資源簡介

離散型隨機變量及其分布列
【考綱解讀】
理解隨機變量，離散型隨機變量和連續型隨機變量的定義，了解離散型隨機變量和連續型隨機變量的特征；
理解離散型隨機變量分布列的定義，了解離散型隨機變量分布列對刻畫隨機現象的重要意義；
理解二項分布和幾何分布的定義，能夠運用二項分布和幾何分布解答相關的數學問題；
能夠計算簡單離散型隨機變量的概率，從而求出簡單離散型隨機變量的分布列，并能運用簡單離散型隨機變量分布列解答相關的數學問題。
【知識精講】
一、隨機變量的概念：
1、隨機變量的定義：
【問題】認真分析下面的問題，并回答題后的思考問題：
1、某人射擊一次，可能出現命中0環，命中1環，---------命中10環，等不同結果；
2、某次產品檢驗，在可能含有次品的100件產品中任意抽取4件，那么其中含有的次品可能是0件，1件，2件，3件，4件。
『思考問題』
（1）【問題】1中出現的不同結果有：命中0環，命中1環，---------命中10環11種；
（2）【問題】2中出現的不同結果有：0件，1件，2件，3件，4件5種；
（3）上面兩個試驗的共同特點是：①試驗可以重復進行；②試驗出現的可能結果是有限
的，但每次試驗出現哪種結果在試驗之前不能預知；③ 每種結果出現的可能性是相同的。
（1）隨機變量的定義：隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，這樣的變量稱為隨機變量，常用希臘字母，-----等表示；
（2）隨機變量的種類：①隨機變量的可能取值可以按一定的順序一一列出，這樣的隨機變量，叫做離散型隨機變量；②隨機變量可以取某一區間內的所有實數值，這樣的隨機變量，叫做連續型隨機變量。
二、離散型隨機變量的分布列：
1、離散型隨機變量分布列的定義：設隨機變量的可能取值為，，--------------，每取一個值的概率為p=（=），則稱 ------ --------
為離散型隨機變量的概率分布列，簡稱為離 P ----- --------
型隨機變量的分布列；
2、離散型隨機變量分布列的性質：①0≤≤1（i=1，2，---------）； ②++-------
++--------=1（i=1，2，---------），③離散型隨機變量在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和；
3、常見離散型隨機變量的分布列：
（1）0—1分布：（變量的可能取值只有“1”，“0”兩個） 1 0
（2）二項分布：在n次獨立重復試驗中，事件A發生的次 p p 1-p（0＜p＜1)
數是一個隨機變量，其所有可能的取值為0，1，2，3，--------n，并且p(=k)= （其中k=0,1,2,3，------n），顯然p(=k)≥0 （k=0,1,2,3，------n），
= =1，稱這樣的隨機變量服從次數n和p的二項分布，記為—B（n，p）
0 1 ------ k ------ n
P
（3）幾何分布：n次獨立重復試驗中，事件A首次發生出現在第k次試驗的概率要使首次成功出現在第k次試驗，必須且只需在前k-1次試驗中都出現，若用表示試驗次數，p(A)=p，p()=q，于是得到隨機變量的分布列如下表，則稱隨機變量服從幾何分布，記為g（k，p），（其中q=1-p，k=1，2，-----，n）。
1 2 3 ------- k --------
P p qp p -------- p ---------
4、理解隨機變量和隨機變量分布列時應該注意的問題：
（1）隨機變量與函數的自變量的相同點是它們都是變量，不同點是隨機變量是隨機的結果，隨機變量具有兩個特點：①在試驗之前不能確定隨機變量取什么值，具有隨機性；②在大量重復試驗中能按一定的規律取某個實數值，存在統計規律性；而函數的自變量是確定的；
（2）離散型隨機變量的分布列與函數之間的關系是：①函數是研究確定性現象的，定義域是實數集，有明確的因果關系；離散型隨機變量的分布列是研究隨機現象的，它的定義域是由全部試驗可能結果所組成的整數集合，它的取值是不能預知的，但它的取值有一定的規律，研究隨機變量時，關心的是隨機變量能夠取哪些值，都包括哪些試驗結果（基本事件）以及統計的規律（也就是事件概率的大?。?；②對隨機變量統計規律的研究著重關心兩個問題：第一是隨機試驗的全部結果有哪些？第二是隨機試驗中某結果發生的可能性有多大？隨機變量的分布列可以一目了然的看到隨機變量的取值范圍，即全部隨機變量的結果，每個隨機變量發生的概率，即每個試驗結果發生可能性的大小。
【探導考點】
考點1隨機變量定義及運用：熱點①隨機變量定義與分類；熱點②隨機變量的特征及運用；
考點2離散型隨機變量分布列及運用：熱點①離散型隨機變量分布列的性質及運用；熱點②求離散型隨機變量的分布列；熱點③離散型隨機變量的二項分布及運用；熱點④離散型隨機變量的綜合問題。
【典例解析】
【典例1】解答下列問題：
1、寫出下列隨機變量可能的取值，并說明隨機變量所取的值所表示的隨機變量的結果：
①袋中有大小相同的紅球10個，白球5個，從袋中每次任意取出1個球，直到取出的球是白球為止所需要的取球次數；②袋中有大小完全相同的紅球10個，白球5個，從袋中每次任意取出1個球，若取出一個白球則結束，若取出一個紅球則放回袋中繼續從袋中任意取出一個球，直到取出的球是白球為止所需要的取球次數；③從標有1，2，3，4，5，6的6張卡片中任意取2張，所取卡片上的數之和。
2、①某機場候機室中一天的游客數量為，②某尋呼臺一天內收到的尋呼次數為，③某水文站觀察到一天中長江的水位為，④某立交橋一天經過的車輛數為，則（ ）不是離散型隨機變量。
A ①中的 B ②中的 C ③中的 D ④中的
『思考問題1』
（1）【典例1】是隨機變量定義及運用的問題，解答這類問題需要理解隨機變量的定義，了解隨機變量的分類，掌握離散型隨機變量和連續型隨機變量的特點；
（2）離散型隨機變量具有兩個特點：①在試驗之前不能確定隨機變量取什么值，具有隨機性；②在大量重復試驗中能按一定的規律取某個實數值，具有規律性。
〔練習1〕解答下列問題：
1、從10張已編號的卡片（從1號到10號）中任取1張，被取出的卡片的號數；
2、一個袋中裝有5個白球和5個黑球，從中任取3個，其中所含白球的個數；
3、拋擲兩個骰子，所得到數之和；
4、接連不斷的射擊，首次命中目標需要的射擊次數。
【典例2】解答下列問題：
1、袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為，現有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到兩人中有一個人取到白球時即終止，每個球在每次被取出的機會是等可能的。
（1）求袋中原有白球的個數；
（2）用表示取球終止時所需要的取球次數，求隨機變量的概率分布；
（3）求甲取到白球的概率。
2、設事件A在每次試驗中發生的概率為0.3，當A發生不少于3次時，指示燈發出信號，在5次獨立試驗中。
（1）求A發生的次數的分布列；
（2）求指示燈發出信號的概率。
3、某人每次投籃投中的概率為0.1，各次投籃的結果互相獨立，求他首次投籃投中時投籃次數的分布列，以及他在5次內投中的概率（精確到0.01）；
4、一批產品共10件，其中7件正品，3件次品，每次從這批產品中任取1件，在下述三種情況下，分別求直至取到正品時所需次數的分布列。
（1）每次取出的產品不再放回；
（2）每次取出的產品仍放回；
（3）每次取出一件次品后，總是另取一件正品放回到這批產品中。
『思考問題2』
（1）【典例2】是求離散型隨機變量分布列的問題，解答這類問題需要理解離散型隨機變量分布列的定義和性質，掌握求離散型隨機變量分布列的基本方法；
