資源簡介

重難點04 函數
考點一 函數的概念與性質
函數定義域、解析式
函數的單調性、最值
函數的奇偶性、周期性
函數的對稱性
考點二 基本初等函數
二次函數
指數函數
對數函數
冪函數
考點三 函數的應用
函數的圖像
函數的零點
函數模型的應用
考點一：函數的概念和性質
一、函數的概念及其表示
1．函數的概念
給定兩個非空實數集A與B，以及對應關系f，如果對于集合A中每一個實數x，在集合B中都有唯一確定的實數y與x對應，則稱f為定義在集合A上的一個函數，記作y＝f(x)，x∈A.
2．函數的三要素
(1)函數的三要素：定義域、對應關系、值域．
(2)如果兩個函數表達式表示的函數定義域相同，對應關系也相同，則稱這兩個函數表達式表示的就是同一個函數．
3．函數的表示法
表示函數的常用方法有解析法、圖象法和列表法．
4．分段函數
如果一個函數，在其定義域內，對于自變量的不同取值區間，有不同的對應方式，則稱其為分段函數．
函數的單調性與最值
1．函數的單調性
(1)單調函數的定義
增函數 減函數
定義 一般地，設函數f(x)的定義域為D，區間I D，如果 x1，x2∈I
當x1f(x2)，那么就稱函數f(x)在區間I上是減函數
圖象描述 自左向右看圖象是上升的 自左向右看圖象是下降的
(2)單調區間的定義
如果函數y＝f(x)在區間I上單調遞增或單調遞減，那么就說函數y＝f(x)在這一區間具有(嚴格的)單調性，區間I叫做y＝f(x)的單調區間．
2．函數的最值
前提 設函數y＝f(x)的定義域為D，且x0∈D
條件 x∈D，都有f(x)≤f(x0) x∈D，都有f(x)≥f(x0)
結論 f(x0)為f(x)的最大值 f(x0)為f(x)的最小值
三、函數的奇偶性、周期性
1．函數的奇偶性
奇偶性 定義 圖象特點
偶函數 一般地，設函數f(x)的定義域為D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函數f(x)就叫做偶函數 關于y軸對稱
奇函數 一般地，設函數f(x)的定義域為D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函數f(x)就叫做奇函數 關于原點對稱
2.周期性
(1)周期函數：對于函數f(x)，如果存在一個非零常數T，使得對定義域內的每一個x，都滿足f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數f(x)為周期函數，非零常數T稱為這個函數的周期．
(2)最小正周期：對于一個周期函數f(x)，如果在它的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小的正數就稱為f(x)的最小正周期．
四、函數的對稱性
1．奇函數、偶函數的對稱性
(1)奇函數關于原點對稱，偶函數關于y軸對稱．
(2)若f(x－2)是偶函數，則函數f(x)圖象的對稱軸為x＝－2；若f(x－2)是奇函數，則函數f(x)圖象的對稱中心為(－2,0)．
2．若函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱，則f(a－x)＝f(a＋x)；
若函數y＝f(x)滿足f(a－x)＝－f(a＋x)，則函數的圖象關于點(a,0)對稱．
3．兩個函數圖象的對稱
(1)函數y＝f(x)與y＝f(－x)關于y軸對稱；
(2)函數y＝f(x)與y＝－f(x)關于x軸對稱；
(3)函數y＝f(x)與y＝－f(－x)關于原點對稱．
題型1 函數的概念及其表示
1．（19-20高三上·天津北辰·期中）已知，若在上恒成立，則實數a的范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】法一：分和，結合函數單調性和函數值的正負得到不等式，求出實數a的范圍范圍；
法二：畫出與的圖象，數形結合求出實數a的范圍.
【詳解】法一：當時，，
由于在上單調遞減，
故，
則，所以，
即在恒成立，
令
由于，，
故只需，即，解得，
當時，，此時函數單調遞增，
當時，，此時，
由得，即在恒成立，
令，由于，
故只需，解得，
當時，，此時，
由得，即在恒成立，
令，
只需，解得，
綜上，與取交集得，；
法二：畫出在上的圖象與的圖象，
其中，要想在上恒成立，
則.
故選：B
2．（23-24高三上·天津和平·階段練習）函數的部分圖象如圖所示，則的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用排除法，根據圖象過和逐項分析判斷.
【詳解】因為圖象過，
對于選項A：，故A錯誤；
對于選項C：，故C錯誤；
又因為圖象過，但的定義域為，故B錯誤；
故選：D.
3．（23-24高三上·天津河東·階段練習）設函數為偶函數，則（ ）
A．22 B． C． D．21
【答案】A
【分析】根據給定的函數，利用偶函數的性質求出函數值即可.
【詳解】因為函數為偶函數，
所以.
故選：A
4．（23-24高三上·天津南開·階段練習）設集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據對數函數的定義域求出，根據二次函數的性質求出，再根據集合的運算法則計算可得.
【詳解】因為，，
所以，則.
故選：A
5．（19-20高二下·天津寧河·期末）函數的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由對數真數大于零、分式分母不等于零可構造不等式組求得結果.
【詳解】由得：且，的定義域為.
故選：A.
定義域：(1)無論抽象函數的形式如何，已知定義域還是求定義域，均是指其中的x的取值集合；(2)若已知函數f(x)的定義域為[a，b]，則復合函數f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出；(3)若復合函數f(g(x))的定義域為[a，b]，則函數f(x)的定義域為g(x)在[a，b]上的值域． 函數解析式的求法 (1)配湊法；(2)待定系數法；(3)換元法；(4)解方程組法． 分段函數求值問題的解題思路 (1)求函數值：當出現f(f(a))的形式時，應從內到外依次求值． (2)求自變量的值：先假設所求的值在分段函數定義區間的各段上，然后求出相應自變量的值，切記要代入檢驗．
題型2 函數的單調性與最值
6．（2023·天津河北·一模）設，則“”是“函數在上單調遞增”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據題意，由二次函數的對稱軸和函數的單調性的關系以及充分性與必要性的應用，即可得到結果.
【詳解】函數的對稱軸為，
由函數在上單調遞增可得，即，
所以“”是“函數在上單調遞增”的充分不必要條件.
故選：A
7．（19-20高三上·天津·期中）已知定義域為的奇函數的導函數為，當時，，若，則的大小關系正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】構造函數，根據條件判斷的奇偶性與單調性，進而比較的大小關系.
【詳解】根據題意，設，
因為為奇函數，則，即函數為偶函數.
當時，，
則函數在上為減函數.
，，，
且，則有.
故選：B．
8．（23-24高三上·天津河東·階段練習）設命題“函數為遞減函數”，命題“”，則P是Q的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】求出為真時，的取值范圍，與命題中的取值范圍比較，即可得出答案.
【詳解】由為真，即函數為遞減函數，
則應有，所以.
又所表示的范圍大于不等式所表示的范圍，
所以，P是Q的必要不充分條件.
故選：B.
9．（19-20高三上·天津和平·期末）奇函數f（x）在區間上是增函數，在區間上的最大值為8，最小值為－1，則f（6）＋f（－3）的值為（ ）
A．10 B．－10 C．9 D．15
【答案】C
【分析】根據函數在區間上是增函數，可求得，再根據函數的奇偶性可得，從而可得出答案.
【詳解】解：因為f（x）在區間上是增函數，
所以在區間上，，
又因為函數為奇函數，
所以，
所以f（6）＋f（－3）的值為9.
故選：C.
10．（19-20高三上·天津靜海·階段練習）已知恒成立，其中為實數，有最大值和最小值，則下列說法正確的有（ ）個
①大于的最大值；
②大于的所有函數值；
③的圖象在以下；
④函數無零點
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
【分析】由題意可知若滿足恒成立，其中為實數，并且函數有最大值和最小值，即，即可判斷所有選項.
【詳解】由題意可知若滿足恒成立，其中為實數，并且函數有最大值和最小值，即,那么①正確；
也等價于大于的所有的函數值，所以②正確；
也等價于的圖象在以下，所以③正確；
也等價于和無交點，即無實數根，即無零點，所以④正確.
故正確個數有4個.
