資源簡介

培優專題02 函數的性質及其應用
題型1 函數的概念與性質
題型2 指對冪函數及應用
題型3 函數的圖像
題型4 函數的零點與方程
題型5 函數模型的應用
題型一：函數的概念與性質
1．（2023·天津河北·一模）關于函數有下述四個結論：
①是偶函數；
②在區間上單調；
③的最大值為，最小值為，則；
④最小正周期是.
其中正確的結論有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】①由偶函數的概念可判斷；②先整理當時，，根據的單調性可得；③先去絕對值，分別根據單調性求函數的最值即可；④根據周期函數的概念可得.
【詳解】函數的定義域為，因為，
故是偶函數；
當時，，此時，
對于，令，得，
令，得，
又，故在上單調遞增，在上單調遞減，故②錯誤；
當時，，
由②可知，在上單調遞增，在上單調遞減，
此時的最大值為，最小值為，
當時，，，
令，得，
令，得，
故在上單調遞增，在上單調遞減，
此時的最大值為，最小值為，
故，，，故③正確；
由③可知，
又，
故④正確；
故選 ：C
2．（2024·天津河東·一模）已知偶函數，則下列結論中正確的個數為（ ）
①；②在上是單調函數；
③的最小值為；④方程有兩個不相等的實數根
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
由偶函數的性質分析求出,根據復合函數的單調性，即可判斷①，結合導數判斷函數單調性即可判斷②，根據函數的單調性即可求解最值判斷③,根據函數的最值即可判斷④.
【詳解】
函數是偶函數，
則有，
即，
，①正確；
則，
設，由于，易知在上單調遞增，則，
所以在上為增函數，
而為增函數，則在上是單調函數，②正確；
，當且僅當時，等號成立，
則的最小值為，③正確；
為偶函數且在上為增函數，其最小值為，
由于，所以，故方程沒有實數根；④錯誤．
故選：C．
3．（23-24高一上·北京海淀·期末）已知函數，則“”是“為奇函數”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】根據“”與“為奇函數”互相推出的情況判斷屬于何種條件.
【詳解】當時，，定義域為且關于原點對稱，
所以，
所以為奇函數；
當為奇函數時，顯然定義域為且關于原點對稱，所以，
所以，
所以，
由上可知，“”是“為奇函數”的充要條件，
故選：C.
4．（2024·全國·模擬預測）設是定義域為的偶函數，且為奇函數.若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據所給函數性質求出函數周期，利用周期化簡即可得解.
【詳解】由為奇函數，得，
得的圖象關于點對稱，所以.
又因為是定義域為的偶函數，所以，，
所以的周期為4，
所以.
故選：A.
5．（2024·全國·模擬預測）已知函數的圖象關于點對稱，則（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】利用函數中心對稱的性質，代入化簡解方程即可求得.
【詳解】由對稱中心性質可知函數滿足，
即，
整理可得，即，
解得.
故選：C
(1)函數周期性與奇偶性的綜合多是求值或比較大小 問題 , 常利用奇偶性及周期性進行變換 , 將所求函數值 的 自變量轉化到已知函數解析式的定義域內求解. (2)解決函數奇偶性與圖 象的對稱性的綜合問題時 , 要注意把已知函數的奇偶性按定義轉化 , 再判斷 函數圖 象 的對 稱 軸 或對 稱 中 心 ; 也 可 利 用 圖 象 變換關 系得 出 函數圖象的對稱性 . 總之 , 要 充 分 利 用 已知條件進行適當轉化 .
題型二：指對冪函數及應用
6．（2023·天津河北·一模）若，則的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先化簡，，，再根據即可得解.
【詳解】，即，
，
，
又，所以，
所以，
故選：D
7．（2024高三·全國·專題練習）記在區間（為正數）上的最大值為，若，則實數的最大值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】將問題轉化為，當時，求出，當或時得到，代入即可求出實數的范圍.
【詳解】由題意如圖：在區間（為正數）上的最大值為，轉化為，
當時，則有：，
那么①；
當或時，或，
所以只需要，即，
得②，
把①式帶入②，得：，
故選：D．

8．（2024·吉林長春·模擬預測）已知函數，則不等式的解集為 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】判斷的奇偶性和單調性，再根據函數性質求解不等式即可.
