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培優沖刺07 數列遞推公式與求和歸類
目錄
題型一：數列型恒成立求參……………………………………………………………………………………………………………………………1
題型二：是否存在型求參………………………………………………………………………………………………………………………………3
題型三：恒成立證明型…………………………………………………………………………………………………………………………………6
題型四：求和型不等式證明…………………………………………………………………………………………………………………………8
題型五：數列不定方程型………………………………………………………………………………………………………………………………11
題型六：恒成立求參：奇偶討論型………………………………………………………………………………………………………………12
題型七：下標數列…………………………………………………………………………………………………………………………………………15
題型八：高斯取整數列型………………………………………………………………………………………………………………………………17
題型九：前n項積型不等式恒成立求參………………………………………………………………………………………………………20
題型十：先放縮再求和型證明不等式……………………………………………………………………………………………………………23
題型十一：插入數型：等差型…………………………………………………………………………………………………………………………26
題型十二：插入數列型……………………………………………………………………………………………………………………………………29
題型十三：新結構19題型壓軸………………………………………………………………………………………………………………………31
題型一：數列型恒成立求參
分離參數法基本步驟為： 第一步：首先對待含參的不等式問題在能夠判斷出參數的系數正負的情況下，可以根據不等式的性質將參數分離出來，得到一個一端是參數，另一端是變量表達式的不等式， 第二步：先求出含變量一邊的式子的最值，通常使用導函數或基本不等式進行求解. 第三步：由此推出參數的取值范圍即可得到結論. 數列恒成立求參數關鍵“坑”： 數列是以正整數為“變量”的函數，所以求最小值時要注意正整數的取值范圍
1.（河北省邯鄲市部分學校2023屆高三下學期開學考試數學試題）若數列滿足，，m為常數.
(1)求證：是等差數列；
(2)若對任意，都有，求實數m的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）等式兩邊同除以，用等差數列的定義證明；
（2）將條件轉化為對恒成立，求的最大值即可.
【詳解】（1）證明：因為，
等式兩邊同除以，得，即，
所以數列是首項為，公差為1的等差數列.
（2）由（1）得，因此.
由對恒成立，得對均成立.
因為，不等式兩邊同除以，得，
即對恒成立，
當時，取最大值，所以，
所以實數m的取值范圍為.
2..（河北省石家莊二中教育集團2022-2023學年高三四校聯考數學試題）已知等比數列滿足，，且為等差數列．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，，對任意正整數，恒成立，試求的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用等比數列的通項公式和等差中項求解即可；
（2）由（1）得，利用錯位相減法得，則原不等式轉化為對任意正整數恒成立，求的最小值即可.
【詳解】（1）因為數列是等比數列，且滿足，
所以①，
②，
又因為為等差數列，所以，即③，
聯立①②③解得，所以.
（2）由（1）得，
所以④，
⑤，
⑤④得
，
由題意即對任意正整數恒成立，
所以恒成立，則即可，
又因為，所以，即的取值范圍是.
3.（重慶市巫山第二中學2022-2023學年高三數學試題）已知正項數列的前項和為，且，數列滿足且.
(1)分別求數列和的通項公式；
(2)若，設數列的前項和為，且，對任意正整數恒成立，求實數的取值范圍.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）根據與的關系和等差數列的定義可求出，根據遞推公式和等比數列的定義求出；
（2）根據裂項公式求出，將恒成立化為對任意正整數恒成立，再根據數列的單調性求出的最大值，代入解不等式即可得解.
【詳解】（1）∵，∴，
所以，
∴，化簡.
∵，∴.又，解得，
∴是以1為首項，2為公差的等差數列.
∴.
由，可得，，又，
故數列是以2為首項，2為公比的等比數列.
則.
（2）由（1）知，則，
所以，
故即對任意正整數恒成立，
設，，
則，
即，則單調遞減，，
，解得或.
故的取值范圍為.
題型二：是否存在型求參
一般地，已知函數， 不等關系 (1)若，，總有成立，故； (2)若，，有成立，故； (3)若，，有成立，故； (4) 若，，有成立，故．
1.（上海市敬業中學2022屆高三上學期數學試題）設正項數列的前項和為，首項為1，已知對任意整數，當時，（為正常數）恒成立．
(1)求證：數列是等比數列；
(2)證明：數列是遞增數列；
(3)是否存在正常數，使得為等差數列？若存在，求出常數的值；若不存在，說明理由．
【答案】(1)證明見解析(2是 (3)存在，.
【分析】（1）由已知條件，可令，代入，即可得到所求出數列通項公式，從而可證是等比數列；
（2）討論公比q是否為1，求得，以及，由單調性的定義即可得證；
（3）假設存在正常數c使得為等差數列，結合對數的運算性質和等差數列的通項公式，即可得到所求結論．
【詳解】（1）因為對任意正整數，
當時，總成立，
所以時，令，得，即，
當時，也成立，所以，所以數列是等比數列；
（2）當時，，隨著的增大而增大；當，時，，，
由，綜上可得數列是遞增數列；
（3）假設存在正常數使得為等差數列．當時，，當時，，
由為等差數列，得，此時
當時，為等差數列，
所以存在使得為等差數列．
2.（四川省綿陽市2023屆高三第二次診斷性考試數學（文）試題）已知各項均為正數的數列的前n項和為，且為等差數列．
(1)求數列的通項公式；
(2)已知，是否存在，使得恒成立 若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，或；
【分析】（1）由題設且，應用關系求數列通項公式；
（2）由（1）知，構造且并利用導數研究單調性判斷是否存在最大值，即可得結論.
【詳解】（1）由題設且，
當時，，可得；
當時，，則；
由，故，
所以是首項、公差均為1的等差數列，故.
（2）由（1）知：，要使，即恒成立，
令且，則，
若，即，則，
在上，遞增，上，遞減，
所以在有最大值，又，
對于，當時，，當時，，
綜上，，故存在或使恒成立.
3.（江蘇省南通市如東縣2022-2023學年高三上學期數學試題）已知是數列的前項和，且，數列是公差為的等差數列．
(1)求數列的通項公式
(2)記數列的前項和為，是否存在實數使得數列成等差數列，若存在，求出實數的值若不存在，說明理由．
【答案】(1)；(2)存在，.
【分析】（1）由等差數列通項公式得出，再由與的關系可得數列的通項公式.
（2）由（1）的結論結合錯位相減求出，先得出的前三項，由等差數列的性質得出方程解出，再檢驗即可．
【詳解】（1）因為，數列是公差為的等差數列，則，因此，
當時，，則有，
因此，即，數列是常數列，有，
所以數列的通項公式．
（2）由（1）知，，
則，
于是得，
兩式相減得：，
因此，
有，，，若數列成等差數列，則，解得，
當時，，則，從而數列成等差數列，
所以存在，使得數列成等差數列．
題型三：恒成立證明型
數列與不等式問題要抓住一個中心——函數，兩個密切聯系：一是數列和函數之間的密切聯系，數列的通項公式是數列問題的核心，函數的解析式是研究函數問題的基礎；二是方程、不等式與函數的聯系，利用它們之間的對應關系進行靈活的處理．
1.（2024高三·全國·專題練習）已知在數列中，，點，在直線上.
