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重難點08 數列
考點一 數列的概念
由an與Sn的關系求通項公式
由數列的遞推關系求通項公式
數列的性質
考點二 等差數列
等差數列基本量的運算
等差數列的判定與證明
3、等差數列的性質
考點三 等比數列
1、等差數列基本量的運算
2、等差數列的判定與證明
3、等差數列的性質
考點四 數列求和
1、分組求和與并項求和
2、錯位相減法求和
3、解三角形的實際應用
考點一：數列的概念
1．數列的有關概念
概念 含義
數列 按照一定次序排列的一列數
數列的項 數列中的每一個數
通項公式 如果數列的第n項an與n之間的關系可以用an＝f(n)來表示，其中f(n)是關于n的不含其他未知數的關系式，則稱上述關系式為這個數列的一個通項公式
遞推公式 如果已知數列的首項(或前幾項)，且數列的相鄰兩項或兩項以上的關系都可以用一個公式來表示，則稱這個公式為數列的遞推關系.
數列{an}的前n項和 一般地，給定數列{an}，稱Sn＝a1＋a2＋…＋an為數列{an}的前n項和
2.數列的分類
分類標準 類型 滿足條件
項數 有窮數列 項數有限
無窮數列 項數無限
項與項間的大小關系 遞增數列 an＋1>an 其中n∈N+
遞減數列 an＋1常數列 an＋1＝an
擺動數列 從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列
3.數列與函數的關系
數列{an}可以看成定義域為正整數集的子集的函數，數列中的數就是自變量從小到大依次取正整數值時對應的函數值，而數列的通項公式也就是相應函數的解析式．
題型1 由an與Sn的關系求通項公式
1．（23-24高三上·天津西青·期末）已知是等比數列，是數列的前項和，，則的值為（ ）
A．3 B．18 C．54 D．152
【答案】C
【分析】當時，，兩式相減可得，因為是等比數列，所以，令時，，由此解出，再由等比數列的通項公式求出的值.
【詳解】當時，，
兩式相減可得：，即，即，
因為是等比數列，所以，
又令時，，所以，解得：，
所以是以為首項，為公比的等比數列，
所以.
故選：C.
2．（23-24高三上·天津和平·期末）已知數列為等比數列，為數列的前項和，，則的值為（ ）
A．9 B．21 C．45 D．93
【答案】C
【分析】利用將條件轉化為關于數列的遞推式，然后構造等比數列求出數列的通項公式，進而可得的值.
【詳解】由得，
整理得，
又得，
故數列是以為首項，2為公比的等比數列，
所以，即
所以.
故選：C.
3．（23-24高三上·天津·期中）設是數列的前項和，已知且，則（ ）
A．9 B．27 C．81 D．101
【答案】B
【分析】時，，作差得數列從第二項起成等比數列，即可求解.
【詳解】時，，
時，，
作差得，即,
所以數列從第二項起成等比數列，
所以.
故選：B.
4．（23-24高三上·天津北辰·期中）已知數列的前項和為，且，則（ ）
A． B． C．16 D．32
【答案】B
【分析】先利用和與項的關系，將和轉化為項，判斷出數列為等比數列，即可求解.
【詳解】∵①，
∴②，
②減去①得：，即，
又∵，即，
∴數列是以為首項，公比為的等比數列，
∴.
故選：B.
5．（22-23高三上·天津靜海·階段練習）等差數列，前n項和分別為與，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據等差數列前項和的特點，由已知設出，分別求出其通項公式，代入計算可得答案.
【詳解】設等差數列，的首項和公差分別為，則，
因為，由等差數列前項和的特點，
故可設，其中為非零常數，
由，
當時，，
當時，，
當時上式仍舊適合，故，
同理可得，當時，，
所以.
故選：A.
Sn與an的關系問題的求解思路 (1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉化為只含Sn，Sn－1的關系式，再求解． (2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉化為只含an，an－1的關系式，再求解．
題型2 由數列的遞推關系求通項公式
6．（2024·天津·二模）在數列中，若（），則的值為（ ）
A．1 B．3 C．9 D．27
【答案】D
【分析】由數列的遞推式，分別求出的值即可得出結果.
【詳解】當時，，
當時，，所以，
當時，，所以.
故選：D.
7．（19-20高三上·天津和平·階段練習）數列滿足，對，都有，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意知，利用累加法可求得，所以，根據列項相消法求得和.
【詳解】因為對，都有且，所以，則，
，
所以
.
故選：D
【點睛】本題考查累加法求數列通項公式，列項相消法求數列前n項和，屬于中檔題.
8．（20-21高三上·遼寧沈陽·期末）已知數列滿足：，則
A．16 B．25 C．28 D．33
【答案】C
【解析】依次遞推求出得解.
【詳解】n=1時，，
n=2時，，
n=3時，，
n=4時，，
n=5時，.
故選：C
【點睛】本題主要考查遞推公式的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.
9．（2017·湖南湘潭·一模）已知數列{an}滿足： m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝，那么a5＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據遞推關系式求出數列的第2、3項，即可求出.
【詳解】因為數列{an}滿足： m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝，
所以a2＝a1a1＝，a3＝a1·a2＝.
那么a5＝a3·a2＝.
故選：A
【點睛】本題主要考查了數列的遞推關系，由遞推關系求數列的項，屬于中檔題.
10．（2023·吉林長春·一模）已知數列，，，且，則數列的前30項之和為（ ）
A．15 B．30 C．60 D．120
【答案】B
【分析】由題意，數列的奇數項和偶數項分別構成等差數列，分組求和即可.
【詳解】已知數列，，，且,
則為奇數時，，則為偶數時，，
所以數列的奇數項構成首項為2公差為的等差數列，偶數項構成首項為0公差為的等差數列，
則.
故選：B
(1)形如an＋1－an＝f(n)的數列，利用累加法． (2)形如＝f(n)的數列，利用an＝a1···…·(n≥2)即可求數列{an}的通項公式．
題型3 數列的性質
11．（23-24高三上·天津濱海新·開學考試）已知數列滿足，，則以下結論正確的個數是（ ）
①為等比數列；②的通項公式為；③為遞增數列；④的前n項和.
