資源簡介

培優專題03 導數及其應用
題型1 導數的概念及幾何意義
題型2 導數與函數的單調性
題型3 導數與函數的極值
題型4 導數與函數的最值
題型5 導數的綜合應用
題型一：導數的概念及幾何意義
1．已知直線與函數的圖象在處的切線沒有交點，則（ ）
A．6 B．7 C．8 D．12
2．若直線與曲線相切，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
3．若直線是指數函數且圖象的一條切線，則底數（ ）
A．2或 B． C． D．或
4．已知直線既是曲線的切線，也是曲線的切線，則（　　）
A．， B．，
C．， D．，
5．函數與直線相切于點，則點的橫坐標為（ ）
A． B．1 C．2 D．
題型二、導數與函數的單調性
6．已知實數，分別滿足，，且，則（ ）
A． B． C． D．
7．下列函數中，既是奇函數，又在區間上單調遞增的是（ ）
A． B． C． D．
8．設函數則滿足的x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
9．設，則（ ）
A． B．
C． D．
10．函數的最小值為（ ）
A． B． C． D．
題型三：導數與函數的極值
11．已知函數，若是的一個極大值點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
12．函數的極小值點為（ ）
A．2 B． C． D．
13．設是函數的兩個極值點，若，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
14．已知函數，若是函數的唯一極小值點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
15．若函數有大于零的極值點，則實數a的取值范圍為（　　）
A． B． C． D．
題型四：導數與函數的最值
16．函數在區間上的最小值、最大值分別為（ ）
A． B． C． D．
17．已知函數，當時，記的最大值為，有，則實數的最大值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
18．已知（為常數）在上有最大值3，則函數在上的最小值為（ ）
A． B． C． D．
19．記函數的導函數為，的導函數為，則曲線的曲率．若函數為，則其曲率的最大值為（ ）
A． B． C． D．
20．已知函數的最小值為，則的最小值為（ ）
A． B． C．0 D．1
題型五：導數的綜合應用
21．已知函數.
(1)求的單調區間與極值；
(2)求在區間上的最大值與最小值.
22．已知函數．
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)求函數在上的單調區間、最值．
(3)設在上有兩個零點，求的范圍.
23．設函數．
(1)求在處的切線方程；
(2)求的極大值點與極小值點；
(3)求在區間上的最大值與最小值．
24．已知函數，記f（x）的導數為f′（x）．若曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為﹣3，且x＝2時y＝f（x）有極值，
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值．
25．已知三次函數，a，，若函數的圖象在處的切線方程為
（I）求函數的解析式；
（II）求函數的極小值；
（Ⅲ）若存在，使得成立，求實數m的取值范圍.培優專題03 導數及其應用
題型1 導數的概念及幾何意義
題型2 導數與函數的單調性
題型3 導數與函數的極值
題型4 導數與函數的最值
題型5 導數的綜合應用
題型一：導數的概念及幾何意義
1．已知直線與函數的圖象在處的切線沒有交點，則（ ）
A．6 B．7 C．8 D．12
【答案】C
【分析】求，再求出，，由點斜式方程可求出函數的圖象在處的切線方程，再由直線與直線平行，即可得出答案.
【詳解】，，
，
所以函數的圖象在處的切線方程為：
，則，
因為直線與直線沒有交點，
所以直線與直線平行，
則.
故選：C.
2．若直線與曲線相切，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】借助導數的幾何意義計算可得，借助導數得到函數的值域即可得解.
【詳解】對于，有，令切點為，則切線方程為，
即，即有，
令，則，
當時，，當時，，
故在上單調遞增，在上單調遞減，
故，
又當趨向于正無窮大時，趨向于負無窮，
故，即.
故選：A.
3．若直線是指數函數且圖象的一條切線，則底數（ ）
A．2或 B． C． D．或
【答案】D
【分析】設切點坐標為，根據導數的幾何意義，列式運算求得的值.
【詳解】設切點坐標為，對函數，求導得，
切線方程化成斜截式為，
由題設知，顯然，即，
由，得，即，
即，
即，化簡得，
令，即，利用指數函數與一次函數的性質，可知或，
即或，解得或.
故選：D.
4．已知直線既是曲線的切線，也是曲線的切線，則（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】設出切點，寫出切線方程，利用對應系數相等建立方程，解出即可.
