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重難點10 平面解析幾何
考點一 直線的方程
直線的方程
兩條直線的位置關系
考點二 圓的方程
圓的方程
直線與圓的位置關系
3、圓與圓的位置關系
考點三 圓錐曲線
1、橢圓
2、雙曲線
3、拋物線
4、直線與圓錐曲線的位置關系
考點四 綜合應用
1、圓錐曲線中求值與證明問題
2、圓錐曲線中范圍與最值問題
3、圓錐曲線中定點與定值問題
4、圓錐曲線中探索性與綜合性問題
考點一：直線的方程
直線的方程
1．直線的方向向量
一般地，如果表示非零向量a的有向線段所在的直線與直線l平行或重合，則稱向量a為直線l的一個方向向量，記作a∥l.
2．直線的傾斜角
(1)定義：一般地，給定平面直角坐標系中的一條直線，如果這條直線與x軸相交，將x軸繞著它們的交點按逆時針方向旋轉到與直線重合時所轉的最小正角記為θ，則稱θ為這條直線的傾斜角．
(2)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.
3．直線的斜率
(1)定義：一般地，如果直線l的傾斜角為θ，則當θ≠90°時，稱k＝tan θ為直線l的斜率；當θ＝90°時，直線l的斜率不存在．
(2)過兩點的直線的斜率公式
如果直線經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝.
4．直線方程的五種形式
名稱 方程 適用范圍
點斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直線x＝x0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x軸的直線
兩點式 ＝(x1≠x2，y1≠y2) 不含直線x＝x1 和直線y＝y1
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐標軸和過原點的直線
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐標系內的直線都適用
直線與直線的位置關系
1.兩條直線的位置關系
直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1與l3是同一直線，l2與l4是同一直線，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)的位置關系如下表：
位置關系 法向量滿足的條件 l1，l2滿足的條件 l3，l4滿足的條件
平行 v1∥v2 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0且 A1C2－A2C1≠0
垂直 v1⊥v2 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0
相交 v1與v2不共線 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0
2.三種距離公式
(1)兩點間的距離公式
①條件：點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
②結論：|P1P2|＝.
③特例：點P(x，y)到原點O(0,0)的距離|OP|＝.
(2)點到直線的距離
點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝.
(3)兩條平行直線間的距離
兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝.
題型1 直線的方程
1．（20-21高二上·天津北辰·期末）直線的傾斜角為（ ）
A．30° B．60° C．120° D．135°
2．（20-21高二上·天津北辰·期末）過點且與直線平行的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高二上·天津武清·階段練習）已知直線，當k變化時，所有直線都恒過點（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高二上·天津南開·階段練習）過點的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為（ ）
A． B．
C．或 D．或
5．（23-24高二上·天津北辰·期中）過點且與直線垂直的直線方程是（ ）
A． B． C． D．
求直線方程的兩種方法 (1)直接法：由題意確定出直線方程的適當形式． (2)待定系數法：先由直線滿足的條件設出直線方程，方程中含有待定的系數，再由題設條件求出待定系數．
題型2 直線與直線的位置關系
6．（23-24高二上·天津·期末）已知直線：與直線：平行，則實數的值為（ ）
A．1 B． C．1或 D．不存在
7．（20-21高二上·天津北辰·期末）若直線與直線垂直，則實數的取值為（ ）
A． B．2 C． D．10
8．（20-21高二上·天津北辰·期末）若兩平行直線與之間的距離是，則（ ）
A． B．0 C．1 D．
9．（23-24高二上·天津和平·期末）設點P，Q分別為直線與直線上的任意一點，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C． D．
10．（23-24高二上·天津和平·期末）已知直線：，直線：，若，則實數（ ）
A．－4或0 B．0或1 C．－4 D．0
對稱問題的求解策略 (1)解決對稱問題的思路是利用待定系數法將幾何關系轉化為代數關系求解． (2)中心對稱問題可以利用中點坐標公式解題，兩點軸對稱問題可以利用垂直和中點兩個條件列方程組解題．
考點二：圓的方程
圓的方程
1．圓的定義和圓的方程
定義 平面內到一定點的距離等于定長的點的集合是圓
方程 標準 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圓心C(a，b)
半徑為r
一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0) 圓心C
半徑r＝
2.點與圓的位置關系
平面上的一點M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關系：
(1)|MC|>r M在圓外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2 M在圓外；
(2)|MC|＝r M在圓上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 M在圓上；
(3)|MC|直線與圓、圓與圓的位置關系
1．直線與圓的位置關系(圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r)
相離 相切 相交
圖形
量化 方程觀點 Δ<0 Δ＝0 Δ>0
幾何觀點 d>r d＝r d2.圓與圓的位置關系(⊙O1，⊙O2的半徑分別為r1，r2，d＝|O1O2|)
圖形 量的關系
外離 d>r1＋r2
外切 d＝r1＋r2
相交 |r1－r2|內切 d＝|r1－r2|
內含 d<|r1－r2|
3.直線被圓截得的弦長
(1)幾何法：弦心距d、半徑r和弦長|AB|的一半構成直角三角形，弦長|AB|＝2.
(2)代數法：設直線y＝kx＋m與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于點M，N，代入，消去y，得關于x的一元二次方程，則|MN|＝·.