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】C
【分析】根據等比數列的定義即可判斷①；由①選項結合等比數列的通項即可判斷②；作差判斷的符號即可判斷③；利用分組求和法即可判斷④.
【詳解】因為，且，可知，所以，
所以，
又，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，故①正確；
則，所以，故②錯誤；
因為，
因為，所以，
所以，
所以為遞減數列，故③錯誤；
由上得，
所以，故④正確.
故選：C.
【點睛】方法點睛：數列求和的常用方法：
（1）對于等差等比數列，利用公式法可直接求解；
（2）對于結構，其中是等差數列，是等比數列，用錯位相減法求和；
（3）對于結構，利用分組求和法；
（4）對于結構，其中是等差數列，公差為，則，利用裂項相消法求和.
12．（22-23高三上·天津靜海·階段練習）設命題P：已知定義在的可導函數，其導函數，存在，使得，恒成立.命題Q：存在，使得為遞增數列.則Q是P的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據給定條件，分別求出k的取值范圍，再利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.
【詳解】依題意，，不妨令，，
令，即有，而不可能恒為0，
所以函數在上遞增，故，即恒成立，
令，，求導得，
當時，，當時，，
即在上遞減，在上遞增，，故，
于是命題P為真：，
數列是遞增數列，則，，即，
故在n屬于正整數集上恒成立，于是有，因此命題Q為真：，
顯然當時，成立，反之當時，不一定成立，則Q是P的必要不充分條件，B正確.
故選：B
13．（21-22高三上·天津河西·期末）已知數列的通項公式為，前項和為，則取得最小值時，的值等于（ ）
A．10 B．9 C．8 D．4
【答案】C
【分析】求出數列在n的不同取值范圍的正負，判斷出的單調性，分析即可求出.
【詳解】令，解得或，
當時，，故當時遞增，且
當時，，當時遞減，
當時，，當時遞增，
且
故
所以取得最小值時的值為8.
故選：C.
14．（22-23高三上·天津·期中）數列的通項公式為，則“”是“為遞增數列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．既不充分也不必要條件 D．充要條件
【答案】A
【分析】根據以及充分條件和必要條件的定義分別進行判斷即可
【詳解】由題意得數列為遞增數列等價于對任意恒成立，
即對任意恒成立，故，
所以“”是“為遞增數列”的充分不必要條件，
故選：A
15．（15-16高三上·浙江嘉興·階段練習）已知數列滿足，，若，，且數列是單調遞增數列，則實數的取值范圍是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由數列遞推式得到是首項為2，公比為2的等比數列，求出其通項公式后代入，當時，，且求得實數的取值范圍.
【詳解】解：由得，
則
由，得，
∴數列是首項為2，公比為2的等比數列，
∴，
由，
得，
因為數列是單調遞增數列，
所以時，，
，即，
所以，
又∵，，
由，得，得，
綜上：實數的取值范圍是.
故選：C.
【點睛】解決數列的單調性問題的3種方法：
（1）作差比較法根據的符號判斷數列是遞增數列、遞減數列或是常數列；
（2）作商比較法根據(或)與1的大小關系進行判斷；
（3）數形結合法結合相應函數的圖象直觀判斷.
(1)解決數列的單調性問題的方法 用作差比較法，根據an＋1－an的符號判斷數列{an}是遞增數列、遞減數列還是常數列． (2)解決數列周期性問題的方法 先根據已知條件求出數列的前幾項，確定數列的周期，再根據周期性求值．
考點二：等差數列
1．等差數列的有關概念
(1)等差數列的定義
一般地，如果數列{an}從第2項起，每一項與它的前一項之差都等于同一個常數d，即an＋1－an＝d恒成立，則稱{an}為等差數列，其中d稱為等差數列的公差．
(2)等差中項
如果x，A，y是等差數列，那么稱A為x與y的等差中項，且有A＝.
2．等差數列的有關公式
(1)通項公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n項和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝.
3．等差數列的常用性質
(1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N+)．
(2)若{an}為等差數列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，則ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差數列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N+)是公差為md的等差數列．
(4)數列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)等差數列{an}的前n項和為Sn，為等差數列．
題型1 等差數列基本量的運算
16．（2010·北京東城·二模）函數，若數列滿足，，且是遞增數列，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根據題意可知分段函數為增函數，且，列出不等式組，解不等式組即可求解.
【詳解】由題意可知分段函數為增函數，且，
即，解得，
故實數的取值范圍是.
故選：D
【點睛】本題考查了分段函數的單調性、數列的單調性，考查了基本運算求解能力，屬于基礎題.
17．（2024·天津·一模）已知為等差數列，前項和為，且，，則（ ）
A．54 B．45 C．23 D．18
【答案】C
【分析】設等差數列的公差為，依題意由等差數列求和公式及通項公式求出，從而得解.
【詳解】設等差數列的公差為，
因為，，
所以，解得，
所以.
故選：C
18．（2024·天津·一模）已知等差數列的前項和為，且，則（ ）
A．6 B．9 C．11 D．14
【答案】B
【分析】根據等差數列的通項公式和前項和公式，依據題意列方程組，解方程組解出和，從而得出通項公式，進而即可得到．
【詳解】設等差數列的首項為，公差為，
由，
則有，解得，
所以等差數列的通項公式為，
故．
故選：B．
19．（23-24高三上·天津寧河·期末）已知數列滿足：，若，則（ ）
A．48 B．24 C．16 D．12
【答案】A
【分析】先根據條件得到數列為公差為1的等差數列，再利用等差數列的通項公式及對數的運算性質計算即可.
【詳解】由得，
所以數列為公差為1的等差數列，
所以，
所以，
所以.
故選：A.
20．（23-24高三上·天津河西·期末）已知等差數列的前項和為，且，，則是中的（ ）
A．第30項 B．第36項 C．第48項 D．第60項
【答案】B
【分析】根據題意求出數列的首項與公差，從而求出數列的通項，即可得解.