（2）求離散型隨機變量分布列的基本方法是：①明確離散型隨機變量的所有可能取值以及每個值所表示的意義；②運用概率的相關知識，求出離散型隨機變量每個取值的概率；③按規范形式寫出分布列；④運用分布列的性質進行驗證。
〔練習2〕解答下列問題：
設隨機變量的分布列p(=)=ak（k=1，2，3，4，5）。
求常數a的值；
求p(≥)；
求（＜＜）。
X 0 1
2、若離散型隨機變量的分布列為： P 9-c 3-8c ，試求常數c的值。
3、某一射手射擊所得的環數的分布列如下表，求此射手“射擊一次命中環數≥7的概率。 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
4、某人每次射擊擊中目標的概率是0.2，射擊中每次射擊的結果是相互獨立的，求他在10次射擊中擊中目標的次數不超過5次的概率（精確到0.01）。
5、袋中裝有6個同樣大小的黑球，編號為1,2,3,4,5,6，現從袋中隨機取出3個球，以表示取出球的最大號碼，求的分布列。
6、已知盒中有10個燈泡，其中8個正品，2個次品，需要從中取出2個正品，每次取出一個，取出后不放回，直到取出2個正品為止，設為取出的次數，求的分布列。
7、一名學生每天騎自行車上學，從他家到學校的途中有6個交通崗，假設他在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都等于。
（1）設X為這名學生在途中遇到紅燈的次數，求X的分布列；
（2）設Y為這名學生在首次停車前經過的路口數，求Y的分布列；
（3）求這名學生在途中至少遇到一次紅燈的概率；
8、袋中裝著標有數字1,2,3,4,5的小球各2個，從袋中任取3個小球，按3個小球上最大數字的9倍計分，每個球被取出的可能性都相等，用X表示取出3個小球上的最大數字，求：
（1）取出的3個小球上的數字互不相同的概率；
（2）隨機變量X的概率分布列；
（3）計分介于20分到40分之間的概率。
9、甲、乙兩名籃球運動員獨立地輪流投籃，甲先投，直到有人投中為止，甲投中的概率為0.7，乙投中的概率為0.8，以表示結束時甲投籃次數，以表示結束時乙投籃次數，求和的分布列。
【雷區警示】
【典例3】解答下列問題：
甲，乙兩個排球隊進行比賽，規定兩隊中有一隊勝4場，整個比賽結束，若甲，乙兩隊每場比賽中獲勝的概率都是，記比賽場數為X，求X的概率分布列。
一盒中有9個正品和3個次品零件，每次取出一個零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品數X的概率分布列。
『思考問題3』
【典例3】是解答離散型隨機變量及其分布列問題時，容易觸碰的雷區。該類問題的雷區主要包括：①忽視離散型隨機變量的取值，導致解答問題出現錯誤；②忽視離散型隨機變量各個取值概率計算的準確性，導致解答問題出現錯誤；
解答離散型隨機變量及其分布列問題時，為避免忽視離散型隨機變量的取值的雷區，需要理解離散型隨機變量的定義，掌握確定離散型隨機變量取值的基本方法；
解答離散型隨機變量及其分布列問題時，為避免忽視離散型隨機變量各個取值概率計算的準確性的雷區，需要理解隨機變量概率的定義，掌握求隨機變量概率的基本方法。
〔練習3〕解答下列問題：
每年的3月12日是我國的植樹節，林管部門在植樹前，為保證樹苗的質量，都會在植樹前對樹苗進行檢測，現從甲，乙兩批樹苗中各抽測了10株樹苗的高度，規定高于128厘米的為“良種樹苗”，測得高度如下（單位：厘米）：甲：137，121，131，120，129，119，132，123，125，133；乙：110，130，147，127，146，114，126，110，144，146。
根據抽測結果，作出莖葉圖，并由莖葉圖對甲，乙兩批樹苗的高度作比較，寫出對兩批樹苗高度的統計結論；
若小王在甲批樹苗中隨機領取了5株進行種植，用樣本的頻率分布估計總體分布，求小王領取到的“良種樹苗”株數X的分布列。
2、已知箱中裝有4個白球和5個黑球，且規定，取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分，現從該箱中任?。o放回，且每個球取到的機會均等）3個球，記思考變量X為取出3個球所得分數之和，求X的分布列。
【追蹤考試】
【典例4】解答下列問題：
1、甲，乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若未命中則換為對方投籃。無論之前投籃情況如何，甲每次投籃命中率均為0.6，乙每次投籃命中率均為0.8，由抽簽確定第一次投籃的人選，第一次投籃的人是甲，乙的概率各為0.5。
（1）求第二次投籃的人是乙的概率；
（2）求第i次投籃的人是甲的概率；
（3）已知：若隨機變量服從兩點分布，且p（=1）=1-p（=0）=qi，i=1，2，---n，則E（）=，記前n次（即從第一次到第n次）投籃中甲投籃的次數為Y，求E（Y）（2023全國高考新高考I）。
2、甲，乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局，三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍，已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結果相互獨立。
（1）求甲學校獲得冠軍的概率；
（2）用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與數學期望（2022全國高考甲卷理）
3、某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確，則從另一類問題中在隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束。A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分。已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關（2021全國高考新高考I卷）。
（1）若小明先回答A類問題，記X為小明累計得分，求X的分布列；
（2）為使累計得分的期望最大，小明應該選擇先回答哪類問題？并說明理由。
4、《營造法式》是中國北宋時期官方頒布的一部建筑設計與施工的書籍，標志著我國古代建筑技術和工藝發展到了較高水平，中國近代建筑之父梁恩成用現代語言和制圖方法對該書進行了注釋，著有《（營造法式）注釋》，為了讓建筑類學生了解古建筑設計與構造的原理，某建筑大學為大三和大四的學生開設了一門選修課程《營造法式及其注釋》，為檢測學生學習效果，要求所有選修該門課程的學生完成“應用營造法式獨立制作一件古建筑模型”的作業，已知選修該門課程的大三與大四學生的人數之比為3:2，現用分層抽樣的方法從所有作業中隨機抽取100份（每位學生均上交一份作業），并評出成績，得到如下頻率分布表：
（理）（1）求x，y的值，并估計這100份作業中大三學生作業的平均成績（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）；
在這100份作業的樣本中，從成績在[50，80）的大四學生作業中隨機抽取2份，記抽取的這2份作業中成績在[60，70）的份數為X，求X的分布列與數學期望。
成績（單位：分） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100）
