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培優(yōu)沖刺10直線、圓與圓錐曲線壓軸小題歸類
目錄
題型一：含參雙動直線 1
題型二：直線系與方程 2
題型三：圓：定角 3
題型四：圓：切點(diǎn)弦 3
題型五：圓綜合 4
題型六：離心率：第一定義型 4
題型七：離心率：焦半徑型 5
題型八：離心率：第三定義型 6
題型九：離心率：雙三角形雙余弦定理型 7
題型十：離心率：重心型 8
題型十一：離心率：內(nèi)心型（角平分線） 8
題型十二：離心率：共焦點(diǎn)橢圓雙曲線型 9
題型十三：離心率：雙曲線漸近線型 10
題型十四：離心率：求參數(shù) 10
題型十五：拋物線：定義型最值轉(zhuǎn)化 11
題型十六：拋物線焦點(diǎn)弦：梯形轉(zhuǎn)化型 12
題型十七：拋物線焦點(diǎn)弦極坐標(biāo)公式應(yīng)用 12
題型十八：拋物線切線型 13
題型一：含參雙動直線
直線含參。 一般情況下，過定點(diǎn) 如果兩條直線都有參數(shù)，則兩條直線可能存在“動態(tài)”垂直。則直線交點(diǎn)必在定點(diǎn)線段為直徑的圓上。 每一條直線都可以通過“直線系”得到直線過定點(diǎn)。 兩條動直線如果所含參數(shù)字母是一致的，則可以分別求出各自斜率，通過斜率之積是否是-1，確定兩條直線是否互相“動態(tài)垂直”。 如果兩條動直線“動態(tài)垂直”，則兩直線交點(diǎn)必在兩條直線所過定點(diǎn)為直徑的圓上。 如果兩條動直線交點(diǎn)在對應(yīng)的兩直線所過定點(diǎn)為直徑的圓上，則可以通過設(shè)角，三角代換，進(jìn)行線段的最值求解計(jì)算
1.（2024上·河北承德·高三統(tǒng)考）已知直線與交于點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．1 B． C． D．
2.（2024上·北京·高按清華附中校考）已知直線恒過定點(diǎn)A，直線恒過定點(diǎn)B，且直線與交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)的距離的最大值為（ ）
A．4 B． C．3 D．2
3.（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知直線與直線相交于點(diǎn)，則到直線的距離的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy(O為坐標(biāo)原點(diǎn))中，不過原點(diǎn)的兩直線，的交點(diǎn)為P，過點(diǎn)O分別向直線，引垂線，垂足分別為M，N，則四邊形OMPN面積的最大值為（ ）
A．3 B． C．5 D．
題型二：直線系與方程
直線系： 過A1x＋B1y＋C1＝0與A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線可設(shè)：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0. 若直線含參，參數(shù)在x系數(shù)出，則不包含豎直，如，不含想 若直線含參，參數(shù)在y的系數(shù)出，則不含水平，如，不含 若直線參數(shù)在常數(shù)位置，則為一系列平行線，如與平行
1.（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)，為不同的兩點(diǎn)，直線l的方程為，設(shè)．有下列三個說法：
①存在實(shí)數(shù)，使點(diǎn)N在直線l上；
②若，則過MN兩點(diǎn)的直線與直線l平行；
③若，則直線l經(jīng)過線段MN的中點(diǎn)．
上述所有正確說法的序號是 ．
2.（2023上·浙江紹興·高三浙江省上虞中學(xué)校考）已知點(diǎn)，直線，且點(diǎn)不在直線上，則點(diǎn)到直線的距離；類比有：當(dāng)點(diǎn)在函數(shù)圖像上時，距離公式變?yōu)椋鶕?jù)該公式可求的最小值是
3.（2022·四川綿陽·統(tǒng)考一模）設(shè)為兩個不同的點(diǎn),直線l:ax+by+c=0,.有下列命題：
①不論為何值,點(diǎn)N都不在直線l上；
②若直線l垂直平分線段MN,則=1；
③若=-1,則直線l經(jīng)過線段MN的中點(diǎn)；
④若>1,則點(diǎn)M、N在直線l的同側(cè)且l與線段MN的延長線相交.
其中正確命題的序號是 （寫出所有正確命題的序號）.
題型三：圓：定角
1.在平面直角坐標(biāo)系中，為直線：上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，，以為直徑的圓與直線交于另一點(diǎn).若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為______________.
2.（2023·四川省通江中學(xué)高三階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，若圓：上存在兩點(diǎn)、滿足：，則實(shí)數(shù)的最大值是______.
3.（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓C滿足：圓心在軸上，且與圓相外切.設(shè)圓C與軸的交點(diǎn)為M，N，若圓心C在軸上運(yùn)動時，在軸正半軸上總存在定點(diǎn)，使得為定值，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為_________.
題型四：圓：切點(diǎn)弦
切點(diǎn)弦方程求解，可以有如下兩種思路 1.公共弦法：過圓外一點(diǎn)作圓的切線，則切點(diǎn)與四點(diǎn)共圓，線段就是圓的一條直徑．兩圓方程相減可得公共弦所在直線方程． 2二級結(jié)論法：外一點(diǎn)做切線，切點(diǎn)所在直線方程（切點(diǎn)弦方程）為：
1.（2022秋·四川綿陽·高三四川省綿陽江油中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓M：，直線l：，P為直線l上的動點(diǎn)，過P點(diǎn)作圓M的切線PA、PB，切點(diǎn)為A、B，當(dāng)最小時，直線AB的方程為（ ）
A． B．
C． D．
2.（2023春·遼寧沈陽·高三東北育才學(xué)校校考開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓，直線與圓相切，與圓相交于兩點(diǎn)，分別以點(diǎn)為切點(diǎn)作圓的切線．設(shè)直線的交點(diǎn)為，則的最小值為（ ）
A．9 B．7 C． D．
3．（2023春·福建莆田·高三莆田一中校考階段練習(xí)）若是直線上一動點(diǎn)，過作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則的最小值為（ ）
A． B．3 C． D．2
題型五：圓綜合
1.（2023·黑龍江·一模）設(shè)，則的最小值為
A．4 B．16 C．5 D．25
2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知為圓上兩點(diǎn)，點(diǎn)，且，，則面積的最大值為______.
3.（2022山東·薛城區(qū)教育局教學(xué)研究室高三模擬）已知圓，為圓外的動點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，使取得最小值的點(diǎn)稱為圓的萌點(diǎn)，則圓的萌點(diǎn)的軌跡方程為_______.
4.（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知圓與軸交于點(diǎn)、，過圓上動點(diǎn)(不與、重合)作圓的切線，過點(diǎn)、分別作軸的垂線，與切線分別交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，關(guān)于的對稱點(diǎn)為，則點(diǎn)的軌跡方程為_______
題型六：離心率：第一定義型
求解圓錐曲線的離心率的常見方法： 1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率； 2、齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程或不等式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程或不等式，結(jié)合離心率的定義求解； 3、特殊值法：根據(jù)特殊點(diǎn)與圓錐曲線的位置關(guān)系，利用取特殊值或特殊位置，求出離心率問題.
1.橢圓的左右焦點(diǎn)分別為 ，直線與交于A 兩點(diǎn)，若，，當(dāng)時，的離心率的最小值為（ ）
A． B． C． D．
2.（2023春·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的左 右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與雙曲線的右支相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足分別為，且為線段的中點(diǎn)，，則雙曲線的離心率為（ ）
A．2 B． C． D．
3.（江蘇省常州市第一中學(xué)2022-2023年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)試題）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，焦距為，點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，點(diǎn)P是橢圓上的動點(diǎn)，且恒成立，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
4.（2023春·陜西西安·高三校考階段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線與的左支分別交于兩點(diǎn)，且，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，，則的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．3
題型七：離心率：焦半徑型
橢圓焦半徑 焦半徑范圍： (長軸頂點(diǎn)到焦點(diǎn)最近和最遠(yuǎn)，即遠(yuǎn)、近地點(diǎn)) 雙曲線焦半徑 動點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距離最小值為：
1.（江蘇省啟東中學(xué)2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，若橢圓上存在點(diǎn)，使得，則該離心率的取值范圍是________．
2.（2022-2023學(xué)年江西省上饒中學(xué)高三下學(xué)期第一次月）已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上任意一點(diǎn)，若的最小值為，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3.（遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)、大連八中、大連二十四中、鞍山一中、東北育才學(xué)校2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期考試數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，若橢圓上存在一點(diǎn)使得，則該橢圓的離心率的取值范圍是______．
4.（2023秋·廣東深圳·高三校考）設(shè)，是雙曲線的左右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)P滿足，則雙曲線離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
題型八：離心率：第三定義型
（1）橢圓 1.是橢圓上兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，則（可用點(diǎn)差法快速證明） 結(jié)論拓展 已知直線：與橢圓相交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則. 如果是焦點(diǎn)在y軸上，則是 2.是雙曲線上兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，則（可用點(diǎn)差法快速證明） 結(jié)論拓展 已知直線：與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則. 如果是焦點(diǎn)在y軸上，則是
1.（陜西省渭南市富平縣2023屆高三下學(xué)期二模理科數(shù)學(xué)試題）已知點(diǎn)在橢圓上，是橢圓的左焦點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在圓上．記直線的斜率為，若，則橢圓離心率的最小值為（ ）
A． B． C． D．
2.（2022·新疆喀什·高十三新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學(xué)校考開學(xué)考試）過雙曲線的右焦點(diǎn)F作一條漸近線的垂線，垂足為M，且FM的中點(diǎn)A在雙曲線上，則雙曲線離心率e等于（ ）
A． B． C． D．
3.（山西省臨汾市2022屆高三二模數(shù)學(xué)試題）已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，與橢圓上、下頂點(diǎn)連線的斜率之積為，則的離心率為_________.
