資源簡介

重難點11 概率與統計
考點一 計數原理
分類加法和分步乘法計數原理
排列與組合
二項式定理
考點二 概率
隨機事件與概率
2、古典概型
3、概率綜合
考點三 隨機變量及其分布列
1、離散型隨機變量及其分布列、數字特征
2、二項分布和超幾何分布
3、正態分布
考點四 統計模型
1、隨機抽樣、統計圖表
2、一元線性回歸模型
3、列聯表與獨立性檢驗
考點一：計數原理
基本計數原理
基本計數原理
(1)分類加法計數原理：完成一件事，如果有n類辦法，且：第一類辦法中有m1種不同的方法，第二類辦法中有m2種不同的方法……第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．
(2)分步乘法計數原理：完成一件事，如果需要分成n個步驟，且：做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．
排列與組合
1．排列與組合的概念
名稱 定義
排列 從n個不同對象中取出m(m≤n)個對象 按照一定的順序排成一列
組合 作為一組
2.排列數與組合數
(1)排列數：從n個不同對象中取出m(m≤n)個對象的所有排列的個數．
(2)組合數：從n個不同對象中取出m(m≤n)個對象的所有組合的個數．
3．排列數、組合數的公式及性質
公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(n，m∈N*，且m≤n)． (2)C＝＝(n，m∈N*，且m≤n)．特別地，C＝1
性質 (1)0！＝1；A＝n！. (2)C＝C；C＝C＋C
二項式定理
1．二項式定理
二項式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)
二項展開式的通項 Tk＋1＝Can－kbk，它表示展開式的第k＋1項
二項式系數 C(k＝0,1，…，n)
2.二項式系數的性質
(1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等．
(2)增減性與最大值：當n是偶數時，中間的一項取得最大值；當n是奇數時，中間的兩項與相等，且同時取得最大值．
(3)各二項式系數的和：(a＋b)n的展開式的各二項式系數的和為C＋C＋C＋…＋C＝2n.
題型1 基本計數原理
1．（22-23高二下·天津·期末）從1，2，3，4，5五個數字中，選出一個偶數和兩個奇數，組成一個沒有重復數字的三位數，這樣的三位數共有（ ）
A．24個 B．36個 C．48個 D．54個
【答案】B
【分析】先選后排，計算出結果.
【詳解】先從2個偶數中選出1個，再從3個奇數中選出2個，先選后排，共有（個）.
故選：B.
2．（2023·天津和平·三模）①一組數據的第三四分位數為8；
②若隨機變量，且，則；
③具有線性相關關系的變量，其線性回歸方程為，若樣本的中心，則；
④如圖，現要用5種不同的顏色對某市的4個區縣地圖進行著色，要求有公共邊的兩個地區不能用同一種顏色，共有180種不同的著色方法.
以上說法正確的個數為（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】將數據從小到大排列，再根據百分位數的計算規則計算①，根據正態分布的性質判斷②，根據回歸直線必過樣本中心點判斷③，按照分步乘法計數原理判斷④.
【詳解】對于①：將數據從小到大排列為、、、、、、、、、，
所以，則第三四分位數為，故①錯誤；
對于②：因為，且，
所以，所以，故②正確；
對于③：因為線性回歸方程為，且樣本的中心，
所以，解得，故③正確；
對于④：首先涂I有種，第二步涂II有種，第三步涂III有種，第四步涂IV有種，
按照分步乘法計數原理可得一共有種涂色方法，故④正確；
故選：C
3．（2023·天津·一模）甲、乙、丙、丁、戊五只猴子在一棵枯樹上玩耍，假設它們均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，；（2）乙在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，；（3）丙在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，；（4）丁在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，；（5）戊在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，，則下列結論正確的是（ ）
A．最高處的樹枝定是 B．最低處的樹枝一定是
C．九根樹枝從高到低不同的順序共有種 D．九根樹枝從高到低不同的順序共有種
【答案】C
【分析】
由題判斷出部分樹枝由高到低的順序為，還剩下，，，且樹枝比高，樹枝在樹枝，之間，樹枝比低，根據的位置不同分類討論，求得這九根樹枝從高到低不同的順序共33種.
【詳解】由題判斷出部分樹枝由高到低的順序為，
還剩下，，，且樹枝比高，樹枝在樹枝，之間，樹枝比低，
最高可能為G或I，最低為F或H，故A 、B錯誤；
先看樹枝，有4種可能，若在，之間，
則有3種可能：
①在，之間，有5種可能；
②在，之間，有4種可能；
③在，之間，有3種可能，
此時樹枝的高低順序有（種）.
若不在，之間，則有3種可能，有2種可能，
若在，之間，則有4種可能，
若在，之間，則有3種可能，
此時樹枝的高低順序有（種）可能，
故這九根樹枝從高到低不同的順序共有種，故C項正確.
故選：C.
4．（2020·天津南開·二模）某學校食堂為了進一步加強學校疫情防控工作，降低學生因用餐而交叉感染的概率，規定：就餐時，每張餐桌（如圖）至多坐兩個人，一張餐桌坐兩個人時，兩人既不能相鄰，也不能相對（即二人只能坐在對角線的位置上）.現有3位同學到食堂就餐，如果3人在1號和2號兩張餐桌上就餐（同一張餐桌的4個座位是沒有區別的），則不同的坐法種數為（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
【答案】B
【分析】根據分類計數原理即可求出.
【詳解】若在2人在1號餐桌，1人在2號餐桌，則有種；
若在1人在1號餐桌，2人在2號餐桌，則有種，
則共有不同的坐法6+6＝12種.
故選：B.
【點睛】本題考查了計數原理中的分類原理，屬于簡單題.
5．（23-24高三上·天津·期末）從4名女生、6名男生中，按性別采用分層抽樣的方法抽取5名學生組成課外小組，則不同的抽取方法種數為（ ）
A．1440 B．120 C．60 D．24
【答案】B
【分析】先根據分層抽樣的特點確定抽取的男女人數，利用組合數公式可得答案.
【詳解】從4名女生、6名男生中，按性別采用分層抽樣的方法抽取5名學生，
所以抽取的女生人數為2，男生人數為3，共有抽取方法為：.
故選：B
利用分步乘法計數原理解題的策略 (1)明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個步驟，且每步都是獨立的． (2)將這件事劃分成幾個步驟來完成，各步驟之間有一定的連續性，只有當所有步驟都完成了，整個事件才算完成．
題型2 排列與組合
6．（20-21高二下·天津濱海新·期末）某高中期中考試需要考查九個學科（語文、數學、英語、生物、物理、化學、政治、歷史、地理），已知語文考試必須安排在首場，且物理考試與英語考試不能相鄰，則這九個學科不同的考試順序共有（ ）種
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題意利用分步乘法原理，不相鄰問題運用插空法，可求出這九個學科不同的考試順序的種數.
【詳解】解：語文考試必須安排在首場，方法，除了物理、英語外，還有6科，這6科任意排，方法種，
這6科中間有7個空，從這7個空中，插入物理、英語這2科，方法有種，
則這九個學科不同的考試順序共有種，
故選：C.
7．（20-21高三上·天津濱海新·階段練習）第十四屆全國運動會將于2021年在陜西舉辦，為宣傳地方特色，某電視臺拍攝宣傳片五組進行制作編輯，其中包括有美食宣傳片 地方風光宣傳片各兩個，運動場地宣傳片一個，所有短片時長彼此不同，現將五組短片編輯在一起，相同題材不相鄰，不同的排法共有（ ）
A．24種 B．48種 C．72種 D．120種
【答案】B
【分析】通過正難則反的思路分析有相鄰時的排法數，利用捆綁法和插空法計數，進而得解.
【詳解】五組短片的全部排法有：種，
兩個美食宣傳片相鄰，兩個地方風光宣傳片不相鄰的排法有：種，
兩個地方風光宣傳片相鄰，兩個美食宣傳片不相鄰的排法有：種，
兩個美食宣傳片和兩個地方風光宣傳片均相鄰的排法有：種，
所以相同題材不相鄰，不同的排法共有種.
故選：B.
【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵是利用正難則反的思想求解，相鄰問題用捆綁，不相鄰問題用插空.
8．（2020·天津河西·二模）用數字0，1，2，3，4組成沒有重復數字且至少有兩個數字是偶數的四位數，則這樣的四位數的個數為
A．64 B．72 C．96 D．144
【答案】C
【分析】由題意把四位數分為含有3個偶數與2個偶數兩類,每一類要考慮特殊元素0的安排情況,利用排列組合的應用可分別求出每類四位數的個數,相加即可.
【詳解】根據題意,數字0，1, 2, 3, 4中有2個奇數,3個偶數.
若組成的四位數要求至少有兩個數字是偶數,則四位數中含有2個或3個偶數,分2種情況討論:
①四位數中含有3個偶數，1個奇數，因為0不能在首位,有3種情況,選取一個奇數有種，與另兩個偶數安排在其他三個位置，有種情況，
則有個符合條件的四位數;
②四位數中含有2個偶數,2個奇數;若偶數中有0,在2、4中選出1個偶數,有種取法,其中0不能在首位,有3種情況，將其他3個數全排列,
安排在其他三個位置,有種情況,則有個符合條件的四位數；若偶數中沒有0,將其他4個數全排列,有個符合條件的四位數；
則一共有36+36+24=96個符合條件的四位數.
故選：C
【點睛】本題主要考查分類計數原理及排列組合的運用，注意優先考慮特殊元素的安排情況，屬于中檔題.
9．（2008·天津·高考真題）有8張卡片分別標有數字1，2，3，4，5，6，7，8，從中取出6張卡片排成3行2列，要求3行中僅有中間行的兩張卡片上的數字之和為5，則不同的排法共有
A．1344種 B．1248種 C．1056種 D．960種
【答案】B
【詳解】首先確定中間行的數字只能為1，4或2，3，共有種排法.然后確定其余4個數字的排法數.用總數去掉不合題意的情況數：中間行數字和為5，還有一行數字和為5，有4種排法，余下兩個數字有種排法.所以此時余下的這4個數字共有種方法．由乘法原理可知共有種不同的排法，選B．
10．（2020·天津寧河·二模）我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“一一”，如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接根據古典概型的概率計算公式求解即可．
【詳解】解：由題，隨機取一重卦有種取法，其中恰有3個陽爻有種取法，
則該重卦恰有3個陽爻的概率，
故選：A．
【點睛】本題主要考查古典概型的概率計算公式，考查排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．
組合問題常有以下兩類題型 (1)“含有”或“不含有”問題：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取． (2)“至少”或“最多”問題：用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法，分類復雜時，考慮逆向思維，用間接法處理．
題型3 數列的性質
11．（23-24高三下·天津·階段練習）多項式展開式中的系數為（ ）
A．985 B．750 C．940 D．680
【答案】A
【分析】由二項式定理即可列式運算，進而即可得解.