【詳解】，定義域為，又，故為偶函數；
又當時，均為單調增函數，故為上的單調增函數；
又，故當時，，則此時為上的單調增函數，故時，為單調減函數；
，即，則，即，，
也即，解得.
故選：A.
9．（2024·浙江·二模）若函數為偶函數，則實數a的值為（ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】A
【分析】根據偶函數滿足的關系即可化簡求解.
【詳解】的定義域為，，
由于為偶函數，故，即，
故，解得
故選：A
10．（23-24高三上·天津南開·階段練習）已知奇函數在上是減函數，若，，，則，，的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據奇函數的性質得到，，再比較，，的大小關系，最后結合函數的單調性判斷即可.
【詳解】奇函數在上是減函數，則，
所以，
，
因為，，
又，所以，
所以，則，
故.
故選：B
題型三：函數的圖像
11．（23-24高三上·天津和平·期末）函數的大致圖象如圖所示，則它的解析式可能是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據函數圖象關于原點對稱，可知函數為奇函數，結合函數零點情況，逐項驗證即可.
【詳解】函數圖象關于原點對稱，可知函數為奇函數，且函數在有唯一零點，
對于A，函數的定義域為，且，函數為偶函數，故A錯誤；
對于B，函數的定義域為，，函數為奇函數，
但當時，恒成立，無零點，故B錯誤；
對于C，函數的定義域為，且，函數為偶函數，故C錯誤；
對于D，函數的定義域為，且，函數為奇函數，經驗證，符合題意，故D正確，
故選：D.
12．（23-24高三上·天津南開·階段練習）函數的大致圖像為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據奇偶性可排除CD，當時，，排除B.
【詳解】因為，，
所以，
故函數為奇函數，故排除CD，
當時知，可排除B.
故選：A.
13．（23-24高三上·天津·期中）已知函數，且的圖象如下圖所示，則的解析式可能為（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由奇偶性定義判斷A、B的奇偶性，在，趨向于0時的符號，結合排除法即得答案.
【詳解】由且定義域為，
所以為偶函數，排除A；
由且定義域為，
所以為偶函數，排除B；
對于，當，趨向于0時，趨向正無窮，趨向于1，故趨向于正無窮，排除C.
故選：D
14．（23-24高三上·天津·期中）我國著名數學家華羅庚曾說：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休．”在數學的學習和研究中，常用函數的圖象來研究函數的性質，已知函數的部分圖象如圖所示．則的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由圖可知，函數是上的奇函數，且，利用排除法求解.
【詳解】由圖可知，函數是上的奇函數，且，
若，則，不合題意，故A錯誤；
若，由得，不合題意，故B錯誤；
若，則，不合題意，故D錯誤；
故排除ABD，得C正確.
故選：C.
15．（23-24高三上·天津南開·期中）已知函數的部分圖象如圖，則函數的解析式可能為（ ）.

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由奇偶性可排除BC，由特殊點可排除D，即可求解
【詳解】由于圖像關于原點對稱，所以為奇函數，
對于B：由，
得：，為偶函數，故可排除B；
對于C：由，
得：，為偶函數，故可排除C；
由圖知圖象不經過點，
而對于D：，故可排除D；
故選：A
題型四：函數的零點與方程
16．（22-23高二下·天津河西·期末）已知函數有3個零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先分析時二次函數零點的情況，而時可將零點的問題轉化為兩個函數圖象交點的問題，利用導數求解即可.
【詳解】當時，，且，
則二次函數開口向下且在內拋物線與軸只有一個交點，
所以在上有唯一零點，
因為有3個零點，所以在上有2個零點，
即與的圖象有2個交點，
如圖當直線與曲線相切時設切點為，所以解得，

由圖可知，時，與的圖象有2個交點，
所以實數的取值范圍是.
故選：C.
17．（22-23高三下·天津和平·階段練習）已知函數，若方程恰有四個不同的實數解，分別記為，，，，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
應用輔助角公式化簡得到分段函數形式，根據對數函數、正弦型函數性質畫出圖象，數形結合確定的范圍或對稱性，進而求的范圍.