(1)求數列的通項公式．
(2)設，為數列的前項和，試問：是否存在關于的整式，使得（，且）恒成立？若存在，寫出的表達式，并加以證明；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)(2)存在，
【分析】（1）根據已知條件點在直線上，可得，根據等差數列定義判斷為等差數列，即可求解.
（2）根據已知條件得，化為，利用累加法求得，結合題意即可求解.
【詳解】（1）因為點，在直線上，
所以，即.
又，所以數列是以為首項，為公差的等差數列，
所以，.
（2）因為，所以，
所以，
即，所以，
，，
，
所以，
所以.
根據題意（，且）恒成立，
所以，所以存在關于的整式，
使得（，且）恒成立.
2.（廣西南寧市第八中學2022-2023學年高三數學試題）在數列中，已知，，且對于任意正整數n都有.
(1)令，求數列的通項公式；
(2)設m是一個正數，無論m為何值，是否都有一個正整數n使成立.
【答案】(1)；(2)存在，詳見解析.
【分析】（1）由題可得，然后利用等比數列的定義及通項公式即得；
（2）由題可知，可得，令，利用等比數列的通項公式可得，即可得出，假設存在正整數滿足題意，由題可得，即可求解．
【詳解】（1）因為，所以，因為，且，
所以，且，所以數列是以為首項，以3為公比的等比數列，
所以；
（2）由（1）可得，所以，令，則，所以，且，所以數列是首項為，公比為的等比數列，所以，即，
所以，無論為何值，假設存在一個正整數使成立，
因為，即，可得，取，因此是一個正數，無論為何值，都有一個正整數使成立，取的正整數即可．
3.（23-24高三上·重慶·階段練習）已知公比不為1的等比數列的前n項和為，且成等差數列．
(1)求數列的公比；
(2)是否存在r，s， 且 使得成等差數列？若存在，求 出r，s，t的關系； 若不存在，請說明理由．
【答案】(1);(2)答案見解析.
【分析】（1）利用成等差數列和是等比數列,建立方程，求出公比即可；
（2）先假設存在,通過對數列求和，驗證為等差數列矛盾，從而說明不存在.
【詳解】（1）結合題意：成等差數列，所以，
由是等比數列，所以，
整理得，解得：（舍去），或.
（2）假設存在r，s， 且 使得成等差數列
由（1）可知，所以，
因為成等差數列，所以
，
即，整理得：，
在上式兩邊同時除，
得到：，
又所以，
因為，所以，
所以存在互不相等的正整數r，s， 且 時，使得成等差數列.
題型四：求和型不等式證明
求和型不等式證明： 先求和再放縮，放縮時，可以直接放縮，可以借助數列的單調性放縮。 求和常用方法 1.形如（等差）（等比），用分組求和法，分別求和而后相加減 2.形如（等差比）（裂項），用分組求和法，分別求和而后相加減 3.形如（，為可以求和的常見數列），用分組求和法，分別求和而后相加減 4.錯位相減法求數列的前n項和 若是公差為的等差數列，是公比為的等比數列，求數列{an·bn}的前n項和． 5.常見的裂項技巧： ； ； 指數型； 對數型. 等
1.（山東省德州市2022-2023學年高三上學期期末數學試題）已知公差不為零的等差數列的前n項和為，，，，成等比數列，數列的前n項和．
(1)求數列和通項公式；
(2)求的值；
(3)證明：．
【答案】(1)，(2)(3)證明見解析
【分析】（1）根據等差數列的基本量求等差數列的通項，根據找到數列的通項公式，然后再求數列的通項公式.
(2)分別求出奇數項和偶偶數項通項公式再求和.
(3)裂項相消法求和，再證明.
【詳解】（1）設等差數列的公差為，
由題意得，解得，
故數列的通項公式．
因為：，當時，，
兩式相減得，
又n＝1時，，所以，所以，
因為，所以，而，
即，
所以是以2為首項，2為公比的等比數列，，所以．
（2）當k＝2m，時，，
當k＝2m－1，時，
所以
．
（3）由可得
＝因為，所以，所以．則原命題得證．
2.（2023上·山東·高三山東省實驗中學校考）已知數列的前n項和為，且.
(1)求的通項公式：
(2)若，的前n項和為，證明：.
【答案】(1)(2)證明見解析.
【分析】（1）已知求的問題，一定要分和進行討論；
（2）用裂項相加法求和，再分為奇數、偶數討論，確定的取值范圍.
【詳解】（1）因為，當時，.
當時，，所以，
，
所以數列是首項為1，公比為2的等比數列，故：.
（2）證明：因為，
所以.
當n為奇數時，，因為，所以，所以
當n為偶數時，，因為，所以，所以.綜上，.
3.（2023上·湖南長沙·高三長沙麓山國際實驗學校校聯考階段練習）已知數列滿足，數列滿足，，其中為數列的前項和.
(1)證明數列為等比數列，并求數列的通項公式；
(2)令，求數列的前項和，并證明：.
【答案】(1)證明見解析，(2)，證明見解析
【分析】（1）由，有，可得數列為等比數列，并求出數列的通項公式；
（2）由和的關系得數列的遞推公式，累加法求出的通項，得數列的通項，錯位相減法求，并確定范圍.
【詳解】（1）由，可得，即，
又，所以數列是首項為2，公比為3的等比數列，
則有，可得數列的通項公式為；
（2）由，有，即，
則當時，有：，
時也滿足，所以數列的通項公式為得，則①，
②，②-①得：，
解得，由，，所以，
又所以遞增，所以，因此，.
題型五：數列不定方程型
1.（重慶市第十一中學2023屆高三上學期10月自主質量抽測數學試題）已知等差數列的前項和為，且滿足，.
(1)求數列的通項公式；
(2)試求所有的正整數，使得為整數.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）設等差數列的公差為，根據已知條件可得出關于、的方程組，解出這兩個量的值，可得出數列的通項公式；
（2）求出，可得出，根據為正整數可求得的值.
【詳解】（1）解：設等差數列的公差為，由題意可得，解得，
.
（2）解：由（1）可得，則，
所以，，
則，
因為為正整數，且為大于的正奇數，故，解得
故只有時，為整數成立.
2.（23-24高三·上海·模擬）已知函數的圖像過點和.