題型1 圓的方程
11．（23-24高二上·天津·期末）為圓（）內異于圓心的一點，則直線與該圓的位置關系為（ ）
A．相離 B．相交 C．相切 D．相切或相離
12．（23-24高二上·天津和平·階段練習）曲線 的長度是（ ）
A． B． C． D．
13．（23-24高二上·天津武清·階段練習）圓心為，半徑為2的圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
14．（23-24高二上·湖北武漢·期中）“”是“方程表示圓的方程”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
15．（23-24高二上·天津·期中）已知點，，點C為圓上一點，則的面積的最大值為（ ）
A．12 B． C． D．6
求與圓有關的軌跡問題的常用方法 (1)直接法：直接根據題目提供的條件列出方程． (2)定義法：根據圓、直線等定義列方程． (3)相關點代入法：找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式．
題型2 直線與圓的位置關系
16．（23-24高二上·天津·期末）已知圓：（）截直線所得線段的長度是，則圓與圓：的位置關系為（ ）
A．內切 B．外切 C．相交 D．外離
17．（21-22高二上·天津濱海新·期中）直線與圓交于A，兩點，則當弦最短時直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
18．（23-24高二上·天津·期末）過點且與圓相切的直線方程為（ ）
A． B．
C．或 D．或
19．（23-24高二上·天津·期末）直線：與圓：交于、兩點，點為中點，直線：與兩坐標軸分別交于、兩點，則面積的最大值為（ ）
A． B．9 C．10 D．
20．（23-24高二上·天津濱海新·階段練習）直線：與圓：的位置關系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定
涉及與圓的切線有關的線段長度范圍(最值)問題，解題關鍵是能夠把所求線段長度表示為關于圓心與直線上的點的距離的函數的形式，利用求函數值域的方法求得結果．
題型3 圓與圓的位置關系
21．（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）已知圓和圓相交于A，B兩點，則弦AB的長為（ ）．
A． B． C．4 D．2
22．（23-24高二上·天津·期末）已知圓與圓相交，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
23．（23-24高二上·天津寧河·期末）圓：與圓：的位置關系是（ ）
A．相交 B．相離 C．內切 D．內含
24．（23-24高二上·天津濱海新·期末）已知圓：和圓：交于A，B兩點，則下列結論中，正確的個數為（ ）
①兩圓的圓心距；
②直線AB的方程為；
③；
④圓上的點到直線的最大距離為．
A．1 B．2
C．3 D．4
25．（23-24高二上·天津和平·期末）已知圓：和圓：，則圓與圓的公共弦所在的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
(1)判斷兩圓的位置關系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關系，一般不采用代數法． (2)若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項得到．
考點三：圓錐曲線
橢圓
1．橢圓的定義
如果F1，F2是平面內的兩個定點，a是一個常數，且2a>|F1F2|，則平面內滿足|PF1|＋|PF2|＝2a的動點P的軌跡稱為橢圓，其中，兩個定點F1，F2稱為橢圓的焦點，兩個焦點之間的距離|F1F2|稱為橢圓的焦距．
2．橢圓的簡單幾何性質
焦點的位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
圖形
標準方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
范圍 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a
頂點 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0)
軸長 短軸長為2b，長軸長為2a
焦點 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
對稱性 對稱軸：x軸和y軸，對稱中心：原點
離心率 e＝(0a，b，c的關系 a2＝b2＋c2
雙曲線
1．雙曲線的定義
一般地，如果F1，F2是平面內的兩個定點，a是一個正常數，且2a<|F1F2|，則平面上滿足||PF1|－|PF2||＝2a的動點P的軌跡稱為雙曲線，其中，兩個定點F1，F2稱為雙曲線的焦點，兩個焦點的距離|F1F2|稱為雙曲線的焦距．
2．雙曲線的標準方程和簡單幾何性質
標準方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
圖形
性質 焦點 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
范圍 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
對稱性 對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點
頂點 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
軸 實軸：線段A1A2，長：2a；虛軸：線段B1B2，長：2b，半實軸長：a，半虛軸長：b
漸近線 y＝±x y＝±x
離心率 e＝∈(1，＋∞)
a，b，c的關系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
拋物線
1．拋物線的概念
一般地，設F是平面內的一個定點，l是不過點F的一條定直線，則平面上到F的距離與到l的距離相等的點的軌跡稱為拋物線，其中定點F稱為拋物線的焦點，定直線l稱為拋物線的準線．
2．拋物線的標準方程和簡單幾何性質
標準 方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
圖形
范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
焦點
準線 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
對稱軸 x軸 y軸
頂點 (0,0)
離心率 e＝1
直線與圓錐曲線的位置關系
1．直線與圓錐曲線的位置判斷
將直線方程與圓錐曲線方程聯立，消去y(或x)，得到關于x(或y)的一元二次方程，則直線與圓錐曲線相交 Δ>0；直線與圓錐曲線相切 Δ＝0；直線與圓錐曲線相離 Δ<0.
特別地，①與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線相交，有且只有一個交點．
②與拋物線的對稱軸平行的直線與拋物線相交，有且只有一個交點．
2．弦長公式
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的斜率為k(k≠0)，
則|AB|＝
＝|x1－x2|
＝
或|AB|＝|y1－y2|
＝.