4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，直線與雙曲線的左支交于點(diǎn) ，且恰為線段的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為 （ ）
A． B． C．2 D．
題型九：離心率：雙三角形雙余弦定理型
焦點(diǎn)弦型雙三角形雙余弦定理，常見的一般模型如下圖： 可分別在倆三角形中各自用余弦定理，聯(lián)立解離心率
1.（廣東省佛山市2022-2023學(xué)年高三教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的焦點(diǎn)為，，過的直線與交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
2.（東北三省三校2023屆高三聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)試題）橢圓的左焦點(diǎn)為點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，，，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
3.已知橢圓=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F，橢圓上的A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，|FA|=2|FB|，且·≤ a2，則該橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A．（0，] B．（0，] C．，1) D．，1)
4.如圖，橢圓M：的左、右焦點(diǎn)分別為，，兩平行直線，分別過，交M于A，B、C，D四點(diǎn)，且，，則M的離心率為___．
題型十：離心率：重心型
1.（2023春·四川廣安·高三四川省廣安友誼中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)為雙曲線的虛軸的上頂點(diǎn)，為雙曲線的右焦點(diǎn)，存在斜率為的直線交雙曲線于點(diǎn)兩點(diǎn)，且的重心為點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
2.已知橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為點(diǎn)和點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn)，若恰好為的重心，則橢圓的離心率為（ ）
A． B．
C． D．
3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，，若直線與的右支交于兩點(diǎn)，且為的重心，則的離心率的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
題型十一：離心率：內(nèi)心型（角平分線）
1.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為橢圓上不同于左、右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，為的內(nèi)心，且，若橢圓的離心率為，則（ ）
A． B． C． D．
2.（2023秋·河南鄭州·高三鄭州市第一〇六高級中學(xué)校考）已知點(diǎn)P是雙曲線（a0，b0）右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，M是△PF1F2的內(nèi)心，若成立，則雙曲線的離心率為（ ）
A．3 B．2 C． D．
3..已知橢圓C：1（ab0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓C上不與左右頂點(diǎn)重合的動點(diǎn)，設(shè)I，G分別為△PF1F2的內(nèi)心和重心.當(dāng)直線IG的傾斜角不隨著點(diǎn)P的運(yùn)動而變化時，橢圓C的離心率為_____.
題型十二：離心率：共焦點(diǎn)橢圓雙曲線型
橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)、，它們的交點(diǎn)對兩公共焦點(diǎn)、的張角為，橢圓與雙曲線的離心率分別為、，則．
1.（2023·高三課時練習(xí)）橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，，它們的交點(diǎn)為，且.若橢圓的離心率為，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
2.（2023秋·高三聯(lián)考）已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，，其中為右焦點(diǎn)，兩曲線在第一象限的交點(diǎn)為，離心率分別為，．若線段的中垂線經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）
A． B．2 C． D．3
3.（2023·全國·高三模擬）已知橢圓：與雙曲線：（，）具有共同的焦點(diǎn)，，離心率分別為，，且.點(diǎn)是橢圓和雙曲線的一個交點(diǎn)，且，則（ ）
A． B． C． D．
.4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)相同，離心率分別為，，且滿足，，是它們的公共焦點(diǎn)，P是橢圓和雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
題型十三：離心率：雙曲線漸近線型
與雙曲線有相同漸近線時，可設(shè)所求雙曲線方程為． 焦點(diǎn)到漸近線的距離為：； 漸近線求法結(jié)論：可直接令方程等號右邊的常數(shù)為0，化簡解得
1.（2023·陜西咸陽·陜西咸陽中學(xué)校考模擬預(yù)測）若雙曲線 的一條漸近線的傾斜角是另一條漸近線傾斜角的3倍，則該雙曲線的離心率為（ ）
A．2 B． C． D．
2.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線（，）與直線無公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．
3.（2023·山西晉中·統(tǒng)考二模）已知雙曲線：的左 右焦點(diǎn)分別為，，平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，的面積為，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，直線為雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B．或 C． D．2
4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為、，過的直線與雙曲線 C 的兩條漸近線分別交于A、B兩點(diǎn)，A是的中點(diǎn)，且，則雙曲線C的離心率（ ）
A． B．2 C． D．
題型十四：離心率：求參數(shù)
1.（2023秋·高三專題練習(xí)）已知分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，為雙曲線上一點(diǎn)，且為等腰三角形，若雙曲線的離心率為，則的度數(shù)為（　　）
A．30° B．60° C．120° D．30°或120°
2.（2023秋·湖南長沙·高三湖南師大附中階段練習(xí)）已知方程的三個實(shí)根可分別作為一橢圓、一雙曲線、一拋物線的離心率，則的取值范圍是
A． B． C． D．
3.（2023·甘肅·統(tǒng)考二模）若直線和直線相交于一點(diǎn)，將直線繞該點(diǎn)依逆時針旋轉(zhuǎn)到與第一次重合時所轉(zhuǎn)的角為，則角就叫做到的角，，其中分別是的斜率，已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，是右頂點(diǎn)，是直線上的一點(diǎn)，是雙曲線的離心率，，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
4.（2023全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的離心率為，其中一條漸近線的傾斜角的取值范圍是，其斜率為，則的取值范圍是
A． B．
C． D．
題型十五：拋物線：定義型最值轉(zhuǎn)化
拋物線y2＝2px(p>0)焦點(diǎn)弦AB，設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)E，準(zhǔn)線為l. 焦半徑問題： ①焦半徑：|AF|＝|AD|＝x1＋，|BF|＝|BC|＝x2＋ (隨焦點(diǎn)位置變動而改變)； ②焦點(diǎn)弦：|AB|＝x1＋x2＋p＝ (其中，α為直線AB的傾斜角) ③＋＝； 焦半徑公式得：，， (2)A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積為定值，即x1·x2＝，y1·y2＝－p2 (隨焦點(diǎn)動而變)； 圖4 (3)其他結(jié)論：①S△OAB＝(其中，α為直線AB的傾斜角)； ②以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切于點(diǎn)H．
1.已知點(diǎn)為拋物線上的動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到的距離為，到直線的距離為，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2.是拋物線上的動點(diǎn)，到軸的距離為，到圓上動點(diǎn)的距離為，則的最小值為________．
3.設(shè)是拋物線上的一個動點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，記點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離之和的最小值為若記的最小值為則____．
4.點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，若對于拋物線上的任意點(diǎn)，的最小值為41，則的值等于______.
題型十六：拋物線焦點(diǎn)弦：梯形轉(zhuǎn)化型
有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p， 若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式. （2）本題還運(yùn)用到點(diǎn)差法，設(shè)而不求，利用拋物線方程作差有效地簡化了計(jì)算量，從而到達(dá)所需的變量等式，此方法在橢圓和雙曲線中也廣泛運(yùn)用.
1.過拋物線的焦點(diǎn)F的直線l（不平行于y軸）交拋物線于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中垂線交x軸于點(diǎn)M，若，則線段FM的長度為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.（河南省創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期入學(xué)摸底考試）已知是拋物線上的兩點(diǎn)，且，則線段的中點(diǎn)到軸的距離的最小值為（ ）．
A． B． C． D．
3.（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，直線過點(diǎn)且與拋物線交于，兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則（ ）
A． B．拋物線的方程為
C．直線的方程為 D．
4.（湖南省邵陽市第二中學(xué)2022-2023學(xué)年考試數(shù)學(xué)試題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，過的中點(diǎn)作軸的垂線與拋物線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，若，則直線的方程為__________．
5.（內(nèi)蒙古赤峰二中2023屆高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題）拋物線的焦點(diǎn)為F ，已知點(diǎn)A ，B 為拋物線上的兩個動點(diǎn)，且滿足.過弦AB 的中點(diǎn)M 作拋物線準(zhǔn)線的垂線MN ，垂足為N，則 的最大值為__________．
題型十七：拋物線焦點(diǎn)弦極坐標(biāo)公式應(yīng)用
設(shè)是過拋物線的焦點(diǎn)的弦，若，，則： 若點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第四象限，則，， 弦長，（為直線的傾斜角）；
1.如圖，過拋物線的焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AB、CD，若與面積之和的最小值為32，則拋物線的方程為___________．
2.若過拋物線的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，且直線l的傾斜角，點(diǎn)A在x軸上方，則的取值范圍是______．
3.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過焦點(diǎn)的直線交拋物線與兩點(diǎn)，且，則拋物線的準(zhǔn)線方程為________.
