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重難點07 三角函數與解三角形
考點一 三角函數的概念
任意角和弧度制、三角函數的概念
同角三角函數基本關系式及誘導公式
兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
三角恒等變換
考點二 三角函數的圖像與性質
三角函數的定義域、值域
三角函數的周期性和對稱性
三角函數的單調性
考點三 解三角形
正弦定理與余弦定理
解三角形的綜合應用
解三角形的實際應用
考點一：三角函數的概念
一、任意角和弧度制、三角函數的概念
1．角的概念
(1)定義：角可以看成是一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形．
(2)分類
(3)終邊相同的角：所有與α終邊相同的角組成一個集合，這個集合可記為S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定義和公式
(1)定義：把長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度單位用符號rad表示．
(2)公式
角α的弧度數公式 α＝(弧長用l表示)
角度與弧度的換算 1°＝ rad；1 rad＝°
弧長公式 弧長l＝αr
扇形面積公式 S＝lr＝αr2
3．任意角的三角函數
(1)任意角的三角函數的定義：
設P(x，y)是角α終邊上異于原點的任意一點，其到原點O的距離為r，則sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
(2)三角函數值在各象限內的符號：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如圖．
同角三角函數關系式及誘導公式
1．同角三角函數的基本關系
(1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商數關系：＝tan α.
2．三角函數的誘導公式
公式 角 正弦 余弦 正切 口訣
① 2kπ＋α(k∈Z) sin α cos α tan α 奇變偶不變，符號看象限
② －α －sin α cos α －tan α
③ π－α sin α －cos α －tan α
④ π＋α －sin α －cos α tan α
⑤ －α cos α sin α
⑥ ＋α cos α －sin α
⑦ π＋α sin α －cos α
⑧ π－α －sin α －cos α
三、兩角和與差的正弦、余弦和正切
1．兩角和與差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式Cα－β：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；
(2)公式Cα＋β：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
(3)公式Sα－β：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；
(4)公式Sα＋β：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；
(5)公式Tα－β：tan(α－β)＝；
(6)公式Tα＋β：tan(α＋β)＝.
2．輔助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.
四、三角恒等變換
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α.
(2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式T2α：tan 2α＝.
2．常用的部分三角公式
(1)1－cos α＝2sin2,1＋cos α＝2cos2.(升冪公式)
(2)1±sin α＝2.(升冪公式)
(3)sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降冪公式)
題型1 任意角和弧度制、三角函數的概念
1．（23-24高三上·天津河西·階段練習）若角的終邊過點，則的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】直接根據正切函數值的定義求解.
【詳解】依題.
故選：D
2．（2023高一下·天津南開·學業考試）的值為（ ）．
A．1 B．0 C． D．不存在
【答案】C
【分析】利用誘導公式求出答案.
【詳解】.
故選：C
3．（2020·天津·一模）若點在函數的圖象上，則
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】將點代入函數解析式可求得，根據特殊角三角函數值可求得結果.
【詳解】由題意知：，解得：
本題正確選項：
【點睛】本題考查三角函數值的求解問題，關鍵是能夠利用點在函數上求得參數的取值，屬于基礎題.
4．（2014·天津·一模）已知是第三象限角，，則sin2=
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由已知，所以，故選.
考點：任意角的三角函數，二倍角公式.
5．（9-10高三·天津·階段練習）設函數，則的值為
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】此題考查分段函數求值
解:因為<0,所以,又因為,所以=而,故.
答案：D
(1)利用三角函數的定義，已知角α終邊上一點P的坐標，可以求出α的三角函數值；已知角α的三角函數值，也可以求出點P的坐標． (2)利用角所在的象限判定角的三角函數值的符號時，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標軸上的情況．
題型2 同角三角函數關系式及誘導公式
6．（23-24高三上·天津河西·階段練習）已知，則等于（ ）
A． B．0 C． D．2
【答案】C
【分析】利用兩角和的正切公式求出，再由誘導公式即可得解.
【詳解】，
，
故選：C
7．（23-24高三上·天津和平·開學考試）已知，則的值為（ ）
A． B．18 C． D．15
【答案】A
【分析】根據誘導公式化簡，再根據平方關系及商數關系化弦為切即可得解.
【詳解】
.
故選：A.
8．（22-23高三上·天津·期中）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】結合，利用誘導公式和二倍角公式即可求解
【詳解】因為，
所以，
所以，
故選：D
9．（23-24高三上·天津河西·階段練習）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由平方得到，再利用平方關系求解.
【詳解】解：因為，，
所以，
由兩邊平方得，
即，
所以，.
故選：B.
10．（22-23高三上·天津靜海·階段練習）若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據同角三角函數平方關系和角的范圍可構造方程求得，進而得到，由同角三角函數商數關系可求得結果.
【詳解】由得：，
，
解得：或，
又，，即，，
.
故選：C.
