資源簡介

重難點09 立體幾何
考點一 空間幾何體
基本立體圖形
簡單幾何體的表面積和體積
球的切、接問題
考點二 點、直線、平面之間的位置關系
空間點、直線、平面之間的位置關系
空間直線、平面的平行
3、空間直線、平面的垂直
考點三 空間向量與立體幾何
1、空間向量的概念與運算
2、異面直線的夾角
3、直線與平面的夾角
4、平面與平面的夾角
考點一：空間幾何體
1．空間幾何體的結構特征
(1)多面體的結構特征
名稱 棱柱 棱錐 棱臺
圖形
底面 互相平行且全等 多邊形 互相平行且相似
側棱 平行且相等 相交于一點但不一定相等 延長線交于一點
側面形狀 平行四邊形 三角形 梯形
(2)旋轉體的結構特征
名稱 圓柱 圓錐 圓臺 球
圖形
母線 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一點 延長線交于一點
軸截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圓
側面展開圖 矩形 扇形 扇環
2.直觀圖
(1)畫法：常用斜二測畫法．
(2)規則：
①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x′軸、y′軸的夾角為45°或135°，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．
②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標軸，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度在直觀圖中變為原來的一半．
3．圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式
圓柱 圓錐 圓臺
側面展開圖
側面積公式 S圓柱側＝2πrl S圓錐側＝πrl S圓臺側＝π(r1＋r2)l
4．柱、錐、臺、球的表面積和體積
名稱 幾何體　　 表面積 體積
柱體 S表＝S側＋2S底 V＝Sh
錐體 S表＝S側＋S底 V＝Sh
臺體 S表＝S側＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S表＝4πR2 V＝πR3
題型1 基本立體圖形
1．已知圓臺上下底面的圓心分別為，，母線（點位于上底面），且滿足，圓的周長為，一只螞蟻從點出發沿著圓臺的側面爬行一周到的中點，則螞蟻爬行的最短路程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先求出底面圓的半徑，與上底面的半徑，將圓臺的側面沿著母線剪開，展成平面圖形，延長、交于點，連接，設，利用弧長公式及求出與，再在中利用余弦定理求出即可.
【詳解】因為圓的周長為，則底面圓的半徑，
又，所以上底面半徑為，
將圓臺的側面沿著母線剪開，展成平面圖形，延長、交于點，連接，如圖，
顯然弧的長為，弧的長為，設，則，，
則，又，即，所以，則，，
在中由余弦定理
，
所以螞蟻爬行的最短路程為.
故選：A
2．多面體歐拉定理是指：若多面體的頂點數為，面數為，棱數為，則滿足. 已知某面體各面均為五邊形，且經過每個頂點的棱數為3，則 （ ）
A．6 B．10 C．12 D．20
【答案】C
【分析】根據給定條件，結合歐拉公式列出方程組，求解方程組即得.
【詳解】設該多面體的頂點數為，棱數為，
依題意，，消去得，
所以.
故選：C
3．如圖，這是一座山的示意圖，山大致呈圓錐形，山腳呈圓形，半徑為，山高為是山坡上一點，且．現要建設一條從到的環山觀光公路，這條公路從出發后先上坡，后下坡，當公路長度最短時，公路上坡路段長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用圓錐的側面展開圖，利用兩點間的距離，結合圖象，求最小值．
【詳解】依題意，半徑為，山高為，則母線，
底面圓周長，則圓錐側面展開圖扇形的圓心角，
如圖，是圓錐側面展開圖，
顯然，
由點向引垂線，垂足為點，此時為點和線段上的點連線的最小值，
即點為公路的最高點，段為上坡路段，段為下坡路段，
由直角三角形射影定理知，即，解得，
所以公路上坡路段長為．
故選：D
4．已知圓臺上、下底面的半徑分別為3和5，母線長為4，為上底面圓的一條直徑，是下底面圓周上的一個動點，則面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】結合題目所給條件，計算出圓臺的高后，可得的中線為定值，則當時，面積有最大值.
【詳解】取上下底面圓心、，連接、、，
由圓臺性質可知，且，
又，故，
則當為以為底的高時，面積最大，
且其最大值為.
故選：A.
5．如圖所示是水平放置的的直觀圖，其中，則原是一個（ ）

A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】根據斜二測畫法的規則求解即可.
【詳解】

將水平放置的的直觀圖還原，可知，
由勾股定理有，注意到，
所以三角形是等腰三角形，不是等邊三角形，
由大邊對大角可知，三角形中最大角的余弦，
即三角形中最大角是銳角，三角形是銳角三角形，不是直角三角形，
綜上所述，只有C選項符合題意，
故選：C.
空間幾何體結構特征的判斷技巧 (1)說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可． (2)在斜二測畫法中，平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半． (3)在解決空間折線(段)最短問題時一般考慮其展開圖，采用化曲為直的策略，將空間問題平面化．
題型2 表面積與體積
6．已知三棱錐的外接球的體積為，平面，，，則三棱錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意設三棱錐外接球的半徑為，由解出，再由余弦定理解出 ，設外接圓半徑，解出并求出，進而解出三棱錐體積即可.
【詳解】設三棱錐外接球的半徑為，則，解得；
因為，，
所以，
設外接圓的半徑為，則，所以，
故，所以，
所以三棱錐的體積為.
故選：A.
7．校足球社團為學校足球比賽設計了一個獎杯，如圖，獎杯的設計思路是將側棱長為6的正三棱錐的三個側面沿AB，BC，AC展開得到面，使得平面均與平面ABC垂直，再將球放到上面使得三個點在球的表面上，若獎杯的總高度為，且，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由獎杯的總高度為，結合題意，可將其拆解為多段，得到，結合題目所給條件，運用勾股定理計算即可得球的半徑，結合球的表面積公式即可得解.
【詳解】如圖：連接、、，
取、、中點、、，連接、、，
由已知側棱長為的正三棱錐，
即，又因為，
所以，
因為平面，，均與平面垂直，
設，，三點所在的圓為圓，底面的中心為，
則，又因為獎杯總高度為，
設球半徑為，球心到圓面的距離為，
則，即，
如圖，易知≌，
因為，
所以是邊長為的等邊三角形，
設的外接圓半徑為，
則，
則在直角中，，
即，解得，
所以．
故選：C．
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵點在于借助獎杯的總高度為，得到，從而可由題目所給條件逐步計算出球的半徑，即可得解.
8．隨著古代瓷器工藝的高速發展，在著名的宋代五大名窯之后，又增加了三種瓷器，與五大名窯并稱為中國八大名瓷，其中最受歡迎的是景德鎮窯．如圖，景德鎮產的青花玲瓏瓷(無蓋)的形狀可視為一個球被兩個平行平面所截后剩下的部分，其中球面被平面所截的部分均可視為球冠(截得的圓面是底，垂直于圓面的直徑被截得的部分是高，其面積公式為，其中為球的半徑，為球冠的高)．已知瓷器的高為，在高為處有最大直徑(外徑)為，則該瓷器的外表面積約為(取3.14) （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題意可知：球的半徑為，上球冠的高，下球冠的高，可求下底面圓的半徑，結合題意面積公式分析求解.
【詳解】由題意可知：球的半徑為，上球冠的高，下球冠的高，
設下底面圓的半徑為，則，
所以該瓷器的外表面積為.
故選：C.
9．攢尖是古代中國建筑中屋頂的一種結構形式，依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、六角攢尖、八角攢尖．如圖是圓形攢尖，可近似看作圓錐與圓柱的組合體（圓錐與圓柱的底面重合且半徑相等），已知此組合體中圓柱底面的半徑為4，圓錐與圓柱的高相等，若圓錐的頂點與圓柱的上、下底面圓周都在同一個球面上，則該球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】畫出示意圖，根據線段數量關系即可求解.
【詳解】如圖，是圓錐的錐頂，是圓柱上底面的圓心，是圓柱下底面的圓心，是圓球的圓心，是圓柱上底面和圓球的交點，，