題型1 橢圓
26．（23-24高二上·天津寧河·期末）設橢圓的中心在坐標原點，對稱軸為坐標軸，其中一個焦點在拋物線的準線上，且橢圓上的任意一點到兩個焦點的距離的和等于10，則橢圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
27．（23-24高二上·天津·期末）設，分別是橢圓（）的左右焦點，過的直線與橢圓交于、兩點，若的周長為16，且的最小值為2，則橢圓的方程為（ ）
A． B． C． D．
28．（23-24高二下·天津·階段練習）設是橢圓的兩個焦點，是橢圓上的點，且，則的面積為（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
29．（23-24高二上·天津和平·期末）橢圓的兩個焦點為，，點M是橢圓上一點，且滿足．則橢圓離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
30．（23-24高二上·天津武清·階段練習）設橢圓的兩個焦點分別為、，過作橢圓長軸的垂線交橢圓于點，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（ ）
A． B． C． D．
與橢圓有關的最值或范圍問題的求解方法 (1)利用數形結合、幾何意義，尤其是橢圓的性質． (2)利用函數，尤其是二次函數． (3)利用不等式，尤其是均值不等式．
題型2 雙曲線
31．（2023·天津河北·一模）過雙曲線的右焦點作漸近線的垂線，垂足為交另一條漸近線于點，且點在點之間，若，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B．
C． D．
32．（2024·天津河西·一模）已知雙曲線C：（，）的焦距為，左、右焦點分別為、，過的直線分別交雙曲線左、右兩支于A、B兩點，點C在x軸上，，平分，則雙曲線C的方程為（ ）
A． B．
C． D．
33．（2024·天津和平·一模）設雙曲線的左、右焦點分別為點，過坐標原點的直線與C交于A，B兩點，，的面積為，且，若雙曲線C的實軸長為4，則雙曲線C的方程為（ ）
A． B．
C． D．
34．（2024·天津南開·一模）已知O為坐標原點，雙曲線C：的左、右焦點分別是，離心率為，點P是C的右支上異于頂點的一點，過作的平分線的垂線，垂足是M，，則點P到C的兩條漸近線距離之積為（ ）
A． B． C．2 D．4
35．（2024·天津·一模）過雙曲線的左焦點作圓的切線，切點為，直線交直線于點．若，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
求雙曲線的離心率時，將提供的雙曲線的幾何關系轉化為關于雙曲線基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝轉化為關于e的方程(或不等式)，通過解方程(或不等式)求得離心率的值(或范圍)．
題型3 拋物線
36．（23-24高三上·天津南開·階段練習）已知拋物線的準線與雙曲線相交于兩點，為拋物線的焦點，若為直角三角形，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
37．（23-24高二上·天津寧河·期末）已知拋物線上一點到焦點的距離為，則其焦點坐標為（ ）
A． B． C． D．
38．（23-24高二上·天津·期末）拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離為（ ）
A． B． C． D．
39．（22-23高二上·天津北辰·期末）若拋物線的焦點坐標為，則（ ）
A． B． C． D．
40．（23-24高二上·天津河東·期末）拋物線的焦點坐標為（ ）
A． B． C． D．
應用拋物線的幾何性質解題時，常結合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點、對稱軸、開口方向等幾何特征，體現了數形結合思想解題的直觀性．
考點四：綜合應用
題型1 圓錐曲線中求值與證明問題
41．（2024·天津和平·一模）在平面直角坐標系xOy中，橢圓的左焦點為點F，離心率為，過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為3.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設不過原點O且斜率為的直線l與橢圓C交于不同的兩點P，Q，線段PQ的中點為T，直線OT與橢圓C交于兩點M，N，證明：.
圓錐曲線證明問題的類型及求解策略 (1)圓錐曲線中的證明問題，主要有兩類：一是證明點、直線、曲線等幾何元素中的位置關系，如：某點在某直線上、某直線經過某個點、某兩條直線平行或垂直等；二是證明直線與圓錐曲線中的一些數量關系(相等或不等)． (2)解決證明問題時，主要根據直線與圓錐曲線的性質、直線與圓錐曲線的位置關系等，通過相關性質的應用、代數式的恒等變形以及必要的數值計算等進行證明．
題型2 圓錐曲線中范圍與最值問題
42．（23-24高三上·天津·期末）已知橢圓，，分別是橢圓C的左、右焦點，點為左頂點，橢圓上的點到左焦點距離的最小值是焦距的．
(1)求橢圓的離心率；
(2)直線過橢圓C的右焦點，與橢圓C交于P，O兩點（點P在第一象限）．且面積的最大值為，
①求橢圓C的方程；
②若直線，分別與直線交于，兩點，求證：以為直徑的圓恒過右焦點．
圓錐曲線中取值范圍問題的五種常用解法 (1)利用圓錐曲線的幾何性質或判別式構造不等關系，從而確定參數的取值范圍． (2)利用已知參數的范圍，求新參數的范圍，解決這類問題的核心是建立兩個參數之間的等量關系． (3)利用隱含的不等關系建立不等式，從而求出參數的取值范圍． (4)利用已知的不等關系構造不等式，從而求出參數的取值范圍． (5)利用求函數值域的方法將待求量表示為其他變量的函數，求其值域，從而確定參數的取值范圍．
題型3 圓錐曲線中定點與定值問題
43．（23-24高三上·天津河北·期末）設橢圓的左右焦點分別為，短軸的兩個端點為，且四邊形是邊長為2的正方形.分別是橢圓的左右頂點，動點滿足，連接，交橢圓于點.
(1)求橢圓的方程；
(2)求證：為定值.
求解直線或曲線過定點問題的基本思路 (1)把直線或曲線方程中的變量x，y當作常數看待，把方程一端化為零，既然是過定點，那么這個方程就要對任意參數都成立，這時參數的系數就要全部等于零，這樣就得到一個關于x，y的方程組，這個方程組的解所確定的點就是直線或曲線所過的定點． (2)由直線方程確定其過定點時，若得到了直線方程的點斜式y－y0＝k(x－x0)，則直線必過定點(x0，y0)；若得到了直線方程的斜截式y＝kx＋m，則直線必過定點(0，m)．
題型4 圓錐曲線中探索性與綜合性問題
44．（2024·天津南開·一模）已知橢圓C：的一個焦點與拋物線的焦點F重合，拋物線的準線被C截得的線段長為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)過點F作直線l交C于A，B兩點，試問：在x軸上是否存在一個定點M，使為定值？若存在，求出M的坐標；若不存在，請說明理由.
存在性問題的解題策略 存在性的問題，先假設存在，推證滿足條件的結論，若結論正確則存在，若結論不正確則不存在． (1)當條件和結論不唯一時，要分類討論． (2)當給出結論而要推導出存在的條件時，先假設成立，再推出條件． (3)當要討論的量能夠確定時，可先確定，再證明結論符合題意．重難點10 平面解析幾何
考點一 直線的方程
直線的方程
兩條直線的位置關系
考點二 圓的方程
圓的方程
直線與圓的位置關系
3、圓與圓的位置關系
考點三 圓錐曲線
1、橢圓
2、雙曲線
3、拋物線
4、直線與圓錐曲線的位置關系
考點四 綜合應用
1、圓錐曲線中求值與證明問題
2、圓錐曲線中范圍與最值問題
3、圓錐曲線中定點與定值問題
4、圓錐曲線中探索性與綜合性問題
考點一：直線的方程
直線的方程
1．直線的方向向量
一般地，如果表示非零向量a的有向線段所在的直線與直線l平行或重合，則稱向量a為直線l的一個方向向量，記作a∥l.
2．直線的傾斜角
(1)定義：一般地，給定平面直角坐標系中的一條直線，如果這條直線與x軸相交，將x軸繞著它們的交點按逆時針方向旋轉到與直線重合時所轉的最小正角記為θ，則稱θ為這條直線的傾斜角．
(2)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.
