資源簡介

培優(yōu)沖刺11圓錐曲線綜合大題歸類
目錄
題型一：韋達(dá)定理基礎(chǔ)版 1
題型二：面積最值型 4
題型三：面積比值型求范圍 6
題型四：四邊形面積范圍型 10
題型五：“三定”型：直線定點(diǎn) 14
題型六：“三定”型：定值 17
題型七：“三定”型：定直線 19
題型八：斜率型：斜率和定 23
題型九：斜率型：斜率積型 26
題型十：斜率型：斜率比型 29
題型十一：斜率型：三斜率型 32
題型十二：切線型 34
題型十三：韋達(dá)定理不能直接用：定比分點(diǎn)型 37
題型十四：韋達(dá)定理不能直接用：點(diǎn)代入型 40
題型十五：韋達(dá)定理不能直接用：坐標(biāo)運(yùn)算型 42
題型十六：韋達(dá)定理不能直接用：非對稱型代入 45
題型十七：19題卷型圓錐新定義題 48
題型一：韋達(dá)定理基礎(chǔ)版
基本模板實(shí)戰(zhàn)模板 1、設(shè)點(diǎn)， 2、方程1：設(shè)直線：-----此處還有千言萬語，在后邊分類細(xì)說。 3、方程2：曲線：橢圓，雙曲線，拋物線，或者其他（很少出現(xiàn)），注意一個計算技巧，方程要事先去分母 4、方程3:聯(lián)立方程，整理成為關(guān)于x(或者y）的一元二次方程。要區(qū)分，橢圓，雙曲線，和拋物線聯(lián)立后方程 的二次項能否為零-----這就是實(shí)戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)。 5、（1）； （2）二次項系數(shù)是否為0；------這兩條，根據(jù)題確定是直接用，或者冷處理。但是必須考慮。 6、方程4、5：韋達(dá)定理 7、尋找第六個方程，第六個方程其實(shí)就是題目中最后一句話
1.已知圓:，一動圓與直線相切且與圓外切．
(1)求動圓圓心的軌跡的方程；
(2)若經(jīng)過定點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過作軸的平行線與曲線相交于點(diǎn)，試問是否存在直線，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．
2.（安徽省合肥市2023屆高三下學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）已知曲線C：，從曲線C上的任意點(diǎn)作壓縮變換得到點(diǎn)．
(1)求點(diǎn)所在的曲線E的方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)的直線交曲線E于A，B兩點(diǎn)，試判斷以AB為直徑的圓與直線的位置關(guān)系，并寫出分析過程．
3.（2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試新高考仿真模擬卷數(shù)學(xué)）已知分別為雙曲線左、右焦點(diǎn)，在雙曲線上，且．
(1)求此雙曲線的方程；
(2)若雙曲線的虛軸端點(diǎn)分別為（在軸正半軸上），點(diǎn)在雙曲線上，且，，試求直線的方程．
【答案】(1)(2)或
【分析】（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算和點(diǎn)在雙曲線上，可構(gòu)造方程組求得的值，由此可得雙曲線方程；
（2）由三點(diǎn)共線可設(shè)，與雙曲線方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的結(jié)論，利用向量垂直的坐標(biāo)表示，代入韋達(dá)定理結(jié)論可解方程求得的值，由此可得直線方程.
【詳解】（1）設(shè)，，則，，
，解得：，；又在雙曲線上，則，，，
雙曲線的方程為：.
（2）由（1）得：，，，三點(diǎn)共線，
直線斜率顯然存在，可設(shè)，，，
由得：，，即且，
，，
，，又，，
，
解得：，滿足且，直線方程為：或.
題型二：面積最值型
求最值求范圍，屬于前邊知識額綜合應(yīng)用，主要是以下兩點(diǎn)要注意 注意變量的范圍。 式子轉(zhuǎn)化為求值域或者求最值的專題復(fù)習(xí) 一些常見的思維： 1.可以借助均值不等式求最值。 2.分式型，多可以通過構(gòu)造來求最值，如下幾種常見的。 分式型：以下幾種求最值的基本方法 （1）反比例函數(shù)型：，可以分離常數(shù)，利用“左加右減上加下減”畫圖 （2）與型，可以設(shè)，換元，簡化一次項，然后構(gòu)造均值或者對勾函數(shù)求解。 （3）型，判別式法，或者分離常數(shù)，然后轉(zhuǎn)化分子為一次，再換元求解
1.已知雙曲線 ，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，的焦點(diǎn)是的左焦點(diǎn) .
（1）求證：與總有兩個不同的交點(diǎn)；
（2）是否存在過的焦點(diǎn)的弦，使的面積有最大值或最小值 如果存在，求出所在的直線方程與最值的大小；如果不在在，說明理由.
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【詳解】（l），.由消去，得.
， ①
方程①有實(shí)根 、.
又，則兩根異號.不妨設(shè)，.
當(dāng)時， 無實(shí)根.
當(dāng)時， 有兩個不同實(shí)根，從而，和有兩個不同的交點(diǎn).
（2）假設(shè)符合條件的弦存在.
（i）當(dāng)直線斜率存在時，易知.設(shè)直線的方程為.
由方程組消去，得.
.
又原點(diǎn)到直線的距離..
（i i）當(dāng)直線斜率不存在，即軸時，有.，
的最小值為，此時直線的方程為.當(dāng)時，.因此，無最大值.
2.（河南省部分重點(diǎn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期2月開學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知橢圓：的離心率為，且過點(diǎn).
(1)求橢圓的方程；
(2)過點(diǎn)作直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，，的面積分別為，，求的最大值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）將點(diǎn)代入橢圓方程，結(jié)合離心率、得出方程；
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，由對稱性得出；當(dāng)直線斜率存在且不等于零時，聯(lián)立直線和橢圓方程，由韋達(dá)定理以及三角形面積公式得，再由基本不等式求解即可；
【詳解】（1）由橢圓的離心率為，且過點(diǎn)得
橢圓的方程為
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，，則；
當(dāng)直線斜率存在且不等于零時，設(shè)直線：，
聯(lián)立可得，
設(shè)，，則，，
，，
顯然，在軸兩側(cè)，，異號，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，時，取等號.
所以的最大值為.
3.（新疆烏魯木齊市第八十中學(xué)2022-2023學(xué)年高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）設(shè)P為橢圓上任一點(diǎn)，為橢圓的焦點(diǎn)，，離心率為．
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．求的面積S的最大值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，利用橢圓的定義和離心率公式計算出的值即可；
（2）將直線代入橢圓的方程可得，，利用弦長公式求，再利用點(diǎn)到直線的距離求得高，然后用面積公式和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解
【詳解】（1）根據(jù)題意，可得，所以a=2，
又，所以，
所以橢圓的方程為：；
（2）設(shè)，
將直線代入方程，
得，
，解得，
由韋達(dá)定理可知，
所以，
則底邊的高，所以，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)（滿足）時，的面積S取最大值，該值為
題型三：面積比值型求范圍
圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略： （1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍； （2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系； （3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍； （4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍； （5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.
1.（2023上·重慶九龍坡·高三重慶市育才中學(xué)校考）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)皆為曲線上點(diǎn)，為曲線上異于的任意一點(diǎn)，且滿足直線的斜率與直線的斜率之積為.
(1)求曲線的方程：
(2)設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn)，直線的斜率分別為（其中），的面積為，以為直徑的圓的面積分別為、，若恰好構(gòu)成等比數(shù)列，求的取值范圍.
【答案】(1)；(2).
【分析】(1) 設(shè)，由題意可知，化簡即可；
(2) 設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線和橢圓方程得，由可得，設(shè)，
結(jié)合韋達(dá)定理、點(diǎn)到線的距離公式及三角形的面積公、圓的面積公式可得，，，由成等比數(shù)列，可得，進(jìn)而可得，再根據(jù)，即可求得答案.
【詳解】（1）解：設(shè)，則有
所以，所以，化簡得：，
所以曲線的方程為：；
（2）解：設(shè)直線的方程為：，則由，可得，
則，所以，即，設(shè)，
則有，，所以，
又因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離，所以，又因?yàn)椋?br/>所以，同理可得，又因?yàn)橐裕?br/>又因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，所以，所以，
即，即有，又因?yàn)椋裕獾茫?br/>所以，所以
，當(dāng)時取等號.又因?yàn)椋?br/>即，所以，即.
2.（2023上·四川成都·高三成都外國語學(xué)校校考）已知，為橢圓C：的左、右頂點(diǎn)，且橢圓C過點(diǎn)．
(1)求C的方程；
(2)過左焦點(diǎn)F的直線l交橢圓C于D，E兩點(diǎn)（其中點(diǎn)D在x軸上方），試求的取值范圍．（其中與分別表示和的面積）
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先直接得到，再把帶入橢圓方程可得，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)l：，將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及求出的范圍，然后帶入求解即可.
【詳解】（1）由題意得，把代入，解得，所以C的方程為；
（2）由（1）知：，，
明顯直線l的斜率不為零，設(shè)l：，，，
由，得，顯然，所以，，
因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋?dāng)時，，
解得，此時，當(dāng)時，，所以．
又，設(shè)，則，，解得且，
所以，綜上所述可得的取值范圍為．
3.（2023上·云南·高三云南師大附中校考階段練習(xí)）已知，為橢圓C：的左、右頂點(diǎn)，且橢圓C過點(diǎn).
(1)求C的方程；
(2)過左焦點(diǎn)F的直線l交橢圓C于D，E兩點(diǎn)（其中點(diǎn)D在x軸上方），求的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由題意得，把代入橢圓方程可得答案；
（2）①當(dāng)l斜率不存在時，易知；②當(dāng)l斜率存在時，設(shè)l，，，與橢圓方程聯(lián)立，求出、，由利用韋達(dá)定理可得，設(shè)，轉(zhuǎn)化為，可得答案.
【詳解】（1）由題意得，把代入，解得，所以C的方程為；.
（2）由（1）知：，，
①當(dāng)l斜率不存在時，易知；
②當(dāng)l斜率存在時，設(shè)l：，，，
由，得，顯然，所以，，
因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋?又，設(shè)，則，，解得且，
所以，因?yàn)椋傻玫娜≈捣秶鸀?

題型四：四邊形面積范圍型
圓錐曲線的最值問題的方法與策略： （1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來解決； （2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值（或值域）， 常用方法： 配方法； 基本不等式法； 單調(diào)性法； 三角換元法； （5）導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.
1.（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，且E的漸近線方程為．
(1)求E的方程；
(2)過作兩條相互垂直的直線和，與E的右支分別交于A，C兩點(diǎn)和B，D兩點(diǎn)，求四邊形ABCD面積的最小值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)題意得到，結(jié)合，求得的值即可；
（2）設(shè)直線，，求得，聯(lián)立方程組，利用弦長公式，求得，，得到，令，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】（1）由題意，得的漸近線方程為，
因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，即，
又因?yàn)椋裕瑒t，
故的方程為．
（2）根據(jù)題意，直線，的斜率都存在且不為0，
設(shè)直線，，其中，
因?yàn)椋c的右支有兩個交點(diǎn)，所以，，所以，
將的方程與聯(lián)立，可得，
設(shè)，則，，
所以
，用替換，可得，
所以．令，所以，
則，
當(dāng)，即時，等號成立，故四邊形面積的最小值為．
2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知O是平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且的重心G在曲線上.