故選：D
【點睛】本題考查恒成立的等價性，意在考查概念理解，屬于基礎題型.
確定函數單調性的四種方法 定義法；(2)導數法；(3)圖象法；(4)性質法． 比較大小：(1)比較函數值的大小時，先轉化到同一個單調區間內，然后利用函數的單調性解決． (2)求解函數不等式時，由條件脫去“f”，轉化為自變量間的大小關系，應注意函數的定義域． (3)利用單調性求參數的取值(范圍)．根據其單調性直接構建參數滿足的方程(組)(不等式(組))或先得到其圖象的升降，再結合圖象求解．對于分段函數，要注意銜接點的取值．二、
題型3 函數的奇偶性、周期性
11．（2023·天津河北·一模）關于函數有下述四個結論：
①是偶函數；
②在區間上單調；
③的最大值為，最小值為，則；
④最小正周期是.
其中正確的結論有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】①由偶函數的概念可判斷；②先整理當時，，根據的單調性可得；③先去絕對值，分別根據單調性求函數的最值即可；④根據周期函數的概念可得.
【詳解】函數的定義域為，因為，
故是偶函數；
當時，，此時，
對于，令，得，
令，得，
又，故在上單調遞增，在上單調遞減，故②錯誤；
當時，，
由②可知，在上單調遞增，在上單調遞減，
此時的最大值為，最小值為，
當時，，，
令，得，
令，得，
故在上單調遞增，在上單調遞減，
此時的最大值為，最小值為，
故，，，故③正確；
由③可知，
又，
故④正確；
故選 ：C
12．（2023·天津河北·一模）函數的導數為，則的部分圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】對函數求導可得，再由函數奇偶性可排除BD選項，再由余弦函數圖象性質可知C選項符合題意.
【詳解】根據題意可得，
易知的定義域為，且滿足，
即可得為奇函數，圖象應關于原點對稱，可排除BD；
利用余弦函數圖象性質可知，當時，，該部分圖象在軸的上方，可排除A，
C選項符合題意.
故選：C
13．（2024·天津·一模）如圖是函數的部分圖象，則的解析式可能為（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據函數的奇偶性可排除C，根據在原點附近的函數值的正負可排除BA，即可求解.
【詳解】由圖可知：的圖象關于軸對稱，則為偶函數，
對于A，，為偶函數，
但當取一個很小的正數，例如，選項中的，而原圖象中值為負數，故A不符合，舍去，
對于B, ,為偶函數，但是處有意義，但是原函數在處無意義，故B不符合，
對于C，，為奇函數，故C不符合，
故選：D
14．（22-23高二下·天津河西·期末）設是定義域為R的奇函數，且，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據奇函數的性質，結合已知等式判斷函數的周期，利用周期進行求解即可
【詳解】
解：因為是定義域為R的奇函數，
由，得，
該函數的周期為2，
所以.
故選：A
15．（2005·天津·高考真題）設是定義在上以為周期的函數，在內單調遞減，且的圖象關于直線對稱，則下面正確的結論是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由函數的周期為6，從而有，所以有，，又因為，且函數在內單調遞減，從而判斷大小.
【詳解】解：因為在上以為周期，對稱軸為，且在內單調遞減，
所以，，
，
，即.
故選：B．
判斷函數的奇偶性，其中包括兩個必備條件 (1)定義域關于原點對稱，否則即為非奇非偶函數． (2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的等價等量關系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數)或f(x)－f(－x)＝0(偶函數))是否成立． 利用奇偶性秋參：(1)利用函數的奇偶性可求函數值或求參數的取值，求解的關鍵在于借助奇偶性轉化為求已知區間上的函數或得到參數的恒等式，利用方程思想求參數的值． 利用函數的奇偶性可畫出函數在其對稱區間上的圖象，結合幾何直觀求解相關問題． 函數的周期：(1)求解與函數的周期有關的問題，應根據題目特征及周期定義，求出函數的周期． (2)利用函數的周期性，可將其他區間上的求值、求零點個數、求解析式等問題，轉化到已知區間上，進而解決問題．
題型4 函數的對稱性
16．（2023·天津·二模）設函數，.當時，與的圖象所有交點的橫坐標之和為（ ）
A．4051 B．4049 C．2025 D．2023
【答案】B
【分析】判斷兩函數的對稱性或周期，作出函數圖象，數形結合，確定交點個數，進而求得答案.
【詳解】函數的最小正周期為2，直線為其一條對稱軸，
，其圖象關于直線對稱，
故可作出函數函數，得圖象如圖：
由圖像可知，在直線的右側，包含的1012個周期，
在每個周期內和的圖象都有2個交點，
則共有2024個交點，
根據對稱性可知，在直線的左側，和的圖象也有2024個交點，
且在直線的兩側的交點是關于直線兩兩對稱的，
故這4048個交點的橫坐標之和為，
而也是這兩函數圖象的一個交點的橫坐標，
故與的圖象所有交點的橫坐標之和為，
故選：B
【點睛】方法點睛：解決此類函數圖象的交點個數問題，首先要明確函數的性質，比如周期性對稱性等，然后采用數形結合的方法，即作出函數圖象，解決問題，關鍵在于要能正確的作出函數圖象.
17．（2022·天津河西·二模）已知定義在R上的函數滿足：①；②；③在上的解析式為，則函數與函數的圖象在區間上的交點個數為( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】由函數的性質作出其圖象，再觀察交點個數即可得解．
【詳解】由知的圖象關于對稱，
由知的圖象關于對稱，
作出與在,上的圖象：

由圖可知函數與函數的圖象在區間上的交點個數為4．
故選：B．
18．（21-22高三上·天津南開·期末）函數的所有零點之和為（ ）.
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【分析】函數的零點可以轉化為圖像的交點來解決，在同一坐標系下畫出，的圖像，看它們交點的個數.
【詳解】記，，而
，
，于是這兩個函數都關于對稱，在同一坐標系下畫出它們圖像如下，可知它們有8個交點，這8個交點可以分成4組，每一組的兩個點都關于對稱，這樣的兩個點橫坐標之和是3，于是這些交點的橫坐標之和為.
故選：C.
19．（21-22高三上·天津南開·階段練習）函數，則下列結論中錯誤的是（ ）
A．的圖象關于點對稱
B．在其定義域上單調遞增
C．的值域為
D．函數有且只有一個零點
【答案】A
【分析】根據的圖象上的點關于對稱的點不在的圖象上，可知A不正確；利用的奇偶性以及在上的單調性，可知在其定義域上單調遞增，故B正確；求出函數的值域，可知C正確；求出函數的零點，可知D正確.
【詳解】的定義域為，因為，所以為奇函數， 的圖象關于原點對稱，
在的圖象上取點，它關于對稱的點不在的圖象上，故A不正確；
當時，為增函數，又為奇函數，且，所以在其定義域上單調遞增，故B正確；
當時，，又為奇函數，所以當時，，又，所以的值域為，故C正確；
令，得，得，所以函數有且只有一個零點，故D正確.
故選：A
20．（19-20高三下·天津南開·階段練習）已知定義在上的函數滿足（），且當時為增函數，記，，，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先比較，，0的大小，然后由函數的單調性得出結論．
【詳解】∵數滿足（），
∴的圖象關于直線對稱，
又時，單調 遞增，所以時，單調 遞減，
，
由指數函數性質得，
所以，即．
故選：D．
【點睛】本題考查函數的對稱性、單調性，考查指數函數的性質與對數的運算，掌握指數函數的性質與函數的對稱性是解題關鍵．
對稱軸：函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱 f(x)＝f(2a－x) f(a－x)＝f(a＋x)； 若函數y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝成軸對稱． 對稱中心：函數y＝f(x)的圖象關于點(a，b)對稱 f(a＋x)＋f(a－x)＝2b 2b－f(x)＝f(2a－x)；若函數y＝f(x)滿足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，則y＝f(x)的圖象關于點成中心對稱．
考點二：基本初等函數
二次函數與冪函數
1．冪函數
(1)冪函數的定義
一般地，函數y＝xα稱為冪函數，其中x是自變量，α是常數．
(2)常見的五種冪函數的圖象
(3)冪函數的性質
①冪函數在(0，＋∞)上都有定義；
②當α>0時，冪函數的圖象都過點(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上單調遞增；
③當α<0時，冪函數的圖象都過點(1,1)，且在(0，＋∞)上單調遞減；
④當α為奇數時，y＝xα為奇函數；當α為偶數時，y＝xα為偶函數．
2．二次函數
(1)二次函數解析式的三種形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
頂點式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點坐標為(m，n)．
零點式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點．
(2)二次函數的圖象和性質
函數 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)
圖象(拋物線)
定義域 R
值域
對稱軸 x＝－
頂點坐標
奇偶性 當b＝0時是偶函數，當b≠0時是非奇非偶函數
單調性 在上單調遞減； 在上單調遞增 在上單調遞增； 在上單調遞減
指數與指數函數
1．根式
(1)一般地，給定大于1的正整數n和實數a，如果存在實數x，使得xn＝a，那么x稱為a的n次方根．
(2)當有意義的時候，稱為根式，其中n稱為根指數，a稱為被開方數．
(3)()n＝a.