3．直線的斜率
(1)定義：一般地，如果直線l的傾斜角為θ，則當θ≠90°時，稱k＝tan θ為直線l的斜率；當θ＝90°時，直線l的斜率不存在．
(2)過兩點的直線的斜率公式
如果直線經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝.
4．直線方程的五種形式
名稱 方程 適用范圍
點斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直線x＝x0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x軸的直線
兩點式 ＝(x1≠x2，y1≠y2) 不含直線x＝x1 和直線y＝y1
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐標軸和過原點的直線
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐標系內的直線都適用
直線與直線的位置關系
1.兩條直線的位置關系
直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1與l3是同一直線，l2與l4是同一直線，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)的位置關系如下表：
位置關系 法向量滿足的條件 l1，l2滿足的條件 l3，l4滿足的條件
平行 v1∥v2 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0且 A1C2－A2C1≠0
垂直 v1⊥v2 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0
相交 v1與v2不共線 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0
2.三種距離公式
(1)兩點間的距離公式
①條件：點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
②結論：|P1P2|＝.
③特例：點P(x，y)到原點O(0,0)的距離|OP|＝.
(2)點到直線的距離
點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝.
(3)兩條平行直線間的距離
兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝.
題型1 直線的方程
1．（20-21高二上·天津北辰·期末）直線的傾斜角為（ ）
A．30° B．60° C．120° D．135°
【答案】D
【分析】將直線化為斜截式方程，然后求出直線的斜率，再確定直線的傾斜角.
【詳解】由，因此該直線的斜率為，
因為直線的傾斜角的范圍為，
所以該直線的傾斜角為，
故選：D
2．（20-21高二上·天津北辰·期末）過點且與直線平行的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據互相平行直線方程的特點，結合代入法進行求解即可.
【詳解】與直線平行的直線方程可設為，
因為點在直線上，
所以，
即過點且與直線平行的直線方程是，
故選：A
3．（23-24高二上·天津武清·階段練習）已知直線，當k變化時，所有直線都恒過點（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】把直線方程化為點斜式，即可求解.
【詳解】直線可化為：
，
故直線過定點，
故選：D.
4．（23-24高二上·天津南開·階段練習）過點的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】分直線過原點和不過原點兩種情況討論，結合直線的截距式即可得解.
【詳解】當直線過原點時在兩坐標軸上的截距都為，滿足題意，
又因為直線過點，所以直線的斜率為，
所以直線方程為，即，
當直線不過原點時，設直線方程為，
因為點在直線上，
所以，解得，
所以直線方程為，
故所求直線方程為或.故C項正確.
故選：C.
5．（23-24高二上·天津北辰·期中）過點且與直線垂直的直線方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據垂直關系設出直線方程為，代入點的坐標，求出答案.
【詳解】與直線垂直的直線方程可設為，
將代入可得，解得，
故過點且與直線垂直的直線方程為.
故選：B
求直線方程的兩種方法 (1)直接法：由題意確定出直線方程的適當形式． (2)待定系數法：先由直線滿足的條件設出直線方程，方程中含有待定的系數，再由題設條件求出待定系數．
題型2 直線與直線的位置關系
6．（23-24高二上·天津·期末）已知直線：與直線：平行，則實數的值為（ ）
A．1 B． C．1或 D．不存在
【答案】A
【分析】求出直線與不相交時的值，再驗證即可得解.
【詳解】當直線與不相交時，，解得或，
當時，直線：與直線：平行，因此；
當時，直線：與直線：重合，不符合題意，
所以實數的值為1.
故選：A
7．（20-21高二上·天津北辰·期末）若直線與直線垂直，則實數的取值為（ ）
A． B．2 C． D．10
【答案】D
【分析】根據兩條直線的位置關系，列出方程，即可求解.
【詳解】由直線與直線垂直，
可得，解得，所以實數的取值為.
故選：D.
8．（20-21高二上·天津北辰·期末）若兩平行直線與之間的距離是，則（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】B
【分析】根據平行直線的性質，結合平行線間的距離公式進行求解即可.
【詳解】因為直線與直線平行，
所以有，所以有，
又因為這兩條平行線間距離為，
所以有，或舍去，
所以，
故選：B
9．（23-24高二上·天津和平·期末）設點P，Q分別為直線與直線上的任意一點，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】因為直線與直線平行，所以的最小值為直線與直線距離，求解即可.
【詳解】由直線可得，
所以直線與直線平行，
所以的最小值為直線與直線距離，
所以.
故選：C.
10．（23-24高二上·天津和平·期末）已知直線：，直線：，若，則實數（ ）
A．－4或0 B．0或1 C．－4 D．0
【答案】A
【分析】由直線垂直的充要條件列方程即可求解.
【詳解】由題意直線：，直線：，且，
所以，解得或.
故選：A.
對稱問題的求解策略 (1)解決對稱問題的思路是利用待定系數法將幾何關系轉化為代數關系求解． (2)中心對稱問題可以利用中點坐標公式解題，兩點軸對稱問題可以利用垂直和中點兩個條件列方程組解題．
考點二：圓的方程
圓的方程
1．圓的定義和圓的方程
定義 平面內到一定點的距離等于定長的點的集合是圓
方程 標準 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圓心C(a，b)
半徑為r
一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0) 圓心C
半徑r＝
2.點與圓的位置關系
平面上的一點M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關系：
(1)|MC|>r M在圓外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2 M在圓外；
(2)|MC|＝r M在圓上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 M在圓上；
(3)|MC|直線與圓、圓與圓的位置關系
1．直線與圓的位置關系(圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r)
相離 相切 相交
圖形
量化 方程觀點 Δ<0 Δ＝0 Δ>0
幾何觀點 d>r d＝r d2.圓與圓的位置關系(⊙O1，⊙O2的半徑分別為r1，r2，d＝|O1O2|)
圖形 量的關系
外離 d>r1＋r2
外切 d＝r1＋r2
相交 |r1－r2|內切 d＝|r1－r2|
內含 d<|r1－r2|
3.直線被圓截得的弦長
(1)幾何法：弦心距d、半徑r和弦長|AB|的一半構成直角三角形，弦長|AB|＝2.
