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培優(yōu)專題01 集合與常用邏輯用語、不等式
題型1 集合的運(yùn)算
題型2 充分條件、必要條件
題型3 均值不等式
題型4 不等式恒成立
題型一：集合的運(yùn)算
1．（2023·天津河北·一模）已知集合，集合，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·天津和平·一模）已知集合，集合，則集合C的子集個(gè)數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024·天津·一模）設(shè)全集，，，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·天津河?xùn)|·一模）已知集合，則為（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·天津紅橋·一模）已知全集，集合，，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·天津?yàn)I海新·三模）若，，則（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·天津北辰·三模）設(shè)集合，，，則（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·天津和平·三模）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·天津南開·二模）已知全集，集合，，則（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·天津紅橋·二模）已知集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
題型2：充分條件、必要條件
11．（2023·天津·二模）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·天津河北·一模）設(shè)，則“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
13．（2024·天津·一模）設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
14．（2024·天津河西·一模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
15．（2024·天津·一模）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
16．（2024·天津和平·一模）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．既不充分也不必要條件 D．充要條件
17．（2022·天津河西·一模）設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
18．（2023·天津武清·模擬預(yù)測）設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
19．（2023·天津河西·模擬預(yù)測）已知條件，條件，則是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
20．（2022·天津河西·模擬預(yù)測）設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
題型3：均值不等式
21．（2023·天津武清·模擬預(yù)測）已知，，且，則的最小值為（ ）
A． B．21 C．25 D．
22．（2023·天津河西·模擬預(yù)測）已知，若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
23．（2023·天津?yàn)I海新·三模）已知，，，則的最小值為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
二、填空題
24．（2024·天津河?xùn)|·一模）若，則的最小值為 ．
25．（23-24高三上·天津和平·開學(xué)考試）已知，則的最小值為 ．
26．（2023·天津?yàn)I海新·三模）已知正實(shí)數(shù)m，n，滿足，則的最小值為 .
27．（2023·天津津南·模擬預(yù)測）已知，，且，則ab的最小值為 ．
28．（2023·天津·二模）若，且，則的最小值為 .
29．（2023·天津·一模）在中，已知，，，為線段上的點(diǎn)，且，則的最小值為 ．
30．（2023·天津·二模）已知實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值為 .
題型4：不等式恒成立
31．（2018·天津·二模）已知，關(guān)于的不等式對于一切實(shí)數(shù)恒成立，又存在實(shí)數(shù)，使得成立，則的最小值為 .
32．（2017·天津·一模）已知a＞b，關(guān)于x的不等式對于一切實(shí)數(shù)x恒成立，又存在實(shí)數(shù)，使得成立，則最小值為 ．
33．（2020·天津·一模）已知函數(shù).若存在使得關(guān)于x的不等式成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
34．（2019·天津·一模）定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，若時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是 .
35．（2018·天津·一模）已知函數(shù)f1（x）=﹣ax2，f2（x）=x3+x2，f（x）=f1（x）+f2（x），設(shè)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若不等式f1（x）＜f′（x）＜f2（x）在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，則a的取值范圍為 ．
36．（2018·天津河西·一模）定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)
若任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是
37．（2018·天津·高考真題）已知，函數(shù)若對任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，則a的取值范圍是 ．
1、對于恒成立問題，常用到以下兩個(gè)結(jié)論：(1)a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min.有關(guān)二次函數(shù)的問題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法．一般從：①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點(diǎn)函數(shù)值符號四個(gè)方面分析． 2、解函數(shù)不等式：首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“”，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時(shí)要注意與的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi). 3、不等式恒成立問題常見方法：① 分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 數(shù)形結(jié)合( 圖象在 上方即可)；③ 討論最值或恒成立.培優(yōu)專題01 集合與常用邏輯用語、不等式
題型1 集合的運(yùn)算
題型2 充分條件、必要條件
題型3 均值不等式
題型4 不等式恒成立
題型一：集合的運(yùn)算
1．（2023·天津河北·一模）已知集合，集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先化簡集合A、B，再求交集，即可得出結(jié)果
【詳解】由，
或，
所以，
故選：D
2．（2024·天津和平·一模）已知集合，集合，則集合C的子集個(gè)數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算求得集合C，然后可解.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
所以集合C的子集個(gè)數(shù)為.