(1)應用公式時注意方程思想的應用：對于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α這三個式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． (2)注意公式逆用及變形應用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 二、誘導公式的兩個應用 (1)求值：負化正，大化小，化到銳角為終了； (2)化簡：統一角，統一名，同角名少為終了．
題型3 兩角和與差的正弦、余弦和正切
11．（23-24高三上·天津武清·階段練習）已知、，且，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由、，可計算出、、的值，利用計算即可得.
【詳解】由，，則，
則，，
由，則，
又、，則，
故，
.
故選：A.
12．（22-23高三上·天津濱海新·期中）若是第三象限角，且，則等于（ ）
A． B． C． D．5
【答案】C
【分析】根據兩角差的正弦公式求出，然后由同角三角函數的關系結合是第三象限角即可求出
【詳解】由題意，，
由于是第三象限角，則，于是，
則.
故選：C
13．（22-23高三上·天津·期中）已知，，則等于（ ）
A． B．7 C． D．－7
【答案】D
【分析】先根據同角三角函數的關系求出角的余弦值，進而求出該角的正切值，然后再利用兩角和的正切公式求值即可.
【詳解】因為，且，所以，
所以，
故，
故選：D.
14．（20-21高三上·天津紅橋·期中）已知， ，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用同角三角函數的基本關系求得的值，再利用兩角和的余弦公式可求得的值.
【詳解】，，所以，，
因此，.
故選：A.
15．（20-21高三上·天津南開·階段練習）已知tan(α﹣β)=，tan(α+)=，則tan(β+)等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題可分析得到,由差角公式,將值代入求解即可.
【詳解】解:由題可得,
,
故選：C
【點睛】本題考查正切的差角公式的應用,考查已知三角函數值求三角函數值問題.
運用兩角和與差的三角函數公式時，不但要熟練、準確，而且要熟悉公式的逆用及變形．公式的逆用和變形應用更能開拓思路，增強從正向思維向逆向思維轉化的能力． 常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；＋α＝－等．
題型4 三角恒等變換
16．（23-24高三上·陜西西安·階段練習）已知函數的圖象向左平移個單位長度后得到函數
的圖象，則φ的可能值為（　　）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【分析】根據輔助角公式，結合正弦型函數的圖象變換性質進行判斷即可.
【詳解】，
函數的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象解析式為：
，
所以有，
顯然只有選項A符合，
故選：A
17．（22-23高三上·山東泰安·期中）已知，且，則（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】據二倍角公式，兩角和的正弦公式以及同角三角函數的基本關系求解.
【詳解】，
,
，
又，則，即
所以，
因為，所以，.
由平方可得，即，符合題意.
綜上，.
故選：B.
18．（22-23高三上·天津濱海新·階段練習）要得到的圖像，只需將的圖像（ ）
A．向左平移 B．向右平移
C．向左平移 D．向左平移
【答案】D
【分析】化簡，然后結合三角函數圖像變換的知識求得正確答案.
【詳解】，
將向左平移得.
故選：D
19．（22-23高三上·湖南長沙·期中）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用三角恒等變換化簡已知條件，結合誘導公式、二倍角公式求得正確答案.
【詳解】，
，
.
.
故選：A
20．（2022·四川成都·模擬預測）函數的最小正周期為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用三角恒等變換化簡函數的解析式，利用余弦型函數的周期公式可求得函數的最小正周期.
【詳解】
，
所以，函數的最小正周期為.
故選：A.
(1)三角函數式的化簡要遵循“三看”原則： 一看角，二看名，三看式子結構與特征． (2)三角函數式的化簡要注意觀察條件中角之間的聯系(和、差、倍、互余、互補等)，尋找式子和三角函數公式之間的聯系點． (1)給值(角)求值問題求解的關鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關系，借助角之間的聯系尋找轉化方法． (2)給值(角)求值問題的一般步驟 ①化簡條件式子或待求式子； ②觀察條件與所求式子之間的聯系，從函數名稱及角入手； ③將已知條件代入所求式子，化簡求值．
考點二：三角函數的圖像與性質
1．用“五點法”作正弦函數和余弦函數的簡圖
(1)在正弦函數y＝sin x，x∈[0,2π]的圖象中，五個關鍵點是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函數y＝cos x，x∈[0,2π]的圖象中，五個關鍵點是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函數的圖象與性質(下表中k∈Z)
函數 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
圖象
定義域 R R {x|x≠kπ＋}
值域 [－1,1] [－1,1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數
單調遞增區間 [2kπ－π，2kπ]
單調遞減區間 [2kπ，2kπ＋π]
對稱中心 (kπ，0)
對稱軸方程 x＝kπ＋ x＝kπ
題型1 三角函數的定義域、值域
1．（20-21高一下·全國·課后作業）函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由且可求出函數的定義域
【詳解】由題意得且，
由，得，
由，得，
所以或，
所以函數的定義域為，
故選：D
2．（21-22高三上·天津河東·階段練習）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由對數和正弦函數的性質化簡集合，再求交集.
