資源簡介

培優(yōu)沖刺05 導(dǎo)數(shù)壓軸大題歸類
目錄
題型一：不等式證明：三角形不等式················································································································ 1 題型二：三角函數(shù)型數(shù)列不等式證明 ··················································································································2 題型三：混合型極值點(diǎn)偏移證明························································································································· 3 題型四：三個(gè)零點(diǎn)型偏移證明····························································································································· 3 題型五：非對(duì)稱型偏移證明不等式···················································································································· 4 題型六：比大小型證明不等式 ································································································································4 題型七：三角函數(shù)型比大小證明不等式············································································································ 5 題型八：恒成立型求參············································································································································ 6 題型九：構(gòu)造新函數(shù)求參 ··········································································································································6 題型十：借助三角函數(shù)構(gòu)造證明不等式············································································································ 7 題型十一：帕德逼近型證明與求參 ·······················································································································8 題型十二：泰勒展開型證明與求參····················································································································· 9 題型十三：新結(jié)構(gòu)19題：導(dǎo)數(shù)與數(shù)列············································································································ 11 題型十四：新結(jié)構(gòu)19題：高觀下導(dǎo)數(shù)新定義···································································································12 題型十五：新結(jié)構(gòu)19題：導(dǎo)數(shù)與集合············································································································ 13 題型十六：新結(jié)構(gòu)19題：函數(shù)性質(zhì)定義型········································································································14
題型一：不等式證明：三角形不等式
利用導(dǎo)數(shù)證明具有正余弦型的三角函數(shù)型不等式問題，方法如下： （1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)； （2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論； （3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù). （4）借助正余弦函數(shù)的有界性，可以適當(dāng)?shù)姆趴s，轉(zhuǎn)化為較容易的函數(shù)不等形式來證明
1．（2024·湖南·一模）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；
(2)時(shí)；
（ⅰ）若，求的取值范圍；
（ⅱ）證明：．
2．（2024·山西朔州·一模）已知函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)．
(1)若函數(shù)在處的切線的斜率為2，求的值；
(2)求證：．
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)．
(1)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
(2)若，求證：．
題型二：三角函數(shù)型數(shù)列不等式證明
利用導(dǎo)數(shù)證明不等式有如下方法， 方法一，等價(jià)轉(zhuǎn)化是證明不等式的常見方法，其中利用函數(shù)的對(duì)稱性，構(gòu)造對(duì)稱差函數(shù)是解決極值點(diǎn)偏移問題的基本處理策略； 方法二，比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明的不等式即可， 方法三，利用不等式 的性質(zhì)對(duì)原不等式作等價(jià)轉(zhuǎn)換后，利用導(dǎo)數(shù)證明相關(guān)的式子成立.
1．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·一模）已知函數(shù)．
(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性
(2)證明：①當(dāng)時(shí)，；
②.
2．（2024·天津·一模）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)當(dāng)時(shí)，若在的圖象上有一點(diǎn)列，若直線的斜率為，
（ⅰ）求證：；
（ⅱ）求證：．
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知當(dāng)時(shí)，，，.
(1)證明：；
(2)已知，證明：（可近似于3.14）.
題型三：混合型極值點(diǎn)偏移證明
極值點(diǎn)偏移問題的一般題設(shè)形式： 1.若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)且，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）； 2.若函數(shù)中存在且滿足，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）； 3.若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)且，令，求證：； 4.若函數(shù)中存在且滿足，令，求證：.
1．（2023·陜西安康·二模）已知函數(shù)，（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
(1)當(dāng)時(shí)，恰好存在一條過原點(diǎn)的直線與，都相切，求b的值；
(2)若，方程有兩個(gè)根，（），求證：．
2．（2023·山西·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若有2個(gè)不同的零點(diǎn)（），求證：.
3．（2021·陜西寶雞·模擬預(yù)測）已知．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于x的方程存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，證明：且．
題型四：三個(gè)零點(diǎn)型偏移證明
極值點(diǎn)偏移問題，解題關(guān)鍵為將雙變量消元為單變量，常構(gòu)造差函數(shù)或以兩變量之差，之商構(gòu)造函數(shù)以達(dá)到消元目的. 對(duì)于極值點(diǎn)偏移問題，首先找到兩極值點(diǎn)的相應(yīng)關(guān)系,然后構(gòu)造商數(shù)或加數(shù)關(guān)系； 通過要證明的不等式，將兩極值點(diǎn)變形后構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)， 利用導(dǎo)數(shù)求解出構(gòu)造函數(shù)的最值，從而證明不等式或等式成立.
1．（2022·安徽淮南·二模）已知函數(shù)．
(1)若，證明：時(shí)，；
(2)若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，證明：．
2．（2022·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．
(2)若，證明：．
3．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，判斷在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；
(2)若有三個(gè)零點(diǎn)，且．
（i）求的取值范圍；
（ii）證明：.
題型五：非對(duì)稱型偏移證明不等式
1．（22-23高三上·河南·）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若存在，且，使得，求證：.
2．（2022·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù).
(1)若，求函數(shù)的最值；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，記作，且，求證：.
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，求證：．
題型六：比大小型證明不等式
1．（2023·浙江金華·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)證明：當(dāng)時(shí)，；
(2)設(shè)為正實(shí)數(shù)且.
（i）若，證明：；
（ii）若，證明：.
2．（2022·河南·三模）已知函數(shù)，.
(1)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
(2)比較，，的大小，并說明理由.
3．（23-24高三上·甘肅金昌·階段練習(xí)）已知函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)問；
(2)設(shè)，試比較與的大小，并說明理由；
題型七：三角函數(shù)型比大小證明不等式
1．（22-23高三天津南開·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)，時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若在區(qū)間內(nèi)存在極值點(diǎn).
①求實(shí)數(shù)的取值范圍；
②求證：在區(qū)間內(nèi)存在唯一的，使，并比較與的大小，說明理由.
2．（23-24高三·福建南平·）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，比較與的大小；
(2)若，比較與的大小.
3．（22-23高三·北京大興·）已知函數(shù)．
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)設(shè)，討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；
(3)對(duì)任意的，且，判斷與的大小關(guān)系，并證明結(jié)論．
題型八：恒成立型求參
對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略： ①通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍； ②利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題． ③根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
1．（2024·北京順義·二模）設(shè)函數(shù)，.曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
(1)求a的值；
(2)求證：方程僅有一個(gè)實(shí)根；
(3)對(duì)任意，有，求正數(shù)k的取值范圍.
2．（23-24高三·上海·）已知函數(shù).
(1)若直線是曲線的切線，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，求的取值范圍；
(3)若，且，求實(shí)數(shù)的最大值.
3．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）函數(shù)．
(1)求函數(shù)的極值；
(2)若恒成立，求的最大值．
題型九：構(gòu)造新函數(shù)求參
利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下： （1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)； （2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論； （3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
1．（2024·遼寧·一模）已知函數(shù)
(1)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù);
(2)當(dāng)時(shí)，| 求a的取值范圍.
2．（23-24高三·江西宜春模擬）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．
(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)求證：；
(3)求證：．
3．（2024·山東臨沂·一模）已知函數(shù).
(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)討論的單調(diào)性；
(3)若存在，且，使得，求證：.
題型十：借助三角函數(shù)構(gòu)造證明不等式
三角函數(shù)的放縮 （1）的放縮：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. （2）的放縮：當(dāng)時(shí)，.
1．（2024·廣東湛江·二模）已知函數(shù).
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若，，且，證明：.
2．（2024·山西呂梁·一模）已知函數(shù)．
(1)求在處的切線方程；
(2)若對(duì)任意恒成立，求正實(shí)數(shù)的取值集合．
3．（23-24高三上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù).
(1)若最小值為0，求的范圍；
(2)在（1）的條件下，令的圖象上有一點(diǎn)列，若直線的斜率為，證明：.
題型十一：帕德逼近型證明與求參
帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利．帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法． 給定兩個(gè)正整數(shù)m，n，函數(shù)在處的階帕德近似定義為： ， 且滿足：，，，…，．（注：，，，，…；為的導(dǎo)數(shù)）
1．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）帕德近似（Pade approximation）是有理函數(shù)逼近的一種方法.已知函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，….又函數(shù)，其中.
(1)求實(shí)數(shù)，，的值；
(2)若函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
2．（2024·山東菏澤·一模）帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利．帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法．給定兩個(gè)正整數(shù)m，n，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，…，．（注：，，，，…；為的導(dǎo)數(shù)）已知在處的階帕德近似為．
(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；
(2)比較與的大小；
(3)若在上存在極值，求的取值范圍．
3．（22-23高三·山東濟(jì)南·）帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法．給定兩個(gè)正整數(shù)，，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，．已知在處的階帕德近似為．注：
(1)求實(shí)數(shù)，的值；
(2)求證：；
(3)求不等式的解集，其中．
題型十二：泰勒展開型證明與求參
常見泰勒展開 ； ； 截取片段： ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立； 進(jìn)而：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立 3、關(guān)于的放縮 ①切線放縮及其變形：； ②當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，； ③當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，； ④對(duì)數(shù)平均不等式：.
1．（2023·湖南永州·三模）已知函數(shù)，.
(1)若是函數(shù)的極小值點(diǎn)，討論在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
(2)英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：
這個(gè)公式被編入計(jì)算工具，計(jì)算足夠多的項(xiàng)時(shí)就可以確保顯示值的精確性.
現(xiàn)已知，
利用上述知識(shí)，試求的值.
2．（21-22高三·福建福州）英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，其中，此公式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當(dāng)時(shí)，，.
(1)證明：當(dāng)時(shí)，；
(2)設(shè)，若區(qū)間滿足當(dāng)定義域?yàn)闀r(shí)，值域也為，則稱為的“和諧區(qū)間”.
（i）時(shí)，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（ii）時(shí)，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說明理由.
3．（20-21高二下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）給出以下三個(gè)材料：①若函數(shù)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作．類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，記作，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)……一般地，階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做階導(dǎo)數(shù)，記作．②若，定義．③若函數(shù)在包含的某個(gè)開區(qū)間上具有階的導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)于任一有，我們將稱為函數(shù)在點(diǎn)處的階泰勒展開式．例如，在點(diǎn)處的階泰勒展開式為．
根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：
（1）求出在點(diǎn)處的階泰勒展開式，并直接寫出在點(diǎn)處的階泰勒展開式；
（2）比較（1）中與的大小．
（3）已知不小于其在點(diǎn)處的階泰勒展開式，證明：．
題型十三：新結(jié)構(gòu)19題：導(dǎo)數(shù)與數(shù)列
1．（2024·四川成都·三模）已知函數(shù)，若數(shù)列的各項(xiàng)由以下算法得到：
①任取（其中），并令正整數(shù)；
②求函數(shù)圖象在處的切線在軸上的截距；
③判斷是否成立，若成立，執(zhí)行第④步；若不成立，跳至第⑤步；
④令，返回第②步；
⑤結(jié)束算法，確定數(shù)列的項(xiàng)依次為．
根據(jù)以上信息回答下列問題：
(1)求證：；
(2)是否存在實(shí)數(shù)使得為等差數(shù)列，若存在，求出數(shù)列的項(xiàng)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考數(shù)據(jù)：．
2．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；
(2)是否存在，且依次成等比數(shù)列，使得，，依次成等差數(shù)列？請(qǐng)證明；
(3)當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，是否存在的關(guān)系？若存在，請(qǐng)證明；若不存在，請(qǐng)寫出正確的關(guān)系．
3．（2024·四川成都·三模）已知函數(shù)，若數(shù)列的各項(xiàng)由以下算法得到：
①任取（其中），并令正整數(shù)；
②求函數(shù)圖象在處的切線在軸上的截距；
③判斷是否成立，若成立，執(zhí)行第④步；若不成立，跳至第⑤步；
④令，返回第②步；
⑤結(jié)束算法，確定數(shù)列的項(xiàng)依次為．
根據(jù)以上信息回答下列問題：
(1)求證：；
(2)是否存在實(shí)數(shù)使得為等差數(shù)列，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考數(shù)據(jù)：．
題型十四：新結(jié)構(gòu)19題：高觀下導(dǎo)數(shù)新定義
對(duì)新定義的題型要注意一下幾點(diǎn)： （1）讀懂定義所給的主要信息篩選出重要的關(guān)鍵點(diǎn) （2）利用好定義所給的表達(dá)式以及相關(guān)的條件 （3）含有參數(shù)是要注意分類討論的思想.