題型十八：拋物線切線型
（1）點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，則拋物線過點(diǎn)P的切線方程是：； （2）點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，則拋物線過點(diǎn)P的切線方程是：．
1.（四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三學(xué)期聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題）已知F為拋物線C：的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，拋物線在點(diǎn)A，B處的切線分別為和，若和交于點(diǎn)P，則的最小值為______．
2.（四川省成都市第七中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第三次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為和，又直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，那么=______.
3..（上海市控江中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）已知是拋物線：上一點(diǎn)，且位于第一象限，點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為4，過點(diǎn)向拋物線作兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則（ ）
A． B．1 C．16 D．培優(yōu)沖刺10直線、圓與圓錐曲線壓軸小題歸類
目錄
題型一：含參雙動直線 1
題型二：直線系與方程 4
題型三：圓：定角 6
題型四：圓：切點(diǎn)弦 8
題型五：圓綜合 10
題型六：離心率：第一定義型 12
題型七：離心率：焦半徑型 15
題型八：離心率：第三定義型 16
題型九：離心率：雙三角形雙余弦定理型 19
題型十：離心率：重心型 22
題型十一：離心率：內(nèi)心型（角平分線） 24
題型十二：離心率：共焦點(diǎn)橢圓雙曲線型 26
題型十三：離心率：雙曲線漸近線型 28
題型十四：離心率：求參數(shù) 30
題型十五：拋物線：定義型最值轉(zhuǎn)化 32
題型十六：拋物線焦點(diǎn)弦：梯形轉(zhuǎn)化型 35
題型十七：拋物線焦點(diǎn)弦極坐標(biāo)公式應(yīng)用 37
題型十八：拋物線切線型 40
題型一：含參雙動直線
直線含參。 一般情況下，過定點(diǎn) 如果兩條直線都有參數(shù)，則兩條直線可能存在“動態(tài)”垂直。則直線交點(diǎn)必在定點(diǎn)線段為直徑的圓上。 每一條直線都可以通過“直線系”得到直線過定點(diǎn)。 兩條動直線如果所含參數(shù)字母是一致的，則可以分別求出各自斜率，通過斜率之積是否是-1，確定兩條直線是否互相“動態(tài)垂直”。 如果兩條動直線“動態(tài)垂直”，則兩直線交點(diǎn)必在兩條直線所過定點(diǎn)為直徑的圓上。 如果兩條動直線交點(diǎn)在對應(yīng)的兩直線所過定點(diǎn)為直徑的圓上，則可以通過設(shè)角，三角代換，進(jìn)行線段的最值求解計(jì)算
1.（2024上·河北承德·高三統(tǒng)考）已知直線與交于點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)得點(diǎn)為圓上動點(diǎn)，用三角換元求的最大值.
【詳解】由題意可得直線恒過坐標(biāo)原點(diǎn)，直線恒過定點(diǎn)，
且，所以，
所以與的交點(diǎn)在以為直徑的圓上，
則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足（不含點(diǎn)）．
可設(shè)，且，
則，
所以當(dāng)時，的最大值為．
故選：D
2.（2024上·北京·高按清華附中校考）已知直線恒過定點(diǎn)A，直線恒過定點(diǎn)B，且直線與交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)的距離的最大值為（ ）
A．4 B． C．3 D．2
【答案】A
【分析】首先求點(diǎn)的坐標(biāo)，并判斷兩條直線的位置關(guān)系，則點(diǎn)P到點(diǎn)的距離的最大值等于點(diǎn)P到圓心的距離與半徑之和即點(diǎn)P到線段AB中點(diǎn)距離與半徑之和
【詳解】設(shè)
由直線，可得
由直線，可得，
因?yàn)橹本€與直線滿足，
所以，
所以點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，所以點(diǎn)P到點(diǎn)的距離的最大值等于點(diǎn)P到圓心的距離與半徑之和即點(diǎn)P到線段AB中點(diǎn)距離與半徑之和，
由，，得AB中點(diǎn)為，半徑為1，
所以點(diǎn)P到點(diǎn)的距離的最大值為，
故選：A

3.（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知直線與直線相交于點(diǎn)，則到直線的距離的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】解法一：求出兩直線所過定點(diǎn)，確定動點(diǎn)P的軌跡方程，結(jié)合圓上的點(diǎn)到定直線的距離的最值，即可求得答案；
解法二：求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出P到直線的距離的表達(dá)式，結(jié)合不等式知識，即可求得答案.
【詳解】解法一：直線整理可得，，
即直線恒過，同理可得恒過，又，直線和互相垂直，
兩條直線的交點(diǎn)在以，為直徑的圓上，即的軌跡方程為，（去掉，
（這是因?yàn)椴荒鼙硎局本€，不能表示直線，）
設(shè)該圓心為，則，則，
由于垂直于直線，故M到的距離即為，而，
即，而當(dāng)時，點(diǎn)的坐標(biāo)為，不符合題意。故的取值范圍是，故選：A．
解法二：聯(lián)立兩條直線的方程，
解得交點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，
由，故得的取值范圍是,故選：A．
4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy(O為坐標(biāo)原點(diǎn))中，不過原點(diǎn)的兩直線，的交點(diǎn)為P，過點(diǎn)O分別向直線，引垂線，垂足分別為M，N，則四邊形OMPN面積的最大值為（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】D
【分析】由、的方程可得它們都過定點(diǎn)，，然后可得四邊形OMPN為矩形，且，然后可求出答案.
【詳解】將直線的方程變形得，由，得，則直線過定點(diǎn)，同理可知，直線過定點(diǎn)， 所以，直線和直線的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為，易知，直線，如圖所示，
易知，四邊形OMPN為矩形，且，設(shè)，，則，
四邊形OMPN的面積為，
當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時，等號成立，因此，四邊形OMPN面積的最大值為，故選：D
題型二：直線系與方程
直線系： 過A1x＋B1y＋C1＝0與A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線可設(shè)：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0. 若直線含參，參數(shù)在x系數(shù)出，則不包含豎直，如，不含想 若直線含參，參數(shù)在y的系數(shù)出，則不含水平，如，不含 若直線參數(shù)在常數(shù)位置，則為一系列平行線，如與平行
1.（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)，為不同的兩點(diǎn)，直線l的方程為，設(shè)．有下列三個說法：
①存在實(shí)數(shù)，使點(diǎn)N在直線l上；
②若，則過MN兩點(diǎn)的直線與直線l平行；
③若，則直線l經(jīng)過線段MN的中點(diǎn)．
上述所有正確說法的序號是 ．
【答案】②③
【分析】根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)是否適合直線方程可判斷①，③；判斷兩直線的斜率是否相等，并判斷直線是否重合可判斷②；
【詳解】對于①，因?yàn)椋裕?br/>所以點(diǎn)不可能在直線l上，錯誤．
對于②，因?yàn)椋裕裕?br/>若，則，不合題意，故，
所以，所以直線MN的方程為，即，
又，所以過M、N兩點(diǎn)的直線與直線l平行，正確．
對于③，因?yàn)椋裕?br/>所以，即在直線上，
所以直線l經(jīng)過線段MN的中點(diǎn)，正確．
綜上所述，正確的有②③，
故答案為：②③
2.（2023上·浙江紹興·高三浙江省上虞中學(xué)校考）已知點(diǎn)，直線，且點(diǎn)不在直線上，則點(diǎn)到直線的距離；類比有：當(dāng)點(diǎn)在函數(shù)圖像上時，距離公式變?yōu)椋鶕?jù)該公式可求的最小值是
【答案】4
【分析】依題意可得，，令，則表示半圓上的點(diǎn)到直線和的距離之和，設(shè)為d，則，再結(jié)合圖象進(jìn)行求解.
【詳解】解：依題意可得，
，
令，則，
該方程表示以為圓心，以1為半徑的半圓，
依題意表示該半圓上的點(diǎn)到直線的距離，
表示該半圓上的點(diǎn)到直線的距離，
則表示半圓上的點(diǎn)到直線和的距離之和，設(shè)為d，
則，
如圖所示：
結(jié)合圖象，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)時，此時d取得取小值，
則，
則的最小值為.
故答案為：4.