【詳解】，
即
故選：C
3．（20-21高三上·天津濱海新·階段練習）函數在區間上的最小值為（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【解析】由時，，則可得答案.
【詳解】當時，
，所以
所以函數在區間上的最小值為1
故選：A
4．（17-18高三·全國·課后作業）若函數的圖象關于對稱，則函數在上的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用輔助角公式化簡，根據對稱性求得參數，再求函數在區間上的值域即可.
【詳解】由輔助角公式可得：，
函數圖像關于對稱，
則當時，，
即，
由于，故令可得，
函數的解析式為，
，則，故函數在定義域內單調遞減，
函數的最小值為：.
故選：C.
【點睛】本題考查三角恒等變化化簡解析式，以及由對稱性求正弦型三角函數參數，以及正弦型三角函數值域的求解，屬綜合基礎題.
5．（2019·安徽蚌埠·三模）已知函數圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，將函數的圖像向左平移個單位長度后，得到函數的圖像.若函數為偶函數，則函數在區間上的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通過函數圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，可以求出周期，進而可以求出的值，函數的圖像向左平移個單位長度后，得到函數的圖像，因此，函數為偶函數，有
，結合已知，求出，再利用正弦函數的性質，求出函數在區間上的值域.
【詳解】因為函數圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以,而，，又因為函數的圖像向左平移個單位長度后，得到函數的圖像，所以，由函數為偶函數，可得，而，所以，因此，
，所以函數在區間上的值域是，故本題選D.
【點睛】本題綜合考查了正弦型函數的圖象和單調性.解決本題的關鍵是對函數為偶函數的理解，寫出等式.
三角函數值域的不同求法 (1)把所給的三角函數式變換成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域． (2)把sin x或cos x看作一個整體，轉換成二次函數求值域． (3)利用sin x±cos x和sin xcos x的關系轉換成二次函數求值域．
題型2 三角函數的周期性與對稱性
6．（18-19高三上·北京·期中）已知函數的最小正周期為，將的圖像向左平移個單位長度，所得圖像關于軸對稱，則的一個值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用最小正周期公式求出，再利用平移變換得到平移后的函數結合正弦函數圖像和性質求解即可.
【詳解】因為最小正周期為，所以，解得，所以；
將圖像向左平移個單位長度得，
因為圖像關于軸對稱，所以，
解得，則當時，，其他選項不滿足題意，
故選：D.
7．（20-21高三下·重慶沙坪壩·階段練習）將函數的圖象向左平移個單位后所得函數的圖象關于直線對稱，則當取最小值時，函數的最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用三角函數的圖象變換求出平移后的函數，然后利用對稱軸列出關于的等式，求出的最小值，再利用周期公式求解即可．
【詳解】將函數的圖象向左平移個單位后
所得函數為，
因為的圖象關于直線對稱，
則有，解得，
因為，所以的最小值為，
故函數的最小正周期為．
故選：A
8．（23-24高三上·天津河東·階段練習）設函數，若是函數圖象的一條對稱軸，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用正弦函數的對稱性，列式求解即得.
【詳解】因為是函數圖象的一條對稱軸，
于是，解得，而，則，
所以當時，.
故選：A
9．（21-22高三上·天津河北·階段練習）將曲線上的每個點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），得到的曲線的一條對稱軸方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據曲線變化得到變換后的曲線對應的函數解析式，進而根據正弦函數圖象的對稱性確定對稱軸方程.
【詳解】將曲線上的每個點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變）得到的曲線對應的函數解析式為，
令Z得 Z，
令k=0得曲線的一條對稱軸方程為.
故選：A.
10．（2022·四川成都·模擬預測）函數的最小正周期為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用三角恒等變換化簡函數的解析式，利用余弦型函數的周期公式可求得函數的最小正周期.
【詳解】
，
所以，函數的最小正周期為.
故選：A.
(1)奇偶性的判斷方法：三角函數中奇函數一般可化為y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函數一般可化為y＝Acos ωx的形式． (2)周期的計算方法：利用函數y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期為，函數y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期為求解．
題型3 三角函數的單調性
11．（23-24高三上·天津·期中）若函數在區間上單調，則的最大值為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【分析】求出，然后由正弦函數性質得，從而可得最大值．
【詳解】時，由于，則，顯然，
因此由單調得，，最大值為2，
故選：B．
12．（22-23高三上·天津南開·階段練習）已知函數圖象的一條對稱軸和一個對稱中心的最小距離為，則下列區間中單調遞增的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出最小正周期，進而得到，利用整體法求解單調遞增區間，得到答案.
【詳解】設的最小正周期為，
由題意得：，解得，
因為，所以，
所以，
令，解得：，
當時，，B正確；
當時，，當時，，
故其他選項，均不滿足要求.