1．（2024·湖南·模擬預(yù)測）超越數(shù)得名于歐拉，它的存在是法國數(shù)學(xué)家劉維爾（Joseph Liouville）最早證明的．一個(gè)超越數(shù)不是任何一個(gè)如下形式的整系數(shù)多項(xiàng)式方程的根：（，，…，，）．?dāng)?shù)學(xué)家證明了自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e與圓周率是超越數(shù)．回答下列問題：
已知函數(shù)（）只有一個(gè)正零點(diǎn)．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)（ⅰ）構(gòu)造整系數(shù)方程，證明：若，則為有理數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)．
（ⅱ）數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列？若存在，求出這三項(xiàng)的值；否則說明理由．
2．（2024·上海·二模）固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線.1691年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程，其中為參數(shù).當(dāng)時(shí)，就是雙曲余弦函數(shù)，懸鏈線的原理運(yùn)用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程．類比三角函數(shù)的三種性質(zhì)：①平方關(guān)系：；②兩角和公式：，③導(dǎo)數(shù)：定義雙曲正弦函數(shù)．
(1)直接寫出，具有的類似①、②、③的三種性質(zhì)（不需要證明）；
(2)當(dāng)時(shí)，雙曲正弦函數(shù)的圖像總在直線的上方，求直線斜率的取值范圍；
(3)無窮數(shù)列滿足，，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.
3．（2024·天津·一模）意大利畫家達(dá)芬奇提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項(xiàng)鏈所形成的曲線是什么 這就是著名的“懸鏈線問題”，通過適當(dāng)建立坐標(biāo)系，懸鏈線可為雙曲余弦函數(shù)的圖象，定義雙曲正弦函數(shù)，類比三角函數(shù)的性質(zhì)可得雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)有如下性質(zhì)①平方關(guān)系：，②倍元關(guān)系：.
(1)求曲線在處的切線斜率；
(2)若對(duì)任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍：
(3)（i）證明：當(dāng)時(shí)，；
（ii）證明：.
題型十五：新結(jié)構(gòu)19題：導(dǎo)數(shù)與集合
導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法： 一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．
1．（2024·福建·模擬預(yù)測）對(duì)于函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，則稱為的不動(dòng)點(diǎn).已知，且的不動(dòng)點(diǎn)的集合為.以和分別表示集合中的最小元素和最大元素.
(1)若，求的元素個(gè)數(shù)及；
(2)當(dāng)恰有一個(gè)元素時(shí)，的取值集合記為.
（i）求；
（ii）若，數(shù)列滿足，，集合，.求證：，.
2．（2023·浙江溫州·二模）定義：對(duì)于函數(shù)，若，則稱為的“不動(dòng)點(diǎn)”，若，則稱為的“穩(wěn)定點(diǎn)”.函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”集合分別記為和，即.
(1)證明下面兩個(gè)性質(zhì)：
性質(zhì)1：；
性質(zhì)2：若函數(shù)單調(diào)遞增，則；
(2)已知函數(shù)，若集合中恰有1個(gè)元素，求的取值范圍.
3．（2023·吉林長春·模擬預(yù)測）定義：對(duì)于函數(shù)，若，則稱為的“不動(dòng)點(diǎn)”，若，則稱為的“穩(wěn)定點(diǎn)”．函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”集合分別記為A和B，即，有如下性質(zhì)：
性質(zhì)1：；
性質(zhì)2：若函數(shù)單調(diào)遞增，則，
已知函數(shù)，
(1)討論集合中元素個(gè)數(shù)：
(2)若集合中恰有1個(gè)元素，求a的取值范圍.
題型十六：新結(jié)構(gòu)19題：函數(shù)性質(zhì)定義型
1．（2024·上海虹口·二模）若函數(shù)滿足：對(duì)任意，都有，則稱函數(shù)具有性質(zhì).
(1)設(shè)，，分別判斷與是否具有性質(zhì)？并說明理由；
(2)設(shè)函數(shù)具有性質(zhì)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)已知函數(shù)具有性質(zhì)，且圖像是一條連續(xù)曲線，若在上是嚴(yán)格增函數(shù)，求證：是奇函數(shù).
2．（2023·上海閔行·二模）已知關(guān)于的函數(shù)，與在區(qū)間上恒有，則稱滿足性質(zhì).
(1)若，，，，判斷是否滿足性質(zhì)，并說明理由；
(2)若，，且，求的值并說明理由；
(3)若，，，，試證：是滿足性質(zhì)的必要條件.
3．（23-24高三上·上海普陀·期末）已知為實(shí)數(shù)，．對(duì)于給定的一組有序?qū)崝?shù)，若對(duì)任意，，都有，則稱為的“正向數(shù)組”．
(1)若，判斷是否為的“正向數(shù)組”，并說明理由；
(2)證明：若為的“正向數(shù)組”，則對(duì)任意，都有；
(3)已知對(duì)任意，都是的“正向數(shù)組”，求的取值范圍．培優(yōu)沖刺05 導(dǎo)數(shù)壓軸大題歸類
目錄
題型一：不等式證明：三角形不等式················································································································ 1 題型二：三角函數(shù)型數(shù)列不等式證明 ··················································································································5 題型三：混合型極值點(diǎn)偏移證明························································································································· 8 題型四：三個(gè)零點(diǎn)型偏移證明··························································································································· 13 題型五：非對(duì)稱型偏移證明不等式·················································································································· 17 題型六：比大小型證明不等式 ·····························································································································20 題型七：三角函數(shù)型比大小證明不等式········································································································· 23 題型八：恒成立型求參········································································································································· 27 題型九：構(gòu)造新函數(shù)求參 ·······································································································································31 題型十：借助三角函數(shù)構(gòu)造證明不等式·········································································································· 36 題型十一：帕德逼近型證明與求參 ·····················································································································40 題型十二：泰勒展開型證明與求參··················································································································· 46 題型十三：新結(jié)構(gòu)19題：導(dǎo)數(shù)與數(shù)列············································································································ 51 題型十四：新結(jié)構(gòu)19題：高觀下導(dǎo)數(shù)新定義···································································································55 題型十五：新結(jié)構(gòu)19題：導(dǎo)數(shù)與集合············································································································ 60 題型十六：新結(jié)構(gòu)19題：函數(shù)性質(zhì)定義型········································································································69
題型一：不等式證明：三角形不等式
利用導(dǎo)數(shù)證明具有正余弦型的三角函數(shù)型不等式問題，方法如下： （1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)； （2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論； （3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù). （4）借助正余弦函數(shù)的有界性，可以適當(dāng)?shù)姆趴s，轉(zhuǎn)化為較容易的函數(shù)不等形式來證明
1．（2024·湖南·一模）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；
(2)時(shí)；
（ⅰ）若，求的取值范圍；
（ⅱ）證明：．
【答案】(1)(2)（ⅰ）（ⅱ）證明見解析
【分析】（1）令時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出斜率，進(jìn)行計(jì)算求出切線方程即可.
（2）（ⅰ）設(shè)由得，再證明此時(shí)滿足.
（ⅱ）根據(jù)（ⅰ）結(jié)論判斷出在上單調(diào)遞增，即
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，
所以切線方程為：即
（2）（ⅰ）
即，
設(shè)
又是的一個(gè)必要條件，即
下證時(shí)，滿足
又，
設(shè)在上單調(diào)遞減，
所以，
又即在單調(diào)遞增.
時(shí)，；
下面證明時(shí)不滿足，
，
令，
則，
，
∴在為增函數(shù)，
令滿足，
則，
又∴,使得，
當(dāng)時(shí)，，
∴此時(shí)在為減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，
∴時(shí)，不滿足恒成立.
綜上.
（ⅱ）設(shè)
由（ⅰ）知，
在上單調(diào)遞增，即
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)，解題關(guān)鍵是進(jìn)行必要性探路，然后證明充分性，得到所要求的參數(shù)范圍即可．
2．（2024·山西朔州·一模）已知函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)．
(1)若函數(shù)在處的切線的斜率為2，求的值；
(2)求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)后可求參數(shù)的值；
（2）可證及，故可證.
【詳解】（1），故.
（2）當(dāng)時(shí)，，而，
故在上恒成立.
當(dāng)時(shí)，
設(shè)，則，
故在上遞增，故，故，
設(shè)，則，故在上遞增，
故，故.
，
綜上，.
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)．
(1)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
(2)若，求證：．
【答案】(1)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1
(2)證明見解析
【分析】（1）首先討論時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，再討論時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可求解；
（2）首先將不等式變形為，再根據(jù)不等式構(gòu)造3個(gè)函數(shù)，，，，再分別證明，以及.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，，沒有零點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，
，
由零點(diǎn)存在定理及函數(shù)的單調(diào)性得在上存在唯一零點(diǎn)．
綜上所述，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．
（2）由題知，，
即．
設(shè)，，，
則只需證當(dāng)時(shí)，，
易知，
，設(shè)，則單調(diào)遞增，又，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
當(dāng)時(shí)，，
只需證．
又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
在上單調(diào)遞增．
又，，當(dāng)時(shí)，，得證.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是由不等式的形式構(gòu)造3個(gè)函數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為分別證明不等式成立.
題型二：三角函數(shù)型數(shù)列不等式證明
利用導(dǎo)數(shù)證明不等式有如下方法， 方法一，等價(jià)轉(zhuǎn)化是證明不等式的常見方法，其中利用函數(shù)的對(duì)稱性，構(gòu)造對(duì)稱差函數(shù)是解決極值點(diǎn)偏移問題的基本處理策略； 方法二，比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明的不等式即可， 方法三，利用不等式 的性質(zhì)對(duì)原不等式作等價(jià)轉(zhuǎn)換后，利用導(dǎo)數(shù)證明相關(guān)的式子成立.
1．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·一模）已知函數(shù)．
(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性
(2)證明：①當(dāng)時(shí)，；
②.
【答案】(1)答案見解析；
(2)①證明見解析；②證明見解析.
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論，即討論a的取值范圍，確定導(dǎo)數(shù)正負(fù)，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）①利用（1）的結(jié)論，即可證明結(jié)論；②由（1）可得，利用變量代換推出，結(jié)合，可得，從而采用累加法，即可證明不等式.
【詳解】（1）由于，定義域?yàn)椋?br/>則，
①當(dāng)時(shí)，，令，得，令，得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
②當(dāng)時(shí)，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
③當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
④當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；
⑤當(dāng)時(shí)，時(shí)，，
時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（2）證明：①由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，故；
②由（1）可得，當(dāng)時(shí)，，即，則，
僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，所以，即得，
令，則，所以，即，
令，則，且不恒為零，
所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，
所以，
所以
.
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，難點(diǎn)在于不等式的證明，證明時(shí)要結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)推出，繼而結(jié)合，推出，從而累加，證明結(jié)論.