（1）求函數的解析式；
（2）記是正整數，是的前n項和，解關于n的不等式；
（3）對于（2）中的數列，整數是否為中的項？若是，則求出相應的項；若不是，則說明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）不是數列中的項，理由見解析
【分析】（1）將點A、點B代入函數解析式，求得a，b即可.
（2）易得，再由等差數列前n項和公式得到，解不等式即可.
（3）令，再論證方程是否有正整數解即可.
【詳解】（1）因為函數的圖像過點和，所以，解得，
所以.
（2）由（1）知：，所以
所以，即為，所以，解得，故
（3）由（2）知，設，令，
當時，，，，，
由（2）知當時，易知，
當時， ，所以單調遞增，
當時，，當時，.
因此不是數列中的項.
3.（22-23高三·湖北·聯考）已知等比數列的前項和為，首項，若，，成等差數列且.
（1）求數列的通項公式；
（2）為整數，是否存在正整數使成立？若存在，求正整數及；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）；
（2）存在時滿足條件，理由見解析.
【分析】（1）由已知求出，即可；（2）根據等比數列求和公式求出，然后將數列的通項公式及代入化簡即可解決問題.
【詳解】（1）設等比數列的公比為，則
即，∴，∴或.
又即，∵，∴，，∴.
（2），，∴，
∵為整數，∴時.
∴存在時滿足條件.
題型六：恒成立求參：奇偶討論型
正負相間討論型： 1.奇偶項正負相間型求和，可以兩項結合構成“常數數列”。 2.如果需要討論奇偶，一般情況下，先求偶，再求奇。求奇時候，直接代入偶數項公式，再加上最后的奇數項通項。 3.分奇偶討論時，對于奇數，帶入時要代入1，3，5等奇數。對于偶數，代入時要代入2.4.6.·····
1.（重慶市第一中學校2022-2023學年高三數學試題）已知數列的前項和為，．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，數列前項和為，是否存在實數，使得對任意，恒成立，若存在，求出實數的所有取值；若處存在，說明理由．
【答案】(1)；(2)存在，0.
【分析】（1）根據給定的遞推公式，探討數列的性質，再求出其通項公式作答.
（2）由（1）求出，利用錯位相減法求出，再結合數列不等式恒成立求解作答.
【詳解】（1）數列的前項和為，，當時，，兩式相減得：
，即有，而，即，因此數列是首項為2，公比為2的等比數列，
所以數列的通項公式是.
（2）由（1）知，，，
則，
兩式相減得：，
于是得，顯然，，
假設存在實數，使得對任意，恒成立，
則存在實數，使得對任意恒成立，即，成立，
當為正偶數時，，當為正奇數時，，從而，
所以存在實數，使得對任意，恒成立，的值為0.
2.（天津市青光中學2022-2023學年高三上學期數學試題）已知為等差數列，為等比數列，．
(1)求和的通項公式；
(2)令，求數列的前n項和；
(3)記．是否存在實數，使得對任意的，恒有？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由．
【答案】(1)，(2)(3)見解析
【分析】（1）根據等差、等比數列通項公式，結合題設求基本量，進而寫出和的通項公式；
（2）由（1）得，應用錯位相減法求前項和；
（3）由（1）得，要使題設不等式恒成立即在上恒成立，討論的奇偶性，判斷是否存在使之成立.
【詳解】（1）若的公差為，結合題設可得：，又，故，
∴，
若的公比為且，結合題設可得：，又，故，
∴.
（2）由（1）知：，
∴，
∴，
以上兩式相減，得：，
∴.
（3）由題設，，要使任意恒有，
∴，則恒成立
當為奇數時，恒成立，而，故當且時，存在使其成立；
當為偶數時，恒成立，而，故當且時，存在使其成立；
綜上，存在實數，使得對任意的，恒有.
3.（22-23高三·吉林·階段練習）數列中，，點在直線上．
求數列的通項公式；
令，數列的前n項和為．
求；
是否存在整數，使得不等式恒成立？若存在，求出所有的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由題意結合等差數列的定義可知數列為等差數列，公差為，據此求解其通項公式即可；
（2）(ⅰ)由題意可得，然后裂項求和確定其前n項和即可.
(ⅱ)由題意分類討論為奇數和為偶數兩種情況可得取值集合為.
【詳解】（1）因為，在直線，
所以，即數列為等差數列，公差為，
所以-1.
（2）(ⅰ)，
，.
(ⅱ)存在整數使得不等式(n∈N)恒成立．因為＝.
要使得不等式(n∈N)恒成立，應有：當為奇數時，，即-.
所以當時，的最大值為－，所以只需－.當為偶數時，，
所以當時，的最小值為，所以只需.可知存在，且.
又為整數，所以取值集合為.
題型七：下標數列
下標數列 下標數列，最常用的是直接函數代入型， 下標數列，要注意隨著下標數列的代入，對應的項數和新數列的性質，以及系數列與原母數列是否存在著聯系，以利用解題突破
1.（2023江蘇高考模擬）已知數列滿足：（為常數），數列中，。⑴求；⑵證明：數列為等差數列；
⑶求證：數列中存在三項構成等比數列時，為有理數。
【答案】（1），，； （2）首項為，公差為的等差數列；（3）見解析.
【詳解】⑴由已知，得，
⑵
，又
數列是首項為，公差為的等差數列
⑶證明：由⑵知若三個不同的項成等比數列，、、為非負整數，且，則：，得
若，則，得，這與矛盾。
若，則、、為非負整數 是有理數
2.(湖北省黃岡中學2023屆高三下學期5月第三次模擬考試數學試題)設是等差數列，是等比數列.已知，，，.
（1）求和的通項公式；
（2）數列滿足，設數列的前項和為，求.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）設是公差為的等差數列，是公比為的等比數列，根據條件求出，，再代入通項公式即可；
（2）利用等差數列和等比數列的前項和公式求和，即可得答案；
【詳解】
（1）設是公差為的等差數列，是公比為的等比數列，
由，，，，
可得，，
解得，，
則，，；
（2）
.
3.(河北省衡水市第二中學2023屆高考模擬數學試題)定義集合，數列滿足
(1)定義數列，證明：為等比數列
(2)記數列的前項和為，求滿足的正整數
【答案】(1)證明見解析(2)5
【分析】（1）根據數列的遞推公式求出，再根據等比數列的定義可證結論正確；
（2）求出，再根據累加法求出，然后解方程可得結果.
【詳解】（1）依題意可得，，，，
當時，
，又，都適合上式，所以，
因為，所以為等比數列.
（2）依題意得，，,
所以，
又， ，，，，所以
，
所以
，
由，得，得，
得，得，得.