故選：B
13．（23-24高三上·天津河西·期中）定義在上的偶函數在上是增函數，若，，則的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先比較出，結合函數奇偶性得到在上單調遞減，從而得到，進而由函數奇偶性得到答案.
【詳解】，，，
因為定義在上的偶函數在上是增函數，
所以在上單調遞減，
因為，所以，
又，
故.
故選：D
14．（2019·廣東佛山·一模）將偶函數的圖象向右平移個單位，得到的圖象，則的一個單調遞增區間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據輔助角公式，結合偶函數的性質求出值，再根據余弦函數圖象的變換規律求出函數的解析式，最后根據余弦型函數的單調性進行求解即可.
【詳解】.
因為函數是偶函數，所以，
因為，所以，所以，
因為函數的圖象向右平移個單位，得到的圖象，
所以，
當時，函數單調遞增，
即當時，函數單調遞增，
當時，函數在時單調遞增.
故選：A
【點睛】本題考查了輔助角公式的應用，考查了偶函數的性質，考查了余弦函數圖象的變換規律，考查了余弦型函數單調性，考查了數學運算能力.
15．（2019·天津南開·三模）若函數與函數在上的單調性相同，則的一個值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意可得函數y＝sin（2x+φ）在[0，]上的單調遞減，故2φ≤2kπ，且φ≥2kπ，k∈Z，由此求得φ 的范圍．
【詳解】由于函數y＝cos2x與函數y＝sin（2x+φ）在[0，]上的單調性相同，
函數y＝cos2x在[0，]上的單調遞減，
故函數y＝sin（2x+φ）在[0，]上的單調遞減，
故2φ≤2kπ，且φ≥2kπ，k∈Z，由此求得φ≤π，
故選A．
【點睛】本題主要考查正弦函數、余弦函數的單調性，考查了分析解決問題的能力，屬于基礎題．
(1)已知三角函數解析式求單調區間 求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的單調區間時，要視“ωx＋φ”為一個整體，通過解不等式求解．但如果ω<0，可先借助誘導公式將ω化為正數，防止把單調性弄錯． (2)已知三角函數的單調區間求參數 先求出函數的單調區間，然后利用集合間的關系求解．
考點三：解三角形
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則
定理 正弦定理 余弦定理
內容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C
變形 (1)a＝2Rsin A， b＝2Rsin B， c＝2Rsin C； (2)sin A＝， sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c ＝sin A∶sin B∶sin C cos A＝； cos B＝； cos C＝
2．三角形解的判斷
A為銳角 A為鈍角或直角
圖形
關系式 a＝bsin A bsin A< ab
解的個數 一解 兩解 一解 一解
3．三角形中常用的面積公式
(1)S＝aha(ha表示邊a上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r為三角形的內切圓半徑)．
測量中的幾個有關術語
術語名稱 術語意義 圖形表示
仰角與俯角 在目標視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內)所成的角中，目標視線在水平視線上方的叫做仰角，目標視線在水平視線下方的叫做俯角
方位角 從某點的指北方向線起按順時針方向到目標方向線之間的夾角叫做方位角．方位角θ的范圍是0°≤θ<360°
方向角 正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角，通常表達為北(南)偏東(西)α 例：(1)北偏東α： (2)南偏西α：
坡角與坡比 坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(θ為坡角)；坡面的垂直高度與水平長度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ
題型1 正弦定理、余弦定理
1．（23-24高三上·天津東麗·階段練習）在直三棱柱中，，，，，該直三棱柱的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出底面三角形的外接球半徑，再根據直三棱柱求出外接球半徑，最后計算圓的面積.
【詳解】在中，由余弦定理可得，
設外接圓半徑為r，再由正弦定理，
因為三棱柱是直三棱柱，設外接球半徑為R，
所以，
所以外接球表面積為，
故選：C
2．（2013·天津·一模）在中，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據求得，直接利用三角形的面積公式即可求得結果.
【詳解】因為為三角形的內角，所以，
所以三角形的面積.
即的面積為.
故選：D．
3．（20-21高三上·天津紅橋·階段練習）在中，若，，，則最大內角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根據余弦定理求解出的值，根據的大小結合余弦定理即可求解出最大內角的余弦值.
【詳解】因為，所以，
所以最大內角為，
所以，
故選：D.
4．（20-21高一下·天津濱海新·期中）在中，內角A，B，C的對邊分別為a、b、c，已知，則是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】由已知可得，由余弦定理可得，化簡變形可得，則有或，從而可判斷三角形的形狀
【詳解】解：由，得，
所以由余弦定理得，，
所以，
所以，，
所以或，
所以或，
所以為等腰或直角三角形，
故選：D
5．（20-21高三上·天津靜海·開學考試）在中，，，，那么的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根據正弦定理，代入相關數據，即可求解出的值.
【詳解】因為，所以，
故選：A.
