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培優沖刺08概率與分布列歸類
目錄
題型一：正態分布含參型 1
題型二：二項分布型求參 3
題型三：二項分布與正態分布綜合 3
題型四：圖標型分布列基礎 5
題型五：比賽模式 7
題型六：射擊模型 10
題型七：雙盒子換球模式 12
題型八：取球模式 15
題型九：三人比賽模式 18
題型十：馬爾科夫鏈基礎型 20
題型十一：馬爾科夫鏈綜合 24
題型十二：馬爾科夫鏈：機器人一維游走模型 27
題型十三：求導型分布列 31
題型十四：分布列第19題壓軸型題 37
題型一：正態分布含參型
正態分布概念與性質： （1）若是正態隨機變量，其概率密度曲線的函數表達式為 ， （其中是參數，且，）。 其圖像如圖13-7所示，有以下性質： ①曲線在軸上方，并且關于直線對稱； ②曲線在處處于最高點，并且此處向左右兩邊延伸時，逐漸降低，呈現“中間高，兩邊低”的形狀； ③曲線的形狀由確定，越大，曲線越“矮胖”，越小，曲線越“高瘦”； ④圖像與軸之間的面積為1. （2）= ，= ，記作 . 當時， 服從標準正態分布，記作 . （3） ，則在， ，上取值的概率分別為68.3%，95.4%，99.7%，這叫做正態分布的原則。
1.（22-23高三上·江蘇南京·）已知隨機變量且，則 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】根據正態分布曲線的對稱性列方程，再解方程即可.
【詳解】，.
因為，
所以，解得.
故選：B.
2.（2022·江蘇常州·模擬預測）已知隨機變量服從正態分布，若函數是偶函數，則實數（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】利用偶函數的定義，并結合正態曲線的對稱性，即可求解.
【詳解】因為函數是偶函數，
所以，即，
所以.故選：C
3.（22-23高三下·重慶沙坪壩·階段練習）隨機變量服從正態分布，且，則（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】B
【分析】利用正態分布曲線的對稱性列出概率的等式后求解．
【詳解】或，又，
故，則，得，
故選：B．
4.（2024高三·全國·專題練習）設X~N(1，σ2)，其正態分布密度曲線如圖所示，且P(X≥3)=0.022 8，那么向正方形OABC中隨機投擲20 000個點，則落入陰影部分的點的個數的估計值為（ ）
[附:隨機變量ξ服從正態分布N(1，σ2)，則P(μ-σ<ξ<μ+σ)=0.682 6，P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.954 4]
A．12 076 B．13 174
C．14 056 D．7 539
【答案】B
【解析】根據正態分布的對稱性和P(X≥3)可求出P(-1【詳解】由題意，得
P(X≤-1)=P(X≥3)=0.022 8;
∴P(-1∵P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.954 4，
∴1-2σ=-1，故σ=1，
∴P(0故估計落入陰影部分的點的個數為20 000×(1-0.341 3)=13 174
故選：B
題型二：二項分布型求參
二項分布： 若在一次實驗中事件發生的概率為，則在次獨立重復實驗中恰好發生次概率 ，稱服從參數為的二項分布，記作 ，=.
1.（陜西省延安市寶塔區第四中學2022-2023學年數學試題）在n次獨立重復試驗（伯努利試驗）中，若每次試驗中事件A發生的概率為p，則事件A發生的次數X服從二項分布，事實上，在伯努利試驗中，另一個隨機變量的實際應用也很廣泛，即事件A首次發生時試驗進行的次數Y，顯然，，2，3，…，我們稱Y服從“幾何分布”，經計算得．據此，若隨機變量X服從二項分布時，且相應的“幾何分布”的數學期望，則n的最小值為（ ）
A．6 B．18 C．36 D．37
【答案】D
【分析】根據二項分布和“幾何分布”的定義，列不等式求解.
【詳解】由題可知，，，，
因為，所以，解得，
所以n的最小值為37.
故選：D.
2.（福建省廈門外國語學校2022-2023學年模擬數學試題（1）已知隨機變量X服從二項分布，且，，則（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】D
【分析】根據二項分布的均值與方差公式列方程組求解．
【詳解】由題意，解得．
故選：D
3.（山西省呂梁市柳林縣部分學校2022-2023學年數學試題）設隨機變量服從二項分布，若，，則實數的值為__________.
【答案】6
【分析】結合二項分布的期望與方差公式，即可求解．
【詳解】由題意可得，，解得．
故答案為：6．
題型三：二項分布與正態分布綜合
離散型隨機變量分布列、期望、方差及其性質 （1）離散型隨機變量的分布列 …
① ; ② . （2）表示的期望：，反應隨機變量的平均水平，若隨機變量滿足，則. （3）表示的方差：，反映隨機變量取值的波動性。越小表明隨機變量越穩定，反之越不穩定。若隨機變量滿足，則。
1.（2024·天津南開·一模）已知隨機變量，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據正態分布的性質可得，即可根據二項分布的期望公式求解.
【詳解】由以及可得，
由于，故，，
故選：D
2.（22-23高三廣西河池·）已知隨機變量，且，又，則實數的值為（ ）
A．0或2 B．2 C．-2或2 D．-2
【答案】C
【分析】根據題意，先求出，近而可得的值，結合正態分布的性質可得關于的方程，解出即可.
【詳解】因為隨機變量，
所以，
又所以，
當時，，
解得或2，
故選：C．
3.（22-23湖南常德·階段練習）已知兩個隨機變量，，其中，，若，，則（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
【答案】B
【分析】根據二項分布期望公式得到，再根據正態分布的對稱性計算可得.
【詳解】由，則，故，
所以，又因為，
可得.
故選：B.
4.（22-23山西呂梁·模擬）已知隨機變量，且，又，則實數的值為（ ）
A． 或4 B． C．4或1 D．5
【答案】A
【分析】根據二項分布的期望公式可得，進而由正態分布的對稱性即可求解.
【詳解】由題意可知，
得，當時，，解得或4，
故選：．
題型四：圖標型分布列基礎
求離散型隨機變量的分布列及期望的一般步驟： （1）根據題中條件確定隨機變量的可能取值； （2）求出隨機變量所有可能取值對應的概率，即可得出分布列； （3）根據期望的概念，結合分布列，即可得出期望（在計算時，要注意隨機變量是否服從特殊的分布，如超幾何分布或二項分布等，可結合其對應的概率計算公式及期望計算公式，簡化計算）．
1.（遼寧省錦州市遼西育明高級中學2022-2023學年數學試題）為了弘揚中華優秀傳統文化，加強對學生的美育教育，某校開展了傳統藝術書畫知識趣味競賽活動.一共3題，答題規則如下，每隊2人，其中1人先答題，若回答正確得10分，若回答錯誤，則另一人可補答，補答正確也得10分，得分后此隊繼續按同樣方式答下一題；若2人都回答錯誤，則得0分且不進入下一題，答題結束.已知第一隊含有甲、乙兩名隊員，其中甲答對每道題目的概率為，乙答對每道題目的概率為，每道題都是甲先回答，且兩人每道題目是否回答正確相互獨立.甲乙兩人回答正確與否也互相獨立.
(1)求第一隊答對第1題的概率；
(2)記為第一隊獲得的總分，求隨機變量的分布列和數學期望.
【答案】(1)(2)分布列見解析，數學期望為
【分析】（1）根據題意可知答對第一題分為兩種情況：甲先答對或甲先答錯乙補答對，結合獨立事件的乘法公式即可求解；
（2）根據題意可得，利用獨立事件的乘法公式求出對應的概率，進而求解.
【詳解】（1）設甲、乙答對每題的事件為、，
則，所以，
答對第一題分為兩種情況：甲先答對，甲先答錯乙補答對，
所以答對第一題的概率為
.
（2）由題意得，，
，
，
，
.
所以的分布列為：
X 0 10 20 30
P
數學期望為.
2.（陜西省咸陽市武功縣2022-2023學年數學試題）某電視臺舉行沖關直播活動，該活動共有三關，只有一等獎和二等獎兩個獎項，參加活動的選手從第一關開始依次通關，只有通過本關才能沖下一關.已知第一關的通過率為0.7，第二關通過率為0.5，第三關的通過率為0.3，三關全部通過可以獲得一等獎（獎金為300元），通過前兩關就可以獲得二等獎（獎金為200元），如果獲得二等獎又獲得一等獎，則獎金可以累加為500元.假設選手是否通過每一關相互獨立，現有甲、乙兩位選手參加本次活動.
(1)求甲最后沒有得獎的概率；
(2)已知甲和乙都通過了第一關，求甲和乙最后所得獎金總和為700元的概率.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）甲沒中獎分為第一關沒有通過，和第一關通過且第二關沒有通過兩種情況，分別求得兩個事件的概率再求和即可；
（2）根據最后獎金總和分析得甲和乙中一人獲得一等獎，一人獲得二等獎，根據概率乘法和加法公式即可求解．
【詳解】（1）甲第一關沒通過的概率為，
第一關通過且第二關沒通過的概率為，
故甲沒有得獎的概率．
（2）記甲和乙通過了第二關且最后獲得二等獎為事件，
通過了第二關且最后獲得一等獎為事件，
則，，
甲和乙最后所得獎金總和為700元，
甲和乙一人得一等獎，一人得二等獎，
若甲得了一等獎，乙得了二等獎的概率為，
若乙得了一等獎，甲得了二等獎的概率為，
甲和乙最后所得獎金總和為700元的概率．
3.（貴州省貴陽市五校2023屆高三聯合考試（五）理科數學試題）某學校組織“消防”知識競賽，有A，B兩類題目．每位參加比賽的同學先在兩類題目中選擇一類并從中隨機抽取一道題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束．A類問題中的每個問題回答正確得40分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得60分，否則得0分已知小明能正確回答A類問題的概率為0.7，能正確回答B類問題的概率為0.5，且能正確回答問題的概率與回答次序無關
(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；
(2)為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由．
【答案】(1)分布列見解析
(2)小明應選擇先回答A類問題，理由見解析
【分析】（1）由X的所有可能取值，計算對應的概率，列出分布列；
（2）分別計算先回答A類問題累計得分的期望和先回答B類問題累計得分的期望，比較即可.
【詳解】（1）由已知可得，X的所有可能取值為0，40，100，
則；
；
．
所以X的分布列為
X 0 40 100
P 0.3 0.35 0.35
（2）由（1）可知小明先回答A類問題累計得分的期望為
．
若小明先回答B類問題，記Y為小明的累計得分，
則Y的所有可能取值為0，60，100，
，
，
，
則Y的期望為，
因為，
所以為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答A類問題．
題型五：比賽模式
比賽模式思維點： 比賽幾局？ 2.“誰贏了”； 3.有沒有平局 4.贏了的必贏最后一局； 5.比賽為啥結束？ 6.有沒有“抽簽
1.（廣東省佛山市H7教育共同體2022-2023學年聯考數學試題）甲、乙兩隊進行籃球冠軍爭奪賽，比賽采取三局二勝制，甲隊每局取勝的概率為．甲隊有一名核心球員，如果核心球員在比賽中受傷，將不能參加后續比賽，甲隊每局取勝的概率降為，若核心球員在每局比賽受傷的概率為．
(1)在核心球員一直未受傷的條件下，甲隊以取勝的概率；
(2)甲隊以取勝的概率．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由獨立事件概率運算求解即可；
（2）甲隊以取勝分為兩種情況，第一種情況：甲隊贏第一局和第三局，第二局輸的條件下考慮核心球員受傷的局數；第二種情況：甲隊贏第二局和第三局，第一局輸的條件下考慮核心球員受傷的局數.由條件概率和全概率公式求解即可.