(1)求拋物線C的方程；
(2)記曲線與y軸的交點(diǎn)為D，且直線AB與x軸相交于點(diǎn)E，弦AB的中點(diǎn)為M，求四邊形DEMG面積的最小值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）設(shè)直線，與拋物線聯(lián)立可得韋達(dá)定理，根據(jù)重心的性質(zhì)求出的坐標(biāo)，代入曲線即可求解；
（2）先證明四邊形為梯形，求出點(diǎn)到直線的距離，和，代入梯形的面積公式，利用基本不等式即可求解．
【詳解】（1）由題知，焦點(diǎn)，顯然直線的斜率存在，
設(shè)直線，，，，
聯(lián)立消去得，則△，
則，所以，
所以且，故，即，
整理得對任意的恒成立，故故所求拋物線的方程為．
（2）由題知，，，，，，則.
又弦AB的中點(diǎn)為M，的重心為G，則，故，所以.

點(diǎn)D到直線AB的距離，
，
所以四邊形DEMG的面積
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時四邊形DEMG面積的最小值為.
3.（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，M為橢圓E的上頂點(diǎn)，，點(diǎn)在橢圓E上.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)經(jīng)過焦點(diǎn)的兩條互相垂直的直線分別與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)，求四邊形ACBD的面積的最小值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）根據(jù)直線的斜率進(jìn)行分類討論，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求得，進(jìn)而求得四邊形面積的表達(dá)式，并利用基本不等式求得面積的最小值.
【詳解】（1）設(shè)，由，有.
又由，有（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），可得，，
可得橢圓E的方程為，
代入點(diǎn)N的坐標(biāo)，有，解得，，
故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）①當(dāng)直線AB的斜率不存在或?yàn)?時，為長軸長或，
不妨設(shè)，，
故；
②當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時，設(shè)直線AB：，，，
聯(lián)立方程，消去y得，
則，，
所以
，同理可得，
所以，因?yàn)椋?br/>當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，而，
綜上：四邊形ACBD的面積的最小值為.
題型五：“三定”型：直線定點(diǎn)
當(dāng)題中的直線既無斜率，又不過定點(diǎn)線，就要設(shè)成“雙變量”型：，依舊得討論是否存在情況 當(dāng)直線既不過定點(diǎn)，也不知斜率時，設(shè)直線，就需要引入兩個變量了。 （1）設(shè)成，此時直線包含斜率不存在，注意適當(dāng)?shù)膶Υ搜a(bǔ)充討論 （2）設(shè)成，此時直線不包含水平，也要適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充討論。 （3）設(shè)“雙變量”時，第一種設(shè)法較多。因?yàn)橐话闱闆r下，沒有了定點(diǎn)在x軸上，那么第二種設(shè)法實(shí)際上也沒有特別大的計算優(yōu)勢。如第1題。 （4）重要！雙變量設(shè)法，在授課時，一定要講清楚以下這個規(guī)律： 一般情況下，試題中一定存在某個條件，能推導(dǎo)出倆變量之間的函數(shù)關(guān)系。這也是證明直線過定點(diǎn)的理論根據(jù)之一。
1.（2023春·山東聊城·高三統(tǒng)考）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，且，是C上一點(diǎn)．
(1)求C的方程；
(2)不垂直于坐標(biāo)軸的直線l交C于M， N兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)A，線段MN的垂直平分線交x軸于點(diǎn)D，若，證明：直線l過四個定點(diǎn)中的一個．
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題意求出，即可得解；
（2）設(shè)，，，直線l的方程為，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，，再根據(jù)，求出的關(guān)系，即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）設(shè)C的焦距為2c，則，即，，，
由雙曲線的定義，得，
即，所以，
故C的方程為；
（2）設(shè)，，，直線l的方程為，
聯(lián)立，整理得，
由題意，得，則，
則，，
，
設(shè)MN的中點(diǎn)為，則，，
所以線段MN的垂直平分線的方程為，
令，得，即，所以，
由題意，得，即，從而，
當(dāng)，即時，解得或；
當(dāng)，即時，解得或，
所以直線l的方程為，或，或，或，
故直線l過四個定點(diǎn)中的一個．
2.（四川省部分重點(diǎn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期9月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知橢圓C：的右頂點(diǎn)是M（2，0），離心率為．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)過點(diǎn)T（4，0）作直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為D，問直線AD是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．
【答案】(1)(2)是，定點(diǎn)
【分析】（1）由離心率的值和右頂點(diǎn)坐標(biāo)，得出橢圓的方程；
（2）顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)，，，，，利用韋達(dá)定理求出直線的方程，得到與軸交點(diǎn)為定值，從而得出直線過定點(diǎn)．
（1）
由右頂點(diǎn)是M（2，0），得a＝2，又離心率，所以，
所以，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）
設(shè)，，顯然直線l的斜率存在．
直線l的方程為，聯(lián)立方程組
消去y得，由，得，所以，．
因?yàn)辄c(diǎn)，所以直線AD的方程為．
又，
所以直線AD的方程可化為，
即，所以直線AD恒過點(diǎn)（1，0）．
（方法二）設(shè)，，直線l的方程為，
聯(lián)立方程組消去x得，
由，得或，所以，．
因?yàn)辄c(diǎn)，則直線AD的方程為．
又，
所以直線AD的方程可化為
，此時直線AD恒過點(diǎn)（1,0），
當(dāng)直線l的斜率為0時，直線l的方程為y＝0，也過點(diǎn)（1，0）．綜上，直線AD恒過點(diǎn)（1，0）．
3.（江蘇省鹽城市伍佑中學(xué)2023-2024學(xué)年高三第一次階段考試數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C的準(zhǔn)線為，對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在直線上.
(1)求拋物線C的方程；
(2)若動直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn).在x軸上是否存在定點(diǎn)P，使得對任意實(shí)數(shù)m，總有成立？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.
【答案】(1)(2)存在，
【分析】（1）根據(jù)題意可得拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得出答案；
（2）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P，不妨設(shè)，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理求得，，由，直線AP與直線BP的斜率，滿足，整理分析從而可得出結(jié)論.
(1)解：因?yàn)閽佄锞€C的準(zhǔn)線為，對稱軸為坐標(biāo)軸，則C的對稱軸為x軸，且焦點(diǎn)在x軸上，
又焦點(diǎn)在直線上，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，
所以拋物線C的方程為；
(2)解：假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P，由得，不妨設(shè)，，，
則，
①，②，由，直線AP與直線BP的斜率，滿足，
即，
即③，
將①②代入③得：對任意m成立，則，
即存在滿足條件的定點(diǎn).
題型六：“三定”型：定值
求定值問題常見的方法有兩種： （1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)； （2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
1.（江蘇省南京市中華中學(xué)2022-2023學(xué)年高三10月月考數(shù)學(xué)試題）已知拋物線C：x2＝4y，A，B是拋物線上異于原點(diǎn)的O的兩個動點(diǎn)．
(1)若M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），求AM的最小值：
(2)若OA⊥OB，且OH⊥AB于H，問：是否存在定點(diǎn)R，使得RH為定值．若存在，求出R點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)存在定點(diǎn)，使得RH為定值
【分析】（1）設(shè)，求出后結(jié)合函數(shù)性質(zhì)得最小值；
（2）設(shè)AB方程為，，，直線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組消元后應(yīng)用韋達(dá)定理，結(jié)論代入可求得，得定點(diǎn)，由得在以為直徑的圓上，圓心為所求點(diǎn)坐標(biāo)．
（1）
設(shè)，，則，時，等號成立；
（2）
由題意可設(shè)AB方程為，，
由，得．
由得，，，
∴（舍去）或
則直線AB過定點(diǎn)
又，則H在以O(shè)N為直徑的圓上（不含y軸交點(diǎn)）
令ON的中點(diǎn)為，則，
所以，存在定點(diǎn)，使得RH為定值。
2.已知F1（－，0），F(xiàn)2（，0）為雙曲線C的焦點(diǎn)，點(diǎn)P（2，－1）在C上．
(1)求C的方程；
(2)點(diǎn)A，B在C上，直線PA，PB與y軸分別相交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線AB上，若＋，＝0，證明：存在定點(diǎn)T，使得|QT|為定值．
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）待定系數(shù)法列方程組求得的值，即可得到雙曲線C的方程；
（2）設(shè)出直線AB的方程并與雙曲線C的方程聯(lián)立，利用設(shè)而不求的方法得到M、N的坐標(biāo)，利用題給條件＋求得直線AB的過定點(diǎn)，再由＝0可得使|QT|為定值的定點(diǎn)T.
（1）設(shè)雙曲線C的方程為，由題意知，
∴雙曲線C的方程為
（2）設(shè)直線AB的方程為，A（、），B（，），P（2，－1）
，則，，
∴直線PA方程為，令，則，同理N（0，），
由，可得∴
∴
∴∴
∴
∴，
當(dāng)時，，
此時直線AB方程為恒過定點(diǎn)P（2，－1），顯然不可能
∴，直線AB方程為恒過定點(diǎn)E（0，－3）
∵，∴，取PE中點(diǎn)T，∴T（1，－2）
∴為定值，∴存在T（1，－2）使|QT|為定值．
3.（重慶市第八中學(xué)校2023屆高三上學(xué)期高考適應(yīng)性月考數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為軸，軸，且過兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程；
(2)為橢圓的右焦點(diǎn)，直線交橢圓于（不與點(diǎn)重合）兩點(diǎn)，記直線的斜率分別為，若，證明：的周長為定值，并求出定值.
【答案】(1)(2)證明見解析，定值為
【分析】（1）結(jié)合兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得橢圓的方程.
（2）設(shè)直線，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，利用求得的關(guān)系式，從而判斷出直線過左焦點(diǎn)，由此求得的周長為定值.
（1）
由已知設(shè)橢圓方程為：，
代入，得，故橢圓方程為.
（2）設(shè)直線，由得，
，，又，
故
，由，得，
故或，
①當(dāng)時，直線，過定點(diǎn)，與已知不符，舍去；
②當(dāng)時，直線，過定點(diǎn)，即直線過左焦點(diǎn)，
此時，符合題意.
所以的周長為定值.
題型七：“三定”型：定直線
求定直線是圓錐曲線求定點(diǎn)定值定直線的一個較難的題型。一般有兩種思維： 利用參數(shù)法消參求定直線 根據(jù)題意引入?yún)?shù)，用參數(shù)表示經(jīng)過定直線的定點(diǎn)，代入已知條件或者根據(jù)條件所建立的關(guān)系式，消去參數(shù)即可得到定直線 2.相關(guān)點(diǎn)法 類似于求軌跡的相關(guān)點(diǎn)代入法，一個點(diǎn)的運(yùn)動變化引起了另外一些點(diǎn)的運(yùn)動變化，在解題時，用一個點(diǎn)的坐標(biāo)把另外一些點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來，再代入一致的曲線和直線方程中，便可求出定直線的方程。
1（河南省洛陽市2023屆高三二模理科數(shù)學(xué)試題）.已知橢圓：的離心率為，右焦點(diǎn)為，A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn).