2．（2024·天津·一模）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)當(dāng)時(shí)，若在的圖象上有一點(diǎn)列，若直線的斜率為，
（ⅰ）求證：；
（ⅱ）求證：．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）證明見解析
【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得；
（2）（ⅰ）令，即證在時(shí)恒成立，借助導(dǎo)數(shù)，多次求導(dǎo)后即可得；（ⅱ）計(jì)算可得，由（ⅰ）可得，即可得，借助放縮法可得，結(jié)合等比數(shù)列求和公式及放縮即可得證.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，所以，
曲線在點(diǎn)處切線的斜率為，
所以切線方程為，即；
（2）（ⅰ）要證，即證時(shí)，，
令，即證在時(shí)恒成立，
因?yàn)椋睿瑒t，
令，則在內(nèi)單調(diào)遞增，
所以，即在內(nèi)單調(diào)遞增，
所以, 即在內(nèi)單調(diào)遞增，
所以，即得證；
（ⅱ）時(shí)，
，
由（ⅰ）知，，即，則，
所以
，
，即得證.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題最后一問關(guān)鍵點(diǎn)在于由（ⅰ）中得到，從而得到，從而借助放縮法，得到.
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知當(dāng)時(shí)，，，.
(1)證明：；
(2)已知，證明：（可近似于3.14）.
【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.
【分析】（1）令，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，得到，要證，只需證，構(gòu)造，，二次求導(dǎo)得到單調(diào)性，得到，證明出，證明出不等式；
（2）變形得到，兩邊同時(shí)除以得到：，證明出不等式.
【詳解】（1）令，∴在上恒成立，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴，∴，
要證，只需證，∵，∴只需證，令，，
∴，
∴，令，，∴，
又∵當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，
∴，∴當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減
∴，∴，∴，
∴綜上所述，當(dāng)時(shí)，，證畢.
（2）∵當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴，①
將①式兩邊同時(shí)乘以得到：，②
∵，但當(dāng)時(shí)，，∴，
將②式兩邊同時(shí)除以得到：，∴，∴，
∴當(dāng)時(shí)，，證畢.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:證明不等式或比較兩函數(shù)大小，需構(gòu)造函數(shù)，并根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合特殊點(diǎn)函數(shù)值得到結(jié)論.
題型三：混合型極值點(diǎn)偏移證明
極值點(diǎn)偏移問題的一般題設(shè)形式： 1.若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)且，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）； 2.若函數(shù)中存在且滿足，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）； 3.若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)且，令，求證：； 4.若函數(shù)中存在且滿足，令，求證：.
1．（2023·陜西安康·二模）已知函數(shù)，（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
(1)當(dāng)時(shí)，恰好存在一條過原點(diǎn)的直線與，都相切，求b的值；
(2)若，方程有兩個(gè)根，（），求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由題可求得過原點(diǎn)的與相切的直線方程：，后利用切點(diǎn)即在圖像上，也在切線上，可求得相應(yīng)切點(diǎn)橫坐標(biāo)，后由切線斜率為1可求得b；
（2）由題可得有兩個(gè)根，令，
則可得方程有兩個(gè)根，則.通過令，，可將證明，轉(zhuǎn)化為證明，
后構(gòu)造函數(shù)，，通過其單調(diào)性可證明結(jié)論.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，設(shè)直線與的切點(diǎn)為，則切線斜率為，切線方程為.因即在圖像上，也在切線上，則，故切線斜率為1，則切線方程為.
又，，設(shè)直線與的切點(diǎn)為，則切線斜率為，切線方程為.因即在圖像上，也在切線上，則，又切線斜率為1，則
；
（2）當(dāng)時(shí)，，
則由題可得有兩個(gè)根，
令，則可得方程有兩個(gè)根，
則.令，，則，
.注意到，
則構(gòu)造函數(shù)，.
因，則在上單調(diào)遞增，得
.
故命題得證.
2．（2023·山西·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若有2個(gè)不同的零點(diǎn)（），求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求解函數(shù)定義域，參變分離得到，構(gòu)造，利用導(dǎo)函數(shù)得到其單調(diào)性，極值和最值情況，得到；
（2）轉(zhuǎn)化為有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，構(gòu)造，得到其單調(diào)性，得到，且，求出，換元后即證，構(gòu)造，求導(dǎo)后得到在上單調(diào)遞增，，得到證明.
【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋猿闪ⅲ葍r(jià)于成立.
令，則，
令，則，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，
又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以在處取極大值也是最大值.
因此，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
（2）有2個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.
令，則，當(dāng)時(shí)，解得.
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以在處取極大值為.
又因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
且時(shí)，.
所以，且.
因?yàn)槭欠匠痰?個(gè)不同實(shí)數(shù)根，即.
將兩式相除得，
令，則，，變形得，.
又因?yàn)椋虼艘C，只需證.
因?yàn)椋灾恍枳C，即證.
因?yàn)椋醋C.
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，，
即當(dāng)時(shí)，成立，命題得證.
【點(diǎn)睛】極值點(diǎn)偏移問題中，若等式中含有參數(shù)，則消去參數(shù)，由于兩個(gè)變量的地位相同，將特征不等式變形，如常常利用進(jìn)行變形，可構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)再進(jìn)行求解.
3．（2021·陜西寶雞·模擬預(yù)測）已知．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于x的方程存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，證明：且．
【答案】（1）減區(qū)間為：，增區(qū)間為：；（2）證明見解析．
【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系，判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間；
（2）方法一：由條件，分離參數(shù)，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)區(qū)間及最值情況，利用數(shù)形結(jié)合將問題轉(zhuǎn)化為圖像交點(diǎn)問題，從而證得參數(shù)a的取值范圍；令，將證明的結(jié)論等價(jià)轉(zhuǎn)化為，從而，令，通過導(dǎo)數(shù)研究其最大值情況，從而證明結(jié)論；
方法二：令，通過導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)區(qū)間，若,有兩個(gè)零點(diǎn)，只需最小值小于0，從而求得參數(shù)a取值范圍；令，則，變形整理，要證，則只需證，即只要證，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象可知，只需要證兩點(diǎn)連線的斜率要比兩點(diǎn)連線的斜率小即可．
【詳解】（1）解：的定義域?yàn)椋?br/>又由得，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
的減區(qū)間為：，增區(qū)間為：，
（2）證明：方法一：由存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，
整理得方程存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根．
由，知，
令，則，
當(dāng)時(shí)，減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，增函數(shù)．
所以．
因?yàn)椋缘闹涤驗(yàn)椋?br/>問題等價(jià)于直線和有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
，且，
所以，從而．
令，則，解得，
，而，
下面證明時(shí)，，
令，
則，
令，則，
在為減函數(shù)，，
在為減函數(shù)，，
在為減函數(shù)，，即．
方法二：由存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，
整理得方程存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根．
由，知，
令，則，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減．
所以．
因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，即，得．
因?yàn)閷?shí)數(shù)是的兩個(gè)根，
所以，從而．
令，則，變形整理，
要證，則只需證，即只要證，
結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象可知，只需要證兩點(diǎn)連線的斜率要比兩點(diǎn)連線的斜率小即可．
因?yàn)椋灾灰C，整理得．
令，則，
所以在上單調(diào)遞減，即，
所以成立，故成立．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最值情況以及交點(diǎn)，零點(diǎn)情況；帶參數(shù)時(shí)，可以分離參數(shù)或者帶參分類討論這兩種方法來求得參數(shù)取值范圍；對(duì)于雙變量問題的證明，一般需要找到兩個(gè)變量間的關(guān)系，利用另一個(gè)變量來表示這兩個(gè)變量，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，借助導(dǎo)數(shù)證得結(jié)論.
題型四：三個(gè)零點(diǎn)型偏移證明
極值點(diǎn)偏移問題，解題關(guān)鍵為將雙變量消元為單變量，常構(gòu)造差函數(shù)或以兩變量之差，之商構(gòu)造函數(shù)以達(dá)到消元目的. 對(duì)于極值點(diǎn)偏移問題，首先找到兩極值點(diǎn)的相應(yīng)關(guān)系,然后構(gòu)造商數(shù)或加數(shù)關(guān)系； 通過要證明的不等式，將兩極值點(diǎn)變形后構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)， 利用導(dǎo)數(shù)求解出構(gòu)造函數(shù)的最值，從而證明不等式或等式成立.
1．（2022·安徽淮南·二模）已知函數(shù)．
(1)若，證明：時(shí)，；
(2)若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，證明：．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)大于0恒成立，故得到；（2）首先確定為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，接下來研究，構(gòu)造差函數(shù)，求導(dǎo)后單調(diào)性，得到證明.
【詳解】（1）時(shí)，函數(shù)，
則，
在上單調(diào)遞增，
所以．
（2），顯然為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為；
設(shè)函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
由已知，必有兩個(gè)零點(diǎn)，且，下證：．
設(shè)函數(shù)，則，
，
由于，則，
由（1）有，故，
即函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，
即有，
由于，且在上單調(diào)遞增，
所以，
所以．
【點(diǎn)睛】對(duì)于極值點(diǎn)偏移問題，通常要構(gòu)造差函數(shù)，結(jié)合差函數(shù)的單調(diào)性和最值，進(jìn)行證明.
2．（2022·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．
(2)若，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見詳解
【分析】（1）令換元得函數(shù)，然后通過導(dǎo)數(shù)求極值，根據(jù)與函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn)可得；
（2）構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)研究在區(qū)間上的單調(diào)性，然后由單調(diào)性結(jié)合已知可證.
【詳解】（1）令，則，記
令，得
當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，
所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，時(shí)，取得極大值，
因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)零點(diǎn)與有三個(gè)交點(diǎn)，
所以，即 a的取值范圍為.
（2）記
記
則
記
則
易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增
因?yàn)椋?br/>所以
由（1）可知，
所以，即
又，所以
因?yàn)椋?br/>由（1）知在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即
所以
【點(diǎn)睛】本題第二問屬于極值點(diǎn)偏移問題，關(guān)鍵點(diǎn)在于構(gòu)造一元差函數(shù)，通常構(gòu)造成或，本題由于采取了換元法轉(zhuǎn)化問題，因此構(gòu)造函數(shù)為.
3．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，判斷在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；
(2)若有三個(gè)零點(diǎn)，且．
（i）求的取值范圍；
（ii）證明：.
【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
(2)（i）；（ii）證明見解析
【分析】（1）多次求導(dǎo)后，借助導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性及正負(fù)即可判斷原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）（i）原條件可轉(zhuǎn)化有三個(gè)不等實(shí)根，從而構(gòu)造函數(shù)，研究該函數(shù)即可得；（ii）借助的單調(diào)性，得到，從而將證明，轉(zhuǎn)化為證明，再設(shè)，從而將三個(gè)變量的問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，即可構(gòu)造函數(shù)，證明其在上大于即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，
令，，
令，可得，
則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，
故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
（2）（i）有三個(gè)零點(diǎn)，即有三個(gè)根，
由不是該方程的根，故有三個(gè)根，且，
令，，
故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，
故時(shí)，有三個(gè)根；
（ii）由在上單調(diào)遞增，，故，
由（i）可得，且，
即只需證，設(shè)，則，
則有，即有，故，，
則，即，
即只需證，
令，
則恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
則，即得證.
題型五：非對(duì)稱型偏移證明不等式
1．（22-23高三上·河南·）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若存在，且，使得，求證：.
【答案】(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
(2)證明見解析
【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求解即可；
（2）由（1）得，設(shè)，，利用導(dǎo)函數(shù)可得，從而可得；設(shè)，，利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義可得，從而可得，兩式聯(lián)立即可求解.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>，
令，得或，
在上，，在上，，在上，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）由（1）可知，
設(shè)，，
則，
因?yàn)椋裕谏蠁握{(diào)遞增.
又，所以當(dāng)時(shí)，，即.
因?yàn)椋裕裕?br/>因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，，
所以，即.①
設(shè)，，
則.