【詳解】（1）記“甲隊在前兩局比賽中連贏兩局”，“甲隊贏第一局和第三局，第二局輸”，
“甲隊贏第二局和第三局，第一局輸”，“甲隊以取勝”，
記“核心球員第局開始受傷”，“核心球員一直未受傷”，
所以.
（2），
，
，
，
，
所以，
，
，
，
，
所以，
所以.
即甲隊以取勝的概率為.
2.（天津市河西區2022-2023學年數學試題）在某次世界乒乓球錦標賽的團體比賽中，中國隊將對陣韓國隊．比賽實行5局3勝制．根據以往戰績，中國隊在每一局中獲勝的概率都是．
(1)求中國隊以的比分獲勝的概率；
(2)求中國隊在先失1局的前提下獲勝的概率；
(3)假設全場比賽的局數為隨機變量，在韓國隊先勝第一局的前提下，求的分布列和數學期望．
【答案】(1)(2)(3)分布列見詳解，.
【分析】（1）由題意可知中國隊前三局都獲勝，根據公式計算即可；
（2）先失一局在獲勝，分為兩種情況進行求解，即①中國隊連勝3局，②中國隊在2到4局中勝2局，再勝第5局，利用公式計算即可；
（3）由題意知，分別求出對于的概率，列出分布列，求出數學期望即可.
【詳解】（1）設中國隊以的比分獲勝的事件為，
所以概率為：.
（2）設中國隊在先失一局的前提下獲勝的事件為，
則有2種情況：
①中國隊連勝3局，此時的概率為：；
②中國隊在2到4局中勝2局，再勝第5局，
此時概率為：；
所以.
（3）由題意知，
則，
，
，
所以的分布列為：
3 4 5
所以的數學期望為：
.
3.（河北省邯鄲市六校2022-2023學年數學試題）甲、乙兩位圍棋選手進行圍棋比賽，比賽規則如下：比賽實行三局兩勝制（假定沒有平局），任何一方率先贏下兩局比賽時，比賽結束，圍棋分為黑白兩棋，第一局雙方選手通過抽簽的方式等可能的選擇棋色下棋，從第二局開始，上一局的敗方擁有優先選棋權.已知甲下黑棋獲勝的概率為，下白棋獲勝的概率為，每位選手按有利于自己的方式選棋.
(1)求甲選手以2:1獲勝的概率；
(2)比賽結束時，記這兩人下圍棋的局數為，求的分布列與期望.
【答案】(1)(2)分布列見解析，
【分析】（1）由題意可知甲選手以2:1獲勝必須前兩局雙方各勝一局，且第三局甲獲勝，則分第一局甲下黑棋和第一局甲下白棋兩種情況求出概率，然后利用互斥事件的概率公式求解，
（2）由題意可知的取值可能為2，3，7，然后求出各自對應的概率，從而可求出的分布列與期望.
【詳解】（1）甲選手以2:1獲勝，則前兩局雙方各勝一局，且第三局甲獲勝.
若第一局乙選棋，則所求概率為；
若第一局甲選棋，則所求概率為.
故甲選手以2:1獲勝的概率為.
（2）由題可知，的取值可能為2，3，則
，.
則的分布列為
2 3
.
題型六：射擊模型
打了幾槍？ 為啥結束？ 是否有子彈限制？ 4.最終結束，是因為子彈打完，還是因為“完成任務” 5.有沒有限制：如是“連續兩槍擊中”（或脫靶）還是“累計兩槍擊中”（或脫靶）
1.某靶場有，兩種型號的步槍可供選用，其中甲使用兩種型號的步槍的命中率分別為,；，
(1)若出現連續兩次子彈脫靶或者子彈打光耗盡的現象便立刻停止射擊，若擊中標靶至少3次，則可以獲得一份精美禮品，若甲使用型號的步槍，并裝填5發子彈，求甲獲得精美禮品的概率；
(2)現在兩把步槍中各裝填3發子彈，甲打算輪流使用兩種步槍進行射擊，若擊中標靶，則繼續使用該步槍，若未擊中標靶，則改用另一把步槍，甲首先使用種型號的步槍，若出現連續兩次子彈脫靶或者其中某一把步槍的子彈打光耗盡的現象便立刻停止射擊，記為射擊的次數，求的分布列與數學期望．
【答案】(1)(2)分布列見解析；的數學期望為.
【分析】（1）分別求出甲擊中5次、4次、3次的概率，再相加即可得解；
（2）的所有可能取值為2,3,4,5，求出取每個值的概率后，可得分布列.根據數學期望公式可得數學期望.
【詳解】（1）甲擊中5次的概率為，甲擊中4次的概率為，
甲擊中3次的概率為，
所以甲獲得精美禮品的概率為.
（2）的所有可能取值為2,3,4,5,
，
，
，
，
所以的分布列為：
2 3 4 5
所以.
2.甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標的概率分別是和.假設兩人射擊是否擊中目標相互之間沒有影響，每人每次射擊是否擊中目標相互之間也沒有影響.
(1)求甲、乙各射擊一次均擊中目標的概率；
(2)求甲射擊4次，恰有3次連續擊中目標的概率；
(3)若乙在射擊中出現連續2次未擊中目標就會被終止射擊，求乙恰好射擊4次后被終止射擊的概率.
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）由于兩人射擊是否擊中目標相互之間沒有影響，所以由相互獨立事件的概率公式求解即可；
（2）記事件表示“甲第次射擊擊中目標”，并記“甲射擊4次，恰有3次連續擊中目標”為事件C，則，且與是互斥事件，再由獨立事件和互斥事件的概率求解即可；
（3）記事件表示“乙第次射擊擊中目標”，事件D表示“乙在第4次射擊后被終止射擊”，則，且與是互斥事件，再利用由獨立事件和互斥事件的概率求解即可.
【詳解】（1）用事件A表示“甲擊中目標”，事件B表示“乙擊中目標”.
依題意知，事件A和事件B相互獨立，
因此甲、乙各射擊一次均擊中目標的概率為.
（2）用事件表示“甲第次射擊擊中目標”，并記“甲射擊4次，恰有3次連續擊中目標”為事件C，則，且與是互斥事件.
由于，，，之間相互獨立，
所以與（i，，且）之間也相互獨立.
由于，
所以，
故
.
所以甲射擊4次，恰有3次連續擊中目標的概率為.
（3）用事件表示“乙第次射擊擊中目標”，事件D表示“乙在第4次射擊后被終止射擊”，
則，且與是互斥事件.
由于，，，之間相互獨立，
所以與（i，，且）之間也相互獨立.
因為，
所以，
故
.
所以乙恰好射擊4次后被終止射擊的概率為.
3.（上海市進才中學2022-2023學年數學試題）甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊，三人擊中的概率分別為，，．飛機恰被一人擊中而擊落的概率為，恰被兩人擊中而擊落的概率為，若三人都擊中，飛機必定被擊落．
(1)求飛機恰被一人擊中的概率；
(2)求飛機被擊落的概率；
(3)已知飛機被擊落，求三人都擊中飛機的概率．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】(1)(2)根據獨立事件概率乘法公式可得;
(3)根據條件概率公式求解即可.
【詳解】（1）設“飛機被擊落”，“飛機被i人擊中”，，，，則，
依題意，，，．
由全概率公式，
為求，設“飛機被第i人擊中”，，，，
將數據代入計算得
（2）
于是
．
（3）．
題型七：雙盒子換球模式
雙盒子換球模式： 過去得是啥顏色球。 來的是啥顏色球 是同時換，還是A到B 先放再從B到A取 換了幾次，為啥結束
1.（2023·河南新鄉·統考三模）現有4個紅球和4個黃球，將其分配到甲、乙兩個盒子中，每個盒子中4個球．
(1)求甲盒子中有2個紅球和2個黃球的概率．
(2)已知甲盒子中有3個紅球和1個黃球，若同時從甲、乙兩個盒子中取出個球進行交換，記交換后甲盒子中的紅球個數為X，X的數學期望為．證明：．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據超幾何分布，即可求解；
（2）當時，X的取值可能是2，3，4；當時，X的取值可能是0，1，2，利用超幾何分布分布求出對應的概率，結合數學期望的公式分布計算即可求解.
【詳解】（1）由題可知，
甲盒子中有2個紅球和2個黃球的概率．
（2）當時，X的取值可能是2，3，4，
且，，，
則．
當時，X的取值可能是0，1，2，
且，，，
則．
故．
2.（23-24高三上·廣東湛江·階段練習）已知有甲，乙兩個不透明盒子，甲盒子裝有兩個紅球和一個綠球，乙盒子裝有三個綠球，這些球的大小，形狀，質地完全相同．在一次球交換的過程中，甲盒子與乙盒子中各隨機選擇一個球進行交換，重復次該過程，記甲盒中裝有的紅球個數為．
(1)求的概率分布列；
(2)求．
【答案】(1)分布列見解析(2)
【分析】（1）根據題意，得到的所有可能取值，利用相互獨立事件的概率公式，求得相應的概率，即可得到分布列；
（2）由題意得到的表達式，得出，進而得到，得到為等比數列，結合等比數列的通項公式，即可求解
【詳解】（1）解：由題意得，隨機變量的所有可能取值為0，1，2，
可得，，
，
或，
所以隨機變量的分布列為
0 1 2
（2）解：由題意，隨機變量的所有可能取值為0，1，2，
且
，
又由
，
由，
且
，
即，
故，即，即為等比數列，
且，
所以．
3.（2023·廣東茂名·二模）馬爾可夫鏈是因俄國數學家安德烈·馬爾可夫得名，其過程具備“無記憶”的性質，即第次狀態的概率分布只跟第次的狀態有關，與第次狀態是“沒有任何關系的”.現有甲、乙兩個盒子，盒子中都有大小、形狀、質地相同的2個紅球和1個黑球.從兩個盒子中各任取一個球交換，重復進行次操作后，記甲盒子中黑球個數為，甲盒中恰有1個黑球的概率為，恰有2個黑球的概率為.
(1)求的分布列；
(2)求數列的通項公式；
(3)求的期望.
【答案】(1)答案見解析(2)(3)1
【分析】（1）由題意分析的可能取值為0，1，2.分別求出概率，寫出分布列；（2）由全概率公式得到，判斷出數列為以為首項，以為公比的等比數列即可求解；（3）利用全概率公式求出求出，進而求出.
【詳解】（1）（1）由題可知，的可能取值為0，1，2.由相互獨立事件概率乘法公式可知：
;;，
故的分布列如下表：
0 1 2
（2）由全概率公式可知：
，
即：，所以，所以，又，
所以，數列為以為首項，以為公比的等比數列，
所以，即：.
（3）由全概率公式可得：
,即：,
又,所以,
所以,又,
所以,所以,所以,
所以.
題型八：取球模式
取球模式： 一次取幾個。 兩個以上球，是一次性取出還是一個一個取。 是否放回。 為啥停止取球，停止條件是什么
1.（23-24湖南長沙·階段練習）某商城進行促銷活動，購買某產品的顧客可以參加一次游戲：在一個不透明箱子中放入紅、藍、黃三種顏色的小球各1個，顧客從中有放回地取出小球，直到取出的小球集齊了三種顏色則停止取球．設顧客停止取球時，取過的小球次數為，
(1)求；
(2)設，數列，求的通項公式；
(3)顧客停止取球時，取過的小球次數為，顧客可以獲得對應的元獎金，其中，求證：．
【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析.