【詳解】多項式展開式中的系數為.
故選：A.
12．（23-24高三上·天津濱海新·階段練習）若的展開式的二項式系數之和為，則的展開式中的系數為（ ）
A．8 B．28 C．56 D．70
【答案】C
【分析】根據二項式系數和求得，根據二項式展開式的通項公式求得正確答案.
【詳解】的展開式的二項式系數之和，
則展開式的通項公式為：
，
令，
所以的系數為.
故選：C
13．（23-24高三上·天津河東·階段練習）在的展開式中，若第2項系數為，則a值為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】直接根據二項式定理列出關于的方程解出即可得結果.
【詳解】的展開式中，第二項系數為，
解得，
故選：D.
14．（2021·天津靜海·三模）已知的二項展開式的奇數項二項式系數和為，若，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據奇數項二項式系數和公式求出，再利用展開式求.
【詳解】的二項展開式的奇數項二項式系數和為64，
，即；
則的通項公式為，
令，則，所以.
故選：B
15．（2020·天津·模擬預測）在的二項展開式中，的系數為（ ）
A． B．10 C． D．5
【答案】A
【分析】求出二項式展開式的通項，即可求出的系數.
【詳解】的二項展開式的通項為，
令，解得，
故的系數為.
故選：A.
(1)求二項展開式中的特定項，一般是化簡通項后，令字母的指數符合要求(求常數項時，指數為零；求有理項時，指數為整數等)，解出項數k＋1，代回通項即可． (2)對于幾個多項式積的展開式中的特定項問題，一般可以根據因式連乘的規律，結合組合思想求解，但要注意適當地運用分類方法，以免重復或遺漏．
考點二：概率
隨機事件與概率
1．樣本空間和隨機事件
(1)樣本點和樣本空間
樣本點：隨機試驗中每一種可能出現的結果稱為樣本點．
樣本空間：由所有樣本點組成的集合稱為樣本空間，常用Ω表示．
(2)隨機事件
一般地，如果隨機試驗的樣本空間為Ω，則隨機事件A是Ω的一個非空真子集，而且若試驗的結果是A中的元素，則稱A發生，否則，稱A不發生．
2．兩個事件的關系和運算
含義 符號表示
包含關系 A發生導致B發生 A B
相等關系 B A且A B A＝B
并事件(和事件) A與B至少一個發生 A∪B或A＋B
交事件(積事件) A與B同時發生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A與B不能同時發生 A∩B＝
互為對立 A與B有且僅有一個發生 A∩B＝ ，A∪B＝Ω
3.古典概型的特征
(1)有限性：樣本空間所包含的樣本點個數是有限的；
(2)等可能性：每個基本事件發生的可能性大小都相等．
4．古典概型的概率公式
假設樣本空間含有n個樣本點，如果事件C包含m個樣本點，則由互斥事件的概率加法公式可知P(C)＝．
其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數．
5．概率的性質
性質1：對任意的事件A，都有P(A)≥0；
性質2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P( )＝0；
性質3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；
性質4：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；
性質5：如果A B，那么P(A)≤P(B)，由該性質可得，對于任意事件A，因為 A Ω，所以0≤P(A)≤1；
性質6：設A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)．
6．頻率與概率
(1)頻率的穩定性
一般地，如果在n次重復進行的試驗中，一個事件發生的頻率會很接近于這個事件發生的概率，而且，試驗的次數越多，頻率與概率之間差距很小的可能性越大．
(2)頻率穩定性的作用：可以用頻率fn(A)估計概率P(A)．
事件的獨立性和條件概率、全概率公式
1．相互獨立事件
(1)概念：如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立．
(2)性質：若事件A與B相互獨立，那么A與，與B，與也都相互獨立．
2．條件概率
(1)概念：一般地，當事件B發生的概率大于0(即P(B)>0)時，已知事件B發生的條件下事件A發生的概率，稱為條件概率，記作P(A|B)，而且P(A|B) ＝.
(2)兩個公式
①利用古典概型：P(B|A)＝；
②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)．
3．全概率公式
一般地，如果樣本空間為Ω，A，B為事件，則BA與B是互斥的，且B＝BΩ＝B(A＋)＝BA＋B，從而P(B)＝P(BA＋B)＝P(BA)＋P(B)，當P(A)>0且P()>0時，有P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)．
常用結論
1．如果事件A1，A2，…，An相互獨立，那么這n個事件同時發生的概率等于每個事件發生的概率的積，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
2．貝葉斯公式：設A，是一組對立事件，A＋＝Ω，0＜P(A)＜1，則對任意事件B Ω，P(B)＞0，有P(A|B)＝＝
題型1 隨機事件與概率
16．（23-24高三上·天津·期末）已知某公路上經過的貨車與客車的數量之比為，貨車和客車中途停車修理的概率分別為和，則一輛汽車中途停車修理的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用條件概率公式結合互斥事件即可求解.
【詳解】事件表示一輛汽車中途停車修理，
事件表示該汽車是貨車，
事件表示該汽車是客車，
則，，
，，
則
.
故選：C
17．（2023·天津·一模）某滑冰館統計了某小區居民在該滑冰館一個月的鍛煉天數，得到如圖所示的頻率分布直方圖（將頻率視為概率），則下列說法正確的是（ ）
A．該小區居民在該滑冰館的鍛煉天數在區間內的最少
B．估計該小區居民在該滑冰館的鍛煉天數超過15天的概率為0.465
C．估計該小區居民在該滑冰館的鍛煉天數的中位數為16
D．估計小區居民在該滑冰館的鍛煉天數的平均值為15
【答案】B
【分析】根據直方圖寫出對應該滑冰館的鍛煉天數區間的頻率，再結合各選項的描述及中位數、平均數的求法判斷正誤．
【詳解】由圖知：、、、、、的頻率分別為、、、、、，
對于A：內的天數最少，故A錯誤；
對于B：估計鍛煉天數超過15天的概率為，故B正確；
對于C：由、、頻率和為，設中位數為x，
則，可得，故C錯誤；
對于D：平均天數為天，故D錯誤；
故選：B．
18．（22-23高三上·天津紅橋·期中）甲、乙二人的投籃命中率分別為0.9、0.8，若他們二人每人投籃一次，則至少一人命中的概率為（ ）
A．0.72 B．0.27 C．0.26 D．0.98
【答案】D
【分析】“至少一人命中”可分為三種情況：甲、乙都中、甲中乙不中、甲不中乙中，結合二人投籃相互獨立，計算即得解.
【詳解】由題意“至少一人命中”可分為三種情況：甲、乙都中、甲中乙不中、甲不中乙中，
記“至少一人命中”為事件，由甲、乙二人投籃相互獨立，
則.
故選：D
19．（20-21高三上·天津濱海新·階段練習）從5雙不同的襪子中取4只，使至少有2只襪子配成一雙的可能取法種數為（ ）
A．20 B．30 C．130 D．140
【答案】C
【分析】由對立事件A為“4只沒有可配對的襪子”的取法種數，總取法，即可知至少有2只襪子配成一雙的可能取法種數，即可知正確選項.
【詳解】“4只至少有2只襪子配成一雙”的對立事件A為“4只沒有可配對的襪子”，
∴A的取法數為種，而總取法有種，
∴“4只至少有2只襪子配成一雙” 可能取法種數為種.
故選：C
20．（20-21高三上·天津南開·開學考試）兩人獨立地破譯一個密碼，他們能譯出的概率分別為、，則密碼被譯出的概率為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用獨立事件的概率乘法公式計算出兩人都破譯不出密碼的概率，再利用對立事件的概率公式可求得所求事件的概率.
【詳解】由題意可知，兩人都破譯不出密碼的概率為，
因此，密碼被譯出的概率為.
故選：B.
【點睛】本題考查利用獨立事件的概率乘法公式和對立事件的概率公式求事件的概率，考查計算能力，屬于基礎題.
求解古典概型的綜合問題的步驟 (1)將題目條件中的相關知識轉化為事件； (2)判斷事件是否為古典概型； (3)選用合適的方法確定樣本點個數； (4)代入古典概型的概率公式求解．
題型2 古典概型
21．（22-23高三上·天津河北·期末）將三顆骰子各擲一次，記事件“三個點數都不同”，“至少出現一個點”，則條件概率，分別等于（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】由古典概型概率公式分別求得，代入條件概率公式求解即可.
【詳解】由題意知：事件“三個點數都不同且至少出現一個點”，
，，，
，.
故選：B.
22．（2022·天津紅橋·一模）已知盒中裝有大小、質量完全相同的2個黑球，3個紅球，現從盒中隨機抽取2個球，則取出的兩個球顏色相同的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】結合古典概型的概率計算公式以及組合數的計算公式，計算出所求的概率.
【詳解】依題意，取出的兩個球顏色相同的概率為.
故選：D
23．（2016高三·天津紅橋·學業考試）將一枚硬幣先后拋擲兩次，恰好出現一次正面的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用古典概型的概率求解.
【詳解】解：將一枚硬幣先后拋擲兩次的基本事件有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共4種，
恰好出現一次正面的基本事件有（正，反），（反，正），共2種，
所以恰好出現一次正面的概率是，
故選：B
24．（2016高三·天津紅橋·學業考試）從甲、乙、丙、丁四名同學中選2人參加普法知識競賽，則甲被選中的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用古典概型的概率求解.
【詳解】解：從甲、乙、丙、丁四名同學中選2人的基本事件有（甲、乙），（甲、丙），（甲、丁），（乙、丙），（乙、丁），（丙、丁），共6種，
甲被選中的基本事件有（甲、乙），（甲、丙），（甲、丁），共3種，
所以甲被選中的概率為，
故選：D
25．（19-20高三上·天津紅橋·期末）袋中共有個球，其中有個紅球、個黃球和個綠球，這些球除顏色外完全相同，若從袋中一次隨機抽出個球，則取出的個球顏色相同的概率為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分別求出抽中兩個紅球、黃球、綠球的概率，然后利用加法原理即可求出答案
【詳解】抽中兩個紅球的概率為：
抽中兩個黃球的概率為：
抽中兩個綠球的概率為：
取出的個球顏色相同的概率為：
故選C
求條件概率的常用方法 (1)定義法：P(B|A)＝. (2)樣本點法：P(B|A)＝.
題型2 概率綜合
26．（19-20高三上·天津寧河·階段練習）某單位名員工參加“社區低碳你我他”活動，他們的年齡在25歲至50歲之間，按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布圖如圖所示，下表是年齡的頻率分布表.
區間
人數 20
(1)補全表格中的數據（不需要寫過程）；
(2)現要從年齡較小的第組中用分層抽樣的方法抽取6人，求從第組分別抽取的人數；
(3)在（2）的條件下，從這6人中再隨機抽取2人參加社區宣傳交流活動，求2人不在同一年齡組的概率.