因?yàn)椋裕谏蠁握{(diào)遞增，
又，所以當(dāng)時(shí)，，即，
因?yàn)椋裕?
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，，
所以，即.②
由①得，由②得，所以.
【點(diǎn)睛】函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.
2．（2022·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù).
(1)若，求函數(shù)的最值；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，記作，且，求證：.
【答案】(1)無最小值，最大值為
(2)證明見解析
【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后得，分別求出和的解集，從而可求解.
（2）由有兩個(gè)極值點(diǎn)，從而要證，令，構(gòu)建函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求解的最值，從而可求解證明.
【詳解】（1）由題意得，則.
令，解得；令，解得，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，
無最小值，最大值為.
（2），則，
又有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，
欲證，即證，
原式等價(jià)于證明①.
由，得，則②.
由①②可知原問題等價(jià)于求證，
即證.
令，則，上式等價(jià)于求證.
令，則，
恒成立，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，即，
原不等式成立，即.
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，求證：．
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后分類討論的取值情況，從而可求解.
（2）結(jié)合（1）中結(jié)論可知，從而求出，，然后設(shè)并構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求解，然后再構(gòu)造函數(shù)證明，從而求解.
【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，無增區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間為．
（2）因?yàn)槭呛膬蓚€(gè)零點(diǎn)，由（1）知，
因?yàn)椋O(shè)，則，
當(dāng)，，當(dāng)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，．
又因?yàn)椋遥?br/>所以，．
首先證明：．
由題意，得，設(shè)，則
兩式相除，得．
要證，只要證，即證．
只要證，即證．
設(shè)，．
因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增．
所以，即證得①．
其次證明：．設(shè)，．
因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞減．
所以，
即．
所以②．
由①②可證得．
【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：
（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．
（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．
（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．
（4）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題．
題型六：比大小型證明不等式
1．（2023·浙江金華·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)證明：當(dāng)時(shí)，；
(2)設(shè)為正實(shí)數(shù)且.
（i）若，證明：；
（ii）若，證明：.
【答案】(1)證明見解析
(2)（i）證明見解析（ii）證明見解析
【分析】（1）構(gòu)造并利用導(dǎo)數(shù)研究其在單調(diào)性，即可證結(jié)論；
（2）（i）問題化為，證明，設(shè)且，利用得到，構(gòu)造研究其值域范圍，即可證結(jié)論；
（ii）設(shè)，令研究其單調(diào)性可得，再構(gòu)造研究單調(diào)性得，最后構(gòu)造研究單調(diào)性比較函數(shù)值大小即可證結(jié)論.
【詳解】（1）令且，則，
所以在上遞減，故，即，
所以時(shí).
（2）（i）設(shè)，證明：，
不妨設(shè)，且，則，
.
設(shè)，則，.
設(shè)，則.
于是，在內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)趨向于時(shí)，趨向于，故.
由得：，則在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)趨向于時(shí)，趨向于e，故.
因此，.
（ii）證明：，其中，
由對(duì)稱性知：不妨設(shè)，令，此時(shí)，
令且，則，即遞減，
所以，即，故，則單調(diào)遞增，
則，于是，
令，此時(shí)，單調(diào)遞增，
則
令，此時(shí)，
令，則，
所以遞增，即遞增，則，
于是，單調(diào)遞增，則.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，（i）注意令且，結(jié)合得到為關(guān)鍵；（ii）依次構(gòu)造函數(shù)證明、，最后構(gòu)造證結(jié)論.
2．（2022·河南·三模）已知函數(shù)，.
(1)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
(2)比較，，的大小，并說明理由.
【答案】(1)一個(gè)零點(diǎn)
(2)，理由見解析
【分析】（1）對(duì)二次求導(dǎo)，求出的單調(diào)性及極值，判斷出的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）對(duì)要比較大小的式子進(jìn)行整理變形，結(jié)合第一問函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明.
【詳解】（1），，
設(shè)，則
因此在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，，
即，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞減，所以在處有極大值，
又，故有且僅有一個(gè)零點(diǎn).
（2）因?yàn)椋?br/>由（1）可知，當(dāng)時(shí)，恒成立，又，
所以，又對(duì)于任意的時(shí)
，所以，
即，因?yàn)椋裕?br/>所以.
【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)比較函數(shù)值的大小，通常會(huì)構(gòu)造函數(shù)，或者對(duì)函數(shù)值進(jìn)行變形，本題中，是關(guān)鍵，再結(jié)合函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較.
3．（23-24高三上·甘肅金昌·階段練習(xí)）已知函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)問；
(2)設(shè)，試比較與的大小，并說明理由；
【答案】(1)答案見解析；
(2)，理由見解析.
【分析】（1）由題設(shè)可得，討論參數(shù)a研究的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）確定大小關(guān)系，由作差法、分析法得，令，構(gòu)造且，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性并證恒成立即可比大小.
【詳解】（1）由題意得，則，
所以.
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，由，得；由，得，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
綜上，當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，無遞減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間是；單調(diào)增區(qū)間是.
（2），理由如下：
要證，只需證，
即證且.
令，從而即證且.
設(shè)且，則.
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.
所以，即且成立，故，得證.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，明確大小關(guān)系，應(yīng)用作差法得到，再構(gòu)造函數(shù)研究不等式恒成立即可.
題型七：三角函數(shù)型比大小證明不等式
1．（22-23高三天津南開·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)，時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若在區(qū)間內(nèi)存在極值點(diǎn).
①求實(shí)數(shù)的取值范圍；
②求證：在區(qū)間內(nèi)存在唯一的，使，并比較與的大小，說明理由.
【答案】(1)增區(qū)間為，無減區(qū)間
(2)①；②證明見解析，
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）①由，令，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，利用極值點(diǎn)的定義以及數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；
②將問題轉(zhuǎn)化為證明出函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合①中的結(jié)論，可以證明；表示出，構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，可得出，從而可得出，再利用函數(shù)的單調(diào)性，比較后可得出結(jié)論.
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，若，，則，
所以，函數(shù)的增區(qū)間為，無減區(qū)間.
（2）解：①因?yàn)椋?br/>令，其中，則，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
作出函數(shù)與的圖象如下圖所示：
由圖可知，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，
則函數(shù)在上為增函數(shù)，不合乎題意；
當(dāng)時(shí)，由圖可知，直線與函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)函數(shù)在只有一個(gè)極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是；
②要證明存在唯一的，使得，
令，只需證明存在唯一的，使得，
因?yàn)椋?br/>由①可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又當(dāng)時(shí)，，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，且，
又因?yàn)椋裕瘮?shù)在內(nèi)無零點(diǎn)，在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，
即存在唯一的使得，即，
由①可知，，
所以，，
令，其中，
則，
令，其中，
則，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，，
故當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，
因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，且，，所以，.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題要比較與的大小關(guān)系，關(guān)鍵就是構(gòu)造出合適的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為比較、的大小關(guān)系，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解.
2．（23-24高三·福建南平·）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，比較與的大小；
(2)若，比較與的大小.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）令設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，進(jìn)而可得出答案；
（2）先證明，則有，，再根據(jù)，可得，再利用導(dǎo)數(shù)分別求出函數(shù)在上的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）設(shè)函數(shù)，
則，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，
所以，從而，即；
（2）設(shè)函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，，則即恒成立，
所以，，
又，所以，
因?yàn)椋裕?br/>令，則恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，則，
所以在上單調(diào)遞增，
又，，所以，即，
設(shè)函數(shù)，則，
所以在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋裕裕裕?br/>所以，從而.
3．（22-23高三·北京大興·）已知函數(shù)．
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)設(shè)，討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；
(3)對(duì)任意的，且，判斷與的大小關(guān)系，并證明結(jié)論．
【答案】(1)；
(2)單調(diào)遞增；
(3)，證明見解析.
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程作答.
（2）求出函數(shù)的解析式并求出導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)作答.
（3）根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，利用（2）的結(jié)論判斷單調(diào)性即可比較大小作答.
【詳解】（1）由，求導(dǎo)得，顯然，，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
（2）由（1）及知，，
求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí),，則，
因此在區(qū)間上單調(diào)遞增.
（3）令，求導(dǎo)得，
由（2）知，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，因此在區(qū)間上單調(diào)遞減，
由，得，且，于是，即，
所以.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)y=f(x)是區(qū)間D上的可導(dǎo)函數(shù)，則曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線方程為：.
題型八：恒成立型求參
對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略： ①通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍； ②利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題． ③根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
1．（2024·北京順義·二模）設(shè)函數(shù)，.曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
(1)求a的值；
(2)求證：方程僅有一個(gè)實(shí)根；
(3)對(duì)任意，有，求正數(shù)k的取值范圍.
【答案】(1)；
(2)證明見解析；
(3).
【分析】（1）根據(jù)切點(diǎn)在曲線和切線上可得；
（2）分，，，利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性，通過單調(diào)性討論即可得證；
（3）令，分，兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)討論最值即可得解.
【詳解】（1）解：因?yàn)椋裕?br/>又點(diǎn)在切線上，所以，
所以，即.
（2）證明：欲證方程僅有一個(gè)實(shí)根，只需證明僅有一個(gè)零點(diǎn)，
令，則，
令，則，
討論：（1）當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，所以，即，
所以在上單調(diào)遞增，，即此時(shí)無零點(diǎn)；
（2）當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)；
（3）當(dāng)時(shí)，
所以，當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)無零點(diǎn)
綜上可得，僅有一個(gè)零點(diǎn)，得證.
（3）當(dāng)時(shí)，，即恒成立，
令，
則，
由（Ⅱ）可知，時(shí)，
所以，
討論：（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋裕?br/>即，
所以，
即當(dāng)時(shí)，，
所以在時(shí)單調(diào)遞增，
所以恒成立，即滿足條件，
（2）當(dāng)時(shí)，由可知，
又，所以存在，使得，
所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，即不能保證恒成立，
綜上可知，正數(shù)k的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)范圍常用方法：（1）參變分離，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；（2）根據(jù)參數(shù)分類討論，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值即可求解.
2．（23-24高三·上海·）已知函數(shù).
(1)若直線是曲線的切線，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，求的取值范圍；
(3)若，且，求實(shí)數(shù)的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用函數(shù)與直線相切結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出；
（2）構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可得到的取值范圍；
（3）化簡得，令，則，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)最值即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)椋本€是曲線的切線，
令，所以，所以，
解得或（舍去），所以，代入直線得，
即切點(diǎn)為，
即，所以；
（2）令，則，
令，則，
所以可得恒為遞增函數(shù)，又，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，若對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，
則，解得；
（3）因?yàn)椋?br/>，
因?yàn)椋裕?br/>所以，僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
令，則，
因?yàn)椋?br/>所以當(dāng)時(shí)，恒成立，
令，，
則在上單調(diào)遞增，
所以.所以在上單調(diào)遞減，
所以，所以，
所以的最大值為.
【點(diǎn)睛】涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問題的關(guān)鍵.
3．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）函數(shù)．
(1)求函數(shù)的極值；
(2)若恒成立，求的最大值．
【答案】(1)極小值為，極大值為；
(2)3.
【分析】（1）判斷函數(shù)為奇函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出在區(qū)間上的極值，利用奇偶性即可求得定義域上的極值.
（2）利用導(dǎo)數(shù)證明當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，等價(jià)變形不等式并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)并按導(dǎo)數(shù)為負(fù)為正確定的取值范圍，進(jìn)而確定不等式恒成立與否得解.
【詳解】（1）函數(shù)，，
即函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得：
，
由于，由，得，解得，
由，得，解得，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因此函數(shù)在上有極小值，
從而在上的極小值為，極大值為.