【分析】（1）利用前三次集齊顏色求概率即可；
（2）設第次首次取到紅球，則前次中每次都取到藍球或黃球中的一種，但不能全取藍球，也不能全取黃球列式求解；
（3）寫出期望表達式，再放縮，利用裂項相消求和即可證明
【詳解】（1）；
（2）不妨設第次首次取到紅球，則前次中每次都取到藍球或黃球中的一種，
但不能全取藍球，也不能全取黃球，
；
（3）易知
下面證明：
，顯然成立
故
設，其前n項和為，
則
故
2.（2024·遼寧大連·一模）一個不透明的盒子中有質地、大小均相同的7個小球，其中4個白球，3個黑球，現采取不放回的方式每次從盒中隨機抽取一個小球，當盒中只剩一種顏色時，停止取球．
(1)求停止取球時盒中恰好剩3個白球的概率；
(2)停止取球時，記總的抽取次數為，求的分布列與數學期望：
(3)現對方案進行調整：將這7個球分裝在甲乙兩個盒子中，甲盒裝3個小球，其中2個白球，1個黑球：乙盒裝4個小球，其中2個白球，2個黑球．采取不放回的方式先從甲盒中每次隨機抽取一個小球，當盒中只剩一種顏色時，用同樣的方式從乙盒中抽取，直到乙盒中所剩小球顏色和甲盒剩余小球顏色相同，或者乙盒小球全部取出后停止．記這種方案的總抽取次數為Y，求Y的數學期望，并從實際意義解釋X與Y的數學期望的大小關系．
【答案】(1)
(2)分布列見解析，
(3)，在將球分裝時，甲盒取完后直接取乙盒，此時甲盒中還有其它球，該球干擾作用已經消失，所以同樣是要剩余同一顏色，調整后的方案總抽取次數的期望更低．
【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求得概率；
（2）先確定的取值，再就每一個取值的意義結合古典概型的概率公式可求分布列，再利用公式可求期望.
（3）先確定的取值，再設甲盒、乙盒抽取次數分別為，根據題設得到三者之間的關系，再結合古典概型的概率公式可求分布.
【詳解】（1）設“停止取球時盒中恰好剩3個白球”為事件，
則；
（2）的可能取值為3，4，5，6，
，，，，
所以的分布列為
3 4 5 6
的數學期望；
（3）的可能取值為3，4，5，6，設甲盒、乙盒抽取次數分別為，
因為乙盒中兩種小球個數相同，所以無論甲盒剩余小球什么顏色，乙盒只需取完一種顏色即可，
，
，
，
，
的數學期望，
在將球分裝時，甲盒取完后直接取乙盒，此時甲盒中還有其它球，該球干擾作用已經消失，所以同樣是要剩余同一顏色，調整后的方案總抽取次數的期望更低．
3.（22-23山東煙臺·模擬）已知甲、乙兩個袋子中各裝有形狀、大小、質地完全相同的3個紅球和3個黑球，現設計如下試驗：從甲、乙兩個袋子中各隨機取出1個球，觀察兩球的顏色，若兩球顏色不同，則將兩球交換后放回袋子中，并繼續上述摸球過程；若兩球顏色相同，則停止取球，試驗結束．
(1)求第1次摸球取出的兩球顏色不同的概率；
(2)我們知道，當事件與相互獨立時，有．那么，當事件與不獨立時，如何表示積事件的概率呢？某數學小組通過研究性學習發現如下命題：，其中表示事件發生的條件下事件發生的概率，且對于古典概型中的事件，，有．依據上述發現，求“第2次摸球試驗即結束”的概率．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）設甲袋中的三個紅球為1，2，3，三個黑球為，，，乙袋中的三個紅球為4，5，6，三個黑球為，，，利用列舉法結合古典概型求解即可；
（2）設事件“第1次摸球取出的兩球顏色不同”，事件“第2次摸球取出的兩球顏色相同”，結合（1）分別求出，再根據題中所給公式計算即可.
【詳解】（1）設甲袋中的三個紅球為1，2，3，三個黑球為，，，
乙袋中的三個紅球為4，5，6，三個黑球為，，，
設第1次摸球對應的樣本空間為，則，
設事件“第1次摸球取出的兩球顏色不同”，則
事件
，
所以，
所以；
（2）設兩次摸球試驗的樣本空間為，則，
在樣本空間中，設事件“第1次摸球取出的兩球顏色不同”，
事件“第2次摸球取出的兩球顏色相同”，
由（1）知，第1次摸球取出的兩球顏色不同共有18個可能的結果，
且每個可能的結果對應的“第2次摸球中從甲、乙兩袋中各一個球”均有36種可能取法，
所以，
由（1）知，第1次摸球取出的兩球顏色不同共有18個可能的結果，
不妨設第1次摸球中甲取出1、乙取出（其余情況，同理可得），
則第1次摸球結束后，甲袋中紅球2個、黑球4個，乙袋中紅球4個、黑球2個，
在接下來的第2次摸球中，當甲、乙兩袋取出的球顏色相同時，
共有種取法，
故，
所以，
因此．
題型九：三人比賽模式
1.（2020·全國·高考真題（理））甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結束.經抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設每場比賽雙方獲勝的概率都為，
（1）求甲連勝四場的概率；
（2）求需要進行第五場比賽的概率；
（3）求丙最終獲勝的概率.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）根據獨立事件的概率乘法公式可求得事件“甲連勝四場”的概率；
（2）計算出四局以內結束比賽的概率，然后利用對立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
（3）列舉出甲贏的基本事件，結合獨立事件的概率乘法公式計算出甲贏的概率，由對稱性可知乙贏的概率和甲贏的概率相等，再利用對立事件的概率可求得丙贏的概率.
【詳解】（1）記事件甲連勝四場，則；
（2）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，
則四局內結束比賽的概率為
，
所以，需要進行第五場比賽的概率為；
（3）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，
記事件甲贏，記事件丙贏，
則甲贏的基本事件包括：、、、
、、、、，
所以，甲贏的概率為.
由對稱性可知，乙贏的概率和甲贏的概率相等，
所以丙贏的概率為.
2.（2022·黑龍江哈爾濱·高三開學考試）甲乙丙三人進行競技類比賽，每局比賽三人同時參加，有且只有一個人獲勝，約定有人勝兩局（不必連勝）則比賽結束，此人直接贏得比賽．假設每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，丙獲勝的概率為，各局比賽結果相互獨立．
(1)求甲在局以內（含局）贏得比賽的概率；
(2)記為比賽決出勝負時的總局數，求的分布列和均值（數學期望）．
【答案】(1)(2)分布列見解析，
【分析】（1）根據相互獨立事件與互斥事件的概率公式計算可得.
（2）依題意的可能取值為、、，求出所對應的概率，即可得到分布列與數學期望.
（1）
解：用表示“甲在局以內（含局）贏得比賽”，表示“第局甲獲勝”，表示“第局乙獲勝”， 表示“第局丙獲勝”，
則
.
（2）
解：依題意的可能取值為、、，
所以，
，
，
所以的分布列為
所以
3.（2022·浙江省杭州學軍中學開學考試）甲、乙、丙、丁四名選手進行羽毛球單打比賽．比賽采用單循環賽制，即任意兩位參賽選手之間均進行一場比賽．每場比賽實行三局兩勝制，即最先獲取兩局的選手獲得勝利，本場比賽隨即結束．假定每場比賽、每局比賽結果互不影響．
(1)若甲、乙比賽時，甲每局獲勝的概率為，求甲獲得本場比賽勝利的概率；
(2)若甲與乙、丙、丁每場比賽獲勝的概率分別為，，，試確定甲第二場比賽的對手，使得甲在三場比賽中恰好連勝兩場的概率最大．
【答案】(1)(2)丁
【分析】（1）分第一局第二局，第一局第三局，第二局第三局獲勝求解；
（2）分甲在第二場甲勝乙，甲勝丙，甲勝丁求解.
(1)
解：設甲在第i局獲勝為事件，事件“甲獲得本場比賽勝利”，
則，
所以．
(2)
若甲在第二場與乙比賽，則甲勝乙，且在甲丙、甲與丁的比賽中，甲只勝一場．
此時，甲恰好連勝兩場的概率；
若甲在第二場與丙比賽，則甲勝丙，且在甲與乙、甲與丁的比賽中，甲只勝一場．
此時，甲恰好連勝兩場的概率；
若甲在第二場與丁比賽，則甲勝丁，且在甲與乙、甲與丙的比賽中，甲只勝一場．
此時，甲恰好連勝兩場的概率．
因為，所以，甲在第二場與丁比賽時，甲恰好連勝兩場的概率最大．
題型十：馬爾科夫鏈基礎型
馬爾可夫鏈： 若，即未來狀態只受當前狀態的影響，與之前的無關.
1.（23-24高三上·山東威?！て谀┘?、乙、丙人做傳球練習，球首先由甲傳出，每個人得到球后都等可能地傳給其余人之一，設表示經過次傳遞后球傳到乙手中的概率.
(1)求，；
(2)證明：是等比數列，并求；
(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第次到第次傳球）中球傳到乙手中的次數為，求．
【答案】(1)，(2)證明見解析，(3)
【分析】（1）分析已知計算即可得出結果；
（2）記表示事件“經過次傳遞后球傳到乙手中”，若發生，則一定不發生，則，變形可得，即數列是以為首項，為公比的等比數列，結合等比數列的通項公式求解即可；
（3）結合第（2）問結論和題設條件，運用等比數列求和公式分組求和即可求解.
【詳解】（1）因為表示經過次傳遞后球傳到乙手中的概率，
所以，第一次傳到乙手中的概率為：，
第二次傳到乙手中的概率為：.
（2）記表示事件“經過次傳遞后球傳到乙手中”，
若發生，則一定不發生，
所以，即，
即，又，
所以數列是以為首項，為公比的等比數列，
所以，即.
（3）由題意，次傳球后球在乙手中的次數，服從兩點分布，且,所以
由（2）可知，，
則.
2.（23-24高三上·江蘇南京·階段練習）籃球是一項風靡世界的運動，是深受大眾喜歡的一項運動．
喜愛籃球運動 不喜愛籃球運動 合計
男性 60 40 100
女性 20 80 100
合計 80 120 200
(1)為了解喜愛籃球運動是否與性別有關，隨機抽取了男性和女性各100名觀眾進行調查，得到如上列聯表，判斷是否有99.9%的把握認為喜愛籃球運動與性別有關．
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
附：，．
(2)?；@球隊中的甲、乙、丙三名球員將進行傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能的將球傳給另外兩個人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到．記開始傳球的人為第1次觸球者，第次觸球者是甲的概率記為，即．
①求（直接寫出結果即可）；
②證明：數列為等比數列，并比較第9次與第10次觸球者是甲的概率的大?。?br/>【答案】(1)有99.9%的把握認為喜愛籃球運動與性別有關．
(2)①；②證明見解析，第9次觸球者是甲的概率大．
【分析】（1）根據題意，由的計算公式，代入計算，即可判斷；
（2）根據題意，由等比數列的定義即可得到數列為等比數列，然后代入計算，即可得到結果.