題型八：高斯取整數列型
取整函數表示不超過的最大整數，又叫做“高斯函數”，
1.（2024·遼寧沈陽·模擬預測）已知數列是正項等比數列，是等差數列，且，，，
(1)求數列和的通項公式；
(2)表示不超過x的最大整數，表示數列的前項和，集合共有4個元素，求范圍；
(3)，求數列的前項和．
【答案】(1)，(2)(3)
【分析】（1）設出數列公比，數列公差，結合題意計算即可得；
（2）由，即可得，令，由的值，可得數列的單調性，計算出前五項，即可得的取值范圍；
（3）分奇偶討論后，分別借助錯位相減法與裂項相消法求和計算即可得.
【詳解】（1）設數列首項，設公比，設數列首項，設公差，
∵，即，∴，（舍去），，∴．；
（2），
其中，∴，
集合，設，，
所以當時，，當時，．
計算可得，，，，，因為集合有4個元素，；
（3），，
設，
，
則
，所以，
當n為奇數時，，設
，
所以.
2.（23-24高三·河北保定·）已知等差數列的前項和為，，且．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，數列的前項和為，定義為不超過的最大整數，例如，，求數列的前項和．
（說明：）
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據等差數列通項和求和公式可構造方程組求得，由此可得；
（2）采用分組求和和裂項相消法可求得，由取整運算定義可得，分類討論可求得.
【詳解】（1）設等差數列的公差為，
由得：，解得：，
.
（2）由（1）得：，
，
；
則當時，；當時，；
當時，；
綜上所述：.
3.（23-24高三上·天津）已知數列是正項等比數列，是等差數列，且，，，
(1)求數列和的通項公式；
(2)表示不超過x的最大整數，表示數列的前項和，集合共有4個元素，求范圍；
(3)，數列的前項和為，求證：．
【答案】(1)，(2)(3)證明見解析
【分析】（1）設出公比和公差，得到方程組，求出公比和公差，求出通項公式；
（2）求出，設，作差法得到其單調性，結合集合有4個元素，求出；
（3）設，錯位相減法求和得到，設，裂項相消法得到，從而求出，求和證明出結論.
【詳解】（1）設數列首項，設公比，設數列首項，設公差，
∵，即，
∴，（舍去），，
∴．；
（2），
其中，
∴，
集合，設，
，
所以當時，，當時，．
計算可得，，，，，
因為集合有4個元素，．
（3），，設①，
②，上式①-②得，
，所以，
當n為奇數時，，則
，
.
題型九：前n項積型不等式恒成立求參
注意區分“和”與“積”的公式： 1.通項與前項和的關系是： 2.可以類比前n項和求通項過程來求數列前n項積： 1.，得 2.時，，所以
1.（23-24高三·江西·階段練習）已知數列和滿足，，且.
(1)求和的通項公式；
(2)若，求數列的前n項和；
(3)若對任意的，恒成立，求實數k的取值范圍.
【答案】(1)，，(2)(3)
【分析】（1）利用條件得到的關系，再利用倒數法，結合等差數列的定義即可得解；
（2）利用裂項求和法即可得解；
（3）構造新數列，將問題轉化為，再利用作商法求得，從而得解.
【詳解】（1）依題意，易知，由，得，
又，所以（），整理得（），又，則，
所以數列是首項為，公差為2的等差數列，則，所以，
所以.
（2）易知，
所以.
（3）原不等式可化為，
設，則，
因為，又，
所以，則，即是單調遞增數列，
所以，
由，得，即實數k的取值范圍為.
2.（23-24高三上·云南昆明·階段練習）已知數列滿足，數列滿足．
(1)求，的值及數列的通項公式；
(2)若（，），求的取值范圍；
(3)在數列中，是否存在正整數，，使，，（，，）構成等比數列？若存在，求符合條件的一組的值，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，，；(2)(3)存在，.
【分析】（1）由與數列的遞推關系證明是等差數列，進而得通項；
（2）分離參數得，再構造數列，研究單調性求解最值可得的取值范圍；
（3）由，，構成等比數列得，由整數的性質
【詳解】（1）（1）由已知得：，
．
因為，，所以，
而，所以是以1為首項，2為公差的等差數列，
所以數列的通項公式為．
（2）不等式化為：，設，
則，所以在上單調遞增，
所以，因為在上恒成立，
所以，所以的取值范圍為．
（3）若，，（，，）構成等比數列，
則，即：，所以，
由于，均為正整數，所以奇數必須是完全平方數，
又因為，所以，
則為奇數的平方，不妨取，，
所以，當時，，，即：，不滿足題意，舍去；
當時，，，即：，，不滿足題意，舍去；
當時，，，即：，.
所以符合條件的一組的值可以是．
3.（22-23高三·四川成都）設數列的前項和為，且，數列滿足，其中.
(1)證明為等差數列，求數列的通項公式；
(2)求數列的前項和為；
(3)求使不等式，對任意正整數都成立的最大實數的值.
【答案】(1)證明見解析；(2)(3)
【分析】（1）根據數列遞推式可得，整理變形結合等差數列定義即可證明結論，并求得數列的通項公式；
（2）利用錯位相減法即可求得答案；
（3）將原不等式化為，即可分離參數，繼而構造函數，判斷其單調性，將不等式恒成立問題轉化為函數最值問題，即可求得答案.
【詳解】（1）當時，，則，
當時，，
即，即是以為首項，公差為1的等差數列，故
（2）由（1）可得，故，故，
則，故；
（3），則，
即，即對任意正整數都成立，
令，則，
故，即隨著n的增大而增大，
故，即，即實數的最大值為.
題型十：先放縮再求和型證明不等式
常用的數列放縮式還有： ， 等，解題過程中，注意觀察數列特征選擇合適的放縮方法.
1.（2024·全國·模擬預測）已知數列不為常數數列且各項均為正數，數列的前n項和為，，滿足，其中是不為零的常數，．
(1)是否存在使得數列為等差數列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；
(2)若數列是公比為的等比數列，證明：（且）．
【答案】(1)存在，(2)證明見解析.
【分析】（1）由與的關系和等差數列的性質求出的值，或由等差數列的通項公式與前n項和公式代入已知條件中求解.
（2）由已知求出數列的通項，得，結合等比數列前n項和公式證明結論.
【詳解】（1）方法一：由題意可知①，②，
由得．
因為且，所以．
所以③．
若存在使得數列為等差數列，則（k是不為0的常數，），
代入③化簡得到．由于不為常數數列且各項均為正數，
所以解得所以．此時，滿足且為等差數列．
方法二：若是公差為d的等差數列，由，
則，
整理得到，
所以由③可得或．
（i）若，由①②解得；
（ii）若，代入①②解得，與題意不符．
綜合以上可知存在使得為公差等于1的等差數列．
（2）由于是公比為的等比數列，，所以，
又，所以．令可知，所以．
因為且，所以，所以，所以，
又因為，所以．由于，
且當時，，所以，原不等式成立．
2.（2024·河北邢臺·二模）已知數列的前項和為，且．
(1)求的通項公式；
(2)求證：．
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）根據，作差得到，從而是以為首項，為公比的等比數列，即可求出其通項公式；
（2）由（1）知，再利用放縮法證明即可.