（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，亦即恒成立，
令，求導(dǎo)得，
則函數(shù)在上為增函數(shù)，有，因此恒成立；
當(dāng)時(shí)，恒成立，即不等式恒成立，
令，求導(dǎo)得：
令，求導(dǎo)得則
，
由，得，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
則有，即，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，有，即，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，存在一個(gè)，使得，
且當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，且，
則，于是在上單調(diào)遞增，因此，即，與矛盾，
所以的最大值為3.
題型九：構(gòu)造新函數(shù)求參
利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下： （1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)； （2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論； （3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
1．（2024·遼寧·一模）已知函數(shù)
(1)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù);
(2)當(dāng)時(shí)，| 求a的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析(2)的取值范圍為
【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，首先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的大致圖象，結(jié)合分類討論思想求解可得答案；
（2）將原不等式轉(zhuǎn)化為，再利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合虛設(shè)零點(diǎn)的方法解不等式即可.
【詳解】（1）令，則
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
又，
作出的大致圖象如下圖所示：

當(dāng)時(shí)，，無零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，得，
由上圖知：
當(dāng)，即時(shí)，無零點(diǎn)；
當(dāng)或，即或時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)，即時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).
（2）當(dāng)時(shí)，顯然在上單調(diào)遞增，
由（1）知，在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn)，即，
當(dāng)時(shí)，
由得，即，
設(shè)函數(shù)，則，
在上單調(diào)遞減，所以，
解得，
當(dāng)時(shí)，，
由得，即，
設(shè)，則，
由得，
所以在上單調(diào)遞增，所以，解得，
綜上，
由得，
綜上：的取值范圍為.
2．（23-24高三·江西宜春模擬）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．
(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)求證：；
(3)求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并判斷函數(shù)的單調(diào)性和最值，求實(shí)數(shù)的取值范圍，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理，說明零點(diǎn)的情況；
（2）構(gòu)造新函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并結(jié)合，即可證明；
（3）設(shè)，并求導(dǎo)，可證明，即可證明，設(shè)
，設(shè)，并求導(dǎo)，證明.
【詳解】（1），
又因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，且，
所以，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)，即時(shí)，
，
，
所以在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，的最小值為，且，
所以在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是；
（2）設(shè)，，
，
，
當(dāng)時(shí)，，
，
所以，
所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，
即當(dāng)時(shí)，，
又因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，
由（1）知，，，
所以，
（3）設(shè)，
，
，當(dāng)時(shí)，
因?yàn)椋?br/>令，，
設(shè)，，
令，解得：，令，解得：，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以,
所以恒成立，顯然，
令，解得：，令，解得：，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
即，
設(shè)的零點(diǎn)為，，
易知，
所以，
設(shè)，
設(shè)，，
令，解得：，令，解得：，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
所以恒成立，即，
設(shè)的零點(diǎn)為，，
易知，，
所以，
所以，
所以
3．（2024·山東臨沂·一模）已知函數(shù).
(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)討論的單調(diào)性；
(3)若存在，且，使得，求證：.
【答案】(1)
(2)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增
(3)證明見解析
【分析】（1）分別求出和的值，求切線方程即可；
（2）求原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，借助其導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，研究的單調(diào)性及符號(hào)，的單調(diào)性即可解決；
（3）從出發(fā)，將不等式同構(gòu)為的形式，設(shè)定，只需證成立，構(gòu)造函數(shù)，用極值點(diǎn)偏移的方法解決問題即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，
又，所以，
曲線在點(diǎn)處的切線方程為：；
（2）因?yàn)椋遥?br/>令，，因?yàn)椋?br/>即函數(shù)在上單調(diào)遞增，
由，得，
所以函數(shù)在上小于零，在上大于零，
因?yàn)椋姆?hào)和函數(shù)的符號(hào)一致，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
（3）因?yàn)椋?br/>所以時(shí)，，且，
則，即，
若，且，，
所以，取自然對(duì)數(shù)得：，
即，
由得：，
即，
所以，
令，
設(shè)，所以，
所以時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；
時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
下面證明：，又，即證，
即證，即證，
令，
，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，從而得證；
故，
即，所以，
所以，得證.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：極值點(diǎn)偏移是一種最常見的考法，其解題步驟大致分為3步，第一步：代根作差找關(guān)系，第二步：換元分析化結(jié)論，第三步：構(gòu)造函數(shù)證結(jié)論.
題型十：借助三角函數(shù)構(gòu)造證明不等式
三角函數(shù)的放縮 （1）的放縮：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. （2）的放縮：當(dāng)時(shí)，.
1．（2024·廣東湛江·二模）已知函數(shù).
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若，，且，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用到數(shù)的幾何意義，即可求得答案；
（2）設(shè)，，，原不等式即為，利用的單調(diào)性，繼而轉(zhuǎn)化為，繼而再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明結(jié)論.
【詳解】（1）由，得，
則，，.
故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
即.
（2）證明：由，，且，不妨設(shè)，，，
則證明等價(jià)于證明，，
即證，從而構(gòu)造函數(shù)，利用其調(diào)性證明結(jié)論.
令，則，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，
故，，即，，
則
，
要證，
只需證.
令，則，
令，得.
令，，則，
令，，則在上恒成立，
則，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，，則，
則，在單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，則，
則，在單調(diào)遞增.
因?yàn)椋裕丛谏虾愠闪ⅲ?br/>從而.
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，難點(diǎn)就在于不等式的證明，解答時(shí)要將原不等式轉(zhuǎn)化為，繼而構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性證明成立.
2．（2024·山西呂梁·一模）已知函數(shù)．
(1)求在處的切線方程；
(2)若對(duì)任意恒成立，求正實(shí)數(shù)的取值集合．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1） 由題意先求出，從而可求解.
（2）由對(duì)任意恒成立，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)性，從而可求解.
【詳解】（1）由題意得， 所以，
又因?yàn)?，則切線方程為，
即.
（2）由題意得對(duì)任意，恒成立，
令，則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且，，
所以存在使得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，符合題意；
當(dāng)時(shí)，得在上單調(diào)遞增，
又，
所以，在上單調(diào)遞增，
又，，
所以存在使得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，不符合題意，
綜上，正實(shí)數(shù)的取值集合為.
3．（23-24高三上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù).
(1)若最小值為0，求的范圍；
(2)在（1）的條件下，令的圖象上有一點(diǎn)列，若直線的斜率為，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求得，對(duì)實(shí)數(shù)的取值范圍進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）由（1）可得，設(shè)，取點(diǎn)、，證明出，可得出，再利用不等式的基本性質(zhì)結(jié)合等比數(shù)列求和公式可證得結(jié)論成立.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>則，
令，則，且.
①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，
因?yàn)楹瘮?shù)在上增函數(shù)，，
所以，存在，使得，
且當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
故當(dāng)時(shí)，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，，這與在上的最小值為0矛盾，舍去；
②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，且不恒為零，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，且不恒為零，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，滿足題意.
綜上所述，.
（2）證明：由（1）知，
設(shè)，取點(diǎn)，
直線的斜率為，則，
所以，曲線在處的切線的斜率為，
接下來證明，即證，即證，
令，其中，則，
令，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)時(shí)，，故，
所以，當(dāng)時(shí)，，
所以，，
所以，
.
題型十一：帕德逼近型證明與求參
帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利．帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法． 給定兩個(gè)正整數(shù)m，n，函數(shù)在處的階帕德近似定義為： ， 且滿足：，，，…，．（注：，，，，…；為的導(dǎo)數(shù)）
1．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）帕德近似（Pade approximation）是有理函數(shù)逼近的一種方法.已知函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，….又函數(shù)，其中.
(1)求實(shí)數(shù)，，的值；
(2)若函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)，，(2)
【分析】（1）求和的導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，由，，，解方程組求實(shí)數(shù)，，的值；
（2）函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，兩點(diǎn)代入函數(shù)解析式得，恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，通過換元，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求最小值即可.
【詳解】（1），，
則，所以，，
，則，，
由題意知，，，
所以，解得，，
故，，.
（2）由（1）可知，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>，時(shí)，；時(shí)，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
函數(shù)的圖像與軸交于兩點(diǎn)，，，
，即，
令，則，，
時(shí)，；時(shí)，，
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，，，使，
即，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
，，.
，，
，，
，，
令，則恒成立.
令，則，
，
令，
則在上單調(diào)遞減，，
在上單調(diào)遞減，則，
即，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)..
，故.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
2．（2024·山東菏澤·一模）帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利．帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法．給定兩個(gè)正整數(shù)m，n，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，…，．（注：，，，，…；為的導(dǎo)數(shù)）已知在處的階帕德近似為．
(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；
(2)比較與的大小；
(3)若在上存在極值，求的取值范圍．
【答案】(1)，；
(2)答案見解析；
(3)．
【分析】（1）由，，列方程組求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）令利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，又，可比較與的大小；
（3）由在上存在極值，所以在上存在變號(hào)零點(diǎn)，通過構(gòu)造函數(shù)分類討論，對(duì)的零點(diǎn)進(jìn)行分析．
【詳解】（1）由，，有，
可知，，，，
由題意，，，所以，所以，．
（2）由（1）知，，令，
則，
所以在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，又，
時(shí)，；時(shí)，；
所以時(shí)，；時(shí)，．
（3）由，
．
由在上存在極值，所以在上存在變號(hào)零點(diǎn)．
令，則，．
①時(shí)，，為減函數(shù)，，在上為減函數(shù)，，無零點(diǎn)，不滿足條件．
②當(dāng)，即時(shí)，，為增函數(shù)，，在上為增函數(shù)，，無零點(diǎn)，不滿足條件．
③當(dāng)，即時(shí)，令即，．
當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；時(shí)，，為增函數(shù)，
；
令，，，在時(shí)恒成立，
在上單調(diào)遞增，，恒成立；
，，，則，，
；
，
令，
令，，
則在是單調(diào)遞減，，所以，
，
令，則，，．
，即．
由零點(diǎn)存在定理可知，在上存在唯一零點(diǎn)，
又由③知，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，，
所以此時(shí)，，在內(nèi)無零點(diǎn)，
在上存在變號(hào)零點(diǎn)，綜上所述實(shí)數(shù)m的取值范圍為．
3．（22-23高三·山東濟(jì)南·）帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法．給定兩個(gè)正整數(shù)，，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，．已知在處的階帕德近似為．注：
(1)求實(shí)數(shù)，的值；
(2)求證：；
(3)求不等式的解集，其中．
【答案】(1)，
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）求出，，，，依題意可得，，即可得到方程組，解得即可；
（2）由（1）知，即證，令，即證時(shí)，記，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可證明；
（3）分析可得，即或，先考慮，該不等式等價(jià)于，結(jié)合（2）的結(jié)論即可，再考慮，該不等式等價(jià)于，利用導(dǎo)數(shù)證明，，即可得到，，再分類討論即可判斷.
【詳解】（1）因?yàn)椋裕?br/>，則，，
由題意知，，，
所以，解得，.
（2）由（1）知，即證，
令，則且，
即證時(shí)，
記，，
則，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，即，即成立，
當(dāng)時(shí)，即，即成立，
綜上可得時(shí)，
所以成立，即成立.
（3）由題意知，欲使得不等式成立，
則至少有，即或，
首先考慮，該不等式等價(jià)于，即，
又由（2）知成立，
所以使得成立的的取值范圍是，
再考慮，該不等式等價(jià)于，
記，，
則，所以當(dāng)時(shí)，時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，即，，
所以，，
當(dāng)時(shí)由，可知成立，
當(dāng)時(shí)由，可知不成立，
所以使得成立的的取值范圍是，
綜上可得不等式的解集為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問，首先確定或，分別求、對(duì)應(yīng)解集，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為求、的解集，構(gòu)造中間函數(shù)研究不等式成立的x取值.