頻數（不分年級） 4 x 20 38 30
頻數（大三年級） 3 6 15 y 12
（文）（1）求y的值，若以頻率作為概率，從選修該門課程的大四學生中隨機選取1名，試估計該學生的作業成績在[60，80）的概率；
估計這100份作業中大三學生作業的平均成績（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）（2021成都市高三三診）
『思考問題4』
【典例4】是近幾年高考（或高三診斷考試或調研考試）試卷中與隨機變量及其分布列相關的問題，歸結起來主要包括：①隨機變量定義及運用；②離散型隨機變量分布列及運用等幾種類型；
（2）解答隨機變量及其分布列問題的基本方法是：①根據問題的結構特征，判斷問題的所屬類型；②按照解答該類型問題的基本思路和方法對問題實施解答；③得出問題解答的最終結果。
1、2019年12月，《生活垃圾分類標志》新標準發布并正式實施，為進一步普及生活垃圾分類知識，了解居民生活垃圾分類情況，某社區開展了一次關于垃圾分類的問卷調查活動，并對隨機抽取的1000人的年齡進行了統計，得到如下的各年齡段頻數分布表和各年齡段人數頻率分布直方圖：
（1）請補全各年齡段人數頻率分布直方圖，并求出各年齡段頻數分布表中m，n的值；
（2）現從年齡在,[30，40）段中采用分層抽樣的方法選取5名代表參加垃圾分類知識交流活動，應社區要求，從被選中的這5名代表中任意選2名作交流發言，求選取的2名發言者中恰有1名年齡段在[35，40）段中的概率（2021成都市高三零診）。
2、信息熵是信息論中的一個重要概念，設隨機變量X所有可能的值為1，2，----，n，且P（X=i）=>0，（i=1，2，----，n），=1，定義X的信息熵H（x）=-，則（ ）（2020全國高考新高考I）（多項選擇題）
A 若n=1，則H（x）=0 B 若n=2，則H（x）隨的增大而增大 C 若=（i=1，2，----，n），則H（x）隨n的增大而增大 D 若n=2m，隨機變量Y所有可能的取值為i=1，2，-----，m，且P（Y=j）= + （j=1，2，----，m），則H（x） H（Y）
3、2018年央視大型文化節目《經典詠流傳》的熱播，在全民中掀起了誦讀詩詞的熱潮，某大學社團調查了該校文學院300名學生每天誦讀詩詞的時間（所有學生誦讀時間都在兩小時內），并按時間（單位：分鐘）將學生分成六個組：［0,20），［20,40），［40,60），［60,80），［80,100），［100,120］，經統計得到了如圖所示的頻率分布直方圖（2019成都市高三零診）。
（1）求頻率分布直方圖中a的值；并估計該校文學院的學生每天誦讀詩詞的時間的平均數；
（2）若兩個同學誦讀詩詞的時間x，y滿足|x-y|＞60，則這兩個同學組成一個“Tean”,已知從每天誦讀詩詞的時間小于20分鐘和大于或等于80分鐘的所有學生中用分層抽樣的方法抽取了5人，現從這5人中隨機選取2人，求選取的兩人能組成一個“Tean”的概率。
4、（理）某部門為了解企業在生產過程中的用水量情況，對每 7 3 1
天的用水量作了記錄，得到了大量該企業的日用水量的統計數據， 8 3 5 6 7 8 9
從這些統計數據中隨機抽取12天的數據作為樣本，得到如圖所 9 5 7 8 9
示的莖葉圖（單位：噸），若用水量不低于95噸，則稱這一天
的用水量超標。
（1）從這12天的數據中隨機抽取3個，求至多有1天用水量超標的概率；
（2）以這12天的樣本數據中用水量超標的頻率作為概率，估計該企業未來3天中用水量超標的天數，記隨機變量X為未來3天中用水量超標的天數，求X的分布列和數學期望。
（文）某部門為了解企業在生產過程中的用水量 日用水量 ［70,80）［80,90）［90,100］
情況，對每天的用水量作了記錄，得到了該企業（單位：噸）
的日用水量的統計數據，從這些統計數據中隨機 頻數 3 6 m
抽取12天的用水量的數據作為樣本，得到的統 頻率 n 0.5 p
計結果如右表：（2018成都市高三一診）
（1）求m，n，p的值；
（2）已知樣本中日用水量在［80,90）內的這六個數據分別為83，85，86，87，88，89，從六個數據中隨機抽取兩個，求抽取的兩個數據中至少有一個大于86的概率。
5、（理）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完。根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：）有關，如果氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果氣溫位于區間［20，25），需求量為300瓶；如果氣溫低于20，需求量為200瓶。為了確定6月份的訂購計劃，統計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得到下面的頻率分布表：
最高氣溫 ［10，15）［15，20）［20，25）［25，30）［30，35）［35，40）
天數 2 16 36 25 7 4
以最高氣溫位于各區間的頻率代替最高氣溫位于該區間的概率（2017全國高考新課標III卷）。
（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；
（2）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為y（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量n（單位：瓶）為多少時，y的數學期望達到最大值？
（文）（1）求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；
（2）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為y（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出y的所有可能值，并估計y大于零的概率。
離散型隨機變量及其分布列
【考綱解讀】
理解隨機變量，離散型隨機變量和連續型隨機變量的定義，了解離散型隨機變量和連續型隨機變量的特征；
理解離散型隨機變量分布列的定義，了解離散型隨機變量分布列對刻畫隨機現象的重要意義；
理解二項分布和幾何分布的定義，能夠運用二項分布和幾何分布解答相關的數學問題；
能夠計算簡單離散型隨機變量的概率，從而求出簡單離散型隨機變量的分布列，并能運用簡單離散型隨機變量分布列解答相關的數學問題。
【知識精講】
一、隨機變量的概念：
1、隨機變量的定義：
【問題】認真分析下面的問題，并回答題后的思考問題：
1、某人射擊一次，可能出現命中0環，命中1環，---------命中10環，等不同結果；
2、某次產品檢驗，在可能含有次品的100件產品中任意抽取4件，那么其中含有的次品可能是0件，1件，2件，3件，4件。
『思考問題』
（1）【問題】1中出現的不同結果有：命中0環，命中1環，---------命中10環11種；
（2）【問題】2中出現的不同結果有：0件，1件，2件，3件，4件5種；
（3）上面兩個試驗的共同特點是：①試驗可以重復進行；②試驗出現的可能結果是有限
的，但每次試驗出現哪種結果在試驗之前不能預知；③ 每種結果出現的可能性是相同的。
（1）隨機變量的定義：隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，這樣的變量稱為隨機變量，常用希臘字母，-----等表示；