設圓錐和圓柱的高為，則，，
因為，所以，
所以，所以圓球的半徑為，
所以圓球的體積為.
故選：D.
10．空氣膜等厚干涉是一個有趣的光學現象，如左圖所示，當一塊玻璃在另一塊平板玻璃上方時，讓光線垂直照射就會出現明暗相間的條紋.同一條紋上兩玻璃之間的空氣間隙厚度一致.現有一圓錐形玻璃，底面周長為24，母線長為13.將其頂點朝下放置于平板玻璃上，并且使得底面與平板玻璃的夾角近似滿足sin=，用光垂直照射，則得到的條紋形狀為（ ）
A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓
【答案】A
【分析】根據物理中的空氣膜等厚干涉實驗，即可得到圓錐形玻璃照射得到的條紋形狀.
【詳解】根據題意，設圓錐的底面半徑為，高為，母線為
則，解得，所以.
根據空氣膜等厚干涉的描述，
若圓錐頂點朝下且高垂直于平板玻璃，則條紋形狀為圓，
而底面與平板玻璃的夾角近似滿足，即傾斜了角度，
則條紋形狀不是圓，而是橢圓.
故選：A.
求空間幾何體的體積的常用方法 公式法規則幾何體的體積，直接利用公式割補法把不規則的幾何體分割成規則的幾何體，或者把不規則的幾何體補成規則的幾何體等體積法通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積
題型3 球的切、接問題
11．已知在直三棱柱中，，，為線段的中點，點在線段上，若平面，則三棱錐外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解法一：根據題意，將三棱錐及平面，得到的外接圓圓心為的中點，得到球心在過點且與平面垂直的直線上，設三棱錐的外接球的球心為，連接，，，再設三棱錐的外接球的半徑為，在直角梯形中，求得，結合體積公式，即可求解；
解法二： 以為坐標原點，建立空間直角坐標系，設三棱錐的外接球球心為，列出方程組，求得，結合體積公式，即可求解.
【詳解】解法一：因為平面，平面，平面平面，
所以，又因為為的中點，所以為的中點，
將三棱錐及平面單獨拿出來，如圖所示，
可得，，，則，
所以，故的外接圓圓心為的中點，
故三棱錐的外接球的球心在過點且與平面垂直的直線上，
設三棱錐的外接球的球心為，當，在平面的同側時，
連接，則平面．取的中點，連接，則，，
由于平面平面，平面平面，
因此平面，連接，，
因為為的中點，為的中點，所以，
設三棱錐的外接球的半徑為，連接，，
在中，，
所以在直角梯形中，
，得，
當，在平面的兩側時，，無解，
綜上可得，則三棱錐的外接球的體積．
解法二： 因為平面，平面，平面平面，
所以．（點撥：線面平行性質定理的應用）
又為的中點，所以為的中點，
以為坐標原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，如圖所示，
則，，，，
設三棱錐的外接球球心為，
則，
解得，，，所以，
所以三棱錐的外接球的半徑，
體積．
故選：A．
【點睛】方法總結：解決與球有關的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉化為平面幾何問題求解，其解題思維流程：
1、定球心：如果是內切球，球心到切點的距離相等且為半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；
2、作截面：選準最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現這些元素間的關系），達到空間問題平面化的目的；
3、求半徑：根據作出截面中的幾何元素，利用球的截面的性質，運用公式（為底面多邊形的外接圓的半徑，為幾何體的外接球的半徑，表示球心到底面的距離）求得球的半徑，建立關于球半徑的方程，進行求解，該方法的實質是通過尋找外接球的一個軸截面，把立體幾何問題轉化為平面幾何問題來研究.
12．球缺指的是一個球被平面截下的一部分，垂直于截面的直徑被截后剩下的線段為球缺的高，設球的半徑為，球缺的高為，則球缺的體積.圓錐的高為2，底面半徑為1，則以圓錐的高為直徑的球在圓錐外的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出大球缺的體積和小圓錐的體積后可求圓錐外的體積.
【詳解】根據題意，以圓錐的高為直徑的球的半徑為1，且與圓錐底面相切與底面圓心，
作圓錐的軸截面，軸截面與球內接圓錐底面交于
所求體積即為球缺與內接圓錐的體積之差
軸截面頂角為，
則，
設圓錐底面半徑為，則，即
則圓錐的高為，則
球缺的高為，則
.
故選：A
13．在梯形中, ，且，沿對角線將三角形折起，所得四面體外接球的表面積為，則異面直線與所成角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據折疊前后的幾何性質，將三棱錐補成三棱柱，利用三棱柱的外接球即可求得答案.
【詳解】如下圖，將梯形補成長方形，折后得到直三棱柱，
因為，所以，
異面直線與所成角即為與所成角，即或其補角，
又該三棱柱的外接球即為三棱錐的外接球，設外接球半徑為R，則，
所以，設外接圓半徑為r，圓心為，外接圓圓心為，
則三棱柱的外接球的球心為的中點O，連接，則，
所以，又，即，
又中，，
即，
化簡得，即，所以，
故選：C.

