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重難點05 導數及其應用
考點一 導數的概念及幾何意義
導數的概念
導數的幾何意義
公切線問題
考點二 導數與函數的單調性
導數與函數的單調性
導數與函數的極值、最值
考點三 導數與函數的極值、最值
函數中的構造問題
利用導數研究恒成立問題
利用導數證明不等式
利用導數研究函數的零點
考點一：導數的概念及幾何意義
1．導數的概念
(1)函數y＝f(x)在x＝x0處的導數記作f′(x0).
f′(x0)＝ .
(2)函數y＝f(x)的導函數(簡稱導數)
f′(x)＝y′＝y′x＝ .
2．導數的幾何意義
函數y＝f(x)在x＝x0處的導數的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率，相應的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3．基本初等函數的導數公式
基本初等函數 導函數
f(x)＝c(c為常數) f′(x)＝0
f(x)＝xα f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
4.導數的運算法則
若f′(x)，g′(x)存在，則有
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
′＝(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x)．
5．復合函數的定義及其導數
復合函數y＝f(g(x))的導數與函數y＝f(u)，u＝g(x)的導數間的關系為yx′＝yu′·ux′，即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積．
題型1 導數的概念
1．（22-23高二下·天津·期末）下列運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用基本初等函數求導公式判斷即可.
【詳解】對于A項：常值函數求導，，所以A錯；
對于B項：指數函數求導，，所以B錯；
對于C項：冪函數求導，，所以C錯；
對于D項：對數函數求導，，所以D正確.
故選：D.
2．（22-23高三上·天津·期中）若，則的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求導，再解不等式即可.
【詳解】由得，，
令且，
解得
即的解集為
故選：C.
3．（22-23高三上·天津東麗·期中）若函數，則的值為（ ）
A．1 B．－1 C．10 D．4
【答案】D
【分析】由已知，根據已知函數，先求導，然后賦值，計算出，代入原函數，即可直接求解的值.
【詳解】由已知，，
所以，所以，
所以，所以函數，
所以.
故選：D.
4．（19-20高三上·天津紅橋·期末）已知函數，為的導函數，則的值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求得，再去求即可解決.
【詳解】
則
故選：D
5．（22-23高二下·天津河西·期末）已知函數有3個零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先分析時二次函數零點的情況，而時可將零點的問題轉化為兩個函數圖象交點的問題，利用導數求解即可.
【詳解】當時，，且，
則二次函數開口向下且在內拋物線與軸只有一個交點，
所以在上有唯一零點，
因為有3個零點，所以在上有2個零點，
即與的圖象有2個交點，
如圖當直線與曲線相切時設切點為，所以解得，

由圖可知，時，與的圖象有2個交點，
所以實數的取值范圍是.
故選：C.
(1)求函數的導數要準確地把函數拆分成基本初等函數的和、差、積、商，再利用運算法則求導． (2)抽象函數求導，恰當賦值是關鍵，然后活用方程思想求解． (3)復合函數求導，應由外到內逐層求導，必要時要進行換元．
題型2 導數的幾何意義
6．（23-24高三上·江蘇連云港·階段練習）曲線在點處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據導數幾何意義可求得切線斜率，由此可得切線方程.
【詳解】，所求切線斜率，
所求切線方程為：，即.
故選：A.
7．（22-23高三上·天津紅橋·期中）已知，則曲線在點處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求導，可得，再求解，結合直線方程的點斜式即得解.
【詳解】由題意，
故，且，
故切線方程為：，即.
故選：D
8．（21-22高三上·天津·期中）曲線在點處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設，求出、的值，利用導數的幾何意義可得出所求切線的方程.
【詳解】設，則，則，，
因此，曲線在點處的切線方程為.
故選：D.
9．（2020·天津·二模）已知函數 函數.若關于的方程有個互異的實數根，則實數的取值范圍是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由題意作出函數圖象，轉化條件為要使直線與函數的圖象有三個交點，分別考慮直線與函數在y軸右側、左側的圖象的交點個數，即可得解.
