資源簡介

第一章 三角形的證明
1 等腰三角形
第1課時 全等三角形和等腰三角形的性質
【學習目標】
1．了解作為證明基礎的幾條公理的內容，掌握證明的基本步驟步驟和書寫格式.
2、經歷“探索---發現---猜想---證明”的過程，能夠用綜合法證明等腰三角形的有關性質定理.
3、通過探究，養成嚴謹的科學態度、不懈的探究精神和良好的說理方法.
【學習策略】
關注學生已有活動經驗的回顧過程，關注了 “探索－發現－猜想－證明”的活動過程，關注了學生自主探究過程，讓學生學習的主體性較好發揮，同時教師注意對學生的感想進行適當的引導，并在學生交流的基礎上，明晰部分收獲供學生共享，如：1、具體有關性質定理；2、通過折紙活動對獲得的定理給予了嚴格的證明，為今后解決有關等腰三角形的問題提供了豐富的理論依據．3、體會了證明一個命題的嚴格的要求，體會了證明的必要性．
【學習過程】
一、情境導入：
回憶并整理已經學過的8條基本事實中的5條：
1.兩直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行；
2.兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等；
3.兩邊夾角對應相等的兩個三角形全等（SAS）；
4.兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等（ASA）；
5.三邊對應相等的兩個三角形全等（SSS）；
在此基礎上回憶全等三角形的另一判別條件：
1.（推論）兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等（AAS），并要求學生利用前面所提到的公理進行證明；
2.回憶全等三角形的性質。
二.新課學習：
提問：“等腰三角形有哪些性質？以前是如何探索這些性質的，你能再次通過折紙活動驗證這些性質嗎？并根據折紙過程，得到這些性質的證明嗎？”的基礎上，讓學生經歷這些定理的活動驗證和證明過程。具體操作中，可以讓學生先獨自折紙觀察、探索并寫出等腰三角形的性質，然后再以六人為小組進行交流，互相彌補不足。
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還有其他證明方法嗎？與同伴交流.
提示1：作等腰三角形的頂角平分線AD；
提示2：分別延長AB、AC至點E、D，使BE=CD，連接CE、BD，先證明△ACE≌△ABD，再證明△CBE≌△BCD，得出∠CBE=∠BCD，運用等角的補角相等即可得出）
推論：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高互相重合.
例題解析：
在△ABC中，AD是角平分線,DE⊥AB, DF⊥AC，試猜想EF與AD之間有什么關系 并證明你的猜想.
在學生小組合作的基礎上，教師通過分析、提問，和學生一起完成以上兩個個性質定理的證明，注意最好讓兩至三個學生板演證明,其余學生挑選其一證明.其后，教師通過課件匯總各小組的結果以及具體證明方法，給學生明晰證明過程。
（1）等腰三角形的兩個底角相等；
（2）等腰三角形頂角的平分線、底邊中線、底邊上高三條線重合
三.嘗試應用：
1.等腰三角形的兩邊長是3和5，它的周長是 。
2.已知等腰三角形的一個內角為80°，則另兩個角的度數是 。
3.如圖所示，在△ABC中，AB=BD=DC，∠C=40°，則∠C=________，∠ABD=________。
4.如圖所示，在△ABD中，C是BD上的一點，且AC⊥BD，AC=BC=CD.
（1） 求證：△ABD是等腰三角形。
（2） 求∠BAD的度數。
四、課堂小結
1、等腰三角形的性質：
（1）定理：等腰三角形的兩個底角相等. 簡稱：等邊對等角
（2）推論：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合.簡稱：三線合一
2、證明一個命題的一般步驟:
(1)弄清題設和結論;
(2)根據題意畫出相應的圖形;
(3)根據題設和結論寫出已知, 求證;
(4)分析證明思路, 寫出證明過程.