14．半正多面體亦稱“阿基米德體”，是以邊數不全相同的正多邊形為面的多面體．將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此共可截去八個三棱錐，得到一個有十四個面的半正多面體．它的各棱長都相等，其中八個面為正三角形，六個面為正方形，這樣的半正多面體被稱為二十四等邊體．如圖所示，已知該半正多面體過A，B，C三點的截面面積為，則其外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據幾何體的結構特征得出過A，B，C三點的截面圖形，由面積求出原正方體的棱長，進而求出外接球半徑即可得解.
【詳解】將二十四等邊體補全為正方體，則該二十四等邊體的過A，B，C三點的截面為正六邊形，
設原正方體棱長為，則正六邊形邊長為，其面積為，解得，
因此原正方體的棱長為，由對稱性知，二十四等邊體的外接球球心是原正方體的體對角線的交點，
球半徑為該點到點的距離，所以外接球的表面積為.
故選：D
15．已知三棱柱的側棱垂直于底面，且，，，，若該三棱柱的各頂點都在同一球面上，則此球的表面積等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據余弦定理求，結合正弦定理求解外接圓半徑，再根據三棱柱的外接球球半徑與三棱柱的高以及外接圓半徑的關系得出結果.
【詳解】如圖所示，在中，，，，
由余弦定理可得，所以，
由正弦定理可得外接圓半徑，
設此圓圓心為，球心為，在中，，易得球半徑，
故此球的表面積為．
故選：A．
(1)補形法的解題策略 ①側面為直角三角形，或對棱均相等的模型和正四面體，可以還原到正方體或長方體中去求解；②直三棱錐補成三棱柱求解． (2)正方體與球的切、接問題的常用結論 正方體的棱長為a，球的半徑為R， ①若球為正方體的外接球，則2R＝a； ②若球為正方體的內切球，則2R＝a； ③若球與正方體的各棱相切，則2R＝a. (3)若長方體的共頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝.
考點二：點、直線、平面之間的位置關系
1．基本事實1：經過不在一條直線上的3個點，有且只有一個平面．
基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內．
基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．
2．“三個”推論
推論1：經過一條直線與直線外一點，有且只有一個平面．
推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面．
推論3：經過兩條平行直線，有且只有一個平面．
3．空間中直線與直線的位置關系
4．空間中直線與平面、平面與平面的位置關系
圖形語言 符號語言 公共點
直線與平面 相交 a∩α＝A 1個
平行 a∥α 0個
在平面內 a α 無數個
平面與平面 平行 α∥β 0個
相交 α∩β＝l 無數個
5.等角定理
如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別對應平行，并且方向相同，那么這兩個角相等．
6．異面直線所成的角
(1)定義：一般地，如果a，b是空間中的兩條異面直線，過空間中任意一點，分別作與a，b平行或重合的直線a′，b′，則a′與b′所成角的大小，稱為異面直線a與b所成角的大小．
(2)范圍：.
題型1 空間點、直線、平面之間的位置關系
16．已知m，n是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題正確的是（ ）
A．平面內有無數條直線與平面平行的充要條件是
B．平面內有兩條直線m，n分別與平面平行，則
C．若，且，則
D．平面內有無數條直線與平面垂直，則
【答案】D
【分析】利用面面垂直的判定定理易得D項正確；對于A,B,C，只需借助于正方體模型舉出反例即可一一排除.
【詳解】
如圖,作正方體,
對于A，設平面為平面，平面為平面，在平面內可以作無數條直線與平行，則這些直線都與平面平行，
但平面與平面相交，故錯誤；
對于B，設平面為，平面為，平面為,在內可以作兩條直線m，n與平行，則易得，
但平面與相交，故B錯誤；
對于C，設平面為，平面為，取直線為，直線為，則，且，
但與相交，故C錯誤；
對于D，由面面垂直的判定定理知，平面內只要有一條直線與平面垂直，就能得到，故D正確．
故選：D.
17．下列命題正確的是（ ）
A．若直線上有無數個點不在平面內，則
B．若直線不平行于平面且，則平面內不存在與平行的直線
C．已知直線，，平面，且，則直線，平行
D．已知兩條相交直線，，且平面，則與相交
【答案】B
【分析】根據空間直線與平面的位置關系的定義，分類，及幾何特征，逐一分析選項，可得答案.
【詳解】若直線上有無數個點不在平面內，則或與相交，故A選項不正確；
若直線不平行于平面且，則與相交，所以平面內不存在與平行的直線，故B選項正確；
已知直線，平面，且，則直線平行或異面，C選項錯誤；
兩條相交直線，且平面，則平面或與相交，D選項錯誤.
故選：B
18．如圖，在三棱柱中，分別為的中點，則下列說法錯誤的是（）
A．四點共面 B．
C．三線共點 D．
【答案】D
【分析】對于AB，利用線線平行的傳遞性與平面公理的推論即可判斷；對于C，利用平面公理判斷得，的交點在，從而可判斷；對于D，舉反例即可判斷.
【詳解】對于AB，如圖，連接，，
因為是的中位線，所以，
因為，且，所以四邊形是平行四邊形，
所以，所以，所以四點共面，故AB正確；
對于C，如圖，延長，相交于點，
因為，平面，所以平面，
因為，平面，所以平面，
因為平面平面，
所以，所以三線共點，故C正確；
對于D，因為，當時，，
又，則，故D錯誤.
故選：D.
19．設是兩個平面，是三條直線，則下列命題為真命題的是（ ）
A．若，，，則
B．若，，，則
C．若，，，則
D．若，，則
【答案】B
【分析】根據空間中線面之間的位置關系逐一判斷即可.
【詳解】對于A，若，，，則相交或平行，故A錯誤；
對于B，若，，，
由線面平行的性質可得，故B正確；
對于C，若，，，
當兩兩相交時，兩兩相交，故C錯誤；
對于D，若，，則或，故D錯誤.
故選：B.
20．已知直線和平面，則下列判斷中正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】C
【分析】利用空間線線線面的位置關系判斷A錯誤；舉反例判斷B錯誤；利用線面平行的性質定理和線面垂直性質得到C正確；由線面平行和線線垂直的性質判斷D錯誤.
【詳解】A：若，則兩直線平行或異面或相交，故A錯誤；
B：若，當直線在平面內時，則直線不平行于平面，故B錯誤；
C：若，設過的平面與相交于，則，
又因為，，所以，所以，所以，故C正確；
D：若，則或或，故D錯誤；
故選：C.
(1)點、直線、平面位置關系的判定，注意構造幾何體(長方體、正方體)模型來判斷，常借助正方體為模型． (2)求異面直線所成角的方法 方法解讀平移法將異面直線中的某一條平移，使其與另一條相交，一般采用圖中已有的平行線或者作平行線， 形成三角形求解補形法在該幾何體的某側補接上同樣一個幾何體，在這兩個幾何體中找異面直線相應的位置，形成三角形求解
題型2 空間直線、平面的平行
21．已知正方體中，點是線段上靠近的三等分點，點是線段上靠近的三等分點，則平面AEF截正方體形成的截面圖形為（ ）
A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
【答案】C
【分析】如圖，由題意，根據空間線面的位置關系、基本事實以及面面平行的性質定理可得，進而，結合相似三角形的性質即可求解．
【詳解】如圖，設，分別延長交于點，此時，
連接交于，連接，
設平面與平面的交線為，則，
因為平面平面，平面平面，平面平面，
所以，設，則，
此時，故，連接，
所以五邊形為所求截面圖形，
故選：C．