故選：D
3．（2024·天津·一模）設(shè)全集，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由交集和補(bǔ)集的定義求解即可.
【詳解】因?yàn)槿?br/>所以，所以.
故選：C.
4．（2024·天津河?xùn)|·一模）已知集合，則為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
解出絕對值方程，得到，再根據(jù)交集和補(bǔ)集的含義即可.
【詳解】令，解得；令，解得；令，解得.
則，
則，則.
故選：B.
5．（2024·天津紅橋·一模）已知全集，集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)條件，利用集合的運(yùn)算，即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>又，所以，
故選：B.
6．（2023·天津?yàn)I海新·三模）若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出并化簡集合B，利用集合的補(bǔ)集和交集運(yùn)算即可得出答案.
【詳解】由已知得，，所以，從而A正確；
故選：A
7．（2023·天津北辰·三模）設(shè)集合，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)一元二次不等式化簡,進(jìn)而由集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可求解.
【詳解】或，由得,所以，
故選：D
8．（2023·天津和平·三模）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求和，再求補(bǔ)集即可.
【詳解】因?yàn)椋裕?
故選：D.
9．（2023·天津南開·二模）已知全集，集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)集合運(yùn)算的定義計(jì)算．
【詳解】由已知，，
所以，
故選：B．
10．（2023·天津紅橋·二模）已知集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用一元二次不等式的解法及并集的定義即可求解.
【詳解】由，即，解得，
所以.
所以.
故選：B.
題型2：充分條件、必要條件
11．（2023·天津·二模）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)一元二次不等式化簡，由集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可求解.
【詳解】由得，由得，所以，
故選：B
12．（2023·天津河北·一模）設(shè)，則“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，由二次函數(shù)的對稱軸和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系以及充分性與必要性的應(yīng)用，即可得到結(jié)果.
【詳解】函數(shù)的對稱軸為，
由函數(shù)在上單調(diào)遞增可得，即，
所以“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.
故選：A
13．（2024·天津·一模）設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】解出不等式后，結(jié)合充分條件與必要條件的定義即可得.
【詳解】由，解得或，
故“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
14．（2024·天津河西·一模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)分式不等式和一元二次不等式的解法，結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得解.
【詳解】由得，解得，
由得，所以，解得，
所以“”是“”成立的必要不充分條件.
故選：B
15．（2024·天津·一模）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義分析判斷即可.
【詳解】因?yàn)椋?dāng)時(shí)，有，則成立，即充分性成立；
當(dāng)時(shí)，，即成立，而，即不成立，進(jìn)而必要性不成立.
所以，“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
16．（2024·天津和平·一模）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．既不充分也不必要條件 D．充要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，利用特例可判定充分性不成立，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，可判定必要性成立，即可得到答案.
【詳解】例如：，此時(shí)，但，所以充分性不成立；
設(shè)直線，圓，則圓心為，半徑為，
可得圓心到的距離為，
此時(shí)直線與圓相切，所以與圓沒有公共點(diǎn)，
即滿足不等式的點(diǎn)，使得恒成立，即必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
17．（2022·天津河西·一模）設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)題意解出不等式比較兩范圍大小即可得出結(jié)果.
【詳解】解不等式可得或；
顯然是或的真子集，
所以可得“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
18．（2023·天津武清·模擬預(yù)測）設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】解不等式求出不等式的解集，根據(jù)為的真子集，得到答案.
【詳解】解不等式得，
不等式化為，所以，
因?yàn)闉榈恼孀蛹?br/>所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
19．（2023·天津河西·模擬預(yù)測）已知條件，條件，則是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】化簡兩個(gè)條件，即可得出結(jié)論.
【詳解】由題意，
在中，解得：或，
在中，解得：，
∵可以推出，不可以推出，
∴是的必要不充分條件，
故選：B.
20．（2022·天津河西·模擬預(yù)測）設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】首先解出不等式和，根據(jù)兩個(gè)不等式的解集即可得出答案．
【詳解】由，得，
解得；
由，得，得
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，一定可以推出，
而當(dāng)時(shí)，不能推出。
所以“”是“”的充分不必要條件，
故選：A．
題型3：均值不等式
21．（2023·天津武清·模擬預(yù)測）已知，，且，則的最小值為（ ）
A． B．21 C．25 D．
【答案】C
【分析】變換得到，再利用均值不等式計(jì)算得到答案.