當n為奇數時，＝a，
當n為偶數時，＝|a|＝
2．分數指數冪
正數的正分數指數冪：＝(a>0，m，n∈N＋，且為既約分數)．
正數的負分數指數冪：＝＝(a>0，m，n∈N＋，n>1)．
0的正分數指數冪等于0,0的負分數指數冪沒有意義．
3．指數冪的運算性質
aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈Q)．
4．指數函數及其性質
(1)概念：一般地，函數y＝ax(a>0，且a≠1)稱為指數函數，其中指數x是自變量，定義域是R.
(2)指數函數的圖象與性質
a>1 0圖象
定義域 R
值域 (0，＋∞)
性質 過定點(0,1)，即x＝0時，y＝1
當x>0時，y>1； 當x<0時，01； 當x>0時，0在(－∞，＋∞)上是增函數 在(－∞，＋∞)上是減函數
常用結論
1．指數函數圖象的關鍵點(0,1)，(1，a)，.
2.如圖所示是指數函數(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，則c>d>1>a>b>0，即在第一象限內，指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象越高，底數越大．
對數與對數函數
1．對數的概念
在表達式ab＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，當a與N確定之后，只有唯一的b能滿足這個式子，此時，冪指數b稱為以a為底N的對數，記作b＝logaN，其中a稱為對數的底數，N稱為對數的真數．
以10為底的對數叫做常用對數，記作lg N.
以e為底的對數叫做自然對數，記作ln N.
2．對數的性質與運算性質
(1)對數的性質：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
(2)對數的運算性質
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM (n∈R).
(3)對數換底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．
3．對數函數的圖象與性質
a>1 0圖象
定義域 (0，＋∞)
值域 R
性 質 過定點(1,0)，即x＝1時，y＝0
當x>1時，y>0； 當01時，y<0； 當00
在(0，＋∞)上是增函數 在(0，＋∞)上是減函數
4.反函數
一般地，如果在函數y＝f(x)中，給定值域中任意一個y的值，只有唯一的x與之對應，那么x是y的函數，這個函數稱為y＝f(x)的反函數．
常用結論
1．logab·logba＝1，＝logab.
2．如圖給出4個對數函數的圖象
則b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的對數函數圖象從左到右底數逐漸增大．
3．對數函數y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象恒過點(1,0)，(a,1)，.
題型1 二次函數
1．（22-23高三上·天津武清·階段練習）已知函數在區間上是單調函數，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出二次函數圖像的對稱軸，由題意可得對稱軸小于等于，或大于等于，從而可求出的取值范圍.
【詳解】的圖像的對稱軸為，
因為函數在區間上時單調函數，
所以或，
得或，
即的取值范圍是，
故選：D
2．（19-20高三上·天津北辰·期中）已知，若在上恒成立，則實數a的范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】法一：分和，結合函數單調性和函數值的正負得到不等式，求出實數a的范圍范圍；
法二：畫出與的圖象，數形結合求出實數a的范圍.
【詳解】法一：當時，，
由于在上單調遞減，
故，
則，所以，
即在恒成立，
令
由于，，
故只需，即，解得，
當時，，此時函數單調遞增，
當時，，此時，
由得，即在恒成立，
令，由于，
故只需，解得，
當時，，此時，
由得，即在恒成立，
令，
只需，解得，
綜上，與取交集得，；
法二：畫出在上的圖象與的圖象，
其中，要想在上恒成立，
則.
故選：B
3．（21-22高三上·天津河北·期中）已知函數，則函數不同的零點個數最多為（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【分析】由已知得，利用韋達定理分別研究兩段的零點情況即可.
【詳解】解：由已知得，
令①，
②，
⑴若①和②均有兩個不等根，則得，此不等式組無解；
⑵若①有兩個不等根，②有一個根，則，得，此不等式組有解，如
故函數不同的零點個數最多為3個.
故選：C.
4．（2019高三·天津·學業考試）已知函數在上有最小值-1，則的值為（ ）
A．-1或1 B．
C．或1 D．或1或-1
【答案】A
【分析】對對稱軸分三種情況、、討論，即得解.
【詳解】，對稱軸是，
當即時，，所以，
當即時，，所以，舍去；
當即時，，所以，舍去.
綜上，.
故選：A.
【點睛】本題主要考查二次函數在區間上的最值，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.
5．（2020高三·天津·專題練習）已知a是常數，函數的導函數y＝f′(x)的圖像如圖所示，則函數g(x)＝|ax－2|的圖像可能是（ ）
A．. B． C． D．
【答案】D
【分析】先求導函數，再根據對稱軸求a的取值范圍，再根據指數函數圖象及其變換得結果.
【詳解】∵
∴f′(x)＝x2＋(1－a)x－a，
由函數y＝f′(x)的圖像可知
∴a＞1，
則函數g(x)＝|ax－2|的圖像是由函數y＝ax的圖像向下平移2個單位，然后將x軸下方的圖像翻折到x軸上方得到的，所以與x軸交點為，其中，
故選:D
【點睛】本題考查函數導數、二次函數對稱軸、指數函數圖象與變換，考查綜合分析求解與判斷能力，屬中檔題.
求二次函數解析式的三個策略： (1)已知三個點的坐標，宜選用一般式； (2)已知頂點坐標、對稱軸、最大(小)值等，宜選用頂點式； (3)已知圖象與x軸的兩交點的坐標，宜選用零點式．
題型2 指數與指數函數
6．（2024·天津·一模）已知實數a，b，c滿足，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據條件，得到，利用函數的單調性，即可得到，而，即可求出結果.
【詳解】因為，得到，又，函數是減函數，
所以，又，得到，
所以，
故選：A.
7．（23-24高一上·陜西渭南·期末）已知函數，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
判斷出函數的單調性，再結合指數函數以及對數函數的單調性得出，利用函數的單調性即可得答案.
【詳解】由于函數在R上均為增函數，
故在R上單調遞增，
由于，
故，故，即，
故選：D
8．（23-24高三上·天津武清·階段練習）已知，，，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】結合指數函數的單調性即可得.
【詳解】由，即，則，即，
則，即.
故選：B.
9．（23-24高三上·天津濱海新·階段練習）函數的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用即可排除選項A和C，再利用復合函數的單調性即可求出結果.
【詳解】因為，易知，故選項A和C錯誤；
令，，因為是定義域上的增函數，
又在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，
所以在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，所以選項B正確，選項D錯誤，
故選：B.
10．（2023·吉林·一模）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據指對冪函數的單調性以及中間值進行比較即可.
【詳解】由單調遞減可知：，即；
由單調遞增可知：，即
所以.
故選：D.
指數運算：(1)指數冪的運算首先將根式、分數指數冪統一為分數指數冪，以便利用法則計算，還應注意： ①必須同底數冪相乘，指數才能相加． ②運算的先后順序． 運算結果不能同時含有根號和分數指數，也不能既有分母又含有負指數． 指數函數的圖像：對于有關指數型函數的圖象問題，一般是從最基本的指數函數的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換得到．特別地，當底數a與1的大小關系不確定時應注意分類討論．
題型3 對數與對數函數
11．（2024·天津河東·一模）設，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據對數的單調性以及指數的單調性即可利用中間值求解.
