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培優(yōu)沖刺04 新結(jié)構(gòu)19題型卷導(dǎo)數(shù)“降溫”題型歸類
目錄
題型一：切線型·········································································································································································1
題型二：零點型·········································································································································································2
題型三：單調(diào)或者不單調(diào)型··················································································································································3
題型四：常規(guī)型不等式的證明··············································································································································4
題型五：不等式“恒成立”求參···············································································································································4
題型六：不等式“能成立”求參···············································································································································5
題型七：求整數(shù)型參數(shù)···························································································································································6
題型八：二次求導(dǎo)型································································································································································7
題型九：雙變量型構(gòu)造···························································································································································7
題型十：數(shù)列型不等式證明··················································································································································8
題型十一：老高考壓軸型導(dǎo)數(shù)題·········································································································································8
題型一：切線型
求切線的步驟： (1) 已知切點求斜率,即求該點處的導(dǎo)數(shù)； (2) 己知斜率求切點即解方程； (3) 已知切線過某點(不是切點) 求切點, 設(shè)出切點利用求解. 若切線與函數(shù)交點個數(shù)，可以通過聯(lián)立方程，幾個解來證明或者求參
1.已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的極值點；
(2)記曲線在處的切線為，求證，與有唯一公共點．
2．已知函數(shù)（）．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)在點處的切線與直線垂直，解不等式．
3．已知函數(shù)
(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；
(2)曲線在點處的切線與曲線只有一個公共點，求a的值．
4．已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為.
(1)求的解析式；
(2)若過點可作圖象的三條切線，證明：.
題型二：零點型
極值點個數(shù)的判斷問題，一般轉(zhuǎn)化為零點的個數(shù)，注意求出導(dǎo)函數(shù)的零點，此零點不一定是原函數(shù)的極值點，還要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或函數(shù)圖象進行驗證.
1.已知函數(shù).
(1)當(dāng)曲線在點處的切線與直線垂直時，求a的值；
(2)討論的極值點的個數(shù).
2．已知函數(shù)，．
(1)求函數(shù)圖象上一點處的切線方程；
(2)若函數(shù)有兩個零點（），求的取值范圍．
3．已知函數(shù).
(1)設(shè)，證明：當(dāng)時，過原點O有且僅有一條直線與曲線相切；
(2)若函數(shù)有兩個零點，求a的取值范圍.
4．已知函數(shù)（為常數(shù)），函數(shù)．
(1)若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值的范圍；
(2)當(dāng)，設(shè)函數(shù)，若在上有零點，求的最小值．
題型三：單調(diào)或者不單調(diào)型
利用導(dǎo)數(shù)解決不含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的步驟： ①確定函數(shù)的定義域； ②求； ③在定義域內(nèi)解不等式，得單調(diào)遞增區(qū)間； ④在定義域內(nèi)解不等式，得單調(diào)遞增區(qū)間. 利用導(dǎo)數(shù)解決已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)問題的一般方法： ①利用集合間的包含關(guān)系處理：在上單調(diào)， 則區(qū)間是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集. ②為增函數(shù)的充要條件是對任意的都有且在內(nèi)的任一 非空子區(qū)間上，不恒為零，應(yīng)注意此時式子中的等號不能省略，否則漏解. ③函數(shù)在某一個區(qū)間存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問題.
1.已知函數(shù).
(1)若，證明：當(dāng)時，；
(2)求所有的實數(shù)，使得函數(shù)在上單調(diào).
2．已知函數(shù).
（1）若，求證：；
（2）若函數(shù)在上不單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍.
3．已知，函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）若，證明：曲線沒有經(jīng)過點的切線；
（Ⅱ）若函數(shù)在其定義域上不單調(diào)，求的取值范圍；
4．已知函數(shù).
（1）若直線與曲線相切，求的值；
（2）若函數(shù)在上不單調(diào)，且函數(shù)有三個零點，求的取值范圍.
題型四：常規(guī)型不等式的證明
利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下： （1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進而構(gòu)造輔助函數(shù)； （2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論； （3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
1.已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)的圖象在處的切線與軸平行，求的值；
(2)當(dāng)時，求證：．
2．已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的最小值；
(2)當(dāng)，時，求證：．
3．已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的最小值；
(2)當(dāng)時，求證：．
4．已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的極值；
(2)證明：．
題型五：不等式“恒成立”求參
對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略： 1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍； 2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題． 3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
1.（23-24高三上·河南南陽·已知函數(shù)
(1)當(dāng)時，求的最小值；
(2)若關(guān)于x的不等式恒成立，求a的取值范圍．
2．（23-24高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若對于任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
3．（22-23高三·河南焦作）已知函數(shù)，.
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的圖像在點處的切線方程；
(2)若，求證：當(dāng)時，；
(3)若對任意恒成立，求的取值范圍.
題型六：不等式“能成立”求參
有解和恒成立求參問題常轉(zhuǎn)化為最值問題處理： （1）恒成立；有解； （2）恒成立；有解.
1.（23-24高三·北京順義·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；
(3)是否存在，使得成立，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.
2．（23-24高三山東·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù).（a，），滿足在和處取得極值.
(1)求a、b的值；
(2)若存在，使得不等式成立，求實數(shù)c的最小值.
3．（23-24高三·天津靜海·階段練習(xí)）已知，
(1)若對于任意的，都有成立，求的取值范圍；
(2)若存在，使得成立，求的取值范圍；
(3)若函數(shù)，若存在，使得成立，求的取值范圍.
題型七：求整數(shù)型參數(shù)
隱零點的處理思路： 第一步：用零點存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點的存在性，其中難點是通過合理賦值，敏銳捕捉零點存在的區(qū)間，有時還需結(jié)合函數(shù)單調(diào)性明確零點的個數(shù)； 第二步：虛設(shè)零點并確定取范圍，抓住零點方程實施代換，如指數(shù)與對數(shù)互換，超越函數(shù)與簡單函數(shù)的替換，利用同構(gòu)思想等解決，需要注意的是，代換可能不止一次.