(2)代數法：設直線y＝kx＋m與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于點M，N，代入，消去y，得關于x的一元二次方程，則|MN|＝·.
題型1 圓的方程
11．（23-24高二上·天津·期末）為圓（）內異于圓心的一點，則直線與該圓的位置關系為（ ）
A．相離 B．相交 C．相切 D．相切或相離
【答案】A
【分析】由題意得，結合點到直線的距離公式判斷圓心到直線的距離與半徑的大小即可.
【詳解】由題意圓心，而圓心到直線的距離，
所以直線與該圓的位置關系為相離.
故選：A.
12．（23-24高二上·天津和平·階段練習）曲線 的長度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意，化簡得到曲線表示的軌跡為弧，所在圓的半徑為，且，結合弧長公式，即可求解.
【詳解】由曲線，可得，其中，
如圖所示，曲線表示的軌跡為弧，且扇形所在圓的半徑為，且，
所以曲線表示的長度為.
故選：A.
13．（23-24高二上·天津武清·階段練習）圓心為，半徑為2的圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用圓的標準方程進行判斷即可.
【詳解】因為圓的圓心為，半徑為2，
所以圓的方程為.
故選：A.
14．（23-24高二上·湖北武漢·期中）“”是“方程表示圓的方程”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據表示圓得到或，然后判斷充分性和必要性即可.
【詳解】若表示圓，則，解得或，
可以推出表示圓，滿足充分性，
表示圓不能推出，不滿足必要性，
所以是表示圓的充分不必要條件.
故選：A.
15．（23-24高二上·天津·期中）已知點，，點C為圓上一點，則的面積的最大值為（ ）
A．12 B． C． D．6
【答案】D
【分析】先求解出直線的方程，然后將圓心到直線的距離再加上半徑作為的高的最大值，由此求解出的面積的最大值.
【詳解】因為，，所以，
又因為圓的方程為，所以圓心為，半徑為，
所以圓上點到直線的最大距離為，
所以的面積的最大值為，
故選：D.
求與圓有關的軌跡問題的常用方法 (1)直接法：直接根據題目提供的條件列出方程． (2)定義法：根據圓、直線等定義列方程． (3)相關點代入法：找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式．
題型2 直線與圓的位置關系
16．（23-24高二上·天津·期末）已知圓：（）截直線所得線段的長度是，則圓與圓：的位置關系為（ ）
A．內切 B．外切 C．相交 D．外離
【答案】A
【分析】根據圓的弦長公式，結合點到直線的距離公式可得，即可根據圓心距與半徑的關系求解.
【詳解】圓：（）的圓心為，半徑為，
則圓心到直線的距離為，
所以，解得，
故圓的圓心為，半徑為，
，故兩圓內切，
故選：A
17．（21-22高二上·天津濱海新·期中）直線與圓交于A，兩點，則當弦最短時直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求直線所過定點，結合圖形分析，由直線l與CP垂直時弦最短可解.
【詳解】由得，
則令，解得，故直線過定點，
由，則圓心，半徑，
當時，弦最短，直線的斜率，則直線的斜率，
故直線為，則．
故選：D
18．（23-24高二上·天津·期末）過點且與圓相切的直線方程為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】由題意分直線斜率是否存在再結合直線與圓相切的條件進行分類討論即可求解.
【詳解】圓， 即圓的圓心坐標，半徑分別為，
顯然過點且斜率不存在的直線為，與圓相切，滿足題意；
設然過點且斜率存在的直線為，與圓相切，
所以，所以解得，
所以滿足題意的直線方程為或.
故選：D.
19．（23-24高二上·天津·期末）直線：與圓：交于、兩點，點為中點，直線：與兩坐標軸分別交于、兩點，則面積的最大值為（ ）
A． B．9 C．10 D．
【答案】D
【分析】，過定點，，，由垂徑定理易知，所以點的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，計算出點到的最大距離為，據此即可求出面積的最大值.
【詳解】因為圓：，所以，
因為：，即，所以過定點，
直線：，令，則；令，則，
則，，，作出圖象如圖所示：
因為為中點，所以，所以點的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，
所以點到的最大距離為，
所以面積的最大值為.
故選：D.
【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是得到點的軌跡，再求出該圓上的點到定直線距離的最大值，從而得到面積最大值.
20．（23-24高二上·天津濱海新·階段練習）直線：與圓：的位置關系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定
【答案】A
【分析】根據圓心到直線的距離判斷即可.
【詳解】圓：的圓心，半徑，
故圓心到直線的距離，
所以直線與圓相交，
故選：A
涉及與圓的切線有關的線段長度范圍(最值)問題，解題關鍵是能夠把所求線段長度表示為關于圓心與直線上的點的距離的函數的形式，利用求函數值域的方法求得結果．
題型3 圓與圓的位置關系
21．（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）已知圓和圓相交于A，B兩點，則弦AB的長為（ ）．
A． B． C．4 D．2
【答案】A
【分析】判斷兩圓相交，求出兩圓的公共弦方程，根據圓的弦長的幾何求法，即可求得答案.
【詳解】由題意知圓，即圓，
圓心為，半徑，
圓，即圓，
圓心為，半徑，
則，即兩圓相交，
將圓和圓的方程相減，
可得直線的方程為，
則到直線的距離為，
故弦的長為，
故選：A
22．（23-24高二上·天津·期末）已知圓與圓相交，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先分別求出兩圓的圓心的坐標及半徑，再根據兩圓相交可得，即可得解.
【詳解】圓化為標準方程得，
則其圓心，半徑，
圓化為標準方程得，
則其圓心，半徑，
因為兩圓相交，所以，
即，解得，
所以的取值范圍為.
故選：A.
23．（23-24高二上·天津寧河·期末）圓：與圓：的位置關系是（ ）
A．相交 B．相離 C．內切 D．內含
【答案】A
【分析】由圓的方程確定圓心和半徑，比較圓心距和半徑和差的大小即可判斷.