22．已知為三個不同的平面，為三條不同的直線，若，，，，則下列結論正確的是（ ）
A．與相交 B．與相交 C． D．與相交
【答案】C
【分析】根據空間中直線與平面的關系即可結合選項逐一求解.
【詳解】，平面，，，故A錯誤；
同理可得，，故B錯誤；
由A，B知，故C正確；
由A知，平面，平面，，故D錯誤．
故選：C
23．如圖是一個四棱錐的平面展開圖，其中四邊形為正方形，四個三角形為正三角形，分別是的中點，在此四棱錐中，則（ ）
A．與是異面直線，且平面
B．與是相交直線，且平面
C．與是異面直線，且平面
D．與是相交直線，且平面
【答案】B
【分析】畫出幾何體， 證得四邊形為梯形，得到與為相交直線，再由線面平行的判定定理，證得平面.
【詳解】根據題意，畫出幾何體，如圖所示，
因為分別是的中點，可得且，
又因為且，所以且，
所以四邊形為梯形，所以與為相交直線，
因為為的中點，可得且，
所以四邊形為平行四邊形，可得，
又因為平面，平面，所以平面.
故選：B.
24．如圖，已知菱形的邊長為2，且分別為棱中點．將和分別沿折疊，若滿足平面，則線段的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】借助空間直觀想象，折疊前在平面圖形中求出的長度，折疊過程中證明平面平面，面面距離即為的最小值，由此得到的范圍.
【詳解】

折疊前，連接.
由題意，在菱形中，，
，
則由余弦定理得，，
所以，，故在折疊過程中，.
折疊后，若平面，
則平面，則，故BD項錯誤；
折疊前，在菱形中，，，
則是正三角形，
由分別為棱中點，
則，所以.
折疊后，，
又平面，且平面，
則平面，同理平面，所以平面平面，
則平面與平面的距離即為，
由點平面，點平面，則.
在折疊過程中，當時，由，
則均為正三角形，可構成如圖所示的正三棱柱，
滿足平面，此時.
所以最小值為，故A正確，C項錯誤.
故選：A.

25．已知四棱錐，平面平面，四邊形是正方形，為中點，則（ ）
A．平面 B．平面
C．平面平面 D．
【答案】C
【分析】由線面平行的性質判斷A錯誤；舉反例判斷B錯誤；先證明，再由線面垂直得到平面，進而得到平面平面，判斷C正確；由已知條件判斷D錯誤.
【詳解】A：易知平面，
因為，且兩條直線都在平面內，
所以不可能平行平面，故A錯誤；
B：舉反例，如圖垂直平面時，由于，所以不垂直，故B錯誤；
C：作于點，
因為平面平面，且平面，
所以平面，
因為平面，所以，
又，，且都在平面內，
所以平面，
因為平面，
所以平面平面，
故C正確；
D：沒有任何條件可以證明，故D錯誤；
故選：C.
解決面面平行問題的關鍵點 (1)在解決線面、面面平行的判定時，一般遵循從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應用性質定理時，其順序恰好相反，但也要注意，轉化的方向總是由題目的具體條件而定，絕不可過于“模式化”． (2)解答探索性問題的基本策略是先假設，再嚴格證明，先猜想再證明是學習和研究的重要思想方法．
題型3 空間直線、平面的垂直
26．在三棱錐中，平面，，，，分別為，的中點，則下列結論正確的是（ ）
A．，是異面直線， B．，是相交直線，
C．，是異面直線，與不垂直 D．，是相交直線，與不垂直
【答案】A
【分析】先用定理判斷，是異面直線，再證明與垂直，連接，即可得到平面，取的中點，連接，，從而得到、，即可證明平面，從而得解．
【詳解】顯然根據異面直線判定方法：經過平面外一點與平面內一點的直線與平面內不經過點的直線是異面直線．
下面證明與垂直：
證明：因為平面，平面，
所以，
因為，分別為的中點，連接，
所以，
因為，平面，
所以平面，
如圖：取的中點，連接，，
因為平面，所以，
又因為，所以，
因為，
所以，
又因為為的中點，所以，
因為，平面，
所以平面，
又因為平面，所以．
故選：A．
27．如圖，點為正方形的中心，△為正三角形，平面⊥平面，是線段的中點，則以下命題中正確的是（ ）．
A． B．
C．A、、三點共線 D．直線與相交
【答案】D
【分析】分別求得的長度判斷選項A；利用反證法否定選項B和選項C；求得直線與的位置關系判斷選項D.
【詳解】取中點F，連接,取中點H，連接.
又△為正三角形，則，，
又平面⊥平面，平面平面，
則平面，平面，
又平面，平面，
則，，
設，則,
則，
則.故選項A判斷錯誤；
假設，
又，，平面，
則平面，又平面，則，
這與矛盾，故假設不成立，不互相垂直.
故選項B判斷錯誤；
由平面，可得直線平面，
假設A、、三點共線，則，則平面，
這與平面矛盾，故假設不成立.
故選項C判斷錯誤；
由，可得，，
則四邊形為梯形，則直線與相交. 故選項D判斷正確.
故選：D
28．如圖，菱形的對角線與交于點，是的中位線，與交于點，已知是繞旋轉過程中的一個圖形﹐且平面.給出下列結論：
①平面；
②平面平面；
③“直線直線”始終不成立.
其中所有正確結論的序號為（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【答案】B
【分析】利用線面平行的判定判斷①；利用面面垂直的判定推理判斷②；舉例說明判斷③.
【詳解】菱形的對角線與交于點，是的中位線，則，
而平面，平面，因此平面，①正確；
連接，由，得，而平面，
則平面，又平面，因此平面平面，②正確；
顯然是二面角的平面角，由繞旋轉過程中，
從逐漸減小到（不包含和），當時，，
平面，則平面，而平面，于是，③錯誤，
所以所有正確結論的序號為①②.
故選：B
29．已知直線a，b，c是三條不同的直線，平面α，β，γ是三個不同的平面，下列命題正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，且，則
D．若，且，則
【答案】D
【分析】由空間中直線與平面的位置關系，對各項進行分析即可．
【詳解】若，則a，b可以是平行，也可以是相交或異面，故A錯誤；
若，則或，故B錯誤；
若且，當時，不能證明，C選項錯誤；
若，且，在上取一點，作，
由面面垂直的性質定理可得且，既與重合，可得，故D正確.
故選：D
30．下列說法不正確的是（ ）
A．若直線a不平行于平面，，則內不存在與a平行的直線
B．若一個平面內兩條不平行的直線都平行于另一個平面，則
C．設l，m，n為直線，m，n在平面內，則“”是“且”的充分條件
D．若平面平面，平面平面，則平面與平面所成的二面角和平面與平面所成的二面角相等或互補
【答案】D
【分析】對于選項ABC，可根據線面平行的判定定理，面面平行的判定定理和線面垂直的判定定理進行判定；對于選項D，可在長方體中尋找特殊平面進行排除.
【詳解】對于選項A：若存在直線，則由直線和平面平行的判定定理知直線與平面平行，與條件相矛盾，故A正確；
對于選項B：由面面平行的判定定理可知B正確；
對于選項C：由線面垂直的性質定理知：由，可得且，故C正確；
對于選項D：例如在正方體中，
平面為平面，平面為平面，平面為平面，平面為平面，
此時平面與平面所成的二面角為,平面與平面所成的二面角為，故D錯誤.
故選：D.
(1)判定面面垂直的方法 ①面面垂直的定義．②面面垂直的判定定理． (2)面面垂直性質的應用 ①面面垂直的性質定理是把面面垂直轉化為線面垂直的依據，運用時要注意“平面內的直線”．②若兩個相交平面同時垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于第三個平面．
考點三：空間向量與立體幾何
一、空間向量的概念
1．空間向量的有關概念
名稱 定義
空間向量 空間中既有大小又有方向的量
相等的向量 方向相同且大小相等的向量
相反向量 大小相等而方向相反的向量
共線向量 (或平行向量) 兩個非零向量的方向相同或者相反
共面向量 空間中的多個向量，如果表示它們的有向線段通過平移之后，都能在同一個平面內
2.空間向量的有關定理
(1)共線向量定理：如果a≠0且b∥a，則存在唯一實數λ，使得b＝λa.
(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，則向量a，b，c共面的充要條件是存在唯一的實數對(x，y)，使c＝xa＋yb.
(3)空間向量基本定理
如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空間的一組基底．
3．空間向量的數量積及運算律
(1)數量積
非零向量a，b的數量積a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空間向量的坐標表示及其應用
設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量表示 坐標表示
數量積 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
共線 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模 |a|
夾角余弦值 cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝
4.空間位置關系的向量表示
(1)直線的方向向量：如果l是空間中的一條直線，v是空間中的一個非零向量，且表示v的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱向量v為直線l的一個方向向量．
(2)平面的法向量：如果α是空間中的一個平面，n是空間中的一個非零向量，且表示n的有向線段所在的直線與平面α垂直，則稱n為平面α的一個法向量．
(3)空間位置關系的向量表示
位置關系 向量表示
直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2 l1∥l2 n1∥n2 n1＝λn2(λ∈R)
l1⊥l2 n1⊥n2 n1·n2＝0
直線l的方向向量為n，平面α的法向量為m，l α l∥α n⊥m n·m＝0
l⊥α n∥m n＝λm(λ∈R)
平面α，β的法向量分別為n，m α∥β n∥m n＝λm(λ∈R)
α⊥β n⊥m n·m＝0
二、法向量求空間角
1．異面直線所成的角
若異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則cos θ＝|cos〈u，v〉|＝.
2．直線與平面所成的角
如圖，直線AB與平面α相交于點B，設直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝.
3．平面與平面的夾角
如圖，平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角．
若平面α，β的法向量分別是n1和n2，則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的夾角或其補角．設平面α與平面β的夾角為θ，則cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝.
題型1 空間向量
31．如圖所示，在平行六面體中，為與的交點，若，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據空間向量線性運算法則即可化簡計算求得.
【詳解】在平行六面體中，因為為與的交點，所以，
故.
故選：D.
32．已知直線的方向向量是，平面的一個法向量是，則與的位置關系是（ ）
A． B．
C．與相交但不垂直 D．或
【答案】D
【分析】由于，得到，從而確定與的位置關系.
【詳解】因為，，
則，
得到，且直線的方向向量是，平面的一個法向量是，
所以與的位置關系是：或，
故選：D.
33．已知向量，向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用投影向量的定義求解.
【詳解】解：因為向量，
所以，
所以向量在向量上的投影向量為：
，
故選：A
34．已知平行六面體中，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量數量積的即可求出夾角的余弦值.
【詳解】
，
故，
所以.
故選：B.
35．如圖，在四面體中，，，.點在上，且，為的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
利用空間向量的線性運算及空間向量基本定理，結合圖像即可得解.
【詳解】由題意可知，，，
所以.
故選：D.
(1)利用向量法證明平行、垂直關系，關鍵是建立恰當的坐標系(盡可能利用垂直條件，準確寫出相關點的坐標，進而用向量表示涉及到直線、平面的要素)． (2)向量證明的核心是利用向量的數量積或數乘向量，但向量證明仍然離不開立體幾何的有關定理．
題型2 異面直線的夾角
36．在直角梯形中，，，，現將沿著對角線折起，使點D到達點P位置，此時二面角為．