【詳解】設公差為，
則，解得，
所以，
則，
令，則，
所以是中的第36項.
故選：B.
(1)等差數列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，n，d，an，Sn，知道其中三個就能求出另外兩個(簡稱“知三求二”)． (2)確定等差數列的關鍵是求出兩個最基本的量，即首項a1和公差d.
題型2 等差數列的判定與證明
21．（2017·天津·二模）已知等差數列的前項和為，且，若記，則數列（ ）
A．是等差數列但不是等比數列 B．是等比數列但不是等差數列
C．既是等差數列又是等比數列 D．既不是等差數列又不是等比數列
【答案】C
【分析】利用等差中項的性質可求得的值，可求得數列的通項公式，再利用等差數列和等比數列的定義判斷可得出結論.
【詳解】因為，可得.
由等差中項的性質可得，因此，，
所以，，且，故數列既是等差數列，又是等比數列.
故選：C.
22．（18-19高三上·天津靜海·期中）已知數列的各項均為正數，則數列的前15項和為
A．3 B．4 C．127 D．128
【答案】A
【分析】由題得是一個等差數列，求出，再求出，再利用裂項相消法求和.
【詳解】由題得是一個以1為首項，以1為公差的等差數列，所以，
所以，
所以數列的前15項和為.
故答案為A
【點睛】本題主要考查數列通項的求法，考查等差數列的通項和裂項相消法求和，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.
23．（20-21高三上·天津和平·期中）設數列的前項和. 則的值為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用得出數列的通項公差，然后求解.
【詳解】由得，，，
所以，
所以，故.
故選：C.
【點睛】本題考查數列的通項公式求解，較簡單，利用求解即可.
24．（16-17高三上·湖南·階段練習）已知是數列的前項和，且，則．
A．72 B．88 C．92 D．98
【答案】C
【詳解】試題分析：為等差數列，公差為3，所以由得，選C.
考點：等差數列定義
25．（2016·浙江·高考真題）如圖，點列{An}，{Bn}分別在某銳角的兩邊上，且，.（）
若

A．是等差數列
B．是等差數列
C．是等差數列
D．是等差數列
【答案】A
【詳解】表示點到對面直線的距離（設為）乘以長度的一半，
即，由題目中條件可知的長度為定值，
那么我們需要知道的關系式，
由于和兩個垂足構成了直角梯形，
那么，
其中為兩條線的夾角，即為定值，
那么，
，
作差后：，都為定值，所以為定值．故選A．
判斷數列{an}是等差數列的常用方法 (1)定義法． (2)等差中項法． (3)通項公式法． (4)前n項和公式法．
題型3 等差數列的性質
26．（23-24高三上·天津南開·階段練習）已知等比數列的前項和為，．在與之間插入個數，使這個數組成一個等差數列，記插入的這個數之和為，的值為（ ）
A．240 B．360 C．480 D．560
【答案】A
【分析】先求得，然后利用等差數列的性質求得.
【詳解】設等比數列的公比為，
依題意，，
則，即，所以，
所以，則，則，
所以，所以，
，所以.
故選：A
27．（23-24高二上·天津和平·期末）若是等差數列，表示的前n項和，，則中最小的項是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據等差數列的前n項和公式可得，再結合等差數列的性質判斷處的符號，即可得出答案.
【詳解】因為，
所以，
因為，所以，
所以公差，
故當時，，當時，，
所以當時，取得最小值，
即中最小的項是.
故選：B.
28．（19-20高三上·天津北辰·期中）已知是等差數列的前n項和，，則的值是（ ）
A．60 B．30 C．15 D．8
【答案】A
【分析】利用等差數列的性質求解.
【詳解】因為數列為等差數列，
所以.
故選：A
29．（21-22高三下·天津西青·階段練習）北京天壇圜丘壇的地面由石板鋪成，最中間的是圓形的天心石，圍繞天心石的是9圈扇環形的石板，從內到外各圈的石板數依次為，，，…，，設數列為等差數列，它的前n項和為，且，，則（ ）
A．189 B．252
C．324 D．405
【答案】D
【分析】設等差數列的公差為，由題意和等差數列的通項公式得出，解方程得出，最后根據等差數列的求和公式得出.
【詳解】設等差數列的公差為，
由，，
得，解得：，
所以.
故選：D.
30．（20-21高三上·天津紅橋·期末）設是等差數列的前項和，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根據等差數列的前項和公式以及等差數列的下標性質可求得結果.
【詳解】因為為等差數列，
所以.
故選：D
【點睛】關鍵點點睛：利用等差數列的前項和公式以及等差數列的下標性質求解是解題關鍵.
等差數列項的性質的關注點 (1)在等差數列題目中，只要出現項的和問題，一般先考慮應用項的性質． (2)項的性質常與等差數列的前n項和公式Sn＝相結合．
考點三：等比數列
1．等比數列有關的概念
(1)定義：一般地，如果數列{an}從第2項起，每一項與它的前一項之比都等于同一個常數q，即＝q恒成立，則稱{an}為等比數列，其中q稱為等比數列的公比.
(2)等比中項：如果x，G，y是等比數列，那么稱G為x與y的等比中項，即G2＝xy.
2．等比數列的通項公式及前n項和公式
(1)若等比數列{an}的首項為a1，公比是q，則其通項公式為an＝a1qn－1.
(2)等比數列通項公式的推廣：an＝amqn－m.
(3)等比數列的前n項和公式：當q＝1時，Sn＝na1；當q≠1時，Sn＝＝.
3．等比數列性質
(1)若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N+.特別地，若2w＝m＋n，則aman＝a，其中m，n，w∈N+.