【詳解】由題設，，則，
所以兩圓相交.
故選：A
24．（23-24高二上·天津濱海新·期末）已知圓：和圓：交于A，B兩點，則下列結論中，正確的個數為（ ）
①兩圓的圓心距；
②直線AB的方程為；
③；
④圓上的點到直線的最大距離為．
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【分析】求出圓的圓心與半徑，求解圓心距判斷①；求出相交弦數值的直線方程判斷②；求解弦長判斷③；利用點到直線的距離求解判斷④即可．
【詳解】圓的圓心，半徑為：2；圓的圓心，半徑為；
對于①，兩圓的圓心距，所以①不正確；
對于②，兩圓相交，兩個圓的方程作差可得，即，所以②正確；
對于③，圓到直線的距離為：，所以，所以③不正確；
對于④，圓上的點到直線的最大距離為：，所以④正確；
故選：B．
25．（23-24高二上·天津和平·期末）已知圓：和圓：，則圓與圓的公共弦所在的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】直接將兩圓方程作差即可得公共弦方程.
【詳解】由題意圓：和圓：，
將兩式作差得，圓與圓的公共弦所在的直線方程為，整理得.
故選：B.
(1)判斷兩圓的位置關系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關系，一般不采用代數法． (2)若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項得到．
考點三：圓錐曲線
橢圓
1．橢圓的定義
如果F1，F2是平面內的兩個定點，a是一個常數，且2a>|F1F2|，則平面內滿足|PF1|＋|PF2|＝2a的動點P的軌跡稱為橢圓，其中，兩個定點F1，F2稱為橢圓的焦點，兩個焦點之間的距離|F1F2|稱為橢圓的焦距．
2．橢圓的簡單幾何性質
焦點的位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
圖形
標準方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
范圍 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a
頂點 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0)
軸長 短軸長為2b，長軸長為2a
焦點 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
對稱性 對稱軸：x軸和y軸，對稱中心：原點
離心率 e＝(0a，b，c的關系 a2＝b2＋c2
雙曲線
1．雙曲線的定義
一般地，如果F1，F2是平面內的兩個定點，a是一個正常數，且2a<|F1F2|，則平面上滿足||PF1|－|PF2||＝2a的動點P的軌跡稱為雙曲線，其中，兩個定點F1，F2稱為雙曲線的焦點，兩個焦點的距離|F1F2|稱為雙曲線的焦距．
2．雙曲線的標準方程和簡單幾何性質
標準方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
圖形
性質 焦點 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
范圍 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
對稱性 對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點
頂點 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
軸 實軸：線段A1A2，長：2a；虛軸：線段B1B2，長：2b，半實軸長：a，半虛軸長：b
漸近線 y＝±x y＝±x
離心率 e＝∈(1，＋∞)
a，b，c的關系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
拋物線
1．拋物線的概念
一般地，設F是平面內的一個定點，l是不過點F的一條定直線，則平面上到F的距離與到l的距離相等的點的軌跡稱為拋物線，其中定點F稱為拋物線的焦點，定直線l稱為拋物線的準線．
2．拋物線的標準方程和簡單幾何性質
標準 方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
圖形
范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
焦點
準線 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
對稱軸 x軸 y軸
頂點 (0,0)
離心率 e＝1
直線與圓錐曲線的位置關系
1．直線與圓錐曲線的位置判斷
將直線方程與圓錐曲線方程聯立，消去y(或x)，得到關于x(或y)的一元二次方程，則直線與圓錐曲線相交 Δ>0；直線與圓錐曲線相切 Δ＝0；直線與圓錐曲線相離 Δ<0.
特別地，①與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線相交，有且只有一個交點．
②與拋物線的對稱軸平行的直線與拋物線相交，有且只有一個交點．
2．弦長公式
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的斜率為k(k≠0)，
則|AB|＝
＝|x1－x2|
＝
或|AB|＝|y1－y2|
＝.
題型1 橢圓
26．（23-24高二上·天津寧河·期末）設橢圓的中心在坐標原點，對稱軸為坐標軸，其中一個焦點在拋物線的準線上，且橢圓上的任意一點到兩個焦點的距離的和等于10，則橢圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據拋物線方程有準線為，由題意可得、，進而寫出橢圓方程.
【詳解】由拋物線的準線為，故橢圓的一個焦點為，則，
由橢圓定義知，故，
所以橢圓方程為.
故選：C
27．（23-24高二上·天津·期末）設，分別是橢圓（）的左右焦點，過的直線與橢圓交于、兩點，若的周長為16，且的最小值為2，則橢圓的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據橢圓的定義及橢圓的通徑求出，即可得出橢圓方程.
【詳解】如圖，

由橢圓定義知，
所以的周長為，
所以，
又最小時，軸，即為橢圓的通徑，所以，
所以，
所以橢圓的標準方程為：，
故選：B
28．（23-24高二下·天津·階段練習）設是橢圓的兩個焦點，是橢圓上的點，且，則的面積為（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】B
【分析】由題意結合橢圓定義推導出△是直角三角形，再求面積即可.
【詳解】由可得：，
則橢圓得長軸長為，
，
可設，，
由題意可知，，
，，，
△是直角三角形，
其面積．
故選：B．
29．（23-24高二上·天津和平·期末）橢圓的兩個焦點為，，點M是橢圓上一點，且滿足．則橢圓離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】將問題轉化為當為短軸端點時，，即，進而可以求離心率的取值范圍.
【詳解】點M是橢圓上一點，且滿足，
設為短軸端點，當時，必存在點，使，如圖：
此時，
所以，
所以，即，即，
所以橢圓離心率的取值范圍為.
故選：C.
【點睛】關鍵點點睛：求離心率的取值范圍關鍵是要根據題目條件構造關于的不等式，然后解不等式即可.
30．（23-24高二上·天津武清·階段練習）設橢圓的兩個焦點分別為、，過作橢圓長軸的垂線交橢圓于點，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用等腰直角三角形的性質得到三條邊的長度關于的表達式，再利用橢圓的定義求得的關系式，進而得到離心率.