(1)求異面直線，所成角的余弦值；
(2)求點A到平面的距離．
【詳解】（1）過點D做交于O，連接，
以O點為原點，以為x軸，在平面內，過點O垂直于的線為y軸，
過點O垂直于平面的直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示．

因為，所以，
所以為二面角的平面角．所以，
又因為，所以點，
又因為，，由等邊三角形可得，
所以，，
所以，
所以與夾角的余弦值為．
（2），，
設為平面的一個法向量，
則，
令，則，
故，
所以點A到平面的距離為．
37．如圖所示，設有底面半徑為的圓錐．已知圓錐的側面積為，為中點，．
(1)求圓錐的體積；
(2)求異面直線與所成角．
【詳解】（1）設圓錐母線長為，
，，即，
圓錐的高，
.
（2）解法一：取邊上中點，連結，，，
是的中位線，；
垂直于底面，垂直于底面，；
，為中點，，即；
，平面，平面，
又平面，，即異面直線與所成角為.
解法二：取圓弧中點，連結，則；
以為坐標原點，的正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，
則，，，，
，，
，即，異面直線與所成角為.
38．如圖，在正三棱柱與四棱錐組成的組合體中，底面恰好是邊長為2菱形，且．
（1）求證：平面
（2）設E是的中點，求直線與直線所成角的余弦值．
【詳解】（1）連接，在正三棱柱中，且，
為菱形，則且，
所以且，所以四邊形為平行四邊形，
所以，
又因為平面，所以平面.
（2）四邊形為菱形，可得，
取的中點，連接，
為正三棱柱，
則平面，
以為原點，為軸，以為軸建立空間直角坐標系，如圖：
為正三角形，，
，，，，
設直線與直線所成角為，
.
所以直線與直線所成角的余弦值.
用向量法求異面直線所成的角的一般步驟 (1)建立空間直角坐標系． (2)用坐標表示兩異面直線的方向向量． (3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值． (4)注意兩異面直線所成角的范圍是，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對值．
題型3 直線與平面所成的角
39．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，是側棱的中點，側面為正三角形，側面底面．
(1)求三棱錐的體積；
(2)求與平面所成角的正弦值．
【詳解】（1）如圖所示，取的中點，連接．
因為是正三角形，所以．
又因為平面底面平面，平面平面，
所以平面，且．
又因為是的中點，到平面的距離為，
，
所以三棱錐的體積為．
（2）連接，因為，
所以為等邊三角形，所以，
以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
所以．
設平面的法向量為，
則，即，解得，取，則，
所以．
設與平面所成角為，
則．
即與平面所成角的正弦值為．
40．如圖甲是由正方形ABCD，等邊和等邊組成的一個平面圖形，其中，將其沿AB，BC，AC折起得三棱錐P-ABC，如圖乙．
(1)求證：平面平面；
(2)過棱AC作平面ACM交棱PB于點M，且三棱錐和的體積比為1∶2，求直線AM與平面PBC所成角的正弦值．
【詳解】（1）證明：如圖，取的中點為，連接．
．
，
，
同理．
又，
，
平面平面．
又平面平面平面．
（2）如圖建立空間直角坐標系，
根據邊長關系可知，，，
．
三棱錐和的體積比為，
，
，
．
設平面的法向量為，
則，令，則，得．
設直線與平面所成角為，
則，
直線與平面所成角的正弦值為．
41．如圖，在四棱錐中，平面，底面是正方形，點E在棱PD上，，．
(1)證明：點是的中點；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
【詳解】（1）由平面，平面，所以；
又底面是正方形，所以；
因為，平面，所以平面；
又平面，所以，
因為，，平面，
可得平面，又平面，
所以，又因為，
可知點E是的中點；
（2）根據題意可得兩兩垂直，
因此以為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：
設，則；
所以；
設平面的一個法向量為，
可得，令，可得；
即；
設直線與平面所成的角為，
則
所以直線與平面所成角的正弦值為.
利用空間向量求線面角的解題步驟
題型4 平面與平面的夾角
42．如圖，在四棱錐中，底面是菱形且，是邊長為的等邊三角形，，，分別為，，的中點，與交于點．
(1)證明：平面；
(2)若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．
【詳解】（1）如圖，設與交于點，連接.
因為分別為的中點，底面是菱形，
所以且，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
因為為的中點，所以為的中點，
因為為的中點，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）連接，因為是邊長為的等邊三角形，為的中點，
所以.
因為底面是菱形且，易知為等邊三角形，所以.
易知，所以，所以.
因為，所以，所以.
所以兩兩垂直，以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
所以，
設平面的法向量為，
則，得，
取，則，所以.
設平面的法向量為，
則，得，
則，取，則，所以.
所以，
所以平面與平面所成銳二面角的余弦值.
43．在四棱錐中，底面為矩形，點為的中點，且．
(1)求證：．
(2)若，點為棱上一點，平面與平面所成銳二面角的余弦值為，求的值．
【詳解】（1）取的中點，連接，如圖（1）．
因為點分別為的中點，所以．
因為，，
所以，得，
所以，所以．
又，，平面，所以平面．
因為平面，所以．
又，所以．
（2）因為，平面，
所以平面．因為平面，所以．
如圖（2），以點為原點，分別以所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系．
令，則，
所以．
設，則，所以．
設平面的一個法向量為，則有
令，得，則．
設平面的一個法向量為，則有
令，得，，則．
因為平面與平面所成銳二面角的余弦值為，
所以，
解得．故．
44．如圖，已知正三棱柱分別為棱的中點．

(1)求證：平面；
(2)求二面角的正弦值．
【詳解】（1）取中點，由正三棱柱性質得，互相垂直，以為原點，分別以，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系．
不妨設，則，
則．
證明：，
由，得，
由，得，
因為平面，所以平面．
（2）

由（1）可知為平面的一個法向量，設平面的法向量，
則,故，
令，得面的一個法向量為，
設二面角的值為，
則，所以，二面角的正弦值為．
利用空間向量計算平面與平面夾角大小的常用方法 (1)找法向量：分別求出兩個平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到平面與平面夾角的大小． (2)找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個半平面內找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，然后通過這兩個向量的夾角可得到平面與平面夾角的大小．重難點09 立體幾何
考點一 空間幾何體
基本立體圖形
簡單幾何體的表面積和體積
球的切、接問題
考點二 點、直線、平面之間的位置關系
空間點、直線、平面之間的位置關系
空間直線、平面的平行
3、空間直線、平面的垂直
考點三 空間向量與立體幾何
1、空間向量的概念與運算
2、異面直線的夾角
3、直線與平面的夾角
4、平面與平面的夾角
考點一：空間幾何體
1．空間幾何體的結構特征
(1)多面體的結構特征
名稱 棱柱 棱錐 棱臺
圖形
底面 互相平行且全等 多邊形 互相平行且相似
側棱 平行且相等 相交于一點但不一定相等 延長線交于一點
側面形狀 平行四邊形 三角形 梯形
(2)旋轉體的結構特征
名稱 圓柱 圓錐 圓臺 球
圖形
母線 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一點 延長線交于一點
軸截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圓
側面展開圖 矩形 扇形 扇環
2.直觀圖
(1)畫法：常用斜二測畫法．
(2)規則：
①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x′軸、y′軸的夾角為45°或135°，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．
②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標軸，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度在直觀圖中變為原來的一半．
3．圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式
圓柱 圓錐 圓臺
側面展開圖
側面積公式 S圓柱側＝2πrl S圓錐側＝πrl S圓臺側＝π(r1＋r2)l
4．柱、錐、臺、球的表面積和體積
名稱 幾何體　　 表面積 體積
柱體 S表＝S側＋2S底 V＝Sh
錐體 S表＝S側＋S底 V＝Sh
臺體 S表＝S側＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S表＝4πR2 V＝πR3
題型1 基本立體圖形
1．已知圓臺上下底面的圓心分別為，，母線（點位于上底面），且滿足，圓的周長為，一只螞蟻從點出發沿著圓臺的側面爬行一周到的中點，則螞蟻爬行的最短路程為（ ）
A． B． C． D．
2．多面體歐拉定理是指：若多面體的頂點數為，面數為，棱數為，則滿足. 已知某面體各面均為五邊形，且經過每個頂點的棱數為3，則 （ ）
A．6 B．10 C．12 D．20
3．如圖，這是一座山的示意圖，山大致呈圓錐形，山腳呈圓形，半徑為，山高為是山坡上一點，且．現要建設一條從到的環山觀光公路，這條公路從出發后先上坡，后下坡，當公路長度最短時，公路上坡路段長為（ ）
A． B． C． D．
4．已知圓臺上、下底面的半徑分別為3和5，母線長為4，為上底面圓的一條直徑，是下底面圓周上的一個動點，則面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
5．如圖所示是水平放置的的直觀圖，其中，則原是一個（ ）