五.達標測試
一、選擇題
1．已知等腰三角形的兩邊長分別為5和6，則這個等腰三角形的周長為（ ）
A．11 B． 16 C． 17 D． 16或17
2．如圖，在△ABC中，點D在BC上，AB=AD=DC，∠B= 80°，則∠C的度數為（ ）
A． 30° B． 40° C． 45° D． 60°
3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC上一點，且DA＝DC，BD＝BA，則∠B的大小為（ ）
A．40° B．36° C．80° D．25°
第2題圖 第3題圖
二、填空題
4．等腰三角形的一個內角為100°，則頂角的度數是 ．
5若等腰三角形的周長是27 cm，一腰上的中線把三角形分成兩個三角形，其周長之差是3 cm，則這個等腰三角形的底邊長為 ．
6. 在菱形 ABCD中，∠A＝ 30°，在同一平面內，以對角線 BD為底邊作頂角為120°的等腰三角形BDE，則∠EBC的度數為 .
三、解答題
7．如圖，在△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=BE.求∠A的度數.
8. 如圖，已知△ABD，E是AB延長線上的一點，AE =AC，AD 平分∠BAC，BD= BE，連接DE.求證∠BDE=∠C．
9. 如圖,D，E分別是△ABC的邊BC，AC上的點，且AB=AC，AD=AE.
(1)若∠BAD=20°，則∠EDC= ；
(2)若∠EDC=20°，則∠BAD= ；
(3)若∠BAD=α，∠EDC=β，你能有（1）和（2）中的結果找到α與β之間的關系嗎？請說明理由.
參考答案
達標測試答案：
一、選擇題
1．D 【解析】分兩種情況：當三邊長分別為5，5，6時，周長為16；當三邊長分別為5，6，6時，周長為17，故選D．
2. B 【解析】AB=AD,∠B=80°，∴∠ADB=80°，又 AD=CD,∴∠C=∠DAC=∠ADB=40°．
3. B 【解析】設∠C＝x°，由于DA＝DC，可得∠DAC＝∠C＝x°，由AB＝AC可得∠B＝∠C＝x°．
∴∠ADB＝∠C＋∠DAC＝2x°，由于BD＝BA，所以∠BAD＝∠ADB＝2x°，根據三角形內角和定理，得x°＋x°＋3x°＝180°，解得x＝36°．所以∠B＝36°．
.二、填空題
4．100° 【解析】∵100°＞90°，所以100°的角是頂角，不可能為底角.
5．11 cm或7 cm 【解析】設等腰三角形的腰長為2x，則底邊長(27-4x)，由題意得 2x-（27 -4x）=3或（27-4x）-2x=3，解得x=5或4，故底邊長為11 cm或7 cm.
6. 105°或45°【解析】
三、解答題
7. 解：設∠BDE=x°,
∵AD=DE=BE,
∴∠DBE=x°，∠A=∠AED=∠DBE+∠ BDE=2x°，
∴∠BDC=∠A+∠A BD= 2x°+x°=3x°.
∵BD=BC，
∴∠C= ∠BDC=3x°.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=3x°.
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴2x°+3x°+3x°=180°，
∴x=22.5，
∴∠A=2x°= 45°．
8.證明：∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD．
∵AE=AC,AD=AD，
∴△ADE≌△ADC(SAS).
∴∠E=∠C，
∵BD=BE，
∴∠E=∠BDE,
∴∠ BDE=∠C．
9.解：(1)10°
(2)40°
（3）α=2β 理由：∵AB=AC,AD=AE，
∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED.
又∠ADC=∠B+∠BAD，
即∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，得
∠AED+∠EDC=∠B+∠BAD.
∵∠AED=∠EDC+∠C，
∴∠EDC+∠C+∠EDC=∠B+∠BAD，
∴2∠EDC=∠BAD，
即α=2β．
→
→
A
B
C
D
11 等腰三角
第2課時
【學習目標】
1．能運用綜合法證明等腰三角形中一些相等的線段。
2、利用等腰三角形的性質證明等邊三角形的性質，并且會用等邊三角形性質解決相關問題。
【學習策略】
由于課堂時間有限，如果學生解決問題，時間不夠，可以在引導學生提出上述這些問題的基礎上，讓學生證明其中部分問題，而將其余問題作為課外作業，延伸到課外；當然，也可以對不同的學生提出不同的要求. 在學生解決問題的基礎上，教師還應注意揭示蘊含其中的思想方法。
【學習過程】
一、情境導入：
在等腰三角形中作出一些線段(如角平分線、中線、高等)，你能發現其中一些相等的線段嗎 你能證明你的結論嗎
二、新課學習：
在等腰三角形中自主作出一些線段(如角平分線、中線、高等)，觀察其中有哪些相等的線段，并嘗試給出證明。
例1證明：等腰三角形兩底角的平分線相等.