1.（22-23高三上·四川綿陽·階段練習(xí)）已知函數(shù) .
(1)求曲線 在點 處的切線方程
(2)若 對任意的 恒成立，求滿足條件的實數(shù) 的最小整數(shù)值.
2．（23-24高三·吉林長春·階段練習(xí)）已知函數(shù)在點處的切線方程為
(1)求；
(2)求的單調(diào)區(qū)間；
(3)求使成立的最小整數(shù).
3．（22-23高三·陜西渭南·）已知函數(shù)
(1)若，討論的單調(diào)性.
(2)當(dāng)時，都有成立，求整數(shù)的最大值.
題型八：二次求導(dǎo)型
函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合簡答題常常以壓軸題的形式出現(xiàn)，難度相對較大，主要考向有以下幾點： 1、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（含參數(shù)）或判斷函數(shù)（含參數(shù)）的單調(diào)性； 2、求函數(shù)在某點處的切線方程，或知道切線方程求參數(shù)； 3、求函數(shù)的極值（最值）； 4、求函數(shù)的零點（零點個數(shù)），或知道零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍； 5、證明不等式. 解決方法：對函數(shù)進行求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)解決，在證明不等式或求參數(shù)取值范圍時，通常會對函數(shù)進行參變分離，構(gòu)造新函數(shù)，對新函數(shù)求導(dǎo)，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性等解決.
1.（23-24高三·山東淄博·階段練習(xí)）已知函數(shù)，．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若，試判斷函數(shù)與的圖象的交點個數(shù)，并說明理由．
2．（23-24高三下·江西撫州·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，，求的取值范圍；
(2)若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍.
3.（23-24高三上·浙江寧波·期末）已知函數(shù)，.
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若在內(nèi)恒成立，求整數(shù)的最大值.
題型九：雙變量型構(gòu)造
1.（23-24高三山東·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時（為大于0的常數(shù)），求的最大值；
(3)若當(dāng)時，不等式恒成立，求的取值范圍．
2．（23-24高三 江蘇常州·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若對任意的，且，都有，求實數(shù)的取值范圍.
3．（23-24高三·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)在處取到極值，求實數(shù)a的值；
(2)若,對于任意,當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
題型十：數(shù)列型不等式證明
1.（23-24高三·遼寧沈陽·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)對任意的，求證：.
2．（23-24高三·湖北武漢·）已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)試證明，.
3．（23-24高三上·陜西·階段練習(xí)）已知函數(shù)，．
(1)若函數(shù)在R上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；
(2)已知，，，，求證：；
(3)證明：．
題型十一：老高考壓軸型導(dǎo)數(shù)題
1.（【2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)Ⅰ））設(shè)函數(shù)，曲線處的切線斜率為0
求b;若存在使得，求a的取值范圍．
2．（【2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)卷））已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．
（1）求、的值；
（2）如果當(dāng)，且時，，求的取值范圍．
3．（2012年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)（課標(biāo)卷））已知函數(shù)滿足滿足；
（1）求的解析式及單調(diào)區(qū)間；
（2）若，求的最大值.培優(yōu)沖刺04 新結(jié)構(gòu)19題型卷導(dǎo)數(shù)“降溫”題型歸類
目錄
題型一：切線型·········································································································································································1
題型二：零點型·········································································································································································4
題型三：單調(diào)或者不單調(diào)型··················································································································································8
題型四：常規(guī)型不等式的證明···········································································································································12
題型五：不等式“恒成立”求參············································································································································15
題型六：不等式“能成立”求參············································································································································17
題型七：求整數(shù)型參數(shù)·························································································································································20
題型八：二次求導(dǎo)型·····························································································································································23
題型九：雙變量型構(gòu)造························································································································································26
題型十：數(shù)列型不等式證明···············································································································································28
題型十一：老高考壓軸型導(dǎo)數(shù)題······································································································································30
題型一：切線型
求切線的步驟： (1) 已知切點求斜率,即求該點處的導(dǎo)數(shù)； (2) 己知斜率求切點即解方程； (3) 已知切線過某點(不是切點) 求切點, 設(shè)出切點利用求解. 若切線與函數(shù)交點個數(shù)，可以通過聯(lián)立方程，幾個解來證明或者求參
1.已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的極值點；
(2)記曲線在處的切線為，求證，與有唯一公共點．
【答案】(1)
(2)證明過程見解析
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合極值點的定義進行求解即可；
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進行運算證明即可.
【詳解】（1），
令，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
所以函數(shù)的極值點為；
（2）由（1）可知：，而，
所以切線的方程為，
由，或，
當(dāng)時，，此時，與有公共點，
當(dāng)時，設(shè)，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以由，即，此時與有公共點，
綜上所述：與有唯一公共點.
2．已知函數(shù)（）．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)在點處的切線與直線垂直，解不等式．
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）先求原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，討論一元二次不等式的解，進而判定原函數(shù)的單調(diào)性；
（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義與兩直線垂直的判定進而求得實數(shù)的值，借助原函數(shù)的單調(diào)性求不等式即可.
【詳解】（1）∵，
∴（）．
令，其．
①當(dāng)，即時，恒成立，
∴對恒成立，故在上遞增；
②當(dāng)，即時，
方程的兩個根分別是，．
若，則，，
故時，；時，；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
若，則，，
故或時，；時，．
所以在和上均單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在和上均單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（2）直線的斜率為，
由（1）知，，
且函數(shù)在點處的切線與直線垂直，
得，，
當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又因為，
∴，即，
∴，
即不等式的解集為．
3．已知函數(shù)
(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；
(2)曲線在點處的切線與曲線只有一個公共點，求a的值．
【答案】(1)答案見解析
(2)或
【分析】（1）求出根據(jù)的正負可得答案
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，分、討論，結(jié)合直線的位置關(guān)系、一元二次方程根的判別式進行求解即可.