題型十二：泰勒展開型證明與求參
常見泰勒展開 ； ； 截取片段： ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立； 進(jìn)而：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立 3、關(guān)于的放縮 ①切線放縮及其變形：； ②當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，； ③當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，； ④對(duì)數(shù)平均不等式：.
1．（2023·湖南永州·三模）已知函數(shù)，.
(1)若是函數(shù)的極小值點(diǎn)，討論在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
(2)英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：
這個(gè)公式被編入計(jì)算工具，計(jì)算足夠多的項(xiàng)時(shí)就可以確保顯示值的精確性.
現(xiàn)已知，
利用上述知識(shí)，試求的值.
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）本小問考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，將的表達(dá)式表示出來，利用導(dǎo)數(shù)的方法討論函數(shù)的單調(diào)性，利用最值、零點(diǎn)定理等進(jìn)行判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）利用給的已知條件，將條件中表達(dá)式進(jìn)行求導(dǎo)處理，求出的表達(dá)式，將條件中的的表達(dá)式與上面得到的進(jìn)行比較，即可得出所要求的結(jié)果.
【詳解】（1）由題意得：，
因?yàn)闉楹瘮?shù)的極值點(diǎn)，
所以，，
知：，，
，
（i）當(dāng)時(shí)，
由，，，，得，
所以在上單調(diào)遞減，，
所以在區(qū)間上不存在零點(diǎn)；
（ii）當(dāng)時(shí)，設(shè)，
則.
①若，令，
則，
所以在上單調(diào)遞減，
因?yàn)椋?br/>所以存在，滿足，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
②若，令，，
則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，
又因?yàn)椋?br/>所以，在上單調(diào)遞減；
③若，則，在上單調(diào)遞減.
由（a）（b）（c）得，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
因?yàn)椋?br/>所以存在使得，
所以，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
因?yàn)椋?br/>所以在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn).
綜上，在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè)；
（2）因?yàn)椋?）
對(duì)，
兩邊求導(dǎo)得：，
，
所以，（**）
比較（*）（**）式中的系數(shù)，得
所以.
【點(diǎn)睛】（1）本問考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值零點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)的方法，研究含參函數(shù)的零點(diǎn)的步驟為：首先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)化簡，根據(jù)自變量和參數(shù)的取值進(jìn)行討論，判斷導(dǎo)數(shù)的函數(shù)值的正負(fù)，進(jìn)而判斷函數(shù)的增減性，結(jié)合函數(shù)的最值點(diǎn)和極值點(diǎn)及零點(diǎn)定理判定零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）本問考查新情境下的轉(zhuǎn)化能力，需要對(duì)給出條件兩邊求導(dǎo)得到，與條件進(jìn)行對(duì)比，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為所要求的.
2．（21-22高三·福建福州）英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，其中，此公式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當(dāng)時(shí)，，.
(1)證明：當(dāng)時(shí)，；
(2)設(shè)，若區(qū)間滿足當(dāng)定義域?yàn)闀r(shí)，值域也為，則稱為的“和諧區(qū)間”.
（i）時(shí)，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（ii）時(shí)，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)（i）不存在“和諧區(qū)間”，理由見解析（ii）存在，有唯一的“和諧區(qū)間”
【分析】（1）利用來證得結(jié)論成立.
（2）（i）通過證明方程只有一個(gè)實(shí)根來判斷出此時(shí)不存在“和諧區(qū)間”.
（ii）對(duì)的取值進(jìn)行分類討論，結(jié)合的單調(diào)性以及（1）的結(jié)論求得唯一的“和諧區(qū)間”.
【詳解】（1）由已知當(dāng)時(shí)，，
得，
所以當(dāng)時(shí)，.
（2）（i）時(shí)，假設(shè)存在，則由知，注意到，
故，所以在單調(diào)遞增，
于是，即是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，
易知不是方程的根，
由已知，當(dāng)時(shí)，，令，則有時(shí)，，即，
故方程只有一個(gè)實(shí)根0，故不存在“和諧區(qū)間”.
（ii）時(shí)，假設(shè)存在，則由知
若，則由，知，與值域是矛盾，
故不存在“和諧區(qū)間”，
同理，時(shí)，也不存在，
下面討論，
若，則，故最小值為，于是，
所以，
所以最大值為2，故，此時(shí)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋项}意.
若，當(dāng)時(shí)，同理可得，舍去，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以
，于是，
若即，則，故，
與矛盾；
若，同理，矛盾，
所以，即，
由（1）知當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋裕瑥亩瑥亩埽?br/>綜上所述，有唯一的“和諧區(qū)間”.
3．（20-21高二下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）給出以下三個(gè)材料：①若函數(shù)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作．類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，記作，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)……一般地，階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做階導(dǎo)數(shù)，記作．②若，定義．③若函數(shù)在包含的某個(gè)開區(qū)間上具有階的導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)于任一有，我們將稱為函數(shù)在點(diǎn)處的階泰勒展開式．例如，在點(diǎn)處的階泰勒展開式為．
根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：
（1）求出在點(diǎn)處的階泰勒展開式，并直接寫出在點(diǎn)處的階泰勒展開式；
（2）比較（1）中與的大小．
（3）已知不小于其在點(diǎn)處的階泰勒展開式，證明：．
【答案】（1）；；（2）答案見解析；（3）證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)在點(diǎn)處的階泰勒展開式的定義可直接求得結(jié)果；
（2）令，利用導(dǎo)數(shù)可求得在上單調(diào)遞增，結(jié)合可得的正負(fù)，由此可得與的大小關(guān)系；
（3）令，利用導(dǎo)數(shù)可求得，即；①當(dāng)時(shí)，、和都不小于其在處的階泰勒展開式，可直接證得不等式成立；②當(dāng)時(shí)，根據(jù)，將不等式變?yōu)椋睿脤?dǎo)數(shù)可證得，由此可證得不等式成立.
【詳解】（1），，，
，，，
，即；
同理可得：；
（2）由（1）知：，，
令，則，
，，
在上單調(diào)遞增，又，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
，，
在上單調(diào)遞增，又，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
（3）令，則，
，在上單調(diào)遞增，又，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，即；
在點(diǎn)處的階泰勒展開式為：，
，
①由（2）知：當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，；
②由（2）知：當(dāng)時(shí)，，
，
令，則，
在上單調(diào)遞減，，即當(dāng)時(shí)，，
，；
綜上所述：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)中的新定義問題，關(guān)鍵是審題時(shí)明確階泰勒展開式的具體定義；本題在證明不等式成立時(shí)的關(guān)鍵是能夠根據(jù)原函數(shù)與其在處的階泰勒展開式的大小關(guān)系，利用放縮的方法將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.
題型十三：新結(jié)構(gòu)19題：導(dǎo)數(shù)與數(shù)列
1．（2024·四川成都·三模）已知函數(shù)，若數(shù)列的各項(xiàng)由以下算法得到：
①任取（其中），并令正整數(shù)；
②求函數(shù)圖象在處的切線在軸上的截距；
③判斷是否成立，若成立，執(zhí)行第④步；若不成立，跳至第⑤步；
④令，返回第②步；
⑤結(jié)束算法，確定數(shù)列的項(xiàng)依次為．
根據(jù)以上信息回答下列問題：
(1)求證：；
(2)是否存在實(shí)數(shù)使得為等差數(shù)列，若存在，求出數(shù)列的項(xiàng)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考數(shù)據(jù)：．
【答案】(1)證明見解析
(2)，
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程，令，即可得證；
（2）設(shè)其公差為，依題意可得，令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到最多有兩個(gè)不同的根，從而得到最多三項(xiàng)，設(shè)、、成等差數(shù)列，由等差中項(xiàng)的性質(zhì)及（1）的結(jié)論，令利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理說明即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋院瘮?shù)圖象在處的切線方程為，
即，令可得，即切線與軸的交點(diǎn)為，
所以
（2）若為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，
令，則，
所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
因此最多有兩個(gè)不同的根，即最多項(xiàng)成等差數(shù)列，
若、、成等差數(shù)列，即，
由（1）可知，所以，
又，
令，則，
所以當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，
又，
（其中，所以），
又，
所以存在，使得，
即存在，使得，即為等差數(shù)列，
此時(shí)，數(shù)列的項(xiàng)數(shù).
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第一問關(guān)鍵是理解題意，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程，第二問關(guān)鍵是推導(dǎo)出這樣的等差數(shù)列最多三項(xiàng)，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題.
2．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；
(2)是否存在，且依次成等比數(shù)列，使得，，依次成等差數(shù)列？請(qǐng)證明；
(3)當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，是否存在的關(guān)系？若存在，請(qǐng)證明；若不存在，請(qǐng)寫出正確的關(guān)系．
【答案】(1)1
(2)答案見解析，證明見解析
(3)存在，證明見解析
【分析】（1）代入，再對(duì)求導(dǎo)，并研究其單調(diào)性，可得答案；
（2）利用等差中項(xiàng)建立等式，結(jié)合等比中項(xiàng)以及對(duì)數(shù)運(yùn)算律化簡等式，根據(jù)分類討論思想，可得答案；
（3）先分析的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理得到，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，建立關(guān)于的不等式，整理可即可得解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，
所以．
（2）要證，，依次成等差數(shù)列，只需證，
整理可得，由依次成等比數(shù)列，則，
所以
①當(dāng)時(shí)，上式顯然成立；
②當(dāng)時(shí)，則，整理可得，
由依次成等比數(shù)列可得，則，
代入得：與題意矛盾，故此時(shí)不存在；
綜上：當(dāng)時(shí)，存在滿足要題意的；
當(dāng)時(shí)，不存在滿足要題意的.
（3）因?yàn)椋?br/>所以，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
又當(dāng)時(shí)，恒成立，
當(dāng)趨于0時(shí)，趨于無窮小；當(dāng)趨于無窮大時(shí)，趨于無窮小；
所以在上各有一個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)，
則，．
設(shè)函數(shù)，則，，
所以在上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
所以，，
所以，
整理可得：，
即，所以．
3．（2024·四川成都·三模）已知函數(shù)，若數(shù)列的各項(xiàng)由以下算法得到：
①任取（其中），并令正整數(shù)；
②求函數(shù)圖象在處的切線在軸上的截距；
③判斷是否成立，若成立，執(zhí)行第④步；若不成立，跳至第⑤步；
④令，返回第②步；
⑤結(jié)束算法，確定數(shù)列的項(xiàng)依次為．
根據(jù)以上信息回答下列問題：
(1)求證：；
(2)是否存在實(shí)數(shù)使得為等差數(shù)列，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考數(shù)據(jù)：．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程，令，即可得證；
（2）設(shè)其公差為，依題意可得，令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到最多有兩個(gè)不同的根，從而得到最多三項(xiàng)，設(shè)、、成等差數(shù)列，由等差中項(xiàng)的性質(zhì)及（1）的結(jié)論，令利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理說明即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>所以函數(shù)圖象在處的切線方程為，
即，令可得，
即切線與軸的交點(diǎn)為，所以
（2）若為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
因此最多有兩個(gè)不同的根，即最多項(xiàng)成等差數(shù)列，
若、、成等差數(shù)列，即，
由（1）可知，則，
又因?yàn)椋?br/>令，則，
所以當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，
又，
（其中，所以），
由可得，則，
可得，
所以存在，使得，
即存在，使得，即為等差數(shù)列，
且，
可得，所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第一問關(guān)鍵是理解題意，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程，第二問關(guān)鍵是推導(dǎo)出這樣的等差數(shù)列最多三項(xiàng)，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題.
題型十四：新結(jié)構(gòu)19題：高觀下導(dǎo)數(shù)新定義
對(duì)新定義的題型要注意一下幾點(diǎn)： （1）讀懂定義所給的主要信息篩選出重要的關(guān)鍵點(diǎn) （2）利用好定義所給的表達(dá)式以及相關(guān)的條件 （3）含有參數(shù)是要注意分類討論的思想.