已知：如圖1-4,在△ABC中，AB=AC,BD和CE是△ABC的角平分線.
求證：BD=CE4
證明：∵AB=AC,
∠ABC=∠ACB(等邊對等角).
∵BD,CE分別平分∠ABC和∠ACB,:∠1=2∠ABC,∠2=1∠ACB.12B
∴∠1=∠2.在△BDC和△CEB中，
∠ACB=∠ABC,BC=CB,∠1=∠2,∴△BDC≌△CEB(ASA).BD=CE(全等三角形的對應邊相等).
認真閱讀課本第2—3頁：
①看懂例1 的證明過程。 ②嘗試完成“議一議”。
③將“議一議”的結論進行展示、交流。
④嘗試探究等邊三角形的性質。
三.嘗試應用：
1、 求等邊三角形兩條中線相交所成銳角的度數.
2.如圖,已知△ABC和△BDE都是等邊三角形.
求證:AE=CD
3.如圖，在△ABC中，D，E是BC的三等分點，且△ADE是等邊三角形，求∠BAC的度數.
四、課堂小結
1. 等腰三角形兩底角的平分線相等，兩腰上的中線相等，兩腰上的高相等.
2. 等邊三角形三個內角都相等并且每個內角都等于60°.
3. 經歷“探索---發現---猜想---證明”的過程，掌握總結探索問題的方法.
五.達標測試
一．選擇題（共3小題）
1．如圖，將一等邊三角形剪去一個角后，∠1+∠2等于（　　）
A．120° B．240° C．300° D．360°
2．如圖，等邊三角形ABC，P為BC上一點，且∠1=∠2，則∠3為（　　）
A．50° B．60° C．75° D．無法確定
3．如圖，點C是線段AB上一點，以AC，BC為邊在AB的同側作等邊三角形CBE和等邊三角形ACD，比較AE和BD的大小（　　）
A．AE=BD B．AE＞BD C．AE＜BD D．不能確定
二．填空題（共3小題）
4．如圖，AD是等邊三角形ABC的中線，AE=AD，則∠EDC=　 　．
5．如圖，等邊三角形ABC中，D、E分別為AB、BC邊上的兩個動點，且總使AD=BE，AE與CD交于點F，AG⊥CD于點G，則∠FAG=　 　°．
6．如圖，在等邊三角形ABC中，AB=6，D是BC上一點，且BC=3BD，△ABD繞點A旋轉后得到△ACE，則CE的長度為　 　．
三．解答題（共3小題）
7．已知△ABC和△ADE是等邊三角形，求證：BD=CE．
8．如圖，△ABD和△CBD都是等邊三角形，點E從A出發向D運動（但不與點A、D重合），同時點F以相同的速度從D出發向C運動（但不與點D、C重合）．
（1）試猜想BE、BF的大小關系，并說明理由；
（2）試說明點E從A向D運動的過程中四邊形BEDF面積的變化情況，并說明理由．
9．如圖，已知等邊△ABC和點P，設點P到△ABC三邊AB、AC、BC（或其延長線）的距離分別為h1、h2、h3，△ABC的高為h．在圖①中，點P是邊BC的中點，由S△ABP+S△ACP=S△ABC得，AB．h1+AC．h2=BC．h，可得h1+h2=h又因為h3=0，所以：h1+h2+h3=h．
圖②～⑤中，點P分別在線段MC上、MC延長線上、△ABC內、△ABC外．
（1）請探究：圖②～⑤中，h1、h2、h3、h之間的關系；（直接寫出結論）
（2）說明圖②所得結論為什么是正確的；
（3）說明圖⑤所得結論為什么是正確的．1 等腰三角形
第3課時 等腰三角形的判定
【學習目標】
1、掌握等腰三角形的判別方法。
2、結合實例體會反證法的含義。
【學習策略】
本節課的主要任務是探索等腰三角形的判定定理，在復習性質定理的基礎上，引導學生反過來思考猜想新的命題，并進行證明。這樣可以發展學生的逆向思維能力，同時引入反證法的基本證明思路.