【詳解】由題意作出函數的圖象，如圖：
要使關于的方程有個互異的實數根，
則要使直線與函數的圖象有三個交點，
易知點，，
由圖象可知，當時，不合題意；
當時，若直線與函數在y軸右側的圖象相切，設切點為，
由可得，解得，，切點恰為點，
所以當時，直線與函數在y軸右側的圖象只有一個交點；
若直線與函數在y軸左側的圖象相切，設切點為，
由，所以，
解得（舍去）或，，
當直線過點時，，
所以當時，直線與函數在y軸左側的圖象有兩個交點；
綜上，要使直線與函數的圖象有三個交點，則.
即實數的取值范圍是.
故選：B.
【點睛】本題考查了函數與方程的關系，考查了導數幾何意義的應用、導數的計算與數形結合思想，屬于中檔題.
10．（2020·天津·一模）已知函數若關于的方程恰有1個實根，則實數的取值范圍是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】分別求出和在點外的切線斜率，結合函數圖象可得結論．
【詳解】由得，，
由得，．
作出函數的圖象，和直線，直線恒過點，知時，關于的方程恰有1個實根，
故選：A．
【點睛】本題考查方程根的分布，解題方法把方程的根據轉化為函數圖象交點個數，即函數的圖象與直線的交點個數，從而由數形結合思想易求解．
(1)處理與切線有關的問題，關鍵是根據曲線、切線、切點的三個關系列出參數的方程：①切點處的導數是切線的斜率；②切點在切線上；③切點在曲線上． (2)注意區分“在點P處的切線”與“過點P的切線”．
題型3 公切線問題
11．（2018·廣西桂林·二模）若曲線與曲線存在公切線，則實數的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分別求出兩個函數的導函數，由兩函數在切點處的導數相等，并由斜率公式，得到由此得到，則有解．再利用導數進一步求得的取值范圍．
【詳解】在點的切線斜率為，
在點的切線斜率為，
如果兩個曲線存在公共切線，那么：．
又由斜率公式得到，， 由此得到，
則有解，
由，的圖象有公共點即可．
當直線與曲線相切時，設切點為，則
，且，可得
即有切點，，故的取值范圍是：．
故選:.
【點睛】本題利用導數研究曲線上某點的切線方程，曲線上某點處的切線的斜率，就是函數在該點處的導數值，考查轉化思想和運算能力，是中檔題．
12．（13-14高三·全國·課時練習）若曲線，在點處的切線分別為，且，則的值為
A． B．2 C． D．
【答案】A
【詳解】試題分析：因為，則f′（1）=，g′（1）=a，又曲線a在點P（1，1）處的切線相互垂直，所以f′（1） g′（1）=-1，即，所以a=-2．故選A．
考點：利用導數研究曲線上某點切線方程．
13．（2019·天津和平·三模）已知函數的圖象在點處的切線與曲線相切，則 ．
【答案】-2．
【分析】求出函數的導數，利用導數的幾何意義寫出切線方程，再利用切線的斜率的不同表示方法列出關于a，t的方程，求解即可得到結論．
【詳解】函數f（x）＝ex+ax，函數的導數f′（x）＝ex+a，f′（0）＝1+a，f（0）＝1，
∴切線方程為y=(1+a)x+1，
又的導函數y′=，令切點坐標為（t，-lnt），
則有，解得t=1，
a=
故答案為．
【點睛】本題主要考查導數的幾何意義以及直線的斜率表示，屬于基礎題．
14．（2017·重慶·一模）函數和有相同的公切線，則實數a的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】分別求出導數，設出切點，得到切線的斜率，再由兩點的斜率公式，結合切點滿足曲線方程，運用導數求得單調區間、極值和最值，即可得到a的范圍．
【詳解】解：兩曲線y＝x2﹣1與y＝alnx﹣1存在公切線，
y＝x2﹣1的導數y′＝2x，y＝alnx﹣1的導數為y′，
設y＝x2﹣1相切的切點為（n，n2﹣1）與曲線y＝alnx﹣1相切的切點為（m，alnm﹣1），
y﹣（n2﹣1）＝2n（x﹣n），即y＝2nx﹣n2﹣1，
y﹣（alnm﹣1）（x﹣m），即：y
∴
∴，
∴
即有解即可，
令g（x）＝x2（1﹣lnx），
y′＝2x（1﹣lnx）x（1﹣2lnx）＝0，可得x，
∴g（x）在（0，）是增函數；（，+∞）是減函數，
g（x）的最大值為：g（），
又g（0）＝0，
∴，∴a≤2e．