【詳解】（1）解：由頻率分步直方圖可知，，兩組的人數與組的人數相等，均為人，
第3組的人數是第一組人數的4倍，為人，
第4組的人數是第一組人數的3倍，為人
所以，表格中的數據為：第2組的人數為20人，第3組的人數為80人，第4組的人數為60人，第5組的人數為20人.
（2）解：由頻率分布表和頻率分布直方圖知：
第1組的頻率為，
第2組的頻率為，
第3組的頻率為，
第組的人數比為，
要從年齡較小的第組中用分層抽樣的方法抽取6人，
所以，年齡第組人數分別是1人，1人，4人.
（3）解：用分別表示從第組抽取的人，其中表示第3組抽取的人，從這6人中隨機抽取2人
參加社區宣傳交流活動，結果有，，基本事件總數共15種，
2人不在同一組的結果有，共9種，
所以，所求事件的概率為
27．（2024·福建三明·三模）某校開設勞動教育課程，為了有效推動課程實施，學校開展勞動課程知識問答競賽，現有家政、園藝、民族工藝三類問題海量題庫，其中家政類占，園藝類占，民族工藝類占.根據以往答題經驗，選手甲答對家政類、園藝類、民族工藝類題目的概率分別為，選手乙答對這三類題目的概率均為
(1)求隨機任選1題，甲答對的概率；
(2)現進行甲、乙雙人對抗賽，規則如下：兩位選手進行三輪答題比賽，每輪只出1道題目，比賽時兩位選手同時回答這道題，若一人答對且另一人答錯，則答對者得1分，答錯者得分，若兩人都答對或都答錯，則兩人均得0分，累計得分為正者將獲得獎品，且兩位選手答對與否互不影響，每次答題的結果也互不影響，求甲獲得獎品的概率.
【詳解】（1）記隨機任選1題為家政、園藝、民族工藝試題分別為事件,
記隨機任選1題，甲答對為事件B，
則，
則
；
（2）設乙答對記為事件C，則
，
設每一輪比賽中甲得分為X，
則，
，
，
三輪比賽后，設甲總得分為Y，
則，，
，
所以甲最終獲得獎品的概率為.
28．（2024·四川成都·三模）某手機生產廠商要生產一款5G手機，在生產之前，該公司對手機屏幕的需求尺寸進行社會調查，共調查了400人，將這400人按對手機屏幕的需求尺寸分為6組，分別是：，，，，，（單位：英寸），得到如下頻率分布直方圖：其中，屏幕需求尺寸在的一組人數為50人.

(1)求和的值；
(2)用分層抽樣的方法在屏幕需求尺寸為和兩組人中抽取6人參加座談，并在6人中選擇2人做代表發言，則這2人來自同一分組的概率是多少？
【詳解】（1）因為屏幕需求尺寸在的一組人數為50人，
所以其頻率為.又因為組距為0.5，所以.
又因為，所以，
即，.
（2）因為屏幕需求尺寸為人數為：，
屏幕需求尺寸為人數為，
若要用分層抽樣的方法抽取6人
所以要在組中抽2人，設為，；
要在組中抽4人，設，，，，
因此樣本空間
，，，，，，
，，，，共15個基本事件，
而這2人來自同一分組為事件，
，共7個基本事件，
所以這2人來自同一分組的概率.
考點三：隨機變量及其分布列
離散型隨機變量及其分布列、數字特征
1．離散型隨機變量
一般地，如果隨機試驗的樣本空間為Ω，而且對于Ω中的每一個樣本點，變量X都對應有唯一確定的實數值，就稱X為一個隨機變量．其所有可能的取值都是可以一一列舉的隨機變量稱為離散型隨機變量．
2．離散型隨機變量的分布列
一般地，當離散型隨機變量X的取值范圍是{x1，x2，…，xn}時，如果對任意k∈{1,2，…，n}，概率P(X＝xk)＝pk都是已知的，則稱X的概率分布是已知的．離散型隨機變量X的概率分布也可以用如下形式的表格表示，
X x1 x2 … xk … xn
P p1 p2 … pk … pn
此表稱為X的概率分布或分布列．
3．離散型隨機變量的分布列的性質
①pk≥0(k＝1,2，…，n)；
②k＝p1＋p2＋…＋pn＝1.
4．離散型隨機變量的均值與方差
一般地，若離散型隨機變量X的分布列為
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
(1)均值
則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ipi為隨機變量X的均值或數學期望，數學期望簡稱期望．它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．
(2)方差
稱D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝xi－E(X)]2pi為隨機變量X的方差，并稱為隨機變量X的標準差，它們都可以度量隨機變量取值與其均值的偏離程度．
5．均值與方差的性質
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為常數)．
二項分布、超幾何分布和正態分布
1.n次獨立重復試驗與二項分布
(1)n次獨立重復試驗
在相同條件下重復n次伯努利試驗，約定這n次試驗是相互獨立的，此時這n次伯努利試驗也常稱為n次獨立重復試驗.
(2)二項分布
一般地，如果一次伯努利試驗中，出現“成功”的概率為p，記q＝1－p，且n次獨立重復試驗中出現“成功”的次數為X，則X的取值范圍是{0,1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝Cpkqn－k(k＝0,1,2，…，n)，因此X的分布列如下表所示：
X 0 1 … k … n
P Cp0qn Cp1qn－1 … Cpkqn－k … Cpnq0
由于表中的第二行中的概率值恰好是二項展開式(q＋p)n＝Cp0qn＋Cp1qn－1＋…＋Cpkqn－k＋…＋Cpnq0中對應項的值，因此稱X服從參數為n，p的二項分布，記作X～B(n，p).
(3)兩點分布與二項分布的均值、方差
①若隨機變量X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
②若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
2.超幾何分布
一般地，假設一批產品共有N件，其中有M件次品.從N件產品中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產品中的次品數，則X的分布列為P(X＝k)＝，k＝t，t＋1，t＋2，…，s，其中，n，N，M∈N＋，M≤N，n≤N，t＝max{0，n－N＋M}，s＝min{n，M}，如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布.
3.正態分布
(1)定義
一般地，如果隨機變量X落在區間[a，b]內的概率，總是等于φμ，σ(x)對應的正態曲線與x軸在區間[a，b]內圍成的面積，則稱X服從參數為μ與σ的正態分布.
(2)正態曲線的特點
①曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱；
②曲線在x＝μ處達到峰值；
③當|x|無限增大時，曲線無限接近x軸.
(3)3σ原則
P(|X－μ|≤σ)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%，
P(|X－μ|≤2σ)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%，
P(|X－μ|≤3σ)＝P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%.
(4)正態分布的均值與方差
若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
題型1 離散型隨機變量及其分布列、數字特征
1．（2024·天津·一模）下列說法正確的是（ ）
A．一組數據的第80百分位數為17；
B．根據分類變量與的成對樣本數據，計算得到，根據小概率值的獨立性檢驗，可判斷與有關聯，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05；
C．兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數的絕對值越接近于0；
D．若隨機變量滿足，則．
【答案】B
【分析】A選項，由百分位數的定義得到答案；B選項，，得到結論；C選項，由相關系數的性質得到C錯誤；D選項，由方差的性質得到D錯誤.
【詳解】A選項，，故從小到大排列，第8個數和第9個數的平均數作為第80百分位數，
即，A錯誤；
B選項，由于，得到與有關聯，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05，B正確；
C選項，兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數的絕對值越接近于1，C錯誤；
D選項，若隨機變量滿足，則，D錯誤.
故選：B
2．（2024·天津南開·一模）已知隨機變量，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據正態分布的性質可得，即可根據二項分布的期望公式求解.
【詳解】由以及可得，
由于，故，，
故選：D
3．（23-24高三上·天津武清·階段練習）有兩個隨機變量和，它們的分布列分別如下表：
1 2 3 4 5
0.03 0.3 0.5 0.16 0.01
1 2 3 4 5
0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
則關于它們的期望，和它們的方差和，下列關系正確的是（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
【答案】A
【分析】根據方差和期望的公式即可求解.
【詳解】,
,
所以且，
故選：A
4．（2023·天津·一模）下列命題錯誤的是（ ）
A．兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數的絕對值越接近于
B．設，且，則
C．線性回歸直線一定經過樣本點的中心
D．隨機變量，若，則
【答案】B
【分析】利用相關關系判斷A；由正態分布的性質判斷B；由線性回歸直線的性質判斷C；由隨機變量條件建立方程組解出即可判斷D.
【詳解】根據相關系數的意義可知，兩個隨機變量的線性相關性越強，
相關系數的絕對值越接近于，
故A正確；
由，知，
即概率密度函數的圖像關于直線對稱，
所以，
則，
故B錯誤；
根據線性回歸直線的性質可知，
線性回歸直線一定經過樣本點的中心，
故C正確；
隨機變量，若，
則，
故D正確；
故選：B.
5．（21-22高三上·天津紅橋·期末）一名學生申請加入學校的個社團，假設各個社團通過這名學生的申請是相互獨立的，并且概率都是，設是這名學生申請被通過的次數，則隨機變量的期望為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由題意服從二項分布，由二項分布的期望公式可得解
【詳解】由題意，服從二項分布，即
由二項分布的期望公式可得：
故選：D
求離散型隨機變量ξ的均值與方差的步驟 (1)理解ξ的意義，寫出ξ的所有可能取值． (2)求ξ取每個值的概率． (3)寫出ξ的分布列． (4)由均值、方差的定義求E(ξ)，D(ξ)．
題型2 二項分布、超幾何分布
6．（2021·天津寶坻·模擬預測）冠狀病毒是一個大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征(MERS)和嚴重急性呼吸綜合征(SARS)等較嚴重疾病，而新型冠狀病毒(nCoV)是以前從未在人體中發現的冠狀病毒新毒株人，感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀，發熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等在較嚴重病例中，感染可導致肺炎，嚴重急性呼吸綜合征，腎衰竭，甚至死亡．假如某醫藥研究機構合成了甲、乙兩種抗“新冠病毒”的藥物．經試驗，服用甲、乙兩種藥物痊愈的概率分別為，現已進入藥物臨床試用階段．每個試用組由4位該病毒的感染者組成．其中2人試用甲種抗病毒藥物，2人試用乙種抗病毒藥物．如果試用組中，甲種抗病毒藥物治愈人數超過乙種抗病毒藥物的治愈人數，則稱該組為“甲類組”．
（1））求一個試用組為“甲類組”的概率；
（2）觀察3個試用組，用表示這3個試用機組“甲類組”的個數，求的分布列和數學期望．
【詳解】解（1）設表示事件“一個試驗組中，服用甲種抗病毒藥物有效的人數人”，，
表示事件“一個試驗組中，服乙有效的人有人”，
依題意有
所求的概率為
（2）的可能值為，且
，
，
，
，
的分布列為
0 1 2 3
數學期望．
7．（22-23高三上·陜西渭南·階段練習）甲 乙兩班進行消防安全知識競賽，每班出3人組成甲乙兩支代表隊，首輪比賽每人一道必答題，答對則為本隊得1分，答錯或不答都得0分，已知甲隊3人每人答對的概率分別為，乙隊每人答對的概率都是，設每人回答正確與否相互之間沒有影響，用X表示甲隊總得分.
