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課 題 三角形中位線及其定理
三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半.
考點一 利用中位線定理求線段長
【例1】如圖,在△ABC中, BD=CD, AD⊥BC,垂足為D,E是AC 的中點. 若 , 則DE 的長為( )
A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4
【例2】如圖, 在梯形ABCD 中, ,如果點 E、F分別是BD、AC的中點, 那么EF的長為 .
要點歸納 三角形的中位線定理反映了三角形的中位線與第三邊的雙重關系：一是位置關系，可以證兩直線平行；二是數量關系，可以求線段的長度，也可以證線段的倍分關系.
【變1】如圖, 在 中, , 點 D、E、F分別為AB、BC、AC的中點, 若 則 EF的長為 .
【變2】如圖,在四邊形ABCD 中, E、F 分別是邊 AD、BC的中點,且 ，與對角線AC、BD分別交于 M、N兩點, 若 求AB的長.
考點二 利用中位線定理求角度
【例3】如圖,在四邊形ABCD中, AD=BC, E、F、G分別是AB、CD、AC的中點,若 則 等于( )
A. 69° B. 68° C. 17°
要點歸納 三角形的中位線定理反映了三角形的中位線與第三邊的雙重關系，其中的一種是位置關系，可以證兩直線平行，平行則可以推出角度關系；另一種是數量關系，它可以將兩條不相關的相等線段轉移到一起構成等腰三角形求解
【變3】如圖, 若 , G, H分別為 CF, CE的中點, GHE=
考點三 利用中位線定理進行證明
【例4】如圖, 在 中, 點D、E分別是AB、AC的中點, F 是 BC 延長線上的一點, 且
(1) 求證:
(2) 求證:
要點歸納 利用三角形中位線證明，就是利用其性質定理中的兩個特性：①平行；②半長.在證明的過程中，“平行”這一特性多可以結合平行四邊形處理， “半長+平行”可以進行線段轉移、 角度轉移，是重要的構造特殊三角形的方式.
【變4】如圖,在四邊形ABCD中, AC、BD 相交于點O, E、F是 AD、BC的中點, EF分別交AC、BD于M、N, 且（ ）求證：
考點四 中位線的實際應用
【例5】如圖所示，為估計池塘兩岸邊A、B兩點間的距離，在池塘的一側選取點 O，分別取OA、OB 的中點M、N, 測得. , 則A、B兩點間的距離是 m.
要點歸納 實際應用的核心是如何從實際場景中抽出數學模型，利用數學知識進行解題，再返回實際場景中去. 總共兩步走：“一定”， 即依照三角形中位線的定義，確定哪條線段是三角形的中位線；“二算”， 即根據三角形的中位線定理， 即中位線等于第三邊的一半進行計算.
【變5】如圖，A、B 兩地被一座小山阻隔，為測量 A、B 兩地之間的距離，在地面上選一點 C，連接CA，CB, 分別取CA、CB的中點 D、E, 測得DE的長度為360米, 則A、B兩地之間的距離是 米.
1. 如圖，要測定被池塘隔開的A、B兩點的距離，可以在 AB外選一點C，連接AC，BC，并分別找出它們的中點 D、E, 連接ED. 現測得 則AB=( )
A. 50m B. 48m C. 45m D. 35m
2. 如圖,在△ABC中,點D、E、F分別是AB、BC、CA的中點, 連接DE、EF, 若 則∠DEF的度數為( )
A. 75° B. 80° C. 78° D. 68°
3. 如圖, 在平行四邊形ABCD中,BD為對角線,點E、O、F分別是AB、BD、BC的中點, 且OE=3, OF=2, 則平行四邊形ABCD的周長為( )
A. 10 B. 12 C. 15 D. 20
4. 如圖,在△ABC中, 點 M、N分別是AB、AC的中點, 延長CB至點D, 使 MN=BD, 連接DN, 若 CD=6, 則MN的長為( )
2 B. 3 C. 4 D. 6
5. 如圖, 在 中, , 點D在 BC上, 以AC 為對角線的所有 中,DE 的最小值是( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
6. 如圖, 在 中, 點D、E分別是邊AB、AC的中點, 垂足為點 F， 則BF的長為( )
A. 4 B. 8
7. 已知在△ABC中, AB=BC=10, AC=8, AF⊥BC于點F, BE⊥AC于點E,取AB的中點D, 則. 的周長為 .
如圖,四邊形ABCD中,點 P 是對角線BD的中點, 點E、F 分別是AB、CD的中點, 則 的度數是 .
9. 已知:如圖所示, E, F, G, H分別是四邊形ABCD各邊的中點,連接EF, FG, GH, HE. 求證: 四邊形EFGH是平行四邊形.
10. 如圖所示, 已知 是銳角三角形，分別以AB、AC為邊向外側作兩個等邊三角形 和 點 D、E、F分別是 MB、BC、CN的中點,連接DE, FE. 求證:.

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