(1)求橢圓的方程；
(2)過點(diǎn)作斜率不為0的直線，直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，直線AP與直線BQ交于點(diǎn)M，記AP的斜率為，BQ的斜率為.求證：
①為定值；
②點(diǎn)M在定直線上.
【答案】(1)
(2)①證明見解析，；②證明見解析，點(diǎn)M在定直線上．
【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)列出方程組求出，即可得出橢圓的方程；
（2）①設(shè)，，直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得到，帶入的表達(dá)式，即可得出為定值；
②根據(jù)①中的結(jié)論，設(shè)，則，求出直線AP、BQ的方程，聯(lián)立即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而可知其在定直線上．
【詳解】（1）依題可得，解得：，所以，
即橢圓的方程為．
（2）①設(shè)，，因?yàn)橹本€過點(diǎn)且斜率不為0，所以可設(shè)的方程為，代入橢圓方程得，，其判別式，所以，.
兩式相除得，即．
因?yàn)榉謩e為橢圓的左、右頂點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，．
從而．
②由①知，設(shè)，則，所以直線的方程為：，直線的方程為，聯(lián)立可得，所以直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)在定直線上.
2.已知雙曲線C：的離心率為，過點(diǎn)的直線l與C左右兩支分別交于M，N兩個不同的點(diǎn)（異于頂點(diǎn)）．
(1)若點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn)，求直線OP與直線MN斜率之積（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；
(2)若A，B為雙曲線的左右頂點(diǎn)，且，試判斷直線AN與直線BM的交點(diǎn)G是否在定直線上，若是，求出該定直線，若不是，請說明理由
【答案】(1)1(2)是在定直線上，定直線
【分析】（1）根據(jù)題意列出方程組得到，設(shè)，，，利用點(diǎn)差法即可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論得出，，設(shè)直線l：，，設(shè)，，聯(lián)立直線與曲線方程，利用韋達(dá)定理聯(lián)立直線與直線的方程得出，進(jìn)而得證.
【詳解】（1）由題意得，所以，設(shè)，，，
則，作差得，又MN的斜率，，
所以.
（2）∵，∴，，，直線l：，，設(shè)，，
聯(lián)立得，所以，所以，
設(shè)直線AN：，BM：，
所以，
所以．故存在定直線，使直線AN與直線BM的交點(diǎn)G在定直線上．
3.如圖，已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)F作直線與雙曲線的漸近線交于P，Q兩.點(diǎn)，且點(diǎn)P在線段FQ上，，.
(1)求C的方程；
(2)設(shè)是C的左 右頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，試探究直線與的交點(diǎn)S是否在某條定直線上，若是，求出該定直線方程，若不是，請說明理由.
【答案】(1)(2)是，在定直線上
【分析】（1）計算得到，，得到，解得，，得到答案.
（2）直線的方程為，，聯(lián)立方程得到根與系數(shù)的關(guān)系，確定直線方程，計算交點(diǎn)坐標(biāo)，得到，得到答案.
【詳解】（1）雙曲線右焦點(diǎn)為，故，漸近線方程為，則，
，故，即，
，故，
解得，，故，故，
故，，，解得，.故雙曲線方程為.
（2），，設(shè)直線的方程為，，
聯(lián)立，得. 故，故，
直線，直線，
聯(lián)立兩直線方程，解得
，
故直線與直線的交點(diǎn)在定直線上.
題型八：斜率型：斜率和定
給定橢圓，與橢圓上定點(diǎn)，過P點(diǎn)走兩條射線PA、PB，與橢圓交與A和B兩點(diǎn)，記直線PA、PB的斜率分別為,若，則直線過定點(diǎn) 設(shè)拋物線，其上不同的三點(diǎn)：，，，當(dāng)?shù)男甭蕽M足：時，過定點(diǎn)或者
1.設(shè)橢圓方程為，，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線過點(diǎn)，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時，直線與橢圓相切．
(1)求橢圓的方程．
(2)若直線與橢圓交于，（異于，）兩點(diǎn)．
（i）求直線與的斜率之積；
（ii）若直線與的斜率之和為，求直線的方程．
【答案】(1)(2)（i）；（ii）
【分析】（1）由直線的兩點(diǎn)式方程可得的方程，聯(lián)立橢圓方程，利用直線與橢圓的位置關(guān)系求出b，即可求解；
（2）設(shè)，，，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理表示，根據(jù)兩點(diǎn)表示斜率公式化簡計算可得、，則，由求得直線的方程，聯(lián)立橢圓方程求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可求解.
【詳解】（1）依題意可得，
當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時，的方程為，
代入，整理得，
，
解得，所以橢圓的方程為．
（2）（i）依題意可得直線的斜率不為0，設(shè)，，．由得，
則則
；
（ii）因?yàn)椋裕忠驗(yàn)椋裕?br/>則直線的方程為，與聯(lián)立得．所以的方程為，即．
2.（河北省石家莊市2023屆高三質(zhì)量檢測（一）數(shù)學(xué)試題變式題17-22）已知雙曲線的離心率為，點(diǎn)在雙曲線上．
(1)求雙曲線的方程；
(2)設(shè)，為上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)（，均不在軸上）．直線，的斜率分別記為，，且，判斷：直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．
【答案】(1)(2)恒過定點(diǎn)
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)在雙曲線上，結(jié)合離心率列方程，解方程即可；
（2）分別計算點(diǎn)，的坐標(biāo)，可得，即，又點(diǎn)在圓上，且圓與軸的另一個交點(diǎn)為，則，所以可得恒過定點(diǎn).
【詳解】（1）由雙曲線離心率為，得，所以雙曲線方程為，
又點(diǎn)在雙曲線上，即，解得，，所以雙曲線的方程為；
（2）由已知得，，設(shè)直線，點(diǎn)，由得，，則，即，，所以
由，得，所以設(shè)直線，聯(lián)立直線與圓，
得，，則，即，，
所以，所以，即，所以，又點(diǎn)在圓上，
設(shè)圓與軸的另一個交點(diǎn)為，則，且，即直線與重合，
所以直線恒過點(diǎn).
3.（四川省雅安市部分校2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）設(shè)橢圓方程為，，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，動直線l過點(diǎn)，當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)時，直線l與橢圓相切.
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線l與橢圓交于P，Q（異于A，B）兩點(diǎn)，且直線與的斜率之和為，求直線l的方程.
【答案】(1)(2).
【分析】（1）由左右頂點(diǎn)得，再由直線與橢圓位置關(guān)系聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理得即可；
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，由橢圓定義及斜率關(guān)系計算即可.
【詳解】（1）依題意可得.
當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)時，l的方程為，
代入，整理得，
，
解得，所以橢圓的方程為.
（2）依題意可得直線l的斜率不為0，可設(shè)，，.
由，得，則
則.
因?yàn)椋?br/>所以.又因?yàn)椋?br/>則直線的方程為與聯(lián)立得，
所以l的方程為，即.
題型九：斜率型：斜率積型
給定橢圓，與橢圓上定點(diǎn)，過P點(diǎn)走兩條射線PA、PB，與橢圓交與A和B兩點(diǎn)，記直線PA、PB的斜率分別為,若，則直線過定點(diǎn) 設(shè)拋物線，其上不同的三點(diǎn)：，，，當(dāng)?shù)男甭蕽M足：時，過定點(diǎn)
1.（四川省涼山彝族自治州2022-2023學(xué)年高三階段性檢測數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓的方程；
(2)若，為橢圓的左右頂點(diǎn)，直線交橢圓于，兩點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值.
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)離心率和點(diǎn)在橢圓上建立方程組可求橢圓的方程；
（2）設(shè)出點(diǎn)，根據(jù)對稱性得到點(diǎn)，表示出，，結(jié)合橢圓的方程可證為定值.
【詳解】（1）由題意得：且，得，
所以橢圓的方程為.
（2）證明：由橢圓方程可知，，，設(shè)，則且；
則，，則，所以為定值.
2.（陜西省渭南市2023屆高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測（Ⅱ）理科數(shù)學(xué)試題）在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的右頂點(diǎn) 下頂點(diǎn) 右焦點(diǎn)分別為A，B，F(xiàn).
(1)若直線與橢圓E的另一個交點(diǎn)為C，求四邊形的面積；
(2)設(shè)M，N是橢圓E上的兩個動點(diǎn)，直線與的斜率之積為，若點(diǎn)P滿足：.問：是否存在兩個定點(diǎn)G，H，使得為定值？若存在，求出G，H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)；(2)存在，G，H的坐標(biāo)分別為，．
【分析】（1）寫出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立求得點(diǎn)坐標(biāo)后，可求得四邊形面積；
（2）設(shè)，，，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出，，利用點(diǎn)是已知橢圓上的點(diǎn)，計算出，得是一個橢圓上的點(diǎn)，從而兩定點(diǎn)為該橢圓的焦點(diǎn)即滿足題意．
【詳解】（1）由題意，，，，
直線方程為，
由得或，所以，
；
（2）設(shè)，，，
由得，即，，
點(diǎn)在橢圓上，所以，，
所以，
直線斜率之積為，，
所以，
所以點(diǎn)在橢圓上，該橢圓的左右焦點(diǎn)為，則為定值，又，因此這兩個定點(diǎn)坐標(biāo)為，．
3.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，左 右焦點(diǎn)分別是，以為圓心，6為半徑的圓與以為圓心，2為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)過橢圓的右焦點(diǎn)的直線的斜率分別為，且，直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)分別為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是橢圓的左 右頂點(diǎn)，記與的面積分別為，證明：為定值.
【答案】(1)；(2)證明見解析．
【分析】（1）根據(jù)離心率的定義和橢圓定義求得，再計算出后得橢圓方程；
（2）設(shè)，直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理求得中點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線，點(diǎn)在直線上，代入整理得是一個一元二次方程的根，由韋達(dá)定理得，從而得出關(guān)系，得出直線過定點(diǎn)，再確定直線斜率不存在時也過這個定點(diǎn)，然后結(jié)合該定點(diǎn)得出三角形面積比．
【詳解】（1）依題意得，則
則，所以橢圓的方程為；
（2）直線，設(shè)，
由得，
所以，，且，
則中點(diǎn)，同理可算
①當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線，點(diǎn)在直線上，
點(diǎn)坐標(biāo)代入整理得
易知為方程的兩個根，
則，所以，
所以直線，則直線恒過點(diǎn)
②當(dāng)直線的斜率不存在時，由對稱性可知，由，
不妨設(shè)，所以，
直線過，根據(jù)①②可知，直線恒過點(diǎn)，因?yàn)榈拿娣e，
的面積，所以.