(1)求的概率；
(2)求甲隊和乙隊得分之和為4的的概率.
【詳解】（1），則甲隊有兩人答對，一人答錯，
故.
（2）設甲隊和乙隊得分之和為4為事件A，設乙隊得分為Y，則.
，
，
，，
，
∴
.
8．（20-21高三上·天津和平·階段練習）隨著馬拉松運動在全國各地逐漸興起，參與馬拉松訓練與比賽的人數逐年增加.為此，某市對參加馬拉松運動的情況進行了統計調查，其中一項是調查人員從參與馬拉松運動的人中隨機抽取100人，對其每月參與馬拉松運動訓練的天數進行統計，得到以下統計表：
平均每月進行訓練的天數
人數 10 60 30
（1）以這100人平均每月進行訓練的天數位于各區間的頻率代替該市參與馬拉松訓練的人平均每月進行訓練的天數位于該區間的概率，從該市所有參與馬拉松訓練的人中隨機抽取4個人，求恰好有2個人是“平均每月進行訓練的天數不少于20天”的概率；
（2）依據統計表，用分層抽樣的方法從這100個人中抽取20個，再從抽取的20個人中隨機抽取4個，表示抽取的是“平均每月進行訓練的天數不少于20天”的人數，求的分布列及數學期望.
【詳解】（1）隨機抽取1人，平均每月進行訓練的天數不少于20天的概率為，
設隨機抽取4個人，“平均每月進行訓練的天數不少于20天”的人數為，則，
∴.
（2）從這100個人中抽取20個人中，“平均每月進行訓練的天數不少于20天”的人數為人，
隨機變量的所有可能取值為0，1，2，3，4，
，，，
，，
∴的分布列為
0 1 2 3 4
數學期望.
【點睛】本題考查二項分布、超幾何分布、離散型隨機變量的分布列和數學期望，考查學生對數據的分析與處理能力，屬于中檔題.
9．（2020·天津·一模）近年來，隨著全球石油資源緊張、大氣污染日益嚴重和電池技術的提高，電動汽車已被世界公認為21世紀汽車工業改造和發展的主要方向.為了降低對大氣的污染和能源的消耗，某品牌汽車制造商研發了兩款電動汽車車型和車型，并在黃金周期間同時投放市場.為了了解這兩款車型在黃金周的銷售情況，制造商隨機調查了5家汽車店的銷量（單位：臺），得到下表：
店 甲 乙 丙 丁 戊
車型 6 6 13 8 11
車型 12 9 13 6 4
（1）若從甲、乙兩家店銷售出的電動汽車中分別各自隨機抽取1臺電動汽車作滿意度調查，求抽取的2臺電動汽車中至少有1臺是車型的概率；
（2）現從這5家汽車店中任選3家舉行促銷活動，用表示其中車型銷量超過車型銷量的店的個數，求隨機變量的分布列和數學期望.
【詳解】（1）解：設“從甲店隨機抽取的1臺電動汽車是車型”為事件，
“從乙店，隨機抽取的1臺電動汽車是車型”為事件，
依題意，，，且事件、相互獨立，
設“抽取的2臺電動汽車中至少有1臺是車型”為事件，
則.
（2）解：由表可知，車型銷量超過車型銷量的店有2家，
故的所有可能取值為：0，1，2，
且，
，
，
所以隨機變量的分布列為：
0 1 2
所以.
【點睛】本題考查古典概型、對立事件的概率、獨立事件的概率、超幾何分布、離散型隨機變量的分布列和數學期望等知識點，考查學生靈活運用知識的能力和運算能力．
(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數．超幾何分布的特征是：①考察對象分兩類；②已知各類對象的個數；③從中抽取若干個個體，考查某類個體數X的分布列． (2)超幾何分布主要用于抽檢產品、摸不同類別的小球等概率模型，其本質是古典概型．
題型3 正態分布
10．（2024·福建福州·模擬預測）甲企業生產線上生產的零件尺寸的誤差服從正態分布，規定的零件為優等品，的零件為合格品．
(1)從該生產線上隨機抽取100個零件，估計抽到合格品但非優等品的個數（精確到整數）；
(2)乙企業擬向甲企業購買這批零件，先對該批零件進行質量抽檢，檢測的方案是：從這批零件中任取2個作檢測，若這2個零件都是優等品，則通過檢測；若這2個零件中恰有1個為優等品，1個為合格品但非優等品，則再從這批零件中任取1個作檢測，若為優等品，則通過檢測；其余情況都不通過檢測．求這批零件通過檢測時，檢測了2個零件的概率（精確到0.01）．
（附：若隨機變量，則，，）
【詳解】（1）依題意得，，，
所以零件為合格品的概率為，
零件為優等品的概率為，
所以零件為合格品但非優等品的概率為，
所以從該生產線上隨機抽取100個零件，
估計抽到合格品但非優等品的個數為．
（2）設從這批零件中任取2個作檢測，2個零件中有2個優等品為事件，恰有1個優等品，1個為合格品但非優等品為事件，從這批零件中任取1個檢測是優等品為事件，這批產品通過檢測為事件，
則，且與互斥，
所以
，
所以這批零件通過檢測時，
檢測了2個零件的概率為．
答：這批零件通過檢測時，檢測了2個零件的概率約為0.61．
11．（2024·湖南岳陽·三模）某地區舉行專業技能考試，共有8000人參加，分為初試和復試，初試通過后，才能參加復試.為了解考生的考試情況，隨機抽取了100名考生的初試成績，并以此為樣本，繪制了樣本頻率分布直方圖，如圖所示.
(1)若所有考生的初試成績近似服從正態分布，其中為樣本平均數的估計值，，試利用正態分布估計所有考生中初試成績不低于85分的人數；
(2)復試共四道題，前兩道題考生每題答對得5分，答錯得0分，后兩道題考生每題答對得10分，答錯得0分，四道題的總得分為考生的復試成績.已知某考生進入復試，他在復試中，前兩題每題能答對的概率均為，后兩題每題能答對的概率均為，且每道題回答正確與否互不影響.規定復試成績上了20分（含20分）的考生能進入面試，請問該考生進入面試的概率有多大
附：若隨機變量X服從正態分布，則：，.
【詳解】（1）由題意得，樣本平均數的估計值為
，
因為學生初試成績服從正態分布，其中則，
所以，
所以估計初試成績不低于85分的人數為人.
（2）記該考生的復試成績為，則能進入面試的復試成績為20分，25分，30分，
，
，
，
所以該考生進入面試的概率為.
解決正態分布問題的三個關鍵點 (1)對稱軸為x＝μ. (2)標準差為σ. (3)分布區間． 利用對稱性可求指定范圍內的概率值；由μ，σ，分布區間的特征進行轉化，使分布區間轉化為3σ特殊區間，從而求出所求概率．注意只有在標準正態分布下對稱軸才為x＝0.
考點四：統計模型
隨機抽樣、統計圖表
1．總體、個體、樣本
所考察問題涉及的對象全體是總體，總體中每個對象都是個體，抽取的部分對象組成總體的一個樣本，一個樣本中包含的個體數目是樣本容量．
2．簡單隨機抽樣
抽簽法和隨機數表法是比較常用的兩種方法．
3．分層抽樣
一般地，如果相對于要考察的問題來說，總體可以分成有明顯差別的、互不重疊的幾部分時，每一部分可稱為層，在各層中按層在總體中所占比例進行隨機抽樣的方法稱為分層隨機抽樣(簡稱為分層抽樣)．
4．統計圖表
(1)常見的統計圖表有條形圖、扇形圖、折線圖、頻率分布直方圖、莖葉圖等．
(2)作頻率分布直方圖的步驟
①求極差；
②決定組距與組數；
③將數據分組；
④列頻率分布表；
⑤畫頻率分布直方圖．
一元線性回歸模型
1．變量的相關關系
(1)相關關系：兩個變量有關系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關系稱為相關關系．
(2)相關關系的分類：正相關和負相關．
(3)線性相關：如果變量x與變量y之間的關系可以近似地用一次函數來刻畫，則稱x與y線性相關．
2．相關系數
(1)r＝.
(2)當r>0時，稱成對樣本數據正相關；當r<0時，稱成對樣本數據負相關．
(3)|r|≤1；當|r|越接近1時，成對樣本數據的線性相關程度越強；當|r|越接近0時，成對樣本數據的線性相關程度越弱．
3．一元線性回歸模型
(1)我們將＝x＋稱為y關于x的回歸直線方程，
其中
(2)殘差：觀測值減去預測值稱為殘差．
列聯表與獨立性檢驗
列聯表與獨立性檢驗
(1)2×2列聯表：如果隨機事件A與B的樣本數據如下表格形式：
A 總計
B a b a＋b
c d c＋d
總計 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
在這個表格中，核心的數據是中間的4個格子，所以這樣的表格通常稱為2×2列聯表．
(2)在2×2列聯表中，定義隨機變量
χ2＝，任意給定α(稱為顯著性水平)，可以找到滿足條件P(χ2≥k)＝α的數k(稱為顯著性水平α對應的分位數)，
①若χ2≥k成立，就稱在犯錯誤的概率不超過α的前提下，可以認為A與B不獨立(也稱A與B有關)，或說有1－α的把握認為A與B有關；
②若χ2這一過程通常稱為獨立性檢驗．
題型1 隨機抽樣、統計圖表
1．（2024·天津·二模）某校舉辦了數學知識競賽，把1000名學生的競賽成績（滿分100分，成績取整數）按，，，分成四組，并整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確的為（ ）
A．的值為0.015 B．估計這組數據的眾數為80
C．估計這組數據的第60百分位數為87 D．估計成績低于80分的有350人
【答案】C
【分析】利用頻率分布直方圖的性質可判定A，利用眾數、百分位數的求法可判定B、C，根據頻率分布直方圖計算可估計總體判定D.
【詳解】易知，解得，所以A錯誤；
由頻率分布直方圖可知眾數落在區間，用區間中點表示眾數即85，所以B錯誤；
由頻率分布直方圖可知前兩組頻率之和為，
前三組頻率之和為，
故第60百分位數落在區間，設第60百分位數為，
則，解得，所以C正確；
成績低于80分的頻率為，所以估計總體有，故D錯誤.
故選：C.