A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
空間幾何體結構特征的判斷技巧 (1)說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可． (2)在斜二測畫法中，平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半． (3)在解決空間折線(段)最短問題時一般考慮其展開圖，采用化曲為直的策略，將空間問題平面化．
題型2 表面積與體積
6．已知三棱錐的外接球的體積為，平面，，，則三棱錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
7．校足球社團為學校足球比賽設計了一個獎杯，如圖，獎杯的設計思路是將側棱長為6的正三棱錐的三個側面沿AB，BC，AC展開得到面，使得平面均與平面ABC垂直，再將球放到上面使得三個點在球的表面上，若獎杯的總高度為，且，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
8．隨著古代瓷器工藝的高速發展，在著名的宋代五大名窯之后，又增加了三種瓷器，與五大名窯并稱為中國八大名瓷，其中最受歡迎的是景德鎮窯．如圖，景德鎮產的青花玲瓏瓷(無蓋)的形狀可視為一個球被兩個平行平面所截后剩下的部分，其中球面被平面所截的部分均可視為球冠(截得的圓面是底，垂直于圓面的直徑被截得的部分是高，其面積公式為，其中為球的半徑，為球冠的高)．已知瓷器的高為，在高為處有最大直徑(外徑)為，則該瓷器的外表面積約為(取3.14) （ ）
A． B． C． D．
9．攢尖是古代中國建筑中屋頂的一種結構形式，依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、六角攢尖、八角攢尖．如圖是圓形攢尖，可近似看作圓錐與圓柱的組合體（圓錐與圓柱的底面重合且半徑相等），已知此組合體中圓柱底面的半徑為4，圓錐與圓柱的高相等，若圓錐的頂點與圓柱的上、下底面圓周都在同一個球面上，則該球的體積為（ ）
A． B． C． D．
10．空氣膜等厚干涉是一個有趣的光學現象，如左圖所示，當一塊玻璃在另一塊平板玻璃上方時，讓光線垂直照射就會出現明暗相間的條紋.同一條紋上兩玻璃之間的空氣間隙厚度一致.現有一圓錐形玻璃，底面周長為24，母線長為13.將其頂點朝下放置于平板玻璃上，并且使得底面與平板玻璃的夾角近似滿足sin=，用光垂直照射，則得到的條紋形狀為（ ）
A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓
求空間幾何體的體積的常用方法 公式法規則幾何體的體積，直接利用公式割補法把不規則的幾何體分割成規則的幾何體，或者把不規則的幾何體補成規則的幾何體等體積法通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積
題型3 球的切、接問題
11．已知在直三棱柱中，，，為線段的中點，點在線段上，若平面，則三棱錐外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
12．球缺指的是一個球被平面截下的一部分，垂直于截面的直徑被截后剩下的線段為球缺的高，設球的半徑為，球缺的高為，則球缺的體積.圓錐的高為2，底面半徑為1，則以圓錐的高為直徑的球在圓錐外的體積為（ ）
A． B． C． D．
13．在梯形中, ，且，沿對角線將三角形折起，所得四面體外接球的表面積為，則異面直線與所成角為（ ）
A． B． C． D．
14．半正多面體亦稱“阿基米德體”，是以邊數不全相同的正多邊形為面的多面體．將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此共可截去八個三棱錐，得到一個有十四個面的半正多面體．它的各棱長都相等，其中八個面為正三角形，六個面為正方形，這樣的半正多面體被稱為二十四等邊體．如圖所示，已知該半正多面體過A，B，C三點的截面面積為，則其外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
15．已知三棱柱的側棱垂直于底面，且，，，，若該三棱柱的各頂點都在同一球面上，則此球的表面積等于（ ）．
A． B． C． D．
(1)補形法的解題策略 ①側面為直角三角形，或對棱均相等的模型和正四面體，可以還原到正方體或長方體中去求解；②直三棱錐補成三棱柱求解． (2)正方體與球的切、接問題的常用結論 正方體的棱長為a，球的半徑為R， ①若球為正方體的外接球，則2R＝a； ②若球為正方體的內切球，則2R＝a； ③若球與正方體的各棱相切，則2R＝a. (3)若長方體的共頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝.
考點二：點、直線、平面之間的位置關系
1．基本事實1：經過不在一條直線上的3個點，有且只有一個平面．
基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內．
基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．
2．“三個”推論
推論1：經過一條直線與直線外一點，有且只有一個平面．
推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面．
推論3：經過兩條平行直線，有且只有一個平面．
3．空間中直線與直線的位置關系
4．空間中直線與平面、平面與平面的位置關系
圖形語言 符號語言 公共點
直線與平面 相交 a∩α＝A 1個
平行 a∥α 0個
在平面內 a α 無數個
平面與平面 平行 α∥β 0個
相交 α∩β＝l 無數個
5.等角定理
如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別對應平行，并且方向相同，那么這兩個角相等．
6．異面直線所成的角
(1)定義：一般地，如果a，b是空間中的兩條異面直線，過空間中任意一點，分別作與a，b平行或重合的直線a′，b′，則a′與b′所成角的大小，稱為異面直線a與b所成角的大小．
(2)范圍：.
題型1 空間點、直線、平面之間的位置關系
16．已知m，n是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題正確的是（ ）
A．平面內有無數條直線與平面平行的充要條件是
B．平面內有兩條直線m，n分別與平面平行，則
C．若，且，則
D．平面內有無數條直線與平面垂直，則
17．下列命題正確的是（ ）
A．若直線上有無數個點不在平面內，則
B．若直線不平行于平面且，則平面內不存在與平行的直線
C．已知直線，，平面，且，則直線，平行
D．已知兩條相交直線，，且平面，則與相交
18．如圖，在三棱柱中，分別為的中點，則下列說法錯誤的是（）
A．四點共面 B．
C．三線共點 D．
19．設是兩個平面，是三條直線，則下列命題為真命題的是（ ）
A．若，，，則
B．若，，，則
C．若，，，則
D．若，，則
20．已知直線和平面，則下列判斷中正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
(1)點、直線、平面位置關系的判定，注意構造幾何體(長方體、正方體)模型來判斷，常借助正方體為模型． (2)求異面直線所成角的方法 方法解讀平移法將異面直線中的某一條平移，使其與另一條相交，一般采用圖中已有的平行線或者作平行線， 形成三角形求解補形法在該幾何體的某側補接上同樣一個幾何體，在這兩個幾何體中找異面直線相應的位置，形成三角形求解
題型2 空間直線、平面的平行