題型十：斜率型：斜率比型
1.（河南省洛陽市2023屆高三二模理科數(shù)學(xué)試題）已知橢圓：的離心率為，右焦點(diǎn)為，A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn).
(1)求橢圓的方程；
(2)過點(diǎn)作斜率不為0的直線，直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，直線AP與直線BQ交于點(diǎn)M，記AP的斜率為，BQ的斜率為.求證：
①為定值；
【答案】(1)(2)①證明見解析，；②證明見解析，點(diǎn)M在定直線上．
【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)列出方程組求出，即可得出橢圓的方程；
（2）①設(shè)，，直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得到，帶入的表達(dá)式，即可得出為定值；
②根據(jù)①中的結(jié)論，設(shè)，則，求出直線AP、BQ的方程，聯(lián)立即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而可知其在定直線上．
【詳解】（1）依題可得，解得：，所以，
即橢圓的方程為．
（2）①設(shè)，，因?yàn)橹本€過點(diǎn)且斜率不為0，所以可設(shè)的方程為，代入橢圓方程得，，其判別式，所以，.
兩式相除得，即．
因?yàn)榉謩e為橢圓的左、右頂點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，． 從而．
②由①知，設(shè)，則，所以直線的方程為：，直線的方程為，聯(lián)立可得，所以直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)在定直線上.
2.（江蘇省南通市如東縣2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，連接并延長交橢圓于點(diǎn)橢圓．
(1)若，，求橢圓的方程
(2)若直線與直線的斜率之比是，求與的面積之比．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）由和在橢圓上求出，即可.
（2）求出直線BF的方程，并與橢圓方程聯(lián)立求得點(diǎn)坐標(biāo)，再由給定條件結(jié)合面積公式求解即可．
【詳解】（1）由，，得：，解得，
又點(diǎn)在橢圓上，則，解得，
所以橢圓的方程為．
（2）依題意，令，直線，由，得，
直線AB的斜率，直線AP的斜率，
則，即，有，得，，
于是得點(diǎn)，，，
所以與的面積之比是.
3.（河北省唐山市開灤第二中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第三次線上考試數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的短軸長為2，點(diǎn)在上.
(1)求的方程；
(2)設(shè)是上不同于短軸端點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)上方）的兩點(diǎn)，直線與直線的斜率分別為，且滿足，證明：直線過定點(diǎn).
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）易知，代入點(diǎn)即可求出方程；
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，求出，利用可舍去，當(dāng)直線的斜率存在時，可設(shè)直線：，與橢圓聯(lián)立方程組，求出，分別表示斜率，代入到可求出的值，進(jìn)而求出直線過的定點(diǎn)即可.
【詳解】（1）由題意可知，，
把點(diǎn)代入中，可得，解得，
所以的方程為：；
（2）依題意，，，如果直線的斜率不存在，則直線垂直于軸，
設(shè)直線：，由題意可知，且，
把代入中，可得的坐標(biāo)分別為，
所以，，因?yàn)椋瑹o解，故舍去，
從而可設(shè)直線：，代入中，得
，由題設(shè)可知，設(shè)，，
則有，，因?yàn)椋?br/>則，，
因?yàn)椋裕喌茫?br/>即
解得（舍）或，所以直線：恒過頂點(diǎn).
題型十一：斜率型：三斜率型
1.（海南省海南中學(xué)、海口一中、文昌中學(xué)、嘉積中學(xué)四校2023屆高三下學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題）
已知橢圓的離心率為，橢圓的右焦點(diǎn)
(1)求橢圓的方程；
(2)、是橢圓的左 右頂點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率不為的直線交橢圓于點(diǎn) ，直線與直線交于點(diǎn).記、、的斜率分別為、、，是否存在實(shí)數(shù)，使得？
【答案】(1)(2)存在，且
【分析】（1）根據(jù)題意求出、、的值，可得出橢圓的方程；
（2）設(shè)、，設(shè)直線的方程為，其中，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出、、的表達(dá)式，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的值.
【詳解】（1）解：因?yàn)闄E圓的離心率為，橢圓的右焦點(diǎn)，
所以，，，則，故，
因此，橢圓的方程為.
（2）證明：設(shè)、，設(shè)直線的方程為，其中，
聯(lián)立，得，，
由韋達(dá)定理可得，，所以，
易知點(diǎn)、，，所以，直線的方程為，
將代入直線的方程可得，即點(diǎn)，
，，所以，，
所以，.
2.（河北省高碑店市崇德實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023屆高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)，．
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓交于不同的，兩點(diǎn)，且直線，，的斜率依次成等比數(shù)列．橢圓上是否存在一點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)(2)存在，或．
【分析】（1）由離心率的值，可得，的關(guān)系，設(shè)橢圓的方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，可得的值，進(jìn)而求出橢圓的方程；
（2）由題意可得直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，可得兩根之和及兩根之積，由四邊形為平行四邊形可得的坐標(biāo)，將的坐標(biāo)代入橢圓的方程，可得參數(shù)的關(guān)系，求出直線，的斜率之積，由直線，，的斜率依次成等比數(shù)列可得參數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而求出參數(shù)的值，即求出直線的方程．
【詳解】（1）由離心率，可得，所以橢圓的方程為：，
將點(diǎn)，代入橢圓的方程可得：，解得，
所以橢圓的方程為；
（2）由題意可得直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為：，設(shè)，，，，
聯(lián)立，整理可得：，，即，
且，，，
因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪叄c互相平分，所以，
因?yàn)樵跈E圓上，則，整理可得：，①
又因?yàn)橹本€，，的斜率依次成等比數(shù)列，即，即，
而，可得，②
由①②可得：，，符合△，可得，，
所以直線的方程為：或．
3.（山西省際名校2023屆高三聯(lián)考二（沖刺卷）數(shù)學(xué)試題（A））已知雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，A是直線l：上不同于原點(diǎn)O的一個動點(diǎn)，斜率為的直線與雙曲線E交于M，N兩點(diǎn)，斜率為的直線與雙曲線E交于P，Q兩點(diǎn).
(1)求的值；
(2)若直線OM，ON，OP，OQ的斜率分別為，，，，問是否存在點(diǎn)A，滿足+++=0，若存在，求出A點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.
【答案】(1)(2)存在，或
【分析】（1）設(shè) ，利用斜率公式求解；
（2）設(shè)，直線方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理得到，，結(jié)合求解.
【詳解】（1）解：雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，設(shè)，
，同理可得.∴；
（2）設(shè)，直線方程為，
代入雙曲線方程可得：，所以，則，
則，，，.
同理，即， 即，∴或，
又， 若.無解，舍去.
∴，解得，，或，，若，，由A在直線上可得，，
∴.此時，若，，由A在直線上可得，，
∴此時∴存在點(diǎn)，或，滿足.
題型十二：切線型
在利用橢圓（雙曲線）的切線方程時，一般利用以下方法進(jìn)行直線： （1）設(shè)切線方程為與橢圓方程聯(lián)立，由進(jìn)行求解； （2）橢圓（雙曲線）在其上一點(diǎn)的切線方程為，再應(yīng)用此方程時，首先應(yīng)證明直線與橢圓（雙曲線）相切. 雙曲線的以為切點(diǎn)的切線方程為
1.（安徽省安慶市宿松中學(xué)2022-2023學(xué)年高三學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的上頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為、，三角形的周長為6，面積為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)已知點(diǎn)M是橢圓C外一點(diǎn)，過點(diǎn)M所作橢圓的兩條切線互相垂直，求三角形面積的最大值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由已知列出關(guān)于的方程組，求解后可得橢圓方程；
（2）考慮切線斜率不存在時有，斜率存在時，設(shè)過的切線方程為，代入橢圓方程后，設(shè)兩切線斜率為，由韋達(dá)定理得，由得點(diǎn)軌跡方程為圓，利用圓的性質(zhì)可得到直線的距離的最大值，從而得面積最大值．
【詳解】（1）由題意，可列方程，
解方程組得，，所以橢圓C的方程為；
（2）當(dāng)兩條切線中有一條斜率不存在時，即切點(diǎn)為橢圓的頂點(diǎn)，此時，
當(dāng)兩切線都有斜率時，設(shè)過的切線方程為，
聯(lián)立，得，
由得，
化簡得，
設(shè)兩切線的斜率分別為，，則，
化簡得，由此，M的軌跡方程為，
又因?yàn)闈M足此方程，所以M的軌跡為圓，
M在圓上運(yùn)動，當(dāng)M與A、不共線時，構(gòu)成，其中，
直線的方程為，圓心到直線的距離為，
此時，點(diǎn)M到直線的最大距離為，
故此三角形面積的最大值為M離最遠(yuǎn)時，由此它的面積最大值為．
2.（2023年四省聯(lián)考變試題17-22）雙曲線C：的離心率為，圓O：與x軸正半軸交于點(diǎn)A，圓O在點(diǎn)A處的切線被雙曲線C截得的弦長為.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)設(shè)圓O上任意一點(diǎn)P處的切線交雙曲線C于兩點(diǎn)M、N，試判斷是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由；
(3)若將（2）中的雙曲線改為橢圓，其他條件不變，試探討的值.
【答案】(1)；(2)是，定值為2；(3)是，定值為2.
【分析】（1）由離心率為，可得，由圓在點(diǎn)處的切線被雙曲線截得的弦長確定過的點(diǎn)，即可求解作答.
（2）切線斜率存在時，設(shè)出其方程并與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、直角三角形射影定理可得為定值，驗(yàn)證切線斜率不存在的情況作答.
（3）切線斜率存在時，設(shè)出其方程并與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、直角三角形射影定理可得為定值，驗(yàn)證切線斜率不存在的情況作答.
【詳解】（1）設(shè)雙曲線的半焦距為，依題意，，即有，
圓交x軸于點(diǎn)，則圓O在點(diǎn)A處的切線被雙曲線截得的弦長為，
由雙曲線的對稱性知被截弦的端點(diǎn)在雙曲線上，
因此，而，解得，
所以雙曲線的方程為.
（2）當(dāng)圓在點(diǎn)處切線斜率不存在時，點(diǎn)或，切線方程為或，
由（1）及已知，得，則有，
當(dāng)圓在點(diǎn)處切線斜率存在時，設(shè)切線方程為，
則有，即，由消去y得：
，顯然，
，而，
則
，
因此，在中，于點(diǎn)P，則，
綜上得為定值2.
（3）當(dāng)圓在點(diǎn)處切線斜率不存在時，點(diǎn)或，切線方程為或，
把代入橢圓方程，得，即，則有，
當(dāng)圓在點(diǎn)處切線斜率存在時，設(shè)切線方程為，
則有，即，由消去y得：
，顯然，
，而，
則
，
因此，在中，于點(diǎn)P，則，
綜上得為定值2.
3.（江蘇省蘇州市昆山中學(xué)2022屆高三下學(xué)期2月階段性調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題）已知拋物線C：與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線C上一點(diǎn)．
(1)求證：點(diǎn)處的切線的方程為；
(2)若點(diǎn)P在雙曲線的左支上，且PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，求△PAB面積的最小值．
【答案】(1)證明見解析(2)
【分析】（1）設(shè)切線方程為，聯(lián)立方程組，由求得，結(jié)合拋物線的方程，求得，即可求解.