2．（2024·天津·二模）有人通過調查統計發現，兒子成年時的身高與父親的身高呈線性相關，且兒子成年時的身高（單位：）與父親的身高（單位：）的經驗回歸方程為，根據以上信息，下列判斷正確的為（ ）．
A．兒子成年時的身高與父親的身高的樣本相關系數
B．父親的身高為，兒子成年時的身高一定在到之間
C．父親的身高每增加，兒子成年時的身高平均增加
D．兒子在成年時的身高一般會比父親高
【答案】C
【分析】根據題意，由線性回歸方程的性質，對選項逐一判斷，即可得到結果.
【詳解】因為，且，
即與不一定相等，故A錯誤；
當父親身高為時，孩子身高可能在到之間，
而不是一定，故B錯誤；
因為，即父親的身高每增加，
兒子成年時的身高平均增加，故C正確；
由回歸方程可知，是否比父親高還得取決于父親身高，因此判斷不了兒子成年時一般比父親高，故D錯誤；
故選：C
3．（23-24高三下·天津·階段練習）將收集到的天津一中2021年高考數學成績繪制出頻率分布直方圖，如圖所示，則下列說法中不正確的是（ ）
A．
B．高三年級取得130分以上的學生約占總數的65%
C．高三年級的平均分約為133.2
D．高三年級成績的中位數約為125
【答案】D
【分析】對于A，由各個矩形面積之和為1即可列式求解；對于B，求最右邊兩個矩形面積之和即可驗算；對于C，D分別由平均數計算公式、中位數計算方法即可判斷.
【詳解】對于A，，故A正確；
對于B，高三年級取得130分以上的學生約占總數的，故B正確；
對于C，高三年級的平均分約為
，故C正確；
對于D，設高三年級成績的中位數為，
由于，
所以，故D不正確.
故選；D.
4．（2023·天津河北·一模）已知甲乙兩組數據分別為和，則下列說法中不正確的是（ ）
A．甲組數據中第70百分位數為23 B．甲乙兩組數據的極差相同
C．乙組數據的中位數為25.5 D．甲乙兩組數據的方差相同
【答案】A
【分析】根據百分位數的定義可得甲組數據中第70百分位數為24；計算可知兩組數據的極差都為5；由中位數定義可求出乙組數據的中位數為25.5；利用方差公式計算可求得甲乙兩組數據的方差均為.
【詳解】對于A，每組數據為6個，因為，
所以甲組數據中第70百分位數為第5個數，即為24，所以A錯誤；
對于B，甲組數據的極差為，乙組數據的極差為，即B正確；
對于C，乙組數據的中位數為第三個數和第四個數的平均數，即，所以C正確；
對于D，易知甲組數據的平均數為22.5，
則甲組數據的方差為；
乙組數據的方差為；
因此甲乙兩組數據的方差相同，即D正確.
故選：A
5．（2024高三下·天津·專題練習）下列說法錯誤的是（ ）
A．線性相關系數時，兩變量正相關
B．兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數r的值就越接近于1
C．在回歸直線方程中，當解釋變量x每增加1個單位時，預報變量平均增加0.2個單位
D．對分類變量X與Y，隨機變量χ2的觀測值越大，則判斷“X與Y有關系”的把握程度越大
【答案】B
【分析】根據線性關系系數的意義判斷變量的正負相關性、相關強弱關系，根據回歸方程判斷單位增量，根據獨立檢驗的觀測值大小與可靠程度的關系，判斷變量關系的把握程度即可.
【詳解】A：線性相關系數為正時，變量為正相關關系，正確；
B：兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數r的絕對值就越接近于1，錯誤；
C：在回歸直線方程中，當時，，正確；
D：隨機變量χ2的觀測值越大，變量間的關系把握程度越大，正確.
故選：B.
統計圖表的主要應用 扇形圖：直觀描述各類數據占總數的比例； 折線圖：描述數據隨時間的變化趨勢； 條形圖和直方圖：直觀描述不同類別或分組數據的頻數和頻率．
題型2 一元線性回歸模型
6．（2024·陜西安康·模擬預測）隨著移動互聯網和直播帶貨技術的發展，直播帶貨已經成為一種熱門的銷售方式，特別是商家通過展示產品，使顧客對商品有更全面的了解.下面統計了某新手開啟直播帶貨后從6月份到10月份每個月的銷售量(萬件)的數據，得到如圖所示的散點圖．其中6月份至10月份相應的代碼為，如:表示6月份.
(1)根據散點圖判斷，模型①與模型②哪一個更適宜作為月銷售量關于月份代碼的回歸方程 （給出判斷即可，不必說明理由）
(2)（i）根據（1）的判斷結果，建立關于的回歸方程;(計算結果精確到0.01)
（ⅱ）根據結果預測12月份的銷售量大約是多少萬件
參考公式與數據:， ，，其中.
【詳解】（1）由散點圖可知增加幅度不一致，且散點圖接近于曲線，非線性，
結合圖象故選模型②.
（2）（i）令，則，
可得，，
則，，
所以關于的回歸方程為，
即關于的回歸方程；
（ⅱ）令，可得，
預測12月份的銷售量大約是13.9萬件.
7．（2024高三·全國·專題練習）近年來，隨著國家對新能源汽車產業的支持，很多國產新能源汽車迅速崛起，其因顏值高、動力充沛、提速快、空間大、用車成本低等特點得到民眾的追捧，但是充電難成為影響新能源汽車銷量的主要原因，國家為了加快新能源汽車的普及程度，在全國范圍內逐步增建充電樁．某地區2019－2023年的充電樁數量及新能源汽車的年銷量如表所示：
年份 2019 2020 2021 2022 2023
充電樁數量x/萬臺 1 3 5 7 9
新能源汽車年銷量y/萬輛 25 37 48 58 72
(1)已知可用線性回歸模型擬合y與x的關系，請用相關系數加以說明（結果精確到0.001）；
(2)求y關于x的線性回歸方程，預測當該地區充電樁數量為24萬臺時，新能源汽車的年銷量是多少萬輛？
參考公式：相關系數，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．
參考數據：，，，．
【詳解】（1）由題知，，
又，，，
所以，
因為y與x的相關系數近似為0.999，非常接近1，
所以y與x的線性相關程度很高，可以用線性回歸模型擬合y與x的關系．
（2），，
所以y關于x的線性回歸方程為．
當時，，
故當充電樁數量為24萬臺時，該地區新能源汽車的年銷量為157.25萬輛．
求回歸直線方程的步驟
題型3 列聯表與獨立性檢驗
8．（2024·寧夏石嘴山·三模）2023年9月23日至10月8日，第19屆亞洲運動會在我國杭州舉行，這是我國繼北京、廣州亞運會后第三次舉辦亞運會. 某電信公司為了解當地市民對“亞運會”相關知識的認知程度，舉辦了一次“亞運會”網絡知識競賽，滿分100分. 現從參加了競賽的男、女市民中各隨機抽取100名市民的競賽成績作為樣本進行數據分析，對這100名男市民的競賽成績進行統計后，得到如圖所示的頻率分布直方圖.現規定成績不低于80分的市民獲優秀獎，若女市民樣本中獲得優秀獎的人數占比為.
(1)根據題中信息完成如下列聯表，并判斷是否有的把握認為該市市民在這次知識競賽中獲得優秀獎與性別有關？
(2)將樣本分布的頻率視為總體分布的概率，電信公司對在這次競賽中獲得優秀獎的市民每人將發放50元手機話費充值卡的獎勵. 從該市所有參賽的市民中隨機抽取10人，記電信公司發放的手機話費充值卡的總金額數為元，求的數學期望.
優秀獎 非優秀獎 合計
男
女
合計
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【詳解】（1），，，
故男市民中得優秀獎的人數為，女市民中得優秀獎的人數為，
可得如下列聯表：
優秀獎 非優秀獎 合計
男 25 75 100
女 5 95 100
合計 30 170 200
故，
故有的把握認為該市市民在這次知識競賽中獲得優秀獎與性別有關.
（2）由上可知：獲獎的概率，令為獲得優秀獎的市民人數，
則，有，
易知元.
9．（2024·全國·模擬預測）隨著人工智能的進一步發展，逐漸進入大眾視野．是一種基于人工智能的語言模型，具備卓越的自然語言處理能力、廣泛的知識覆蓋范圍和富有創造性的回答能力，是人們學習、工作與生活中的出色助手．盡管如此，也有部分人認為會對人類未來工作產生威脅，由于其在提高工作效率方面的出色表現，將在未來取代一部分人的職業．現對200家企業開展調查，統計每家企業一年內應用的廣泛性及招聘人數的增減，得到數據結果統計如下表所示：
應用廣泛性 招聘人數減少 招聘人數增加 合計
廣泛應用 60 50 110
沒有廣泛應用 40 50 90
合計 100 100 200
(1)根據小概率的獨立性檢驗，是否有99%的把握認為企業招聘人數的增減與應用的廣泛性有關？
(2)用頻率估計概率，從招聘人數減少的企業中隨機抽取30家企業，記其中廣泛應用的企業有X家，事件“”的概率為．求X的分布列并計算使取得最大值時k的值．
附：，其中．
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
【答案】(1)無關；
(2)且；．
【詳解】（1）零假設企業招聘人數的增減與應用的廣泛性無關，
因為，
所以，根據的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷不成立，
因此可認為企業招聘人數的增減與應用的廣泛性無關．
（2）由題知，從招聘人數減少的企業中隨機抽取1家企業，該企業廣泛應用的概率為，沒有廣泛應用的概率為，
因為，
所以X的分布列為且．
若是最大值，則且，
根據，
即，整理得，解得,
又且，所以．
即使取得最大值時k的值為18.
獨立性檢驗的一般步驟 (1)根據樣本數據制成2×2列聯表． (2)根據公式χ2＝計算． (3)比較χ2與臨界值的大小關系，作統計推斷．重難點11 概率與統計
考點一 計數原理
分類加法和分步乘法計數原理
排列與組合
二項式定理
考點二 概率
隨機事件與概率
2、古典概型
3、概率綜合
考點三 隨機變量及其分布列
1、離散型隨機變量及其分布列、數字特征
2、二項分布和超幾何分布
3、正態分布
考點四 統計模型
1、隨機抽樣、統計圖表
2、一元線性回歸模型
3、列聯表與獨立性檢驗
考點一：計數原理
基本計數原理
基本計數原理
(1)分類加法計數原理：完成一件事，如果有n類辦法，且：第一類辦法中有m1種不同的方法，第二類辦法中有m2種不同的方法……第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．
(2)分步乘法計數原理：完成一件事，如果需要分成n個步驟，且：做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．
排列與組合
1．排列與組合的概念
名稱 定義
排列 從n個不同對象中取出m(m≤n)個對象 按照一定的順序排成一列
組合 作為一組
2.排列數與組合數
(1)排列數：從n個不同對象中取出m(m≤n)個對象的所有排列的個數．
(2)組合數：從n個不同對象中取出m(m≤n)個對象的所有組合的個數．
3．排列數、組合數的公式及性質
公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(n，m∈N*，且m≤n)． (2)C＝＝(n，m∈N*，且m≤n)．特別地，C＝1
性質 (1)0！＝1；A＝n！. (2)C＝C；C＝C＋C
二項式定理
1．二項式定理
二項式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)
二項展開式的通項 Tk＋1＝Can－kbk，它表示展開式的第k＋1項
二項式系數 C(k＝0,1，…，n)
2.二項式系數的性質
(1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等．
(2)增減性與最大值：當n是偶數時，中間的一項取得最大值；當n是奇數時，中間的兩項與相等，且同時取得最大值．
(3)各二項式系數的和：(a＋b)n的展開式的各二項式系數的和為C＋C＋C＋…＋C＝2n.