【詳解】，
故,
故選：A
12．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由對數的換底公式及對數的運算性質即可求出結果.
【詳解】由換底公式得，，，
所以.
故選：D.
13．（23-24高三上·河北邢臺·期末）已知函數，則函數的圖象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用函數的定義域和值域，排除法選擇正確選項.
【詳解】因為的定義域為，所以的定義域為，所以排除A，C．
因為，所以，所以排除B．
故選：D
14．（23-24高三上·天津寧河·期末）已知數列滿足：，若，則（ ）
A．48 B．24 C．16 D．12
【答案】A
【分析】先根據條件得到數列為公差為1的等差數列，再利用等差數列的通項公式及對數的運算性質計算即可.
【詳解】由得，
所以數列為公差為1的等差數列，
所以，
所以，
所以.
故選：A.
15．（23-24高三上·天津和平·期末）計算的值為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】直接由指數、對數的運算性質運算即可.
【詳解】由題意
.
故選：C.
解決對數運算問題的常用方法 (1)將真數化為底數的指數冪的形式進行化簡． (2)將同底對數的和、差、倍合并． (3)利用換底公式將不同底的對數式轉化成同底的對數式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應用． 對數函數圖象的識別及應用方法 (1)在識別函數圖象時，要善于利用已知函數的性質、函數圖象上的特殊點(與坐標軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項． (2)一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題，利用數形結合法求解．
題型4 冪函數
16．（22-23高一下·云南昆明·期末）已知冪函數為偶函數，且在上單調遞減，則的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據偶函數的定義和冪函數的性質逐個分析判斷即可
【詳解】對于A，的定義域為，因為定義域不關于原點對稱，所以函數為非奇非偶函數，所以A錯誤，
對于B，的定義域為，因為，所以函數為偶函數，
因為在上遞增，所以B錯誤，
對于C，的定義域為，因為，所以函數為偶函數，
因為在上單調遞減，所以C正確，
對于D，的定義域為，因為，所以函數為奇函數，所以D錯誤，
故選：C
17．（2023·天津和平·三模）已知滿足，則的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據方程的根、函數的零點與函數圖象的交點之間的等價關系，畫出相應函數圖象即可求解.
【詳解】由題意知：把的值看成函數與圖像的交點的橫坐標，
因為，，易知；
把的值看成函數與圖像的交點的橫坐標，
，易知；
把的值看成函數與圖像的交點的橫坐標，
，與，易知.
所以.
故選：B.
18．（2022·天津·一模）已知冪函數的圖象經過點與點，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設冪函數，依次將點，點坐標代入，可得，結合指數函數和對數函數性質即可得到答案.
【詳解】設冪函數，因為點在的圖象上，
所以，，即，
又點在的圖象上，所以，則，
所以，，，
所以，
故選：B
19．（2016高三·天津紅橋·學業考試）下列函數在R上是減函數的為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據基本初等函數的單調性即可判斷.
【詳解】在R上單調遞減，故A符合題意；
在R上單調遞增，故B不符題意；
在單調遞減，故C不符題意；
在R上單調遞增，故D不符題意.
故選：A.
20．（2019·天津·一模）已知點在冪函數的圖象上，設 則的大小關系為
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先根據冪函數定義求，再代入點坐標得，最后根據冪函數奇偶性與單調性判斷大小.
【詳解】由為冪函數得,
因為點在冪函數上，所以,即，
因為又,
所以，選A.
【點睛】本題考查冪函數定義以及奇偶性與單調性，考查基本分析判斷與求解能力，屬基礎題.
(1)對于冪函數圖象的掌握只要抓住在第一象限內三條線分第一象限為六個區域，即x＝1，y＝1，y＝x所分區域．根據α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定． (2)在比較冪值的大小時，必須結合冪值的特點，選擇適當的函數，借助其單調性進行比較．
考點三：函數的綜合應用
函數的圖像
1．利用描點法作函數圖象的方法步驟：列表、描點、連線．
2．利用圖象變換法作函數的圖象
(1)平移變換
(2)對稱變換
①y＝f(x)y＝－f(x)．
②y＝f(x)y＝f(－x)．
③y＝f(x)y＝－f(－x)．
④y＝ax (a>0，且a≠1)y＝logax(a>0，且a≠1)．
(3)翻折變換
①y＝f(x)y＝|f(x)|.
②y＝f(x)y＝f(|x|)．
函數的零點與方程
1．函數的零點與方程的解
(1)函數零點的概念
一般地，如果函數y＝f(x)在實數α處的函數值等于零，即f(α)＝0，則稱α為函數y＝f(x)的零點．
(2)函數零點與方程實數解的關系
方程f(x)＝0有實數解 函數y＝f(x)有零點 函數y＝f(x)的圖象與x軸有公共點．
(3)函數零點存在定理
如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的，并且f(a)f(b)<0(即在區間兩個端點處的函數值異號)，則函數y＝f(x)在區間(a，b)中至少有一個零點，即 x0∈(a，b)，f(x0)＝0.
2．二分法
對于在區間[a，b]上圖象連續不斷且f(a)f(b)<0的函數y＝f(x)，通過不斷地把它的零點所在區間一分為二，使所得區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．
函數模型的應用
1．三種函數模型的性質
函數 性質 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增減性 單調遞增 單調遞增 單調遞增
增長速度 越來越快 越來越慢 相對平穩
圖象的變化 隨x的增大逐漸表現為與y軸平行 隨x的增大逐漸表現為與x軸平行 隨n值的變化而各有不同
2．常見的函數模型
函數模型 函數解析式
一次函數模型 f(x)＝ax＋b(a，b為常數，a≠0)
二次函數模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)
反比例函數模型 f(x)＝＋b(k，b為常數，k≠0)
指數函數模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數，a>0且a≠1，b≠0)
對數函數模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數，a>0且a≠1，b≠0)
冪函數模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α為常數，a≠0，α≠0)
題型1 函數的圖像
1．（2023·天津河北·一模）函數的導數為，則的部分圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】對函數求導可得，再由函數奇偶性可排除BD選項，再由余弦函數圖象性質可知C選項符合題意.
【詳解】根據題意可得，
易知的定義域為，且滿足，
即可得為奇函數，圖象應關于原點對稱，可排除BD；
利用余弦函數圖象性質可知，當時，，該部分圖象在軸的上方，可排除A，
C選項符合題意.
故選：C
2．（2024·天津和平·一模）函數的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據奇偶性可排除C；利用導數可求得單調性，由此可排除AD.
【詳解】定義域為，，
為定義在上的奇函數，圖象關于坐標原點對稱，C錯誤；
當時，，，
在上單調遞增，AD錯誤，B正確.
故選：B.
3．（2024·天津河西·一模）已知函數在區間的圖象如下圖所示，則的解析式可能為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】結合函數圖像，根據函數的奇偶性及特殊點的函數值可判斷結果.
【詳解】當時，，所以，由圖可知A錯誤；
由偶函數定義，得為偶函數，由題給圖象可知函數是奇函數，故B錯誤；
當時，，由圖可知D錯誤；
由奇函數定義可知函數為奇函數，當時，
當時，，選項C均符合圖像特征，故C正確；
故選：C.
4．（2024·天津河東·一模）如圖中，圖象對應的函數解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據函數的奇偶性可排除A，根據有界性可排除C，根據4處的函數值不超過5，可判斷B.
【詳解】由圖象可知函數關于原點對稱，故為奇函數，
對于A，，故函數為偶函數，不符合，
對于B, ，
根據圖象可知，4處的函數值不超過5，故B不符合，
對于C，由于，顯然不符合，
故選：D
5．（23-24高三上·天津·期末）如圖為函數的大致圖象，其解析式可能為（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】用排除法，利用特值法以及函數的奇偶性，零點即可排除其他選項，從而可得答案.
【詳解】對A，因為，與圖象不符，故A錯誤；
對B，，，所以函數是奇函數，這與圖象不符，
故B錯誤；
對D，當時，，，所以此時無零點，與圖象不符，故D錯誤.
故選：C.
