＋di互為共軛復數 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)復數的模：
向量的長度稱為復數z＝a＋bi的模(或絕對值)，記作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．
2．復數的幾何意義
(1)復數z＝a＋bi(a，b∈R)復平面內的點Z(a，b)．
(2)復數z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3．復數的四則運算
(1)復數的加、減、乘、除運算法則：
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)幾何意義：復數加、減法可按向量的平行四邊形法則或三角形法則進行．
如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復數加、減法的幾何意義，即＝＋，＝－.
題型1 復數的運算
1．（2024·天津·一模）若復數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由復數的除法運算法則以及復數的模的概念即可得到結果.
【詳解】，
，
故選：B.
2．（23-24高三下·天津·開學考試）已知復數滿足（為虛數單位），則（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】D
【分析】根據復數乘法的運算法則、虛數單位乘方的運算性質，結合復數的模定義進行求解即可.
【詳解】由，
則，
所以.
故選：D
3．（23-24高三上·天津武清·階段練習）若復數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】計算出復數后再計算模長即可得.
【詳解】由，則，
則.
故選：A.
4．（19-20高三上·天津北辰·期中）是虛數單位，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用復數除法法則計算出答案.
【詳解】.
故選：A
5．（22-23高二下·全國·階段練習）若復數，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用復數的除法運算化簡復數，然后利用共軛復數的概念求解即可.
【詳解】因為，所以.
故選：B.
6．（2024·天津·一模）已知是虛數單位，化簡的結果為 .
【答案】
【分析】根據復數的除法運算計算即可.
【詳解】.
故答案為：.
7．（2024·天津南開·一模）i是虛數單位，復數，則的虛部為
【答案】
【分析】首先將題中所給的式子進行化簡，求得復數得代數形式，從而得到其虛部.
【詳解】.
所以復數的虛部為.
故答案為：.
8．（2024·天津和平·一模）i為虛數單位，復數則 .
【答案】
【分析】根據復數的運算及模的定義求解即可.
【詳解】，
故答案為：
9．（2024·天津河東·一模）是復數單位，化簡的結果為 ．
【答案】
【分析】
根據復數的除法運算即可求解.
【詳解】，
故答案為：
10．（23-24高三上·天津·期末）設，則的共軛復數為 ．
【答案】
【分析】
由復數的運算化簡z,再求共軛復數.
【詳解】因為
故.
故答案為：.
1、對復數為純虛數理解不透徹，對于復數為純虛數，往往容易忽略虛部不等于0； 2、兩個復數不能直接比大小，但如果成立，等價于。 (1)復數的乘法：復數乘法類似于多項式的乘法運算． (2)復數的除法：除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數．
題型2 復數的幾何意義
11．（23-24高三上·天津紅橋·階段練習）已知為虛數單位，則在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根據題意得到，即可得到答案.
【詳解】令，
則在復平面對應的點為，在第四象限.
故選：D
12．（19-20高三上·天津寧河·階段練習）若復數在復平面內對應的點在第二象限，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據復數運算法則計算得 ，根據點所在象限列不等式組求解即可．
【詳解】由題得 ，
在復平面內所對應的點在第二象限，
所以 ，解得： ，
所以．
故選：B．
13．（2020·天津·一模）已知復數滿足，則在復平面內與復數對應的點的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先利用復數的除法化簡復數z，再利用復數的幾何意義判斷.
【詳解】因為復數滿足，
所以，
所以在復平面內與復數對應的點的坐標為，
故選：B
14．（20-21高三上·天津南開·期中）已知i為虛數單位，復數，則z在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】根據三角函數的誘導公式，求得復數，結合復數的幾何意義，即可求解.
【詳解】由
即復數，
所以復數對應的點為位于第二象限.
故選：B
15．（2019·天津·一模）已知復數，且復數在復平面內對應的點關于實軸對稱，則
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根據對稱性求出，再利用復數除法的運算法則求解即可.
【詳解】因為復數，且復數在復平面內對應的點關于實軸對稱，
，
，故選B.
【點睛】復數是高考中的必考知識，主要考查復數的概念及復數的運算．要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數、共軛復數、復數的模這些重要概念，復數的運算主要考查除法運算，通過分母實數化轉化為復數的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.
16．（2023高三·天津·專題練習）已知復數（是虛數單位），則復數在復平面內對應的點位于第 象限．
【答案】一
【分析】利用復數除法法則計算出，得到其在復平面內對應的點所在象限.
【詳解】，復數在復平面內對應的點的坐標為，
故復數在復平面內對應的點位于第一象限．
故答案為：一．
17．（2022·天津和平·二模）復數：滿足（是虛數單位），則復數z在復平面內所表示的點的坐標為 .
【答案】
【分析】先求解出，從而得到對應點的坐標.
【詳解】由題意得：，
對應的點的坐標為.
故答案為：
18．（20-21高三上·天津靜海·階段練習）若復數滿足，其中為虛數單位，則在復平面內所對應的點位于第 象限．
【答案】第三象限
【解析】先針對原式進行變形，求解出復數z，然后判斷其所對應的點在第幾象限.
【詳解】由得，
則復數在復平面內所對應的點位于第三象限.
故答案為：第三象限.
【點睛】判斷復數所對應的點在復平面內在第幾象限，只需判斷點所確定的點位于第幾象限即可.
19．（18-19高三·天津南開·階段練習）若復數滿足，其中為虛數單位，則的共軛復數在復平面內對應點的坐標為 ．
【答案】
【分析】把已知等式變形，再由復數代數形式的乘除運算化簡，求出得答案．
【詳解】，，
則，的共軛復數在復平面內對應點的坐標為，
故答案為
【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的代數表示法及其幾何意義準確計算是關鍵，是基礎題．
20．（2018·天津·一模）復數，，則在復平面內所對應的點位于第 象限．
【答案】一
【分析】把，代入，利用復數代數形式的乘除運算化簡，求出z在復平面內所對應的點的坐標即可得到答案．
【詳解】解：，，
，
在復平面內所對應的點的坐標為，位于第一象限．
故答案為一．
【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的代數表示法及其幾何意義，是基礎題．
復數與復平面內的點、平面向量存在一一對應關系，兩個復數差的模可以理解為兩點之間的距離. 由于復數、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數、向量與解析幾何聯系在一起，解題時可運用數形結合的方法，使問題的解決更加直觀．

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