【詳解】，，因?yàn)椋剩?br/>，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號成立．
所以的最小值為．
故選：C.
22．（2023·天津河西·模擬預(yù)測）已知，若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由對數(shù)的概念和運(yùn)算性質(zhì)可得，再由基本不等式可求解.
【詳解】由，可得，，
代入，得，即，
由對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，，解得，
則，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.
故選：C.
23．（2023·天津?yàn)I海新·三模）已知，，，則的最小值為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【分析】由換底公式和基本不等式即可求解.
【詳解】由知,
結(jié)合，以及換底公式可知，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，，
即時(shí)等號成立，
即時(shí)等號成立，
故的最小值為，
故選：B.
24．（2024·天津河?xùn)|·一模）若，則的最小值為 ．
【答案】4
【分析】根據(jù)基本不等式即可求解.
【詳解】由，
故
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
故最小值為4，
故答案為：4
25．（23-24高三上·天津和平·開學(xué)考試）已知，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，化簡，結(jié)合基本不等式，即可求解.
【詳解】由，
可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立，
所以的最小值為.
故答案為：.
26．（2023·天津?yàn)I海新·三模）已知正實(shí)數(shù)m，n，滿足，則的最小值為 .
【答案】
【分析】，利用函數(shù)單調(diào)性可得，又注意到，后由基本不等式可得答案.
【詳解】，構(gòu)造函數(shù)，則，即在上單調(diào)遞增，
則.則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號.
故答案為：.
27．（2023·天津津南·模擬預(yù)測）已知，，且，則ab的最小值為 ．
【答案】16
【分析】根據(jù)給定條件，利用換底公式變形，再利用均值不等式求解作答.
【詳解】因?yàn)椋瑒t，由，得，
則有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，
于是，，
所以當(dāng)時(shí)，ab取得最小值16.
故答案為：16
28．（2023·天津·二模）若，且，則的最小值為 .
【答案】5
【分析】根據(jù)對數(shù)的換底公式得到，解得，即，然后代入中，利用基本不等式求最小值即可.
【詳解】因?yàn)椋裕獾没颍?br/>因?yàn)椋裕瑒t，即，
因?yàn)椋裕?br/>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.
故答案為：5.
29．（2023·天津·一模）在中，已知，，，為線段上的點(diǎn)，且，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】首先由及得出，再由得出，由得出，設(shè)，，結(jié)合已知得出，根據(jù)基本不等式求解即可．
【詳解】因?yàn)椋遥?br/>所以，即，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以，
所以，由得，
由得，
因?yàn)椋?br/>所以，即，
由及得，
設(shè)，，
因?yàn)椋?br/>所以，，
所以
將，代入得，，即，
所以，
因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，
所以，
故答案為：．
30．（2023·天津·二模）已知實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值為 .
【答案】/
【分析】由已知可得出，再結(jié)合基本不等式可求得的最小值.
【詳解】因?yàn)椋矗?br/>所以，，
所以，，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，等號成立，
故的最小值為.
故答案為：.
題型4：不等式恒成立
31．（2018·天津·二模）已知，關(guān)于的不等式對于一切實(shí)數(shù)恒成立，又存在實(shí)數(shù)，使得成立，則的最小值為 .
【答案】
【分析】首先由不等式恒成立得到，再由存在成立問題，得到，從而確定，然后將原問題轉(zhuǎn)化為單變量最值問題，利用整體代換和基本不等式得到最值即可.
【詳解】由不等式對于一切實(shí)數(shù)恒成立可得，解得，
又存在實(shí)數(shù)，使得成立，則，得，所以.
∴
∵
∴
∴（當(dāng)且僅當(dāng)，，即或取等號）
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題的考查點(diǎn)較多，首先是對于能成立和恒成立問題的轉(zhuǎn)化確定，然后運(yùn)用了我們常用的一種處理最值的方法，多變量變單變量，最后在化解的過程中還需要整體代換，最后再利用基本不等式的方法求取最值，所以平時(shí)對于恒成立與能成立的問題要十分熟悉，最值問題的常見處理方法，如多變量多變單量法，整體代換法，構(gòu)造一元二次不等式法，判別式法等，平時(shí)要熟練運(yùn)用.