（2）設(shè)，由（1）可得到和，進(jìn)而求得的方程，聯(lián)立方程組，求得，利用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長公式，求得，進(jìn)而求得最小值.
(1)解：設(shè)過拋物線上一點(diǎn)的切線的斜率為，則由點(diǎn)斜式得切線方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，
整理得，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，可得，所以，所以，代入切線方程得，整理得，
又因?yàn)椋裕肷鲜降茫矗袋c(diǎn)處的切線的方程為.
(2)解：設(shè)，由（1）可得，切線方程分別為和，
因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，可得，所以過點(diǎn)的方程為，
其中，其中，聯(lián)立方程組，可得，
可得，且，
所以，
點(diǎn)到直線的距離為，所以
，令，當(dāng)，可得，
所以面積的最小值為.
題型十三：韋達(dá)定理不能直接用：定比分點(diǎn)型
若有 1.利用公式，可消去參數(shù) 2.可以直接借助韋達(dá)定理反解消去兩根 定比分點(diǎn)型，即題中向量（或者線段長度滿足）可以利用公式，可消去
1.（陜西省銅川市王益中學(xué)2023屆高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題）已知點(diǎn)M，N分別是橢圓的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)，原點(diǎn)O到直線的距離為，且橢圓的離心率為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)斜率不為0的直線經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)，并且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若，求直線的方程．
【答案】(1)(2)或．
【分析】(1)結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式和離心率的定義列方程求，可得橢圓方程.
(2) 設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用設(shè)而不求法結(jié)合條件列方程求可得結(jié)論.
【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以直線的方程為，因?yàn)樵c(diǎn)O到直線的距離為所以，
則，因?yàn)殡x心率，所以，．故解得，
故橢圓方程為．
（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消x得，
方程的判別式，
設(shè)，
所以，因?yàn)椋裕?br/>故得方程組解得，綜上，直線方程為，或．
2.已知P是橢圓上的動點(diǎn)，P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最值之比為，P到焦點(diǎn)的距離的最值之差的絕對值為2.
（1）求橢圓C的方程；
（2）若D為橢圓C的弦AB的中點(diǎn)，，證明：的面積為定值.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓的方程.
（2）設(shè)出直線的方程，計算出三角形的面積，由此證得結(jié)論成立.
【詳解】（1）由P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最值之比為，得，所以.
由P到焦點(diǎn)的距離的最值之差的絕對值為2，得，所以.
又，所以.所以橢圓C的方程為.
（2）證明：當(dāng)直線AB與x軸不垂直時，設(shè)其方程為y=kx+m，易知m≠0.
聯(lián)立得方程組，消去y并整理，得.
由題意可知.設(shè)，則，
所以.由可知.
設(shè)，則有，.
因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以.
整理，得.所以，且符合.
點(diǎn)到直線y=kx+m的距離，所以△PAB的面積.由，即，得.
當(dāng)直線AB與x軸垂直時，
由于，不妨設(shè)，則，
所以，,所以的面積.綜上可知，△PAB的面積為定值.
3.（重慶市第八中學(xué)2024屆高三下學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題）在直角坐標(biāo)系中，曲線與直線交于，兩點(diǎn).
（Ⅰ）若， ，求；
（Ⅱ）曲線在點(diǎn)，處的切線相交于點(diǎn)，，分別交軸于點(diǎn)，兩點(diǎn)是否存在實(shí)數(shù)，使得，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，2.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，利用弦長公式計算即可得到答案.
（Ⅱ）利于導(dǎo)數(shù)和點(diǎn)在拋物線上可寫出切線的方程，設(shè)，可得直線MN的方程，又直線MN為，可得點(diǎn)在直線上，求出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出兩個三角形的面積，即可得到所求的值.
【詳解】
（Ⅰ）設(shè)，，，，
由，
，所以.
解得.
（Ⅱ）由和，可得
切線的方程: ，整理得，
同理可得切線的方程：.
設(shè)，則有，
即，N在直線上，，N又在直線上，
即和為同一直線，直線過點(diǎn)，
所以，即點(diǎn)在直線上，又交軸于點(diǎn)，
則，再由可得，同理可得.
所以，而，
所以，即.
題型十四：韋達(dá)定理不能直接用：點(diǎn)代入型
1.已知橢圓的離心率為，過右焦點(diǎn)F的直線與相交于、兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)男甭蕿?時，坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離為
（I）求，的值；
（II）上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有成立？
若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與的方程；若不存在，說明理由。
解 (I）設(shè)，直線，由坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離為
則，解得 .又.
（II）由(I）知橢圓的方程為.設(shè)、由題意知的斜率為一定不為0，故不妨設(shè) 代入橢圓的方程中整理得，顯然。
由韋達(dá)定理有：．．．．．．．．①
.假設(shè)存在點(diǎn)P，使成立，則其充要條件為：
點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，即。
整理得。又在橢圓上，即.
故．．．②將及①代入②解得
,=,即.
當(dāng);
當(dāng).
2.P(x0，y0)(x0≠±a)是雙曲線E：－＝1(a>0，b>0)上一點(diǎn)，M、N分別是雙曲線E的左、右頂點(diǎn)，直線PM，PN的斜率之積為.(1)求雙曲線的離心率；
(2)過雙曲線E的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為雙曲線上一點(diǎn)，滿足 ＝λ ＋ ，求λ的值．
解：(1)點(diǎn)P(x0，y0)(x≠±a)在雙曲線－＝1上，有－＝1.由題意又有·＝，
可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，則e＝＝.
(2)聯(lián)立，得4x2－10cx＋35b2＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則①設(shè) ＝(x3，y3)， ＝λ＋ ，即
又C為雙曲線上一點(diǎn)，即x－5y＝5b2，有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2.
化簡得：λ2(x－5y)＋(x－5y)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2，又A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上，所以x－5y＝5b2，x－5y＝5b2.
由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2，得：λ2＋4λ＝0，解出λ＝0，或λ＝－4.
3.已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，斜率為且過橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，與共線.
求橢圓的離心率；
設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，且，證明為定值.
解析：（1）設(shè)橢圓方程為，，則直線的方程為，代 人，化簡得.
令、，則，.……2分
由，，與共線，得.…………4分
又，，所以，所以，
即，所以.所以，故離心率.…6分
證明：由（1）知，所以橢圓可化為.
設(shè)，由已知得，所以………8分
因?yàn)樵跈E圓上，所以.
即. ①
由（1）知，.所以.…………10分
所以.
又，，又代入①得.……………12分
題型十五：韋達(dá)定理不能直接用：坐標(biāo)運(yùn)算型
1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線上異于坐標(biāo)原點(diǎn)Ｏ的兩不同動點(diǎn)Ａ、Ｂ滿足（如圖４所示）．
（Ⅰ）求得重心Ｇ（即三角形三條中線的交點(diǎn)）的軌跡方程；
（Ⅱ）的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．
解：（I）設(shè)△AOB的重心為G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),則 …（1）
∵OA⊥OB ∴,即，……(2)
又點(diǎn)A，B在拋物線上，有，代入（2）化簡得
∴
所以重心為G的軌跡方程為
（II）
由（I）得
當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立。
所以△AOB的面積存在最小值，存在時求最小值1；
2.（安徽省合肥市2023屆高三調(diào)研性檢測數(shù)學(xué)題）已知為橢圓上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線段，為垂足，點(diǎn)滿足.
（Ⅰ）求動點(diǎn)的軌跡的方程；
（Ⅱ）若兩點(diǎn)分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)，直線與橢圓交于點(diǎn)，直線的斜率分別為，求的取值范圍.
【答案】（Ⅰ）動點(diǎn)的軌跡的方程為 （Ⅱ）
【詳解】【試題分析】（1）先設(shè)，進(jìn)而求得點(diǎn)，再依據(jù)題設(shè)條件求得，然后借助為橢圓上的點(diǎn)，進(jìn)而消去參數(shù)從而求得動點(diǎn)的軌跡的方程為；（2）先求出點(diǎn)，再設(shè)，進(jìn)而依據(jù)求出，進(jìn)而借助且，及在和都是單調(diào)減函數(shù)，求出的范圍為：
解：（Ⅰ）設(shè)依題意，且，
∵,即,
則有.又∵為橢圓上的點(diǎn)，可得，即，
即動點(diǎn)的軌跡的方程為.
（Ⅱ）依題意，設(shè)∵為圓的直徑，則有，故的斜率滿足，
，∵點(diǎn)不同于兩點(diǎn)且直線的斜率存在，故且，
在和都是單調(diào)減函數(shù)，的范圍為，
故 .
3.（江蘇省南京市高淳高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期10月階段性檢測數(shù)學(xué)試題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的離心率為，上頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為.過點(diǎn)作不垂直于軸，軸的直線，交橢圓于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，且.
（1）求橢圓的方程；
（2）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）延長交橢圓于點(diǎn)，記與的面積分別為，，若，求直線的方程.
【答案】（1）；（2）；（3）或.
（1）由橢圓的離心率可得，由上頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為可得a值，從而可求得橢圓方程；
（2）利用點(diǎn)差法及直線垂直的關(guān)系，即可求得y0＝2m﹣1，x02＝（1﹣2m）（2m﹣2），由x02＞0即可求得m的取值范圍；
（3）設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，根據(jù)直線的斜率公式即可求得，根據(jù)三角形的面積公式，即可求得m的值，從而可得直線AB的方程；
【詳解】（1）由橢圓的離心率，則，由上頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為，
即，則，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：；
（2）由，設(shè)，，，且，由，在橢圓上，
∴，，，，
兩式相減得：，由，則，整理得：，①
由，則，整理得：，②
由①②解得：，，解得：，∴的取值范圍：；
（3）設(shè)，由在橢圓上，，由，則，即，
代入上式消去，得，所以，
由（2）可知：，，，
∴，由，即，解得：，
此時，，解得：，
此時點(diǎn)坐標(biāo)為，，∴直線方程為或.
題型十六：韋達(dá)定理不能直接用：非對稱型代入
1.（2023秋·福建廈門·高三廈門外國語學(xué)校校考）已知雙曲線的離心率為，右頂點(diǎn)到的一條漸近線的距離為.
(1)求的方程；
(2)是軸上兩點(diǎn)，以為直徑的圓過點(diǎn)，若直線與的另一個交點(diǎn)為，直線與的另一個交點(diǎn)為，試判斷直線與圓的位置關(guān)系，并說明理由.
【答案】(1)(2)直線與圓相交，理由見解析
【分析】（1）由題意列出關(guān)于的方程，求解即可.
（2）設(shè)，由點(diǎn)在圓上，得出，由的坐標(biāo)，得出直線方程，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，得點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)坐標(biāo).從而得到直線方程，通過直線過定點(diǎn)，，從而得出點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線與圓相交.