（2）隨機變量的種類：①隨機變量的可能取值可以按一定的順序一一列出，這樣的隨機變量，叫做離散型隨機變量；②隨機變量可以取某一區間內的所有實數值，這樣的隨機變量，叫做連續型隨機變量。
二、離散型隨機變量的分布列：
1、離散型隨機變量分布列的定義：設隨機變量的可能取值為，，--------------，每取一個值的概率為p=（=），則稱 ------ --------
為離散型隨機變量的概率分布列，簡稱為離 P ----- --------
型隨機變量的分布列；
2、離散型隨機變量分布列的性質：①0≤≤1（i=1，2，---------）； ②++-------
++--------=1（i=1，2，---------），③離散型隨機變量在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和；
3、常見離散型隨機變量的分布列：
（1）0—1分布：（變量的可能取值只有“1”，“0”兩個） 1 0
（2）二項分布：在n次獨立重復試驗中，事件A發生的次 p p 1-p（0＜p＜1)
數是一個隨機變量，其所有可能的取值為0，1，2，3，--------n，并且p(=k)= （其中k=0,1,2,3，------n），顯然p(=k)≥0 （k=0,1,2,3，------n），
= =1，稱這樣的隨機變量服從次數n和p的二項分布，記為—B（n，p）
EMBED Equation.DSMT4 0 1 ------ k ------ n
P
（3）幾何分布：n次獨立重復試驗中，事件A首次發生出現在第k次試驗的概率要使首次成功出現在第k次試驗，必須且只需在前k-1次試驗中都出現，若用表示試驗次數，p(A)=p，p()=q，于是得到隨機變量的分布列如下表，則稱隨機變量服從幾何分布，記為g（k，p），（其中q=1-p，k=1，2，-----，n）。
1 2 3 ------- k --------
P p qp p -------- p ---------
4、理解隨機變量和隨機變量分布列時應該注意的問題：
（1）隨機變量與函數的自變量的相同點是它們都是變量，不同點是隨機變量是隨機的結果，隨機變量具有兩個特點：①在試驗之前不能確定隨機變量取什么值，具有隨機性；②在大量重復試驗中能按一定的規律取某個實數值，存在統計規律性；而函數的自變量是確定的；
（2）離散型隨機變量的分布列與函數之間的關系是：①函數是研究確定性現象的，定義域是實數集，有明確的因果關系；離散型隨機變量的分布列是研究隨機現象的，它的定義域是由全部試驗可能結果所組成的整數集合，它的取值是不能預知的，但它的取值有一定的規律，研究隨機變量時，關心的是隨機變量能夠取哪些值，都包括哪些試驗結果（基本事件）以及統計的規律（也就是事件概率的大小）；②對隨機變量統計規律的研究著重關心兩個問題：第一是隨機試驗的全部結果有哪些？第二是隨機試驗中某結果發生的可能性有多大？隨機變量的分布列可以一目了然的看到隨機變量的取值范圍，即全部隨機變量的結果，每個隨機變量發生的概率，即每個試驗結果發生可能性的大小。
【探導考點】
考點1隨機變量定義及運用：熱點①隨機變量定義與分類；熱點②隨機變量的特征及運用；
考點2離散型隨機變量分布列及運用：熱點①離散型隨機變量分布列的性質及運用；熱點②求離散型隨機變量的分布列；熱點③離散型隨機變量的二項分布及運用；熱點④離散型隨機變量的綜合問題。
【典例解析】
【典例1】解答下列問題：
1、①某機場候機室中一天的游客數量為，②某尋呼臺一天內收到的尋呼次數為，③某水文站觀察到一天中長江的水位為，④某立交橋一天經過的車輛數為，則（ ）不是離散型隨機變量。
A ①中的 B ②中的 C ③中的 D ④中的
【解析】
【知識點】①離散型隨機變量定義與性質；②判斷隨機變量是離散型隨機變量的基本方法。
【解題思路】根據離散型隨機變量的性質，運用判斷隨機變量是離散型隨機變量的基本方法，結合問題條件對各選項的數據變量是否是離散型隨機變量進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】對①，某機場候機室中一天的游客數量為，只能取正整數是離散型隨機變量；對②，某尋呼臺一天內收到的尋呼次數為，只能取正整數是離散型隨機變量；對③，某水文站觀察到一天中長江的水位為，可以取某一區間的任意實數，不是離散型隨機變量；對 ④，某立交橋一天經過的車輛數為，只能取正整數是離散型隨機變量，綜上所述，③中的隨機變量不是離散型隨機變量，C正確，選C。
2、寫出下列隨機變量可能的取值，并說明隨機變量所取的值所表示的隨機變量的結果：
①袋中有大小相同的紅球10個，白球5個，從袋中每次任意取出1個球，直到取出的球是白球為止所需要的取球次數；②袋中有大小完全相同的紅球10個，白球5個，從袋中每次任意取出1個球，若取出一個白球則結束，若取出一個紅球則放回袋中繼續從袋中任意取出一個球，直到取出的球是白球為止所需要的取球次數；③從標有1，2，3，4，5，6的6張卡片中任意取2張，所取卡片上的數之和。
【解析】
【知識點】①離散型隨機變量定義與性質；②確定隨機變量可能取值的基本方法。
【解題思路】根據隨機變量的性質，運用確定隨機變量可能取值的基本方法，結合問題條件就可分別確定出隨機變量的可能取值。
【詳細解答】對①，從袋中每次任意取出1個球，取出的求不放回，直到取出的球是白球為止所需要的取球次數為隨機變量，隨機變量的可能取值為1，2，3，4,，5，6，7，8，9，10，11；對②，從袋中每次任意取出1個球，取出白球則結束，取出紅球又放回袋中繼續從袋中任意取出一個球，，直到取出的球是白球為止所需要的取球次數為隨機變量，隨機變量的可能取值為1，2，3，-----k,------，其中k；對③，從標有1，2，3，4，5，6的6張卡片中任意取2張，所取卡片上的數之和為隨機變量，隨機變量的可能取值為3，4，5，6，7，8，9，10，11；
『思考問題1』
（1）【典例1】是隨機變量定義及運用的問題，解答這類問題需要理解隨機變量的定義，了解隨機變量的分類，掌握離散型隨機變量和連續型隨機變量的特點；
（2）離散型隨機變量具有兩個特點：①在試驗之前不能確定隨機變量取什么值，具有隨機性；②在大量重復試驗中能按一定的規律取某個實數值，具有規律性。
〔練習1〕解答下列問題：
1、從10張已編號的卡片（從1號到10號）中任取1張，被取出的卡片的號數，確定隨機變量的可能取值。（答案：機變量的可能取值為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10）
2、一個袋中裝有5個白球和5個黑球，從中任取3個，其中所含白球的個數，確定隨機變量的可能取值。（答案：機變量的可能取值為0，1，2，3）
3、拋擲兩個骰子，所得到數之和，確定隨機變量的可能取值。（答案：機變量的可能取值為3，4，5，6，7，8，9，10，11，12）
4、接連不斷的射擊，首次命中目標需要的射擊次數，確定隨機變量的可能取值。（答案：機變量的可能取值為1，2，3，-----k，-------，其中k）
【典例2】解答下列問題：
1、袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為，現有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到兩人中有一個人取到白球時即終止，每個球在每次被取出的機會是等可能的。
（1）求袋中原有白球的個數；
（2）用表示取球終止時所需要的取球次數，求隨機變量的概率分布；
（3）求甲取到白球的概率。
【解析】