【詳解】依題意，設橢圓的長軸為，半焦距為，
則，則，，
于是，
.
故選：C.
與橢圓有關的最值或范圍問題的求解方法 (1)利用數形結合、幾何意義，尤其是橢圓的性質． (2)利用函數，尤其是二次函數． (3)利用不等式，尤其是均值不等式．
題型2 雙曲線
31．（2023·天津河北·一模）過雙曲線的右焦點作漸近線的垂線，垂足為交另一條漸近線于點，且點在點之間，若，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】設漸近線的傾斜角為，則，由點到直線的距離和雙曲線的性質得到，再由題中幾何關系得到，解方程即可求出.
【詳解】
設漸近線的傾斜角為，則，
又到漸近線的距離為，
又，所以，
所以，所以，
所以，
即，解得，
所以雙曲線的漸近線方程為，
故選：B.
32．（2024·天津河西·一模）已知雙曲線C：（，）的焦距為，左、右焦點分別為、，過的直線分別交雙曲線左、右兩支于A、B兩點，點C在x軸上，，平分，則雙曲線C的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據可知，再根據角平分線定理及雙曲線定義得是等邊三角形，根據邊的關系利用余弦定理即可得結果.
【詳解】因為，所以，所以，
所以，又，
所以，
又平分，由角平分線定理可知，，
所以，所以，
由雙曲線定義知，
所以，，
所以，，，故是等邊三角形，
所以，在中，
，
化簡得：，所以，
雙曲線C的方程為，
故選：A.

【點睛】方法點睛：根據向量共線，角平分線定理及雙曲線定義，結合余弦定理可解此題.
33．（2024·天津和平·一模）設雙曲線的左、右焦點分別為點，過坐標原點的直線與C交于A，B兩點，，的面積為，且，若雙曲線C的實軸長為4，則雙曲線C的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據雙曲線的定義及對稱性求出，，由余弦定理解三角形可得，即可得解.
【詳解】如圖，

由及雙曲線、直線的對稱性可知，，
則由雙曲線定義可知，
所以，，
所以，
解得，
因為，所以，
所以，
由余弦定理可知，
所以，，
所以雙曲線方程為：
故選：C
34．（2024·天津南開·一模）已知O為坐標原點，雙曲線C：的左、右焦點分別是，離心率為，點P是C的右支上異于頂點的一點，過作的平分線的垂線，垂足是M，，則點P到C的兩條漸近線距離之積為（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】延長，交于點,由已知是的平分線，且，所以得到等腰三角形，所以,且點是中點，結合原點是中點，由中位線結合雙曲線定義得到，進而求出；最后距離之積利用點到直線距離公式計算即可.
【詳解】如圖，延長，交于點,由已知是的平分線，且，
所以,且點是中點.
由原點是中點，可得，又，
所以，又離心率為，，.
設點，所以，即，
所以點P到兩條漸近線距離之積為： .
故選：B.

【點睛】結論點睛：本題利用三線合一結合中位線、雙曲線定義得出是關鍵，這個具有一般性，可以作為相應的二級結論，最后雙曲線上點到兩條漸近線距離之積也具有一般性.
35．（2024·天津·一模）過雙曲線的左焦點作圓的切線，切點為，直線交直線于點．若，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取右焦點，連接、，作于點，由題意結合幾何性質可得相應的邊長及角度間的關系，借助余弦定理列出與、、有關齊次式，計算即可得.
【詳解】取右焦點，連接、，作于點，
由為圓的切線，故，又，
為中點，故為中點，又，故為中點，
，則，
，則，
，由直線為雙曲線的漸近線，
故有，則，
在中，由余弦定理可得，
則，即，
即，化簡得，即，
故.
故選：D.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查雙曲線離心率的求法，關鍵點在于借助題目所給條件，從幾何的角度構造輔助線，得到新的長度關系與角度關系，從而結合題意構造相應與、、有關齊次式，得到離心率.
求雙曲線的離心率時，將提供的雙曲線的幾何關系轉化為關于雙曲線基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝轉化為關于e的方程(或不等式)，通過解方程(或不等式)求得離心率的值(或范圍)．
題型3 拋物線
36．（23-24高三上·天津南開·階段練習）已知拋物線的準線與雙曲線相交于兩點，為拋物線的焦點，若為直角三角形，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出拋物線的準線為，焦點為,．根據對稱性可得是等腰直角三角形，從而算出、的坐標，將其代入雙曲線方程，解關于的等式即可得到實數的值．
【詳解】拋物線的方程為，
拋物線的準線為，焦點為,．
又直線交雙曲線于、兩點，為直角三角形．
故是等腰直角三角形，邊上的高為，
由此可得,、,，如圖所示．
將點或點的坐標代入雙曲線方程，得，解得（負值舍去）．
故選：A．
37．（23-24高二上·天津寧河·期末）已知拋物線上一點到焦點的距離為，則其焦點坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由拋物線定義可得，寫出拋物線方程，進而可得焦點坐標.
【詳解】由拋物線定義，知，故，則焦點為.
故選：B
38．（23-24高二上·天津·期末）拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據拋物線方程求出焦點坐標，利用雙曲線方程求出漸近線方程，再由點到直線距離求解.
【詳解】由拋物線可知焦點，
雙曲線的漸近線方程為，
所以焦點到直線的距離，
故選：A
39．（22-23高二上·天津北辰·期末）若拋物線的焦點坐標為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由拋物線方程與焦點坐標的關系，求的值.
【詳解】若拋物線的焦點坐標為，則，.
故選：D
40．（23-24高二上·天津河東·期末）拋物線的焦點坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由拋物線的標準方程求解即可.
【詳解】拋物線的焦點在x的正半軸上，，所以焦點坐標為.
故選：B.
應用拋物線的幾何性質解題時，常結合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點、對稱軸、開口方向等幾何特征，體現了數形結合思想解題的直觀性．
考點四：綜合應用
題型1 圓錐曲線中求值與證明問題
41．（2024·天津和平·一模）在平面直角坐標系xOy中，橢圓的左焦點為點F，離心率為，過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為3.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設不過原點O且斜率為的直線l與橢圓C交于不同的兩點P，Q，線段PQ的中點為T，直線OT與橢圓C交于兩點M，N，證明：.