32．（2017·天津·一模）已知a＞b，關(guān)于x的不等式對于一切實(shí)數(shù)x恒成立，又存在實(shí)數(shù)，使得成立，則最小值為 ．
【答案】
【分析】由對于一切實(shí)數(shù)恒成立，可得，且；再由，使成立，可得，進(jìn)而可得的值為1，將可化為，利用基本不等式可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)閷τ谝磺袑?shí)數(shù)恒成立，
所以，且，所以；
再由，使成立，
可得，所以，
所以，
因?yàn)椋矗裕?br/>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，
所以的最小值為，
故答案為：
33．（2020·天津·一模）已知函數(shù).若存在使得關(guān)于x的不等式成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
【答案】
【分析】對的取值進(jìn)行分類討論，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值以及最小值的問題，即可求得參數(shù)的取值范圍.
【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，不等式可化為顯然不成立；
當(dāng)時(shí)，不等式可化為，所以，
又當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立；
當(dāng)時(shí)，不等式可化為，
即；
因?yàn)榇嬖谑沟藐P(guān)于x的不等式成立，
所以，只需或.
故答案為：.
34．（2019·天津·一模）定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，若時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是 .
【答案】
【分析】本題首先可以求出時(shí)函數(shù)的最小值，然后根據(jù)求出當(dāng)時(shí)函數(shù)的最小值以及時(shí)函數(shù)的最小值，再然后根據(jù)恒成立得出，最后通過運(yùn)算即可得出結(jié)果.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.
因?yàn)楹瘮?shù)滿足，
所以當(dāng)時(shí)，的最小值為，
所以當(dāng)時(shí)，的最小值為，
因?yàn)闀r(shí)，恒成立，
所以，即，
解得，
故答案為：.
35．（2018·天津·一模）已知函數(shù)f1（x）=﹣ax2，f2（x）=x3+x2，f（x）=f1（x）+f2（x），設(shè)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若不等式f1（x）＜f′（x）＜f2（x）在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，則a的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】在區(qū)間上恒成立，即恒成立，可化為，由一次函數(shù)的性質(zhì)可求的范圍；可化為，由二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最值，可得的范圍，綜合兩種情況可得結(jié)果．
【詳解】f（x）=﹣ax2+x3+x2=x3+（1﹣a）x2，f′（x）=3x2+2（1﹣a）x，
f1（x）＜f′（x）＜f2（x）在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，
即﹣ax2＜3x2+2（1﹣a）x＜x3+x2恒成立，
﹣ax2＜3x2+2（1﹣a）x，可化為（a+3）x+2（1﹣a）＞0，
，解得﹣3≤a≤5①；
3x2+2（1﹣a）x＜x3+x2可化為2a＞﹣x2+2x+2，
而﹣x2+2x+2=﹣（x﹣1）2+3＜3，
∴2a≥3，即②，
由①②可得，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故答案為．
36．（2018·天津河西·一模）定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)
若任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是
【答案】
【分析】先根據(jù)解析式以及偶函數(shù)性質(zhì)確定函數(shù)單調(diào)性，再化簡不等式，分類討論分離不等式，最后根據(jù)函數(shù)最值求m取值范圍，即得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí) 為單調(diào)遞減函數(shù)，又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，因此不等式恒成立，等價(jià)于不等式恒成立，即，平方化簡得，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，對恒成立，；
當(dāng)時(shí)，對恒成立，（舍）；
綜上，因此實(shí)數(shù)的最大值是.
37．（2018·天津·高考真題）已知，函數(shù)若對任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，則a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】由題意分類討論和兩種情況，結(jié)合恒成立的條件整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.
【詳解】分類討論：①當(dāng)時(shí)，即：，
整理可得：，
由恒成立的條件可知：，
結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：
當(dāng)時(shí)，，則；
②當(dāng)時(shí)，即：，整理可得：，
由恒成立的條件可知：，
結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：
當(dāng)或時(shí)，，則；
綜合①②可得的取值范圍是，故答案為.
1、對于恒成立問題，常用到以下兩個(gè)結(jié)論：(1)a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min.有關(guān)二次函數(shù)的問題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法．一般從：①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點(diǎn)函數(shù)值符號四個(gè)方面分析． 2、解函數(shù)不等式：首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“”，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時(shí)要注意與的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi). 3、不等式恒成立問題常見方法：① 分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 數(shù)形結(jié)合( 圖象在 上方即可)；③ 討論最值或恒成立.

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