(2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數列，公比為qm(k，m∈N+)．
(3)若數列{an}，{bn}是兩個項數相同的等比數列，則數列{an·bn}，{pan·qbn}和也是等比數列(b，p，q≠0)．
(4)等比數列{an}的前n項和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數列，其公比為qn.(n為偶數且q＝－1除外)
(5)若或則等比數列{an}遞增．
若或則等比數列{an}遞減．
題型1 等比數列基本量的運算
31．（2024·天津和平·一模）已知等比數列的各項均為正數，若成等差數列，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設等比數列的公比為q，且，由等差數列的中項性質列方程計算可得q，再由等比數列的通項公式計算可得
【詳解】因為等比數列中的各項都是正數，設公比為q，得，
又成等差數列，
可得，
又，所以，解得或，
又，所以
則，
故選：A
32．（2024高三·天津·專題練習）已知正項等比數列中，，，成等差數列．若數列中存在兩項，，使得為它們的等比中項，則的最小值為（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
【答案】B
【分析】先根據題意求出首項及公比，再根據等比中項的定義求出，再根據基本不等式中“1”的整體代換即可得解.
【詳解】設正項等比數列公比為，由，，成等差數列，
有，即，得，
由，解得，
若數列中存在兩項，，使得為它們的等比中項，
則，即，得，則，
，
當且僅當，即時等號成立，
所以的最小值為3．
故選：B
33．（23-24高三上·天津·期末）已知等比數列的前n項和是，且，，則（ ）
A．30 B．80 C．240 D．242
【答案】D
【分析】由題意得，解出公比，由等比數列求和公式即可得解.
【詳解】由題意設公比為，所以，解得，所以.
故選：D.
34．（23-24高三上·天津和平·階段練習）在等比數列中，成等差數列，則（ ）
A．3 B． C．9 D．
【答案】C
【分析】利用等差數列及等比數列的相關概念計算即可.
【詳解】設的公比為，
則由題意可知或，
顯然時，，無意義舍去；
所以.
故選：C
35．（23-24高三上·天津和平·階段練習）已知等比數列的前3項和為，則（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
【答案】B
【分析】根據等比數列的通項公式列方程得到，，然后求即可.
【詳解】由題意得①，②，
聯立得，
因為，所以，解得，
將代入①中得，
所以.
故選：B.
等比數列基本量的運算的解題策略 (1)等比數列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)可迎刃而解． (2)解方程組時常常利用“作商”消元法． (3)運用等比數列的前n項和公式時，一定要討論公比q＝1的情形，否則會漏解或增解．
題型2 等比數列的判定與證明
36．（2015·廣東廣州·一模）已知數列滿足，且，則數列的通項公式為
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】試題分析：因為，所以，即，所以數列是以為首項，公比為的等比數列，所以，即，所以數列的通項公式是，故選D．
考點：數列的通項公式．
37．（2017·天津紅橋·一模）已知等比數列的首項為1，若，，成等差數列，則數列的前5項和為（ ）
A． B．2
C． D．
【答案】C
【分析】設的公比為，由，，成等差數列求出，再由等比數列前和公式得的前5項和．
【詳解】解：設的公比為，
因為，，成等差數列，所以，即，
所以，
所以．
所以，
因為，
所以是首項為1，公比為的等比數列，
所以．
故選：C．
38．（2024·陜西安康·模擬預測）已知等比數列的前項和為，且，則數列的前項和為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根據關系求出，最后再根據等比數列前項和公式計算求解即可.
【詳解】
因為，所以當時，，兩式相減，得，
因為數列是等比數列，所以．
由，解得，所以數列是首項為1，公比為2的等比數列，
所以，即，所以數列是首項為1，公比為4的等比數列，
所以數列的前項和為．
故選：A．
39．（13-14高二下·湖北荊門·期末）若數列滿足（為常數，，），則稱為“等方比數列”．甲：數列是等方比數列；乙：數列是等比數列，則（ ）．
A．甲是乙的充分非必要條件 B．甲是乙的必要非充分條件
C．甲是乙的充要條件 D．甲是乙的既非充分也非必要條件
【答案】B
【分析】利用等比數列的性質以及正負進行判斷即可.
【詳解】若為等比數列，設其公比為，則，為常數，所以成等比數列，即是等方比數列，故必要性滿足.
若是等方比數列，即成等比數列，則不一定為等比數列，例如，有，滿足是等方比數列，但不是等比數列，充分性不滿足.
故選：B
40．（2022·浙江嘉興·模擬預測）2022年第二十四屆北京冬奧會開幕式上由96片小雪花組成的大雪花驚艷了全世界，數學中也有一朵美麗的雪花一“科赫雪花”．它可以這樣畫，任意畫一個正三角形，并把每一邊三等分：取三等分后的一邊中間一段為邊向外作正三角形，并把這“中間一段”擦掉，形成雪花曲線；重復上述兩步，畫出更小的三角形．一直重復，直到無窮，形成雪花曲線，．
設雪花曲線的邊長為，邊數為，周長為，面積為，若，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C．均構成等比數列 D．
【答案】B
【分析】根據已知寫出、、的通項公式且時，應用累加法求通項，進而判斷各選項的正誤.
【詳解】據題意知：，
∴，A錯誤；
，
當時，，D錯誤；
∴，
由也滿足上式，則，
所以不構成等比數列，C錯誤；
由上，，則，B正確.
故選：B．
等比數列的三種常用判定方法 (1)定義法：若＝q(q為非零常數，n∈N+)或＝q(q為非零常數且n≥2，n∈N+)，則{an}是等比數列． (2)等比中項法：若數列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N+)，則{an}是等比數列． (3)前n項和公式法：若數列{an}的前n項和Sn＝k·qn－k(k為常數且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數列．
題型3 等比數列的性質
41．（2020·天津和平·一模）設等比數列中，每項均是正數，，則（ ）
A．20 B． C． D．
【答案】B
【分析】，再利用等比數列的性質化簡即可得答案.
【詳解】.
故選：B.
【點睛】本題考查了等比數列的性質，對數的運算，屬于基礎題.
42．（23-24高三上·天津南開·階段練習）設數列的公比為，則“且”是“是遞減數列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據題意，結合等比數列的通項公式，分別驗證充分性以及必要性，即可得到結果.