【詳解】（1）解：由橢圓的離心率為，且過點F且與x軸垂直的直線截得的線段長為，
可得 ，解得，所以橢圓的標準方程為.
（2）證明：設直線所在的直線方程為，
聯立方程組，整理得，
所以，解得，
設，則，
所以，則，即，
所以的方程為，
聯立，解得或，所以，
則，
又由
，
又因為的中點，
可得，
所以.

圓錐曲線證明問題的類型及求解策略 (1)圓錐曲線中的證明問題，主要有兩類：一是證明點、直線、曲線等幾何元素中的位置關系，如：某點在某直線上、某直線經過某個點、某兩條直線平行或垂直等；二是證明直線與圓錐曲線中的一些數量關系(相等或不等)． (2)解決證明問題時，主要根據直線與圓錐曲線的性質、直線與圓錐曲線的位置關系等，通過相關性質的應用、代數式的恒等變形以及必要的數值計算等進行證明．
題型2 圓錐曲線中范圍與最值問題
42．（23-24高三上·天津·期末）已知橢圓，，分別是橢圓C的左、右焦點，點為左頂點，橢圓上的點到左焦點距離的最小值是焦距的．
(1)求橢圓的離心率；
(2)直線過橢圓C的右焦點，與橢圓C交于P，O兩點（點P在第一象限）．且面積的最大值為，
①求橢圓C的方程；
②若直線，分別與直線交于，兩點，求證：以為直徑的圓恒過右焦點．
【詳解】（1）先求橢圓上任意一點到左焦點的距離的最小值：
設是橢圓上任意一點，是左焦點，
則，
所以
，
二次函數的開口向上，對稱軸，
所以二次函數在上單調遞增，
所以的最小值為.
由題意可得，∴，
橢圓的離心率為.
（2）①由（1）可知，，∴，
設橢圓方程為，
法一：
由題意可知直線的斜率顯然不為0，
設直線方程為：，，，
聯立，
消去x整理得，
由題意知恒成立，
則，，
則，
令，則，
∴，
因為在上單調遞增，
當時，有最大值，
，
∴，∴，，，
橢圓方程為：．
法二：當直線PQ的斜率存在時，由題知，，
此時，設PQ：，
聯立，得，
設，，由題意知恒成立，
，，
，
令，∴，
因為在上單調遞增，
∴， ∴，
當直線的斜率不存在時，此時，代入中，
得，∴，
∴面積的最大值為，∴，橢圓方程為.
②法一：由（i）知，，
∴， ，
∴直線的方程為：，直線的方程為：，
∴，，
∴，，
由，得，，，
∴
，
∴，
∴以為直徑的圓恒過右焦點．
法二：由（i）知，，
當直線的斜率不存在時，有，，
直線，令，得，同理，
此時，
當直線的斜率存在時，，
∴，，
∴直線的方程為：，直線的方程為：，
∴，，
∴，，
由，，，
∴
，
∴，
∴以為直徑的圓恒過右焦點．

圓錐曲線中取值范圍問題的五種常用解法 (1)利用圓錐曲線的幾何性質或判別式構造不等關系，從而確定參數的取值范圍． (2)利用已知參數的范圍，求新參數的范圍，解決這類問題的核心是建立兩個參數之間的等量關系． (3)利用隱含的不等關系建立不等式，從而求出參數的取值范圍． (4)利用已知的不等關系構造不等式，從而求出參數的取值范圍． (5)利用求函數值域的方法將待求量表示為其他變量的函數，求其值域，從而確定參數的取值范圍．
題型3 圓錐曲線中定點與定值問題
43．（23-24高三上·天津河北·期末）設橢圓的左右焦點分別為，短軸的兩個端點為，且四邊形是邊長為2的正方形.分別是橢圓的左右頂點，動點滿足，連接，交橢圓于點.
(1)求橢圓的方程；
(2)求證：為定值.
【詳解】（1）由題設，，得，
橢圓的方程為.
（2）
由（1）知，由題意知，直線的斜率存在且不為0，
設直線的方程為，聯立，
消去得，其中是直線與橢圓一個交點，
所以，則，代入直線得，故.
又，將代入，得，則.
所以，為定值.
求解直線或曲線過定點問題的基本思路 (1)把直線或曲線方程中的變量x，y當作常數看待，把方程一端化為零，既然是過定點，那么這個方程就要對任意參數都成立，這時參數的系數就要全部等于零，這樣就得到一個關于x，y的方程組，這個方程組的解所確定的點就是直線或曲線所過的定點． (2)由直線方程確定其過定點時，若得到了直線方程的點斜式y－y0＝k(x－x0)，則直線必過定點(x0，y0)；若得到了直線方程的斜截式y＝kx＋m，則直線必過定點(0，m)．
題型4 圓錐曲線中探索性與綜合性問題
44．（2024·天津南開·一模）已知橢圓C：的一個焦點與拋物線的焦點F重合，拋物線的準線被C截得的線段長為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)過點F作直線l交C于A，B兩點，試問：在x軸上是否存在一個定點M，使為定值？若存在，求出M的坐標；若不存在，請說明理由.
【詳解】（1）拋物線的焦點，準線方程為，由題意得，
解得，所以橢圓C的方程為.
（2）假設存在符合條件的點，設，
則，，
①當直線l的斜率不為0時，設直線l的方程為，
由，得，則，
所以，
因此，若對于任意的t值，上式為定值，
則，解得，此時，為定值.
②當直線l的斜率為0時，
綜合①②知，符合條件的點M存在，其坐標為.

存在性問題的解題策略 存在性的問題，先假設存在，推證滿足條件的結論，若結論正確則存在，若結論不正確則不存在． (1)當條件和結論不唯一時，要分類討論． (2)當給出結論而要推導出存在的條件時，先假設成立，再推出條件． (3)當要討論的量能夠確定時，可先確定，再證明結論符合題意．

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