【詳解】（1）假設：喜愛籃球運動與性別獨立，即喜愛籃球運動與性別無關．
根據列聯表數據，經計算得，
根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，
即有99.9%的把握認為喜愛籃球運動與性別有關．
（2）①由題意得：第二次觸球者為乙，丙中的一個，第二次觸球者傳給包括甲的二人中的一人，
故傳給甲的概率為，故．
②第次觸球者是甲的概率記為，則當時，第次觸球者是甲的概率為，
第次觸球者不是甲的概率為，則，
從而，又，
∴是以為首項，公比為的等比數列，∴，
∴，，
故第9次觸球者是甲的概率大．
3.（2023·云南昆明·模擬預測）從甲、乙、丙、丁、戊5人中隨機地抽取三個人去做傳球訓練.訓練規則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，每次必須將球傳出.
(1)記甲、乙、丙三人中被抽到的人數為隨機變量，求的分布列和數學期望；
(2)若剛好抽到甲、乙、丙三個人相互做傳球訓練，且第1次由甲將球傳出，記次傳球后球在甲手中的概率為.
①直接寫出，，的值；
②求與的關系式，并求出.
【答案】(1)分布列見解析，數學期望為
(2)①，，；②，
【分析】1）由離散型隨機變量的分布列可解；
（2）記表示事件“經過次傳球后，球在甲手中”，由全概率公式可求，再由數列知識，由遞推公式求得通項公式.
【詳解】（1）的所有可能取值為1，2，3.則
；；.
所以隨機變量的分布列為：
1 2 3
數學期望.
（2）若剛好抽到甲、乙、丙三個人相互做傳球訓練，且次傳球后球在甲手中的概率為.
則有.
記表示事件“經過次傳球后，球在甲手中”.
所以
.
即.
所以，且.
所以數列表示以為首項，為公比的等比數列.
所以，.
即次傳球后球在甲手中的概率是.
題型十一：馬爾科夫鏈綜合
馬爾科夫不等式 設為一個非負隨機變量，其數學期望為，則對任意，均有， 馬爾科夫不等式給出了隨機變量取值不小于某正數的概率上界，闡釋了隨機變量尾部取值概率與其數學期望間的關系． 證明：當為非負離散型隨機變量時，馬爾科夫不等式的證明如下： 設的分布列為其中，則對任意，，其中符號表示對所有滿足的指標所對應的求和．
1.甲 乙 丙三人進行傳球游戲，每次投擲一枚質地均勻的正方體骰子決定傳球的方式：當球在甲手中時，若骰子點數大于3，則甲將球傳給乙，若點數不大于3，則甲將球保留；當球在乙手中時，若骰子點數大于4，則乙將球傳給甲，若點數不大于4，則乙將球傳給丙；當球在丙手中時，若骰子點數大于3，則丙將球傳給甲，若骰子點數不大于3，則丙將球傳給乙．初始時，球在甲手中．
（1）設前三次投擲骰子后，球在甲手中的次數為，求隨機變量的分布列和數學期望；
（2）投擲次骰子后，記球在乙手中的概率為，求數列的通項公式；
（3）設，求證：．
【答案】（1）分布列見解析；期望為
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據傳球游戲的規則，可得，再根據獨立事件概率公式，求解概率，再結合分布列公式，即可求數學期望；
（2）首先題意，可得關于數列的遞推公式，，再通過構造求數列的通項公式；
（3）首先根據（2）的結果，求，并利用放縮法證明不等式.
【小問1詳解】
由題意知，．
所以隨機變量的分布列為
0 1 2 3
隨機變量的數學期望為.
【小問2詳解】
由于投擲次骰子后球不在乙手中的概率為，此時無論球在甲手中還是球在丙手中，均有的概率傳給乙，故有．
變形為．
又，所以數列是首項為，公比為的等比數列．
所以．
所以數列的通項公式．
【小問3詳解】
由（2）可得，
則，
所以．
又因為，
所以．
綜上，．
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是找到關于數列的遞推公式，從而可以利用數列的知識解決問題，第三問的關鍵是對通項合理的放縮，從而可以求和，證明不等式.
2.乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．
3.（1）求第2次投籃的人是乙的概率；
（2）求第次投籃的人是甲的概率；
（3）已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數為，求．
【解析】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，
所以，.
（2）設，依題可知，，則
，
即，
構造等比數列，
設，解得，則，
又，所以是首項為，公比為的等比數列，
即．
（3）因為，，
所以當時，，
故．
3.（2024屆·武漢高三開學考）有編號為1，2，3，...，18，19，20的20個箱子，第一個箱子有2個黃球1個綠球，其余箱子均為2個黃球2個綠球，現從第一個箱子中取出一個球放入第二個箱子，再從第二個箱子中取出一個球放入第三個箱子，以此類推，最后從第19個箱子取出一個球放入第20個箱子，記為從第個箱子中取出黃球的概率.
(1)求；(2)求.
【答案】(1)，；(2)
【分析】（1）分第一次取出黃球和綠球兩種情況，再由互斥事件概率加法公式計算可得答案；
（2）由題意可得，可得答案.
【詳解】（1）從第二個箱子取出黃球的概率，
從第三個箱子取出黃球的概率；
（2）由題意可知，，
即，又，
.
題型十二：馬爾科夫鏈：機器人一維游走模型
一維隨機游走模型： 設數軸上一個點，它的位置只能位于整點處，在時刻時，位于點，下一個時刻，它將以概率或者（）向左或者向右平移一個單位.若記狀態表示：在時刻該點位于位置，那么由全概率公式可得： 另一方面，由于，代入上式可得： . 進一步，我們假設在與處各有一個吸收壁，當點到達吸收壁時被吸收，不再游走.于是，.隨機游走模型是一個典型的馬爾科夫過程. 進一步，若點在某個位置后有三種情況：向左平移一個單位，其概率為，原地不動，其概率為，向右平移一個單位，其概率為，那么根據全概率公式可得：
1.（湖南省長沙市瀏陽市第一中學2022-2023學年高三上學期第六次月考數學（理)試題）商品種類齊全、性價比高等優勢而深受廣大消費者認可.某網購公司統計了近五年在本公司網購的人數，得到如下的相關數據(其中“x=1”表示2015年，“x=2”表示2016年，依次類推；y表示人數)：
x 1 2 3 4 5
y(萬人) 20 50 100 150 180
（1）試根據表中的數據，求出y關于x的線性回歸方程，并預測到哪一年該公司的網購人數能超過300萬人；
（2）該公司為了吸引網購者，特別推出“玩網絡游戲，送免費購物券”活動，網購者可根據拋擲骰子的結果，操控微型遙控車在方格圖上行進. 若遙控車最終停在“勝利大本營”，則網購者可獲得免費購物券500元；若遙控車最終停在“失敗大本營”，則網購者可獲得免費購物券200元. 已知骰子出現奇數與偶數的概率都是，方格圖上標有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遙控車開始在第0格，網購者每拋擲一次骰子，遙控車向前移動一次.若擲出奇數，遙控車向前移動一格（從到）若擲出偶數遙控車向前移動兩格（從到），直到遙控車移到第19格勝利大本營）或第20格（失敗大本營）時，游戲結束。設遙控車移到第格的概率為，試證明是等比數列，并求網購者參與游戲一次獲得免費購物券金額的期望值.
附：在線性回歸方程中，.
【答案】（1），預計到2022年該公司的網購人數能超過300萬人；（2）約400元.
【解析】
【分析】
（1）依題意，先求出，代入公式即可得到，，可得回歸方程為，令，．所以預計到2022年該公司的網購人數能超過300萬；
（2）遙控車移到第（）格的情況是下列兩種，而且也只有兩種.
①遙控車先到第格，又擲出偶數，其概率為
②遙控車先到第格，又擲出奇數，其概率為所以，即可證得是等比數列，
利用累加法求出數列的通項公式，即可求得失敗和獲勝的概率，從而計算出期望.
【詳解】
解：（1）
故 從而
所以所求線性回歸方程為，令，解得.
故預計到2022年該公司的網購人數能超過300萬人
（2）遙控車開始在第0格為必然事件，，第一次擲骰子出現奇數，遙控車移到第一格，其概率為,即.遙控車移到第（）格的情況是下列兩種，而且也只有兩種.
①遙控車先到第格，又擲出奇數，其概率為
②遙控車先到第格，又擲出偶數，其概率為所以，
當時，數列是公比為的等比數列
以上各式相加，得
（）， 獲勝的概率
失敗的概率設參與游戲一次的顧客獲得優惠券金額為元，或
X的期望
參與游戲一次的顧客獲得優惠券金額的期望值為，約400元.
2.（江蘇省蘇州市2022-2023學年高三下學期2月學業質量調研數學試題）設數軸上有一只兔子，從坐標開始，每秒以的概率向正方向跳一個單位，以的概率向反方向跳一個單位，記兔子第n秒時的位置為．
(1)證明：；
(2)記是表達式的最大值，證明：．
【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析
【分析】(1)若n次跳動中一共向右跳了k次，則．得到，若n次跳動中一共向左跳了k次，則．得到，再利用，討論或即可得證；
(2)先計算，再利用，，進行放縮可以得證.
【詳解】（1）若n次跳動中一共向右跳了k次，則．
因此，，1，2，…，n．
若n次跳動中一共向左跳了k次，則．
故，，1，2，…，n．
于是，
當時，；
當時，．
故，
即．
（2）
因此．
【點睛】關鍵點點睛：
第一問中借助，
從而討論或即可得證；
第二問中借助，，多次放縮才得證.
3.（江西省景德鎮一中2021-2022學年考數學試題）某校為了解該校學生“停課不停學”的網絡學習效率，隨機抽查了高一年級100位學生的某次數學成績（單位：分），得到如下所示的頻率分布直方圖：
(1)估計這100位學生的數學成績的平均值；（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）
(2)根據整個年級的數學成績可以認為學生的數學成績近似地服從正態分布，經計算，（1）中樣本的標準差s的近似值為10，用樣本平均數作為的近似值，用樣本標準差s作為的估計值，現任抽取一位學生，求他的數學成績恰在64分到94分之間的概率；（若隨機變量，則，，)
(3)該年級1班的數學老師為了能每天督促學生的網絡學習，提高學生每天的作業質量及學習數學的積極性，特意在微信上設計了一個每日作業小程序，每當學生提交的作業獲得優秀時，就有機會參與一次小程序中”玩游戲，得獎勵積分”的活動，開學后可根據獲得積分的多少向老師領取相應的小獎品.小程序頁面上有一列方格，共15格，剛開始有只小兔子在第1格，每點一下游戲的開始按鈕，小兔子就沿著方格跳一下，每次跳1格或跳2格，概率均為，依次點擊游戲的開始按鈕，直到小兔子跳到第14格（獎勵0分）或第15格（獎勵5分）時，游戲結束，每天的積分自動累加，設小兔子跳到第格的概率為，試證明是等比數列，并求（獲勝的概率）的值.
【答案】(1)(2)(3)證明見解析，
【分析】（1）根據頻率分布直方圖直接結算即可；
（2）由可知，根據參考數據，即可得出的概率；
（3）根據分類加法計數原理可知，構造等比數列可得，利用累加法求出，即可求解.
（1）
（2）由，所以，
.
（3）小兔子開始在第1格，為必然事件，，
點一下開始按鈕，小兔子跳1格即移到第2格的概率為，即，
小兔子移到第格的情況是下列兩種，而且也只有兩種情況.
①小兔子先跳到第格，又點一下開始按鈕跳了2格，其概率為；
②小兔了先跳到第格，乂點一下開始按鈕跳了1格，其概率為；
因為，所以.