3.（2022·四川綿陽·統(tǒng)考一模）設(shè)為兩個不同的點(diǎn),直線l:ax+by+c=0,.有下列命題：
①不論為何值,點(diǎn)N都不在直線l上；
②若直線l垂直平分線段MN,則=1；
③若=-1,則直線l經(jīng)過線段MN的中點(diǎn)；
④若>1,則點(diǎn)M、N在直線l的同側(cè)且l與線段MN的延長線相交.
其中正確命題的序號是 （寫出所有正確命題的序號）.
【答案】①③④
【詳解】試題分析：①因?yàn)橹校渣c(diǎn)不在直線上，本選項(xiàng)正確；
②當(dāng)時，根據(jù)，得到，化簡得，即直線的斜率為，又直線的斜率為，①知點(diǎn)不在直線上，得到直線與直線平行，
當(dāng)時，根據(jù)，得到，化簡得：，直線與直線的斜率不存在，都與軸平行，①知點(diǎn)不在直線上，得到直線與直線平行，綜上，當(dāng)時，直線與直線平行，本選項(xiàng)錯誤；
③當(dāng)時，，化簡得：，而線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以直線經(jīng)過線段的中點(diǎn)，本選項(xiàng)正確；
④當(dāng)時，，即，所以點(diǎn)在直線的同側(cè)，且，得到點(diǎn)到直線的距離不等，所以延長線于直線相交，本選項(xiàng)正確，所以命題正確的是①③④，故填：①③④.
題型三：圓：定角
1.在平面直角坐標(biāo)系中，為直線：上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，，以為直徑的圓與直線交于另一點(diǎn).若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為______________.
【答案】．
【解析】由直徑所對的圓周角為可求得直線的方程，進(jìn)而解得點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用向量的數(shù)量積即可求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.
【詳解】解：如圖所示：
點(diǎn)在以為直徑的圓上，，即，
，又均在直線，，，又，：，
聯(lián)立：， 解得：，；設(shè)，則，，
，又，，
即，解得：或（舍去），
故點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍為：.故答案為：.
2.（2023·四川省通江中學(xué)高三階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，若圓：上存在兩點(diǎn)、滿足：，則實(shí)數(shù)的最大值是______.
【答案】
【解析】根據(jù)題意，圓C的圓心為，在直線上，當(dāng)圓心距離x軸的距離越遠(yuǎn)，越小，結(jié)合圖像可知當(dāng)時，圓心C在x軸上方，若、為圓的切線且，此時a取得最大值，可得，即，解可得a的值，即可得答案.
【詳解】由題得，圓C的圓心為，在直線上，當(dāng)圓心距離x軸的距離越遠(yuǎn)，越小，
如圖所示：當(dāng)時，圓心C在x軸上方，若、為圓的切線且，此時a取得最大值，此時，有，即，解可得，
故答案為：.
3.（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓C滿足：圓心在軸上，且與圓相外切.設(shè)圓C與軸的交點(diǎn)為M，N，若圓心C在軸上運(yùn)動時，在軸正半軸上總存在定點(diǎn)，使得為定值，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為_________.
【答案】
【分析】設(shè)C（c，0），P（0，p），（p＞0），圓C半徑為r，用c、p、r表示∠OPM，∠OPN的正切值，再利用兩角差的正切公式表示∠MPN的正切值，分析該值為定值的條件可確定P的坐標(biāo)．
【詳解】解：如圖，設(shè)C（c，0），P（0，p），（p＞0）圓C半徑為r，則OM＝c﹣r，ON＝c+r，OP＝p，∴tan∠OPM＝，tan∠OPN＝，∴tan∠MPN＝tan（∠OPN﹣∠OPM）＝＝，
由兩圓外切可知，r+1＝，得c2＝r2+2r﹣3，∴tan∠MPN＝＝，
∵上式為與無關(guān)的定值，∴p2﹣3＝0，∴p＝．故答案為：
題型四：圓：切點(diǎn)弦
切點(diǎn)弦方程求解，可以有如下兩種思路 1.公共弦法：過圓外一點(diǎn)作圓的切線，則切點(diǎn)與四點(diǎn)共圓，線段就是圓的一條直徑．兩圓方程相減可得公共弦所在直線方程． 2二級結(jié)論法：外一點(diǎn)做切線，切點(diǎn)所在直線方程（切點(diǎn)弦方程）為：
1.（2022秋·四川綿陽·高三四川省綿陽江油中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓M：，直線l：，P為直線l上的動點(diǎn)，過P點(diǎn)作圓M的切線PA、PB，切點(diǎn)為A、B，當(dāng)最小時，直線AB的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由已知結(jié)合四邊形面積公式及三角形面積公式可得，說明要使最小，則需最小，此時PM與直線l垂直．寫出PM所在直線方程，與直線l的方程聯(lián)立，求得P點(diǎn)坐標(biāo)，然后寫出以PM為直徑的圓的方程，再與圓M的方程聯(lián)立可得AB所在直線方程．
【詳解】解：因?yàn)閳A，即為，
所以圓心，半徑．．
要使最小，則需最小，此時PM與直線l垂直．直線PM的方程為，即，
聯(lián)立，解得，即．則以PM為直徑的圓O的方程為．
直線AB為圓M與圓O公共弦所在直線，聯(lián)立
相減可得直線AB的方程為．故選：A．
2.（2023春·遼寧沈陽·高三東北育才學(xué)校校考開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓，直線與圓相切，與圓相交于兩點(diǎn)，分別以點(diǎn)為切點(diǎn)作圓的切線．設(shè)直線的交點(diǎn)為，則的最小值為（ ）
A．9 B．7 C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意得切點(diǎn)弦的方程為，進(jìn)而根據(jù)其與圓相切得，即，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得最小值.
【詳解】解：設(shè)點(diǎn)，，，，因?yàn)榉謩e以點(diǎn)為切點(diǎn)作圓的切線．設(shè)直線的交點(diǎn)為，所以，則，即，
所以，因?yàn)椋?br/>所以，即是方程的解，
所以點(diǎn)在直線上，同理可得在直線上，
所以切點(diǎn)弦的方程為，因?yàn)橹本€與圓相切，
所以，解得，即
所以，
所以當(dāng)時，直線方程為，此時所以的最小值為.故選：D
3．（2023春·福建莆田·高三莆田一中校考階段練習(xí)）若是直線上一動點(diǎn)，過作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則的最小值為（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】A
【分析】由題意可得當(dāng)取最小值時，的值最小，求得圓心到直線的距離即得，即可得.
【詳解】如下圖所示，
易知且垂直平分，所以，
且，由勾股定理可得，
所以，
即取最小值時，取得最小值；
易知為圓心到直線的距離，
即，所以.
故選：A
題型五：圓綜合
1.（2023·黑龍江·一模）設(shè)，則的最小值為
A．4 B．16 C．5 D．25
【答案】B
【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離問題，然后數(shù)形結(jié)合求解最小值即可.
【詳解】表示點(diǎn)P(3-4y，4+3y)、Q(cosx，-sinx)兩點(diǎn)距離的平方，
由得點(diǎn)P的軌跡方程為，由得點(diǎn)Q的軌跡方程為，
則，，即的最小值為16.
2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知為圓上兩點(diǎn)，點(diǎn)，且，，則面積的最大值為______.
【答案】
【解析】由，可得，在圓中可得，從而有，即可求出點(diǎn)的軌跡，然后就可得出面積的最大值.
【詳解】因?yàn)椋裕沂堑闹悬c(diǎn)所以
因?yàn)樗裕?br/>設(shè)點(diǎn)，則有化簡得：
即點(diǎn)的軌跡是圓心為，半徑為的圓。因?yàn)椋抑本€經(jīng)過點(diǎn)
所以點(diǎn)到直線的距離的最大值就為半徑。所以面積的最大值為
故答案為：
3.（2022山東·薛城區(qū)教育局教學(xué)研究室高三模擬）已知圓，為圓外的動點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，使取得最小值的點(diǎn)稱為圓的萌點(diǎn)，則圓的萌點(diǎn)的軌跡方程為_______.
【答案】.
【分析】根據(jù)圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切線長相等可得，再利用切線長公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系、結(jié)合基本不等式，即可得到答案；
【詳解】
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
由在圓外知的取值范圍是，所以能成立，
故的最小值為.
由知，萌點(diǎn)的軌跡為圓，方程為.
故答案為：
4.（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知圓與軸交于點(diǎn)、，過圓上動點(diǎn)(不與、重合)作圓的切線，過點(diǎn)、分別作軸的垂線，與切線分別交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，關(guān)于的對稱點(diǎn)為，則點(diǎn)的軌跡方程為_______
【答案】
【分析】相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程：設(shè)，先根據(jù)條件，求出，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再聯(lián)立直線和求出交點(diǎn)，根據(jù)，兩點(diǎn)關(guān)于對稱，確定用，表示點(diǎn)的坐標(biāo)，再由點(diǎn)在圓上，列方程整理即可.