【詳解】（1）由，當時，，則，
當時，，兩式相減得，即，
因此數列是以為首項，為公比的等比數列，所以．
（2）由（1）知．當時，；當時，，
所以，所以，
所以當時，．
綜上，．
3.（21-22高三·北京·強基計劃）已知數列是公差d不等于0的等差數列，且是等比數列，其中．
(1)求的值．
(2)若，證明：．
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）根據基本量法可求，從而可求的前項和.
（2）利用代數變形可得，可證明，從而證明題設中的不等式.
【詳解】（1）根據題意，有，
因此，從而數列是首項為，公比為2的等比數列，有．從而．
（2）根據題意，有，因此，
分析通項，只需要證明，也即，
也即，也即，
也即，這顯然成立，命題得證．
題型十一：插入數型：等差型
插入數型 1.插入數構成等差數列 在和之間插入個數，使這個數構成等差數列，可通過構造新數列來求解 個數構成等差數列，公差記為，所以：
1.（2023·江蘇蘇州·統考三模）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答．
已知數列{an}的前n項和為Sn，首項為2，且滿足 ．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）在an與an+1之間插入n個數，使這n+2個數組成一個公差為dn的等差數列，求證：．
【答案】任意選取①②③，（1）；（2）證明見解析；
【分析】（1）選①，已知式變形得，數列是等比數列，求出后，利用可求得（已知）；
選②，用累加法求得；
選③，替換后同選①；
（2）求出，先說明時成立，時，用二項式定理展開可證．
【詳解】（1）選①，，則，又，
所以數列是等比數列，公比為2，所以，，
時，，又，
所以；
選②，，則；
選③，，則，即，以下同選①；
（2）由（1），所以，
時，，時，，時，，時，，
時，，上面展開式中至少有6項，所以，綜上，．
2.（2023上海閔行·統考一模）已知數列的各項均為整數，其前n項和為．規定：若數列滿足前r項依次成公差為1的等差數列，從第項起往后依次成公比為2的等比數列，則稱數列為“r關聯數列”．
（1）若數列為“6關聯數列”，求數列的通項公式；
（2）在（1）的條件下，求出，并證明：對任意，；
（3）若數列為“6關聯數列”，當時,在與之間插入n個數，使這個數組成一個公差為的等差數列，求，并探究在數列中是否存在三項，，其中m，k，p成等差數列）成等比數列？若存在，求出這樣的三項；若不存在，說明理由.
【答案】（1）
（2），證明見解析
（3），不存在，理由見解析
【分析】（1）根據題意得到，，且.解得即可求出的通項公式.
（2）由（1）得，利用換元法證明數列的最小項為，即可證明對任意，.
（3）由（1）可知，當時，，由此可得出.假設在數列中存在三項，，（其中，，成等差數列）成等比數列，則，推導出故，這與題設矛盾，所以在數列中不存在三項，，（其中，，成等差數列）成等比數列.
【詳解】（1）∵為“6關聯數列”，
∴前6項為等差數列，從第5項起為等比數列.∴，，且.即，解得.
∴.
（2）由（1）得.：：，
：，可見數列的最小項為.，
由列舉法知：當時，；當時，（），
設，則，．
（3）由（1）可知，當時，，因為：，.
故：.假設在數列中存在三項，，（其中，，成等差數列）成等比數列，
則：，即：，即（*）
因為，，成等差數列，所以，（*）式可以化簡為，
即：，故，這與題設矛盾.
所以在數列中不存在三項，，（其中，，成等差數列）成等比數列.
3.（2023·安徽馬鞍山·高三階段練習）設數列的前項和為，且，．
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）在與之間插入個數，使這個數組成一個公差為的等差數列，求數列的前項和.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【詳解】試題分析：（1）給出與的關系，求，常用思路：一是利用轉化為的遞推關系，再求其通項公式；二是轉化為的遞推關系，先求出與的關系，再求；由推時，別漏掉這種情況，大部分學生好遺忘;(2)一般地，如果數列是等差數列，是等比數列，求數列的前項的和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數列的公比，然后做差求解；（3）利用不等式放縮時掌握好規律，怎樣從條件證明出結論.
試題解析：（Ⅰ）∵，∴，
兩式相減，得， 4分
又，∴，∴ 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，所以，， 8分
（解法1）則，，
兩式相減，得所以. 13分
（解法2）設
，
∴；
∴. 13分
題型十二：插入數列型
插入數混合型 混合型插入數列，其突破口在于：在插入這些數中，數列提供了多少項，其余都是插入進來的。
1.（2023·浙江金華·統考模擬預測）已知數列的前項和，，且.數列滿足，.
(1)求數列，的通項公式；
(2)將數列中的項按從小到大的順序依次插入數列中，在任意的，之間插入項，從而構成一個新數列，求數列的前100項的和.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）根據與的關系，可得出，變形可得.然后根據等比數列的通項公式，即可得出.由已知可得，累乘法即可得出；
（2）設100項中，來自于數列中的有項.根據已知可推得，然后根據等差數列以及等比數列的前項和公式，即可得出答案.
【詳解】（1）由已知可得，當時，有，，兩式相減得：.
又因為，所以，，滿足上式.所以，.又，
所以是以4為首項，2為公比的等比數列，所以，即.
又，所以，所以.
又，所以，當時，有，，，，，
兩邊同時相乘可得，
，所以，.
（2）設100項中，來自于數列中的有項.
若第100項來自于，則應有，
整理可得，，該方程沒有正整數解，不滿足題意；
若第100項來自于，則應有，
整理可得，.
當時，有不滿足，
，故，
所以，數列中含有10項數列中的項，含有90項數列中的項.
所以，.
2.（2023福建福州·高三福建省福州格致中學校考）已知各項均為正數的數列中，且滿足，數列的前n項和為，滿足.
(1)求數列，的通項公式；
(2)若在與之間依次插入數列中的k項構成新數列，求數列中前40項的和.
【答案】(1)，；(2).
【分析】（1）利用平方差公式將變形，得出數列是等差，可求出數列的通項；利用消去得到與的遞推關系，得出數列是等比數列，可求出通項；
（2）分析中前40項中與各有多少項，分別求和即可．
【詳解】（1）由題設得：，
∵，則，故是首項，公差為2的等差數列，
∴，
當時，得：，
當，由①，②，
由①－②整理得：，，
∴，故，
∴數列是首項為1，公比為3的等比數列，故.