【知識點】①離散型隨機變量定義與性質；②隨機事件概率定義與性質；③求隨機事件概率的基本方法；④求離散型隨機變量分布列的基本方法。
【解題思路】（1）設白球的個數為x個（0法，結合問題條件就可求出隨機變量的概率分布；（3）根據隨機事件的性質，運用求隨機
事件概率的基本方法，結合問題條件就可求出甲取到白球的概率。
【詳細解答】（1）設白球的個數為x個（0=，x(x-1)=6，解之得：x=3，袋中原有白球的個數為3個；（2）取球終止時所需要的取球次數為隨機變量，隨機變量的可能取值為1，2，3，4,，5，p（=1）=，p（=2）==，p（=3）==，p（=4）=
=，p（=5）=1=，隨機變量的分布列為：
1 2 3 4 5 （2）隨機變量為1，3，5時，都是甲取到白球，甲
P 取到白球的概率為++=。
2、設事件A在每次試驗中發生的概率為0.3，當A發生不少于3次時，指示燈發出信號，在5次獨立試驗中。
（1）求A發生的次數的分布列；
（2）求指示燈發出信號的概率。
【解析】
【知識點】①離散型隨機變量定義與性質；②隨機事件概率定義與性質；③求隨機事件概率的基本方法；④求離散型隨機變量分布列的基本方法。
【解題思路】（1）根據離散型隨機變量和隨機事的性質，運用求隨機事件概率和離散型隨機變量分布列的基本方法，結合問題條件就可求出離散型隨機變量的分布列；（2）由（1）就可求出指示燈發出信號的概率。
【詳細解答】（1）5次獨立試驗中，事件A發生的次數為隨機變量，隨機變量的可能取值為0，1，2，3，4,，5，p（=0）=，p（=1）=5=，p（=2）=10=，p（=3）=10=，p（=4）=5=，p（=5）=，隨機變量的分布列為：
0 1 2 3 4 5 （2）當A發生不少于3次
P 時，指示燈發出信號，指
示燈發出信號的概率為++=。
3、某人每次投籃投中的概率為0.1，各次投籃的結果互相獨立，求他首次投籃投中時投籃次數的分布列，以及他在5次內投中的概率（精確到0.01）；
【解析】
【知識點】①離散型隨機變量定義與性質；②隨機事件概率定義與性質；③求隨機事件概率的基本方法；④求離散型隨機變量分布列的基本方法。
【解題思路】根據離散型隨機變量和隨機事的性質，運用求隨機事件概率和離散型隨機變量分布列的基本方法，結合問題條件就可求出該人首次投籃投中時投籃次數的分布列，從而求出他在5次內投中的概率。
【詳細解答】隨機變量X是該人首次投籃投中時投籃次數，隨機變量X的可能取值為1，2，3，----k----,(k），p（X=1）=，p（X=2）==，p（X=3）==，p（X=k）=-----=，----，隨機變量的分布列為： X 1 2 3 ------- k ------- p（X=4）=
P ----- ------ =，p（X=5）=
=，5次內投中的概率為++++
=。
4、一批產品共10件，其中7件正品，3件次品，每次從這批產品中任取1件，在下述三種情況下，分別求直至取到正品時所需次數的分布列。
（1）每次取出的產品不再放回；
（2）每次取出的產品仍放回；
（3）每次取出一件次品后，總是另取一件正品放回到這批產品中。
【解析】
【知識點】①離散型隨機變量定義與性質；②隨機事件概率定義與性質；③求隨機事件概率的基本方法；④求離散型隨機變量分布列的基本方法。
【解題思路】（1）根據離散型隨機變量和隨機事的性質，運用求隨機事件概率和離散型隨機變量分布列的基本方法，結合問題條件就可求出離散型隨機變量的概率分布列；（2）根據離散型隨機變量和隨機事的性質，運用求隨機事件概率和離散型隨機變量分布列的基本方法，結合問題條件就可求出離散型隨機變量的概率分布列；（3）根據離散型隨機變量和隨機事的性質，運用求隨機事件概率和離散型隨機變量分布列的基本方法，結合問題條件就可求出離散型隨機變量的概率分布列。
【詳細解答】（1）直至取到正品時所需次數為隨機變量，每次取出的產品不再放回，隨機變量的可能取值為1，2，3，4，p（=1）=，p（=2）==，p（=3）==，p（=4）==，隨機變量X的分布列為：
1 2 3 4 （2）直至取到正品時所需次數為隨機變量，每次
P 取出的產品放回，隨機變量的可能取值為1，2，
----，k，------，p（=1）=，p（=2）==，p（=3）==，-------，p（=k）==，------，隨機變量的
分布列為： 1 2 3 ------- k ------- （3）直至取到正品時所需
P ----- ------ 次數為隨機變量，每次取出一件次品后，總是另取一件正品放回到這批產品中，隨機變量的可能取值為1，2，4，6，
p（=1）=，p（=2）==，p（=4）==，p（=6）==，隨機變量的分布列為：
『思考問題2』
（1）【典例2】是求離散型隨機變量分布列的問題，解答這類問題需要理解離散型隨機變量分布列的定義和性質，掌握求離散型隨機變量分布列的基本方法；
（2）求離散型隨機變量分布列的基本方法是：①明確離散型隨機變量的所有可能取值以及每個值所表示的意義；②運用概率的相關知識，求出離散型隨機變量每個取值的概率；③按規范形式寫出分布列；④運用分布列的性質進行驗證。
〔練習2〕解答下列問題：
設隨機變量的分布列p(=)=ak（k=1，2，3，4，5）。
求常數a的值；
求p(≥)；
（3）求p（＜＜）。（答案：（1）常數a的值為；（2）p(≥)=；（3）p（＜＜）=。）
2、若離散型隨機變量的分布列如表所示：試求常數c的值。 X 0 1
（答案：c=。） P 9-c 3-8c
3、某一射手射擊所得的環數的分布列如下表，求此射手“射擊一次命中環數≥7的概率。
4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
（答案：此射手“射擊一次命中環數≥7的概率為0.88）
4、某人每次射擊擊中目標的概率是0.2，射擊中每次射擊的結果是相互獨立的，求他在10次
射擊中擊中目標的次數不超過5次的概率（精確到0.01）。（答案：在10次射擊中擊中目標的次數不超過5次的概率為+2+0.18+0.96+0.336+0.08064）
5、袋中裝有6個同樣大小的黑球，編號為1，2，3，4，5，6，現從袋中隨機取出3個球，以表示取出球的最大號碼，求的分布列。
（答案：的分布列為： 3 4 5 6 ）
P
6、已知盒中有10個燈泡，其中8個正品，2個次品，需要從中取出2個正品，每次取出一個，取出后不放回，直到取出2個正品為止，設為取出的次數，求的分布列。
（答案：的分布列為： 2 3 4 ）
P
7、一名學生每天騎自行車上學，從他家到學校的途中有6個交通崗，假設他在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都等于。
（1）設X為這名學生在途中遇到紅燈的次數，求X的分布列；
（2）設Y為這名學生在首次停車前經過的路口數，求Y的分布列；
（3）求這名學生在途中至少遇到一次紅燈的概率；
（答案：（1）設隨機變量X為這名學生在途中遇到紅燈的次數，X的分布列為表1：（2）設隨機變量Y為這名學生在首次停車前經過的路口數，Y的分布列為表2：
X 0 1 2 3 4 5 6 Y 0 1 2 3 4 5
P P
表1 表2
（3）這名學生在途中至少遇到一次紅燈的概率為。）
8、袋中裝著標有數字1，2，3，4，5的小球各2個，從袋中任取3個小球，按3個小球上最大數字的9倍計分，每個球被取出的可能性都相等，用X表示取出3個小球上的最大數字，求：
（1）取出的3個小球上的數字互不相同的概率；
（2）隨機變量X的概率分布列；
（3）計分介于20分到40分之間的概率。
（答案：（1）取出的3個小球上的數字互不相同的概率為；（2）隨機變量X的概率分布列為：X 2 3 4 5