【詳解】設直線與曲線的切點為且，
與曲線的切點為且，
又，，
則直線與曲線的切線方程為，即，
直線與曲線的切線方程為，即，
則，解得，故，
故選：A.
5．函數與直線相切于點，則點的橫坐標為（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】B
【分析】設出，求導，直線的斜率為，根據導數的幾何意義得到方程，求出橫坐標
【詳解】設函數與直線相切于點，
直線的斜率為，
，所以，所以．
故選：B．
題型二、導數與函數的單調性
6．已知實數，分別滿足，，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】構造函數，先求證，得，再構造函數，利用導數求得，即可比較大小.
【詳解】由，，得，，
設，則，
所以當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，所以，即，
同理可證，所以，
當時，可得，即，
設，則，
所以當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
所以，即，整理得，即，
所以.
故選：C
7．下列函數中，既是奇函數，又在區間上單調遞增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用奇函數的定義，即可判斷四個選項的奇偶性，只有是奇函數，又正切函數在上不是單調遞增函數，而函數的導函數恒大于零，所以只有C正確.
【詳解】對于A，，為偶函數，故A錯誤；
對于B，，為奇函數，又在不滿足單調遞增定義，所以B錯誤；
對于C，，為奇函數，， 在區間上單調遞增，故C正確；
對于D，是非奇非偶函數，所以D錯誤.
故選：C.
8．設函數則滿足的x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】觀察題設條件與所求不等式，構造函數，利用奇偶性的定義與導數說明其奇偶性和單調性，從而將所求轉化為，進而得解.
【詳解】因為，
所以
，
設，顯然定義域為，，
又，
所以為上的奇函數，
又，
所以在上單調遞增，
又，則，
所以，即，
所以，解得，
則滿足的的取值范圍是．
故選：C．
9．設，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】構造函數，利用函數單調性確定大小，通過作差，判斷正負即可確定大小即可.
【詳解】設，則，得，
則在上單調遞增，在上單調遞減，
，則，
又，得，
所以，
故選：A
10．函數的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據給定條件，分段去絕對值符號，借助導數探討單調性求出最小值即可.
【詳解】當時，，單調遞增，則，
當時，，求導得，單調遞減，
因此，
所以的最小值為.
故選：B
題型三：導數與函數的極值
11．已知函數，若是的一個極大值點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求出函數的導函數，令，根據根的判定式得到有兩個不相等的實根，不妨設，是的兩實根，且，根據是函數的一個極大值點，即可得到，從而求出參數的取值范圍．
【詳解】因為，
所以，
設，則，
所以有兩個不相等的實根．
于是可設，是的兩實根，且，
當時，，
所以當時，當或時，又，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
即不是的極值點，此時不合題意；
當且時，由于是的極大值點，故，即，
所以，即的取值范圍是．
故選：D．
12．函數的極小值點為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】利用導數判斷單調性，進而可得極小值點.
【詳解】因為，
所以在，上單調遞增，在上單調遞減，故極小值點為2．
故選：A
13．設是函數的兩個極值點，若，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】先求導，再結合已知條件與韋達定理即可求出結果.
【詳解】由題意得，又是函數的兩個極值點，
則是方程的兩個根，
故，
又，則，即，則，
則，所以，解得，
此時.
故選：C．
14．已知函數，若是函數的唯一極小值點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求導后令，再求，分及討論的正負，從而得到的單調性與對應極值點即可得解.
【詳解】，令，則，
當時，，故單調遞增，
又，故當時，，當時，，
故在上單調遞減，在上單調遞增，
故是函數的唯一極小值點，符合題意，
當時，，
故一定存在，使在上單調遞減，
此時不是函數的極小值點，故時不符合題意，
綜上所述，的取值范圍為.
故選：A.
【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵是對這一種情況的處理，利用推得不是函數的極小值點，從而得解.
15．若函數有大于零的極值點，則實數a的取值范圍為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出函數的導數，求出極值點，利用極值點大于0，求出的范圍．
【詳解】函數，
可得，
若，此時單調遞增，無極值點，
故，令，解得，
當時，，當時，，
故是的極值點
由于函數有大于零的極值點，
，解得．
故選：C．
題型四：導數與函數的最值
16．函數在區間上的最小值、最大值分別為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用導數求得的單調區間，從而判斷出在區間上的最小值和最大值.
【詳解】，
所以在區間上，即單調遞增；
在區間上，即單調遞減，
又，，
所以在區間上的最小值為，最大值為.