故答案為（﹣∞，2e]．
【點睛】本題考查導數的幾何意義，主要考查導數的運用：求單調區間和極值、最值，考查運算能力，屬于中檔題．
公切線問題，應根據兩個函數在切點處的斜率相等，且切點既在切線上又在曲線上，列出有關切點橫坐標的方程組，通過解方程組求解．或者分別求出兩函數的切線，利用兩切線重合列方程組求解．
考點二：導數與函數的單調性
導數與函數的單調性
1．函數的單調性與導數的關系
條件 恒有 結論
函數y＝f(x)在區間(a，b)上可導 f′(x)>0 f(x)在區間(a，b)上是增函數
f′(x)<0 f(x)在區間(a，b)上是減函數
f′(x)＝0 f(x)在區間(a，b)上是常數函數
2.利用導數判斷函數單調性的步驟
第1步，確定函數的定義域；
第2步，求出導數f′(x)的零點；
第3步，用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區間，列表給出f′(x)在各區間上的正負，由此得出函數y＝f(x)在定義域內的單調性．
題型1 不含參函數的單調性
1．（22-23高二下·山東臨沂·期中）若函數，則函數的單調遞減區間為（ ）．
A．， B．，
C． D．
【答案】C
【分析】求出函數的定義域，由，求函數的單調遞減區間.
【詳解】，函數定義域為，
，
令，解得，
則函數的單調遞減區間為.
故選：C.
2．（21-22高三上·天津河北·期中）已知函數，則的零點所在的區間是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由題可得函數在上為增函數，又，即得.
【詳解】∵，，
由得，，∴，函數為增函數，
當時，，又，
故的零點所在的區間是.
故選：B
3．（16-17高二上·江西南昌·期末）函數的單調減區間是（　　）
A．（0，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣1，1）
【答案】A
【分析】求得函數的定義域與導數，結合導數的符號，即可求得函數的遞減區間，得到答案.
【詳解】由題意，函數的定義域為，且，
因為，可得，令，即，解得，
所以函數的遞減區間為.
故選：A.
【點睛】本題主要考查了利用導數求解函數的單調區間，其中解答中熟記導數與函數的單調性的關系式解答的關鍵，著重考查推理與運算能力.
4．（2016·山東·二模）設函數，則下列結論正確的是
A．函數上單調遞增
B．函數上單調遞減
C．若，則函數的圖象在點處的切線方程為y=10
D．若b=0，則函數的圖象與直線y=10只有一個公共點
【答案】C
【詳解】試題分析：∵，∴，
令，即，∴ 或，∴函數在和上為增函數，
令，即，∴ ，∴函數在上為減函數，
∴排除A、B答案；
當時，，，∴曲線的切點為，
∵，∴，∴，故C正確；
當時，，∴，∴，
∴函數在和上為增函數，在上為減函數，且，，
∴函數的極大值為16，極小值為-16，∴函數的圖象與直線y=10有三個公共點，故D錯；
綜上可得，答案選C．
考點：利用導數求曲線的切線、函數的單調性、函數的極值和最值．
【方法點睛】1．導數的幾何意義：函數在在點處的導數的幾何意義，就是曲線在點處的切線的斜率，即斜率為，過點P的切線方程為．
2．函數單調性的判斷：函數在某個區間內可導，如果，那么在這個區間內單調遞增；如果，那么在這個區間內單調遞減．
5．（19-20高二下·浙江寧波·期中）函數的單調遞減區間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求導，令求解.
【詳解】解：因為，
所以，
令，得，
所以的單調遞減區間為，
故選：B
確定不含參數的函數的單調性，按照判斷函數單調性的步驟即可，但應注意兩點，一是不能漏掉求函數的定義域，二是函數的單調區間不能用并集，要用“逗號”或“和”隔開．
題型2 含參函數的單調性
6．（22-23高二下·福建龍巖·期中）已知函數在定義域內單調遞增，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求出函數的導函數，依題意可得在上恒成立，參變分離可得在上恒成立，再結合二次函數的性質計算可得.
【詳解】函數定義域為，且，
依題意在上恒成立，
所以在上恒成立，
因為函數在上單調遞減，
且當時，所以，即實數的取值范圍是.