【詳解】（1）由題意得，，
因為時，，所以單調(diào)遞增，無單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）因為，所以切線的斜率為，
所以切線方程為，
即與曲線只有一個公共點，
當(dāng)時，可得，
因為，所以直線與相交，只有一個公共點，符合題意；
當(dāng)時，若切線與曲線只有一個公共點，
只需只有一個公共解，
整理得，所以，
解得.
綜上所述，或.
【點睛】思路點睛：第二問的解題思路是求出切線方程，且與曲線只有一個公共點，聯(lián)立方程求解即可.
4．已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為.
(1)求的解析式；
(2)若過點可作圖象的三條切線，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)得到切線斜率值，利用點斜式方程即得切線方程；
（2）設(shè)出切點，列出切線方程，將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化成方程有三個實根，即函數(shù)有三個零點，就值分類討論即得.
【詳解】（1）因為，，，
所以切線方程為，即.
（2）設(shè)切點為，則切線方程為：，
因切線經(jīng)過點，故有，即.
令，依題知有3個零點.
，令得，
①當(dāng)時，時，，時，，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時至多有兩個零點，不合題意；
②當(dāng)時，或時，，時，，
則在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，，
因，由有3個零點可知：，故得：，即.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查了曲線的切線方程求法和函數(shù)的零點問題.
解決函數(shù)的零點問題一般可以考慮運用參變分離法或者分類討論法.此題中將曲線存在經(jīng)過某點的三條切線問題，轉(zhuǎn)化成對應(yīng)方程的三個實根，繼而又轉(zhuǎn)化成函數(shù)有三個零點問題，最后就參數(shù)分類討論得出結(jié)論.
題型二：零點型
極值點個數(shù)的判斷問題，一般轉(zhuǎn)化為零點的個數(shù)，注意求出導(dǎo)函數(shù)的零點，此零點不一定是原函數(shù)的極值點，還要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或函數(shù)圖象進行驗證.
1.已知函數(shù).
(1)當(dāng)曲線在點處的切線與直線垂直時，求a的值；
(2)討論的極值點的個數(shù).
【答案】(1)或
(2)時，有且只有1個極值點，當(dāng)時，有2個極值點.
【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切線斜率，進而表達出切線方程，根據(jù)斜率乘積為-1得到方程，求出a的值；
（2）求定義域，求導(dǎo)，對導(dǎo)函數(shù)因式分解，分和兩種情況，進行分類討論，得到函數(shù)的極值點情況.
【詳解】（1），
，故，
故在點處的切線方程為，
由于該切線與直線垂直，故，解得或，
綜上，或
（2）定義域為R，
，
當(dāng)時，令得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
故為的極小值點，
當(dāng)時，令得或，
令，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
故在處取得極小值，也是最小值，
最小值為，
所以恒成立，
令得或，此時單調(diào)遞增，
令得，此時單調(diào)遞減，
故為函數(shù)的極小值點，為函數(shù)的極大值點，
此時函數(shù)有2個零點，
綜上，時，有且只有1個極值點，
當(dāng)時，有2個極值點.
2．已知函數(shù)，．
(1)求函數(shù)圖象上一點處的切線方程；
(2)若函數(shù)有兩個零點（），求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合直線的點斜式方程運算求解；
（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分和時，得出函數(shù)的單調(diào)性，從而只需要，即可求出答案.
【詳解】（1）由，解得，所以，
則，則，
所以切線方程為，即．
（2），
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，不合題意，舍去；
當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
由時，，時，，
則，
令，則，在單調(diào)遞增．
又，時，，時，，
，所以.
3．已知函數(shù).
(1)設(shè)，證明：當(dāng)時，過原點O有且僅有一條直線與曲線相切；
(2)若函數(shù)有兩個零點，求a的取值范圍.
【答案】(1)證明過程見解析
(2)
【分析】（1）由題意設(shè)出切點，進一步將原問題轉(zhuǎn)換為證明當(dāng)時，方程有為一解，故只需證明即可；
（2）對分類討論，即分和討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系以及零點存在定理即可求解.
【詳解】（1）當(dāng)時，，
設(shè)過原點O的直線與曲線相切于點，
則，變形得，
設(shè)，則，
若，則當(dāng)時，恒有，此時方程有唯一解，
所以過原點O有且僅有一條直線與曲線相切；
當(dāng)時，由得，由得，
所以此時，方程有唯一解，
所以過原點O有且僅有一條直線與曲線相切；
綜上所述，當(dāng)時，過原點O有且僅有一條直線與曲線相切；
（2），
由（1）知，當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以，此時最多有一個零點，不符合題意；
當(dāng)時，由（1）可知，
又，
所以在內(nèi)各有一個零點，不妨設(shè)為，
所以的導(dǎo)數(shù)有三個零點，
當(dāng)或時，，當(dāng)或時，，
所以的極大值，的極小值為，
且，
又當(dāng)或時，都有，
所以恰在和各有一個零點，符合題意，
綜上所述，a的取值范圍為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問的關(guān)鍵是分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性以及最值即可順利得解.
4．已知函數(shù)（為常數(shù)），函數(shù)．
(1)若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值的范圍；
(2)當(dāng)，設(shè)函數(shù)，若在上有零點，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)有2個零點建立不等式求解即可.
（2）由在上有零點可得方程，據(jù)此可看作在直線上，可轉(zhuǎn)化為點到原點距離的平方的最小值，利用導(dǎo)數(shù)求最小值即可.