【學習過程】
一、情境導入：
問題1.等腰三角形性質定理的內容是什么？這個命題的題設和結論分別是什么？
問題2.我們是如何證明上述定理的？
問題3.我們把性質定理的條件和結論反過來還成立么？如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等？
二、新課學習：
1、自主學習：看書P8完成填空：
等腰三角形的 相等。反過來，有兩個角相等的三角形是 。
定理： 是等腰三角形。
簡稱： 。
2、合作探究：例2 已知：如圖，AB=DC，BD=CA。
求證：△AED是等腰三角形。
討論：①證明一個三角形是等腰三角形，可以利用的方法是什么？
②怎樣證明AE=DE？
③怎樣證明∠ADB=∠DAC
3、自主學習P8的想一想。
小明在證明時，先假設 ，然后推導出 、基本事實、 相矛盾的結果，從而證明命題的結論一定成立。這種證明方法稱為反證法。
4、自主學習P9例3，并完成證明。
嘗試應用：
1.在△ABC中，AB=AC,∠B＝36°，D、E在BC邊上，且AD和AE把∠BAC三等分，則圖中等腰三角形的個數（ ）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
2．如圖，在△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB，則∠A等于（ ）
（A）30° （B）36° （C）45 ° （D）54°
3．等腰三角形的一個內角為70°，它的一腰上的高與底邊所夾的角的度數是（ ）
（A）35° （B）20° （C）35 °或 20°（D）無法確定
4．等腰三角形的頂角等于一個底角的3倍，則頂角的度數為 ，底角的度數為
5．等腰三角形三個內角與頂角的外角之和等于260°，則它的底角度數為
6．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC， BD＝CE，M是AC的中點，求證：△DEM是等腰三角形
四、課堂小結
（1）本節課學習了哪些內容？
（2）等腰三角形的判定方法有哪幾種？
（3）結合本節課的學習，談談等腰三角形性質和判定的區別和聯系．
（4）舉例談談用反證法說理的基本思路
五.達標測試
一．選擇題（共3小題）
1．如圖，AD是△ABC的邊BC上的高，下列條件中不能推出△ABC是等腰三角形的是（　　）
A．∠BAD=∠ACD B．∠BAD=∠CAD C．AB+BD=AC+CD D．AB﹣BD=AC﹣CD
2．如圖，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分線．若在邊AB上截取BE=BC，連接DE，則圖中等腰三角形共有（　　）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
3．如圖，△ABC中∠ACB=90°，CD是AB邊上的高，∠BAC的平分線AF交CD于E，則△CEF必為（　　）
A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形　
二．填空題（共3小題）
4．等腰△ABC中，AB=AC，BC=6cm，則△ABC的周長C的取值范圍是　 　cm．
5．如圖所示，△ABC中，∠B與∠C的平分線相交于點O，過點O作MN∥BC，分別交AB，AC于點M，N，若AB=6cm，AC=9cm，BC=12cm，則△AMN的周長為　 　cm．
6．如圖，點D、E分別為邊AB、AC的中點，將△ABC沿線段DE折疊，使點A落在點F處，若∠B=50°，則∠BDF=　 　．若AB=10cm，則FD=　 　cm．
三．解答題（共3小題）
7．如圖，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC內的一點，且∠APB＞∠APC，求證：PB＜PC（反證法）
8．已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AM平分∠BAC，D為AC的中點，E為BC延長線上一點，且CE=BC．
（1）求ME的長；
（2）求證：DB=DE．
9．如圖，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB．
（1）想想看，你能得到什么結論？
（2）若過點O作一直線EF和邊BC平行，與AB交于點E，與AC交于點F．則圖（2）中有幾個等腰三角形？線段EF和EB、FC之間有怎樣的關系？
（3）若∠ABC≠∠ACB，其他條件不變，圖（3）中是否還有等腰三角形？（2）中第二問的關系是否還存在？寫出你的理由．
參考答案
達標測試答案：