（2）依題意知：新數列中，（含）前面共有：項．
由，（）得：，
∴新數列中含有數列的前8項：，，……，，含有數列的前32項：，，，……，；
∴．
3.（2022·廣東汕頭·統考三模）已知各項均為正數的數列中，且滿足，數列的前n項和為，滿足．
(1)求數列，的通項公式；
(2)若在與之間依次插入數列中的k項構成新數列：，，，，，，，，，，……，求數列中前50項的和．
【答案】(1)，
(2)11522
【分析】（1）利用平方差公式將變形，得出數列是等差，可求出數列的通項；利用消去得到與的遞推關系，得出數列是等比數列，可求出通項；
（2）分析中前50項中與各有多少項，分別求和即可．
【詳解】（1）由得：∵
是首項，公差為2的等差數列∴又當時，得
當，由…①…②由①－②整理得：，
∵，∴，∴，
∴數列是首項為1，公比為3的等比數列，故；
（2）依題意知：新數列中，（含）前面共有：項．
由，（）得：，
∴新數列中含有數列的前9項：，，……，，含有數列的前41項：，，，……，；
∴．
題型十三：新結構19題型壓軸
“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據此新定義去解決問題，涉及函數新定義問題，理解新定義，找出數量關系，聯想與題意有關的數學知識和方法，再轉化、抽象為相應的數學問題作答. 關于新定義題的思路有： （1）找出新定義有幾個要素，找出要素分別代表什么意思； （2）由已知條件，看所求的是什么問題，進行分析，轉換成數學語言； （3）將已知條件代入新定義的要素中； （4）結合數學知識進行解答.
1.（2024·浙江嘉興·二模）已知集合，定義：當時，把集合中所有的數從小到大排列成數列，數列的前項和為.例如：時，，.
(1)寫出，并求；
(2)判斷88是否為數列中的項.若是，求出是第幾項；若不是，請說明理由；
(3)若2024是數列中的某一項，求及的值.
【答案】(1)，；
(2)88是數列的第30項；(3)，，
【分析】當時，此時，由集合新定義中的規則代入計算即可；
根據集合新定義，由，再列舉出比它小的項即可；
方法一：由可得，再列舉出比它小的項分別有以下7種情況，再求和；方法二：由可得，求得集合中的元素個數和最大的一個，可得，再求和可得.
【詳解】（1）因為，此時，
，.
（2）當時，，
是數列中的項，
比它小的項分別有個，
有個，
有個，
所以比88小的項共有個，故88是數列的第30項.
（3）是數列中的項，故，
則當時，，
方法一：比它小的項分別有以下7種情況：
①個數字任取7個得個，
②，得個，
③，得個，
④，得個，
⑤，得個，
⑥，得個，
⑦，得個，
所以比2024小的項共有個，
其中
故2024是數列的第329項，即.
方法二：共有元素個，
最大的是，其次為，
所以2024是數列的第項，即.
在總共項中，含有的項共有個，同理都各有個，所以，則.
2.．（2024·北京門頭溝·一模）已知數列 ， 數列 ， 其中 ， 且 ， ． 記 的前 項和分別為 ， 規定 ．記 ，且 ，， 且
(1)若，，寫出 ；
(2)若，寫出所有滿足條件的數列 ， 并說明理由；
(3)若 ， 且 ． 證明： ， 使得 ．
【答案】(1),，(2)或，理由見解析，(3)證明見解析.
【分析】（1）根據題意直接代入即可；
（2）由中最大和最小元素是和, 所以有， 則，所以.進而分類討論即可；
（3）受（2）問啟發，分別找出和中最大和最小元素，根據已知，則對應元素相等，再由得到，又，是中元素，又，,所以中元素比大的只可能有，，，，進而得證.
【詳解】（1）由，得，，，，所以；
由得,,,,所以.
（2）由，所以，，所以對于，有， 則，所以.
當，由得，又，所以不符合題意，舍去；
當，由得，又，所以，
經檢驗不符合題意，舍去, 或符合題意；
（3）
，，
中最小元素是，最大元素是，
同理，中最小元素是，最大元素是，
又因為，所以，，即，
又，，,
又，又，是中元素，
又，
,所以中元素比大的只可能有，，，
，又,，
， 使得 ．
3.（23-24高三下·江蘇南通·開學考試）設集合，其中．若對任意的向量，存在向量，使得，則稱A是“T集”．
(1)設，判斷M，N是否為“T集”．若不是，請說明理由；
(2)已知A是“T集”．
（i）若A中的元素由小到大排列成等差數列，求A；
（ii）若（c為常數），求有窮數列的通項公式．
【答案】(1)是“集”;不是“集”，理由見解析；(2)（i）；（ii）
【分析】
（1）根據“T集”的定義判斷即可；
（2）（i）寫出等差數列通項，得到向量的坐標，再分類討論即可；
（ii）設，利用三角數陣和等比數列定義即可.
【詳解】（1）是“集”;不是“集”.
理由：當或時，只要橫縱坐標相等即可，則滿足，
當，則；當，則；
當，則；當，則；
綜上是“集”.
對于向量，若存在，使得.
則，故中必有一個為，此時另一個為或，顯然不符合，則不是“集”.
（2）(i)因為中的元素由小到大排列成等差數列，則該等差數列的首項為，
公差為2，故.
則向量的坐標中必含，設另一坐標為，
則或.
所以或，
故或，
所以或，所以或，
所以或即.
此時，不滿足;
或，滿足;
所以只可能為.
經檢驗是“集”，所以.
(ii)設.
由，得，由條件可變形為.
設集合
設集合則是“集”當且僅當關于原點對稱.
因為是中唯一負數，共個數，
所以也只有個數.
由于，所以，已有個數.
對以下三角數陣：
注意到，所以.
又為常數)，故有窮數列為等比數列，
且通項公式.培優沖刺07 數列遞推公式與求和歸類
目錄
題型一：數列型恒成立求參……………………………………………………………………………………………………………………………1
題型二：是否存在型求參………………………………………………………………………………………………………………………………2
題型三：恒成立證明型…………………………………………………………………………………………………………………………………3
題型四：求和型不等式證明…………………………………………………………………………………………………………………………3
題型五：數列不定方程型………………………………………………………………………………………………………………………………4
題型六：恒成立求參：奇偶討論型………………………………………………………………………………………………………………5
題型七：下標數列…………………………………………………………………………………………………………………………………………6
題型八：高斯取整數列型………………………………………………………………………………………………………………………………6
題型九：前n項積型不等式恒成立求參………………………………………………………………………………………………………7
題型十：先放縮再求和型證明不等式……………………………………………………………………………………………………………8
題型十一：插入數型：等差型…………………………………………………………………………………………………………………………9
題型十二：插入數列型……………………………………………………………………………………………………………………………………10
題型十三：新結構19題型壓軸………………………………………………………………………………………………………………………11
題型一：數列型恒成立求參
分離參數法基本步驟為： 第一步：首先對待含參的不等式問題在能夠判斷出參數的系數正負的情況下，可以根據不等式的性質將參數分離出來，得到一個一端是參數，另一端是變量表達式的不等式， 第二步：先求出含變量一邊的式子的最值，通常使用導函數或基本不等式進行求解. 第三步：由此推出參數的取值范圍即可得到結論. 數列恒成立求參數關鍵“坑”： 數列是以正整數為“變量”的函數，所以求最小值時要注意正整數的取值范圍
1.（河北省邯鄲市部分學校2023屆高三下學期開學考試數學試題）若數列滿足，，m為常數.