所以當時，
數列是以為首項，以為公比的等比數列，
所以，
.所以獲勝的概率.
題型十三：求導型分布列
1.（22-23高三全國·單元測試）冠狀病毒是一個大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征（）和嚴重急性呼吸綜合征（）等較嚴重疾病.而今年出現在湖北武漢的新型冠狀病毒（）是以前從未在人體中發現的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等.在較嚴重病例中，感染可導致肺炎、嚴重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡.某醫院為篩查冠狀病毒，需要檢驗血液是否為陽性，現有n（）份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：方式一：逐份檢驗，則需要檢驗n次.方式二：混合檢驗，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗.若檢驗結果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了，如果檢驗結果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數總共為.假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結果的概率為p（）.現取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為.
（1）若，試求p關于k的函數關系式；
（2）若p與干擾素計量相關，其中（）是不同的正實數，滿足且（）都有成立.
（i）求證：數列等比數列；
（ii）當時，采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數的期望值比逐份檢驗的總次數的期望值更少，求k的最大值
【答案】（1），（，且）；（2）（i）證明見解析；（ii）4.
【分析】（1）由已知，，；的所有可能取值為1，，，根據解得即可得解；
（2）（i）由已知可得，，得，可猜想，再用數學歸納法證明，再根據等比數列的定義可證結論；
（ii）求出，根據得到，再構造函數（），利用導數可求得結果.
【詳解】（1）由已知，，，得，
的所有可能取值為1，，
∴，.
∴.
若，則，
所以，∴，
∴.
∴p關于k的函數關系式為，（，且）.
（2）（i）∵證明：當時，，∴，所以，
令，則，
∵，∴下面證明對任意的正整數n，.
①當，2時，顯然成立；
②假設對任意的時，，下面證明時，；
由題意，得，
∴，
∴，，
∴，
所以.
∴或（負值舍去）.
∴成立.
∴由①②可知，對任意的正整數n，，
所以，所以為等比數列.
（ii）解：由（i）知，，，
∴，得，∴.
設（），，
∴當時，，則在上單調遞減；
又，，所以，
，，所以，
，，∴；
，.∴.
∴k的最大值為4.
2.（2023·江西宜春·模擬預測）超級細菌是一種耐藥性細菌，產生超級細菌的主要原因是用于抵抗細菌侵蝕的藥物越來越多，但是由于濫用抗生素的現象不斷的發生，很多致病菌也對相應的抗生素產生了耐藥性，更可怕的是，抗生素藥物對它起不到什么作用，病人會因為感染而引起可怕的炎癥，高燒，痙攣，昏迷甚至死亡.某藥物研究所為篩查某種超級細菌，需要檢驗血液是否為陽性，現有n（）份血液樣本，每個樣本取到的可能性相等，有以下兩種檢驗方式：（1）逐份檢驗，則需要檢驗n次；（2）混合檢驗，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗，若檢驗結果為陰性，則這份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了；如果檢驗結果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份血液再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數總共為次.假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結果的概率為p（）.現取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為.
（1）運用概率統計的知識，若，試求P關于k的函數關系式；
（2）若P與抗生素計量相關，其中，，…，（）是不同的正實數，滿足，對任意的（），都有.
（i）證明：為等比數列；
（ii）當時，采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數期望值比逐份檢驗的總次數期望值更少，求k的最大值.
參考數據：，，，，，
，，，
【答案】（1）（且）；（2）（i）證明見解析；（ii）8.
【分析】（1）根據檢驗方式可知，的取值只為，易求得，而的可能取值為，再分別求出對應概率即可得到，列出等式即可解出；
（2）（i）先根據關系式賦值，，歸納猜出，再根據數學歸納法證明即可；
（ii）依題可知，，解不等式， ，構造函數（），由其單調性即可求出的最大值．
【詳解】（1）當進行逐份檢驗時，；
當進行混合檢驗時，，
則
∵，∴
則，即（且）.
（2）（i）當時，有
則猜想：
下面用數學歸納法進行證明：
①當時，滿足
②假設當時，
則當時，
設（且），則
∴
∴
∴
整理可得：
∴或（舍去）
由①②可得：對一切都成立.
即為等比數列.
（ii）依題可知：
由（1）可知：
∴
令（），則
所以在上單調遞增，在上單調遞減
∵，
則k的最大值為8.
3.．（22-23高三上·河南·階段練習）超級細菌是一種耐藥性細菌，產生超級細菌的主要原因是用于抵抗細菌侵蝕的藥物越來越多，但是由于濫用抗生素的現象不斷的發生，很多致病菌也對相應的抗生素產生了耐藥性，更可怕的是，抗生素藥物對它起不到什么作用，病人會因為感染而引起可怕的炎癥，高燒，痙攣，昏迷，甚至死亡.
某藥物研究所為篩查某種超級細菌，需要檢驗血液是否為陽性，現有份血液樣本，每個樣本取到的可能性相等，有以下兩種檢驗方式：（1）逐份檢驗，則需要檢驗次；（2）混合檢驗，將其中（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗，若檢驗結果為陰性，則這份的血液全為陰性，因而這份血液樣本只要檢驗一次就夠了；如果檢驗結果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數總共為次.假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結果的概率為
現取其中（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為
（1）運用概率統計的知識，若，試求關于的函數關系式；
（2）若與抗生素計量相關，其中是不同的正實數，滿足，對任意的，都有
（i）證明：為等比數列；
（ii）當時，采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數的期望值比逐份檢驗的總次數期望值更少，求的最大值.
參考數據：，，，，，
【答案】（1），（，且）；（2）（i）見解析，（ii）4
【分析】（1）易知若取份血液樣本則；的所有可能取值為1，，根據概率公式可表示出.結合，化簡即可關于的函數關系式；
（2）（i）根據當時成立，則由數學歸納法即可證明為等比數列.（ii）根據（i）可得，，化簡可得，構造函數，求得導函數，可通過的符號判斷函數單調性，結合參考數據，即可求得的最大值.
【詳解】（1）由已知得；的所有可能取值為1，，
，
.
.
若，
則，，
，
.
關于k的函數關系式為，（，且）.
（2）（i）證明：當時，，
，令，則，
，下面證明對任意的正整數n，.
①當，2時，顯然成立；
②假設對任意的時，，下面證明時，：
由題意，得，，
，，
，
.
或（負值舍去）.
成立.
由①②可知，為等比數列，.
（ii）由（i）知，，，
，得，
.
設，，
當時，，即在上單調減.
又，，
；，，
.
的最大值為4.
題型十四：分布列第19題壓軸型題
1.（23-24高三上·四川成都·開學考試）在三維空間中，立方體的坐標可用三維坐標表示，其中．而在n維空間中，以單位長度為邊長的“立方體”的頂點坐標可表示為n維坐標，其中．現有如下定義：在n維空間中兩點間的曼哈頓距離為兩點與坐標差的絕對值之和，即為．回答下列問題：
(1)求出n維“立方體”的頂點數；
(2)在n維“立方體”中任取兩個不同頂點，記隨機變量X為所取兩點間的曼哈頓距離
①求出X的分布列與期望；
②證明：在n足夠大時，隨機變量X的方差小于．
（已知對于正態分布，P隨X變化關系可表示為）
【答案】(1)
(2)①分布列見解析，；②證明見解析
【分析】（1）根據乘法原理，即可確定頂點個數；（2）①首先確定，再結合組合數公式求概率，即可求解分布列和數學期望；②由①可知，n足夠大時，，可得正態分布，正態分布曲線為，并設題中分布列所形成的曲線為，則當與均在處取最大值，說明當時，
且，則可認為方差．
【詳解】（1）對于n維坐標有兩種選擇（）．
故共有種選擇，即個頂點
（2）①對于的隨機變量，在坐標與中有k個坐標值不同，
即，剩下個坐標值滿足．
此時所對應情況數為種．
即
故分布列為：
0 1 2 …
…
數學期望
倒序相加得
即．
②當n足夠大時，．
設正態分布，正態分布曲線為，
由定義知該正態分布期望為，方差為．
設題中分布列所形成的曲線為．
則當與均在處取最大值，若當時，
且，則可認為方差．
I．：當時，有
即．
II．
當n足夠大時，有
當時，
當時，
故．
綜上所述，可以認為．
2.（22-23高三·福建福州·模擬）某疫苗生產單位通過驗血的方式檢驗某種疫苗產生抗體情況，現有份血液樣本（數量足夠大），有以下兩種檢驗方式：
方式一：逐份檢驗，需要檢驗n次；
方式二：混合檢驗，將其中k（且）份血液樣本混合檢驗，若混合血樣無抗體，說明這k份血液樣本全無抗體，只需檢驗1次；若混合血樣有抗體，為了明確具體哪份血液樣本有抗體，需要對每份血液樣本再分別化驗一次，檢驗總次數為次．
假設每份樣本的檢驗結果相互獨立，每份樣本有抗體的概率均為．
(1)現有7份不同的血液樣本，其中只有3份血液樣本有抗體，采用逐份檢驗方式，求恰好經過4次檢驗就能把有抗體的血液樣本全部檢驗出來的概率；
(2)現取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為；采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為．
①若，求P關于k的函數關系式；
②已知，以檢驗總次數的期望為依據，討論采用何種檢驗方式更好？
參考數據：．
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）分為兩種情況，一種是前三次檢驗中，其中兩次檢驗出抗體，第四次檢驗出抗體，二是前四次均無抗體，再結合概率公式即可求解；
（2）①由已知得，的所有可能取值為1，，求出相應的概率，再由可求得P關于k的函數關系式；②由得（且），構造函數，利用導數求解其單調區間，討論可得結果.
【詳解】（1）設恰好經過4次檢驗就能把有抗體的血液樣本全部檢驗出來為事件，
事件分為兩種情況，一種是前三次檢驗中，其中兩次檢驗出抗體，第四次檢驗出抗體，二是前四次均無抗體，
所以，
所以恰好經過4次檢驗就能把有抗體的血液樣本全部檢驗出來的概率為，
（2）①由已知得，的所有可能取值為1，，
所以， ，
所以，
若，則，
所以，，
所以，得，
所以P關于k的函數關系式（且）
②由①知，，
若，則，所以，得，
所以（且）
令，則，
當時，，當時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
因為，，
，
所以不等式的解是且，
所以且時，，采用方案二混合檢驗方式好，
且時，，采用方案一逐份檢驗方式好，
3.（2024·黑龍江·二模）一座小橋自左向右全長100米，橋頭到橋尾對應數軸上的坐標為0至100，橋上有若干士兵，一陣爆炸聲后士兵們發生混亂，每個士兵爬起來后都有一個初始方向（向左或向右），所有士兵的速度都為1米每秒，中途不會主動改變方向，但小橋十分狹窄，只能容納1人通過，假如兩個士兵面對面相遇，他們無法繞過對方，此時士兵則分別轉身后繼續前進（不計轉身時間）.