【詳解】由等比數列的通項公式可得，，
當且時，則，且單調遞減，則是遞減數列，故充分性滿足；
當是遞減數列，可得或，故必要性不滿足；
所以“且”是“是遞減數列”的充分不必要條件.
故選：A
43．（19-20高三下·天津靜海·期中）設是首項大于零的等比數列，則“”是“數列為遞增數列”的
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】根據等比數列通項公式分別討論充分性與必要性即可得答案.
【詳解】解：設公比為，若，則，即，則有或，
所以當時，數列為擺動數列，故充分性不成立；
若數列為遞增數列，則，由于，∴，故必要性成立.
所以“”是“數列為遞增數列”的必要而不充分條件.
故選：B.
【點睛】本題考查必要不充分條件，等比數列的單調性，是中檔題.
44．（19-20高三上·天津南開·階段練習）已知q是等比數列的公比，則“”是“數列是遞增數列”的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【分析】由等比數列的性質，舉特例可得出選項．
【詳解】已知q是等比數列{an}的公比，當a1＝1，q＝﹣1，則數列為擺動數列，即數列{an}不是遞增數列，
當數列{an}是遞增數列，不妨取：an＝2n，則a1＝2，q＝2，不滿足a1（1﹣q）＞0，
故“a1（1﹣q）＞0”是“數列{an}是遞增數列”的既不充分也不必要條件，
故選D．
【點睛】本題考查了充分必要條件的判斷，涉及等比數列的性質，屬于簡單題．
45．（2014·全國·高考真題）設等比數列{an}的前n項和為Sn．若S2=3，S4=15，則S6=
A．31 B．32 C．63 D．64
【答案】C
【詳解】試題分析：由等比數列的性質可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比數列，代入數據計算可得．
解：S2=a1+a2，S4﹣S2=a3+a4=（a1+a2）q2，S6﹣S4=a5+a6=（a1+a2）q4，
所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比數列，
即3，12，S6﹣15成等比數列，
可得122=3（S6﹣15），
解得S6=63
故選C
考點：等比數列的前n項和．
(1)等比數列的性質可以分為三類：一是通項公式的變形，二是等比中項的變形，三是前n項和公式的變形，根據題目條件，認真分析，發現具體的變化特征即可找出解決問題的突破口． (2)巧用性質，減少運算量，在解題中非常重要．
考點四：數列求和
數列求和的幾種常用方法
1．公式法
直接利用等差數列、等比數列的前n項和公式求和．
(1)等差數列的前n項和公式：
Sn＝＝na1＋d.
(2)等比數列的前n項和公式：
Sn＝.
2．分組求和法與并項求和法
(1)分組求和法
若一個數列是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．
(2)并項求和法
一個數列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．
3．錯位相減法
如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么這個數列的前n項和即可用此法來求，如等比數列的前n項和公式就是用此法推導的．
4．裂項相消法
把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和．
常見的裂項技巧
(1)＝－.
(2)＝.
(3)＝.
(4)＝－.
(5)＝.
題型1 分組求和與并項求和
46．（2024·天津紅橋·一模）已知為數列的前n項和，且滿足，其中，且．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，若對任意的，都有，求實數m的取值范圍．
【詳解】（1）由，
當時，，所以，
當時，，所以，
所以數列是以為公比的等比數列，
所以；
（2）由（1）得，
則，
故，
，
而隨的增大而減小，
所以，
隨的增大而增大，
所以，
因為對任意的，都有，
所以.
47．（23-24高三下·天津和平·開學考試）在數列中，．在等差數列中，前n項和為，，．
(1)求證是等比數列，并求數列和的通項公式；
(2)設數列滿足，的前n項和為，求．
【詳解】（1）當時，故，又，
故是等比數列，且公比為2，首項為
所以，故，
設的公差為，則由，，解得，，
故，
（2）
故，
而，故，其中，
當為偶數時，，
當為奇數時，，
(1)若數列{cn}的通項公式為cn＝an±bn，且{an}，{bn}為等差或等比數列，可采用分組求和法求數列{cn}的前n項和． (2)若數列{cn}的通項公式為cn＝其中數列{an}，{bn}是等比數列或等差數列，可采用分組求和法求{cn}的前n項和．
題型2 錯位相減法求和
48．（2024·天津河西·一模）已知各項均為正數的數列的前n項和為，且滿足，數列為等比數列，且滿足，．
(1)求數列和的通項公式；
(2)求證：；
(3)求的值．
【詳解】（1）由，得①，則②，
②①得，整理得，
由，得，
又時，，解得，
所以數列是首項為1公差為2的等差數列，則，
即數列的通項公式為；
設等比數列公比為，由，有，，
則，
，解得，則，
即數列的通項公式為.
（2）由，得，
則，
所以.
（3）設，
，
，
設，，
則，
，
兩式相減，得
，
則有，得，
所以.
49．（2024·天津河東·一模）設是等差數列，是各項均為正數的等比數列，，．
(1)求數列與的通項公式；
(2)數列的前項和分別為；
（ⅰ）證明；
（ⅱ）求．
【詳解】（1）
解：設等差數列的公差為，等比數列的公比為，
則，，
因為，可得，解得，
又因為，可得，
又由且，可得，解得（負值舍去），
所以.
（2）
（ⅰ）證明：由，可得，
所以，
則.
（ⅰⅰ）解：由，可得，
則
，
可得，
則，
兩式相減得，
，
所以，即
【點睛】
關鍵點點睛：本題第2問（ⅱ）解決的關鍵是，通過觀察計算發現的結果滿足錯位相減法的要求，從而得解.
(1)如果數列{an}是等差數列，{bn}是等比數列，求數列{an·bn}的前n項和時，常采用錯位相減法． (2)錯位相減法求和時，應注意： ①在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”，以便于下一步準確地寫出“Sn－qSn”的表達式． ②應用等比數列求和公式時必須注意公比q是否等于1，如果q＝1，應用公式Sn＝na1.
題型3 裂項相消法求和
50．（2024·天津濱海新·二模）已知數列滿足，其中.
(1)若，求數列的前n項的和；
(2)若，且數列滿足：，證明：.