函數圖象的常見畫法及注意事項 (1)直接法：對于熟悉的基本函數，根據函數的特征描出圖象的關鍵點，直接作圖． (2)轉化法：含有絕對值符號的，去掉絕對值符號，轉化為分段函數來畫． (3)圖象變換法：若函數圖象可由某個基本函數的圖象經過平移、伸縮、翻折、對稱得到，則可利用圖象變換作圖． (4)畫函數的圖象一定要注意定義域． 識別函數的圖象的主要方法 (1)利用函數的性質，如奇偶性、單調性、定義域等判斷． (2)利用函數的零點、極值點等判斷． (3)利用特殊函數值判斷． 當不等式問題不能用代數法求解或用代數法求解比較困難，但其對應函數的圖象可作出時，常將不等式問題轉化為圖象的位置關系問題，從而利用數形結合思想求解．
題型2 函數的零點
6．（23-24高三上·天津薊州·階段練習）已知函數，函數，若函數有3個零點，則實數的取值范圍為（ ）
A．（5，） B．
C． D．
【答案】B
【分析】由題意，易知當時與有1個交點，則當時與需有兩個交點.易知不符合題意，則，分類討論函數的圖象在、上的交點個數，利用數形結合的思想，結合一元二次方程在區間有解問題建立不等式組，解之即可.
【詳解】如圖，當時，函數與圖象有1個交點.
要使有3個零點，則當時，與有兩個交點即可，
若，，兩函數沒有交點，所以，
畫出圖象，如下圖所示，
由圖象可知，函數的圖象在內至多有一個交點.
當函數的圖象在上有兩交點，則在上沒有交點.
即直線與曲線在有兩交點，且函數的圖象在上沒有交點.
即方程在有兩個解，且在上沒有解.
設，需，且，
解得或（舍去），且，得；
若在上函數的圖象有1個交點，則在上函數的圖象有1個交點，
即在有1個解，且在上有1個解.
則且，此時無解.
綜上，要使函數圖象在只有兩交點，則.
故選：B
【點睛】此題考查函數與方程，考查由函數的零點個數求參數的取值范圍，考查轉化思想和計算能力，屬于難題.
7．（23-24高三上·天津南開·期中）對于任意的實數，總存在三個不同的實數y，使得成立，其中e為自然對數的底數，則實數a的取值范圍是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先分離，構造關于的函數，然后畫出圖像，根據圖像有三個交點，求出參數的取值范圍.
【詳解】
，
令，則，
令，解得或者，
令，解得，
所以在和單調遞增，在單調遞減，如圖所示，

要使得直線與函數有3個交點，則直線要在點上方，
而，
當且僅當時取到等號，所以，
所以只需滿足即可，
故選：A
【點睛】方法點睛：分離參數后再構造函數，由解的問題轉化為兩個函數交點問題是處理含參導數問題的常用方法.
8．（23-24高三上·天津東麗·期中）若函數恰有4個零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先確定0是一個零點，在非0零點中，根據的正負分類討論化簡方程，然后轉化為函數與函數的圖象有三個不同的交點，作出函數圖象進行分析可得，注意對討論作出的圖象．
【詳解】顯然是的一個零點，
因此除0以外還有3個解，
時，方程化為，時方程化為，
時，顯然不合題意，
所以函數與函數的圖象有三個不同的交點，
作出函數和的圖象，
時圖象為圖1，時，圖象為圖2，
時，時的圖象與的圖象沒有公共點，時，的圖象是一條射線，圖象與的圖象不可能是三個交點，
，時的圖象是一條射線與的圖象沒有公共點，
所以時，的圖象與的圖象應有三個公共點，
時，的圖象是一條線段，與有一個公共點，時，是一條射線，與應有兩個交點，
由得，，或(舍去)，
經檢驗，滿足要求，
綜上，．
故選：A．

【點睛】方法點睛：對含有參數的零點問題一般先化為方程的解，然后轉化為函數圖象交點個數問題，這里變化最多的是一般的函數圖象與直線的交點，然后利用直線與曲線的關系進行求解．
9．（23-24高三上·天津·期中）已知函數，若關于x的方程恰有6個不同的實數根，則m的取值范圍是（ ）
A． B．(
C． D．
【答案】A
【分析】根據分段函數的解析式，作出函數的圖象，根據圖象可得當取不同值時，的交點個數，即可結合二次函數零點的分布求解.
【詳解】根據，作出的大致圖象如下：
由圖可知：當時，此時由兩個根，分別為，
當時，此時有4個交點，
當時，此時有3個交點，
當時，此時有2個交點，
故要使得由6個不同的零點，則令，有6個不同的實數根，
顯然不是的根，
設的兩個零點分別為，且，
故當時，此時有4個交點，有2個交點，滿足題意，
故需要滿足，解得，
當時，此時有3個交點，有3個交點，滿足題意，
故需要滿足，解得，
綜上可得或
故選：A

10．（23-24高三上·天津薊州·階段練習）已知，函數，關于的方程恰有兩個互異的實數解，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據分段函數的意義將方程恰有兩個互異的實數解，轉化為各段上根的個數問題分類推理求解.
【詳解】因為關于的方程恰有兩個互異的實數解，則有：
有兩個不同的實根，且無實根，
或與各有一個實根，
或無實根，且有兩個不同的實根，
當時，，
令，則為增函數，
所以在上最多一個零點，有兩個不同的實根不成立，
當函數在上有一個零點時，必有，即，
此時，，
因此，當時，函數在上確有一個零點，方程必有一個實根，
當，時，，
設函數，
而函數對稱軸，即在上單調遞減，又，即在上必有一個零點，
因此，方程必有一個實根，
于是得當時，與各有一個實根，
若方程無實根，必有，
此時方程有兩個不同的實根，函數在上有兩個零點，
當且僅當，解得，
于是得當時，有兩個不同的實根，且無實根，
綜上得：當或時，方程恰有兩個互異的實數解，
所以實數a的取值范圍是.
故選：C.
【點睛】思路點睛：涉及分段函數零點個數求參數范圍問題，可以按各段零點個數和等于總的零點個數分類分段討論解決.
確定函數零點所在區間的常用方法 (1)利用函數零點存在定理：首先看函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是否連續，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數y＝f(x)在區間(a，b)內必有零點． (2)數形結合法：通過畫函數圖象，觀察圖象與x軸在給定區間上是否有交點來判斷． 求解函數零點個數的基本方法 (1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少個解，則f(x)有多少個零點； (2)定理法：利用定理時往往還要結合函數的單調性、奇偶性等； (3)圖象法：一般是把函數拆分為兩個簡單函數，依據兩函數圖象的交點個數得出函數的零點個數． 根據函數零點的情況求參數的三種常用方法 (1)直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍． (2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決． (3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，然后數形結合求解.
題型3 函數模型應用
11．（23-24高三上·天津河北·期末）物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻方程來描述：設物體的初始溫度為，環境溫度為，經過一段時間（單位：分鐘）后物體的溫度是，滿足.將85℃的熱水放到21℃的房間中，如果熱水降到37℃需要16分鐘，那么從37℃降到29℃還需要多少分鐘？（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】由題設，將代入并應用指數運算求得，再將代入公式求從37℃降到29℃需要的時間.
【詳解】由題設，可得，
所以，則，可得.
故選：D
12．（2020·天津·一模）某市生產總值連續兩年持續增加，第一年的增長率為，第二年的增長率為，則該市這兩年生產總值的年平均增長率為（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由題意結合平均增長率的概念列出方程即可得解.
【詳解】設最初總生產值為，則第一年的總產值為，第二年的總產值為，
設平均增長率為，則，
解得（負值舍去），
故兩年平均增長率為.
故選：D.
【點睛】本題考查了平均增長率的應用，考查了運算求解能力，屬于基礎題.
13．（2015·北京·高考真題）某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況．
加油時間 加油量（升） 加油時的累計里程（千米）
年月日
年月日
注：“累計里程“指汽車從出廠開始累計行駛的路程
在這段時間內，該車每千米平均耗油量為（ ）
A．升 B．升 C．升 D．升
【答案】B
【詳解】因為第一次郵箱加滿，所以第二次的加油量即為該段時間內的耗油量，故耗油量升. 而這段時間內行駛的里程數千米. 所以這段時間內，該車每100千米平均耗油量為升，故選B.