【詳解】，
所以如下圖示，要使恰有四個不同的實數解，則，
不妨設，由圖知：，且，即，
令，可得或，令，可得或，
所以，而在上遞減，故，
綜上，.
故選：A
18．（22-23高三下·天津濱海新·開學考試）已知函數，關于x的方程在上有四個不同的解，且，若恒成立，則實數k的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先分析得出無解，從而得到有四個解，結合圖像分析這四個解滿足的條件，然后代入進行化簡計算.
【詳解】整理可得：，故或，由于，故無解，由基本不等式，時，，故無解，依題意，于是在上有四個解，由余弦函數，對勾函數的圖像，可作出的圖像如下：
結合圖像可知，當時，在上有四個解如圖所示，由于是的一條對稱軸，根據對稱性，，由，即，整理可得，由于，故，即.
于是可以整理為，又，解得，結合圖像可知，，即，故，當時取得等號，為使得恒成立，只需，即，解得.
故選：B
19．（22-23高三上·天津南開·階段練習）定義已知函數．若方程有四個不同的實數解，則實數a的取值范圍是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據新定義確定函數的解析式，作出其圖象，結合條件，觀察圖象列不等式求出的取值范圍.
【詳解】因為，
所以，
由，可得，
又，所以，即，
所以，，
作出函數的圖象如下圖所示：
因為方程有四個不同的實根，
則或或，解得，
所以a的取值范圍是.
故選：B.
20．（22-23高三上·天津河西·期末）已知函數，若關于的方程有四個不等實根．則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】畫出函數的圖象，利用換元法，并構造函數，通過討論的取值范圍即可求解.
【詳解】當，
令解得，
令解得，
所以函數在單調遞增，單調遞減，
，當時，，
作出函數的圖象如下，
關于的方程有四個不等實根，
令，，則有兩個不相等的實數根，
（i），，此時各有2個根，滿足題意，
所以解得
（ii），
由，
則函數的一個根在，另一個根在，
所以解得，
綜上，.
故選:C.
題型五：函數模型的應用
21．（2024·河南新鄉·二模）某工廠產生的廢氣經過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P（單位：）與時間t（單位：h）之間的關系式為，其中是正的常數，若在前消除了的污染物，則常數k所在的區間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先由題意列式，再利用指對互化，求解方程，再確定范圍.
【詳解】由條件可知，當時，，由題意可知，，
得，即，
因為，，所以，
所以.
故選：B
22．（2024·陜西商洛·三模）近年來商洛為了打造康養之都，引進了先進的污水、雨水過濾系統．已知過濾過程中廢水的污染物數量與時間（小時）的關系為（為最初的污染物數量）．如果前3小時消除了的污染物，那么污染物消除至最初的還需要（ ）
A．2.6小時 B．6小時 C．3小時 D．4小時
【答案】C
【分析】由題意可得，再令，即可得解.
【詳解】由題意可得，可得，
設，
，解得，
因此，污染物消除至最初的還需要3小時．
故選：C.
23．（2024·四川·模擬預測）2023年6月22日，由中國幫助印尼修建的雅萬高鐵測試成功，高鐵實現時速自動駕駛，不僅速度比普通列車快，而且車內噪聲更小．如果用聲強（單位：）表示聲音在傳播途徑中每平方米上的聲能流密度，聲強級（單位：）與聲強的函數關系式為，其中為基準聲強級，為常數，當聲強時，聲強級．下表為不同列車聲源在距離處的聲強級：
聲源 與聲源的距離（單位：） 聲強級范圍
內燃列車 20
電力列車 20
高速列車 20
設在離內燃列車 電力列車 高速列車處測得的實際聲強分別為，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據聲強、聲強級之間的關系確定基準聲強級，即可判斷A；計算可得大小關系，即可判斷B，D；計算可得大小關系，即可判斷.