一．選擇題（共3小題）
1．【解析】：選A．當∠BAD=∠CAD時，∵AD是∠BAC的平分線，且AD是BC邊上的高；
則△ABD≌△ACD，∴△BAC是等腰三角形；延長DB至E，使BE=AB；延長DC至F，使CF=AC；連接AE、AF；
∵AB+BD=CD+AC，∴DE=DF，又AD⊥BC；∴△AEF是等腰三角形；∴∠E=∠F；∵AB=BE，∴∠ABC=2∠E；同理，得∠ACB=2∠F；∴∠ABC=∠ACB，即AB=AC，△ABC是等腰三角形；△ABC中，AD⊥BC，根據勾股定理，得：AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，即（AB+BD）（AB﹣BD）=（AC+CD）（AC﹣CD）；∵AB﹣BD=AC﹣CD①，∴AB+BD=AC+CD②；∴①+②得：，2AB=2AC；
∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形
2．【解析】：選D．∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，∵BD是△ABC的角平分線，∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，
∴∠A=∠ABD=36°，∴BD=AD，∴△ABD是等腰三角形；在△BCD中，∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°，∴∠C=∠BDC=72°，∴BD=BC，∴△BCD是等腰三角形；
∵BE=BC，∴BD=BE，∴△BDE是等腰三角形；∴∠BED=（180°﹣36°）÷2=72°，
∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72°﹣36°=36°，∴∠A=∠ADE，∴DE=AE，∴△ADE是等腰三角形；
∴圖中的等腰三角形有5個．
3．【解析】：選B．如圖，∵AF是∠BAC的平分線，∴∠1=∠2，∵∠ACB=90°，CD是AB邊上的高，∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，∴∠3=∠4，∵∠5=∠4（對頂角相等），∴∠3=∠5，∴CE=CF，∴△CEF是等腰三角形．
二．填空題（共3小題）
4．【解析】：根據三角形的三邊關系，知：兩腰之和一定大于底邊6，故周長一定大于6+6，即大于12．答案：大于12．
5．【解析】：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO=∠OBC．又∵MN∥BC，
∴∠MOB=∠OBC．
∴∠ABO=∠MOB．
∴MO=MB．
同理可得：NO=NC．
∴△AMN的周長為：AM+MN+AN=AM+MO+ON+AN=AM+MB+NC+AN=AB+AC=6+9=15cm．
答案：15．
6．【解析】：∵點D、E分別為邊AB、AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，∴∠ADE=∠B=50°，由翻折的性質得，∠ADE=EDF=50°，
∴∠BDF=180°﹣∠ADE﹣EDF=180°﹣50°﹣50°=80°，
∵AB=10cm，點D是AB的中點，∴AD=AB=×10=5cm，由翻折的性質得，FD=AD=5cm．
答案：80°；5．
三．解析題（共3小題）
7．【解析】證明：①假設PB=PC．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．
∴∠ABC﹣∠PBC=∠ACB﹣∠PCB，∴∠ABP=∠ACP，在△ABP和△ACP中
∴△ABP≌△ACP，
∴∠APB=∠APC．這與題目中給定的∠APB＞∠APC矛盾，
∴PB=PC是不可能的．②假設PB＞PC，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵PB＞PC，∴∠PCB＞∠PBC．
∴∠ABC﹣∠PBC＞∠ACB﹣∠PCB，∴∠ABP＞∠ACP，又∠APB＞∠APC，
∴∠ABP+∠APB＞∠ACP+∠APC，∴180°﹣∠ABP﹣∠APB＜180°﹣∠ACP﹣∠APC，
∴∠BAP＜∠CAP，結合AB=AC、AP=AP，得：PB＜PC．這與假設的PB＞PC矛盾，
∴PB＞PC是不可能的．
綜上所述，得：PB＜PC．
8．【解析】（1）：∵AB=AC=5，AM平分∠BAC，∴BM=CM=BC=CE=3，∴ME=MC+CE=3+3=6；
（2）證明：∵AB=AC=5，AM平分∠BAC，∴AM⊥BC，且D為AC中點，∴DM=DC，