考點：平均變化率.
14．（2018高三·全國·專題練習）某食品的保鮮時間（單位：小時）與儲藏溫度（單位：）滿足函數關系為自然對數的底數，為常數.若該食品在的保鮮時間是，在的保鮮時間是，則該食品在的保鮮時間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】將，；，代入函數關系可得，則可求出時的函數值.
【詳解】由題可知當時，；當時，，
，解得，
則當時，.
故選：C.
15．（21-22高一上·內蒙古呼和浩特·期末）已知一種放射性元素最初的質量是，按每年10%衰減.（已知，），則可求得這種元素的半衰期（質量變到原有質量一半所需的時間）為（ ）（結果精確到0.1）
A．7.6年 B．7.8年 C．6.2年 D．6.6年
【答案】D
【分析】列出指數方程，兩邊取對數，進行求解.
【詳解】設這種元素的半衰期為t，則，兩邊取常用對數得：.
故選：D
判斷函數圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法 (1)構建函數模型法：當根據題意易構建函數模型時，先建立函數模型，再結合模型選擇函數圖象． (2)驗證法：根據實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結合函數圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案． 已知函數模型解決實際問題的關鍵 (1)認清所給函數模型，弄清哪些量為待定系數． (2)根據已知利用待定系數法，確定模型中的待定系數． (3)利用該函數模型，借助函數的性質、導數等求解實際問題，并進行檢驗． 構建函數模型解決實際問題的步驟 (1)建模：抽象出實際問題的數學模型； (2)推理、演算：對數學模型進行邏輯推理或數學運算，得到問題在數學意義上的解； (3)評價、解釋：對求得的數學結果進行深入討論，作出評價、解釋，然后返回到原來的實際問題中去，得到實際問題的解．重難點04 函數
考點一 函數的概念與性質
函數定義域、解析式
函數的單調性、最值
函數的奇偶性、周期性
函數的對稱性
考點二 基本初等函數
二次函數
指數函數
對數函數
冪函數
考點三 函數的應用
函數的圖像
函數的零點
函數模型的應用
考點一：函數的概念和性質
一、函數的概念及其表示
1．函數的概念
給定兩個非空實數集A與B，以及對應關系f，如果對于集合A中每一個實數x，在集合B中都有唯一確定的實數y與x對應，則稱f為定義在集合A上的一個函數，記作y＝f(x)，x∈A.
2．函數的三要素
(1)函數的三要素：定義域、對應關系、值域．
(2)如果兩個函數表達式表示的函數定義域相同，對應關系也相同，則稱這兩個函數表達式表示的就是同一個函數．
3．函數的表示法
表示函數的常用方法有解析法、圖象法和列表法．
4．分段函數
如果一個函數，在其定義域內，對于自變量的不同取值區間，有不同的對應方式，則稱其為分段函數．
函數的單調性與最值
1．函數的單調性
(1)單調函數的定義
增函數 減函數
定義 一般地，設函數f(x)的定義域為D，區間I D，如果 x1，x2∈I
當x1f(x2)，那么就稱函數f(x)在區間I上是減函數
圖象描述 自左向右看圖象是上升的 自左向右看圖象是下降的
(2)單調區間的定義
如果函數y＝f(x)在區間I上單調遞增或單調遞減，那么就說函數y＝f(x)在這一區間具有(嚴格的)單調性，區間I叫做y＝f(x)的單調區間．
2．函數的最值
前提 設函數y＝f(x)的定義域為D，且x0∈D
條件 x∈D，都有f(x)≤f(x0) x∈D，都有f(x)≥f(x0)
結論 f(x0)為f(x)的最大值 f(x0)為f(x)的最小值
三、函數的奇偶性、周期性
1．函數的奇偶性
奇偶性 定義 圖象特點
偶函數 一般地，設函數f(x)的定義域為D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函數f(x)就叫做偶函數 關于y軸對稱
奇函數 一般地，設函數f(x)的定義域為D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函數f(x)就叫做奇函數 關于原點對稱
2.周期性
(1)周期函數：對于函數f(x)，如果存在一個非零常數T，使得對定義域內的每一個x，都滿足f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數f(x)為周期函數，非零常數T稱為這個函數的周期．
(2)最小正周期：對于一個周期函數f(x)，如果在它的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小的正數就稱為f(x)的最小正周期．
四、函數的對稱性
1．奇函數、偶函數的對稱性
(1)奇函數關于原點對稱，偶函數關于y軸對稱．
(2)若f(x－2)是偶函數，則函數f(x)圖象的對稱軸為x＝－2；若f(x－2)是奇函數，則函數f(x)圖象的對稱中心為(－2,0)．
2．若函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱，則f(a－x)＝f(a＋x)；
若函數y＝f(x)滿足f(a－x)＝－f(a＋x)，則函數的圖象關于點(a,0)對稱．
3．兩個函數圖象的對稱
(1)函數y＝f(x)與y＝f(－x)關于y軸對稱；
(2)函數y＝f(x)與y＝－f(x)關于x軸對稱；
(3)函數y＝f(x)與y＝－f(－x)關于原點對稱．
題型1 函數的概念及其表示
1．（19-20高三上·天津北辰·期中）已知，若在上恒成立，則實數a的范圍是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高三上·天津和平·階段練習）函數的部分圖象如圖所示，則的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高三上·天津河東·階段練習）設函數為偶函數，則（ ）
A．22 B． C． D．21
4．（23-24高三上·天津南開·階段練習）設集合，，則（ ）
A． B． C． D．
5．（19-20高二下·天津寧河·期末）函數的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
定義域：(1)無論抽象函數的形式如何，已知定義域還是求定義域，均是指其中的x的取值集合；(2)若已知函數f(x)的定義域為[a，b]，則復合函數f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出；(3)若復合函數f(g(x))的定義域為[a，b]，則函數f(x)的定義域為g(x)在[a，b]上的值域． 函數解析式的求法 (1)配湊法；(2)待定系數法；(3)換元法；(4)解方程組法． 分段函數求值問題的解題思路 (1)求函數值：當出現f(f(a))的形式時，應從內到外依次求值． (2)求自變量的值：先假設所求的值在分段函數定義區間的各段上，然后求出相應自變量的值，切記要代入檢驗．
題型2 函數的單調性與最值
6．（2023·天津河北·一模）設，則“”是“函數在上單調遞增”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
7．（19-20高三上·天津·期中）已知定義域為的奇函數的導函數為，當時，，若，則的大小關系正確的是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高三上·天津河東·階段練習）設命題“函數為遞減函數”，命題“”，則P是Q的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
9．（19-20高三上·天津和平·期末）奇函數f（x）在區間上是增函數，在區間上的最大值為8，最小值為－1，則f（6）＋f（－3）的值為（ ）
A．10 B．－10 C．9 D．15
10．（19-20高三上·天津靜海·階段練習）已知恒成立，其中為實數，有最大值和最小值，則下列說法正確的有（ ）個
①大于的最大值；
②大于的所有函數值；
③的圖象在以下；
④函數無零點
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
確定函數單調性的四種方法 定義法；(2)導數法；(3)圖象法；(4)性質法． 比較大小：(1)比較函數值的大小時，先轉化到同一個單調區間內，然后利用函數的單調性解決． (2)求解函數不等式時，由條件脫去“f”，轉化為自變量間的大小關系，應注意函數的定義域． (3)利用單調性求參數的取值(范圍)．根據其單調性直接構建參數滿足的方程(組)(不等式(組))或先得到其圖象的升降，再結合圖象求解．對于分段函數，要注意銜接點的取值．二、
題型3 函數的奇偶性、周期性
11．（2023·天津河北·一模）關于函數有下述四個結論：
①是偶函數；
②在區間上單調；
③的最大值為，最小值為，則；
④最小正周期是.