(1)在坐標為10，40，80處各有一個士兵，計算初始方向不同的所有情況中，3個士兵全部離開橋面的最長時間（提示：兩個士兵面對面相遇并轉身等價于兩個士兵互相穿過且編號互換）；
(2)在坐標為10、20、30、……、90處各有一個士兵，初始方向向右的概率為，設最后一個士兵離開獨木橋的時間為秒，求的分布列和期望；
(3)若初始狀態共個士兵，初始方向向右的概率為，計算自左向右的第個士兵（命名為指揮官）從他的初始方向離開小橋的概率，以及當取得最大值時取值．
【答案】(1)90秒
(2)分布列見解析；期望秒
(3)，當取得最大值時的取值為1
【分析】（1）先優化假設，將士兵相遇時的轉身改為互相穿過，然后計算單個士兵可能走的最遠路程，再求得時間；
（2）列出T的所有可能取值并計算概率，然后列出分布列，根據期望公式計算；
（3）先優化假設，假設指揮官以外的士兵之間不會碰撞，并且初始背對指揮官的士兵一開始就直接消失，而初始面對指揮官的士兵在與指揮官相撞后也會消失；然后將問題轉化為二項分布相關的問題，求出概率；再研究的單調性即可得出最大時的取值.
【詳解】（1）由于兩個士兵面對面相遇并轉身等價于兩個士兵互相穿過且編號互換，所以在最長時間下，坐標為10處的士兵必須向右，最長時間為秒，
所以3個士兵全部離開橋面的最長時間為90秒.
（2）T的可能取值為50，60，70，80，90，
，
所以T的分布列
T 50 60 70 80 90
P
期望秒
（3）本小問的解答將分為4步進行. 第1步我們將把問題優化假設為以下情況：初始背對指揮官的士兵在一開始就消失，而初始面對指揮官的士兵在和指揮官相撞時也會消失；第2步我們將說明，在此種假設下，指揮官從初始面對的方向離開的充要條件是，初始狀態下他前方的士兵中面對他的士兵數量，不超過初始狀態下他后方的士兵中面對他的士兵數量；第3步我們利用服從二項分布，求出；第4步我們說明是遞減數列，從而當取到最大值時，.
第1步：
根據題意，我們知道指揮官左邊有個士兵，右邊有個士兵.
由于兩個士兵面對面相遇并轉身等價于兩個士兵互相穿過且編號互換，但我們只需要研究指揮官離開橋面的方式，無需考慮其它士兵的編號，所以我們不妨設除指揮官外的士兵兩兩之間不會碰撞，而是相遇后互相穿過對方. 不過，我們依然要考慮指揮官和士兵之間的碰撞.
在作出了除指揮官外的士兵兩兩之間不會碰撞的假設下，我們又有以下結論：
①在指揮官左（右）邊的，初始方向朝左（右）的士兵（也就是初始時背對指揮官的士兵）永遠不會和指揮官相撞，因為這樣的士兵和指揮官都在橋上時，他們之間的距離永遠不會減少；
②士兵一旦和指揮官相撞一次，就不會再次相撞，因為和指揮官相撞后的士兵將進入背對指揮官的狀態，如①中所述，他們不可能再次相撞.
從而，我們還可以不妨假設：
①在指揮官左（右）邊的，初始方向朝左（右）的士兵（也就是初始時背對指揮官的士兵）在開始的一瞬間就消失；
②而剩下的那些士兵（也就是初始面對指揮官的士兵）一旦和指揮官相撞，就會在相撞的瞬間消失（從而他們消失之前，始終面對指揮官）.
第2步：
設表示指揮官初始面向的那些士兵中，一開始面向指揮官的士兵數量；表示指揮官初始背對的那些士兵中，一開始面向指揮官的士兵數量.
根據之前的假設，一開始背對指揮官的士兵會直接消失，因此初始狀態下，指揮官前方有個士兵，且都面朝指揮官；指揮官后方有個士兵，且也都面朝指揮官.
然后，我們考慮指揮官開始移動后發生的事情.
指揮官會先和他前面的一個士兵碰撞，然后轉向，和他相撞的士兵隨即消失，此時指揮官初始朝向和初始背向的士兵數量分別是和.
然后指揮官又會先和他前面（也就是初始背對）的一個士兵發生碰撞，然后轉向，和他相撞的士兵隨即消失，此時指揮官初始朝向和初始背向的士兵數量分別是和；
以此類推……直至某一刻，指揮官行進的方向上沒有士兵，這時指揮官會從行進的方向離開橋.
這表明，為判斷指揮官最終離開橋的方向，我們只需要輪流給和減1，直至這兩個數中的某一個數達到0，在試圖減1時無法再減少. 若最終無法再減少，則指揮官會從初始面向的方向離開橋；若最終無法再減少，則指揮官會從初始面向的方向離開橋.
所以，指揮官從他的初始方向離開橋，當且僅當.
第3步：
由于每個士兵的初始方向是獨立的，且一開始面朝指揮官和背對指揮官各自的概率都是，所以一方面我們知道和獨立，且都服從二項分布；另一方面我們知道除指揮官外的一切士兵中，初始面對指揮官的士兵數量同樣服從二項分布.
故
.
.
至此，我們得到了.
第4步：
最后我們考慮什么時候取到最大.
由于，故，這表明.
所以是遞減數列，從而當取到最大值時，.
綜合上述論證，所求概率；而當取到最大值時，.培優沖刺08概率與分布列歸類
目錄
題型一：正態分布含參型 1
題型二：二項分布型求參 2
題型三：二項分布與正態分布綜合 3
題型四：圖標型分布列基礎 4
題型五：比賽模式 5
題型六：射擊模型 5
題型七：雙盒子換球模式 6
題型八：取球模式 7
題型九：三人比賽模式 7
題型十：馬爾科夫鏈基礎型 8
題型十一：馬爾科夫鏈綜合 9
題型十二：馬爾科夫鏈：機器人一維游走模型 10
題型十三：求導型分布列 12
題型十四：分布列第19題壓軸型題 13
題型一：正態分布含參型
正態分布概念與性質： （1）若是正態隨機變量，其概率密度曲線的函數表達式為 ， （其中是參數，且，）。 其圖像如圖13-7所示，有以下性質： ①曲線在軸上方，并且關于直線對稱； ②曲線在處處于最高點，并且此處向左右兩邊延伸時，逐漸降低，呈現“中間高，兩邊低”的形狀； ③曲線的形狀由確定，越大，曲線越“矮胖”，越小，曲線越“高瘦”； ④圖像與軸之間的面積為1. （2）= ，= ，記作 . 當時， 服從標準正態分布，記作 . （3） ，則在， ，上取值的概率分別為68.3%，95.4%，99.7%，這叫做正態分布的原則。
1.（22-23高三上·江蘇南京·）已知隨機變量且，則 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
2.（2022·江蘇常州·模擬預測）已知隨機變量服從正態分布，若函數是偶函數，則實數（ ）
A．0 B． C．1 D．2
3.（22-23高三下·重慶沙坪壩·階段練習）隨機變量服從正態分布，且，則（ ）
A． B．1 C． D．3
4.（2024高三·全國·專題練習）設X~N(1，σ2)，其正態分布密度曲線如圖所示，且P(X≥3)=0.022 8，那么向正方形OABC中隨機投擲20 000個點，則落入陰影部分的點的個數的估計值為（ ）
[附:隨機變量ξ服從正態分布N(1，σ2)，則P(μ-σ<ξ<μ+σ)=0.682 6，P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.954 4]
A．12 076 B．13 174
C．14 056 D．7 539
題型二：二項分布型求參
二項分布： 若在一次實驗中事件發生的概率為，則在次獨立重復實驗中恰好發生次概率 ，稱服從參數為的二項分布，記作 ，=.
1.（陜西省延安市寶塔區第四中學2022-2023學年數學試題）在n次獨立重復試驗（伯努利試驗）中，若每次試驗中事件A發生的概率為p，則事件A發生的次數X服從二項分布，事實上，在伯努利試驗中，另一個隨機變量的實際應用也很廣泛，即事件A首次發生時試驗進行的次數Y，顯然，，2，3，…，我們稱Y服從“幾何分布”，經計算得．據此，若隨機變量X服從二項分布時，且相應的“幾何分布”的數學期望，則n的最小值為（ ）
A．6 B．18 C．36 D．37
2.（福建省廈門外國語學校2022-2023學年模擬數學試題（1）已知隨機變量X服從二項分布，且，，則（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
3.（山西省呂梁市柳林縣部分學校2022-2023學年數學試題）設隨機變量服從二項分布，若，，則實數的值為__________.
題型三：二項分布與正態分布綜合
離散型隨機變量分布列、期望、方差及其性質 （1）離散型隨機變量的分布列 …
① ; ② . （2）表示的期望：，反應隨機變量的平均水平，若隨機變量滿足，則. （3）表示的方差：，反映隨機變量取值的波動性。越小表明隨機變量越穩定，反之越不穩定。若隨機變量滿足，則。
1.（2024·天津南開·一模）已知隨機變量，且，則（ ）
A． B． C． D．
2.（22-23高三廣西河池·）已知隨機變量，且，又，則實數的值為（ ）
A．0或2 B．2 C．-2或2 D．-2
3.（22-23湖南常德·階段練習）已知兩個隨機變量，，其中，，若，，則（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
4.（22-23山西呂梁·模擬）已知隨機變量，且，又，則實數的值為（ ）
A． 或4 B． C．4或1 D．5
題型四：圖標型分布列基礎
求離散型隨機變量的分布列及期望的一般步驟： （1）根據題中條件確定隨機變量的可能取值； （2）求出隨機變量所有可能取值對應的概率，即可得出分布列； （3）根據期望的概念，結合分布列，即可得出期望（在計算時，要注意隨機變量是否服從特殊的分布，如超幾何分布或二項分布等，可結合其對應的概率計算公式及期望計算公式，簡化計算）．
1.（遼寧省錦州市遼西育明高級中學2022-2023學年數學試題）為了弘揚中華優秀傳統文化，加強對學生的美育教育，某校開展了傳統藝術書畫知識趣味競賽活動.一共3題，答題規則如下，每隊2人，其中1人先答題，若回答正確得10分，若回答錯誤，則另一人可補答，補答正確也得10分，得分后此隊繼續按同樣方式答下一題；若2人都回答錯誤，則得0分且不進入下一題，答題結束.已知第一隊含有甲、乙兩名隊員，其中甲答對每道題目的概率為，乙答對每道題目的概率為，每道題都是甲先回答，且兩人每道題目是否回答正確相互獨立.甲乙兩人回答正確與否也互相獨立.
(1)求第一隊答對第1題的概率；
(2)記為第一隊獲得的總分，求隨機變量的分布列和數學期望.
2.（陜西省咸陽市武功縣2022-2023學年數學試題）某電視臺舉行沖關直播活動，該活動共有三關，只有一等獎和二等獎兩個獎項，參加活動的選手從第一關開始依次通關，只有通過本關才能沖下一關.已知第一關的通過率為0.7，第二關通過率為0.5，第三關的通過率為0.3，三關全部通過可以獲得一等獎（獎金為300元），通過前兩關就可以獲得二等獎（獎金為200元），如果獲得二等獎又獲得一等獎，則獎金可以累加為500元.假設選手是否通過每一關相互獨立，現有甲、乙兩位選手參加本次活動.
(1)求甲最后沒有得獎的概率；
(2)已知甲和乙都通過了第一關，求甲和乙最后所得獎金總和為700元的概率.