【詳解】
依題意作圖，有，，設(shè)()，.
過點(diǎn)的圓的切線的方程為，
所以，.聯(lián)立解得，所以點(diǎn).
又點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，即，
又點(diǎn)在圓上，所以，
把代入整理得，，又，所以點(diǎn)的軌跡方程().
故答案為：().
題型六：離心率：第一定義型
求解圓錐曲線的離心率的常見方法： 1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率； 2、齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程或不等式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程或不等式，結(jié)合離心率的定義求解； 3、特殊值法：根據(jù)特殊點(diǎn)與圓錐曲線的位置關(guān)系，利用取特殊值或特殊位置，求出離心率問題.
1.橢圓的左右焦點(diǎn)分別為 ，直線與交于A 兩點(diǎn)，若，，當(dāng)時，的離心率的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】結(jié)合題干條件得到，表達(dá)出，，利用橢圓定義得到關(guān)系，結(jié)合的范圍求出離心率的最小值.
【詳解】連接，由題知點(diǎn)A 關(guān)于原點(diǎn)對稱，，，，則，，又，即，，由得，所以，D正確.
故選：D
2.（2023春·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的左 右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與雙曲線的右支相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足分別為，且為線段的中點(diǎn)，，則雙曲線的離心率為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】由條件證明為線段的中點(diǎn)，由此可得，結(jié)合雙曲線的定義可得，由勾股定理可得的關(guān)系，由此可求曲線的離心率.
【詳解】因?yàn)椋瑸殡p曲線的左 右焦點(diǎn)，所以，因?yàn)?br/>所以，又為線段的中點(diǎn)，所以為線段的中點(diǎn)，且，
又為線段的中點(diǎn)，所以，在中，，，
所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線的右支上，
所以，故，在中，，，，
由勾股定理可得：，所以，即，
所以，又，故，
所以，故選：D.
3.（江蘇省常州市第一中學(xué)2022-2023年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)試題）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，焦距為，點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，點(diǎn)P是橢圓上的動點(diǎn)，且恒成立，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，以及列不等式，化簡后求得橢圓的離心率的取值范圍.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，所以①，而②，，由①②得，即.所以.
因?yàn)椋裕矗扇切蔚男再|(zhì)可得，因?yàn)槭菣E圓上的動點(diǎn)，且恒成立，所以，所以，即，所以橢圓離心率的取值范圍是.
故選：A
4.（2023春·陜西西安·高三校考階段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線與的左支分別交于兩點(diǎn)，且，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，，則的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】由條件結(jié)合雙曲線定義列出關(guān)于的齊次方程，由此可求的離心率.
【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為， 則，因?yàn)椋裕?br/>由雙曲線定義可得，所以
因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，，所以，即
所以，所以，所以離心率，故選：A.
題型七：離心率：焦半徑型
橢圓焦半徑 焦半徑范圍： (長軸頂點(diǎn)到焦點(diǎn)最近和最遠(yuǎn)，即遠(yuǎn)、近地點(diǎn)) 雙曲線焦半徑 動點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距離最小值為：
1.（江蘇省啟東中學(xué)2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，若橢圓上存在點(diǎn)，使得，則該離心率的取值范圍是________．
【答案】.
由題意可得：|PF1|=e|PF2|，又|PF1|+|PF2|=2a，所以|PF2|(1+e)=2a ，
由于a-c≤|PF2|≤a+c，所以(a+c)(1+e)≥2a ①，且(a-c)(1+e)≤2a ②，
①式兩邊除以a，得(1+e)(1+e)≥2，解得e≥②式兩邊除以a，得(1-e)(1+e)≤2，恒成立，
所以離心率e的取值范圍是.
2.（2022-2023學(xué)年江西省上饒中學(xué)高三下學(xué)期第一次月）已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上任意一點(diǎn)，若的最小值為，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設(shè)，則，根據(jù)雙曲線的定義，再利用基本不等式求出的最小值，從而得到，即可求出離心率的取值范圍.
【詳解】解：設(shè)，則，由雙曲線的定義知，
∴，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
∴當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r，，，此時，解得，又，∴．
故選：C．
3.（遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)、大連八中、大連二十四中、鞍山一中、東北育才學(xué)校2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期考試數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，若橢圓上存在一點(diǎn)使得，則該橢圓的離心率的取值范圍是______．
【答案】
【詳解】根據(jù)焦半徑公式，化簡得，解得，根據(jù)橢圓橫坐標(biāo)的取值范圍，得，不等式同時除以化為.解得.即離心率的取值范圍為.
4.（2023秋·廣東深圳·高三校考）設(shè)，是雙曲線的左右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)P滿足，則雙曲線離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意，設(shè)，先由雙曲線的定義，再利用余弦定理，由題意可得，最后再用可得、的不等關(guān)系，可得離心率.
【詳解】由題，取點(diǎn)為右支上的點(diǎn)，設(shè)，
根據(jù)雙曲線的定義知：，
在三角形中，由余弦定理可得：，
又因?yàn)?可得，即，
又因?yàn)椋?所以
即，.
故選：.
題型八：離心率：第三定義型
（1）橢圓 1.是橢圓上兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，則（可用點(diǎn)差法快速證明） 結(jié)論拓展 已知直線：與橢圓相交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則. 如果是焦點(diǎn)在y軸上，則是 2.是雙曲線上兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，則（可用點(diǎn)差法快速證明） 結(jié)論拓展 已知直線：與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則. 如果是焦點(diǎn)在y軸上，則是
1.（陜西省渭南市富平縣2023屆高三下學(xué)期二模理科數(shù)學(xué)試題）已知點(diǎn)在橢圓上，是橢圓的左焦點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在圓上．記直線的斜率為，若，則橢圓離心率的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設(shè)的中點(diǎn)為，由題意得，設(shè)，則，在中，利用余弦定理，即可求得橢圓離心率的取值范圍.
【詳解】
設(shè)的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)辄c(diǎn)在上， ，所以，，
設(shè)，則，所以，，在中，由余弦定理得
，所以，所以，
離心率，故選：D.
2.（2022·新疆喀什·高十三新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學(xué)校考開學(xué)考試）過雙曲線的右焦點(diǎn)F作一條漸近線的垂線，垂足為M，且FM的中點(diǎn)A在雙曲線上，則雙曲線離心率e等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意可表示出漸近線方程，進(jìn)而可知的斜率，表示出直線方程，求出的坐標(biāo)進(jìn)而求得A點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程整理求得和的關(guān)系式，進(jìn)而求得離心率．
【詳解】：
由題意設(shè)相應(yīng)的漸近線：，
則根據(jù)直線的斜率為，則的方程為 ，
聯(lián)立雙曲線漸近線方程求出，
則，，則的中點(diǎn)，
把中點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程中，即，
整理得 ，即 ，求得，即離心率為，
故答案為：．
3.（山西省臨汾市2022屆高三二模數(shù)學(xué)試題）已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，與橢圓上、下頂點(diǎn)連線的斜率之積為，則的離心率為_________.
【答案】
【分析】設(shè)點(diǎn)，則，可得出，利用斜率公式結(jié)合已知條件可得出，再利用離心率公式可求得橢圓的離心率的值.
【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，則，則，
橢圓的上、下頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，
所以，由已知可得，可得，
所以，.故答案為：.
4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，直線與雙曲線的左支交于點(diǎn) ，且恰為線段的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為 （ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】利用中位線關(guān)系求得，再利用雙曲線的定義，表示的三邊，最后根據(jù)勾股定理求雙曲線的離心率.
【詳解】連結(jié)，因?yàn)辄c(diǎn)分別為和的中點(diǎn)，所以，且
設(shè)點(diǎn)到一條漸近線的距離，所以
，又，所以，中，滿足，整理為：，
雙曲線的離心率.故選：D
題型九：離心率：雙三角形雙余弦定理型
焦點(diǎn)弦型雙三角形雙余弦定理，常見的一般模型如下圖： 可分別在倆三角形中各自用余弦定理，聯(lián)立解離心率
1.（廣東省佛山市2022-2023學(xué)年高三教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的焦點(diǎn)為，，過的直線與交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意可表示出、、，在在和中利用余弦定理，再根據(jù)，得到方程，解得.
【詳解】解：，，
在和中利用余弦定理可得
。
即
化簡可得同除得：解得或（舍去）故選：
2.（東北三省三校2023屆高三聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)試題）橢圓的左焦點(diǎn)為點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，，，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，根據(jù)橢圓的對稱性，得到，分別在和，利用余弦定理列出方程組，求得，結(jié)合離心率的定義，即可求解.
【詳解】解：設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，根據(jù)橢圓的對稱性可知，四邊形為平行四邊形，令，在中，，
則，即
在中，，則，
即，聯(lián)立方程組，解得，
因?yàn)椋詸E圓的離心率為.故選：B.