P （3）計分介于20分到40分之間的概率為 。）
9、甲、乙兩名籃球運動員獨立地輪流投籃，甲先投，直到有人投中為止，甲投中的概率為0.7，乙投中的概率為0.8，以表示結束時甲投籃次數，以表示結束時乙投籃次數，求和的分布列。（答案：隨機變量,的分布列分別為：
1 2 ------ k -------
P 0.94 0.0564 ----- - 0.7+0.24 -------
0 1 ------ k -------
P 0.7 0.24 ----- - 0.24+0.7 ------- 其中k）
【雷區警示】
【典例3】解答下列問題：
甲，乙兩個排球隊進行比賽，規定兩隊中有一隊勝4場，整個比賽結束，若甲，乙兩隊每場比賽中獲勝的概率都是，記比賽場數為X，求X的概率分布列。
【解析】
【知識點】①離散型隨機變量定義與性質；②隨機事件概率定義與性質；③求隨機事件概率的基本方法；④求離散型隨機變量分布列的基本方法。
【解題思路】根據離散型隨機變量和隨機事的性質，運用求隨機事件概率和離散型隨機變量分布列的基本方法，結合問題條件就可求出離散型隨機變量X的概率分布列。
【詳細解答】記比賽場數為隨機變量X，隨機變量X的可能取值為4，5，6，7，p（X=4）=2=，p（X=5）=2=，p（X=6）=2
=，p（X=7）=2=， X 4 5 6 7
隨機變量X的概率分布列為： P
2、一盒中有9個正品和3個次品零件，每次取出一個零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品數X的概率分布列。
【解析】
【知識點】①離散型隨機變量定義與性質；②隨機事件概率定義與性質；③求隨機事件概率的基本方法；④求離散型隨機變量分布列的基本方法。
【解題思路】（1）根據離散型隨機變量和隨機事的性質，運用求隨機事件概率和離散型隨機變量分布列的基本方法，結合問題條件就可求出離散型隨機變量X的概率分布列。
【詳細解答】記在取得正品前已取出的次品數為隨機變量X，隨機變量X的可能取值為0，1，2，3，p（X=0）==，p（X=1）==，p（X=2）=
=，p（X=3）=1=，隨機變量X的概率分布列為：
X 0 1 2 3
P
『思考問題3』
【典例3】是解答離散型隨機變量及其分布列問題時，容易觸碰的雷區。該類問題的雷區主要包括：①忽視離散型隨機變量的取值，導致解答問題出現錯誤；②忽視離散型隨機變量各個取值概率計算的準確性，導致解答問題出現錯誤；
解答離散型隨機變量及其分布列問題時，為避免忽視離散型隨機變量的取值的雷區，需要理解離散型隨機變量的定義，掌握確定離散型隨機變量取值的基本方法；
解答離散型隨機變量及其分布列問題時，為避免忽視離散型隨機變量各個取值概率計算的準確性的雷區，需要理解隨機變量概率的定義，掌握求隨機變量概率的基本方法。
〔練習3〕解答下列問題：
1、每年的3月12日是我國的植樹節，林管部門在植樹前，為保證樹苗的質量，都會在植樹前對樹苗進行檢測，現從甲，乙兩批樹苗中各抽測了10株樹苗的高度，規定高于128厘米的為“良種樹苗”，測得高度如下（單位：厘米）：甲：137，121，131，120，129，119，132，123，125，133；乙：110，130，147，127，146，114，126，110，144，146。
（1）根據抽測結果，作出莖葉圖，并由莖葉圖對甲，乙兩批樹苗的高度作比較，寫出對兩批樹苗高度的統計結論；
（2）若小王在甲批樹苗中隨機領取了5株進行種植，用樣本的頻率分布估計總體分布，求小王領取到的“良種樹苗”株數X的分布列。 甲 乙
（答案：（1）莖葉圖如圖所示，統計結論：①甲批樹 9 11 0 0 4
苗的平均高度小于乙批樹苗的平均高度；②甲批樹苗比 9 5 3 1 0 12 6 7
乙批樹苗長得更整齊；③甲批樹苗的中位數為127厘米， 7 3 2 1 13 0
乙批樹苗的中位數為128.5厘米；④甲批樹苗的高度大部 14 4 6 6 7
分集中在平均數附近，乙批樹苗的高度分布比較分散；（2）
隨機變量X的分布列為：
X 0 1 2 3 4 5 ）
P
2、已知箱中裝有4個白球和5個黑球，且規定，取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分，現從該箱中任取（無放回，且每個球取到的機會均等）3個球，記隨機變量X為取出3個球所得分數之和，求X的分布列。（答案：隨機變量X的分布列為：
X 3 4 5 6 ）
P
【追蹤考試】
【典例4】解答下列問題：
1、甲，乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若未命中則換為對方投籃。無論之前投籃情況如何，甲每次投籃命中率均為0.6，乙每次投籃命中率均為0.8，由抽簽確定第一次投籃的人選，第一次投籃的人是甲，乙的概率各為0.5。
（1）求第二次投籃的人是乙的概率；
（2）求第i次投籃的人是甲的概率；
（3）已知：若隨機變量服從兩點分布，且p（=1）=1-p（=0）=qi，i=1，2，---n，則E（）=，記前n次（即從第一次到第n次）投籃中甲投籃的次數為Y，求E（Y）（2023全國高考新高考I）。
【解析】
【考點】①相互獨立事件概率定義與性質；②求相互獨立事件概率的基本方法；③互斥事件概率定義與性質；④求互斥事件概率的基本方法；⑤隨機變量概率分布定義與性質；⑥求隨機變量數學期望的基本方法。
【解題思路】（1）根據相互獨立事件和互斥事件概率的性質，運用求相互獨立事件概率和互斥事件概率的基本方法，結合問題條件就可求出第二次投籃的人是乙的概率；（2）根據相互獨立事件和互斥事件概率的性質，運用求相互獨立事件概率和互斥事件概率的基本方法，結合問題條件就可求出第i次投籃的人是甲的概率；（3）由（2）得到隨機變量Y的概率分布列，根據隨機變量概率分布列的性質，運用求隨機變量數學期望的基本方法就可求出E（Y）的值。
【詳細解答】（1）設第n次甲投籃命中的事件為，設第n次乙投籃命中的事件為，第二次投籃的人是乙的事件為C，第二次投籃的人是乙的可能情況有兩種，其一，第一次投籃的人是甲，且甲第一次投籃沒有命中；其二，第一次投籃的人是乙，且乙第一次投籃命中，
p（C）=0.5（1-0.6）+0.50.8=0.2+0.4=0.6，即第二次投籃的人是乙的概率為0.6；（2）設第i次投籃的人是甲的事件為，當i=1時，p（）=0.5，當i≥2時，p（）=0.6p（）+0.2（1-p（））=0.4p（）+0.2，p（）-=（p（）-），p（）=0.5（1-0.8）+0.50.6=0.1+0.3=0.4，-=，-=，數列{（p（）-}是以為首項，為公比的等比數列，p（）-=，p（）=+，
即第i次投籃的人是甲的概率為+；（3）設第i次投籃的人是甲的事件為，
隨機變量Y的概率分布列滿足：p（）=+（i=1，2，---n，），
E（Y）===+=（1-）+（n）。
2、甲，乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0
分，沒有平局，三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍，已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結果相互獨立。
（1）求甲學校獲得冠軍的概率；
（2）用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與數學期望（2022全國高考甲卷理）
【解析】