(1)求證：是等差數列；
(2)若對任意，都有，求實數m的取值范圍.
2..（河北省石家莊二中教育集團2022-2023學年高三四校聯考數學試題）已知等比數列滿足，，且為等差數列．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，，對任意正整數，恒成立，試求的取值范圍．
3.（重慶市巫山第二中學2022-2023學年高三數學試題）已知正項數列的前項和為，且，數列滿足且.
(1)分別求數列和的通項公式；
(2)若，設數列的前項和為，且，對任意正整數恒成立，求實數的取值范圍.
題型二：是否存在型求參
一般地，已知函數， 不等關系 (1)若，，總有成立，故； (2)若，，有成立，故； (3)若，，有成立，故； (4) 若，，有成立，故．
1.（上海市敬業中學2022屆高三上學期數學試題）設正項數列的前項和為，首項為1，已知對任意整數，當時，（為正常數）恒成立．
(1)求證：數列是等比數列；
(2)證明：數列是遞增數列；
(3)是否存在正常數，使得為等差數列？若存在，求出常數的值；若不存在，說明理由．
2.（四川省綿陽市2023屆高三第二次診斷性考試數學（文）試題）已知各項均為正數的數列的前n項和為，且為等差數列．
(1)求數列的通項公式；
(2)已知，是否存在，使得恒成立 若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．
3.（江蘇省南通市如東縣2022-2023學年高三上學期數學試題）已知是數列的前項和，且，數列是公差為的等差數列．
(1)求數列的通項公式
(2)記數列的前項和為，是否存在實數使得數列成等差數列，若存在，求出實數的值若不存在，說明理由．
題型三：恒成立證明型
數列與不等式問題要抓住一個中心——函數，兩個密切聯系：一是數列和函數之間的密切聯系，數列的通項公式是數列問題的核心，函數的解析式是研究函數問題的基礎；二是方程、不等式與函數的聯系，利用它們之間的對應關系進行靈活的處理．
1.（2024高三·全國·專題練習）已知在數列中，，點，在直線上.
(1)求數列的通項公式．
(2)設，為數列的前項和，試問：是否存在關于的整式，使得（，且）恒成立？若存在，寫出的表達式，并加以證明；若不存在，請說明理由．
2.（廣西南寧市第八中學2022-2023學年高三數學試題）在數列中，已知，，且對于任意正整數n都有.
(1)令，求數列的通項公式；
(2)設m是一個正數，無論m為何值，是否都有一個正整數n使成立.
3.（23-24高三上·重慶·階段練習）已知公比不為1的等比數列的前n項和為，且成等差數列．
(1)求數列的公比；
(2)是否存在r，s， 且 使得成等差數列？若存在，求 出r，s，t的關系； 若不存在，請說明理由．
題型四：求和型不等式證明
求和型不等式證明： 先求和再放縮，放縮時，可以直接放縮，可以借助數列的單調性放縮。 求和常用方法 1.形如（等差）（等比），用分組求和法，分別求和而后相加減 2.形如（等差比）（裂項），用分組求和法，分別求和而后相加減 3.形如（，為可以求和的常見數列），用分組求和法，分別求和而后相加減 4.錯位相減法求數列的前n項和 若是公差為的等差數列，是公比為的等比數列，求數列{an·bn}的前n項和． 5.常見的裂項技巧： ； ； 指數型； 對數型. 等
1.（山東省德州市2022-2023學年高三上學期期末數學試題）已知公差不為零的等差數列的前n項和為，，，，成等比數列，數列的前n項和．
(1)求數列和通項公式；
(2)求的值；
(3)證明：．
2.（2023上·山東·高三山東省實驗中學?？迹┮阎獢盗械那皀項和為，且.
(1)求的通項公式：
(2)若，的前n項和為，證明：.
3.（2023上·湖南長沙·高三長沙麓山國際實驗學校校聯考階段練習）已知數列滿足，數列滿足，，其中為數列的前項和.
(1)證明數列為等比數列，并求數列的通項公式；
(2)令，求數列的前項和，并證明：.
題型五：數列不定方程型
1.（重慶市第十一中學2023屆高三上學期10月自主質量抽測數學試題）已知等差數列的前項和為，且滿足，.
(1)求數列的通項公式；
(2)試求所有的正整數，使得為整數.
2.（23-24高三·上?！つM）已知函數的圖像過點和.
（1）求函數的解析式；
（2）記是正整數，是的前n項和，解關于n的不等式；
（3）對于（2）中的數列，整數是否為中的項？若是，則求出相應的項；若不是，則說明理由.
3.（22-23高三·湖北·聯考）已知等比數列的前項和為，首項，若，，成等差數列且.
（1）求數列的通項公式；
（2）為整數，是否存在正整數使成立？若存在，求正整數及；若不存在，請說明理由.
題型六：恒成立求參：奇偶討論型
正負相間討論型： 1.奇偶項正負相間型求和，可以兩項結合構成“常數數列”。 2.如果需要討論奇偶，一般情況下，先求偶，再求奇。求奇時候，直接代入偶數項公式，再加上最后的奇數項通項。 3.分奇偶討論時，對于奇數，帶入時要代入1，3，5等奇數。對于偶數，代入時要代入2.4.6.·····
1.（重慶市第一中學校2022-2023學年高三數學試題）已知數列的前項和為，．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，數列前項和為，是否存在實數，使得對任意，恒成立，若存在，求出實數的所有取值；若處存在，說明理由．
2.（天津市青光中學2022-2023學年高三上學期數學試題）已知為等差數列，為等比數列，．
(1)求和的通項公式；
(2)令，求數列的前n項和；
(3)記．是否存在實數，使得對任意的，恒有？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由．
3.（22-23高三·吉林·階段練習）數列中，，點在直線上．
求數列的通項公式；
令，數列的前n項和為．
求；
是否存在整數，使得不等式恒成立？若存在，求出所有的值；若不存在，請說明理由．
題型七：下標數列
下標數列 下標數列，最常用的是直接函數代入型， 下標數列，要注意隨著下標數列的代入，對應的項數和新數列的性質，以及系數列與原母數列是否存在著聯系，以利用解題突破
1.（2023江蘇高考模擬）已知數列滿足：（為常數），數列中，。⑴求；⑵證明：數列為等差數列；
⑶求證：數列中存在三項構成等比數列時，為有理數。
2.(湖北省黃岡中學2023屆高三下學期5月第三次模擬考試數學試題)設是等差數列，是等比數列.已知，，，.