3.已知橢圓=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F，橢圓上的A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，|FA|=2|FB|，且·≤ a2，則該橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A．（0，] B．（0，] C．，1) D．，1)
【答案】B
【分析】如圖設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為E，根據(jù)題意和橢圓的定義可知，
利用余弦定理求出，結(jié)合平面向量的數(shù)量積計(jì)算即可.
【詳解】由題意知，如圖，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為E，則，
因?yàn)辄c(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以四邊形為平行四邊形，由，得，，
在中，，所以，
由，得，整理，得，又，
所以.故選：B
4.如圖，橢圓M：的左、右焦點(diǎn)分別為，，兩平行直線，分別過，交M于A，B、C，D四點(diǎn)，且，，則M的離心率為___．
【答案】
【分析】設(shè)，根據(jù)橢圓定義、對稱性得到、、、，再利用勾股定理得到參數(shù)的齊次方程，進(jìn)而求離心率.
【詳解】設(shè)，則，故．
由橢圓的對稱性知：，連接，則．
又，，所以，
在Rt中，即，解得，則，．
在中，即＋，得，所以M的離心率．
故答案為：
題型十：離心率：重心型
1.（2023春·四川廣安·高三四川省廣安友誼中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)為雙曲線的虛軸的上頂點(diǎn)，為雙曲線的右焦點(diǎn)，存在斜率為的直線交雙曲線于點(diǎn)兩點(diǎn)，且的重心為點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】聯(lián)立直線與雙曲線方程，得和，根據(jù)三角形重心坐標(biāo)公式列式，得到，結(jié)合，可求出離心率.
【詳解】，設(shè)，
設(shè)斜率為的直線為，
聯(lián)立，消去并整理得，
，，即，
設(shè)，，則，
，
因?yàn)榈闹匦臑辄c(diǎn)，所以，，
所以，，所以，，
消去得，得，得，
得，得，得，得，.故選：A
2.已知橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為點(diǎn)和點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn)，若恰好為的重心，則橢圓的離心率為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由題設(shè)，利用為的重心，求出線段的中點(diǎn)為，將B代入直線方程得，再利用點(diǎn)差法可得，結(jié)合，可求出，進(jìn)而求出離心率.
【詳解】由題設(shè)，則線段的中點(diǎn)為，
由三角形重心的性質(zhì)知，即，解得：
即代入直線，得①.
又B為線段的中點(diǎn)，則，
又為橢圓上兩點(diǎn)，，
以上兩式相減得，
所以，化簡得②
由①②及，解得：，即離心率. 故選：C.
3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，，若直線與的右支交于兩點(diǎn)，且為的重心，則的離心率的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，根據(jù)為的重心，求得，由直線與的右支交于兩點(diǎn)，得到，求得，再由時，證得四點(diǎn)共線不滿足題意，即可求得雙曲線 的離心率的取值范圍.
【詳解】由題意，雙曲線的右焦點(diǎn)為，且，
設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹匦模裕?br/>即，解得，即，
因?yàn)橹本€與的右支交于兩點(diǎn)，則滿足，
整理得，解得或（舍去），
當(dāng)離心率為時，即時，可得，此時，
設(shè)，可得，
又由，兩式相減可得，即直線的斜率為，
又因?yàn)椋裕藭r四點(diǎn)共線，此時不滿足題意，
綜上可得，雙曲線 的離心率的取值范圍為.故選：A.
題型十一：離心率：內(nèi)心型（角平分線）
1.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為橢圓上不同于左、右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，為的內(nèi)心，且，若橢圓的離心率為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，根據(jù)題意化簡得到，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到答案.
【詳解】設(shè)內(nèi)切圓的半徑為
則，，·
∵，∴
整理得.∵為橢圓上的點(diǎn)，∴，解得.
故選：
2.（2023秋·河南鄭州·高三鄭州市第一〇六高級中學(xué)校考）已知點(diǎn)P是雙曲線（a0，b0）右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，M是△PF1F2的內(nèi)心，若成立，則雙曲線的離心率為（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】設(shè)圓與的三邊，，分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，連接ME，MF，MG，易得，，，設(shè)r為圓M的半徑，分別計(jì)算、和，由可得，再結(jié)合雙曲線的定義，可得出，最后求得離心率即可.
【詳解】
如圖，設(shè)圓M與的三邊分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，連接ME，MF，MG，則，設(shè)r為內(nèi)切圓M的半徑，
，
，化簡得：，
由雙曲線的定義可得：，∴離心率故選：D.
3..已知橢圓C：1（ab0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓C上不與左右頂點(diǎn)重合的動點(diǎn)，設(shè)I，G分別為△PF1F2的內(nèi)心和重心.當(dāng)直線IG的傾斜角不隨著點(diǎn)P的運(yùn)動而變化時，橢圓C的離心率為_____.
【答案】
【解析】首先找到特殊位置，即取P在上頂點(diǎn)時，內(nèi)心和重心都在y軸上，由于內(nèi)心和重心連線的斜率不隨著點(diǎn)P的運(yùn)動而變化，可得：GI始終垂直于x軸，可得內(nèi)切圓半徑為y0，再利用等面積法列式解方程可得：.
【詳解】當(dāng)直線IG的傾斜角不隨著點(diǎn)P的運(yùn)動而變化時，取P特殊情況在上頂點(diǎn)時，
內(nèi)切圓的圓心在y軸上，重心也在y軸上，
由此可得不論P(yáng)在何處，GI始終垂直于x軸，
設(shè)內(nèi)切圓與邊的切點(diǎn)分別為Q，N，A，如圖所示：
設(shè)P在第一象限，坐標(biāo)為：（x0，y0）連接PO，則重心G在PO上，
連接PI并延長交x軸于M點(diǎn)，連接GI并延長交x軸于N，則GN⊥x軸，作PE垂直于x軸交于E，
可得重心G（，）所以I的橫坐標(biāo)也為，|ON|，由內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，PG=PA，F(xiàn)1Q=F1N，NF2=AF2，
所以PF1﹣PF2=（PG+QF1）﹣（PA+AF2）=F1N﹣NF2
=（F1O+ON）﹣（OF2﹣ON）=2ON，而PF1+PF2=2a，所以PF1=a，PF2=a，
由角平分線的性質(zhì)可得，所以可得OM，所以可得MN=ON﹣OM，所以ME=OE﹣OM=x0，所以，即INPEy0，（PF1+F1F2+PF2）IN，即（2a+2c），
所以整理為：，故答案為：.
題型十二：離心率：共焦點(diǎn)橢圓雙曲線型
橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)、，它們的交點(diǎn)對兩公共焦點(diǎn)、的張角為，橢圓與雙曲線的離心率分別為、，則．
1.（2023·高三課時練習(xí)）橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，，它們的交點(diǎn)為，且.若橢圓的離心率為，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義以及焦點(diǎn)三角形中用余弦定理、離心率公式即可求解.
【詳解】不妨設(shè)P為第一象限的點(diǎn)，
在橢圓中： ① ,在雙曲線中: ②,
聯(lián)立①②解得, ,在中由余弦定理得：
即即
橢圓的離心率，雙曲線的離心率，故選：B
2.（2023秋·高三聯(lián)考）已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，，其中為右焦點(diǎn)，兩曲線在第一象限的交點(diǎn)為，離心率分別為，．若線段的中垂線經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實(shí)半軸長為，焦距為，利用中垂線可得到，利用橢圓和雙曲線的定義可得到，即可求得答案
【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實(shí)半軸長為，焦距為，
因?yàn)榫€段的中垂線經(jīng)過點(diǎn)，所以是以為底邊的等腰三角形，
則，
由橢圓和雙曲線的定義可得，
兩式相加得，兩邊同時除以得，
所以，故選：B
3.（2023·全國·高三模擬）已知橢圓：與雙曲線：（，）具有共同的焦點(diǎn)，，離心率分別為，，且.點(diǎn)是橢圓和雙曲線的一個交點(diǎn)，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設(shè)，.根據(jù)圓錐曲線定義與勾股定理可得，從而可得，結(jié)合，可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)，.在橢圓中，，
所以.在雙曲線中，，
所以，所以，即，得，即.
因?yàn)椋裕獾?故選：C
.4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)相同，離心率分別為，，且滿足，，是它們的公共焦點(diǎn)，P是橢圓和雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】設(shè) ， ，利用余弦定理可得，再分別利用橢圓與雙曲線的定義可得，可得，結(jié)合，解方程即可得答案.
【詳解】設(shè) ， ，在橢圓：中，，
， 在雙曲線：中，
， 即，則
所以，又因?yàn)椋裕?br/>解得，故選：C.