【詳解】（1），，
①時，，則在上單調(diào)遞增，至多有一個零點．
②時，令得，則在上單調(diào)遞增；
令得，則在上單調(diào)遞減；
若有2個零點，則需滿足，則，
又，且，
令，則，
令，得，故在上單調(diào)遞增；
令，得，故在上單調(diào)遞減；
∴，則，即，
則．
故在上有唯一零點，在上有唯一零點，符合題意，
所以為所求．
（2）設(shè)函數(shù)在上的零點為，則，
所以在直線上，
設(shè)為坐標(biāo)原點，則，其最小值就是到直線的距離的平方，
所以，
又，∴，令，則，
，∴在上單調(diào)遞減，
，即，
所以的最小值為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：第（2）問中關(guān)鍵在于利用函數(shù)在上的零點為，得到方程后轉(zhuǎn)化為點在直線上，再利用的幾何意義求解.
題型三：單調(diào)或者不單調(diào)型
利用導(dǎo)數(shù)解決不含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的步驟： ①確定函數(shù)的定義域； ②求； ③在定義域內(nèi)解不等式，得單調(diào)遞增區(qū)間； ④在定義域內(nèi)解不等式，得單調(diào)遞增區(qū)間. 利用導(dǎo)數(shù)解決已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)問題的一般方法： ①利用集合間的包含關(guān)系處理：在上單調(diào)， 則區(qū)間是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集. ②為增函數(shù)的充要條件是對任意的都有且在內(nèi)的任一 非空子區(qū)間上，不恒為零，應(yīng)注意此時式子中的等號不能省略，否則漏解. ③函數(shù)在某一個區(qū)間存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問題.
1.已知函數(shù).
(1)若，證明：當(dāng)時，；
(2)求所有的實數(shù)，使得函數(shù)在上單調(diào).
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）設(shè)（），對求導(dǎo)，設(shè)（），對求導(dǎo)，討論與的大小，可得，即可證明；
（2）先求出為奇函數(shù)，要使函數(shù)在上單調(diào)，只要函數(shù)在上單調(diào)，解法1：對求導(dǎo)，由解出實數(shù)，即可得出答案；解法2：討論，和結(jié)合零點存在性定理即可得出答案.
【詳解】（1）設(shè)（），
則，
設(shè)（），則，顯然
所以在上單調(diào)遞增，故，所以.
則在上單調(diào)遞增，所以，因此
（2）解法1：因為，所以為奇函數(shù).
要使函數(shù)在上單調(diào)，只要函數(shù)在上單調(diào).
又.
因為，所以函數(shù)在只能單調(diào)遞減，
由，解得.
下證當(dāng)時，在上單調(diào).
由于是奇函數(shù)，只要在單調(diào)，
因為，所以在單調(diào)遞減.
解法2：因為，所以為奇函數(shù).
要使函數(shù)在上單調(diào)，只要函數(shù)在上單調(diào).
又.
（ⅰ）若，即時，，所以函數(shù)
在上單調(diào)遞減，所以滿足題意；
（ⅱ）若，則，故，
所以由零點存在定理得存在，，使得當(dāng)時，，
當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，
在單調(diào)遞減，因此不合題意；
（ⅲ）若，則，故，
所以由零點存在定理得存在，，使得當(dāng)時，，
當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，
在單調(diào)遞增，因此不合題意；
因此所求實數(shù)的取值范圍是.
2．已知函數(shù).
（1）若，求證：；
（2）若函數(shù)在上不單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】(1)當(dāng)時討論其單調(diào)性得出
在上的最小值為，即證.
(2)對求導(dǎo)，對的取值范圍分類討論，結(jié)合對應(yīng)的
單調(diào)性即可求出的取值范圍.
【詳解】解：（1）當(dāng)時，，所以；
當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
所以是在區(qū)間上的最小值，所以.
（2）依題意，.
若，則當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，不合題意，舍去；
若，令，則.
因為時，，所以在上單調(diào)遞增.
因為，而，
所以存在，使得.
此時函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，符合條件；
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.
3．已知，函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）若，證明：曲線沒有經(jīng)過點的切線；
（Ⅱ）若函數(shù)在其定義域上不單調(diào)，求的取值范圍；
【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）假設(shè)存在切線經(jīng)過，設(shè)切點為，利用切線方程推出矛盾得到證明.
（Ⅱ）函數(shù)在其定義域上不單調(diào)，等價于有變號零點，取導(dǎo)數(shù)為0，參數(shù)分離，設(shè)新函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性求取值范圍.
【詳解】解：（Ⅰ）因為，所以，此時，
設(shè)曲線在點處的切線經(jīng)過點
則曲線在點處的切線
所以 化簡得：
令，則，
所以當(dāng)時，，為減函數(shù)，
當(dāng)時， ， 為增函數(shù)，
所以，所以無解
所以曲線的切線都不經(jīng)過點
（Ⅱ）函數(shù)的定義域為，因為，
所以在定義域上不單調(diào)，等價于有變號零點，
令，得，令．
因為，令，，
所以是上的減函數(shù)，又，故1是的唯一零點，
當(dāng)，，，遞增；
當(dāng)，，，遞減；
故當(dāng)時，取得極大值且為最大值，所以，即的取值范圍是
【點睛】本題考查了函數(shù)的切線問題，函數(shù)單調(diào)性問題，將在定義域上不單調(diào)，等價于有變號零點，是解題的關(guān)鍵.
4．已知函數(shù).
（1）若直線與曲線相切，求的值；
（2）若函數(shù)在上不單調(diào)，且函數(shù)有三個零點，求的取值范圍.
【答案】(1)；(2).
【詳解】分析：(1）設(shè)切點為，由題意結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的幾何意義可得關(guān)于的方程，解方程可得或，結(jié)合題意可知，.