【詳解】（1）因?yàn)榈碾x心率為，所以，所以，漸近線方程，
因?yàn)辄c(diǎn)到一條漸近線距離為，所以，解得，所以的方程為.
（2）直線與圓相交，理由如下：設(shè)，則，
因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的圓上，所以，所以，
即，
由（1）得，直線方程為：與雙曲線方程聯(lián)立，
消去得，，因?yàn)橹本€與都有除以外的公共點(diǎn)，
所以，所以，即，
同理當(dāng)，.，
所以直線方程為：，令得，，
即直線經(jīng)過定點(diǎn).因?yàn)椋?br/>所以點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線與圓相交.
2.（北京市豐臺區(qū)2023屆高三年級第二學(xué)期綜合練習(xí)數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，長軸長為4，離心率為.過右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)（均不與重合），記直線的斜率分別為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在常數(shù)，當(dāng)直線變動時，總有成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
【答案】（Ⅰ） .（Ⅱ）存在常數(shù)使得恒成立.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由題意由題知解得，即可求得橢圓方程；（Ⅱ）根據(jù)橢圓的準(zhǔn)線方程，設(shè)出直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理即可求得C及D，存在λ，使得k1＝λk恒成立．
【詳解】
（Ⅰ）由題知解得所以求橢圓E的方程為．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（﹣2，0），B（2，0），當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝1．
由解得或得或；均有．
猜測存在．
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＝k（x﹣1），C（x1，y1），D（x2，y2）．
由得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．則
故0．
所以存在常數(shù)使得恒成立．
3.（2023秋·江西南昌·高三南昌市八一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知隨圓的左 右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)在上，的周長為，面積為.
(1)求的方程.
(2)設(shè)的左 右頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)（不同于左右頂點(diǎn)），記直線的斜率為，直線的斜率為，則是否存在實(shí)常數(shù)，使得恒成立.
【答案】(1)(2)存在，
【分析】（1）根據(jù)橢圓的周長、面積可得答案；
（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)，由韋達(dá)定理代入可得答案.
【詳解】（1）依題意，得，即，
解得，所以的方程；
（2）依題意，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，化簡整理，得，
易得恒成立，設(shè)，由韋達(dá)定理，得，可得，
于是
，故存在實(shí)數(shù)，使得恒成立.

題型十七：19題卷型圓錐新定義題
1.（2024·河南·二模）已知雙曲線的兩條漸近線分別為和，右焦點(diǎn)坐標(biāo)為為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)直線與雙曲線的右支交于點(diǎn)（在的上方），過點(diǎn)分別作的平行線，交于點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為4的直線與雙曲線交于點(diǎn)（在的上方），再過點(diǎn)分別作的平行線，交于點(diǎn)，這樣一直操作下去，可以得到一列點(diǎn).
證明：①共線；
②為定值.
【答案】(1)(2)①證明見解析；②證明見解析
【分析】（1）根據(jù)漸近線方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)列方程組求解，即可得雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）①設(shè)斜率為4，與雙曲線右支相交于兩點(diǎn)的直線方程為，與雙曲線方程聯(lián)立得交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，從而可得直線與直線的方程，聯(lián)立兩直線可得坐標(biāo)關(guān)系，從而證得結(jié)論；②設(shè)坐標(biāo)為，直線方程為，結(jié)合①中坐標(biāo)關(guān)系，利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得結(jié)論.
【詳解】（1）由題意得解得
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）證明①：設(shè)斜率為4，與雙曲線右支相交于兩點(diǎn)的直線方程為，其中，
聯(lián)立方程消去可得，該方程有兩個正根，解得，
根據(jù)韋達(dá)定理：，
直線的方程為，而，即，
直線的方程為，而，即，
聯(lián)立方程兩式相加得，
代回方程組得，
根據(jù)，易得，
即都在直線上，所以共線；
證明②：由①得：設(shè)坐標(biāo)為，直線方程為，即①中，根據(jù)①中的計算，
，，
，所以.
2.（23-24高三上海·）在橢圓（雙曲線）中，任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個圓上，該圓的圓心是橢圓（雙曲線）的中心，半徑等于橢圓（雙曲線）長半軸（實(shí)半軸）與短半軸（虛半軸）平方和（差）的算術(shù)平方根，則這個圓叫蒙日圓．已知橢圓的蒙日圓的面積為，該橢圓的上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)分別為，且，設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（不與兩點(diǎn)重合）且直線．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)證明：的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值；
(3)求直線圍成的三角形面積的最小值．
【答案】(1)(2)證明見解析(3)
【分析】（1）由橢圓的性質(zhì)結(jié)合蒙日圓的性質(zhì)解出即可；
（2）設(shè)直線方程，直曲聯(lián)立，表示出韋達(dá)定理，再用點(diǎn)斜式表示出直線，直線，最后用韋達(dá)定理化簡即可；
（3）設(shè)直線與直線，的交點(diǎn)分別為，，聯(lián)立與，解出，再用弦長公式表示出，和點(diǎn)到直線的距離公式表示出點(diǎn)到直線的距離，最后表示出三角形面積公式，設(shè)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可.
【詳解】（1）根據(jù)題意，蒙日圓的半徑為，所以．
因?yàn)椋芍瑒t，所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
（2）因?yàn)橹本€過點(diǎn)，可知直線的斜率存在，且直線與橢圓必相交，
可設(shè)直線，，，
聯(lián)立方程，消去y可得，則，
由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，
因?yàn)椋傻弥本€，直線，
所以
．即，解得，
所以直線，的交點(diǎn)P在直線上．
（3）設(shè)直線與直線，的交點(diǎn)分別為，，
則由（1）可知：直線，直線．聯(lián)立方程，
解得，，因?yàn)椋?br/>又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，可得，只需求的最小值．
由弦長公式可得
．
令，則．
可得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．即的最小值為，可得面積的最小值為．
故直線，，圍成的三角形面積的最小值為
.3.（2024·遼寧丹東·一模）我們所學(xué)過的橢圓、雙曲線、拋物線這些圓錐曲線，都有令人驚奇的光學(xué)性質(zhì)，且這些光學(xué)性質(zhì)都與它們的焦點(diǎn)有關(guān)．如從雙曲線的一個焦點(diǎn)處出發(fā)的光線照射到雙曲線上，經(jīng)反射后光線的反向延長線會經(jīng)過雙曲線的另一個焦點(diǎn)（如圖所示，其中是反射鏡面也是過點(diǎn)處的切線）．已知雙曲線（，）的左右焦點(diǎn)分別為，，從處出發(fā)的光線照射到雙曲線右支上的點(diǎn)P處（點(diǎn)P在第一象限），經(jīng)雙曲線反射后過點(diǎn)．

(1)請根據(jù)雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，解決下列問題：
當(dāng)，，且直線的傾斜角為時，求反射光線所在的直線方程；
(2)從處出發(fā)的光線照射到雙曲線右支上的點(diǎn)處，且三點(diǎn)共線，經(jīng)雙曲線反射后過點(diǎn)，，，延長，分別交兩條漸近線于，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：為定值．
(3)在（2）的條件下，延長交y軸于點(diǎn)，當(dāng)四邊形的面積為8時，求的方程．
【答案】(1)(2)證明見解析(3)
【分析】（1）先求出雙曲線的方程及直線的方程，聯(lián)立方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出答案；
（2）易得，可令，則，根據(jù)雙曲線的定義求出，即可求得，再在直角中，求出，即可得直線的方程，再利用勾股定理求出的關(guān)系，進(jìn)而可得漸近線方程，再聯(lián)立直線和漸近線方程，設(shè)，利用韋達(dá)定理求得，即可得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（3）先利用角平分線定理可得，即可得點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出，即可得直線的方程，進(jìn)而可得點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)四邊形的面積求出，即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)椋裕?br/>故雙曲線方程為，直線的方程為，
由，解得，即，所以，
所以反射光線所在的直線方程為，即；
（2）因?yàn)闉橹苯侨切危闪睿瑒t，
由雙曲線的定義可得，即，所以，所以，
所以，在直角中，，所以直線的方程為，
由，得，所以，所以，
所以兩條漸近線得方程為，聯(lián)立，得，
設(shè)，則，故，所以，
所以，所以，所以為定值；
（3）由雙曲線得光學(xué)性質(zhì)可得，直線平分，所以，
在中，由正弦定理得，則，
在中，由正弦定理得，則，
因?yàn)椋裕?br/>所以，所以，所以，故，而，
所以，所以直線的方程為，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，
設(shè)四邊形的面積為，則，以，故，
所以求的方程為． 培優(yōu)沖刺11圓錐曲線綜合大題歸類
目錄
題型一：韋達(dá)定理基礎(chǔ)版 1
題型二：面積最值型 2
題型三：面積比值型求范圍 3
題型四：四邊形面積范圍型 4
題型五：“三定”型：直線定點(diǎn) 5
題型六：“三定”型：定值 5
題型七：“三定”型：定直線 6
題型八：斜率型：斜率和定 7
題型九：斜率型：斜率積型 8
題型十：斜率型：斜率比型 9
題型十一：斜率型：三斜率型 9
題型十二：切線型 10
題型十三：韋達(dá)定理不能直接用：定比分點(diǎn)型 10
題型十四：韋達(dá)定理不能直接用：點(diǎn)代入型 11
題型十五：韋達(dá)定理不能直接用：坐標(biāo)運(yùn)算型 12
題型十六：韋達(dá)定理不能直接用：非對稱型代入 13
題型十七：19題卷型圓錐新定義題 13
題型一：韋達(dá)定理基礎(chǔ)版
基本模板實(shí)戰(zhàn)模板 1、設(shè)點(diǎn)， 2、方程1：設(shè)直線：-----此處還有千言萬語，在后邊分類細(xì)說。 3、方程2：曲線：橢圓，雙曲線，拋物線，或者其他（很少出現(xiàn)），注意一個計算技巧，方程要事先去分母 4、方程3:聯(lián)立方程，整理成為關(guān)于x(或者y）的一元二次方程。要區(qū)分，橢圓，雙曲線，和拋物線聯(lián)立后方程 的二次項能否為零-----這就是實(shí)戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)。 5、（1）； （2）二次項系數(shù)是否為0；------這兩條，根據(jù)題確定是直接用，或者冷處理。但是必須考慮。 6、方程4、5：韋達(dá)定理 7、尋找第六個方程，第六個方程其實(shí)就是題目中最后一句話
1.已知圓:，一動圓與直線相切且與圓外切．
(1)求動圓圓心的軌跡的方程；
(2)若經(jīng)過定點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過作軸的平行線與曲線相交于點(diǎn)，試問是否存在直線，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．
2.（安徽省合肥市2023屆高三下學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）已知曲線C：，從曲線C上的任意點(diǎn)作壓縮變換得到點(diǎn)．
(1)求點(diǎn)所在的曲線E的方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)的直線交曲線E于A，B兩點(diǎn)，試判斷以AB為直徑的圓與直線的位置關(guān)系，并寫出分析過程．
3.（2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試新高考仿真模擬卷數(shù)學(xué)）已知分別為雙曲線左、右焦點(diǎn)，在雙曲線上，且．
(1)求此雙曲線的方程；
(2)若雙曲線的虛軸端點(diǎn)分別為（在軸正半軸上），點(diǎn)在雙曲線上，且，，試求直線的方程．
題型二：面積最值型
求最值求范圍，屬于前邊知識額綜合應(yīng)用，主要是以下兩點(diǎn)要注意 注意變量的范圍。 式子轉(zhuǎn)化為求值域或者求最值的專題復(fù)習(xí) 一些常見的思維： 1.可以借助均值不等式求最值。 2.分式型，多可以通過構(gòu)造來求最值，如下幾種常見的。 分式型：以下幾種求最值的基本方法 （1）反比例函數(shù)型：，可以分離常數(shù)，利用“左加右減上加下減”畫圖 （2）與型，可以設(shè)，換元，簡化一次項，然后構(gòu)造均值或者對勾函數(shù)求解。 （3）型，判別式法，或者分離常數(shù)，然后轉(zhuǎn)化分子為一次，再換元求解
1.已知雙曲線 ，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，的焦點(diǎn)是的左焦點(diǎn) .