故選：A
17．已知函數，當時，記的最大值為，有，則實數的最大值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】解法一：求導，利用導數可知在區間為減區間，進而可得的最值，結合絕對值的性質可得，分析求解即可；解法二：分析可知對稱中心在，根據平口理論可得，，進而可求，結合恒成立問題分析求解即可.
【詳解】解法一：函數的導數為，
由，可得，，
可知，則在區間為減區間，
可得的最大值為，最小值為，
對任意的恒成立，可得，
可得，
由，可得，即，
則的最大值為2；
解法二：因為，
可知三次函數對稱中心在，
根據平口函數理論，即①，
且，且②，
由①②解得，與題意不符合；
故只能選擇，此時，
則，可知，
則在區間為減區間，
可得的最小值為，最大值為，
可知的最大值2，可得，則的最大值為2.
故選：B．
18．已知（為常數）在上有最大值3，則函數在上的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】對函數進行求導，判斷其單調性和最值，根據最大值為求出，進而根據單調性可得其最小值.
【詳解】由得，
故當時，，在區間上單調遞增，
當時，，在區間上單調遞減，
故當時，取得最大值，即，此時，
當，，當時，
故最小值為，
故選：C
19．記函數的導函數為，的導函數為，則曲線的曲率．若函數為，則其曲率的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據定義求解和，由曲率的定義求出曲率，利用導數判斷單調性求出最大值.
【詳解】函數的定義域為，，，
所以曲線的曲率，
，，
當時，，當時，，
所以當時，曲率取得最大值.
故選：C.
20．已知函數的最小值為，則的最小值為（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】由二次函數的性質可知，令，運用導數可求得的最小值，進而可得結果.
【詳解】因為，
令，則，
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
，
，
故選：B．
題型五：導數的綜合應用
21．已知函數.
(1)求的單調區間與極值；
(2)求在區間上的最大值與最小值.
【詳解】（1）由題設，令，得或，
當時，即，解得或，單調遞增區間為和.
當時，即，解得，單調遞減區間為.
函數的極大值為，極小值為.
（2）由，，，則
且在區間上連續，函數在區間內的最大值為54，最小值為.
22．已知函數．
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)求函數在上的單調區間、最值．
(3)設在上有兩個零點，求的范圍.
【詳解】（1）由題意知，，，所以曲線在點處的切線方程為，即.
（2）由得，當時，，所以函數在上的單調遞增；當時，，所以函數在上的單調遞減.
所以函數在上的單調增區間為，單調減區間為.
所以，又，，
所以.
（3）在上有兩個零點，即有兩個不等根，
由（2）知.
23．設函數．
(1)求在處的切線方程；
(2)求的極大值點與極小值點；
(3)求在區間上的最大值與最小值．
【詳解】（1）由題意得：，則，
又，
在處的切線方程為，即；
（2）令，解得：或，
則變化情況如下表：
極小值 極大值
的極小值點為，極大值點為；
（3）由（2）知：在上單調遞減，在上單調遞增；
又，，，
，.
24．已知函數，記f（x）的導數為f′（x）．若曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為﹣3，且x＝2時y＝f（x）有極值，
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值．
【詳解】（Ⅰ）由題意得：f′（x）＝3x2+2ax+b，
所以k=f′（1）＝3+2a+b＝﹣3，f′（2）＝12+4a+b＝0，
解得a＝﹣3，b＝0，
所以f（x）＝x3﹣3x2+1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令f′（x）＝3x2﹣6x＝0，解得x＝0或x＝2，
當﹣1＜x＜0時，f′（x）＞0，f（x）在（﹣1，0）是增函數，
當0＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）是減函數，
所以f（x）的極大值為f（0）＝1，又f（1）＝﹣1，f（﹣1）＝﹣3，
所以f（x）在[﹣1，1]上的最大值為1，最小值為﹣3．
25．已知三次函數，a，，若函數的圖象在處的切線方程為
（I）求函數的解析式；
（II）求函數的極小值；
（Ⅲ）若存在，使得成立，求實數m的取值范圍.
【詳解】（1）因為，直線的斜率為
所以，
當切點坐標為，，
（2），由可得或
由可得
所以在、上單調遞增，在上單調遞減
所以的極小值為
（3）令，則
令，則或
當時，，函數單調遞減
當時，，函數單調遞增
所以函數在內取得最大值
存在，使得成立
即使得成立

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