其中正確的結論有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
12．（2023·天津河北·一模）函數的導數為，則的部分圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2024·天津·一模）如圖是函數的部分圖象，則的解析式可能為（ ）

A． B．
C． D．
14．（22-23高二下·天津河西·期末）設是定義域為R的奇函數，且，若，則（ ）
A． B． C． D．
15．（2005·天津·高考真題）設是定義在上以為周期的函數，在內單調遞減，且的圖象關于直線對稱，則下面正確的結論是（ ）
A． B．
C． D．
判斷函數的奇偶性，其中包括兩個必備條件 (1)定義域關于原點對稱，否則即為非奇非偶函數． (2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的等價等量關系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數)或f(x)－f(－x)＝0(偶函數))是否成立． 利用奇偶性秋參：(1)利用函數的奇偶性可求函數值或求參數的取值，求解的關鍵在于借助奇偶性轉化為求已知區間上的函數或得到參數的恒等式，利用方程思想求參數的值． 利用函數的奇偶性可畫出函數在其對稱區間上的圖象，結合幾何直觀求解相關問題． 函數的周期：(1)求解與函數的周期有關的問題，應根據題目特征及周期定義，求出函數的周期． (2)利用函數的周期性，可將其他區間上的求值、求零點個數、求解析式等問題，轉化到已知區間上，進而解決問題．
題型4 函數的對稱性
16．（2023·天津·二模）設函數，.當時，與的圖象所有交點的橫坐標之和為（ ）
A．4051 B．4049 C．2025 D．2023
17．（2022·天津河西·二模）已知定義在R上的函數滿足：①；②；③在上的解析式為，則函數與函數的圖象在區間上的交點個數為( )
A．3 B．4 C．5 D．6
18．（21-22高三上·天津南開·期末）函數的所有零點之和為（ ）.
A．10 B．11 C．12 D．13
19．（21-22高三上·天津南開·階段練習）函數，則下列結論中錯誤的是（ ）
A．的圖象關于點對稱
B．在其定義域上單調遞增
C．的值域為
D．函數有且只有一個零點
20．（19-20高三下·天津南開·階段練習）已知定義在上的函數滿足（），且當時為增函數，記，，，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
對稱軸：函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱 f(x)＝f(2a－x) f(a－x)＝f(a＋x)； 若函數y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝成軸對稱． 對稱中心：函數y＝f(x)的圖象關于點(a，b)對稱 f(a＋x)＋f(a－x)＝2b 2b－f(x)＝f(2a－x)；若函數y＝f(x)滿足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，則y＝f(x)的圖象關于點成中心對稱．
考點二：基本初等函數
二次函數與冪函數
1．冪函數
(1)冪函數的定義
一般地，函數y＝xα稱為冪函數，其中x是自變量，α是常數．
(2)常見的五種冪函數的圖象
(3)冪函數的性質
①冪函數在(0，＋∞)上都有定義；
②當α>0時，冪函數的圖象都過點(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上單調遞增；
③當α<0時，冪函數的圖象都過點(1,1)，且在(0，＋∞)上單調遞減；
④當α為奇數時，y＝xα為奇函數；當α為偶數時，y＝xα為偶函數．
2．二次函數
(1)二次函數解析式的三種形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
頂點式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點坐標為(m，n)．
零點式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點．
(2)二次函數的圖象和性質
函數 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)
圖象(拋物線)
定義域 R
值域
對稱軸 x＝－
頂點坐標
奇偶性 當b＝0時是偶函數，當b≠0時是非奇非偶函數
單調性 在上單調遞減； 在上單調遞增 在上單調遞增； 在上單調遞減
指數與指數函數
1．根式
(1)一般地，給定大于1的正整數n和實數a，如果存在實數x，使得xn＝a，那么x稱為a的n次方根．
(2)當有意義的時候，稱為根式，其中n稱為根指數，a稱為被開方數．
(3)()n＝a.
當n為奇數時，＝a，
當n為偶數時，＝|a|＝
2．分數指數冪
正數的正分數指數冪：＝(a>0，m，n∈N＋，且為既約分數)．
正數的負分數指數冪：＝＝(a>0，m，n∈N＋，n>1)．
0的正分數指數冪等于0,0的負分數指數冪沒有意義．
3．指數冪的運算性質
aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈Q)．
4．指數函數及其性質
(1)概念：一般地，函數y＝ax(a>0，且a≠1)稱為指數函數，其中指數x是自變量，定義域是R.
(2)指數函數的圖象與性質
a>1 0圖象
定義域 R
值域 (0，＋∞)
性質 過定點(0,1)，即x＝0時，y＝1
當x>0時，y>1； 當x<0時，01； 當x>0時，0在(－∞，＋∞)上是增函數 在(－∞，＋∞)上是減函數
常用結論
1．指數函數圖象的關鍵點(0,1)，(1，a)，.
2.如圖所示是指數函數(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，則c>d>1>a>b>0，即在第一象限內，指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象越高，底數越大．
對數與對數函數
1．對數的概念
在表達式ab＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，當a與N確定之后，只有唯一的b能滿足這個式子，此時，冪指數b稱為以a為底N的對數，記作b＝logaN，其中a稱為對數的底數，N稱為對數的真數．
以10為底的對數叫做常用對數，記作lg N.
以e為底的對數叫做自然對數，記作ln N.
2．對數的性質與運算性質
(1)對數的性質：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
(2)對數的運算性質
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM (n∈R).
(3)對數換底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．
3．對數函數的圖象與性質
a>1 0圖象
定義域 (0，＋∞)
值域 R
性 質 過定點(1,0)，即x＝1時，y＝0
當x>1時，y>0； 當01時，y<0； 當00
在(0，＋∞)上是增函數 在(0，＋∞)上是減函數
4.反函數
一般地，如果在函數y＝f(x)中，給定值域中任意一個y的值，只有唯一的x與之對應，那么x是y的函數，這個函數稱為y＝f(x)的反函數．
常用結論
1．logab·logba＝1，＝logab.
2．如圖給出4個對數函數的圖象
則b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的對數函數圖象從左到右底數逐漸增大．
3．對數函數y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象恒過點(1,0)，(a,1)，.
題型1 二次函數
1．（22-23高三上·天津武清·階段練習）已知函數在區間上是單調函數，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（19-20高三上·天津北辰·期中）已知，若在上恒成立，則實數a的范圍是（ ）
A． B．
C． D．
3．（21-22高三上·天津河北·期中）已知函數，則函數不同的零點個數最多為（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
4．（2019高三·天津·學業考試）已知函數在上有最小值-1，則的值為（ ）
A．-1或1 B．
C．或1 D．或1或-1
5．（2020高三·天津·專題練習）已知a是常數，函數的導函數y＝f′(x)的圖像如圖所示，則函數g(x)＝|ax－2|的圖像可能是（ ）
. B．
C.． D．
求二次函數解析式的三個策略： (1)已知三個點的坐標，宜選用一般式； (2)已知頂點坐標、對稱軸、最大(小)值等，宜選用頂點式； (3)已知圖象與x軸的兩交點的坐標，宜選用零點式．
題型2 指數與指數函數
6．（2024·天津·一模）已知實數a，b，c滿足，，，則（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高一上·陜西渭南·期末）已知函數，若，則（ ）
A． B．
C． D．
8．（23-24高三上·天津武清·階段練習）已知，，，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24高三上·天津濱海新·階段練習）函數的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·吉林·一模）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
指數運算：(1)指數冪的運算首先將根式、分數指數冪統一為分數指數冪，以便利用法則計算，還應注意： ①必須同底數冪相乘，指數才能相加． ②運算的先后順序． 運算結果不能同時含有根號和分數指數，也不能既有分母又含有負指數． 指數函數的圖像：對于有關指數型函數的圖象問題，一般是從最基本的指數函數的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換得到．特別地，當底數a與1的大小關系不確定時應注意分類討論．
題型3 對數與對數函數
11．（2024·天津河東·一模）設，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
13．（23-24高三上·河北邢臺·期末）已知函數，則函數的圖象是（ ）
A． B．
C． D．
14．（23-24高三上·天津寧河·期末）已知數列滿足：，若，則（ ）
A．48 B．24 C．16 D．12
15．（23-24高三上·天津和平·期末）計算的值為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
解決對數運算問題的常用方法 (1)將真數化為底數的指數冪的形式進行化簡． (2)將同底對數的和、差、倍合并． (3)利用換底公式將不同底的對數式轉化成同底的對數式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應用． 對數函數圖象的識別及應用方法 (1)在識別函數圖象時，要善于利用已知函數的性質、函數圖象上的特殊點(與坐標軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項． (2)一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題，利用數形結合法求解．
題型4 冪函數
16．（22-23高一下·云南昆明·期末）已知冪函數為偶函數，且在上單調遞減，則的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
17．（2023·天津和平·三模）已知滿足，則的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
18．（2022·天津·一模）已知冪函數的圖象經過點與點，，，，則（ ）
A． B． C． D．
19．（2016高三·天津紅橋·學業考試）下列函數在R上是減函數的為（ ）
A． B． C． D．
20．（2019·天津·一模）已知點在冪函數的圖象上，設 則的大小關系為
A． B． C． D．
(1)對于冪函數圖象的掌握只要抓住在第一象限內三條線分第一象限為六個區域，即x＝1，y＝1，y＝x所分區域．根據α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定． (2)在比較冪值的大小時，必須結合冪值的特點，選擇適當的函數，借助其單調性進行比較．
考點三：函數的綜合應用
函數的圖像
1．利用描點法作函數圖象的方法步驟：列表、描點、連線．
2．利用圖象變換法作函數的圖象
(1)平移變換
(2)對稱變換
①y＝f(x)y＝－f(x)．
②y＝f(x)y＝f(－x)．
③y＝f(x)y＝－f(－x)．
④y＝ax (a>0，且a≠1)y＝logax(a>0，且a≠1)．
(3)翻折變換
①y＝f(x)y＝|f(x)|.