【詳解】對于：因為聲強時，聲強級，
所以，解得，故錯誤；
對于B：因為，
所以，即，故B正確；
對于C：，
所以，即，故C不正確；
對于D，，
所以，即，故D不正確．
故選：B．
24．（2024·北京懷柔·模擬預測）“綠水青山就是金山銀山”的理念已經提出18年，我國城鄉深化河道生態環境治理，科學治污.現有某鄉村一條污染河道的蓄水量為v立方米，每天的進出水量為k立方米，已知污染源以每天r個單位污染河水，某一時段t（單位：天）河水污染質量指數（每立方米河水所含的污染物）滿足（為初始質量指數），經測算，河道蓄水量是每天進出水量的50倍.若從現在開始停止污染源，要使河水的污染水平下降到初始時的，需要的時間大約是（參考數據：，）（ ）
A．1個月 B．3個月 C．半年 D．1年
【答案】B
【分析】
由題意可知，，利用指數與對數的運算性質進行化簡求解，即可得到答案．
【詳解】
由題意可知，，故，
則，即，
所以，則要使河水的污染水平下降到初始時的，需要的時間大約是90天，即三個月．
故選：B．
25．（2024·全國·模擬預測）遺忘曲線（又稱作“艾賓浩斯記憶曲線”）由德國心理學家艾·賓浩斯（H. Ebbinghaus）研究發現，描述了人類大腦對新事物遺忘的規律．人體大腦對新事物遺忘的循序漸進的直觀描述，人們可以從遺忘曲線中掌握遺忘規律并加以利用，從而提升自我記憶能力．該曲線對人類記憶認知研究產生了重大影響．陳同學利用信息技術擬合了“艾賓浩斯遺忘曲線”，得到記憶率與初次記憶經過的時間（小時）的大致關系：若陳同學需要在明天15時考語文考試時擁有復習背誦記憶的50%，則他復習背誦時間需大約在（ ）
A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00
【答案】A
【分析】利用函數模型求出需要記憶的時間，即可推斷出考前復習背誦的時間在幾點開始.
【詳解】令，，，
∵，
∴他在考試前半小時復習即可，
∴他復習背誦時間需大約在14：30，
故選：A.培優專題02 函數的性質及其應用
題型1 函數的概念與性質
題型2 指對冪函數及應用
題型3 函數的圖像
題型4 函數的零點與方程
題型5 函數模型的應用
題型一：函數的概念與性質
1．（2023·天津河北·一模）關于函數有下述四個結論：
①是偶函數；
②在區間上單調；
③的最大值為，最小值為，則；
④最小正周期是.
其中正確的結論有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2．（2024·天津河東·一模）已知偶函數，則下列結論中正確的個數為（ ）
①；②在上是單調函數；
③的最小值為；④方程有兩個不相等的實數根
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（23-24高一上·北京海淀·期末）已知函數，則“”是“為奇函數”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．（2024·全國·模擬預測）設是定義域為的偶函數，且為奇函數.若，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·全國·模擬預測）已知函數的圖象關于點對稱，則（ ）
A．1 B．2 C． D．
(1)函數周期性與奇偶性的綜合多是求值或比較大小 問題 , 常利用奇偶性及周期性進行變換 , 將所求函數值 的 自變量轉化到已知函數解析式的定義域內求解. (2)解決函數奇偶性與圖 象的對稱性的綜合問題時 , 要注意把已知函數的奇偶性按定義轉化 , 再判斷 函數圖 象 的對 稱 軸 或對 稱 中 心 ; 也 可 利 用 圖 象 變換關 系得 出 函數圖象的對稱性 . 總之 , 要 充 分 利 用 已知條件進行適當轉化 .
題型二：指對冪函數及應用
6．（2023·天津河北·一模）若，則的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高三·全國·專題練習）記在區間（為正數）上的最大值為，若，則實數的最大值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
8．（2024·吉林長春·模擬預測）已知函數，則不等式的解集為 （ ）
A． B． C． D．
9．（2024·浙江·二模）若函數為偶函數，則實數a的值為（ ）
A． B．0 C． D．1
10．（23-24高三上·天津南開·階段練習）已知奇函數在上是減函數，若，，，則，，的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
題型三：函數的圖像
11．（23-24高三上·天津和平·期末）函數的大致圖象如圖所示，則它的解析式可能是（ ）

A． B．
C． D．
12．（23-24高三上·天津南開·階段練習）函數的大致圖像為（ ）
A． B．
C． D．
13．（23-24高三上·天津·期中）已知函數，且的圖象如下圖所示，則的解析式可能為（ ）

A． B．
C． D．
14．（23-24高三上·天津·期中）我國著名數學家華羅庚曾說：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休．”在數學的學習和研究中，常用函數的圖象來研究函數的性質，已知函數的部分圖象如圖所示．則的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
15．（23-24高三上·天津南開·期中）已知函數的部分圖象如圖，則函數的解析式可能為（ ）.