題型1 基本計數原理
1．（22-23高二下·天津·期末）從1，2，3，4，5五個數字中，選出一個偶數和兩個奇數，組成一個沒有重復數字的三位數，這樣的三位數共有（ ）
A．24個 B．36個 C．48個 D．54個
2．（2023·天津和平·三模）①一組數據的第三四分位數為8；
②若隨機變量，且，則；
③具有線性相關關系的變量，其線性回歸方程為，若樣本的中心，則；
④如圖，現要用5種不同的顏色對某市的4個區縣地圖進行著色，要求有公共邊的兩個地區不能用同一種顏色，共有180種不同的著色方法.
以上說法正確的個數為（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
3．（2023·天津·一模）甲、乙、丙、丁、戊五只猴子在一棵枯樹上玩耍，假設它們均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，；（2）乙在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，；（3）丙在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，；（4）丁在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，；（5）戊在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，，則下列結論正確的是（ ）
A．最高處的樹枝定是 B．最低處的樹枝一定是
C．九根樹枝從高到低不同的順序共有種 D．九根樹枝從高到低不同的順序共有種
4．（2020·天津南開·二模）某學校食堂為了進一步加強學校疫情防控工作，降低學生因用餐而交叉感染的概率，規定：就餐時，每張餐桌（如圖）至多坐兩個人，一張餐桌坐兩個人時，兩人既不能相鄰，也不能相對（即二人只能坐在對角線的位置上）.現有3位同學到食堂就餐，如果3人在1號和2號兩張餐桌上就餐（同一張餐桌的4個座位是沒有區別的），則不同的坐法種數為（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
5．（23-24高三上·天津·期末）從4名女生、6名男生中，按性別采用分層抽樣的方法抽取5名學生組成課外小組，則不同的抽取方法種數為（ ）
A．1440 B．120 C．60 D．24
利用分步乘法計數原理解題的策略 (1)明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個步驟，且每步都是獨立的． (2)將這件事劃分成幾個步驟來完成，各步驟之間有一定的連續性，只有當所有步驟都完成了，整個事件才算完成．
題型2 排列與組合
6．（20-21高二下·天津濱海新·期末）某高中期中考試需要考查九個學科（語文、數學、英語、生物、物理、化學、政治、歷史、地理），已知語文考試必須安排在首場，且物理考試與英語考試不能相鄰，則這九個學科不同的考試順序共有（ ）種
A． B． C． D．
7．（20-21高三上·天津濱海新·階段練習）第十四屆全國運動會將于2021年在陜西舉辦，為宣傳地方特色，某電視臺拍攝宣傳片五組進行制作編輯，其中包括有美食宣傳片 地方風光宣傳片各兩個，運動場地宣傳片一個，所有短片時長彼此不同，現將五組短片編輯在一起，相同題材不相鄰，不同的排法共有（ ）
A．24種 B．48種 C．72種 D．120種
8．（2020·天津河西·二模）用數字0，1，2，3，4組成沒有重復數字且至少有兩個數字是偶數的四位數，則這樣的四位數的個數為
A．64 B．72 C．96 D．144
9．（2008·天津·高考真題）有8張卡片分別標有數字1，2，3，4，5，6，7，8，從中取出6張卡片排成3行2列，要求3行中僅有中間行的兩張卡片上的數字之和為5，則不同的排法共有
A．1344種 B．1248種 C．1056種 D．960種
10．（2020·天津寧河·二模）我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“一一”，如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是（ ）
A． B． C． D．
組合問題常有以下兩類題型 (1)“含有”或“不含有”問題：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取． (2)“至少”或“最多”問題：用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法，分類復雜時，考慮逆向思維，用間接法處理．
題型3 數列的性質
11．（23-24高三下·天津·階段練習）多項式展開式中的系數為（ ）
A．985 B．750 C．940 D．680
12．（23-24高三上·天津濱海新·階段練習）若的展開式的二項式系數之和為，則的展開式中的系數為（ ）
A．8 B．28 C．56 D．70
13．（23-24高三上·天津河東·階段練習）在的展開式中，若第2項系數為，則a值為（ ）
A．2 B． C． D．
14．（2021·天津靜海·三模）已知的二項展開式的奇數項二項式系數和為，若，則等于（ ）
A． B． C． D．
15．（2020·天津·模擬預測）在的二項展開式中，的系數為（ ）
A． B．10 C． D．5
(1)求二項展開式中的特定項，一般是化簡通項后，令字母的指數符合要求(求常數項時，指數為零；求有理項時，指數為整數等)，解出項數k＋1，代回通項即可． (2)對于幾個多項式積的展開式中的特定項問題，一般可以根據因式連乘的規律，結合組合思想求解，但要注意適當地運用分類方法，以免重復或遺漏．
考點二：概率
隨機事件與概率
1．樣本空間和隨機事件
(1)樣本點和樣本空間
樣本點：隨機試驗中每一種可能出現的結果稱為樣本點．
樣本空間：由所有樣本點組成的集合稱為樣本空間，常用Ω表示．
(2)隨機事件
一般地，如果隨機試驗的樣本空間為Ω，則隨機事件A是Ω的一個非空真子集，而且若試驗的結果是A中的元素，則稱A發生，否則，稱A不發生．
2．兩個事件的關系和運算
含義 符號表示
包含關系 A發生導致B發生 A B
相等關系 B A且A B A＝B
并事件(和事件) A與B至少一個發生 A∪B或A＋B
交事件(積事件) A與B同時發生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A與B不能同時發生 A∩B＝
互為對立 A與B有且僅有一個發生 A∩B＝ ，A∪B＝Ω
3.古典概型的特征
(1)有限性：樣本空間所包含的樣本點個數是有限的；
(2)等可能性：每個基本事件發生的可能性大小都相等．
4．古典概型的概率公式
假設樣本空間含有n個樣本點，如果事件C包含m個樣本點，則由互斥事件的概率加法公式可知P(C)＝．
其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數．
5．概率的性質
性質1：對任意的事件A，都有P(A)≥0；
性質2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P( )＝0；
性質3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；
性質4：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；
性質5：如果A B，那么P(A)≤P(B)，由該性質可得，對于任意事件A，因為 A Ω，所以0≤P(A)≤1；
性質6：設A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)．
6．頻率與概率
(1)頻率的穩定性
一般地，如果在n次重復進行的試驗中，一個事件發生的頻率會很接近于這個事件發生的概率，而且，試驗的次數越多，頻率與概率之間差距很小的可能性越大．
(2)頻率穩定性的作用：可以用頻率fn(A)估計概率P(A)．
事件的獨立性和條件概率、全概率公式
1．相互獨立事件
(1)概念：如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立．
(2)性質：若事件A與B相互獨立，那么A與，與B，與也都相互獨立．
2．條件概率
(1)概念：一般地，當事件B發生的概率大于0(即P(B)>0)時，已知事件B發生的條件下事件A發生的概率，稱為條件概率，記作P(A|B)，而且P(A|B) ＝.
(2)兩個公式
①利用古典概型：P(B|A)＝；
②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)．
3．全概率公式
一般地，如果樣本空間為Ω，A，B為事件，則BA與B是互斥的，且B＝BΩ＝B(A＋)＝BA＋B，從而P(B)＝P(BA＋B)＝P(BA)＋P(B)，當P(A)>0且P()>0時，有P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)．
常用結論
1．如果事件A1，A2，…，An相互獨立，那么這n個事件同時發生的概率等于每個事件發生的概率的積，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
2．貝葉斯公式：設A，是一組對立事件，A＋＝Ω，0＜P(A)＜1，則對任意事件B Ω，P(B)＞0，有P(A|B)＝＝
題型1 隨機事件與概率
16．（23-24高三上·天津·期末）已知某公路上經過的貨車與客車的數量之比為，貨車和客車中途停車修理的概率分別為和，則一輛汽車中途停車修理的概率為（ ）
A． B． C． D．
17．（2023·天津·一模）某滑冰館統計了某小區居民在該滑冰館一個月的鍛煉天數，得到如圖所示的頻率分布直方圖（將頻率視為概率），則下列說法正確的是（ ）
A．該小區居民在該滑冰館的鍛煉天數在區間內的最少
B．估計該小區居民在該滑冰館的鍛煉天數超過15天的概率為0.465
C．估計該小區居民在該滑冰館的鍛煉天數的中位數為16
D．估計小區居民在該滑冰館的鍛煉天數的平均值為15
18．（22-23高三上·天津紅橋·期中）甲、乙二人的投籃命中率分別為0.9、0.8，若他們二人每人投籃一次，則至少一人命中的概率為（ ）
A．0.72 B．0.27 C．0.26 D．0.98
19．（20-21高三上·天津濱海新·階段練習）從5雙不同的襪子中取4只，使至少有2只襪子配成一雙的可能取法種數為（ ）
A．20 B．30 C．130 D．140
20．（20-21高三上·天津南開·開學考試）兩人獨立地破譯一個密碼，他們能譯出的概率分別為、，則密碼被譯出的概率為（　　）
A． B． C． D．
求解古典概型的綜合問題的步驟 (1)將題目條件中的相關知識轉化為事件； (2)判斷事件是否為古典概型； (3)選用合適的方法確定樣本點個數； (4)代入古典概型的概率公式求解．
題型2 古典概型
21．（22-23高三上·天津河北·期末）將三顆骰子各擲一次，記事件“三個點數都不同”，“至少出現一個點”，則條件概率，分別等于（ ）
A．， B．， C．， D．，
22．（2022·天津紅橋·一模）已知盒中裝有大小、質量完全相同的2個黑球，3個紅球，現從盒中隨機抽取2個球，則取出的兩個球顏色相同的概率為（ ）
A． B． C． D．
23．（2016高三·天津紅橋·學業考試）將一枚硬幣先后拋擲兩次，恰好出現一次正面的概率是（ ）
A． B． C． D．
24．（2016高三·天津紅橋·學業考試）從甲、乙、丙、丁四名同學中選2人參加普法知識競賽，則甲被選中的概率為（ ）
A． B． C． D．
25．（19-20高三上·天津紅橋·期末）袋中共有個球，其中有個紅球、個黃球和個綠球，這些球除顏色外完全相同，若從袋中一次隨機抽出個球，則取出的個球顏色相同的概率為（ ）
A． B．
C． D．
求條件概率的常用方法 (1)定義法：P(B|A)＝. (2)樣本點法：P(B|A)＝.