1．（2024·湖南·模擬預(yù)測）超越數(shù)得名于歐拉，它的存在是法國數(shù)學(xué)家劉維爾（Joseph Liouville）最早證明的．一個(gè)超越數(shù)不是任何一個(gè)如下形式的整系數(shù)多項(xiàng)式方程的根：（，，…，，）．?dāng)?shù)學(xué)家證明了自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e與圓周率是超越數(shù)．回答下列問題：
已知函數(shù)（）只有一個(gè)正零點(diǎn)．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)（ⅰ）構(gòu)造整系數(shù)方程，證明：若，則為有理數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)．
（ⅱ）數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列？若存在，求出這三項(xiàng)的值；否則說明理由．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）證明見解析.
（ⅱ）答案見解析.
【分析】（1）充分分析題意，利用函數(shù)性質(zhì)只有一個(gè)正零點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)得出在取最大值，進(jìn)而得出.
（2）（ⅰ）根據(jù)題意利用反證法分析證明；（ⅱ）利用第一問已知，分析題意，結(jié)合給定新定義求解即可.
【詳解】（1）若只有一個(gè)正零點(diǎn)，可得
令，，
令，，令，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
可得在處取得最大值，且最大值為，
而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
由題意得，當(dāng)最大時(shí)，符合題意，
故，即.
（2）（ⅰ）若，則為有理數(shù)；
若正整數(shù)，假設(shè)為有理數(shù)，則，
則方程的根中有有理數(shù)，
又在方程中，發(fā)現(xiàn)是它的根，
而已知是超越數(shù)，故不是方程的根，與矛盾，即不為有理數(shù)；
綜上所述：，為有理數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)；
（ⅱ）若數(shù)列中存在不同的三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，則，
可得，由方程右邊是有理數(shù)知左邊是有理數(shù)，
由上問知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，故，
則，設(shè)，則，，
則，將，代入進(jìn)行化簡，
可得，故，
故，構(gòu)造函數(shù)，
而，知在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減，
又，故若，則有，即成立，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.
即數(shù)列中不存在不同的三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列新定義，解題關(guān)鍵是利用給定新定義，然后證明構(gòu)成等比數(shù)列，發(fā)現(xiàn)不存在即可．
2．（2024·上海·二模）固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線.1691年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程，其中為參數(shù).當(dāng)時(shí)，就是雙曲余弦函數(shù)，懸鏈線的原理運(yùn)用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程．類比三角函數(shù)的三種性質(zhì)：①平方關(guān)系：；②兩角和公式：，③導(dǎo)數(shù)：定義雙曲正弦函數(shù)．
(1)直接寫出，具有的類似①、②、③的三種性質(zhì)（不需要證明）；
(2)當(dāng)時(shí)，雙曲正弦函數(shù)的圖像總在直線的上方，求直線斜率的取值范圍；
(3)無窮數(shù)列滿足，，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.
【答案】(1)答案見解析
(2)
(3)存在，
【分析】（1）類比，寫出平方關(guān)系，和角關(guān)系和導(dǎo)數(shù)關(guān)系，并進(jìn)行證明；
（2）構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)，分和兩種情況，結(jié)合基本不等式，隱零點(diǎn)，得到函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而得到答案；
（3）當(dāng)時(shí)，利用數(shù)學(xué)歸納法證得排除該可能；當(dāng)，同理證得，從而利用換元法即可得解.
【詳解】（1）平方關(guān)系：；
和角公式：；
導(dǎo)數(shù)：．
理由如下：平方關(guān)系，
；
和角公式：，
故；
導(dǎo)數(shù)：，；
（2）構(gòu)造函數(shù)，，
由（1）可知，
①當(dāng)時(shí)，由，
又因?yàn)椋剩忍?hào)不成立，
所以，故為嚴(yán)格增函數(shù)，
此時(shí)，故對(duì)任意，恒成立，滿足題意；
②當(dāng)時(shí)，令，
則，可知是嚴(yán)格增函數(shù)，
由與可知，存在唯一，使得，
故當(dāng)時(shí)，，則在上為嚴(yán)格減函數(shù)，
故對(duì)任意，，即，矛盾；
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．
（3）當(dāng)時(shí)，存在，使得，
由數(shù)學(xué)歸納法證明：，證明如下：
①當(dāng)時(shí)，成立，
②假設(shè)當(dāng)（為正整數(shù)）時(shí)，，
則成立.
綜上：.
所以，有，即.
當(dāng)時(shí)， ，
而函數(shù)的值域?yàn)椋?br/>則對(duì)于任意大于1的實(shí)數(shù)，存在不為0的實(shí)數(shù)，使得，
類比余弦二倍角公式，猜測.
證明如下：
類比時(shí)的數(shù)學(xué)歸納法，設(shè)，
易證，，，，，
所以若，
設(shè)，則，解得：或，即，
所以，于是.
綜上：存在實(shí)數(shù)使得成立.
3．（2024·天津·一模）意大利畫家達(dá)芬奇提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項(xiàng)鏈所形成的曲線是什么 這就是著名的“懸鏈線問題”，通過適當(dāng)建立坐標(biāo)系，懸鏈線可為雙曲余弦函數(shù)的圖象，定義雙曲正弦函數(shù)，類比三角函數(shù)的性質(zhì)可得雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)有如下性質(zhì)①平方關(guān)系：，②倍元關(guān)系：.
(1)求曲線在處的切線斜率；
(2)若對(duì)任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍：
(3)（i）證明：當(dāng)時(shí)，；
（ii）證明：.
【答案】(1)
(2)
(3)（i）證明見解析；（ii）證明見解析
【分析】（1）分析題意，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行計(jì)算即可.
（2）分類討論不同種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷并取舍即可.
（3）利用給定定義將目標(biāo)式子左面合理放縮，結(jié)合裂項(xiàng)相消法求和即可.
【詳解】（1），則
所以，可得在處的切線斜率為
（2）令，
則，
下面證明：對(duì)任意恒成立,
先證明：對(duì)任意.證明如下：設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)單調(diào)遞增，故，故，
繼續(xù)證明：對(duì)任意.
證明如下：令，則，
因此在上單調(diào)遞增；所以，故
當(dāng)時(shí)，對(duì)，都有，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則，解得；
當(dāng)時(shí)，對(duì)，
都有，對(duì)，都有，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則對(duì)，都有成立，不符合題意，舍去.
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
（3）（i），令，則所以在上單調(diào)遞增，所以
所以當(dāng)時(shí)，成立；
（ii）下面證明：當(dāng)時(shí)，成立，
令，則
由前問解答過程，對(duì)任意成立，所以
所以在上單調(diào)遞增，所以
所以當(dāng)時(shí)，成立
令且，可得，
即，
由題意，令且，可得，因?yàn)?br/>所以，
由①當(dāng)時(shí)，，所以令且，可得
所以，
由前面解答過程得，對(duì)任意成立，
令且，可得，
所以，
又且，所以，
所以所以可得
，
即可得.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列與導(dǎo)數(shù)新定義結(jié)合，解題關(guān)鍵是對(duì)目標(biāo)式子左側(cè)合理放縮，然后使用裂項(xiàng)相消法求和，得到所證明的不等關(guān)系即可．
題型十五：新結(jié)構(gòu)19題：導(dǎo)數(shù)與集合
導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法： 一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．
1．（2024·福建·模擬預(yù)測）對(duì)于函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，則稱為的不動(dòng)點(diǎn).已知，且的不動(dòng)點(diǎn)的集合為.以和分別表示集合中的最小元素和最大元素.
(1)若，求的元素個(gè)數(shù)及；
(2)當(dāng)恰有一個(gè)元素時(shí)，的取值集合記為.
（i）求；
（ii）若，數(shù)列滿足，，集合，.求證：，.
【答案】(1)的元素個(gè)數(shù)為2，
(2)（i）；（ii）證明見解析
【分析】
（1）依題意可得，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出零點(diǎn)，即可求出集合，從而得解；
（2）（i）結(jié)合（1）可得，令，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再分，兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而確定集合；
（ii）由（i）可得，即可得到，即可得到，先利用導(dǎo)數(shù)證明當(dāng)時(shí)，，即可得到，故，即，從而得到，即可放縮得到，利用等比數(shù)列求和公式求出，即可得解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)?
由得.
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以在單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減，
注意到，所以在恰有一個(gè)零點(diǎn)，且，
又，所以，所以在恰有一個(gè)零點(diǎn)，
即在恰有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，在恰有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，
所以，所以的元素個(gè)數(shù)為，
又因?yàn)椋?
（2）（i）當(dāng)時(shí)，由（1）知，有兩個(gè)元素，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)椋?br/>由得.
設(shè)，，則，
設(shè)，則，
①當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，
又，所以在恰有一個(gè)零點(diǎn)，
即在恰有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，符合題意；
②當(dāng)，故恰有兩個(gè)零點(diǎn).
又因?yàn)椋裕?br/>當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
注意到，所以在恰有一個(gè)零點(diǎn)，
且，
又時(shí)，，所以在恰有一個(gè)零點(diǎn)，
從而至少有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，不符合題意；
所以的取值范圍為，即集合.
（ii）由（i）知，，所以，
此時(shí)，，，由（i）知，在單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)時(shí)，，所以，即，
故若，則，因此，若存在正整數(shù)使得，則，從而，
重復(fù)這一過程有限次后可得，與矛盾，從而，，
下面我們先證明當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，，
所以，所以在單調(diào)遞減，
所以，
即當(dāng)時(shí)，，
從而當(dāng)時(shí)，，
從而，即，
故，即，
由于，，所以，，
故，
故時(shí)，，
所以，故.
解法二：（i）當(dāng)時(shí)，，故是的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，由，得（*），
要使得恰有一個(gè)元素，即方程有唯一解，因此方程（*）無實(shí)數(shù)解，
即直線與曲線無公共點(diǎn).
令，則，令，
則，
所以在單調(diào)遞減，又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
令，則，，
則
，
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以曲線的大致圖象如圖所示：
由圖可知，，所以的取值范圍為，即集合.
（ii）由（i）知，，所以，
此時(shí)，，
令，則，
令，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，所以，
所以在單調(diào)遞增，所以，
故若，則，因此，若存在正整數(shù)使得，則，從而，
重復(fù)這一過程有限次后可得，與矛盾，從而，.
下面先證明當(dāng)時(shí)，.
令，則，
所以在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，.
所以
，
由于，所以，
故，即，
故，
故時(shí)，.
所以，故.
（ii）解法三：同解法一可得，.
下面我們先證明當(dāng)時(shí)，.
設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，所以，即，
從而當(dāng)時(shí)，，
于是，
從而，即，
故，即，
由于，所以，
故，
故時(shí)，.
所以.
故.
2．（2023·浙江溫州·二模）定義：對(duì)于函數(shù)，若，則稱為的“不動(dòng)點(diǎn)”，若，則稱為的“穩(wěn)定點(diǎn)”.函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”集合分別記為和，即.
(1)證明下面兩個(gè)性質(zhì)：
性質(zhì)1：；
性質(zhì)2：若函數(shù)單調(diào)遞增，則；
(2)已知函數(shù)，若集合中恰有1個(gè)元素，求的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)或
【分析】（1）先設(shè)，利用題設(shè)條件得出，即，根據(jù)集合間的關(guān)系即可證明性質(zhì)1，再設(shè)，則有，再利用函數(shù)單調(diào)遞增，即可證明性質(zhì)2；
（2）先求出集合中的元素個(gè)數(shù)，再分類討論，，結(jié)合性質(zhì)2及集合中不動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)得，，由穩(wěn)定點(diǎn)定義，令，問題化為函數(shù)的零點(diǎn)，求導(dǎo)函數(shù)，分類討論研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.