21．已知正方體中，點是線段上靠近的三等分點，點是線段上靠近的三等分點，則平面AEF截正方體形成的截面圖形為（ ）
A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
22．已知為三個不同的平面，為三條不同的直線，若，，，，則下列結論正確的是（ ）
A．與相交 B．與相交 C． D．與相交
23．如圖是一個四棱錐的平面展開圖，其中四邊形為正方形，四個三角形為正三角形，分別是的中點，在此四棱錐中，則（ ）
A．與是異面直線，且平面
B．與是相交直線，且平面
C．與是異面直線，且平面
D．與是相交直線，且平面
24．如圖，已知菱形的邊長為2，且分別為棱中點．將和分別沿折疊，若滿足平面，則線段的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
25．已知四棱錐，平面平面，四邊形是正方形，為中點，則（ ）
A．平面 B．平面
C．平面平面 D．
解決面面平行問題的關鍵點 (1)在解決線面、面面平行的判定時，一般遵循從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應用性質定理時，其順序恰好相反，但也要注意，轉化的方向總是由題目的具體條件而定，絕不可過于“模式化”． (2)解答探索性問題的基本策略是先假設，再嚴格證明，先猜想再證明是學習和研究的重要思想方法．
題型3 空間直線、平面的垂直
26．在三棱錐中，平面，，，，分別為，的中點，則下列結論正確的是（ ）
A．，是異面直線， B．，是相交直線，
C．，是異面直線，與不垂直 D．，是相交直線，與不垂直
27．如圖，點為正方形的中心，△為正三角形，平面⊥平面，是線段的中點，則以下命題中正確的是（ ）．
A． B．
C．A、、三點共線 D．直線與相交
28．如圖，菱形的對角線與交于點，是的中位線，與交于點，已知是繞旋轉過程中的一個圖形﹐且平面.給出下列結論：
①平面；
②平面平面；
③“直線直線”始終不成立.
其中所有正確結論的序號為（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
29．已知直線a，b，c是三條不同的直線，平面α，β，γ是三個不同的平面，下列命題正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，且，則
D．若，且，則
30．下列說法不正確的是（ ）
A．若直線a不平行于平面，，則內不存在與a平行的直線
B．若一個平面內兩條不平行的直線都平行于另一個平面，則
C．設l，m，n為直線，m，n在平面內，則“”是“且”的充分條件
D．若平面平面，平面平面，則平面與平面所成的二面角和平面與平面所成的二面角相等或互補
(1)判定面面垂直的方法 ①面面垂直的定義．②面面垂直的判定定理． (2)面面垂直性質的應用 ①面面垂直的性質定理是把面面垂直轉化為線面垂直的依據，運用時要注意“平面內的直線”．②若兩個相交平面同時垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于第三個平面．
考點三：空間向量與立體幾何
一、空間向量的概念
1．空間向量的有關概念
名稱 定義
空間向量 空間中既有大小又有方向的量
相等的向量 方向相同且大小相等的向量
相反向量 大小相等而方向相反的向量
共線向量 (或平行向量) 兩個非零向量的方向相同或者相反
共面向量 空間中的多個向量，如果表示它們的有向線段通過平移之后，都能在同一個平面內
2.空間向量的有關定理
(1)共線向量定理：如果a≠0且b∥a，則存在唯一實數λ，使得b＝λa.
(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，則向量a，b，c共面的充要條件是存在唯一的實數對(x，y)，使c＝xa＋yb.
(3)空間向量基本定理
如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空間的一組基底．
3．空間向量的數量積及運算律
(1)數量積
非零向量a，b的數量積a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空間向量的坐標表示及其應用
設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量表示 坐標表示
數量積 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
共線 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模 |a|
夾角余弦值 cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝
4.空間位置關系的向量表示
(1)直線的方向向量：如果l是空間中的一條直線，v是空間中的一個非零向量，且表示v的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱向量v為直線l的一個方向向量．
(2)平面的法向量：如果α是空間中的一個平面，n是空間中的一個非零向量，且表示n的有向線段所在的直線與平面α垂直，則稱n為平面α的一個法向量．
(3)空間位置關系的向量表示
位置關系 向量表示
直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2 l1∥l2 n1∥n2 n1＝λn2(λ∈R)
l1⊥l2 n1⊥n2 n1·n2＝0
直線l的方向向量為n，平面α的法向量為m，l α l∥α n⊥m n·m＝0
l⊥α n∥m n＝λm(λ∈R)
平面α，β的法向量分別為n，m α∥β n∥m n＝λm(λ∈R)
α⊥β n⊥m n·m＝0
二、法向量求空間角
1．異面直線所成的角
若異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則cos θ＝|cos〈u，v〉|＝.
2．直線與平面所成的角
如圖，直線AB與平面α相交于點B，設直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝.
3．平面與平面的夾角
如圖，平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角．
若平面α，β的法向量分別是n1和n2，則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的夾角或其補角．設平面α與平面β的夾角為θ，則cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝.
題型1 空間向量
31．如圖所示，在平行六面體中，為與的交點，若，，，則（ ）
A． B．
C． D．
32．已知直線的方向向量是，平面的一個法向量是，則與的位置關系是（ ）
A． B．
C．與相交但不垂直 D．或
33．已知向量，向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
34．已知平行六面體中，，則（ ）
A． B． C． D．
35．如圖，在四面體中，，，.點在上，且，為的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
(1)利用向量法證明平行、垂直關系，關鍵是建立恰當的坐標系(盡可能利用垂直條件，準確寫出相關點的坐標，進而用向量表示涉及到直線、平面的要素)． (2)向量證明的核心是利用向量的數量積或數乘向量，但向量證明仍然離不開立體幾何的有關定理．
題型2 異面直線的夾角
36．在直角梯形中，，，，現將沿著對角線折起，使點D到達點P位置，此時二面角為．