3.（貴州省貴陽市五校2023屆高三聯合考試（五）理科數學試題）某學校組織“消防”知識競賽，有A，B兩類題目．每位參加比賽的同學先在兩類題目中選擇一類并從中隨機抽取一道題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束．A類問題中的每個問題回答正確得40分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得60分，否則得0分已知小明能正確回答A類問題的概率為0.7，能正確回答B類問題的概率為0.5，且能正確回答問題的概率與回答次序無關
(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；
(2)為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由．
題型五：比賽模式
比賽模式思維點： 比賽幾局？ 2.“誰贏了”； 3.有沒有平局 4.贏了的必贏最后一局； 5.比賽為啥結束？ 6.有沒有“抽簽
1.（廣東省佛山市H7教育共同體2022-2023學年聯考數學試題）甲、乙兩隊進行籃球冠軍爭奪賽，比賽采取三局二勝制，甲隊每局取勝的概率為．甲隊有一名核心球員，如果核心球員在比賽中受傷，將不能參加后續比賽，甲隊每局取勝的概率降為，若核心球員在每局比賽受傷的概率為．
(1)在核心球員一直未受傷的條件下，甲隊以取勝的概率；
(2)甲隊以取勝的概率．
2.（天津市河西區2022-2023學年數學試題）在某次世界乒乓球錦標賽的團體比賽中，中國隊將對陣韓國隊．比賽實行5局3勝制．根據以往戰績，中國隊在每一局中獲勝的概率都是．
(1)求中國隊以的比分獲勝的概率；
(2)求中國隊在先失1局的前提下獲勝的概率；
(3)假設全場比賽的局數為隨機變量，在韓國隊先勝第一局的前提下，求的分布列和數學期望．
3.（河北省邯鄲市六校2022-2023學年數學試題）甲、乙兩位圍棋選手進行圍棋比賽，比賽規則如下：比賽實行三局兩勝制（假定沒有平局），任何一方率先贏下兩局比賽時，比賽結束，圍棋分為黑白兩棋，第一局雙方選手通過抽簽的方式等可能的選擇棋色下棋，從第二局開始，上一局的敗方擁有優先選棋權.已知甲下黑棋獲勝的概率為，下白棋獲勝的概率為，每位選手按有利于自己的方式選棋.
(1)求甲選手以2:1獲勝的概率；
(2)比賽結束時，記這兩人下圍棋的局數為，求的分布列與期望.
題型六：射擊模型
打了幾槍？ 為啥結束？ 是否有子彈限制？ 4.最終結束，是因為子彈打完，還是因為“完成任務” 5.有沒有限制：如是“連續兩槍擊中”（或脫靶）還是“累計兩槍擊中”（或脫靶）
1.某靶場有，兩種型號的步槍可供選用，其中甲使用兩種型號的步槍的命中率分別為,；，
(1)若出現連續兩次子彈脫靶或者子彈打光耗盡的現象便立刻停止射擊，若擊中標靶至少3次，則可以獲得一份精美禮品，若甲使用型號的步槍，并裝填5發子彈，求甲獲得精美禮品的概率；
(2)現在兩把步槍中各裝填3發子彈，甲打算輪流使用兩種步槍進行射擊，若擊中標靶，則繼續使用該步槍，若未擊中標靶，則改用另一把步槍，甲首先使用種型號的步槍，若出現連續兩次子彈脫靶或者其中某一把步槍的子彈打光耗盡的現象便立刻停止射擊，記為射擊的次數，求的分布列與數學期望．
2.甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標的概率分別是和.假設兩人射擊是否擊中目標相互之間沒有影響，每人每次射擊是否擊中目標相互之間也沒有影響.
(1)求甲、乙各射擊一次均擊中目標的概率；
(2)求甲射擊4次，恰有3次連續擊中目標的概率；
(3)若乙在射擊中出現連續2次未擊中目標就會被終止射擊，求乙恰好射擊4次后被終止射擊的概率.
3.（上海市進才中學2022-2023學年數學試題）甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊，三人擊中的概率分別為，，．飛機恰被一人擊中而擊落的概率為，恰被兩人擊中而擊落的概率為，若三人都擊中，飛機必定被擊落．
(1)求飛機恰被一人擊中的概率；
(2)求飛機被擊落的概率；
(3)已知飛機被擊落，求三人都擊中飛機的概率．
題型七：雙盒子換球模式
雙盒子換球模式： 過去得是啥顏色球。 來的是啥顏色球 是同時換，還是A到B 先放再從B到A取 換了幾次，為啥結束
1.（2023·河南新鄉·統考三模）現有4個紅球和4個黃球，將其分配到甲、乙兩個盒子中，每個盒子中4個球．
(1)求甲盒子中有2個紅球和2個黃球的概率．
(2)已知甲盒子中有3個紅球和1個黃球，若同時從甲、乙兩個盒子中取出個球進行交換，記交換后甲盒子中的紅球個數為X，X的數學期望為．證明：．
2.（23-24高三上·廣東湛江·階段練習）已知有甲，乙兩個不透明盒子，甲盒子裝有兩個紅球和一個綠球，乙盒子裝有三個綠球，這些球的大小，形狀，質地完全相同．在一次球交換的過程中，甲盒子與乙盒子中各隨機選擇一個球進行交換，重復次該過程，記甲盒中裝有的紅球個數為．
(1)求的概率分布列；
(2)求．
3.（2023·廣東茂名·二模）馬爾可夫鏈是因俄國數學家安德烈·馬爾可夫得名，其過程具備“無記憶”的性質，即第次狀態的概率分布只跟第次的狀態有關，與第次狀態是“沒有任何關系的”.現有甲、乙兩個盒子，盒子中都有大小、形狀、質地相同的2個紅球和1個黑球.從兩個盒子中各任取一個球交換，重復進行次操作后，記甲盒子中黑球個數為，甲盒中恰有1個黑球的概率為，恰有2個黑球的概率為.
(1)求的分布列；
(2)求數列的通項公式；
(3)求的期望.
題型八：取球模式
取球模式： 一次取幾個。 兩個以上球，是一次性取出還是一個一個取。 是否放回。 為啥停止取球，停止條件是什么
1.（23-24湖南長沙·階段練習）某商城進行促銷活動，購買某產品的顧客可以參加一次游戲：在一個不透明箱子中放入紅、藍、黃三種顏色的小球各1個，顧客從中有放回地取出小球，直到取出的小球集齊了三種顏色則停止取球．設顧客停止取球時，取過的小球次數為，
(1)求；
(2)設，數列，求的通項公式；
(3)顧客停止取球時，取過的小球次數為，顧客可以獲得對應的元獎金，其中，求證：．
2.（2024·遼寧大連·一模）一個不透明的盒子中有質地、大小均相同的7個小球，其中4個白球，3個黑球，現采取不放回的方式每次從盒中隨機抽取一個小球，當盒中只剩一種顏色時，停止取球．
(1)求停止取球時盒中恰好剩3個白球的概率；
(2)停止取球時，記總的抽取次數為，求的分布列與數學期望：
(3)現對方案進行調整：將這7個球分裝在甲乙兩個盒子中，甲盒裝3個小球，其中2個白球，1個黑球：乙盒裝4個小球，其中2個白球，2個黑球．采取不放回的方式先從甲盒中每次隨機抽取一個小球，當盒中只剩一種顏色時，用同樣的方式從乙盒中抽取，直到乙盒中所剩小球顏色和甲盒剩余小球顏色相同，或者乙盒小球全部取出后停止．記這種方案的總抽取次數為Y，求Y的數學期望，并從實際意義解釋X與Y的數學期望的大小關系．
3.（22-23山東煙臺·模擬）已知甲、乙兩個袋子中各裝有形狀、大小、質地完全相同的3個紅球和3個黑球，現設計如下試驗：從甲、乙兩個袋子中各隨機取出1個球，觀察兩球的顏色，若兩球顏色不同，則將兩球交換后放回袋子中，并繼續上述摸球過程；若兩球顏色相同，則停止取球，試驗結束．
(1)求第1次摸球取出的兩球顏色不同的概率；
(2)我們知道，當事件與相互獨立時，有．那么，當事件與不獨立時，如何表示積事件的概率呢？某數學小組通過研究性學習發現如下命題：，其中表示事件發生的條件下事件發生的概率，且對于古典概型中的事件，，有．依據上述發現，求“第2次摸球試驗即結束”的概率．
題型九：三人比賽模式
1.（2020·全國·高考真題（理））甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結束.經抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設每場比賽雙方獲勝的概率都為，
（1）求甲連勝四場的概率；
（2）求需要進行第五場比賽的概率；
（3）求丙最終獲勝的概率.
2.（2022·黑龍江哈爾濱·高三開學考試）甲乙丙三人進行競技類比賽，每局比賽三人同時參加，有且只有一個人獲勝，約定有人勝兩局（不必連勝）則比賽結束，此人直接贏得比賽．假設每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，丙獲勝的概率為，各局比賽結果相互獨立．
(1)求甲在局以內（含局）贏得比賽的概率；
(2)記為比賽決出勝負時的總局數，求的分布列和均值（數學期望）．
3.（2022·浙江省杭州學軍中學開學考試）甲、乙、丙、丁四名選手進行羽毛球單打比賽．比賽采用單循環賽制，即任意兩位參賽選手之間均進行一場比賽．每場比賽實行三局兩勝制，即最先獲取兩局的選手獲得勝利，本場比賽隨即結束．假定每場比賽、每局比賽結果互不影響．
(1)若甲、乙比賽時，甲每局獲勝的概率為，求甲獲得本場比賽勝利的概率；
(2)若甲與乙、丙、丁每場比賽獲勝的概率分別為，，，試確定甲第二場比賽的對手，使得甲在三場比賽中恰好連勝兩場的概率最大．
題型十：馬爾科夫鏈基礎型
馬爾可夫鏈： 若，即未來狀態只受當前狀態的影響，與之前的無關.
1.（23-24高三上·山東威?！て谀┘?、乙、丙人做傳球練習，球首先由甲傳出，每個人得到球后都等可能地傳給其余人之一，設表示經過次傳遞后球傳到乙手中的概率.
(1)求，；
(2)證明：是等比數列，并求；
(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第次到第次傳球）中球傳到乙手中的次數為，求．
2.（23-24高三上·江蘇南京·階段練習）籃球是一項風靡世界的運動，是深受大眾喜歡的一項運動．
喜愛籃球運動 不喜愛籃球運動 合計
男性 60 40 100
女性 20 80 100
合計 80 120 200
(1)為了解喜愛籃球運動是否與性別有關，隨機抽取了男性和女性各100名觀眾進行調查，得到如上列聯表，判斷是否有99.9%的把握認為喜愛籃球運動與性別有關．
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
附：，．
(2)?；@球隊中的甲、乙、丙三名球員將進行傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能的將球傳給另外兩個人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到．記開始傳球的人為第1次觸球者，第次觸球者是甲的概率記為，即．
①求（直接寫出結果即可）；
②證明：數列為等比數列，并比較第9次與第10次觸球者是甲的概率的大?。?br/>3.（2023·云南昆明·模擬預測）從甲、乙、丙、丁、戊5人中隨機地抽取三個人去做傳球訓練.訓練規則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，每次必須將球傳出.
(1)記甲、乙、丙三人中被抽到的人數為隨機變量，求的分布列和數學期望；
(2)若剛好抽到甲、乙、丙三個人相互做傳球訓練，且第1次由甲將球傳出，記次傳球后球在甲手中的概率為.
①直接寫出，，的值；
②求與的關系式，并求出.