②y＝f(x)y＝f(|x|)．
函數的零點與方程
1．函數的零點與方程的解
(1)函數零點的概念
一般地，如果函數y＝f(x)在實數α處的函數值等于零，即f(α)＝0，則稱α為函數y＝f(x)的零點．
(2)函數零點與方程實數解的關系
方程f(x)＝0有實數解 函數y＝f(x)有零點 函數y＝f(x)的圖象與x軸有公共點．
(3)函數零點存在定理
如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的，并且f(a)f(b)<0(即在區間兩個端點處的函數值異號)，則函數y＝f(x)在區間(a，b)中至少有一個零點，即 x0∈(a，b)，f(x0)＝0.
2．二分法
對于在區間[a，b]上圖象連續不斷且f(a)f(b)<0的函數y＝f(x)，通過不斷地把它的零點所在區間一分為二，使所得區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．
函數模型的應用
1．三種函數模型的性質
函數 性質 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增減性 單調遞增 單調遞增 單調遞增
增長速度 越來越快 越來越慢 相對平穩
圖象的變化 隨x的增大逐漸表現為與y軸平行 隨x的增大逐漸表現為與x軸平行 隨n值的變化而各有不同
2．常見的函數模型
函數模型 函數解析式
一次函數模型 f(x)＝ax＋b(a，b為常數，a≠0)
二次函數模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)
反比例函數模型 f(x)＝＋b(k，b為常數，k≠0)
指數函數模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數，a>0且a≠1，b≠0)
對數函數模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數，a>0且a≠1，b≠0)
冪函數模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α為常數，a≠0，α≠0)
題型1 函數的圖像
1．（2023·天津河北·一模）函數的導數為，則的部分圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·天津和平·一模）函數的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·天津河西·一模）已知函數在區間的圖象如下圖所示，則的解析式可能為（ ）

A． B． C． D．
4．（2024·天津河東·一模）如圖中，圖象對應的函數解析式為（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高三上·天津·期末）如圖為函數的大致圖象，其解析式可能為（ ）

A． B．
C． D．
函數圖象的常見畫法及注意事項 (1)直接法：對于熟悉的基本函數，根據函數的特征描出圖象的關鍵點，直接作圖． (2)轉化法：含有絕對值符號的，去掉絕對值符號，轉化為分段函數來畫． (3)圖象變換法：若函數圖象可由某個基本函數的圖象經過平移、伸縮、翻折、對稱得到，則可利用圖象變換作圖． (4)畫函數的圖象一定要注意定義域． 識別函數的圖象的主要方法 (1)利用函數的性質，如奇偶性、單調性、定義域等判斷． (2)利用函數的零點、極值點等判斷． (3)利用特殊函數值判斷． 當不等式問題不能用代數法求解或用代數法求解比較困難，但其對應函數的圖象可作出時，常將不等式問題轉化為圖象的位置關系問題，從而利用數形結合思想求解．
題型2 函數的零點
6．（23-24高三上·天津薊州·階段練習）已知函數，函數，若函數有3個零點，則實數的取值范圍為（ ）
A．（5，） B．
C． D．
7．（23-24高三上·天津南開·期中）對于任意的實數，總存在三個不同的實數y，使得成立，其中e為自然對數的底數，則實數a的取值范圍是（ ）．
A． B．
C． D．
8．（23-24高三上·天津東麗·期中）若函數恰有4個零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24高三上·天津·期中）已知函數，若關于x的方程恰有6個不同的實數根，則m的取值范圍是（ ）
A． B．(
C． D．
10．（23-24高三上·天津薊州·階段練習）已知，函數，關于的方程恰有兩個互異的實數解，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
確定函數零點所在區間的常用方法 (1)利用函數零點存在定理：首先看函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是否連續，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數y＝f(x)在區間(a，b)內必有零點． (2)數形結合法：通過畫函數圖象，觀察圖象與x軸在給定區間上是否有交點來判斷． 求解函數零點個數的基本方法 (1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少個解，則f(x)有多少個零點； (2)定理法：利用定理時往往還要結合函數的單調性、奇偶性等； (3)圖象法：一般是把函數拆分為兩個簡單函數，依據兩函數圖象的交點個數得出函數的零點個數． 根據函數零點的情況求參數的三種常用方法 (1)直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍． (2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決． (3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，然后數形結合求解.
題型3 函數模型應用
11．（23-24高三上·天津河北·期末）物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻方程來描述：設物體的初始溫度為，環境溫度為，經過一段時間（單位：分鐘）后物體的溫度是，滿足.將85℃的熱水放到21℃的房間中，如果熱水降到37℃需要16分鐘，那么從37℃降到29℃還需要多少分鐘？（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
12．（2020·天津·一模）某市生產總值連續兩年持續增加，第一年的增長率為，第二年的增長率為，則該市這兩年生產總值的年平均增長率為（ ）．
A． B．
C． D．
13．（2015·北京·高考真題）某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況．
加油時間 加油量（升） 加油時的累計里程（千米）
年月日
年月日
注：“累計里程“指汽車從出廠開始累計行駛的路程
在這段時間內，該車每千米平均耗油量為（ ）
A．升 B．升 C．升 D．升
14．（2018高三·全國·專題練習）某食品的保鮮時間（單位：小時）與儲藏溫度（單位：）滿足函數關系為自然對數的底數，為常數.若該食品在的保鮮時間是，在的保鮮時間是，則該食品在的保鮮時間是（ ）
A． B． C． D．
15．（21-22高一上·內蒙古呼和浩特·期末）已知一種放射性元素最初的質量是，按每年10%衰減.（已知，），則可求得這種元素的半衰期（質量變到原有質量一半所需的時間）為（ ）（結果精確到0.1）
A．7.6年 B．7.8年 C．6.2年 D．6.6年
判斷函數圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法 (1)構建函數模型法：當根據題意易構建函數模型時，先建立函數模型，再結合模型選擇函數圖象． (2)驗證法：根據實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結合函數圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案． 已知函數模型解決實際問題的關鍵 (1)認清所給函數模型，弄清哪些量為待定系數． (2)根據已知利用待定系數法，確定模型中的待定系數． (3)利用該函數模型，借助函數的性質、導數等求解實際問題，并進行檢驗． 構建函數模型解決實際問題的步驟 (1)建模：抽象出實際問題的數學模型； (2)推理、演算：對數學模型進行邏輯推理或數學運算，得到問題在數學意義上的解； (3)評價、解釋：對求得的數學結果進行深入討論，作出評價、解釋，然后返回到原來的實際問題中去，得到實際問題的解．

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