(2）求導(dǎo)可得，利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系可得.結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的解析式可得的極大值為，的極小值為，據(jù)此可得關(guān)于a的不等式組，求解不等式組，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得的取值范圍.
詳解：(1）設(shè)切點為，
則，
所以，
解得或，
當(dāng)時，，不合題意.
當(dāng)時，，因為，所以.
(2），
因為在上不是單調(diào)函數(shù)，所以.
因為在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以的極大值為，的極小值為，
函數(shù)有三個零點，即的圖象與直線有三個交點，
所以，解得.
點睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.
題型四：常規(guī)型不等式的證明
利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下： （1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進而構(gòu)造輔助函數(shù)； （2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論； （3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
1.已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)的圖象在處的切線與軸平行，求的值；
(2)當(dāng)時，求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求得，根據(jù)題意，結(jié)合，即可求解；
（2）構(gòu)造函數(shù)，利用兩次求導(dǎo)，結(jié)合隱零點求，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解．
【詳解】（1）由函數(shù)，可得，可得，
因為函數(shù)的圖象在處的切線與軸平行，
可得，解得.
（2）當(dāng)時，，
令，則，
令，則恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，且，
由零點存在性定理可得存在，使得，即，
當(dāng)時，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，單調(diào)遞增，
所以，
由二次函數(shù)性質(zhì)可得，所以，即．
2．已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的最小值；
(2)當(dāng)，時，求證：．
【答案】(1)0
(2)證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性即可求出最值；
（2）令，由的單調(diào)性可知，變形可得到，結(jié)合（1）知即，即可證明.
【詳解】（1），
，
在上單調(diào)遞減，
的最小值為.
（2）令，則.
在上單調(diào)遞減，
，
又，，
，
又由（1）知，，
.
【點睛】思路點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，經(jīng)常將所證不等式進行等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，再借助函數(shù)的單調(diào)性求出最值或極值進行變形得到.
3．已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的最小值；
(2)當(dāng)時，求證：．
【答案】(1)2
(2)證明見解析
【分析】（1）直接求導(dǎo)得函數(shù)單調(diào)性，進一步即可得解；
（2）由（1）有，當(dāng)時，結(jié)論是平凡的，所以只需證明當(dāng)時，，構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可進一步得證.
【詳解】（1），
所以單調(diào)遞增，從而函數(shù)的最小值為.
（2）由（1）當(dāng)時，，
所以要證當(dāng)時，有，即，
只需證，當(dāng)時，結(jié)論是顯然的，
所以只需證當(dāng)時，，
不妨設(shè)令，則，
令，則，
從而單調(diào)遞增，所以，
從而單調(diào)遞增，所以，
綜上所述，命題得證.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問的關(guān)鍵是將原問題轉(zhuǎn)換為只需證當(dāng)時，，由此即可順利得解.
4．已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的極值；
(2)證明：．
【答案】(1)極小值0，無極大值；
(2)證明見解析.
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值.
（2）利用（1）中信息，構(gòu)建關(guān)于的不等式，再利用累加法求和即可.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，則函數(shù)在上遞減，在上遞增，
所以函數(shù)在處取得極小值，無極大值.
（2）證明：由（1）知，，即，，
因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
令，，則，
，而，
所以.
【點睛】關(guān)鍵點睛：證明第（2）問的數(shù)列不等式，利用第（1）的結(jié)論，變形構(gòu)造不等式，再結(jié)合累加法求和是解題之關(guān)鍵.
題型五：不等式“恒成立”求參
對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略： 1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍； 2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題． 3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
1.（23-24高三上·河南南陽·已知函數(shù)
(1)當(dāng)時，求的最小值；
(2)若關(guān)于x的不等式恒成立，求a的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由題意寫出函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，求得其最值；
（2）根據(jù)函數(shù)解析式求得導(dǎo)數(shù)，結(jié)合分類討論思想，可得答案.
【詳解】（1）當(dāng)時，，則
由，得，由，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故．
（2）由題意可得．當(dāng)時，由，得，由，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故．
因為不等式恒成立，所以，解得．
當(dāng)時，，不符合題意．綜上，a的取值范圍是．
2．（23-24高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若對于任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為(2)
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）由題知對于任意的恒成立，進而分和兩種情況討論即可得解.
【詳解】（1）因為，則，
令，則，即，
解得的遞增區(qū)間為；
令，則，即，
解得的遞減區(qū)間為；
所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.
（2）因為對于任意的恒成立，所以對于任意的恒成立，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，令，所以，
令，所以在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，所以，即在上恒成立
所以在上單調(diào)遞減，所以，
所以.綜上，實數(shù)的取值范圍為.
3．（22-23高三·河南焦作）已知函數(shù)，.
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的圖像在點處的切線方程；
(2)若，求證：當(dāng)時，；
(3)若對任意恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)(2)證明見解析(3)
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的意義求出斜率，再用點斜式求出直線方程；
（2）恒成立問題，只需證明，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷單調(diào)性，求出最小值即可證明；
（3）恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)，得到，求導(dǎo)；再令分子等于，由二次函數(shù)的性質(zhì)得到，最后求出結(jié)果.
【詳解】（1）當(dāng)時，，.
所以，.
所以函數(shù)的圖像在點處的切線方程為，即
（2）證明：當(dāng)時，，，即證.
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，即.
（3）由，令.
首先由，此時，令.
因為所以，所以恒成立，即.
所以在遞增，故.
綜上：的取值范圍.
題型六：不等式“能成立”求參
有解和恒成立求參問題常轉(zhuǎn)化為最值問題處理： （1）恒成立；有解； （2）恒成立；有解.
1.（23-24高三·北京順義·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；
(3)是否存在，使得成立，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)；(2)遞增；(3)存在，.