三角形面積公式的應用原則 (1)對于面積公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式． (2)與面積有關的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉化．
題型2 解三角形的綜合
6．（2022·河南·模擬預測）蜚英塔俗稱寶塔，地處江西省南昌市，建于明朝天啟元年（1621年），為中國傳統的樓閣式建筑．蜚英塔坐北朝南，磚石結構，平面呈六邊形，是江西省省級重點保護文物，已被列為革命傳統教育基地．某學生為測量蜚英塔的高度，如圖，選取了與蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B兩點，測得米， ，，，則蜚英塔的高度是（ ）
A．30米 B．米 C．35米 D．米
【答案】C
【分析】設塔高x，用x表示出AD、BD，然后在中由余弦定理求解可得.
【詳解】設，在中，，則，
在中，，則，
因為，所以由余弦定理得：
整理得：，解得.
故選：C
7．（2022·云南·模擬預測）如圖甲，首鋼滑雪大跳臺是冬奧歷史上第一座與工業遺產再利用直接結合的競賽場館，大跳臺的設計中融入了世界文化遺產敦煌壁畫中“飛天”的元素.如圖乙，某研究性學習小組為了估算賽道造型最高點A距離地面的高度（與地面垂直），在賽道一側找到一座建筑物，測得的高度為h，并從C點測得A點的仰角為30°；在賽道與建筑物之間的地面上的點E處測得A點，C點的仰角分別為75°和30°（其中B，E，D三點共線）.該學習小組利用這些數據估算得約為60米，則的高h約為（ ）米
（參考數據：，，）
A．11 B．20.8 C．25.4 D．31.8
【答案】C
【分析】易得，在中，求出，在中，利用正弦定理求得，在解直角三角形即可得出答案.
【詳解】解：由題意可得，
則，
在中，，
在中，因為，
所以，
所以，
又，
所以（米）.
故選：C.
8．（2018·廣東惠州·一模）如圖1，《九章算術》中記載了一個“折竹抵地”問題:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，問折者高幾何 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 現被風折斷，尖端落在地上，竹尖與竹根的距離三尺，問折斷處離地面的高為尺.
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
如圖，已知，，
∴，解得 ，
∴，解得 .
∴折斷后的竹干高為4.55尺
故選B.
9．（23-24高三上·天津南開·階段練習）在亞運會女子十米跳臺決賽頒獎禮上，五星紅旗冉冉升起，在坡度的看臺上，同一列上的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為和，第一排點和最后一排點的距離為米（如圖所示），則旗桿的高度為 米．

【答案】27
【分析】根據已知可得，在中由正弦定理可得，再利用中計算可得答案.
【詳解】由圖可得，
在中，由正弦定理可得，
即，
在中，，可得米.
故答案為：.
10．（2015·湖北·高考真題）如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時測得公路北側一山頂D在西偏北的方向上，行駛600m后到達處，測得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度 m.
【答案】
【詳解】試題分析:由題設可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因為,所以,應填.
考點：正弦定理及運用．
在平面幾何圖形中研究或求與角有關的長度、角度、面積的最值、優化設計等問題時，通常是轉化到三角形中，利用正、余弦定理通過運算的方法加以解決．在解決某些具體問題時，常先引入變量，如邊長、角度等，然后把要解三角形的邊或角用所設變量表示出來，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函數思想．
題型3 解三角形的實際應用
11．（2024·天津河東·一模）在三角形中，角所對的邊分別為．已知，．
(1)求角的大小；
(2)求的值；
(3)求邊的值．
【詳解】（1）因為，，，解得，
由已知，，
又，故，
故，解得；
（2）
，，
；
（3）
由得，
整理為，解得或（舍）.
12．（23-24高三上·天津濱海新·階段練習）在中，角，，所對的邊分別是，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，，求的值.
【詳解】（1）因為，根據正弦定理可得
在中，，所以有，
則有，即，
又，所以.
（2）根據余弦定理，，所以.
根據正弦定理，，則有，
所以.
13．（23-24高三上·天津河東·期中）已知，，分別為三個內角，，的對邊，且．
(1)求；
(2)若，求的值；
(3)若的面積為，，求的周長．
【詳解】（1）．
由正弦定理可得，
則，
所以，
所以，
為三角形內角，，解得，，
．
（2）由已知，，所以，
，，
.
（3），
，
由余弦定理得，
即，解得，
的周長為．
14．（23-24高三上·天津靜海·階段練習）已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，.
(1)求的值；
(2)若，
（i）求的值；
（ⅱ）求的值.
【詳解】（1）由，且C是三角形的內角，
則，
因為，所以，即，
由正弦定理得，
所以；
（2）（i）由余弦定理得，
即，解得或（舍去），故；
（ⅱ）由（1）知，由知A為銳角，得，
所以，
，
所以.
15．（22-23高一下·天津武清·階段練習）在中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知，，．
(1)求b的值；
(2)求的值．
【詳解】（1）在中，由可得，又由，
可得，
，.
又，故，
根據余弦定理可得，可得.
（2），，
，，
所以.