故選：D
7．（17-18高三上·云南昆明·階段練習）若函數在區間內存在單調遞增區間，則實數的取值范圍是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用導數研究函數的單調性，f(x)在內存在單調增區間，等價于在上有有解，然后參變分離即可求解﹒
【詳解】∵函數在區間內存在單調遞增區間，
∴在區間上有解(成立)，
即在區間上成立，
又函數在上單調遞增，
∴函數在上單調遞增，
故當時，取最小值，即，
即，得．
故選：D﹒
8．（21-22高三上·廣東·階段練習）若函數在上存在單調遞減區間，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出導函數，由在上有解得的范圍．轉化為求函數的最最小值．
【詳解】因為在上存在單調遞減區間，所以在上有解，所以當時有解，而當時，，（此時），所以，所以的取值范圍是.
故選：B.
9．（20-21高二下·吉林長春·期末）已知在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意可知在上恒成立，即在上恒成立，參變分離，構造函數，求出的最小值即可.
【詳解】因為，所以，
因為在區間上單調遞增，所以在上恒成立，
即在上恒成立，所以，令，則，當時，所以在上單調遞增，又因為，且，所以，
故選：D.
10．（23-24高三上·天津南開·階段練習）若函數，（且）有兩個零點，則m的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令 ，先討論 求出單調區間，進而判斷函數 的極小值，再由 有兩個零點，
所以方程有2個根，而 ，所以且，即可得到 的取值范圍．
【詳解】令 ,
,
①當 , 時， ，則 ,
則函數在上單調遞增，
時， ，所以 ,
則函數 在上單調遞減；
②當時，, ，所以 ,
則函數在上單調遞增，
當時，，所以 ,
則函數在上單調遞減．
故當且時， 在時遞減；在時遞增，
則 為 的極小值點，且為最小值點，且最小值.
又函數 有兩個零點，所以方程有兩個不相等的實根，
而，所以 且 ，解得 ,
故選：A .
(1)研究含參數的函數的單調性，要依據參數對不等式解集的影響進行分類討論． (2)劃分函數的單調區間時，要在函數定義域內討論，還要確定導數為零的點和函數的間斷點．
考點三：導數與函數的極值、最值
1．函數的極值
(1)一般地，設函數y＝f(x)的定義域為D，設x0∈D，如果對于x0附近的任意不同于x0的x，都有
①f(x)②f(x)>f(x0)，則稱x0為函數f(x)的一個極小值點，且f(x)在x0處取極小值．
極大值點與極小值點都稱為極值點，極大值與極小值都稱為極值．顯然，極大值點就是在其附近函數值最大的點，極小值點就是在其附近函數值最小的點．
(2)一般地，如果x0是y＝f(x)的極值點，且f(x)在x0處可導，則必有f′(x0)＝0.
(3)求可導函數f(x)的極值的步驟
①確定函數的定義域，求導數f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③列表；
④利用f′(x)與f(x)隨x的變化情況表，根據極值點左右兩側單調性的變化情況求極值．
2．函數的最大(小)值
(1)函數f(x)在區間[a，b]上有最值的條件：
一般地，如果在區間[a，b]上函數y＝f(x)的圖象是一條連續不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．
(2)求函數y＝f(x)在區間[a，b]上的最大(小)值的步驟：
①求函數y＝f(x)在區間(a，b)內的極值；
②將函數y＝f(x)的各極值與端點處的函數值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．
題型1 利用導數求函數的極值
1．（23-24高三上·天津紅橋·期中）設函數在上可導，其導函數為，且函數的圖象如圖所示，則下列結論中一定成立的是（ ）

A．有兩個極值點 B．有兩個極小值
C．為函數的極小值 D．為的極小值
【答案】B
【分析】根據題意，由函數的圖形，對分類討論，得出函數的單調區間，結合極值點的定義，逐項判定，即可求解.
【詳解】由函數的圖象，可得：
當時，可得，所以，單調遞減；
當時，可得，所以，單調遞增；
當時，可得，所以，單調遞減；
當時，可得，所以，單調遞增，
所以，當時，函數極小值；當時，函數極大值；
當時，，函數極小值，所以A錯誤，B正確，C錯誤，D錯誤.
故選：B.
2．（22-23高二下·天津·期中）已知在區間上有極小值，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用導數求出函數的單調區間，即可得到函數的極小值點，從而得到不等式組，解得即可.