題型2 概率綜合
26．（19-20高三上·天津寧河·階段練習）某單位名員工參加“社區低碳你我他”活動，他們的年齡在25歲至50歲之間，按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布圖如圖所示，下表是年齡的頻率分布表.
區間
人數 20
(1)補全表格中的數據（不需要寫過程）；
(2)現要從年齡較小的第組中用分層抽樣的方法抽取6人，求從第組分別抽取的人數；
(3)在（2）的條件下，從這6人中再隨機抽取2人參加社區宣傳交流活動，求2人不在同一年齡組的概率.
27．（2024·福建三明·三模）某校開設勞動教育課程，為了有效推動課程實施，學校開展勞動課程知識問答競賽，現有家政、園藝、民族工藝三類問題海量題庫，其中家政類占，園藝類占，民族工藝類占.根據以往答題經驗，選手甲答對家政類、園藝類、民族工藝類題目的概率分別為，選手乙答對這三類題目的概率均為
(1)求隨機任選1題，甲答對的概率；
(2)現進行甲、乙雙人對抗賽，規則如下：兩位選手進行三輪答題比賽，每輪只出1道題目，比賽時兩位選手同時回答這道題，若一人答對且另一人答錯，則答對者得1分，答錯者得分，若兩人都答對或都答錯，則兩人均得0分，累計得分為正者將獲得獎品，且兩位選手答對與否互不影響，每次答題的結果也互不影響，求甲獲得獎品的概率.
28．（2024·四川成都·三模）某手機生產廠商要生產一款5G手機，在生產之前，該公司對手機屏幕的需求尺寸進行社會調查，共調查了400人，將這400人按對手機屏幕的需求尺寸分為6組，分別是：，，，，，（單位：英寸），得到如下頻率分布直方圖：其中，屏幕需求尺寸在的一組人數為50人.

(1)求和的值；
(2)用分層抽樣的方法在屏幕需求尺寸為和兩組人中抽取6人參加座談，并在6人中選擇2人做代表發言，則這2人來自同一分組的概率是多少？
考點三：隨機變量及其分布列
離散型隨機變量及其分布列、數字特征
1．離散型隨機變量
一般地，如果隨機試驗的樣本空間為Ω，而且對于Ω中的每一個樣本點，變量X都對應有唯一確定的實數值，就稱X為一個隨機變量．其所有可能的取值都是可以一一列舉的隨機變量稱為離散型隨機變量．
2．離散型隨機變量的分布列
一般地，當離散型隨機變量X的取值范圍是{x1，x2，…，xn}時，如果對任意k∈{1,2，…，n}，概率P(X＝xk)＝pk都是已知的，則稱X的概率分布是已知的．離散型隨機變量X的概率分布也可以用如下形式的表格表示，
X x1 x2 … xk … xn
P p1 p2 … pk … pn
此表稱為X的概率分布或分布列．
3．離散型隨機變量的分布列的性質
①pk≥0(k＝1,2，…，n)；
②k＝p1＋p2＋…＋pn＝1.
4．離散型隨機變量的均值與方差
一般地，若離散型隨機變量X的分布列為
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
(1)均值
則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ipi為隨機變量X的均值或數學期望，數學期望簡稱期望．它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．
(2)方差
稱D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝xi－E(X)]2pi為隨機變量X的方差，并稱為隨機變量X的標準差，它們都可以度量隨機變量取值與其均值的偏離程度．
5．均值與方差的性質
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為常數)．
二項分布、超幾何分布和正態分布
1.n次獨立重復試驗與二項分布
(1)n次獨立重復試驗
在相同條件下重復n次伯努利試驗，約定這n次試驗是相互獨立的，此時這n次伯努利試驗也常稱為n次獨立重復試驗.
(2)二項分布
一般地，如果一次伯努利試驗中，出現“成功”的概率為p，記q＝1－p，且n次獨立重復試驗中出現“成功”的次數為X，則X的取值范圍是{0,1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝Cpkqn－k(k＝0,1,2，…，n)，因此X的分布列如下表所示：
X 0 1 … k … n
P Cp0qn Cp1qn－1 … Cpkqn－k … Cpnq0
由于表中的第二行中的概率值恰好是二項展開式(q＋p)n＝Cp0qn＋Cp1qn－1＋…＋Cpkqn－k＋…＋Cpnq0中對應項的值，因此稱X服從參數為n，p的二項分布，記作X～B(n，p).
(3)兩點分布與二項分布的均值、方差
①若隨機變量X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
②若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
2.超幾何分布
一般地，假設一批產品共有N件，其中有M件次品.從N件產品中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產品中的次品數，則X的分布列為P(X＝k)＝，k＝t，t＋1，t＋2，…，s，其中，n，N，M∈N＋，M≤N，n≤N，t＝max{0，n－N＋M}，s＝min{n，M}，如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布.
3.正態分布
(1)定義
一般地，如果隨機變量X落在區間[a，b]內的概率，總是等于φμ，σ(x)對應的正態曲線與x軸在區間[a，b]內圍成的面積，則稱X服從參數為μ與σ的正態分布.
(2)正態曲線的特點
①曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱；
②曲線在x＝μ處達到峰值；
③當|x|無限增大時，曲線無限接近x軸.
(3)3σ原則
P(|X－μ|≤σ)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%，
P(|X－μ|≤2σ)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%，
P(|X－μ|≤3σ)＝P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%.
(4)正態分布的均值與方差
若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
題型1 離散型隨機變量及其分布列、數字特征
1．（2024·天津·一模）下列說法正確的是（ ）
A．一組數據的第80百分位數為17；
B．根據分類變量與的成對樣本數據，計算得到，根據小概率值的獨立性檢驗，可判斷與有關聯，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05；
C．兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數的絕對值越接近于0；
D．若隨機變量滿足，則．
2．（2024·天津南開·一模）已知隨機變量，且，則（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三上·天津武清·階段練習）有兩個隨機變量和，它們的分布列分別如下表：
1 2 3 4 5
0.03 0.3 0.5 0.16 0.01
1 2 3 4 5
0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
則關于它們的期望，和它們的方差和，下列關系正確的是（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
4．（2023·天津·一模）下列命題錯誤的是（ ）
A．兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數的絕對值越接近于
B．設，且，則
C．線性回歸直線一定經過樣本點的中心
D．隨機變量，若，則
5．（21-22高三上·天津紅橋·期末）一名學生申請加入學校的個社團，假設各個社團通過這名學生的申請是相互獨立的，并且概率都是，設是這名學生申請被通過的次數，則隨機變量的期望為（ ）
A． B．
C． D．
求離散型隨機變量ξ的均值與方差的步驟 (1)理解ξ的意義，寫出ξ的所有可能取值． (2)求ξ取每個值的概率． (3)寫出ξ的分布列． (4)由均值、方差的定義求E(ξ)，D(ξ)．
題型2 二項分布、超幾何分布
6．（2021·天津寶坻·模擬預測）冠狀病毒是一個大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征(MERS)和嚴重急性呼吸綜合征(SARS)等較嚴重疾病，而新型冠狀病毒(nCoV)是以前從未在人體中發現的冠狀病毒新毒株人，感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀，發熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等在較嚴重病例中，感染可導致肺炎，嚴重急性呼吸綜合征，腎衰竭，甚至死亡．假如某醫藥研究機構合成了甲、乙兩種抗“新冠病毒”的藥物．經試驗，服用甲、乙兩種藥物痊愈的概率分別為，現已進入藥物臨床試用階段．每個試用組由4位該病毒的感染者組成．其中2人試用甲種抗病毒藥物，2人試用乙種抗病毒藥物．如果試用組中，甲種抗病毒藥物治愈人數超過乙種抗病毒藥物的治愈人數，則稱該組為“甲類組”．
（1））求一個試用組為“甲類組”的概率；
（2）觀察3個試用組，用表示這3個試用機組“甲類組”的個數，求的分布列和數學期望．
7．（22-23高三上·陜西渭南·階段練習）甲 乙兩班進行消防安全知識競賽，每班出3人組成甲乙兩支代表隊，首輪比賽每人一道必答題，答對則為本隊得1分，答錯或不答都得0分，已知甲隊3人每人答對的概率分別為，乙隊每人答對的概率都是，設每人回答正確與否相互之間沒有影響，用X表示甲隊總得分.
(1)求的概率；
(2)求甲隊和乙隊得分之和為4的的概率.
8．（20-21高三上·天津和平·階段練習）隨著馬拉松運動在全國各地逐漸興起，參與馬拉松訓練與比賽的人數逐年增加.為此，某市對參加馬拉松運動的情況進行了統計調查，其中一項是調查人員從參與馬拉松運動的人中隨機抽取100人，對其每月參與馬拉松運動訓練的天數進行統計，得到以下統計表：
平均每月進行訓練的天數
人數 10 60 30
（1）以這100人平均每月進行訓練的天數位于各區間的頻率代替該市參與馬拉松訓練的人平均每月進行訓練的天數位于該區間的概率，從該市所有參與馬拉松訓練的人中隨機抽取4個人，求恰好有2個人是“平均每月進行訓練的天數不少于20天”的概率；
（2）依據統計表，用分層抽樣的方法從這100個人中抽取20個，再從抽取的20個人中隨機抽取4個，表示抽取的是“平均每月進行訓練的天數不少于20天”的人數，求的分布列及數學期望.
9．（2020·天津·一模）近年來，隨著全球石油資源緊張、大氣污染日益嚴重和電池技術的提高，電動汽車已被世界公認為21世紀汽車工業改造和發展的主要方向.為了降低對大氣的污染和能源的消耗，某品牌汽車制造商研發了兩款電動汽車車型和車型，并在黃金周期間同時投放市場.為了了解這兩款車型在黃金周的銷售情況，制造商隨機調查了5家汽車店的銷量（單位：臺），得到下表：
店 甲 乙 丙 丁 戊
車型 6 6 13 8 11
車型 12 9 13 6 4
（1）若從甲、乙兩家店銷售出的電動汽車中分別各自隨機抽取1臺電動汽車作滿意度調查，求抽取的2臺電動汽車中至少有1臺是車型的概率；
（2）現從這5家汽車店中任選3家舉行促銷活動，用表示其中車型銷量超過車型銷量的店的個數，求隨機變量的分布列和數學期望.