（1）求證：與總有兩個不同的交點(diǎn)；
（2）是否存在過的焦點(diǎn)的弦，使的面積有最大值或最小值 如果存在，求出所在的直線方程與最值的大小；如果不在在，說明理由.
2.（河南省部分重點(diǎn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期2月開學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知橢圓：的離心率為，且過點(diǎn).
(1)求橢圓的方程；
(2)過點(diǎn)作直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，，的面積分別為，，求的最大值.
3.（新疆烏魯木齊市第八十中學(xué)2022-2023學(xué)年高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）設(shè)P為橢圓上任一點(diǎn)，為橢圓的焦點(diǎn)，，離心率為．
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．求的面積S的最大值．
題型三：面積比值型求范圍
圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略： （1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍； （2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系； （3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍； （4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍； （5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.
1.（2023上·重慶九龍坡·高三重慶市育才中學(xué)校考）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)皆為曲線上點(diǎn)，為曲線上異于的任意一點(diǎn)，且滿足直線的斜率與直線的斜率之積為.
(1)求曲線的方程：
(2)設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn)，直線的斜率分別為（其中），的面積為，以為直徑的圓的面積分別為、，若恰好構(gòu)成等比數(shù)列，求的取值范圍.
2.（2023上·四川成都·高三成都外國語學(xué)校校考）已知，為橢圓C：的左、右頂點(diǎn)，且橢圓C過點(diǎn)．
(1)求C的方程；
(2)過左焦點(diǎn)F的直線l交橢圓C于D，E兩點(diǎn)（其中點(diǎn)D在x軸上方），試求的取值范圍．（其中與分別表示和的面積）
3.（2023上·云南·高三云南師大附中校考階段練習(xí)）已知，為橢圓C：的左、右頂點(diǎn)，且橢圓C過點(diǎn).
(1)求C的方程；
(2)過左焦點(diǎn)F的直線l交橢圓C于D，E兩點(diǎn)（其中點(diǎn)D在x軸上方），求的取值范圍.
題型四：四邊形面積范圍型
圓錐曲線的最值問題的方法與策略： （1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來解決； （2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值（或值域）， 常用方法： 配方法； 基本不等式法； 單調(diào)性法； 三角換元法； （5）導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.
1.（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，且E的漸近線方程為．
(1)求E的方程；
(2)過作兩條相互垂直的直線和，與E的右支分別交于A，C兩點(diǎn)和B，D兩點(diǎn)，求四邊形ABCD面積的最小值．
2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知O是平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且的重心G在曲線上.
(1)求拋物線C的方程；
(2)記曲線與y軸的交點(diǎn)為D，且直線AB與x軸相交于點(diǎn)E，弦AB的中點(diǎn)為M，求四邊形DEMG面積的最小值.
3.（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，M為橢圓E的上頂點(diǎn)，，點(diǎn)在橢圓E上.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)經(jīng)過焦點(diǎn)的兩條互相垂直的直線分別與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)，求四邊形ACBD的面積的最小值.
題型五：“三定”型：直線定點(diǎn)
當(dāng)題中的直線既無斜率，又不過定點(diǎn)線，就要設(shè)成“雙變量”型：，依舊得討論是否存在情況 當(dāng)直線既不過定點(diǎn)，也不知斜率時，設(shè)直線，就需要引入兩個變量了。 （1）設(shè)成，此時直線包含斜率不存在，注意適當(dāng)?shù)膶Υ搜a(bǔ)充討論 （2）設(shè)成，此時直線不包含水平，也要適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充討論。 （3）設(shè)“雙變量”時，第一種設(shè)法較多。因?yàn)橐话闱闆r下，沒有了定點(diǎn)在x軸上，那么第二種設(shè)法實(shí)際上也沒有特別大的計算優(yōu)勢。如第1題。 （4）重要！雙變量設(shè)法，在授課時，一定要講清楚以下這個規(guī)律： 一般情況下，試題中一定存在某個條件，能推導(dǎo)出倆變量之間的函數(shù)關(guān)系。這也是證明直線過定點(diǎn)的理論根據(jù)之一。
1.（2023春·山東聊城·高三統(tǒng)考）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，且，是C上一點(diǎn)．
(1)求C的方程；
(2)不垂直于坐標(biāo)軸的直線l交C于M， N兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)A，線段MN的垂直平分線交x軸于點(diǎn)D，若，證明：直線l過四個定點(diǎn)中的一個．
2.（四川省部分重點(diǎn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期9月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知橢圓C：的右頂點(diǎn)是M（2，0），離心率為．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)過點(diǎn)T（4，0）作直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為D，問直線AD是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．
3.（江蘇省鹽城市伍佑中學(xué)2023-2024學(xué)年高三第一次階段考試數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C的準(zhǔn)線為，對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在直線上.
(1)求拋物線C的方程；
(2)若動直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn).在x軸上是否存在定點(diǎn)P，使得對任意實(shí)數(shù)m，總有成立？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.
題型六：“三定”型：定值
求定值問題常見的方法有兩種： （1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)； （2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
1.（江蘇省南京市中華中學(xué)2022-2023學(xué)年高三10月月考數(shù)學(xué)試題）已知拋物線C：x2＝4y，A，B是拋物線上異于原點(diǎn)的O的兩個動點(diǎn)．
(1)若M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），求AM的最小值：
(2)若OA⊥OB，且OH⊥AB于H，問：是否存在定點(diǎn)R，使得RH為定值．若存在，求出R點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說明理由．
2.已知F1（－，0），F(xiàn)2（，0）為雙曲線C的焦點(diǎn)，點(diǎn)P（2，－1）在C上．
(1)求C的方程；
(2)點(diǎn)A，B在C上，直線PA，PB與y軸分別相交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線AB上，若＋，＝0，證明：存在定點(diǎn)T，使得|QT|為定值．
3.（重慶市第八中學(xué)校2023屆高三上學(xué)期高考適應(yīng)性月考數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為軸，軸，且過兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程；
(2)為橢圓的右焦點(diǎn)，直線交橢圓于（不與點(diǎn)重合）兩點(diǎn)，記直線的斜率分別為，若，證明：的周長為定值，并求出定值.
題型七：“三定”型：定直線
求定直線是圓錐曲線求定點(diǎn)定值定直線的一個較難的題型。一般有兩種思維： 利用參數(shù)法消參求定直線 根據(jù)題意引入?yún)?shù)，用參數(shù)表示經(jīng)過定直線的定點(diǎn)，代入已知條件或者根據(jù)條件所建立的關(guān)系式，消去參數(shù)即可得到定直線 2.相關(guān)點(diǎn)法 類似于求軌跡的相關(guān)點(diǎn)代入法，一個點(diǎn)的運(yùn)動變化引起了另外一些點(diǎn)的運(yùn)動變化，在解題時，用一個點(diǎn)的坐標(biāo)把另外一些點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來，再代入一致的曲線和直線方程中，便可求出定直線的方程。
1（河南省洛陽市2023屆高三二模理科數(shù)學(xué)試題）.已知橢圓：的離心率為，右焦點(diǎn)為，A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn).
(1)求橢圓的方程；
(2)過點(diǎn)作斜率不為0的直線，直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，直線AP與直線BQ交于點(diǎn)M，記AP的斜率為，BQ的斜率為.求證：
①為定值；
②點(diǎn)M在定直線上.
2.已知雙曲線C：的離心率為，過點(diǎn)的直線l與C左右兩支分別交于M，N兩個不同的點(diǎn)（異于頂點(diǎn)）．
(1)若點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn)，求直線OP與直線MN斜率之積（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；
(2)若A，B為雙曲線的左右頂點(diǎn)，且，試判斷直線AN與直線BM的交點(diǎn)G是否在定直線上，若是，求出該定直線，若不是，請說明理由
3.如圖，已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)F作直線與雙曲線的漸近線交于P，Q兩.點(diǎn)，且點(diǎn)P在線段FQ上，，.
(1)求C的方程；
(2)設(shè)是C的左 右頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，試探究直線與的交點(diǎn)S是否在某條定直線上，若是，求出該定直線方程，若不是，請說明理由.
題型八：斜率型：斜率和定
給定橢圓，與橢圓上定點(diǎn)，過P點(diǎn)走兩條射線PA、PB，與橢圓交與A和B兩點(diǎn)，記直線PA、PB的斜率分別為,若，則直線過定點(diǎn) 設(shè)拋物線，其上不同的三點(diǎn)：，，，當(dāng)?shù)男甭蕽M足：時，過定點(diǎn)或者
1.設(shè)橢圓方程為，，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線過點(diǎn)，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時，直線與橢圓相切．
(1)求橢圓的方程．
(2)若直線與橢圓交于，（異于，）兩點(diǎn)．
（i）求直線與的斜率之積；
（ii）若直線與的斜率之和為，求直線的方程．
2.（河北省石家莊市2023屆高三質(zhì)量檢測（一）數(shù)學(xué)試題變式題17-22）已知雙曲線的離心率為，點(diǎn)在雙曲線上．
(1)求雙曲線的方程；
(2)設(shè)，為上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)（，均不在軸上）．直線，的斜率分別記為，，且，判斷：直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．
3.（四川省雅安市部分校2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）設(shè)橢圓方程為，，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，動直線l過點(diǎn)，當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)時，直線l與橢圓相切.
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線l與橢圓交于P，Q（異于A，B）兩點(diǎn)，且直線與的斜率之和為，求直線l的方程.
題型九：斜率型：斜率積型
給定橢圓，與橢圓上定點(diǎn)，過P點(diǎn)走兩條射線PA、PB，與橢圓交與A和B兩點(diǎn)，記直線PA、PB的斜率分別為,若，則直線過定點(diǎn) 設(shè)拋物線，其上不同的三點(diǎn)：，，，當(dāng)?shù)男甭蕽M足：時，過定點(diǎn)
1.（四川省涼山彝族自治州2022-2023學(xué)年高三階段性檢測數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓的方程；
(2)若，為橢圓的左右頂點(diǎn)，直線交橢圓于，兩點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值.