解三角形的應用問題的要點 (1)從實際問題抽象出已知的角度、距離、高度等條件，作為某個三角形的元素． (2)利用正弦、余弦定理解三角形，得實際問題的解．重難點07 三角函數與解三角形
考點一 三角函數的概念
任意角和弧度制、三角函數的概念
同角三角函數基本關系式及誘導公式
兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
三角恒等變換
考點二 三角函數的圖像與性質
三角函數的定義域、值域
三角函數的周期性和對稱性
三角函數的單調性
考點三 解三角形
正弦定理與余弦定理
解三角形的綜合應用
解三角形的實際應用
考點一：三角函數的概念
一、任意角和弧度制、三角函數的概念
1．角的概念
(1)定義：角可以看成是一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形．
(2)分類
(3)終邊相同的角：所有與α終邊相同的角組成一個集合，這個集合可記為S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定義和公式
(1)定義：把長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度單位用符號rad表示．
(2)公式
角α的弧度數公式 α＝(弧長用l表示)
角度與弧度的換算 1°＝ rad；1 rad＝°
弧長公式 弧長l＝αr
扇形面積公式 S＝lr＝αr2
3．任意角的三角函數
(1)任意角的三角函數的定義：
設P(x，y)是角α終邊上異于原點的任意一點，其到原點O的距離為r，則sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
(2)三角函數值在各象限內的符號：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如圖．
同角三角函數關系式及誘導公式
1．同角三角函數的基本關系
(1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商數關系：＝tan α.
2．三角函數的誘導公式
公式 角 正弦 余弦 正切 口訣
① 2kπ＋α(k∈Z) sin α cos α tan α 奇變偶不變，符號看象限
② －α －sin α cos α －tan α
③ π－α sin α －cos α －tan α
④ π＋α －sin α －cos α tan α
⑤ －α cos α sin α
⑥ ＋α cos α －sin α
⑦ π＋α sin α －cos α
⑧ π－α －sin α －cos α
三、兩角和與差的正弦、余弦和正切
1．兩角和與差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式Cα－β：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；
(2)公式Cα＋β：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
(3)公式Sα－β：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；
(4)公式Sα＋β：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；
(5)公式Tα－β：tan(α－β)＝；
(6)公式Tα＋β：tan(α＋β)＝.
2．輔助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.
四、三角恒等變換
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α.
(2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式T2α：tan 2α＝.
2．常用的部分三角公式
(1)1－cos α＝2sin2,1＋cos α＝2cos2.(升冪公式)
(2)1±sin α＝2.(升冪公式)
(3)sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降冪公式)
題型1 任意角和弧度制、三角函數的概念
1．（23-24高三上·天津河西·階段練習）若角的終邊過點，則的值是（ ）
A． B．2 C． D．
2．（2023高一下·天津南開·學業考試）的值為（ ）．
A．1 B．0 C． D．不存在
3．（2020·天津·一模）若點在函數的圖象上，則
A． B． C． D．
4．（2014·天津·一模）已知是第三象限角，，則sin2=
A． B． C． D．
5．（9-10高三·天津·階段練習）設函數，則的值為
A． B． C． D．
(1)利用三角函數的定義，已知角α終邊上一點P的坐標，可以求出α的三角函數值；已知角α的三角函數值，也可以求出點P的坐標． (2)利用角所在的象限判定角的三角函數值的符號時，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標軸上的情況．
題型2 同角三角函數關系式及誘導公式
6．（23-24高三上·天津河西·階段練習）已知，則等于（ ）
A． B．0 C． D．2
7．（23-24高三上·天津和平·開學考試）已知，則的值為（ ）
A． B．18 C． D．15
8．（22-23高三上·天津·期中）已知，則（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24高三上·天津河西·階段練習）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
10．（22-23高三上·天津靜海·階段練習）若，，則（ ）
A． B． C． D．
(1)應用公式時注意方程思想的應用：對于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α這三個式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． (2)注意公式逆用及變形應用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 二、誘導公式的兩個應用 (1)求值：負化正，大化小，化到銳角為終了； (2)化簡：統一角，統一名，同角名少為終了．
題型3 兩角和與差的正弦、余弦和正切
11．（23-24高三上·天津武清·階段練習）已知、，且，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
12．（22-23高三上·天津濱海新·期中）若是第三象限角，且，則等于（ ）
A． B． C． D．5
13．（22-23高三上·天津·期中）已知，，則等于（ ）
A． B．7 C． D．－7
14．（20-21高三上·天津紅橋·期中）已知， ，則等于（ ）
A． B． C． D．
15．（20-21高三上·天津南開·階段練習）已知tan(α﹣β)=，tan(α+)=，則tan(β+)等于（ ）
A． B． C． D．