過D作DN⊥MC，如圖，則MN=CN，
又∵BM=CE，∴BN=EN，∴D在線段BE的垂直平方線上，∴DB=DE．
9.【解析】：（1）可得結論OB=OC，△OBC為等腰三角形，
∵∠ABC=∠ACB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC，
∴△OBC為等腰三角形；
（2）∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO=∠CBO，
∵EF∥BC，
∴∠CBO=∠EOB，
∴∠EBO=∠EOB，
∴EO=EB，
∴△EOB為等腰三角形，
同理可得FO=FC，
∴△FOC為等腰三角形，
∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC為等腰三角形，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=∠ACB=∠AFE，
∴AE=AF，
∴△AEF為等腰三角形，
由（1）可知OB=OC，
∴△OBC為等腰三角形，
綜上可知有五個等腰三角形，
∵EO=BE，OF=CF，
∴EF=EO+OF=BE+CF；
（3）有等腰三角形，關系式仍然存在，
同（2）可知BE=OE，CF=OF，
∴△BEO和△CFO為等腰三角形，
EF=BE+CF．
A
B
C
D
E
11 等腰三角形
第4課時 等邊三角形的判定
【學習目標】
1、掌握“等邊三角形判定”及“300角的直角三角形的性質”的推論，會用上述結論進行相關的計算和證明。
2、將探索、發現、猜想、證明有機結合起來，使數學思維的創造性和嚴謹性協調發展。
【學習策略】
本節課可以更多地讓學生自主探索。但第一個定理證明中，需要分類討論，因此注意揭示其中的分類思想；第2個定理結論比較特殊，直接從定理條件出發，學生一般難能得到這個結論. 教法可以采用講練結合法 多媒體演示法 探究法 嘗試指導法.
【學習過程】
一、情境導入：
已知△ABC中，AB=AC=5cm，請增加一個條件使它變為等邊三角形。
利用刻度尺兩測量一下含300角的三角板的斜邊和較短的直角邊，與同伴比較結果，交流其關系。
二.新課學習：
有一個角是600的等腰三角形是等邊三角形嗎？試著證明你的結論。
得出定理：有一個角是 的 三角形是等邊三角形。
概括出等邊三角形的判別條件，并引導學生總結出下表：
性質 判定的條件
等腰三角形（含等邊三角形） 等邊對等角 等角對等邊
“三線合一”即等腰三角形頂角平分線，底邊上的中線、高互相重合 有一角是60°
等邊三角形三個角都相等，且每個角都是60° 三個角都相等的三角形是等邊三角形
如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°。求證：BC=AB。
證明：△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°∠B=60°。
延長BC至D，使CD=BC，連接AD，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=90°，
∵AC=AC，
∴△ABC≌△ADC(SAS)．
∴AB=AD(全等三角形的對應邊相等)
∴△ABD是等邊三角形(有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形)。
∴ BC=BD=AB.
三.嘗試應用：
1.等腰ΔABC中，BC邊上的高AD=，試求∠BAC的度數。
2.等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分為15厘米和11厘米兩部分，求此三角形的底邊長。
3.等腰三角形的底角為15°，腰長為2a，求腰上的高CD的長。
解：∵∠ABC=∠ACB=15°,
∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°,
∴ CD=12 AC=12 ×2a= a.
四、課堂小結
1、 等邊三角形的判定方法:
（1）等邊三角形的定義
（2）定理:有一個角是600的等腰三角形是等邊三角形.
（3）定理:三個角都相等的三角形是等邊三角形
2、特殊的直角三角形的性質:
（1）定理:在直角三角形中, 如果有一個銳角等于300,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.
（2）逆定理:在直角三角形中, 如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么它所對的銳角等于30°.