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.
（2）由導(dǎo)數(shù)值恒正判斷函數(shù)單調(diào)遞增.
（3）假定存在，分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討最大值即可得解.
【詳解】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，
則，而，所以曲線在點處的切線方程為.
（2）當(dāng)時，，，因此，
所以函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增.
（3）假定存在，使得成立，即存在，不等式成立，
令，求導(dǎo)得，
令，求導(dǎo)得，即函數(shù)在上遞增，
則，即，于是，而，
因此，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，則，
所以的取值范圍是.
2．（23-24高三山東·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù).（a，），滿足在和處取得極值.
(1)求a、b的值；
(2)若存在，使得不等式成立，求實數(shù)c的最小值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）函數(shù)在和處取得極值，所以且，從而求出a、b的值；
（2）分離參數(shù)得，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，從而求出c的最小值.
【詳解】（1）因為，定義域為，所以，
因為在和處取得極值，所以，且，
解得，即所求a、b值均為；
當(dāng)時，，令得，令得或，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上和上單調(diào)遞減，
所以為函數(shù)的極小值點，為函數(shù)的極大值點，符合題意.
（2）存在，使得不等式成立，則只需，
由（1）知，，所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；
所以在處有極小值，而，，
又，
因為，所以，所以，
所以，即實數(shù)c的最小值為.
3．（23-24高三·天津靜海·階段練習(xí)）已知，
(1)若對于任意的，都有成立，求的取值范圍；
(2)若存在，使得成立，求的取值范圍；
(3)若函數(shù)，若存在，使得成立，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）恒成立求參問題，先分參后轉(zhuǎn)換成求具體函數(shù)的最值問題即可求出結(jié)果.
（2）有解問題，解法同恒成立求參問題.
（3）恒成立和有解問題統(tǒng)一轉(zhuǎn)化成最值問題解決.
【詳解】（1）對于任意的，都有成立，
則恒成立，即恒成立，
又，所以當(dāng)時，恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，所以，
所以，所以的取值范圍為.
（2）存在，使得成立，
即，使得成立，
所以有解，
又，所以當(dāng)時，恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，所以，
所以，所以的取值范圍為.
（3）存在，使得成立，即，使得，成立，
令，
則，
所以當(dāng)時，恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，所以，
所以，所以的取值范圍為.
題型七：求整數(shù)型參數(shù)
隱零點的處理思路： 第一步：用零點存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點的存在性，其中難點是通過合理賦值，敏銳捕捉零點存在的區(qū)間，有時還需結(jié)合函數(shù)單調(diào)性明確零點的個數(shù)； 第二步：虛設(shè)零點并確定取范圍，抓住零點方程實施代換，如指數(shù)與對數(shù)互換，超越函數(shù)與簡單函數(shù)的替換，利用同構(gòu)思想等解決，需要注意的是，代換可能不止一次.
1.（22-23高三上·四川綿陽·階段練習(xí)）已知函數(shù) .
(1)求曲線 在點 處的切線方程
(2)若 對任意的 恒成立，求滿足條件的實數(shù) 的最小整數(shù)值.
【答案】(1).(2).
【分析】（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)值，求出，即可得出切線方程；
（2）先由題意，將問題轉(zhuǎn)化為：得到，對任意的恒成立；，求出其導(dǎo)數(shù)，得出存在，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，由隱零點的整體代換的處理方法可得出答案.
【詳解】（1），
，
曲線 在點 處的切線方程為，
即.
（2）對任意的恒成立，
，令 ，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
. 在唯一，使得使得，即，
且當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即.
所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
∴，
則在上單調(diào)遞增，所以，
滿足條件的實數(shù)的最小整數(shù)值為.
2．（23-24高三·吉林長春·階段練習(xí)）已知函數(shù)在點處的切線方程為
(1)求；
(2)求的單調(diào)區(qū)間；
(3)求使成立的最小整數(shù).
【答案】(1)(2)在上單調(diào)遞增(3)
【分析】（1）求得，結(jié)合，列出方程，即可求解；
（2）由（1）知，令，求得，求得的單調(diào)性和，即可求解；
（3）根據(jù)題意轉(zhuǎn)換為，令，結(jié)合，得到成立，再由時，轉(zhuǎn)化為，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，解得，即可求解.
【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得
因為函數(shù)在點處的切線方程為，
可得，即且，解得.
（2）解：由（1）知且，
令，可得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)時，，即，
則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.
（3）解：由不等式，即，
令，可知，
因為，則，可得，即，則，可知，且為整數(shù)，所以成立（必要性）；
下面證明：時，恒成立，當(dāng)時，可得，
即，因為，上式等價于，
設(shè)，可得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以，所以時，不等式恒成立，
綜上可得，實數(shù)的最小值為.
3．（22-23高三·陜西渭南·）已知函數(shù)
(1)若，討論的單調(diào)性.
(2)當(dāng)時，都有成立，求整數(shù)的最大值.
【答案】(1)答案見解析
(2)1
【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，分與兩種情況，得到的單調(diào)性；
（2）變形得到，令，，只需，求導(dǎo)，結(jié)合隱零點得到的單調(diào)性和極值，最值情況，得到，從而求出整數(shù)的最大值.
【詳解】（1），定義域為R，
且，
當(dāng)時，恒成立，故在R上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，令得，，此時單調(diào)遞增，
令得，，此時單調(diào)遞減，
綜上：當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
（2）由題意得，在上恒成立，
因為，所以，故，令，，只需，
，令，，
則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，
又，故存在，使得，即，
當(dāng)時，，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，，單調(diào)遞增，
故在處取得極小值，也是最小值，，
所以，故整數(shù)的最大值為1.