【詳解】函數定義域為，，
所以時，當或時，
所以在上單調遞增，在，上單調遞減，
所以在處取得極小值，
因為在區間上有極小值，
所以，解得，即實數的取值范圍是.
故選：D
3．（22-23高三上·重慶沙坪壩·階段練習）已知函數有唯一的極值點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題，將問題轉化為在上無解，進而研究函數性質可得，再求得.
【詳解】解：求導有，
因為函數有唯一的極值點，
所以，有唯一正實數根，
因為，
所以在上無解，
所以，在上無解，
記，則有，
所以，當時，，在上遞減，
當時，，在上遞增．
此時時，有最小值，
所以， ，即，
所以，即的取值范圍是
故選：A
4．（19-20高三·天津·周測）已知是函數的一個極值點，則一定有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求導并根據得，再代入并解即可得，進而得.
【詳解】解：，
因為是函數的一個極值點，
所以，即，
所以，
令，所以得或，所以，即，
所以，
故選：C
【點睛】本題考查根據極值點求參數的范圍，考查運算求解能力，是中檔題.本題解題的關鍵在于根據極值點得，進而代入得，即可得答案.
5．（20-21高三上·天津河西·階段練習）若函數沒有極值點，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先對函數求導，然后結合極值存在的條件轉化為函數圖象交點問題，分離參數后結合導數即可求解.
【詳解】由題意可得，沒有零點，
或者有唯一解（但導數在點的兩側符號相同），
即沒有交點，或者只有一個交點但交點的兩側符號相同.
令，，
則，
令則在上單調遞減且，
所以當時，，，單調遞增，
當時，，，單調遞減，
故當時，取得最大值，
又時，，時，，
結合圖象可知，即.
故選：C.
【點睛】方法點睛：已知函數沒有極值點，求參數值(取值范圍)常用的方法：
（1）分離參數法：先求導然后將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；
（2）數形結合法：先求導然后對導函數變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解.
根據函數的極值(點)求參數的兩個要領 (1)列式：根據極值點處導數為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數法求解； (2)驗證：求解后驗證根的合理性．
題型2 導數與函數的最值
6．（23-24高三上·天津和平·階段練習）若函數在區間上有零點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設為函數的零點，則，轉化為在直線上，根據表示點到原點的距離的平方，得到，構造新函數，利用導數求得函數的單調性與最值，即可求解.
【詳解】因為，
設為函數在上的零點，則，
即，即點在直線上，
又因為表示點到原點的距離的平方，
則，即，
令，則，
因為，所以，在單調遞增.
所以最小值為.
故選：B.
【點睛】關鍵點睛：設零點有，換主元化為點在直線上，結合的幾何意義及點線距離公式得為關鍵.
7．（22-23高三·全國·對口高考）已知在區間上的最大值就是函數的極大值，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由函數的極大值與最大值的關系即可求解.
【詳解】，令，得，
因為在區間上的最大值就是函數的極大值，
則必有，所以.
故選：C.
8．（22-23高三上·天津紅橋·期中）當時，函數取得最大值，則（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】根據題意可知，，可解得，即可求得答案
【詳解】由可得，
因為當時，函數取得最大值，
所以，解得，
所以，
因此當，，單調遞增；當，，單調遞減，
故當時取最大值，滿足題意，
所以
故選：B
9．（22-23高三上·天津紅橋·期中）當時，函數取得最大值，則（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】由得，再由在處取得最大值，分析得，得.
【詳解】當時，函數取得最大值-2，
所以，即，，定義域為，
又因為在處取得最大值，所以在上單調遞增，在上單調遞減，， 則，所以.
故選：A.