(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數．超幾何分布的特征是：①考察對象分兩類；②已知各類對象的個數；③從中抽取若干個個體，考查某類個體數X的分布列． (2)超幾何分布主要用于抽檢產品、摸不同類別的小球等概率模型，其本質是古典概型．
題型3 正態分布
10．（2024·福建福州·模擬預測）甲企業生產線上生產的零件尺寸的誤差服從正態分布，規定的零件為優等品，的零件為合格品．
(1)從該生產線上隨機抽取100個零件，估計抽到合格品但非優等品的個數（精確到整數）；
(2)乙企業擬向甲企業購買這批零件，先對該批零件進行質量抽檢，檢測的方案是：從這批零件中任取2個作檢測，若這2個零件都是優等品，則通過檢測；若這2個零件中恰有1個為優等品，1個為合格品但非優等品，則再從這批零件中任取1個作檢測，若為優等品，則通過檢測；其余情況都不通過檢測．求這批零件通過檢測時，檢測了2個零件的概率（精確到0.01）．
（附：若隨機變量，則，，）
11．（2024·湖南岳陽·三模）某地區舉行專業技能考試，共有8000人參加，分為初試和復試，初試通過后，才能參加復試.為了解考生的考試情況，隨機抽取了100名考生的初試成績，并以此為樣本，繪制了樣本頻率分布直方圖，如圖所示.
(1)若所有考生的初試成績近似服從正態分布，其中為樣本平均數的估計值，，試利用正態分布估計所有考生中初試成績不低于85分的人數；
(2)復試共四道題，前兩道題考生每題答對得5分，答錯得0分，后兩道題考生每題答對得10分，答錯得0分，四道題的總得分為考生的復試成績.已知某考生進入復試，他在復試中，前兩題每題能答對的概率均為，后兩題每題能答對的概率均為，且每道題回答正確與否互不影響.規定復試成績上了20分（含20分）的考生能進入面試，請問該考生進入面試的概率有多大
附：若隨機變量X服從正態分布，則：，.
解決正態分布問題的三個關鍵點 (1)對稱軸為x＝μ. (2)標準差為σ. (3)分布區間． 利用對稱性可求指定范圍內的概率值；由μ，σ，分布區間的特征進行轉化，使分布區間轉化為3σ特殊區間，從而求出所求概率．注意只有在標準正態分布下對稱軸才為x＝0.
考點四：統計模型
隨機抽樣、統計圖表
1．總體、個體、樣本
所考察問題涉及的對象全體是總體，總體中每個對象都是個體，抽取的部分對象組成總體的一個樣本，一個樣本中包含的個體數目是樣本容量．
2．簡單隨機抽樣
抽簽法和隨機數表法是比較常用的兩種方法．
3．分層抽樣
一般地，如果相對于要考察的問題來說，總體可以分成有明顯差別的、互不重疊的幾部分時，每一部分可稱為層，在各層中按層在總體中所占比例進行隨機抽樣的方法稱為分層隨機抽樣(簡稱為分層抽樣)．
4．統計圖表
(1)常見的統計圖表有條形圖、扇形圖、折線圖、頻率分布直方圖、莖葉圖等．
(2)作頻率分布直方圖的步驟
①求極差；
②決定組距與組數；
③將數據分組；
④列頻率分布表；
⑤畫頻率分布直方圖．
一元線性回歸模型
1．變量的相關關系
(1)相關關系：兩個變量有關系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關系稱為相關關系．
(2)相關關系的分類：正相關和負相關．
(3)線性相關：如果變量x與變量y之間的關系可以近似地用一次函數來刻畫，則稱x與y線性相關．
2．相關系數
(1)r＝.
(2)當r>0時，稱成對樣本數據正相關；當r<0時，稱成對樣本數據負相關．
(3)|r|≤1；當|r|越接近1時，成對樣本數據的線性相關程度越強；當|r|越接近0時，成對樣本數據的線性相關程度越弱．
3．一元線性回歸模型
(1)我們將＝x＋稱為y關于x的回歸直線方程，
其中
(2)殘差：觀測值減去預測值稱為殘差．
列聯表與獨立性檢驗
列聯表與獨立性檢驗
(1)2×2列聯表：如果隨機事件A與B的樣本數據如下表格形式：
A 總計
B a b a＋b
c d c＋d
總計 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
在這個表格中，核心的數據是中間的4個格子，所以這樣的表格通常稱為2×2列聯表．
(2)在2×2列聯表中，定義隨機變量
χ2＝，任意給定α(稱為顯著性水平)，可以找到滿足條件P(χ2≥k)＝α的數k(稱為顯著性水平α對應的分位數)，
①若χ2≥k成立，就稱在犯錯誤的概率不超過α的前提下，可以認為A與B不獨立(也稱A與B有關)，或說有1－α的把握認為A與B有關；
②若χ2這一過程通常稱為獨立性檢驗．
題型1 隨機抽樣、統計圖表
1．（2024·天津·二模）某校舉辦了數學知識競賽，把1000名學生的競賽成績（滿分100分，成績取整數）按，，，分成四組，并整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確的為（ ）
A．的值為0.015 B．估計這組數據的眾數為80
C．估計這組數據的第60百分位數為87 D．估計成績低于80分的有350人
2．（2024·天津·二模）有人通過調查統計發現，兒子成年時的身高與父親的身高呈線性相關，且兒子成年時的身高（單位：）與父親的身高（單位：）的經驗回歸方程為，根據以上信息，下列判斷正確的為（ ）．
A．兒子成年時的身高與父親的身高的樣本相關系數
B．父親的身高為，兒子成年時的身高一定在到之間
C．父親的身高每增加，兒子成年時的身高平均增加
D．兒子在成年時的身高一般會比父親高
3．（23-24高三下·天津·階段練習）將收集到的天津一中2021年高考數學成績繪制出頻率分布直方圖，如圖所示，則下列說法中不正確的是（ ）
A．
B．高三年級取得130分以上的學生約占總數的65%
C．高三年級的平均分約為133.2
D．高三年級成績的中位數約為125
4．（2023·天津河北·一模）已知甲乙兩組數據分別為和，則下列說法中不正確的是（ ）
A．甲組數據中第70百分位數為23 B．甲乙兩組數據的極差相同
C．乙組數據的中位數為25.5 D．甲乙兩組數據的方差相同
5．（2024高三下·天津·專題練習）下列說法錯誤的是（ ）
A．線性相關系數時，兩變量正相關
B．兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數r的值就越接近于1
C．在回歸直線方程中，當解釋變量x每增加1個單位時，預報變量平均增加0.2個單位
D．對分類變量X與Y，隨機變量χ2的觀測值越大，則判斷“X與Y有關系”的把握程度越大
統計圖表的主要應用 扇形圖：直觀描述各類數據占總數的比例； 折線圖：描述數據隨時間的變化趨勢； 條形圖和直方圖：直觀描述不同類別或分組數據的頻數和頻率．
題型2 一元線性回歸模型
6．（2024·陜西安康·模擬預測）隨著移動互聯網和直播帶貨技術的發展，直播帶貨已經成為一種熱門的銷售方式，特別是商家通過展示產品，使顧客對商品有更全面的了解.下面統計了某新手開啟直播帶貨后從6月份到10月份每個月的銷售量(萬件)的數據，得到如圖所示的散點圖．其中6月份至10月份相應的代碼為，如:表示6月份.
(1)根據散點圖判斷，模型①與模型②哪一個更適宜作為月銷售量關于月份代碼的回歸方程 （給出判斷即可，不必說明理由）
(2)（i）根據（1）的判斷結果，建立關于的回歸方程;(計算結果精確到0.01)
（ⅱ）根據結果預測12月份的銷售量大約是多少萬件
參考公式與數據:， ，，其中.
7．（2024高三·全國·專題練習）近年來，隨著國家對新能源汽車產業的支持，很多國產新能源汽車迅速崛起，其因顏值高、動力充沛、提速快、空間大、用車成本低等特點得到民眾的追捧，但是充電難成為影響新能源汽車銷量的主要原因，國家為了加快新能源汽車的普及程度，在全國范圍內逐步增建充電樁．某地區2019－2023年的充電樁數量及新能源汽車的年銷量如表所示：
年份 2019 2020 2021 2022 2023
充電樁數量x/萬臺 1 3 5 7 9
新能源汽車年銷量y/萬輛 25 37 48 58 72
(1)已知可用線性回歸模型擬合y與x的關系，請用相關系數加以說明（結果精確到0.001）；
(2)求y關于x的線性回歸方程，預測當該地區充電樁數量為24萬臺時，新能源汽車的年銷量是多少萬輛？
參考公式：相關系數，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．
參考數據：，，，．
求回歸直線方程的步驟
題型3 列聯表與獨立性檢驗
8．（2024·寧夏石嘴山·三模）2023年9月23日至10月8日，第19屆亞洲運動會在我國杭州舉行，這是我國繼北京、廣州亞運會后第三次舉辦亞運會. 某電信公司為了解當地市民對“亞運會”相關知識的認知程度，舉辦了一次“亞運會”網絡知識競賽，滿分100分. 現從參加了競賽的男、女市民中各隨機抽取100名市民的競賽成績作為樣本進行數據分析，對這100名男市民的競賽成績進行統計后，得到如圖所示的頻率分布直方圖.現規定成績不低于80分的市民獲優秀獎，若女市民樣本中獲得優秀獎的人數占比為.
(1)根據題中信息完成如下列聯表，并判斷是否有的把握認為該市市民在這次知識競賽中獲得優秀獎與性別有關？
(2)將樣本分布的頻率視為總體分布的概率，電信公司對在這次競賽中獲得優秀獎的市民每人將發放50元手機話費充值卡的獎勵. 從該市所有參賽的市民中隨機抽取10人，記電信公司發放的手機話費充值卡的總金額數為元，求的數學期望.
優秀獎 非優秀獎 合計
男
女
合計
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
9．（2024·全國·模擬預測）隨著人工智能的進一步發展，逐漸進入大眾視野．是一種基于人工智能的語言模型，具備卓越的自然語言處理能力、廣泛的知識覆蓋范圍和富有創造性的回答能力，是人們學習、工作與生活中的出色助手．盡管如此，也有部分人認為會對人類未來工作產生威脅，由于其在提高工作效率方面的出色表現，將在未來取代一部分人的職業．現對200家企業開展調查，統計每家企業一年內應用的廣泛性及招聘人數的增減，得到數據結果統計如下表所示：
應用廣泛性 招聘人數減少 招聘人數增加 合計
廣泛應用 60 50 110
沒有廣泛應用 40 50 90
合計 100 100 200
(1)根據小概率的獨立性檢驗，是否有99%的把握認為企業招聘人數的增減與應用的廣泛性有關？
(2)用頻率估計概率，從招聘人數減少的企業中隨機抽取30家企業，記其中廣泛應用的企業有X家，事件“”的概率為．求X的分布列并計算使取得最大值時k的值．
附：，其中．
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
獨立性檢驗的一般步驟 (1)根據樣本數據制成2×2列聯表． (2)根據公式χ2＝計算． (3)比較χ2與臨界值的大小關系，作統計推斷．

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