題型十三：離心率：雙曲線漸近線型
與雙曲線有相同漸近線時，可設(shè)所求雙曲線方程為． 焦點(diǎn)到漸近線的距離為：； 漸近線求法結(jié)論：可直接令方程等號右邊的常數(shù)為0，化簡解得
1.（2023·陜西咸陽·陜西咸陽中學(xué)校考模擬預(yù)測）若雙曲線 的一條漸近線的傾斜角是另一條漸近線傾斜角的3倍，則該雙曲線的離心率為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】求出兩漸近線的傾斜角，得到漸近線方程，得到，求出離心率.
【詳解】因?yàn)橐粭l漸近線的傾斜角是另一條漸近線傾斜角的3倍，且這兩條漸近線傾斜角的和等于，
所以漸近線的傾斜角分別為，故漸近線方程為，
故，，故離心率為.
故選：B.
2.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線（，）與直線無公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可知：雙曲線與沒有公共點(diǎn)，則，即可求解.
【詳解】雙曲線的漸近線方程為：，若雙曲線（，）與直線無公共點(diǎn)，則應(yīng)有，所以離心率，
故選：D
3.（2023·山西晉中·統(tǒng)考二模）已知雙曲線：的左 右焦點(diǎn)分別為，，平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，的面積為，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，直線為雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B．或 C． D．2
【答案】B
【分析】先求邊長，然后根據(jù)相似三角形求邊長，再由面積得a、b、c的齊次式，然后可求.
【詳解】由題意，可得圖象如圖所示，因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，
所以，所以，因?yàn)榻裹c(diǎn)到漸近線的距離，所以，又因?yàn)椋?br/>所以，所以，，所以，所以，
所以，解得或，
故或.故選：B.
4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為、，過的直線與雙曲線 C 的兩條漸近線分別交于A、B兩點(diǎn)，A是的中點(diǎn)，且，則雙曲線C的離心率（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】由已知可得，設(shè)，，，，由點(diǎn)在漸近線上，求得點(diǎn)坐標(biāo)，再由為的中點(diǎn)，得到點(diǎn)坐標(biāo)，把代入漸近線，即可求得的離心率．
【詳解】 A是的中點(diǎn)，為△的中位線， ，所以，所以．
設(shè)，，，，點(diǎn)在漸近線上，，得．
又為的中點(diǎn)，，在漸近線上，，得，則雙曲線的離心率．故選：B
題型十四：離心率：求參數(shù)
1.（2023秋·高三專題練習(xí)）已知分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，為雙曲線上一點(diǎn)，且為等腰三角形，若雙曲線的離心率為，則的度數(shù)為（　　）
A．30° B．60° C．120° D．30°或120°
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可得，再設(shè)，分與兩種情況分別列式求解即可.
【詳解】雙曲線的離心率為 ,則，雙曲線方程為 ，
若，設(shè)，則 ，兩式相加有，即，由圖，故，
∴，所以∠PBx=60°,∴∠ABP=120°；
若，設(shè)，則 ，兩式相加有，即，由圖，故，
∴，所以∠PAB=120°,∴∠ABP=30°.
故選：D
2.（2023秋·湖南長沙·高三湖南師大附中階段練習(xí)）已知方程的三個實(shí)根可分別作為一橢圓、一雙曲線、一拋物線的離心率，則的取值范圍是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)拋物線的離心率為，可得，所以，根據(jù)方程另外兩根分別是一橢圓、一雙曲線的離心率，故有兩個分別屬于和的零點(diǎn)，故有且，即且，運(yùn)用線性規(guī)劃知識可求得.
【詳解】令，由于拋物線的離心率為，可得，故，
所以，令，
因?yàn)榉匠塘硗鈨筛謩e是一橢圓、一雙曲線的離心率，
所以有兩個分別屬于和的零點(diǎn)，故有且，即且，則問題轉(zhuǎn)化為在條件下，求的取值范圍，作出可行域如圖：
聯(lián)立，解得，所以，
因?yàn)楸硎军c(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離的平方，由圖可知，點(diǎn)為最優(yōu)解，所以，
所以的取值范圍是.故選：D
3.（2023·甘肅·統(tǒng)考二模）若直線和直線相交于一點(diǎn)，將直線繞該點(diǎn)依逆時針旋轉(zhuǎn)到與第一次重合時所轉(zhuǎn)的角為，則角就叫做到的角，，其中分別是的斜率，已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，是右頂點(diǎn)，是直線上的一點(diǎn)，是雙曲線的離心率，，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設(shè)的斜率為，故，由對稱性可設(shè)，令，結(jié)合基本不等式可求解.
【詳解】解：設(shè)的斜率為，由題意可知： ，
不妨設(shè)，當(dāng)時由對稱性可知結(jié)果一致，則：，
令，則，當(dāng)取得最小值時滿足題意，
很明顯，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
此時：.故選:C.
4.（2023全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的離心率為，其中一條漸近線的傾斜角的取值范圍是，其斜率為，則的取值范圍是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由題意，可得，即，轉(zhuǎn)化，分析單調(diào)性，即得解
【詳解】雙曲線漸近線方程為，所以，即，所以，
則，記，
則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，.
所以，故選：D
題型十五：拋物線：定義型最值轉(zhuǎn)化
拋物線y2＝2px(p>0)焦點(diǎn)弦AB，設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)E，準(zhǔn)線為l. 焦半徑問題： ①焦半徑：|AF|＝|AD|＝x1＋，|BF|＝|BC|＝x2＋ (隨焦點(diǎn)位置變動而改變)； ②焦點(diǎn)弦：|AB|＝x1＋x2＋p＝ (其中，α為直線AB的傾斜角) ③＋＝； 焦半徑公式得：，， (2)A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積為定值，即x1·x2＝，y1·y2＝－p2 (隨焦點(diǎn)動而變)； 圖4 (3)其他結(jié)論：①S△OAB＝(其中，α為直線AB的傾斜角)； ②以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切于點(diǎn)H．
1.已知點(diǎn)為拋物線上的動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到的距離為，到直線的距離為，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直線為拋物線的準(zhǔn)線，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，過焦點(diǎn)作直線的垂線，此時最小，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式即可求解.
【詳解】直線為拋物線的準(zhǔn)線，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，過焦點(diǎn)作直線的垂線，
如下圖所示，此時最小，為點(diǎn)到直線的距離.
，則．故選：B．
2.是拋物線上的動點(diǎn)，到軸的距離為，到圓上動點(diǎn)的距離為，則的最小值為________．
【答案】##
【分析】求出圓心坐標(biāo)和拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，把的最小值轉(zhuǎn)化為減去圓的半徑，再減去拋物線焦點(diǎn)到原點(diǎn)的距離即可得答案.
【詳解】圓的圓心為，半徑，
拋物線的焦點(diǎn)，
因?yàn)槭菕佄锞€上的動點(diǎn)，到軸的距離為，到圓上動點(diǎn)的距離為，
所以要使最小，即到拋物線的焦點(diǎn)與到圓的圓心的距離最小，
連接，則的最小值為減去圓的半徑，再減去拋物線焦點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，
即，所以的最小值為，故答案為：
3.設(shè)是拋物線上的一個動點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，記點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離之和的最小值為若記的最小值為則____．
【答案】##
【分析】當(dāng)P、A、F三點(diǎn)共線時，點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與到直線的距離之和最小，由兩點(diǎn)間的距離公式可得M，當(dāng)P、B、F三點(diǎn)共線時，最小，由點(diǎn)到直線距離公式可得.
【詳解】如圖所示，過點(diǎn)作垂直于直線，垂足為點(diǎn)，
由拋物線的定義可得，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時，取到最小值，即．
如圖所示，過點(diǎn)作直線垂直于直線，垂足為點(diǎn)，由拋物線的定義可得
點(diǎn)到直線的距離為，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時，等號成立，即，因此．故答案為：
4.點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，若對于拋物線上的任意點(diǎn)，的最小值為41，則的值等于______.
【答案】42或22
【分析】當(dāng)點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部時，得到當(dāng)三點(diǎn)共線時，此時的距離最小，即可求解；當(dāng)點(diǎn)在拋物線的外部時，當(dāng)三點(diǎn)共線時，的距離最小，即可求解.
【詳解】由題意，（1）當(dāng)點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部或曲線上時，則滿足，解得，
過點(diǎn)點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，根據(jù)拋物線的定義，可得，
所以,
當(dāng)三點(diǎn)共線時，此時的距離最小，且最小值為，
可得，解得；
（2）當(dāng)點(diǎn)在拋物線的外部時，則滿足，解得，
如圖所示，
當(dāng)三點(diǎn)共線時，的距離最小，且最小值為，
即，解得或（舍去），
綜上所述，實(shí)數(shù)的值等于42或22.
故答案為42或22.
題型十六：拋物線焦點(diǎn)弦：梯形轉(zhuǎn)化型
有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p， 若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式. （2）本題還運(yùn)用到點(diǎn)差法，設(shè)而不求，利用拋物線方程作差有效地簡化了計(jì)算量，從而到達(dá)所需的變量等式，此方法在橢圓和雙曲線中也廣泛運(yùn)用.