(3)當，時，令，判斷對任意，，是否為正整數，請說明理由.
【詳解】（1）因為，，所以當時，，時，，
即為奇數時，；為偶數時，.
記數列的前n項的和為，當為偶數時，，當為奇數時，，
綜上，其中.
當時，，時，，此時是等比數列，
當時，；
當時，，故.
（2）由（1）知，，時，，
，
（3）對任意，，是正整數.理由如下：
當，時，，此時；
，此時；
由，平方可得，，
又，所以，
整理可得，
當時，，所以
，
所以，由，所以，以此類推，可知對任意，，是正整數.
【點睛】關鍵點點睛：本題求解的關鍵有兩個：一是把的通項公式化成裂項相消的結構求和；二是通過遞推關系得到，根據前幾項為自然數，遞推可得結論.
51．（2024·天津和平·一模）若數列滿足，其中，則稱數列為M數列.
(1)已知數列為M數列，當時.
（ⅰ）求證：數列是等差數列，并寫出數列的通項公式；
（ⅱ），求.
(2)若是M數列，且，證明：存在正整數n.使得.
【詳解】（1）（ⅰ）由，可得，
所以數列是首項為公差為1的等差數列，
所以，
又因為，所以.
（ⅱ），
設，，
，，
所以，
.
（2）若是M數列，有，
故，且，
即
，
則
，
由隨的增大而增大，
若，可得，
因為，故對任意的，總存在正整數使，
即總存在正整數n，使得.
【點睛】關鍵點點睛：本題解題中，對求和要求較高，裂項相消法求和是解決問題的關鍵，其次利用放縮法適當放縮，繼續利用裂項相消法是證明的關鍵.
(1)等比數列的性質可以分為三類：一是通項公式的變形，二是等比中項的變形，三是前n項和公式的變形，根據題目條件，認真分析，發現具體的變化特征即可找出解決問題的突破口． (2)巧用性質，減少運算量，在解題中非常重要．重難點08 數列
考點一 數列的概念
由an與Sn的關系求通項公式
由數列的遞推關系求通項公式
數列的性質
考點二 等差數列
等差數列基本量的運算
等差數列的判定與證明
3、等差數列的性質
考點三 等比數列
1、等差數列基本量的運算
2、等差數列的判定與證明
3、等差數列的性質
考點四 數列求和
1、分組求和與并項求和
2、錯位相減法求和
3、解三角形的實際應用
考點一：數列的概念
1．數列的有關概念
概念 含義
數列 按照一定次序排列的一列數
數列的項 數列中的每一個數
通項公式 如果數列的第n項an與n之間的關系可以用an＝f(n)來表示，其中f(n)是關于n的不含其他未知數的關系式，則稱上述關系式為這個數列的一個通項公式
遞推公式 如果已知數列的首項(或前幾項)，且數列的相鄰兩項或兩項以上的關系都可以用一個公式來表示，則稱這個公式為數列的遞推關系.
數列{an}的前n項和 一般地，給定數列{an}，稱Sn＝a1＋a2＋…＋an為數列{an}的前n項和
2.數列的分類
分類標準 類型 滿足條件
項數 有窮數列 項數有限
無窮數列 項數無限
項與項間的大小關系 遞增數列 an＋1>an 其中n∈N+
遞減數列 an＋1常數列 an＋1＝an
擺動數列 從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列
3.數列與函數的關系
數列{an}可以看成定義域為正整數集的子集的函數，數列中的數就是自變量從小到大依次取正整數值時對應的函數值，而數列的通項公式也就是相應函數的解析式．
題型1 由an與Sn的關系求通項公式
1．（23-24高三上·天津西青·期末）已知是等比數列，是數列的前項和，，則的值為（ ）
A．3 B．18 C．54 D．152
2．（23-24高三上·天津和平·期末）已知數列為等比數列，為數列的前項和，，則的值為（ ）
A．9 B．21 C．45 D．93
3．（23-24高三上·天津·期中）設是數列的前項和，已知且，則（ ）
A．9 B．27 C．81 D．101
4．（23-24高三上·天津北辰·期中）已知數列的前項和為，且，則（ ）
A． B． C．16 D．32
5．（22-23高三上·天津靜海·階段練習）等差數列，前n項和分別為與，且，則（ ）
A． B． C． D．
Sn與an的關系問題的求解思路 (1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉化為只含Sn，Sn－1的關系式，再求解． (2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉化為只含an，an－1的關系式，再求解．
題型2 由數列的遞推關系求通項公式
6．（2024·天津·二模）在數列中，若（），則的值為（ ）
A．1 B．3 C．9 D．27
7．（19-20高三上·天津和平·階段練習）數列滿足，對，都有，則（ ）
A． B． C． D．
8．（20-21高三上·遼寧沈陽·期末）已知數列滿足：，則
A．16 B．25 C．28 D．33
9．（2017·湖南湘潭·一模）已知數列{an}滿足： m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝，那么a5＝（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·吉林長春·一模）已知數列，，，且，則數列的前30項之和為（ ）
A．15 B．30 C．60 D．120
(1)形如an＋1－an＝f(n)的數列，利用累加法． (2)形如＝f(n)的數列，利用an＝a1···…·(n≥2)即可求數列{an}的通項公式．
題型3 數列的性質
11．（23-24高三上·天津濱海新·開學考試）已知數列滿足，，則以下結論正確的個數是（ ）
①為等比數列；②的通項公式為；③為遞增數列；④的前n項和.