題型八：二次求導(dǎo)型
函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合簡答題常常以壓軸題的形式出現(xiàn)，難度相對較大，主要考向有以下幾點： 1、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（含參數(shù)）或判斷函數(shù)（含參數(shù)）的單調(diào)性； 2、求函數(shù)在某點處的切線方程，或知道切線方程求參數(shù)； 3、求函數(shù)的極值（最值）； 4、求函數(shù)的零點（零點個數(shù)），或知道零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍； 5、證明不等式. 解決方法：對函數(shù)進行求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)解決，在證明不等式或求參數(shù)取值范圍時，通常會對函數(shù)進行參變分離，構(gòu)造新函數(shù)，對新函數(shù)求導(dǎo)，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性等解決.
1.（23-24高三·山東淄博·階段練習(xí)）已知函數(shù)，．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若，試判斷函數(shù)與的圖象的交點個數(shù)，并說明理由．
【答案】(1)答案見解析(2)無交點，理由見解析
【分析】（1）求導(dǎo)可得，分類討論當(dāng)、時函數(shù)對應(yīng)的單調(diào)性即可求解；
（2）由得，令，利用二次導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的性質(zhì)可得，即可下結(jié)論.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域為R，且，
當(dāng)時恒成立，所以在R上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，令，解得，
所以當(dāng)時，當(dāng)時，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，
綜上可得：當(dāng)時在R上單調(diào)遞減；
當(dāng)時的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．
（2），則，令，即，
令，則，
令，則，
所以當(dāng)時，則單調(diào)遞減，且，
當(dāng)時，則單調(diào)遞增，
又，，故當(dāng)時，
所以當(dāng)時，則單調(diào)遞減，
當(dāng)時，則單調(diào)遞增，
所以，所以方程無實根，
所以函數(shù)與的圖象無交點.
2．（23-24高三下·江西撫州·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，，求的取值范圍；
(2)若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）求導(dǎo)后，設(shè)，再次求導(dǎo)后結(jié)合的單調(diào)性討論可得的單調(diào)性即可得解；
（2）在上單調(diào)遞增，可轉(zhuǎn)化為在上恒成立，且在的任意子區(qū)間上不恒為0，令，對分類討論研究的單調(diào)性即可得的單調(diào)性，即可得解.
【詳解】（1）當(dāng)時，，
令，
，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，則，
所以在上單調(diào)遞減，
所以，即，
因為，所以的取值范圍是；
（2），
在上單調(diào)遞增等價于在上恒成立，
且在的任意子區(qū)間上不恒為0，
令，
則，
當(dāng)時，因為，所以，
令，則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
即在上恒成立，
所以，
則在上單調(diào)遞增，
所以，則在上單調(diào)遞增，符合題意；
當(dāng)時，令，
則在上單調(diào)遞增，且，
由零點存在定理可知，存在實數(shù)，使得，
所以當(dāng)時，0，即在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，此時，
所以在上單調(diào)遞減，所以0，
則在上單調(diào)遞減，不符合題意，舍去；
當(dāng)時，因為，所以在上不恒成立，
不符合題意，舍去.
綜上，的取值范圍是.
3.（23-24高三上·浙江寧波·期末）已知函數(shù)，.
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若在內(nèi)恒成立，求整數(shù)的最大值.
【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)
【分析】（1）求得函數(shù)的定義域為，求得，分別解不等式、可得出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間和遞增區(qū)間；
（2）分析可知不等式在時恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在時的最小值，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，求得時，即可求得整數(shù)的最大值.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，
當(dāng)時，，，
令，解得：；令，解得：；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）由可得：，
記，，
①若，即，，則在上單調(diào)遞增，
又時，，不合題意；
②若，即，令，則，令，則，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，
令，
，
則令，解得：，令，解得：；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且，，故整數(shù)的最大值為.
題型九：雙變量型構(gòu)造
1.（23-24高三山東·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時（為大于0的常數(shù)），求的最大值；
(3)若當(dāng)時，不等式恒成立，求的取值范圍．
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)答案見解析(3)
【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）分和兩種情況，結(jié)合（1）中的單調(diào)性求函數(shù)最值；
（3）構(gòu)建，分析可知在上單調(diào)遞減，可得在上恒成立，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析求解.
【詳解】（1）由題意可知：的定義域為，且，
令，解得；令，解得；
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）由（1）可知：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，
當(dāng)時，，所以；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，所以．
（3）當(dāng)時，不等式，
即恒成立，
令，則，可知在上單調(diào)遞減，
可得，即恒成立，易知在內(nèi)單調(diào)遞減，所以，可得，所以的取值范圍為.
2．（23-24高三 江蘇常州·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若對任意的，且，都有，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，求得，分類討論，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)，轉(zhuǎn)化為，等價于在上是增函數(shù)，求得恒成立，進而求得的取值范圍.
【詳解】（1）由函數(shù)，
可得，
①若，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
②若時，可得，所以在上遞增，無遞減區(qū)間；
③若，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
④若，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
所以，①當(dāng)時，增區(qū)間為，減區(qū)間為；
②當(dāng)時，增區(qū)間為，無減區(qū)間；
③當(dāng)時，增區(qū)間為，減區(qū)間為；
④當(dāng)時，增區(qū)間為，減區(qū)間為.
（2）由函數(shù)，
因為對任意的，且，都有，
不妨設(shè)，則等價于，
設(shè)，等價于在上是增函數(shù)，
因為，可得，
依題意，對任意有恒成立，
又由，可得，即實數(shù)的取值范圍為.
3．（23-24高三·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)在處取到極值，求實數(shù)a的值；
(2)若,對于任意,當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)1；
(2).
【分析】（1）根據(jù)，求得，再進行驗證即可；
（2）由題可得在單調(diào)遞減，則在恒成立，結(jié)合分離參數(shù)法，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，即可求得結(jié)果.