1.過拋物線的焦點(diǎn)F的直線l（不平行于y軸）交拋物線于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中垂線交x軸于點(diǎn)M，若，則線段FM的長度為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】先設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，則，再把的中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率表示出來，
進(jìn)一步可以求出線段AB的中垂線的方程，只需令，則的橫坐標(biāo)，故可計(jì)算出線段FM的長度為.
【詳解】設(shè)，，由拋物線性質(zhì)可知.
，由題可知.，即設(shè)線段AB的中垂線的斜率為，則.所以AB的中垂線方程為：
令，則的橫坐標(biāo)則
所以線段FM的長度為2.故選：B.
2.（河南省創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期入學(xué)摸底考試）已知是拋物線上的兩點(diǎn)，且，則線段的中點(diǎn)到軸的距離的最小值為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】過作準(zhǔn)線的垂線，設(shè)的中點(diǎn)為，過作軸的垂線，根據(jù)梯形中位線和拋物線的定義可知，由此可求得最小值.
【詳解】由拋物線方程知其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為；
分別過作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，與分別交軸于，
則，．
設(shè)的中點(diǎn)為，過作軸的垂線，垂足為，
（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時，等號成立）線段的中點(diǎn)到軸的距離的最小值為．故選：B.
3.（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，直線過點(diǎn)且與拋物線交于，兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則（ ）
A． B．拋物線的方程為
C．直線的方程為 D．
【答案】ACD
【分析】由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離可求得，則可判斷A正確，B錯誤；利用斜率坐標(biāo)計(jì)算公式幾何中點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算公式可求得直線的斜率，從而求得的方程，可判斷C正確；，所以從而判斷D正確.
【詳解】因?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，根據(jù)拋物線的定義可知，故A正確
故拋物線的方程為，焦點(diǎn)，故B錯誤
則，．
又是的中點(diǎn)，則，所以，
即，所以直線的方程為．故C正確
由，
得．故D正確
故選：ACD．
4.（湖南省邵陽市第二中學(xué)2022-2023學(xué)年考試數(shù)學(xué)試題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，過的中點(diǎn)作軸的垂線與拋物線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，若，則直線的方程為__________．
【答案】
【詳解】分析：求出拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，設(shè)，直線方程為，由與拋物線方程消去得關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系算出的坐標(biāo)，根據(jù)，利用兩點(diǎn)間的距離公式解出，進(jìn)而得到結(jié)論.
詳解：拋物線方程為，拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，
設(shè)，因?yàn)樵诘谝幌笙蓿灾本€的斜率，設(shè)直線方程為，
代入拋物線方程消去，得，，
過的中點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線與拋物線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得，
，，
得到，可得，，，解之得，
所以，直線方程為，即,，故答案為.
5.（內(nèi)蒙古赤峰二中2023屆高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題）拋物線的焦點(diǎn)為F ，已知點(diǎn)A ，B 為拋物線上的兩個動點(diǎn)，且滿足.過弦AB 的中點(diǎn)M 作拋物線準(zhǔn)線的垂線MN ，垂足為N，則 的最大值為__________．
【答案】1
【分析】設(shè)|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF．由拋物線定義得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=
（a+b）2﹣3ab，進(jìn)而根據(jù)基本不等式，求得|AB|的取值范圍，從而得到本題答案．
【詳解】設(shè)|AF|=a，|BF|=b，由拋物線定義，得AF|=|AQ|，|BF|=|BP|。在梯形ABPQ中，∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab。配方得，|AB|2=（a+b）2﹣3ab，
又∵ab≤（） 2，∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2
得到|AB|≥（a+b）．∴≤1，即的最大值為1．故答案為：1．
題型十七：拋物線焦點(diǎn)弦極坐標(biāo)公式應(yīng)用
設(shè)是過拋物線的焦點(diǎn)的弦，若，，則： 若點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第四象限，則，， 弦長，（為直線的傾斜角）；
1.如圖，過拋物線的焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AB、CD，若與面積之和的最小值為32，則拋物線的方程為___________．
【答案】
【分析】設(shè)直線AB的傾斜角為銳角，則直線CD的傾斜角為，利用焦半徑公式分別求出、、、，并求出與面積之和的表達(dá)式，通過不斷換元，并利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性求出兩個三角形面積之和的最小值，求出p的值，于是得出拋物線的方程．
【詳解】解：設(shè)直線AB的傾斜角為銳角，則直線CD的傾斜角為，
由焦半徑公式得：，，，，
的面積為：
，
同理可得的面積為：，令，
則與面積之和為：，
再令，則與面積之和為：，
由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)時，與面積之和取到最小值，
即，由于，得，因此，拋物線的方程為．故答案為：．
2.若過拋物線的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，且直線l的傾斜角，點(diǎn)A在x軸上方，則的取值范圍是______．
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，利用點(diǎn)A的橫坐標(biāo)及表示，再利用拋物線定義結(jié)合的范圍求解作答.
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，，如圖，
設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是，則有，由拋物線定義知，
于是得，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，即，
因此，即有，所以的取值范圍是.
故答案為：
3.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過焦點(diǎn)的直線交拋物線與兩點(diǎn)，且，則拋物線的準(zhǔn)線方程為________.
【答案】
【分析】根據(jù)題意作出圖形，設(shè)直線與軸的夾角為，不妨設(shè)，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)作準(zhǔn)線與軸的垂線，垂足分別為，過點(diǎn)分別作準(zhǔn)線和軸的垂線，垂足分別為，進(jìn)一步可以得到，進(jìn)而求出，同理求出，最后解得答案.
【詳解】設(shè)直線與軸的夾角為，根據(jù)拋物線的對稱性，不妨設(shè)，如圖所示.設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)作準(zhǔn)線與軸的垂線，垂足分別為，
過點(diǎn)分別作準(zhǔn)線和軸的垂線，垂足分別為.
由拋物線的定義可知，，
同理：,
于是，，則拋物線的準(zhǔn)線方程為：.
故答案為：.
題型十八：拋物線切線型
（1）點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，則拋物線過點(diǎn)P的切線方程是：； （2）點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，則拋物線過點(diǎn)P的切線方程是：．
1.（四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三學(xué)期聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題）已知F為拋物線C：的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，拋物線在點(diǎn)A，B處的切線分別為和，若和交于點(diǎn)P，則的最小值為______．
【答案】4
【分析】設(shè)直線：，利用韋達(dá)定理求得，設(shè)，利用判別式求得直線的方程，進(jìn)而得到的坐標(biāo)，從而可得，再利用基本不等式即得.
【詳解】由題可知，設(shè)直線：，直線:與聯(lián)立消，得，
設(shè)，，則，，∴，設(shè)，由，可得，
∴，又，∴，∴，即，
同理可得，所以可得，即，∴，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號.
故答案為：4.
2.（四川省成都市第七中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第三次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為和，又直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，那么=______.
【答案】4
【分析】由題意，利用兩種方法化簡所求代數(shù)式，
方法一：設(shè)出過與拋物線的切線的點(diǎn)斜式方程，聯(lián)立方程，由切點(diǎn)性質(zhì)，則，可得方程，根據(jù)題意，結(jié)合韋達(dá)定理，可得，同樣的思路，設(shè)出過焦點(diǎn)的直線，聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理，可得，故可得第一種所求代數(shù)式的表示；
方法二：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線斜率，可得，結(jié)合方法一中，可得第二種所求代數(shù)式的表示；
綜上建立方程，求得的值，進(jìn)而求得答案.
【詳解】由題意，顯然過點(diǎn)作拋物線的切線的斜率存在，設(shè)該斜率為，
則該切線方程為，即，
聯(lián)立，消去可得，
由于切線與拋物線只有唯一交點(diǎn)，則，
整理可得，
由題意，可知為方程的兩個根，則，
由題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，消去可得，由題意可知為該方程的兩個根，則，故，由拋物線方程，可得函數(shù)與函數(shù)，則與不妨設(shè)在第一象限，則，即，且，由設(shè)在第一象限，則在第四象限，即，可得，且，故，由，則，綜上可得，解得，故.故答案為：.
3..（上海市控江中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）已知是拋物線：上一點(diǎn)，且位于第一象限，點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為4，過點(diǎn)向拋物線作兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則（ ）
A． B．1 C．16 D．
【答案】B
【分析】先通過拋物線的定義求出拋物線的方程，再設(shè)，然后求出并化簡，然后求出直線AB的方程并代入拋物線方程，最后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求得答案.
【詳解】如示意圖，由拋物線的定義可知點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離為4，則，即拋物線，則.
設(shè)，則.
由，則，所以，，
因?yàn)辄c(diǎn)在這兩條直線上，所以，于是點(diǎn)A,B都在直線上，即，代入拋物線方程并化簡得：，由根與系數(shù)的關(guān)系可知.
于是.
故選：B.

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