10．（2016高三·天津紅橋·學業考試）已知函數，a為實數，，則在上的最大值是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】首先求出函數的導函數，根據代入求出的值，即可得到函數解析式，從而求出函數的導函數，得到函數的單調區間與極值，再計算出區間端點函數值，即可得解；
【詳解】解：，
，
，
，
，
，
令，則或，
當或時，，即函數在和上單調遞增；
當時，，函數在上單調遞減；
所以在處取得極大值，在處取得極小值，又，，
故函數在區間上的最大值為，
故選：A．
求含有參數的函數的最值，需先求函數的定義域、導函數，通過對參數分類討論，判斷函數的單調性，從而得到函數f(x)的最值．重難點05 導數及其應用
考點一 導數的概念及幾何意義
導數的概念
導數的幾何意義
公切線問題
考點二 導數與函數的單調性
導數與函數的單調性
導數與函數的極值、最值
考點三 導數與函數的極值、最值
函數中的構造問題
利用導數研究恒成立問題
利用導數證明不等式
利用導數研究函數的零點
考點一：導數的概念及幾何意義
1．導數的概念
(1)函數y＝f(x)在x＝x0處的導數記作f′(x0).
f′(x0)＝ .
(2)函數y＝f(x)的導函數(簡稱導數)
f′(x)＝y′＝y′x＝ .
2．導數的幾何意義
函數y＝f(x)在x＝x0處的導數的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率，相應的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3．基本初等函數的導數公式
基本初等函數 導函數
f(x)＝c(c為常數) f′(x)＝0
f(x)＝xα f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
4.導數的運算法則
若f′(x)，g′(x)存在，則有
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
′＝(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x)．
5．復合函數的定義及其導數
復合函數y＝f(g(x))的導數與函數y＝f(u)，u＝g(x)的導數間的關系為yx′＝yu′·ux′，即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積．
題型1 導數的概念
1．（22-23高二下·天津·期末）下列運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（22-23高三上·天津·期中）若，則的解集為（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高三上·天津東麗·期中）若函數，則的值為（ ）
A．1 B．－1 C．10 D．4
4．（19-20高三上·天津紅橋·期末）已知函數，為的導函數，則的值為（ ）
A． B．
C． D．
5．（22-23高二下·天津河西·期末）已知函數有3個零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
(1)求函數的導數要準確地把函數拆分成基本初等函數的和、差、積、商，再利用運算法則求導． (2)抽象函數求導，恰當賦值是關鍵，然后活用方程思想求解． (3)復合函數求導，應由外到內逐層求導，必要時要進行換元．
題型2 導數的幾何意義
6．（23-24高三上·江蘇連云港·階段練習）曲線在點處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
7．（22-23高三上·天津紅橋·期中）已知，則曲線在點處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
8．（21-22高三上·天津·期中）曲線在點處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·天津·二模）已知函數 函數.若關于的方程有個互異的實數根，則實數的取值范圍是
A． B． C． D．
10．（2020·天津·一模）已知函數若關于的方程恰有1個實根，則實數的取值范圍是
A． B．
C． D．
(1)處理與切線有關的問題，關鍵是根據曲線、切線、切點的三個關系列出參數的方程：①切點處的導數是切線的斜率；②切點在切線上；③切點在曲線上． (2)注意區分“在點P處的切線”與“過點P的切線”．
題型3 公切線問題
11．（2018·廣西桂林·二模）若曲線與曲線存在公切線，則實數的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
12．（13-14高三·全國·課時練習）若曲線，在點處的切線分別為，且，則的值為
A． B．2 C． D．
13．（2019·天津和平·三模）已知函數的圖象在點處的切線與曲線相切，則 ．
14．（2017·重慶·一模）函數和有相同的公切線，則實數a的取值范圍為 ．
公切線問題，應根據兩個函數在切點處的斜率相等，且切點既在切線上又在曲線上，列出有關切點橫坐標的方程組，通過解方程組求解．或者分別求出兩函數的切線，利用兩切線重合列方程組求解．
考點二：導數與函數的單調性
導數與函數的單調性
1．函數的單調性與導數的關系
條件 恒有 結論
函數y＝f(x)在區間(a，b)上可導 f′(x)>0 f(x)在區間(a，b)上是增函數
f′(x)<0 f(x)在區間(a，b)上是減函數
f′(x)＝0 f(x)在區間(a，b)上是常數函數
2.利用導數判斷函數單調性的步驟
第1步，確定函數的定義域；
第2步，求出導數f′(x)的零點；
第3步，用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區間，列表給出f′(x)在各區間上的正負，由此得出函數y＝f(x)在定義域內的單調性．