【詳解】（1），，
若函數(shù)在處取到極值，則，解得；
又當(dāng)時，，，
故當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)，，單調(diào)遞增；
則當(dāng)時，滿足在處取到極值，故.
（2）當(dāng)時，，
，即，令；
對于任意,當(dāng)時，不等式恒成立，
即對于任意,當(dāng)時，恒成立，也即在單調(diào)遞減；
又，故，
由題可知，在恒成立，即在恒成立，
也即在恒成立，令，
則，又對稱軸為，其在單調(diào)遞減，，
故在恒成立，則在單調(diào)遞減，又，
則，也即的取值范圍為：.
題型十：數(shù)列型不等式證明
1.（23-24高三·遼寧沈陽·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)對任意的，求證：.
【答案】(1)遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為；
(2)證明見解析.
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再由導(dǎo)數(shù)值的正負確定x值集合得解.
（2）利用（1）的結(jié)論，賦值得，再利用不等式性質(zhì)，結(jié)合對數(shù)運算求解即得.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，
求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.
（2）由（1）知在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，
即：，令，得，化簡得：，
于是有：，，，，
相加得：
，
所以
2．（23-24高三·湖北武漢·）已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)試證明，.
【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為
(2)證明見解析
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，進而得到單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，得到，進而得到，將裂成即可得證.
【詳解】（1）的定義域為，，
令，得，
當(dāng)時，得，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，得，所以在上單調(diào)遞減；
的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為；
（2）證明：由（1）知，在單調(diào)遞減，且，
時，，即，
當(dāng)時，用替換，得，
即，
即，，
整理得，
，.
3．（23-24高三上·陜西·階段練習(xí)）已知函數(shù)，．
(1)若函數(shù)在R上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；
(2)已知，，，，求證：；
(3)證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）由函數(shù)單調(diào)遞減得恒成立，分離參數(shù)法可得；
（2）利用導(dǎo)數(shù)得函數(shù)單調(diào)性，由單調(diào)性證明不等式即可；
（3）利用（2）結(jié)論，逐個賦值后累加法可證.
【詳解】（1）對恒成立，即對恒成立．
因為，則．
（2），只需證明．
令，
，
則在單調(diào)遞減，則，
又，則，即成立，得證．
（3）由（2）知，令，
則有，
即，
，
，
…，
，
累加可得，
故，從而命題得證．
題型十一：老高考壓軸型導(dǎo)數(shù)題
1.（【2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)Ⅰ））設(shè)函數(shù)，曲線處的切線斜率為0
求b;若存在使得，求a的取值范圍．
【答案】（1）;（2）.
【詳解】試題分析：（1）根據(jù)曲線在某點處的切線與此點的橫坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，可先對函數(shù)進行求導(dǎo)可得：，利用上述關(guān)系不難求得，即可得;（2）由第（1）小題中所求b，則函數(shù)完全確定下來，則它的導(dǎo)數(shù)可求出并化簡得：根據(jù)題意可得要對與的大小關(guān)系進行分類討論，則可分以下三類：（ⅰ）若，則，故當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，所以，存在，使得的充要條件為，即，所以.（ⅱ）若，則，故當(dāng)時，；當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.所以，存在，使得的充要條件為，無解則不合題意.（ⅲ）若，則.綜上，a的取值范圍是.
試題解析：（1），
由題設(shè)知，解得.
（2）的定義域為，由（1）知，，
（ⅰ）若，則，故當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，
所以，存在，使得的充要條件為，即，
所以.
（ⅱ）若，則，故當(dāng)時，；
當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
所以，存在，使得的充要條件為，
而，所以不合題意.
（ⅲ）若，則.
綜上，a的取值范圍是.
考點：1.曲線的切線方程;2.導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的運用;3.分類討論的應(yīng)用
2．（【2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)卷））已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．
（1）求、的值；
（2）如果當(dāng)，且時，，求的取值范圍．
【答案】（1）， （2）（-，0]
【詳解】（1）
由于直線的斜率為，且過點，故即
解得，．
（2）由（1）知，所以
．
考慮函數(shù)，則．
(i)設(shè)，由知，當(dāng)時，，h(x)遞減．而故當(dāng)時，，可得；
當(dāng)x（1，+）時，h（x）<0，可得 h（x）>0
從而當(dāng)x>0,且x1時，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.
（ii）設(shè)00,故 (x）>0,而h（1）=0，故當(dāng)x（1，）時，h（x）>0，可得h（x）<0,與題設(shè)矛盾．
（iii）設(shè)k1.此時，（x）>0,而h（1）=0，故當(dāng)x（1，+）時，h（x）>0，可得 h（x）<0,與題設(shè)矛盾．
綜合得，k的取值范圍為（-，0]
點評：求參數(shù)的范圍一般用離參法，然后用導(dǎo)數(shù)求出最值進行求解．若求導(dǎo)后不易得到極值點，可二次求導(dǎo)，還不行時，就要使用參數(shù)討論法了．即以參數(shù)為分類標(biāo)準(zhǔn)，看是否符合題意．求的答案．此題用的便是后者．
3．（2012年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)（課標(biāo)卷））已知函數(shù)滿足滿足；
（1）求的解析式及單調(diào)區(qū)間；
（2）若，求的最大值.
【答案】（1）的解析式為 且單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
（2）時，的最大值為
【詳解】（1）
令得：
得：
在 上單調(diào)遞增
得： 的解析式為且單調(diào)遞增區(qū)間為 ，單調(diào)遞減區(qū)間為
（2）得
①當(dāng)時， 在上單調(diào)遞增
時， 與矛盾
②當(dāng)時，
得：當(dāng)時，
令；則
當(dāng) 時，
當(dāng)時， 的最大值為

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