【考點】①相互獨立事件定義與性質；②互斥事件定義與性質；③求相互獨立事件概率的基本方法；④求互斥事件概率的基本方法；⑤隨機變量概率分布列定義與性質；⑥隨機變量數學期望定義與性質；⑦求隨機變量概率分布列和數學期望的基本方法。
【解題思路】（1）根據相互獨立事件和互斥事件的性質，運用求相互獨立事件和互斥事件概率的基本方法，結合問題條件就可求出甲學校獲得冠軍的概率；（2）根據隨機變量概率分布列和數學期望的性質，運用求隨機變量概率分布列和數學期望的基本方法，結合問題條件就可求出隨機變量X的分布列與數學期望。
【詳細解答】（1）設甲學校獲得冠軍的事件為A，甲學校獲得冠軍要么比賽的三個項目都獲勝，要么是比賽的三個項目中兩個獲勝，甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8， p（A）=0.50.40.8+0.50.4(1-0.8)+ 0.5(1-0.4)0.8+(1-0.5)0.40.8=0.16+0.04
+0.24+0.16=0.6；（2）由題意可知，隨機變量X的可能取值為0，10，20，30，p（X=0）=0.50.40.8=0.16，p（X=10）=0.50.4(1-0.8)+ 0.5(1-0.4)0.8+(1-0.5)0.40.8=0.44，
p（X=20）=0.5（1-0.4）(1-0.8)+（1- 0.5）(1-0.4)0.8+(1-0.5)0.4（1-0.8）=0.06+0.24
+0.04=0.34，p（X=30）=（1-0.5）（1-0.4）(1-0.8)=0.06，隨機變量X的概率分布列如表所示，隨機變量X的數學期望為E（X） X 0 10 20 30
=00.16+100.44+200.34+300.06=0 p 0.16 0.44 0.34 0.06
+4.4+6.8+1.8=13（分）。
3、某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確，則從另一類問題中在隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束。A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分。已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關（2021全國高考新高考I卷）。
（1）若小明先回答A類問題，記X為小明累計得分，求X的分布列；
（2）為使累計得分的期望最大，小明應該選擇先回答哪類問題？并說明理由。
【解析】
【考點】①古典概率的定義與性質；②求古典概率的基本求法；③求隨機變量概率分布列的基本方法；④求隨機變量數學期望的基本求法。
【解題思路】（1）根據古典概率的性質和求古典概率的基本方法，結合問題條件分別求出X=0分，X=20分，X=100分的概率，運用求隨機變量分布列的基本方法就可求出小明先回答A類問題，記X為小明累計得分時，X的分布列；（2）根據求隨機變量概率分布列的基本方法，結合問題條件求出頻率的求法求出小明先回答B類問題，記Y為小明累計得分時，Y的分布列，運用求隨機變量數學期望的基本方法，分別求出小明先回答A類問題，隨機變量X的數學期望和小明先回答B類問題，隨機變量Y的數學期望，比較兩個變量的數學期望就可得出結論。
【詳細解答】（1）隨機變量X的可能取值為0分， 隨機變量X 0 20 100
20分，100分，p（X=0）=1-0.8=0.2，p（X=20） 概率p 0.2 0.32 0.48
=0.8 （1-0.6）=0.32，p（X=100）=0.8 0.6=0.48，小明先回答A類問題，記X為小明累計得分時，X的分布列如表所示；（2）小明先回答B類問題，記Y為小明累計得分，隨機變量Y的可能取值為0分，80分，100分，p 隨機變量Y 0 80 100
（Y=0）=1-0.6=0.4，p（Y=80）=0.6（1-0.8） 概率p 0.4 0.12 0.48
=0.12，p（Y=100）=0.60.8=0.48，小明先回答B類問題，記Y為小明累計得分時，Y的分布列如表所示, EX=0+0.3220+1000.48=54.4（分），EY=0+0.1280+1000.48=57.6（分），57.6>54.4，為使累計得分的期望最大，小明應該選擇先回答B類問題。
4、《營造法式》是中國北宋時期官方頒布的一部建筑設計與施工的書籍，標志著我國古代建筑技術和工藝發展到了較高水平，中國近代建筑之父梁恩成用現代語言和制圖方法對該書進行了注釋，著有《（營造法式）注釋》，為了讓建筑類學生了解古建筑設計與構造的原理，某建筑大學為大三和大四的學生開設了一門選修課程《營造法式及其注釋》，為檢測學生學習效果，要求所有選修該門課程的學生完成“應用營造法式獨立制作一件古建筑模型”的作業，已知選修該門課程的大三與大四學生的人數之比為3:2，現用分層抽樣的方法從所有作業中隨機抽取100份（每位學生均上交一份作業），并評出成績，得到如下頻率分布表：
（理）（1）求x，y的值，并估計這100份作業中大三學生作業的平均成績（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）；
（2）在這100份作業的樣本中，從成績在[50，80）的大四學生作業中隨機抽取2份，記抽取的這2份作業中成績在[60，70）的份數為X，求X的分布列與數學期望。
成績（單位：分） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100）
頻數（不分年級） 4 x 20 38 30
頻數（大三年級） 3 6 15 y 12
（文）（1）求y的值，若以頻率作為概率，從選修該門課程的大四學生中隨機選取1名，試估計該學生的作業成績在[60，80）的概率；
（2）估計這100份作業中大三學生作業的平均成績（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）（2021成都市高三三診）
【解析】
【考點】①頻數的定義與性質；②加權平均數計算公式及運用；③隨機變量概率分布列的定義與性質；④求隨機變量概率分布列的基本方法；⑤隨機變量數學期望的定義與性質；⑥求隨機變量數學期望的基本方法；⑦隨機事件概率大于與性質；⑧求隨機事件概率的基本方法。
【解題思路】（理）（1）根據頻數的性質，結合問題條件分別得到關于x，y的方程，求解方程求出x，y的值，根據求加權平均數公式和基本方法就可求出大三學生作業的平均成績；（2）運用求隨機變量概率分布列的基本方法求出隨機變量X的分布列，根據分布列利用求隨機變量數學期望的基本方法通過運算就可求出隨機變量X的數學期望。（文）（1）根據頻數的性質，結合問題條件分別得到關于y的方程，求解方程求出y的值，運用隨機事件概率的性質和求隨機事件概率的基本方法，就可求出該學生的作業成績在[60，80）的概率；（2）根據統計表，運用加權平均數計算公式就可求出這100份作業中大三學生作業的平均成績。
【詳細解答】（理）（1）4+x+20+38+30=100，x=100-（4+20+38+30）=8，3+6+15+y+12
=100=60，y=60-（3+6+15+12）=24，
=81（分），這100份作業中大三學生作業的平均成績為81分；（2）由題意可知，X的取值可能為0，1，2，這100名學生中成績在[50，80）的大四學生人數為1+2+5=8（人），成績在[60，70）的大四學生人數為8-6=2(人)， X 0 1 2
p(X=0)= ==，p(X=1)= p