題型十一：馬爾科夫鏈綜合
馬爾科夫不等式 設為一個非負隨機變量，其數學期望為，則對任意，均有， 馬爾科夫不等式給出了隨機變量取值不小于某正數的概率上界，闡釋了隨機變量尾部取值概率與其數學期望間的關系． 證明：當為非負離散型隨機變量時，馬爾科夫不等式的證明如下： 設的分布列為其中，則對任意，，其中符號表示對所有滿足的指標所對應的求和．
1.甲 乙 丙三人進行傳球游戲，每次投擲一枚質地均勻的正方體骰子決定傳球的方式：當球在甲手中時，若骰子點數大于3，則甲將球傳給乙，若點數不大于3，則甲將球保留；當球在乙手中時，若骰子點數大于4，則乙將球傳給甲，若點數不大于4，則乙將球傳給丙；當球在丙手中時，若骰子點數大于3，則丙將球傳給甲，若骰子點數不大于3，則丙將球傳給乙．初始時，球在甲手中．
（1）設前三次投擲骰子后，球在甲手中的次數為，求隨機變量的分布列和數學期望；
（2）投擲次骰子后，記球在乙手中的概率為，求數列的通項公式；
（3）設，求證：．
2.乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．
3.（1）求第2次投籃的人是乙的概率；
（2）求第次投籃的人是甲的概率；
（3）已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數為，求．
3.（2024屆·武漢高三開學考）有編號為1，2，3，...，18，19，20的20個箱子，第一個箱子有2個黃球1個綠球，其余箱子均為2個黃球2個綠球，現從第一個箱子中取出一個球放入第二個箱子，再從第二個箱子中取出一個球放入第三個箱子，以此類推，最后從第19個箱子取出一個球放入第20個箱子，記為從第個箱子中取出黃球的概率.
(1)求；(2)求.
題型十二：馬爾科夫鏈：機器人一維游走模型
一維隨機游走模型： 設數軸上一個點，它的位置只能位于整點處，在時刻時，位于點，下一個時刻，它將以概率或者（）向左或者向右平移一個單位.若記狀態表示：在時刻該點位于位置，那么由全概率公式可得： 另一方面，由于，代入上式可得： . 進一步，我們假設在與處各有一個吸收壁，當點到達吸收壁時被吸收，不再游走.于是，.隨機游走模型是一個典型的馬爾科夫過程. 進一步，若點在某個位置后有三種情況：向左平移一個單位，其概率為，原地不動，其概率為，向右平移一個單位，其概率為，那么根據全概率公式可得：
1.（湖南省長沙市瀏陽市第一中學2022-2023學年高三上學期第六次月考數學（理)試題）商品種類齊全、性價比高等優勢而深受廣大消費者認可.某網購公司統計了近五年在本公司網購的人數，得到如下的相關數據(其中“x=1”表示2015年，“x=2”表示2016年，依次類推；y表示人數)：
x 1 2 3 4 5
y(萬人) 20 50 100 150 180
（1）試根據表中的數據，求出y關于x的線性回歸方程，并預測到哪一年該公司的網購人數能超過300萬人；
（2）該公司為了吸引網購者，特別推出“玩網絡游戲，送免費購物券”活動，網購者可根據拋擲骰子的結果，操控微型遙控車在方格圖上行進. 若遙控車最終停在“勝利大本營”，則網購者可獲得免費購物券500元；若遙控車最終停在“失敗大本營”，則網購者可獲得免費購物券200元. 已知骰子出現奇數與偶數的概率都是，方格圖上標有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遙控車開始在第0格，網購者每拋擲一次骰子，遙控車向前移動一次.若擲出奇數，遙控車向前移動一格（從到）若擲出偶數遙控車向前移動兩格（從到），直到遙控車移到第19格勝利大本營）或第20格（失敗大本營）時，游戲結束。設遙控車移到第格的概率為，試證明是等比數列，并求網購者參與游戲一次獲得免費購物券金額的期望值.
附：在線性回歸方程中，.
2.（江蘇省蘇州市2022-2023學年高三下學期2月學業質量調研數學試題）設數軸上有一只兔子，從坐標開始，每秒以的概率向正方向跳一個單位，以的概率向反方向跳一個單位，記兔子第n秒時的位置為．
(1)證明：；
(2)記是表達式的最大值，證明：．
3.（江西省景德鎮一中2021-2022學年考數學試題）某校為了解該校學生“停課不停學”的網絡學習效率，隨機抽查了高一年級100位學生的某次數學成績（單位：分），得到如下所示的頻率分布直方圖：
(1)估計這100位學生的數學成績的平均值；（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）
(2)根據整個年級的數學成績可以認為學生的數學成績近似地服從正態分布，經計算，（1）中樣本的標準差s的近似值為10，用樣本平均數作為的近似值，用樣本標準差s作為的估計值，現任抽取一位學生，求他的數學成績恰在64分到94分之間的概率；（若隨機變量，則，，)
(3)該年級1班的數學老師為了能每天督促學生的網絡學習，提高學生每天的作業質量及學習數學的積極性，特意在微信上設計了一個每日作業小程序，每當學生提交的作業獲得優秀時，就有機會參與一次小程序中”玩游戲，得獎勵積分”的活動，開學后可根據獲得積分的多少向老師領取相應的小獎品.小程序頁面上有一列方格，共15格，剛開始有只小兔子在第1格，每點一下游戲的開始按鈕，小兔子就沿著方格跳一下，每次跳1格或跳2格，概率均為，依次點擊游戲的開始按鈕，直到小兔子跳到第14格（獎勵0分）或第15格（獎勵5分）時，游戲結束，每天的積分自動累加，設小兔子跳到第格的概率為，試證明是等比數列，并求（獲勝的概率）的值.
題型十三：求導型分布列
1.（22-23高三全國·單元測試）冠狀病毒是一個大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征（）和嚴重急性呼吸綜合征（）等較嚴重疾病.而今年出現在湖北武漢的新型冠狀病毒（）是以前從未在人體中發現的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等.在較嚴重病例中，感染可導致肺炎、嚴重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡.某醫院為篩查冠狀病毒，需要檢驗血液是否為陽性，現有n（）份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：方式一：逐份檢驗，則需要檢驗n次.方式二：混合檢驗，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗.若檢驗結果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了，如果檢驗結果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數總共為.假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結果的概率為p（）.現取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為.
（1）若，試求p關于k的函數關系式；
（2）若p與干擾素計量相關，其中（）是不同的正實數，滿足且（）都有成立.
（i）求證：數列等比數列；
（ii）當時，采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數的期望值比逐份檢驗的總次數的期望值更少，求k的最大值
2.（2023·江西宜春·模擬預測）超級細菌是一種耐藥性細菌，產生超級細菌的主要原因是用于抵抗細菌侵蝕的藥物越來越多，但是由于濫用抗生素的現象不斷的發生，很多致病菌也對相應的抗生素產生了耐藥性，更可怕的是，抗生素藥物對它起不到什么作用，病人會因為感染而引起可怕的炎癥，高燒，痙攣，昏迷甚至死亡.某藥物研究所為篩查某種超級細菌，需要檢驗血液是否為陽性，現有n（）份血液樣本，每個樣本取到的可能性相等，有以下兩種檢驗方式：（1）逐份檢驗，則需要檢驗n次；（2）混合檢驗，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗，若檢驗結果為陰性，則這份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了；如果檢驗結果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份血液再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數總共為次.假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結果的概率為p（）.現取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為.
（1）運用概率統計的知識，若，試求P關于k的函數關系式；
（2）若P與抗生素計量相關，其中，，…，（）是不同的正實數，滿足，對任意的（），都有.
（i）證明：為等比數列；
（ii）當時，采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數期望值比逐份檢驗的總次數期望值更少，求k的最大值.
參考數據：，，，，，
，，，
3.．（22-23高三上·河南·階段練習）超級細菌是一種耐藥性細菌，產生超級細菌的主要原因是用于抵抗細菌侵蝕的藥物越來越多，但是由于濫用抗生素的現象不斷的發生，很多致病菌也對相應的抗生素產生了耐藥性，更可怕的是，抗生素藥物對它起不到什么作用，病人會因為感染而引起可怕的炎癥，高燒，痙攣，昏迷，甚至死亡.
某藥物研究所為篩查某種超級細菌，需要檢驗血液是否為陽性，現有份血液樣本，每個樣本取到的可能性相等，有以下兩種檢驗方式：（1）逐份檢驗，則需要檢驗次；（2）混合檢驗，將其中（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗，若檢驗結果為陰性，則這份的血液全為陰性，因而這份血液樣本只要檢驗一次就夠了；如果檢驗結果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數總共為次.假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結果的概率為
現取其中（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為
（1）運用概率統計的知識，若，試求關于的函數關系式；
（2）若與抗生素計量相關，其中是不同的正實數，滿足，對任意的，都有
（i）證明：為等比數列；
（ii）當時，采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數的期望值比逐份檢驗的總次數期望值更少，求的最大值.
參考數據：，，，，，
題型十四：分布列第19題壓軸型題
1.（23-24高三上·四川成都·開學考試）在三維空間中，立方體的坐標可用三維坐標表示，其中．而在n維空間中，以單位長度為邊長的“立方體”的頂點坐標可表示為n維坐標，其中．現有如下定義：在n維空間中兩點間的曼哈頓距離為兩點與坐標差的絕對值之和，即為．回答下列問題：
(1)求出n維“立方體”的頂點數；
(2)在n維“立方體”中任取兩個不同頂點，記隨機變量X為所取兩點間的曼哈頓距離
①求出X的分布列與期望；
②證明：在n足夠大時，隨機變量X的方差小于．
（已知對于正態分布，P隨X變化關系可表示為）
2.（22-23高三·福建福州·模擬）某疫苗生產單位通過驗血的方式檢驗某種疫苗產生抗體情況，現有份血液樣本（數量足夠大），有以下兩種檢驗方式：
方式一：逐份檢驗，需要檢驗n次；
方式二：混合檢驗，將其中k（且）份血液樣本混合檢驗，若混合血樣無抗體，說明這k份血液樣本全無抗體，只需檢驗1次；若混合血樣有抗體，為了明確具體哪份血液樣本有抗體，需要對每份血液樣本再分別化驗一次，檢驗總次數為次．
假設每份樣本的檢驗結果相互獨立，每份樣本有抗體的概率均為．
(1)現有7份不同的血液樣本，其中只有3份血液樣本有抗體，采用逐份檢驗方式，求恰好經過4次檢驗就能把有抗體的血液樣本全部檢驗出來的概率；
(2)現取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為；采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為．
①若，求P關于k的函數關系式；
②已知，以檢驗總次數的期望為依據，討論采用何種檢驗方式更好？
參考數據：．
3.（2024·黑龍江·二模）一座小橋自左向右全長100米，橋頭到橋尾對應數軸上的坐標為0至100，橋上有若干士兵，一陣爆炸聲后士兵們發生混亂，每個士兵爬起來后都有一個初始方向（向左或向右），所有士兵的速度都為1米每秒，中途不會主動改變方向，但小橋十分狹窄，只能容納1人通過，假如兩個士兵面對面相遇，他們無法繞過對方，此時士兵則分別轉身后繼續前進（不計轉身時間）.
(1)在坐標為10，40，80處各有一個士兵，計算初始方向不同的所有情況中，3個士兵全部離開橋面的最長時間（提示：兩個士兵面對面相遇并轉身等價于兩個士兵互相穿過且編號互換）；
(2)在坐標為10、20、30、……、90處各有一個士兵，初始方向向右的概率為，設最后一個士兵離開獨木橋的時間為秒，求的分布列和期望；
(3)若初始狀態共個士兵，初始方向向右的概率為，計算自左向右的第個士兵（命名為指揮官）從他的初始方向離開小橋的概率，以及當取得最大值時取值．

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