題型1 不含參函數的單調性
1．（22-23高二下·山東臨沂·期中）若函數，則函數的單調遞減區間為（ ）．
A．， B．，
C． D．
2．（21-22高三上·天津河北·期中）已知函數，則的零點所在的區間是（ ）
A． B．
C． D．
3．（16-17高二上·江西南昌·期末）函數的單調減區間是（　　）
A．（0，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣1，1）
4．（2016·山東·二模）設函數，則下列結論正確的是
A．函數上單調遞增
B．函數上單調遞減
C．若，則函數的圖象在點處的切線方程為y=10
D．若b=0，則函數的圖象與直線y=10只有一個公共點
5．（19-20高二下·浙江寧波·期中）函數的單調遞減區間為（ ）
A． B． C． D．
確定不含參數的函數的單調性，按照判斷函數單調性的步驟即可，但應注意兩點，一是不能漏掉求函數的定義域，二是函數的單調區間不能用并集，要用“逗號”或“和”隔開．
題型2 含參函數的單調性
6．（22-23高二下·福建龍巖·期中）已知函數在定義域內單調遞增，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
7．（17-18高三上·云南昆明·階段練習）若函數在區間內存在單調遞增區間，則實數的取值范圍是( )
A． B．
C． D．
8．（21-22高三上·廣東·階段練習）若函數在上存在單調遞減區間，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
9．（20-21高二下·吉林長春·期末）已知在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24高三上·天津南開·階段練習）若函數，（且）有兩個零點，則m的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
(1)研究含參數的函數的單調性，要依據參數對不等式解集的影響進行分類討論． (2)劃分函數的單調區間時，要在函數定義域內討論，還要確定導數為零的點和函數的間斷點．
考點三：導數與函數的極值、最值
1．函數的極值
(1)一般地，設函數y＝f(x)的定義域為D，設x0∈D，如果對于x0附近的任意不同于x0的x，都有
①f(x)②f(x)>f(x0)，則稱x0為函數f(x)的一個極小值點，且f(x)在x0處取極小值．
極大值點與極小值點都稱為極值點，極大值與極小值都稱為極值．顯然，極大值點就是在其附近函數值最大的點，極小值點就是在其附近函數值最小的點．
(2)一般地，如果x0是y＝f(x)的極值點，且f(x)在x0處可導，則必有f′(x0)＝0.
(3)求可導函數f(x)的極值的步驟
①確定函數的定義域，求導數f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③列表；
④利用f′(x)與f(x)隨x的變化情況表，根據極值點左右兩側單調性的變化情況求極值．
2．函數的最大(小)值
(1)函數f(x)在區間[a，b]上有最值的條件：
一般地，如果在區間[a，b]上函數y＝f(x)的圖象是一條連續不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．
(2)求函數y＝f(x)在區間[a，b]上的最大(小)值的步驟：
①求函數y＝f(x)在區間(a，b)內的極值；
②將函數y＝f(x)的各極值與端點處的函數值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．
題型1 利用導數求函數的極值
1．（23-24高三上·天津紅橋·期中）設函數在上可導，其導函數為，且函數的圖象如圖所示，則下列結論中一定成立的是（ ）

A．有兩個極值點 B．有兩個極小值
C．為函數的極小值 D．為的極小值
2．（22-23高二下·天津·期中）已知在區間上有極小值，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高三上·重慶沙坪壩·階段練習）已知函數有唯一的極值點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．（19-20高三·天津·周測）已知是函數的一個極值點，則一定有（ ）
A． B． C． D．
5．（20-21高三上·天津河西·階段練習）若函數沒有極值點，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
根據函數的極值(點)求參數的兩個要領 (1)列式：根據極值點處導數為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數法求解； (2)驗證：求解后驗證根的合理性．
題型2 導數與函數的最值
6．（23-24高三上·天津和平·階段練習）若函數在區間上有零點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
7．（22-23高三·全國·對口高考）已知在區間上的最大值就是函數的極大值，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．（22-23高三上·天津紅橋·期中）當時，函數取得最大值，則（ ）
A． B． C．2 D．4
9．（22-23高三上·天津紅橋·期中）當時，函數取得最大值，則（ ）
A． B． C．2 D．4
10．（2016高三·天津紅橋·學業考試）已知函數，a為實數，，則在上的最大值是（ ）
A． B．1 C． D．
求含有參數的函數的最值，需先求函數的定義域、導函數，通過對參數分類討論，判斷函數的單調性，從而得到函數f(x)的最值．

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