五.達標測試
一．選擇題（共3小題）
1．如圖是某商場一樓與二樓之間的手扶電梯示意圖．其中AB、CD分別表示一樓、二樓地面的水平線，∠ABC=150°，BC的長是8m，則乘電梯從點B到點C上升的高度h是（　　）
A． m B．4 m C．4 m D．8 m
2．△ABC的三邊長a，b，c滿足關系式（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）=0，則這個三角形一定是（　　）
A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．等腰直角三角形 D．無法確定
3．如圖，已知∠AOB=60°，點P在邊OA上，OP=10，點M、N在邊OB上，PM=PN，若MN=2，則OM=（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空題（共3小題）
4．如圖，點E是等邊△ABC內一點，∠1=∠2，BE=CD，則△ADE的形狀是 .
5．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直線BC于點D，若AD=BC，則△ABC的頂角的度數為　 　．
6．如圖，直角三角形ABC中∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4．則BD=　 　．
三．解答題（共3小題）
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度數．
8．如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于點D，求證：BC=3AD．
9．如圖、已知∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P為OC上任意一點，PD∥OA交OB于D，PE⊥OA于E．如果OD=4cm，求PE的長．
參考答案
達標測試答案：
一．選擇題
1．【解析】選B．：過C作CM⊥AB于M，
則CM=h，∠CMB=90°，
∵∠ABC=150°，
∴∠CBM=30°，
∴h=CM=BC=4m.
2．【解析】選A．∵△ABC的三邊長a，b，c，∴a、b、c都是正數．
由（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）=0，得①a﹣b=0，即a=b，△ABC是等腰三角形；
②b﹣c=0，即b=c，△ABC是等腰三角形；③c﹣a=0，即c=a，△ABC是等腰三角形；
④a﹣b=0，b﹣c=0且c﹣a=0，即a=b=c，△ABC是等邊三角形；
等邊三角形是特殊的等腰三角形．綜上所述，△ABC一定是等腰三角形．
3．【解析】：選B．作PH⊥MN于H，∵PM=PN，
∴MH=NH=MN=1，∵∠AOB=60°，
∴∠OPH=30°，
∴OH=OP=5，
∴OM=OH﹣MH=4.
二．填空題
4．【解析】：∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC，在△ABE≌△ACD中，
，∴△ABE≌△ACD，∴AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°，
∴△ADE是等邊三角形．
答案：等邊三角形.
5．【解析】：①BC為腰，∵AD⊥BC于點D，AD=BC，
∴∠ACD=30°，
如圖1，AD在△ABC內部時，頂角∠C=30°，
如圖2，AD在△ABC外部時，頂角∠ACB=180°﹣30°=150°，
②BC為底，如圖3，
∵AD⊥BC于點D，AD=BC，
∴AD=BD=CD，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，
∴∠BAD+∠CAD=×180°=90°，
∴頂角∠BAC=90°，
綜上所述，等腰三角形ABC的頂角度數為30°或150°或90°．
答案：30°或150°或90°．
6．【解析】：Rt△ABC中，AB=4，∠A=30°；∴BC=AB=2；∠B=90°﹣∠A=60°．
Rt△BCD中，BC=2，∠BCD=90°﹣∠B=30°；∴BD=BC=1．
三．解析題（共3小題）
7．解：如圖，∵∠C=90°，AB=2AC，
∴∠B=30°，
∴∠A=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°．
8．證明：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
又∵AD⊥AC，
∴∠DAC=90°，
∵∠C=30°
∴CD=2AD，∠BAD=∠B=30°，
∴AD=DB，
∴BC=CD+BD=AD+DC=AD+2AD=3AD．
　9．解：過P作PF⊥OB于F，
∵∠AOB=30°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=15°，
∵PD∥OA，
∴∠DPO=∠AOP=15°，
∴∠BOC=∠DPO，
∴PD=OD=4cm，
∵∠AOB=30°，PD∥OA，
∴∠BDP=30°，
∴在Rt△PDF中，PF=PD=2cm，
∵OC為角平分線，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE=PF，
∴PE=PF=2cm．
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