2.（陜西省渭南市2023屆高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測（Ⅱ）理科數(shù)學(xué)試題）在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的右頂點(diǎn) 下頂點(diǎn) 右焦點(diǎn)分別為A，B，F(xiàn).
(1)若直線與橢圓E的另一個交點(diǎn)為C，求四邊形的面積；
(2)設(shè)M，N是橢圓E上的兩個動點(diǎn)，直線與的斜率之積為，若點(diǎn)P滿足：.問：是否存在兩個定點(diǎn)G，H，使得為定值？若存在，求出G，H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
3.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，左 右焦點(diǎn)分別是，以為圓心，6為半徑的圓與以為圓心，2為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)過橢圓的右焦點(diǎn)的直線的斜率分別為，且，直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)分別為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是橢圓的左 右頂點(diǎn)，記與的面積分別為，證明：為定值.
題型十：斜率型：斜率比型
1.（河南省洛陽市2023屆高三二模理科數(shù)學(xué)試題）已知橢圓：的離心率為，右焦點(diǎn)為，A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn).
(1)求橢圓的方程；
(2)過點(diǎn)作斜率不為0的直線，直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，直線AP與直線BQ交于點(diǎn)M，記AP的斜率為，BQ的斜率為.求證：
①為定值；
2.（江蘇省南通市如東縣2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，連接并延長交橢圓于點(diǎn)橢圓．
(1)若，，求橢圓的方程
(2)若直線與直線的斜率之比是，求與的面積之比．
3.（河北省唐山市開灤第二中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第三次線上考試數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的短軸長為2，點(diǎn)在上.
(1)求的方程；
(2)設(shè)是上不同于短軸端點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)上方）的兩點(diǎn)，直線與直線的斜率分別為，且滿足，證明：直線過定點(diǎn).
題型十一：斜率型：三斜率型
1.（海南省海南中學(xué)、海口一中、文昌中學(xué)、嘉積中學(xué)四校2023屆高三下學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題）
已知橢圓的離心率為，橢圓的右焦點(diǎn)
(1)求橢圓的方程；
(2)、是橢圓的左 右頂點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率不為的直線交橢圓于點(diǎn) ，直線與直線交于點(diǎn).記、、的斜率分別為、、，是否存在實(shí)數(shù)，使得？
2.（河北省高碑店市崇德實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023屆高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)，．
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓交于不同的，兩點(diǎn)，且直線，，的斜率依次成等比數(shù)列．橢圓上是否存在一點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．
3.（山西省際名校2023屆高三聯(lián)考二（沖刺卷）數(shù)學(xué)試題（A））已知雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，A是直線l：上不同于原點(diǎn)O的一個動點(diǎn)，斜率為的直線與雙曲線E交于M，N兩點(diǎn)，斜率為的直線與雙曲線E交于P，Q兩點(diǎn).
(1)求的值；
(2)若直線OM，ON，OP，OQ的斜率分別為，，，，問是否存在點(diǎn)A，滿足+++=0，若存在，求出A點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.
題型十二：切線型
在利用橢圓（雙曲線）的切線方程時，一般利用以下方法進(jìn)行直線： （1）設(shè)切線方程為與橢圓方程聯(lián)立，由進(jìn)行求解； （2）橢圓（雙曲線）在其上一點(diǎn)的切線方程為，再應(yīng)用此方程時，首先應(yīng)證明直線與橢圓（雙曲線）相切. 雙曲線的以為切點(diǎn)的切線方程為
1.（安徽省安慶市宿松中學(xué)2022-2023學(xué)年高三學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的上頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為、，三角形的周長為6，面積為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)已知點(diǎn)M是橢圓C外一點(diǎn)，過點(diǎn)M所作橢圓的兩條切線互相垂直，求三角形面積的最大值．
2.（2023年四省聯(lián)考變試題17-22）雙曲線C：的離心率為，圓O：與x軸正半軸交于點(diǎn)A，圓O在點(diǎn)A處的切線被雙曲線C截得的弦長為.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)設(shè)圓O上任意一點(diǎn)P處的切線交雙曲線C于兩點(diǎn)M、N，試判斷是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由；
(3)若將（2）中的雙曲線改為橢圓，其他條件不變，試探討的值.
3.（江蘇省蘇州市昆山中學(xué)2022屆高三下學(xué)期2月階段性調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題）已知拋物線C：與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線C上一點(diǎn)．
(1)求證：點(diǎn)處的切線的方程為；
(2)若點(diǎn)P在雙曲線的左支上，且PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，求△PAB面積的最小值．
題型十三：韋達(dá)定理不能直接用：定比分點(diǎn)型
若有 1.利用公式，可消去參數(shù) 2.可以直接借助韋達(dá)定理反解消去兩根 定比分點(diǎn)型，即題中向量（或者線段長度滿足）可以利用公式，可消去
1.（陜西省銅川市王益中學(xué)2023屆高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題）已知點(diǎn)M，N分別是橢圓的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)，原點(diǎn)O到直線的距離為，且橢圓的離心率為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)斜率不為0的直線經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)，并且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若，求直線的方程．
2.已知P是橢圓上的動點(diǎn)，P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最值之比為，P到焦點(diǎn)的距離的最值之差的絕對值為2.
（1）求橢圓C的方程；
（2）若D為橢圓C的弦AB的中點(diǎn)，，證明：的面積為定值.
3.（重慶市第八中學(xué)2024屆高三下學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題）在直角坐標(biāo)系中，曲線與直線交于，兩點(diǎn).
（Ⅰ）若， ，求；
（Ⅱ）曲線在點(diǎn)，處的切線相交于點(diǎn)，，分別交軸于點(diǎn)，兩點(diǎn)是否存在實(shí)數(shù)，使得，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.
題型十四：韋達(dá)定理不能直接用：點(diǎn)代入型
1.已知橢圓的離心率為，過右焦點(diǎn)F的直線與相交于、兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)男甭蕿?時，坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離為
（I）求，的值；
（II）上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有成立？
若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與的方程；若不存在，說明理由。
2.P(x0，y0)(x0≠±a)是雙曲線E：－＝1(a>0，b>0)上一點(diǎn)，M、N分別是雙曲線E的左、右頂點(diǎn)，直線PM，PN的斜率之積為.(1)求雙曲線的離心率；
(2)過雙曲線E的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為雙曲線上一點(diǎn)，滿足 ＝λ ＋ ，求λ的值．
3.已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，斜率為且過橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，與共線.
求橢圓的離心率；
設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，且，證明為定值.
題型十五：韋達(dá)定理不能直接用：坐標(biāo)運(yùn)算型
1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線上異于坐標(biāo)原點(diǎn)Ｏ的兩不同動點(diǎn)Ａ、Ｂ滿足（如圖４所示）．
（Ⅰ）求得重心Ｇ（即三角形三條中線的交點(diǎn)）的軌跡方程；
（Ⅱ）的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．
2.（安徽省合肥市2023屆高三調(diào)研性檢測數(shù)學(xué)題）已知為橢圓上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線段，為垂足，點(diǎn)滿足.
（Ⅰ）求動點(diǎn)的軌跡的方程；
（Ⅱ）若兩點(diǎn)分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)，直線與橢圓交于點(diǎn)，直線的斜率分別為，求的取值范圍.
3.（江蘇省南京市高淳高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期10月階段性檢測數(shù)學(xué)試題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的離心率為，上頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為.過點(diǎn)作不垂直于軸，軸的直線，交橢圓于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，且.
（1）求橢圓的方程；
（2）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）延長交橢圓于點(diǎn)，記與的面積分別為，，若，求直線的方程.
題型十六：韋達(dá)定理不能直接用：非對稱型代入
1.（2023秋·福建廈門·高三廈門外國語學(xué)校校考）已知雙曲線的離心率為，右頂點(diǎn)到的一條漸近線的距離為.
(1)求的方程；
(2)是軸上兩點(diǎn)，以為直徑的圓過點(diǎn)，若直線與的另一個交點(diǎn)為，直線與的另一個交點(diǎn)為，試判斷直線與圓的位置關(guān)系，并說明理由.
2.（北京市豐臺區(qū)2023屆高三年級第二學(xué)期綜合練習(xí)數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，長軸長為4，離心率為.過右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)（均不與重合），記直線的斜率分別為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在常數(shù)，當(dāng)直線變動時，總有成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
3.（2023秋·江西南昌·高三南昌市八一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知隨圓的左 右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)在上，的周長為，面積為.
(1)求的方程.
(2)設(shè)的左 右頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)（不同于左右頂點(diǎn)），記直線的斜率為，直線的斜率為，則是否存在實(shí)常數(shù)，使得恒成立.
題型十七：19題卷型圓錐新定義題
1.（2024·河南·二模）已知雙曲線的兩條漸近線分別為和，右焦點(diǎn)坐標(biāo)為為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)直線與雙曲線的右支交于點(diǎn)（在的上方），過點(diǎn)分別作的平行線，交于點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為4的直線與雙曲線交于點(diǎn)（在的上方），再過點(diǎn)分別作的平行線，交于點(diǎn)，這樣一直操作下去，可以得到一列點(diǎn).
證明：①共線；
②為定值.
2.（23-24高三上海·）在橢圓（雙曲線）中，任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個圓上，該圓的圓心是橢圓（雙曲線）的中心，半徑等于橢圓（雙曲線）長半軸（實(shí)半軸）與短半軸（虛半軸）平方和（差）的算術(shù)平方根，則這個圓叫蒙日圓．已知橢圓的蒙日圓的面積為，該橢圓的上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)分別為，且，設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（不與兩點(diǎn)重合）且直線．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)證明：的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值；
(3)求直線圍成的三角形面積的最小值．
.3.（2024·遼寧丹東·一模）我們所學(xué)過的橢圓、雙曲線、拋物線這些圓錐曲線，都有令人驚奇的光學(xué)性質(zhì)，且這些光學(xué)性質(zhì)都與它們的焦點(diǎn)有關(guān)．如從雙曲線的一個焦點(diǎn)處出發(fā)的光線照射到雙曲線上，經(jīng)反射后光線的反向延長線會經(jīng)過雙曲線的另一個焦點(diǎn)（如圖所示，其中是反射鏡面也是過點(diǎn)處的切線）．已知雙曲線（，）的左右焦點(diǎn)分別為，，從處出發(fā)的光線照射到雙曲線右支上的點(diǎn)P處（點(diǎn)P在第一象限），經(jīng)雙曲線反射后過點(diǎn)．

(1)請根據(jù)雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，解決下列問題：
當(dāng)，，且直線的傾斜角為時，求反射光線所在的直線方程；
(2)從處出發(fā)的光線照射到雙曲線右支上的點(diǎn)處，且三點(diǎn)共線，經(jīng)雙曲線反射后過點(diǎn)，，，延長，分別交兩條漸近線于，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：為定值．
(3)在（2）的條件下，延長交y軸于點(diǎn)，當(dāng)四邊形的面積為8時，求的方程．

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