運用兩角和與差的三角函數公式時，不但要熟練、準確，而且要熟悉公式的逆用及變形．公式的逆用和變形應用更能開拓思路，增強從正向思維向逆向思維轉化的能力． 常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；＋α＝－等．
題型4 三角恒等變換
16．（23-24高三上·陜西西安·階段練習）已知函數的圖象向左平移個單位長度后得到函數
的圖象，則φ的可能值為（　　）
A．0 B． C． D．
17．（22-23高三上·山東泰安·期中）已知，且，則（ ）
A． B． C． D．1
18．（22-23高三上·天津濱海新·階段練習）要得到的圖像，只需將的圖像（ ）
A．向左平移 B．向右平移
C．向左平移 D．向左平移
19．（22-23高三上·湖南長沙·期中）已知，則（ ）
A． B． C． D．
20．（2022·四川成都·模擬預測）函數的最小正周期為（ ）
A． B．
C． D．
(1)三角函數式的化簡要遵循“三看”原則： 一看角，二看名，三看式子結構與特征． (2)三角函數式的化簡要注意觀察條件中角之間的聯系(和、差、倍、互余、互補等)，尋找式子和三角函數公式之間的聯系點． (1)給值(角)求值問題求解的關鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關系，借助角之間的聯系尋找轉化方法． (2)給值(角)求值問題的一般步驟 ①化簡條件式子或待求式子； ②觀察條件與所求式子之間的聯系，從函數名稱及角入手； ③將已知條件代入所求式子，化簡求值．
考點二：三角函數的圖像與性質
1．用“五點法”作正弦函數和余弦函數的簡圖
(1)在正弦函數y＝sin x，x∈[0,2π]的圖象中，五個關鍵點是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函數y＝cos x，x∈[0,2π]的圖象中，五個關鍵點是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函數的圖象與性質(下表中k∈Z)
函數 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
圖象
定義域 R R {x|x≠kπ＋}
值域 [－1,1] [－1,1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數
單調遞增區間 [2kπ－π，2kπ]
單調遞減區間 [2kπ，2kπ＋π]
對稱中心 (kπ，0)
對稱軸方程 x＝kπ＋ x＝kπ
題型1 三角函數的定義域、值域
1．（20-21高一下·全國·課后作業）函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
2．（21-22高三上·天津河東·階段練習）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（20-21高三上·天津濱海新·階段練習）函數在區間上的最小值為（　　）
A．1 B． C． D．2
4．（17-18高三·全國·課后作業）若函數的圖象關于對稱，則函數在上的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2019·安徽蚌埠·三模）已知函數圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，將函數的圖像向左平移個單位長度后，得到函數的圖像.若函數為偶函數，則函數在區間上的值域是（ ）
A． B． C． D．
三角函數值域的不同求法 (1)把所給的三角函數式變換成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域． (2)把sin x或cos x看作一個整體，轉換成二次函數求值域． (3)利用sin x±cos x和sin xcos x的關系轉換成二次函數求值域．
題型2 三角函數的周期性與對稱性
6．（18-19高三上·北京·期中）已知函數的最小正周期為，將的圖像向左平移個單位長度，所得圖像關于軸對稱，則的一個值是（ ）
A． B． C． D．
7．（20-21高三下·重慶沙坪壩·階段練習）將函數的圖象向左平移個單位后所得函數的圖象關于直線對稱，則當取最小值時，函數的最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高三上·天津河東·階段練習）設函數，若是函數圖象的一條對稱軸，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
9．（21-22高三上·天津河北·階段練習）將曲線上的每個點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），得到的曲線的一條對稱軸方程為（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·四川成都·模擬預測）函數的最小正周期為（ ）
A． B．
C． D．
(1)奇偶性的判斷方法：三角函數中奇函數一般可化為y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函數一般可化為y＝Acos ωx的形式． (2)周期的計算方法：利用函數y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期為，函數y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期為求解．
題型3 三角函數的單調性
11．（23-24高三上·天津·期中）若函數在區間上單調，則的最大值為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
12．（22-23高三上·天津南開·階段練習）已知函數圖象的一條對稱軸和一個對稱中心的最小距離為，則下列區間中單調遞增的是（ ）．
A． B． C． D．
13．（23-24高三上·天津河西·期中）定義在上的偶函數在上是增函數，若，，則的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
14．（2019·廣東佛山·一模）將偶函數的圖象向右平移個單位，得到的圖象，則的一個單調遞增區間為（ ）
A． B． C． D．
15．（2019·天津南開·三模）若函數與函數在上的單調性相同，則的一個值為（ ）
A． B． C． D．
(1)已知三角函數解析式求單調區間 求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的單調區間時，要視“ωx＋φ”為一個整體，通過解不等式求解．但如果ω<0，可先借助誘導公式將ω化為正數，防止把單調性弄錯． (2)已知三角函數的單調區間求參數 先求出函數的單調區間，然后利用集合間的關系求解．
考點三：解三角形
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則
定理 正弦定理 余弦定理