【詳解】（1）不妨設(shè)，則由題知，則，故，所以，所以性質(zhì)1得證；
設(shè)，則，因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，所以存在唯一，使，若，則，得到，與矛盾；
若，則，得到，與矛盾，
故必有，所以，即，又由性質(zhì)（1）知，
所以，當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞增，，故性質(zhì)2得證.
（2）由題設(shè)可得在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，
故在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，
因?yàn)椋试谏嫌星抑挥幸粋€(gè)實(shí)數(shù)解，
即在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，
故在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，
若，則在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，符合題意.
若，則，故，
設(shè)，，則，
故在上為增函數(shù)，
故在上的解即為上的解.
由題設(shè)，在上僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，故，
故在上為增函數(shù)，故，不合題意，舍.
當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，
故在上為減函數(shù)，在為增函數(shù)，
故，
若即，則在上僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，符合題意.
若即，此時(shí)，
而，設(shè)，
則，故在上為增函數(shù)，故，
故此時(shí)在上僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，不符合題意.
當(dāng)時(shí)， 設(shè)，則，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，
（i），，
則，所以單調(diào)遞減，
又無限趨向于0時(shí)，函數(shù)無限趨向于正無窮大，且，
所以只有1個(gè)零點(diǎn)，即集合中恰有1個(gè)元素，
（ii），則，
又當(dāng)時(shí)，易知函數(shù)在單調(diào)遞減，
又，，
故存在，使得，即，，
又，所以，
，
又，，
所以存在，，有，
時(shí)，，，單調(diào)遞減，
時(shí)，，，單調(diào)遞增，
時(shí)，，，單調(diào)遞減，
，，，
所以極小值，極大值，
又，且，，且，
故存在，，存在，，
即有3個(gè)零點(diǎn)，且，
集合中有3個(gè)元素，
綜上，或時(shí)，集合中恰有1個(gè)元素，
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查對(duì)新概念的理解和運(yùn)用能力，同時(shí)考查了集合間的關(guān)系和方程根的相關(guān)知識(shí)，解題過程中體現(xiàn)了分類討論思想.
3．（2023·吉林長春·模擬預(yù)測）定義：對(duì)于函數(shù)，若，則稱為的“不動(dòng)點(diǎn)”，若，則稱為的“穩(wěn)定點(diǎn)”．函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”集合分別記為A和B，即，有如下性質(zhì)：
性質(zhì)1：；
性質(zhì)2：若函數(shù)單調(diào)遞增，則，
已知函數(shù)，
(1)討論集合中元素個(gè)數(shù)：
(2)若集合中恰有1個(gè)元素，求a的取值范圍.
【答案】(1)
或時(shí)，集合中元素個(gè)數(shù)為1；時(shí)元素個(gè)數(shù)為2；時(shí)元素個(gè)數(shù)為0.
(2)或
【分析】（1）根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)定義，令，構(gòu)造函數(shù)，分類討論函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)得到根的個(gè)數(shù)，即可解答；
（2）分類討論，，結(jié)合性質(zhì)2及（1）中不動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)得，，由穩(wěn)定點(diǎn)定義，令，問題化為函數(shù)的零點(diǎn)，求導(dǎo)函數(shù)，分類討論研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.
【詳解】（1）由題意，所以，
設(shè)，則，
若，則，在單調(diào)遞減，
又，，
所以存在，使得，即，故只有1個(gè)零點(diǎn)，
若，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，
（i），，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)，
（ii），，此時(shí)函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)，
（iii），，
又，，
（注意：且，則，即遞增，又，故.）
所以存在，，存在，，
此時(shí)函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，
綜上，或時(shí)，集合中元素個(gè)數(shù)為1；時(shí)元素個(gè)數(shù)為2；時(shí)元素個(gè)數(shù)為0.
（2），函數(shù)單調(diào)遞增，由性質(zhì)2可知：，
由（1）知，時(shí)，集合中恰有1個(gè)元素，
時(shí)，由（1）知，存在，使得，，
由性質(zhì)1知，故，即，
由得，
設(shè)，則，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，
（i），，
則，所以單調(diào)遞減，
又無限趨向于0時(shí)，函數(shù)無限趨向于正無窮大，且，
所以只有1個(gè)零點(diǎn)，即集合中恰有1個(gè)元素，
（ii），則，
由（1）知，在單調(diào)遞減，
且存在，使得，即，，
又，所以，
，
又，，
所以存在，，有，
時(shí)，，，單調(diào)遞減，
時(shí)，，，單調(diào)遞增，
時(shí)，，，單調(diào)遞減，
，，，
所以極小值，極大值，
又，且，，且，
故存在，，存在，，
即有3個(gè)零點(diǎn)，，，且，
集合中有3個(gè)元素，
綜上，或時(shí)，集合中恰有1個(gè)元素，
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查對(duì)新概念的理解和運(yùn)用能力，同時(shí)考查了集合間的關(guān)系和方程根的相關(guān)知識(shí)，解題過程中體現(xiàn)了分類討論思想.
題型十六：新結(jié)構(gòu)19題：函數(shù)性質(zhì)定義型
1．（2024·上海虹口·二模）若函數(shù)滿足：對(duì)任意，都有，則稱函數(shù)具有性質(zhì).
(1)設(shè)，，分別判斷與是否具有性質(zhì)？并說明理由；
(2)設(shè)函數(shù)具有性質(zhì)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)已知函數(shù)具有性質(zhì)，且圖像是一條連續(xù)曲線，若在上是嚴(yán)格增函數(shù)，求證：是奇函數(shù).
【答案】(1)不具有性質(zhì)，具有性質(zhì)
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）取特殊值判斷，利用所給定義判斷；
（2）首先判斷的奇偶性，依題意可得是嚴(yán)格增函數(shù)，則恒成立，再分、、三種情況討論.
（3）依題意只要證明對(duì)任意實(shí)數(shù)，，對(duì)任意實(shí)數(shù)，設(shè)，則由具有性質(zhì)知：當(dāng)時(shí)，①，設(shè)，分、兩種情況討論，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理證明即可.
【詳解】（1）不具有性質(zhì)，理由如下：
取，有.
具有性質(zhì)，理由如下：
對(duì)任意，，
有.
（2）函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>又，
所以是奇函數(shù)，
函數(shù)具有性質(zhì)，故對(duì)，，
都有，
又為奇函數(shù)，
故，即是嚴(yán)格增函數(shù)，恒成立.
若，則，解得；
若，則恒成立；
若，則，解得；
綜合上述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
（3）因函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>要證明是奇函數(shù)，
只要證明對(duì)任意實(shí)數(shù)，即可.
對(duì)任意實(shí)數(shù)，設(shè)，則由具有性質(zhì)知：
當(dāng)時(shí)， ①，
設(shè)，當(dāng)，即時(shí)，由①得，
即當(dāng)時(shí)②，
當(dāng)，即時(shí)，由①得，
即當(dāng)時(shí)③，
于是由曲線的連續(xù)性，函數(shù)在上存在零點(diǎn)，
即 ④ ，
由函數(shù)在上嚴(yán)格增，知：函數(shù)在上嚴(yán)格增；
所以由②知，由③知，故；
故由④得，
即對(duì)任意實(shí)數(shù)，均有，
因此，函數(shù)是奇函數(shù).
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是理解性質(zhì)的定義，第二問結(jié)合函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)的單調(diào)性，從而轉(zhuǎn)化為恒成立問題.
2．（2023·上海閔行·二模）已知關(guān)于的函數(shù)，與在區(qū)間上恒有，則稱滿足性質(zhì).
(1)若，，，，判斷是否滿足性質(zhì)，并說明理由；
(2)若，，且，求的值并說明理由；
(3)若，，，，試證：是滿足性質(zhì)的必要條件.
【答案】(1)滿足，理由見解析
(2)，理由見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）結(jié)合題意，利用配方法與二次函數(shù)的性質(zhì)，分別證明，即可；
（2）先根據(jù)題意得到是的極小值點(diǎn)，從而求得，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可；
（3）構(gòu)造函數(shù)，求得的隱零點(diǎn)，結(jié)合題意得到，與，從而得證.
【詳解】（1）滿足，理由如下：
因?yàn)椋?br/>所以，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，取到最小值0，故.
又，
綜上，滿足性質(zhì).
（2），理由如下：
設(shè)，則，
由條件知，則是的極小值點(diǎn)，
所以，即.
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以，即恒成立(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))
因此.
（3）設(shè)，
由（2）所證的(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))知:
，
當(dāng)時(shí)取等號(hào).
設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞增，又，
所以存在使得，即，則，
又，則，
結(jié)合條件可得，所以，
設(shè)，則，
又由已知，則是的極小值點(diǎn)，
所以，即，
結(jié)合，可得，故，
所以是滿足性質(zhì)的必要條件.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第3小問解決的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，求得的隱零點(diǎn)，從而得到的關(guān)系，由此得解.
3．（23-24高三上·上海普陀·期末）已知為實(shí)數(shù)，．對(duì)于給定的一組有序?qū)崝?shù)，若對(duì)任意，，都有，則稱為的“正向數(shù)組”．
(1)若，判斷是否為的“正向數(shù)組”，并說明理由；
(2)證明：若為的“正向數(shù)組”，則對(duì)任意，都有；
(3)已知對(duì)任意，都是的“正向數(shù)組”，求的取值范圍．
【答案】(1)不是的“正向數(shù)組”；
(2)證明見解析；
(3)的取值范圍是.
【分析】（1）代入有，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)得到的正負(fù)時(shí)不同取值情況即可；
（2）假設(shè)存在,使得,通過正向數(shù)組定義轉(zhuǎn)化得對(duì)任意恒成立，設(shè)，再利用函數(shù)的性質(zhì)即可證明假設(shè)不成立；
（3）代入有恒成立或恒成立，設(shè)，求出是的最大值或最小值時(shí)的取值范圍即可.
【詳解】（1）若，，
對(duì)，即，
而當(dāng)，時(shí)，
，，
即，不滿足題意.
所以不是的“正向數(shù)組”.
（2）反證法:假設(shè)存在,使得,
為的“正向數(shù)組”，
對(duì)任意,都有.
對(duì)任意恒成立.
令，則在上恒成立，
，
設(shè)，
，
則當(dāng)時(shí)，在上為負(fù)，在上為正，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
若，當(dāng)，，當(dāng)，，
即存在，使在上為正，在上為負(fù)，在上為正，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又當(dāng)，，當(dāng)，，則的值域?yàn)椋?br/>若，，在上單調(diào)遞增，
又當(dāng)，，當(dāng)，，則的值域?yàn)?
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
又當(dāng)，，當(dāng)，，
必存在，使在上為負(fù)，在上為正，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又當(dāng)，，當(dāng)，，則的值域?yàn)?
由值域可看出，與在上恒成立矛盾.
對(duì)任意，都有.
（3）都是的“正向數(shù)組”，
對(duì)任意，，都有
，
則恒成立或恒成立，
即恒成立或恒成立，
設(shè)，
則，
即是的最大值或最小值.
，
且.
當(dāng)時(shí)，由（2）可得，的值域?yàn)椋瑹o最大值或最小值；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
又，則在上為負(fù)，在上為正，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則是的最小值，滿足，
此時(shí)對(duì)任意，，都有
.
的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第2問的關(guān)鍵是運(yùn)用反證法，通過函數(shù)的圖象與性質(zhì)推理出與假設(shè)矛盾的結(jié)論，最后即得到證明；本題第3問的關(guān)鍵是理解“正向數(shù)組”的變形推理得到恒成立或恒成立，并構(gòu)造函數(shù)，得到是的最大值或最小值，最后結(jié)合前面的證明得到結(jié)果.

展開更多......

收起↑