（1）求和的通項公式；
（2）數列滿足，設數列的前項和為，求.
3.(河北省衡水市第二中學2023屆高考模擬數學試題)定義集合，數列滿足
(1)定義數列，證明：為等比數列
(2)記數列的前項和為，求滿足的正整數
題型八：高斯取整數列型
取整函數表示不超過的最大整數，又叫做“高斯函數”，
1.（2024·遼寧沈陽·模擬預測）已知數列是正項等比數列，是等差數列，且，，，
(1)求數列和的通項公式；
(2)表示不超過x的最大整數，表示數列的前項和，集合共有4個元素，求范圍；
(3)，求數列的前項和．
2.（23-24高三·河北保定·）已知等差數列的前項和為，，且．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，數列的前項和為，定義為不超過的最大整數，例如，，求數列的前項和．
（說明：）
3.（23-24高三上·天津）已知數列是正項等比數列，是等差數列，且，，，
(1)求數列和的通項公式；
(2)表示不超過x的最大整數，表示數列的前項和，集合共有4個元素，求范圍；
(3)，數列的前項和為，求證：．
題型九：前n項積型不等式恒成立求參
注意區分“和”與“積”的公式： 1.通項與前項和的關系是： 2.可以類比前n項和求通項過程來求數列前n項積： 1.，得 2.時，，所以
1.（23-24高三·江西·階段練習）已知數列和滿足，，且.
(1)求和的通項公式；
(2)若，求數列的前n項和；
(3)若對任意的，恒成立，求實數k的取值范圍.
2.（23-24高三上·云南昆明·階段練習）已知數列滿足，數列滿足．
(1)求，的值及數列的通項公式；
(2)若（，），求的取值范圍；
(3)在數列中，是否存在正整數，，使，，（，，）構成等比數列？若存在，求符合條件的一組的值，若不存在，請說明理由．
3.（22-23高三·四川成都）設數列的前項和為，且，數列滿足，其中.
(1)證明為等差數列，求數列的通項公式；
(2)求數列的前項和為；
(3)求使不等式，對任意正整數都成立的最大實數的值.
題型十：先放縮再求和型證明不等式
常用的數列放縮式還有： ， 等，解題過程中，注意觀察數列特征選擇合適的放縮方法.
1.（2024·全國·模擬預測）已知數列不為常數數列且各項均為正數，數列的前n項和為，，滿足，其中是不為零的常數，．
(1)是否存在使得數列為等差數列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；
(2)若數列是公比為的等比數列，證明：（且）．
2.（2024·河北邢臺·二模）已知數列的前項和為，且．
(1)求的通項公式；
(2)求證：．
3.（21-22高三·北京·強基計劃）已知數列是公差d不等于0的等差數列，且是等比數列，其中．
(1)求的值．
(2)若，證明：．
題型十一：插入數型：等差型
插入數型 1.插入數構成等差數列 在和之間插入個數，使這個數構成等差數列，可通過構造新數列來求解 個數構成等差數列，公差記為，所以：
1.（2023·江蘇蘇州·統考三模）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答．
已知數列{an}的前n項和為Sn，首項為2，且滿足 ．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）在an與an+1之間插入n個數，使這n+2個數組成一個公差為dn的等差數列，求證：．
2.（2023上海閔行·統考一模）已知數列的各項均為整數，其前n項和為．規定：若數列滿足前r項依次成公差為1的等差數列，從第項起往后依次成公比為2的等比數列，則稱數列為“r關聯數列”．
（1）若數列為“6關聯數列”，求數列的通項公式；
（2）在（1）的條件下，求出，并證明：對任意，；
（3）若數列為“6關聯數列”，當時,在與之間插入n個數，使這個數組成一個公差為的等差數列，求，并探究在數列中是否存在三項，，其中m，k，p成等差數列）成等比數列？若存在，求出這樣的三項；若不存在，說明理由.
3.（2023·安徽馬鞍山·高三階段練習）設數列的前項和為，且，．
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）在與之間插入個數，使這個數組成一個公差為的等差數列，求數列的前項和.
題型十二：插入數列型
插入數混合型 混合型插入數列，其突破口在于：在插入這些數中，數列提供了多少項，其余都是插入進來的。
1.（2023·浙江金華·統考模擬預測）已知數列的前項和，，且.數列滿足，.
(1)求數列，的通項公式；
(2)將數列中的項按從小到大的順序依次插入數列中，在任意的，之間插入項，從而構成一個新數列，求數列的前100項的和.
2.（2023福建福州·高三福建省福州格致中學校考）已知各項均為正數的數列中，且滿足，數列的前n項和為，滿足.
(1)求數列，的通項公式；
(2)若在與之間依次插入數列中的k項構成新數列，求數列中前40項的和.
3.（2022·廣東汕頭·統考三模）已知各項均為正數的數列中，且滿足，數列的前n項和為，滿足．
(1)求數列，的通項公式；
(2)若在與之間依次插入數列中的k項構成新數列：，，，，，，，，，，……，求數列中前50項的和．
題型十三：新結構19題型壓軸
“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據此新定義去解決問題，涉及函數新定義問題，理解新定義，找出數量關系，聯想與題意有關的數學知識和方法，再轉化、抽象為相應的數學問題作答. 關于新定義題的思路有： （1）找出新定義有幾個要素，找出要素分別代表什么意思； （2）由已知條件，看所求的是什么問題，進行分析，轉換成數學語言； （3）將已知條件代入新定義的要素中； （4）結合數學知識進行解答.
1.（2024·浙江嘉興·二模）已知集合，定義：當時，把集合中所有的數從小到大排列成數列，數列的前項和為.例如：時，，.
(1)寫出，并求；
(2)判斷88是否為數列中的項.若是，求出是第幾項；若不是，請說明理由；
(3)若2024是數列中的某一項，求及的值.
2.．（2024·北京門頭溝·一模）已知數列 ， 數列 ， 其中 ， 且 ， ． 記 的前 項和分別為 ， 規定 ．記 ，且 ，， 且
(1)若，，寫出 ；
(2)若，寫出所有滿足條件的數列 ， 并說明理由；
(3)若 ， 且 ． 證明： ， 使得 ．
3.（23-24高三下·江蘇南通·開學考試）設集合，其中．若對任意的向量，存在向量，使得，則稱A是“T集”．
(1)設，判斷M，N是否為“T集”．若不是，請說明理由；
(2)已知A是“T集”．
（i）若A中的元素由小到大排列成等差數列，求A；
（ii）若（c為常數），求有窮數列的通項公式．

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