A． B．
C． D．
題型四：函數的零點與方程
16．（22-23高二下·天津河西·期末）已知函數有3個零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
17．（22-23高三下·天津和平·階段練習）已知函數，若方程恰有四個不同的實數解，分別記為，，，，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
18．（22-23高三下·天津濱海新·開學考試）已知函數，關于x的方程在上有四個不同的解，且，若恒成立，則實數k的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
19．（22-23高三上·天津南開·階段練習）定義已知函數．若方程有四個不同的實數解，則實數a的取值范圍是（ ）．
A． B． C． D．
20．（22-23高三上·天津河西·期末）已知函數，若關于的方程有四個不等實根．則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
題型五：函數模型的應用
21．（2024·河南新鄉·二模）某工廠產生的廢氣經過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P（單位：）與時間t（單位：h）之間的關系式為，其中是正的常數，若在前消除了的污染物，則常數k所在的區間為（ ）
A． B． C． D．
22．（2024·陜西商洛·三模）近年來商洛為了打造康養之都，引進了先進的污水、雨水過濾系統．已知過濾過程中廢水的污染物數量與時間（小時）的關系為（為最初的污染物數量）．如果前3小時消除了的污染物，那么污染物消除至最初的還需要（ ）
A．2.6小時 B．6小時 C．3小時 D．4小時
23．（2024·四川·模擬預測）2023年6月22日，由中國幫助印尼修建的雅萬高鐵測試成功，高鐵實現時速自動駕駛，不僅速度比普通列車快，而且車內噪聲更小．如果用聲強（單位：）表示聲音在傳播途徑中每平方米上的聲能流密度，聲強級（單位：）與聲強的函數關系式為，其中為基準聲強級，為常數，當聲強時，聲強級．下表為不同列車聲源在距離處的聲強級：
聲源 與聲源的距離（單位：） 聲強級范圍
內燃列車 20
電力列車 20
高速列車 20
設在離內燃列車 電力列車 高速列車處測得的實際聲強分別為，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
24．（2024·北京懷柔·模擬預測）“綠水青山就是金山銀山”的理念已經提出18年，我國城鄉深化河道生態環境治理，科學治污.現有某鄉村一條污染河道的蓄水量為v立方米，每天的進出水量為k立方米，已知污染源以每天r個單位污染河水，某一時段t（單位：天）河水污染質量指數（每立方米河水所含的污染物）滿足（為初始質量指數），經測算，河道蓄水量是每天進出水量的50倍.若從現在開始停止污染源，要使河水的污染水平下降到初始時的，需要的時間大約是（參考數據：，）（ ）
A．1個月 B．3個月 C．半年 D．1年
25．（2024·全國·模擬預測）遺忘曲線（又稱作“艾賓浩斯記憶曲線”）由德國心理學家艾·賓浩斯（H. Ebbinghaus）研究發現，描述了人類大腦對新事物遺忘的規律．人體大腦對新事物遺忘的循序漸進的直觀描述，人們可以從遺忘曲線中掌握遺忘規律并加以利用，從而提升自我記憶能力．該曲線對人類記憶認知研究產生了重大影響．陳同學利用信息技術擬合了“艾賓浩斯遺忘曲線”，得到記憶率與初次記憶經過的時間（小時）的大致關系：若陳同學需要在明天15時考語文考試時擁有復習背誦記憶的50%，則他復習背誦時間需大約在（ ）
A．14
(1)函數周期性與奇偶性的綜合多是求值或比較大小 問題, 常利用奇偶性及周期性進行變換 , 將所求函數值 的 自變量轉化到已知函數解析式的定義域內求解.
(2)解決函數奇偶性與圖 象的對稱性的綜合問題時 , 要注意把已知函數的奇偶性按定義轉化 , 再判斷 函數圖 象 的對 稱 軸 或對 稱 中 心 ; 也 可 利 用 圖 象 變換關 系得 出 函數圖象的對稱性 . 總之 , 要 充 分 利 用 已知條件進行適當轉化 .

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