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
12．（22-23高三上·天津靜海·階段練習）設命題P：已知定義在的可導函數，其導函數，存在，使得，恒成立.命題Q：存在，使得為遞增數列.則Q是P的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
13．（21-22高三上·天津河西·期末）已知數列的通項公式為，前項和為，則取得最小值時，的值等于（ ）
A．10 B．9 C．8 D．4
14．（22-23高三上·天津·期中）數列的通項公式為，則“”是“為遞增數列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．既不充分也不必要條件 D．充要條件
15．（15-16高三上·浙江嘉興·階段練習）已知數列滿足，，若，，且數列是單調遞增數列，則實數的取值范圍是
A． B． C． D．
(1)解決數列的單調性問題的方法 用作差比較法，根據an＋1－an的符號判斷數列{an}是遞增數列、遞減數列還是常數列． (2)解決數列周期性問題的方法 先根據已知條件求出數列的前幾項，確定數列的周期，再根據周期性求值．
考點二：等差數列
1．等差數列的有關概念
(1)等差數列的定義
一般地，如果數列{an}從第2項起，每一項與它的前一項之差都等于同一個常數d，即an＋1－an＝d恒成立，則稱{an}為等差數列，其中d稱為等差數列的公差．
(2)等差中項
如果x，A，y是等差數列，那么稱A為x與y的等差中項，且有A＝.
2．等差數列的有關公式
(1)通項公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n項和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝.
3．等差數列的常用性質
(1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N+)．
(2)若{an}為等差數列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，則ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差數列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N+)是公差為md的等差數列．
(4)數列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)等差數列{an}的前n項和為Sn，為等差數列．
題型1 等差數列基本量的運算
16．（2010·北京東城·二模）函數，若數列滿足，，且是遞增數列，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
17．（2024·天津·一模）已知為等差數列，前項和為，且，，則（ ）
A．54 B．45 C．23 D．18
18．（2024·天津·一模）已知等差數列的前項和為，且，則（ ）
A．6 B．9 C．11 D．14
19．（23-24高三上·天津寧河·期末）已知數列滿足：，若，則（ ）
A．48 B．24 C．16 D．12
20．（23-24高三上·天津河西·期末）已知等差數列的前項和為，且，，則是中的（ ）
A．第30項 B．第36項 C．第48項 D．第60項
(1)等差數列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，n，d，an，Sn，知道其中三個就能求出另外兩個(簡稱“知三求二”)． (2)確定等差數列的關鍵是求出兩個最基本的量，即首項a1和公差d.
題型2 等差數列的判定與證明
21．（2017·天津·二模）已知等差數列的前項和為，且，若記，則數列（ ）
A．是等差數列但不是等比數列 B．是等比數列但不是等差數列
C．既是等差數列又是等比數列 D．既不是等差數列又不是等比數列
22．（18-19高三上·天津靜海·期中）已知數列的各項均為正數，則數列的前15項和為
A．3 B．4 C．127 D．128
23．（20-21高三上·天津和平·期中）設數列的前項和. 則的值為（ ）．
A． B． C． D．
24．（16-17高三上·湖南·階段練習）已知是數列的前項和，且，則．
A．72 B．88 C．92 D．98
25．（2016·浙江·高考真題）如圖，點列{An}，{Bn}分別在某銳角的兩邊上，且，.（）
若

A．是等差數列
B．是等差數列
C．是等差數列
D．是等差數列
判斷數列{an}是等差數列的常用方法 (1)定義法． (2)等差中項法． (3)通項公式法． (4)前n項和公式法．
題型3 等差數列的性質
26．（23-24高三上·天津南開·階段練習）已知等比數列的前項和為，．在與之間插入個數，使這個數組成一個等差數列，記插入的這個數之和為，的值為（ ）
A．240 B．360 C．480 D．560
27．（23-24高二上·天津和平·期末）若是等差數列，表示的前n項和，，則中最小的項是（ ）
A． B． C． D．
28．（19-20高三上·天津北辰·期中）已知是等差數列的前n項和，，則的值是（ ）
A．60 B．30 C．15 D．8
29．（21-22高三下·天津西青·階段練習）北京天壇圜丘壇的地面由石板鋪成，最中間的是圓形的天心石，圍繞天心石的是9圈扇環形的石板，從內到外各圈的石板數依次為，，，…，，設數列為等差數列，它的前n項和為，且，，則（ ）
A．189 B．252
C．324 D．405
30．（20-21高三上·天津紅橋·期末）設是等差數列的前項和，若，則（ ）
A． B．
C． D．
等差數列項的性質的關注點 (1)在等差數列題目中，只要出現項的和問題，一般先考慮應用項的性質． (2)項的性質常與等差數列的前n項和公式Sn＝相結合．
考點三：等比數列
1．等比數列有關的概念
(1)定義：一般地，如果數列{an}從第2項起，每一項與它的前一項之比都等于同一個常數q，即＝q恒成立，則稱{an}為等比數列，其中q稱為等比數列的公比.
(2)等比中項：如果x，G，y是等比數列，那么稱G為x與y的等比中項，即G2＝xy.
2．等比數列的通項公式及前n項和公式
(1)若等比數列{an}的首項為a1，公比是q，則其通項公式為an＝a1qn－1.
(2)等比數列通項公式的推廣：an＝amqn－m.
(3)等比數列的前n項和公式：當q＝1時，Sn＝na1；當q≠1時，Sn＝＝.
3．等比數列性質
(1)若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N+.特別地，若2w＝m＋n，則aman＝a，其中m，n，w∈N+.