內容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C
變形 (1)a＝2Rsin A， b＝2Rsin B， c＝2Rsin C； (2)sin A＝， sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c ＝sin A∶sin B∶sin C cos A＝； cos B＝； cos C＝
2．三角形解的判斷
A為銳角 A為鈍角或直角
圖形
關系式 a＝bsin A bsin A< ab
解的個數 一解 兩解 一解 一解
3．三角形中常用的面積公式
(1)S＝aha(ha表示邊a上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r為三角形的內切圓半徑)．
測量中的幾個有關術語
術語名稱 術語意義 圖形表示
仰角與俯角 在目標視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內)所成的角中，目標視線在水平視線上方的叫做仰角，目標視線在水平視線下方的叫做俯角
方位角 從某點的指北方向線起按順時針方向到目標方向線之間的夾角叫做方位角．方位角θ的范圍是0°≤θ<360°
方向角 正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角，通常表達為北(南)偏東(西)α 例：(1)北偏東α： (2)南偏西α：
坡角與坡比 坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(θ為坡角)；坡面的垂直高度與水平長度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ
題型1 正弦定理、余弦定理
1．（23-24高三上·天津東麗·階段練習）在直三棱柱中，，，，，該直三棱柱的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
2．（2013·天津·一模）在中，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
3．（20-21高三上·天津紅橋·階段練習）在中，若，，，則最大內角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
4．（20-21高一下·天津濱海新·期中）在中，內角A，B，C的對邊分別為a、b、c，已知，則是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
5．（20-21高三上·天津靜海·開學考試）在中，，，，那么的值為（ ）
A． B． C． D．
三角形面積公式的應用原則 (1)對于面積公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式． (2)與面積有關的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉化．
題型2 解三角形的綜合
6．（2022·河南·模擬預測）蜚英塔俗稱寶塔，地處江西省南昌市，建于明朝天啟元年（1621年），為中國傳統的樓閣式建筑．蜚英塔坐北朝南，磚石結構，平面呈六邊形，是江西省省級重點保護文物，已被列為革命傳統教育基地．某學生為測量蜚英塔的高度，如圖，選取了與蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B兩點，測得米， ，，，則蜚英塔的高度是（ ）
A．30米 B．米 C．35米 D．米
7．（2022·云南·模擬預測）如圖甲，首鋼滑雪大跳臺是冬奧歷史上第一座與工業遺產再利用直接結合的競賽場館，大跳臺的設計中融入了世界文化遺產敦煌壁畫中“飛天”的元素.如圖乙，某研究性學習小組為了估算賽道造型最高點A距離地面的高度（與地面垂直），在賽道一側找到一座建筑物，測得的高度為h，并從C點測得A點的仰角為30°；在賽道與建筑物之間的地面上的點E處測得A點，C點的仰角分別為75°和30°（其中B，E，D三點共線）.該學習小組利用這些數據估算得約為60米，則的高h約為（ ）米
（參考數據：，，）
A．11 B．20.8 C．25.4 D．31.8
8．（2018·廣東惠州·一模）如圖1，《九章算術》中記載了一個“折竹抵地”問題:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，問折者高幾何 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 現被風折斷，尖端落在地上，竹尖與竹根的距離三尺，問折斷處離地面的高為尺.
A． B． C． D．
9．（23-24高三上·天津南開·階段練習）在亞運會女子十米跳臺決賽頒獎禮上，五星紅旗冉冉升起，在坡度的看臺上，同一列上的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為和，第一排點和最后一排點的距離為米（如圖所示），則旗桿的高度為 米．

10．（2015·湖北·高考真題）如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時測得公路北側一山頂D在西偏北的方向上，行駛600m后到達處，測得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度 m.
在平面幾何圖形中研究或求與角有關的長度、角度、面積的最值、優化設計等問題時，通常是轉化到三角形中，利用正、余弦定理通過運算的方法加以解決．在解決某些具體問題時，常先引入變量，如邊長、角度等，然后把要解三角形的邊或角用所設變量表示出來，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函數思想．
題型3 解三角形的實際應用
11．（2024·天津河東·一模）在三角形中，角所對的邊分別為．已知，．
(1)求角的大小；
(2)求的值；
(3)求邊的值．
12．（23-24高三上·天津濱海新·階段練習）在中，角，，所對的邊分別是，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，，求的值.
13．（23-24高三上·天津河東·期中）已知，，分別為三個內角，，的對邊，且．
(1)求；
(2)若，求的值；
(3)若的面積為，，求的周長．
14．（23-24高三上·天津靜海·階段練習）已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，.
(1)求的值；
(2)若，
（i）求的值；
（ⅱ）求的值.
15．（22-23高一下·天津武清·階段練習）在中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知，，．
(1)求b的值；
(2)求的值．
解三角形的應用問題的要點 (1)從實際問題抽象出已知的角度、距離、高度等條件，作為某個三角形的元素． (2)利用正弦、余弦定理解三角形，得實際問題的解．

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