= = ，p(X=2)= = = ，隨機變量X的概率分布列如表所示，隨機變量X的數學期望為 0+1+2=。（文）（1）設從選修該門課程的大四學生中隨機選取1名，該學生的作業成績在[60，80）的事件為A3+6+15+y+12=100=60，
y=60-（3+6+15+12）=24，4+x+20+38+30=100，x=100-（4+20+38+30）=8，這100
名學生中大四學生的人數為100=40（人），大四學生中作業成績在[60，80）的人數為
（8+20）-（6+15）=7（人），p(A)= ，即從選修該門課程的大四學生中隨機選取1
名，估計該學生的作業成績在[60，80）的概率為；
（2）==81（分），這100份作業中大三學生作業的平均成績為81分。
『思考問題4』
【典例4】是近幾年高考（或高三診斷考試或調研考試）試卷中與隨機變量及其分布列相關的問題，歸結起來主要包括：①隨機變量定義及運用；②離散型隨機變量分布列及運用等幾種類型；
（2）解答隨機變量及其分布列問題的基本方法是：①根據問題的結構特征，判斷問題的所屬類型；②按照解答該類型問題的基本思路和方法對問題實施解答；③得出問題解答的最終結果。
1、2019年12月，《生活垃圾分類標志》新標準發布并正式實施，為進一步普及生活垃圾分類知識，了解居民生活垃圾分類情況，某社區開展了一次關于垃圾分類的問卷調查活動，并對隨機抽取的1000人的年齡進行了統計，得到如下的各年齡段頻數分布表和各年齡段人數頻率分布直方圖：
（1）請補全各年齡段人數頻率分布直方圖，并求出各年齡段頻數分布表中m，n的值；
（2）現從年齡在,[30，40）段中采用分層抽樣的方法選取5名代表參加垃圾分類知識交流活動，應社區要求，從被選中的這5名代表中任意選2名作交流發言，求選取的2名發言者中恰有1名年齡段在[35，40）段中的概率（2021成都市高三零診）。
（答案：（1）n=100，m=200；（2）從被選中的這5名代表中任意選2名作交流發言，選取的2名發言者中恰有1名年齡段在[35，40）段中的概率為。）
2、信息熵是信息論中的一個重要概念，設隨機變量X所有可能的值為1，2，----，n，且P（X=i）=>0，（i=1，2，----，n），=1，定義X的信息熵H（x）=-，則（ ）（2020全國高考新高考I）（多項選擇題）
A 若n=1，則H（x）=0 B 若n=2，則H（x）隨的增大而增大 C 若=（i=1，2，----，n），則H（x）隨n的增大而增大 D 若n=2m，隨機變量Y所有可能的取值為i=1，2，-----，m，且P（Y=j）= + （j=1，2，----，m），則H（x） H（Y）
（答案：A，C。）
3、2018年央視大型文化節目《經典詠流傳》的熱播，在全民中掀起了誦讀詩詞的熱潮，某大學社團調查了該校文學院300名學生每天誦讀詩詞的時間（所有學生誦讀時間都在兩小時內），并按時間（單位：分鐘）將學生分成六個組：［0,20），［20,40），［40,60），［60,80），［80,100），［100,120］，經統計得到了如圖所示的頻率分布直方圖（2019成都市高三零診）。
（1）求頻率分布直方圖中a的值；并估計該校文學院的學生每天誦讀詩詞的時間的平均數；
（2）若兩個同學誦讀詩詞的時間x，y滿足|x-y|＞60，則這兩個同學組成一個“Tean”,已知從每天誦讀詩詞的時間小于20分鐘和大于或等于80分鐘的所有學生中用分層抽樣的方法抽取了5人，現從這5人中隨機選取2人，求選取的兩人能組成一個“Tean”的概率。
（答案：（1）a=0.0025，該校文學院的學生每天誦讀詩詞的時間的平均數為64（分鐘）；（2）從這5人中隨機選取2人，選取的兩人能組成一個“Tean”的概率為。）
4、（理）某部門為了解企業在生產過程中的用水量情況，對每 7 3 1
天的用水量作了記錄，得到了大量該企業的日用水量的統計數據， 8 3 5 6 7 8 9
從這些統計數據中隨機抽取12天的數據作為樣本，得到如圖所 9 5 7 8 9
示的莖葉圖（單位：噸），若用水量不低于95噸，則稱這一天
的用水量超標。
（1）從這12天的數據中隨機抽取3個，求至多有1天用水量超標的概率；
（2）以這12天的樣本數據中用水量超標的頻率作為概率，估計該企業未來3天中用水量超標的天數，記隨機變量X為未來3天中用水量超標的天數，求X的分布列和數學期望。
（文）某部門為了解企業在生產過程中的用水量 日用水量 ［70,80）［80,90）［90,100］
情況，對每天的用水量作了記錄，得到了該企業（單位：噸）
的日用水量的統計數據，從這些統計數據中隨機 頻數 3 6 m
抽取12天的用水量的數據作為樣本，得到的統 頻率 n 0.5 p
計結果如右表：（2018成都市高三一診）
（1）求m，n，p的值；
（2）已知樣本中日用水量在［80,90）內的這六個數據分別為83，85，86，87，88，89，從六個數據中隨機抽取兩個，求抽取的兩個數據中至少有一個大于86的概率。
（答案：（理）（1）從這12天的數據中隨機抽取3個，至多有1天用水量超標的概率為
；（2）隨機變量X的概率分布列為： X 0 1 2 3
p
隨機變量X的數學期望為1天。（文）（1）m=3，n=0.25，p=0.25；（2）從六個數據中隨機抽取兩個，抽取的兩個數據中至少有一個大于86的概率為。從六個數據中隨機抽取兩個，抽取的兩個數據中至少有一個大于86的概率為。）
5、（理）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完。根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：）有關，如果氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果氣溫位于區間［20，25），需求量為300瓶；如果氣溫低于20，需求量為200瓶。為了確定6月份的訂購計劃，統計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得到下面的頻率分布表：
最高氣溫 ［10，15）［15，20）［20，25）［25，30）［30，35）［35，40）
天數 2 16 36 25 7 4
以最高氣溫位于各區間的頻率代替最高氣溫位于該區間的概率（2017全國高考新課標III卷）。
（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；
（2）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為y（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量n（單位：瓶）為多少時，y的數學期望達到最大值？
（文）（1）求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；
（2）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為y（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出y的所有可能值，并估計y大于零的概率。
（答案：（理）（1）隨機變量X概率的分布列為： X 200 300 500
p
（2）當n=300時，y的數學期望達到最大值520元。（文）（1）六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率為；（2）估計y大于零的概率為。）

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