(2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數列，公比為qm(k，m∈N+)．
(3)若數列{an}，{bn}是兩個項數相同的等比數列，則數列{an·bn}，{pan·qbn}和也是等比數列(b，p，q≠0)．
(4)等比數列{an}的前n項和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數列，其公比為qn.(n為偶數且q＝－1除外)
(5)若或則等比數列{an}遞增．
若或則等比數列{an}遞減．
題型1 等比數列基本量的運算
31．（2024·天津和平·一模）已知等比數列的各項均為正數，若成等差數列，則（ ）
A． B． C． D．
32．（2024高三·天津·專題練習）已知正項等比數列中，，，成等差數列．若數列中存在兩項，，使得為它們的等比中項，則的最小值為（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
33．（23-24高三上·天津·期末）已知等比數列的前n項和是，且，，則（ ）
A．30 B．80 C．240 D．242
34．（23-24高三上·天津和平·階段練習）在等比數列中，成等差數列，則（ ）
A．3 B． C．9 D．
35．（23-24高三上·天津和平·階段練習）已知等比數列的前3項和為，則（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
等比數列基本量的運算的解題策略 (1)等比數列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)可迎刃而解． (2)解方程組時常常利用“作商”消元法． (3)運用等比數列的前n項和公式時，一定要討論公比q＝1的情形，否則會漏解或增解．
題型2 等比數列的判定與證明
36．（2015·廣東廣州·一模）已知數列滿足，且，則數列的通項公式為
A． B． C． D．
37．（2017·天津紅橋·一模）已知等比數列的首項為1，若，，成等差數列，則數列的前5項和為（ ）
A． B．2
C． D．
38．（2024·陜西安康·模擬預測）已知等比數列的前項和為，且，則數列的前項和為（ ）
A． B．
C． D．
39．（13-14高二下·湖北荊門·期末）若數列滿足（為常數，，），則稱為“等方比數列”．甲：數列是等方比數列；乙：數列是等比數列，則（ ）．
A．甲是乙的充分非必要條件 B．甲是乙的必要非充分條件
C．甲是乙的充要條件 D．甲是乙的既非充分也非必要條件
40．（2022·浙江嘉興·模擬預測）2022年第二十四屆北京冬奧會開幕式上由96片小雪花組成的大雪花驚艷了全世界，數學中也有一朵美麗的雪花一“科赫雪花”．它可以這樣畫，任意畫一個正三角形，并把每一邊三等分：取三等分后的一邊中間一段為邊向外作正三角形，并把這“中間一段”擦掉，形成雪花曲線；重復上述兩步，畫出更小的三角形．一直重復，直到無窮，形成雪花曲線，．
設雪花曲線的邊長為，邊數為，周長為，面積為，若，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C．均構成等比數列 D．
等比數列的三種常用判定方法 (1)定義法：若＝q(q為非零常數，n∈N+)或＝q(q為非零常數且n≥2，n∈N+)，則{an}是等比數列． (2)等比中項法：若數列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N+)，則{an}是等比數列． (3)前n項和公式法：若數列{an}的前n項和Sn＝k·qn－k(k為常數且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數列．
題型3 等比數列的性質
41．（2020·天津和平·一模）設等比數列中，每項均是正數，，則（ ）
A．20 B． C． D．
42．（23-24高三上·天津南開·階段練習）設數列的公比為，則“且”是“是遞減數列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
43．（19-20高三下·天津靜海·期中）設是首項大于零的等比數列，則“”是“數列為遞增數列”的
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
44．（19-20高三上·天津南開·階段練習）已知q是等比數列的公比，則“”是“數列是遞增數列”的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
45．（2014·全國·高考真題）設等比數列{an}的前n項和為Sn．若S2=3，S4=15，則S6=
A．31 B．32 C．63 D．64
(1)等比數列的性質可以分為三類：一是通項公式的變形，二是等比中項的變形，三是前n項和公式的變形，根據題目條件，認真分析，發現具體的變化特征即可找出解決問題的突破口． (2)巧用性質，減少運算量，在解題中非常重要．
考點四：數列求和
數列求和的幾種常用方法
1．公式法
直接利用等差數列、等比數列的前n項和公式求和．
(1)等差數列的前n項和公式：
Sn＝＝na1＋d.
(2)等比數列的前n項和公式：
Sn＝.
2．分組求和法與并項求和法
(1)分組求和法
若一個數列是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．
(2)并項求和法
一個數列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．
3．錯位相減法
如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么這個數列的前n項和即可用此法來求，如等比數列的前n項和公式就是用此法推導的．
4．裂項相消法
把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和．
常見的裂項技巧
(1)＝－.
(2)＝.
(3)＝.
(4)＝－.
(5)＝.
題型1 分組求和與并項求和
46．（2024·天津紅橋·一模）已知為數列的前n項和，且滿足，其中，且．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，若對任意的，都有，求實數m的取值范圍．
47．（23-24高三下·天津和平·開學考試）在數列中，．在等差數列中，前n項和為，，．
(1)求證是等比數列，并求數列和的通項公式；
(2)設數列滿足，的前n項和為，求．
(1)若數列{cn}的通項公式為cn＝an±bn，且{an}，{bn}為等差或等比數列，可采用分組求和法求數列{cn}的前n項和． (2)若數列{cn}的通項公式為cn＝其中數列{an}，{bn}是等比數列或等差數列，可采用分組求和法求{cn}的前n項和．
題型2 錯位相減法求和
48．（2024·天津河西·一模）已知各項均為正數的數列的前n項和為，且滿足，數列為等比數列，且滿足，．
(1)求數列和的通項公式；
(2)求證：；
(3)求的值．
49．（2024·天津河東·一模）設是等差數列，是各項均為正數的等比數列，，．
(1)求數列與的通項公式；
(2)數列的前項和分別為；
（ⅰ）證明；
（ⅱ）求．
(1)如果數列{an}是等差數列，{bn}是等比數列，求數列{an·bn}的前n項和時，常采用錯位相減法． (2)錯位相減法求和時，應注意： ①在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”，以便于下一步準確地寫出“Sn－qSn”的表達式． ②應用等比數列求和公式時必須注意公比q是否等于1，如果q＝1，應用公式Sn＝na1.
題型3 裂項相消法求和
50．（2024·天津濱海新·二模）已知數列滿足，其中.
(1)若，求數列的前n項的和；
(2)若，且數列滿足：，證明：.
(3)當，時，令，判斷對任意，，是否為正整數，請說明理由.
51．（2024·天津和平·一模）若數列滿足，其中，則稱數列為M數列.
(1)已知數列為M數列，當時.
（ⅰ）求證：數列是等差數列，并寫出數列的通項公式；
（ⅱ），求.
(2)若是M數列，且，證明：存在正整數n.使得.
(1)等比數列的性質可以分為三類：一是通項公式的變形，二是等比中項的變形，三是前n項和公式的變形，根據題目條件，認真分析，發現具體的變化特征即可找出解決問題的突破口． (2)巧用性質，減少運算量，在解題中非常重要．

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