(1)求異面直線，所成角的余弦值；
(2)求點A到平面的距離．
37．如圖所示，設有底面半徑為的圓錐．已知圓錐的側面積為，為中點，．
(1)求圓錐的體積；
(2)求異面直線與所成角．
38．如圖，在正三棱柱與四棱錐組成的組合體中，底面恰好是邊長為2菱形，且．
（1）求證：平面
（2）設E是的中點，求直線與直線所成角的余弦值．
用向量法求異面直線所成的角的一般步驟 (1)建立空間直角坐標系． (2)用坐標表示兩異面直線的方向向量． (3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值． (4)注意兩異面直線所成角的范圍是，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對值．
題型3 直線與平面所成的角
39．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，是側棱的中點，側面為正三角形，側面底面．
(1)求三棱錐的體積；
(2)求與平面所成角的正弦值．
40．如圖甲是由正方形ABCD，等邊和等邊組成的一個平面圖形，其中，將其沿AB，BC，AC折起得三棱錐P-ABC，如圖乙．
(1)求證：平面平面；
(2)過棱AC作平面ACM交棱PB于點M，且三棱錐和的體積比為1∶2，求直線AM與平面PBC所成角的正弦值．
41．如圖，在四棱錐中，平面，底面是正方形，點E在棱PD上，，．
(1)證明：點是的中點；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
利用空間向量求線面角的解題步驟
題型4 平面與平面的夾角
42．如圖，在四棱錐中，底面是菱形且，是邊長為的等邊三角形，，，分別為，，的中點，與交于點．
(1)證明：平面；
(2)若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．
43．在四棱錐中，底面為矩形，點為的中點，且．
(1)求證：．
(2)若，點為棱上一點，平面與平面所成銳二面角的余弦值為，求的值．
44．如圖，已知正三棱柱分別為棱的中點．

(1)求證：平面；
(2)求二面角的正弦值．
利用空間向量計算平面與平面夾角大小的常用方法 (1)找法向量：分別求出兩個平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到平面與平面夾角的大小． (2)找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個半平面內找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，然后通過這兩個向量的夾角可得到平面與平面夾角的大小．

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