資源簡介

2 直角三角形
第1課時(shí) 直角三角形的性質(zhì)與判定
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1、了解“直角三角形的兩個(gè)銳角互余”的性質(zhì)及直角三角形判定法之一”有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形”。
2、了解勾股定理及其逆定理以及直角三角形的有關(guān)性質(zhì)的證明方法
3、結(jié)合具體例子了解逆命題的概念，會(huì)識別兩個(gè)互逆命題，知道原命題成立其逆命題不一定成立
【學(xué)習(xí)策略】
教師要關(guān)注到學(xué)生在語言表述方面的個(gè)體差異，有困難的學(xué)生要給予及時(shí)的幫助和指導(dǎo)。使每一個(gè)學(xué)生都能經(jīng)歷證明的過程，為他們提供充分地尋找證明思路的時(shí)間、空間和方法，體會(huì)證明的必要性.
【學(xué)習(xí)過程】
一、情境導(dǎo)入：
（1）直角三角形的兩個(gè)銳角有怎樣的關(guān)系？為什么？
(2)直角三角形的三邊有什么樣的關(guān)系
總結(jié)：直角三角形的性質(zhì)：1、　　　　　　　　 2、
含30°角的直角三角形的性質(zhì)
二.新課學(xué)習(xí)：
1.直角三角形的判定：
（1）如果一個(gè)三角形兩個(gè)角互余，那么著個(gè)三角形是直角三角形嗎？
（2）勾股定理的逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是　　　　　　　。　用字母表示為　　　　　　　　　
總結(jié)：直角三角形的判定法：：
1、　　　　　　　　
2、
2.勾股定理逆命題的證明：
（1）勾股定理直角三角形字母表示為 ；　　　　　　　　　
（2）勾股定理的逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是　 　。　用字母表示為 。并證明這個(gè)結(jié)論。
3.命題與逆命題：
（1）我們學(xué)習(xí)了命題和定理。表示判斷的句子就是　　　，經(jīng)過證明的真命題稱為　　　。每個(gè)命題都是由 、 兩部分組成。命題“對頂角相等”的條件是 ，結(jié)論是 。
（2）在兩個(gè)命題中，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的　　　　　　　　　　　　，那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題，其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題。
（3）一個(gè)命題是真命題，它的逆命題 是真命題。如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明也是真命題，那么它也是一個(gè) 。其中一個(gè)定理稱為另外一個(gè)定理的 。
三.嘗試應(yīng)用：
1、如圖，CD是Rt△ABC斜邊上的高，請找出圖中各對互余的角。　　　　　　　　　　　　
2、如果一個(gè)三角形的三邊分別是6、10、8，則這個(gè)三角形是 三角形，其面積為　　　　　　　
3、在三角形ABC中，已知AB＝13cm,BC=10cm,BC邊上的中線AD＝12cm.求證：AB＝AC
4、說出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假。
1）九（5）班有62位同學(xué)； 2）等邊對等角；
3）平行四邊形的兩組對邊相等； 4）正方形的四條邊都相等；
5、如圖，BA⊥DA于A，AD = 12，DC = 9，CA = 15求證：BA∥DC。
6、如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，D為垂足，∠ABC的平分線分別交AD，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，試說明：AE=AF.
四、課堂小結(jié)
1、勾股定理和逆定理的內(nèi)容分別是什么？
2、什么是互逆定理，什么是互逆命題？
五.達(dá)標(biāo)測試
一．選擇題（共3小題）
1．將直角三角形的三條邊長同時(shí)擴(kuò)大同一倍數(shù)，得到的三角形是（　　）
A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
2．下列各組數(shù)中，不能構(gòu)成直角三角形的一組是（　　）
A．1，2， B．1，，2 C．6，8，12 D．3，4，5
3．如圖，以三角形三邊為直徑向外作三個(gè)半圓，若較小的兩個(gè)半圓面積之和等于較大的半圓面積，則這個(gè)三角形是（　　）
A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．銳角三角形或鈍角三角形
二．填空題（共3小題）
4．已知三角形三邊長分別是6，8，10，則此三角形的面積為　 　．
5．為迎接新年的到來，同學(xué)們做了許多拉花布置教室，準(zhǔn)備召開新年晚會(huì)，小剛搬來一架長為13m的木梯，準(zhǔn)備把拉花掛到高12m的墻上，則梯腳與墻角的距離應(yīng)為　 　m．
6．一塊木板如圖所示，已知AB=4，BC=3，DC=12，AD=13，∠B=90°，木板的面積為　 　．
三．解答題（共3小題）
7．如圖，已知直角△ABC的兩直角邊分別為6，8，分別以其三邊為直徑作半圓，求圖中陰影部分的面積．
8．新中源陶瓷廠某車間的人字形屋架為等腰△ABC，AC=BC=13米，AB=24米．求AB邊上的高CD的長度？
9．如圖，一根旗桿在離地面9m處斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部12m處，將旗桿接好后，由于臺風(fēng)影響，旗桿再次斷裂，已知旗桿的頂部落在距離旗桿底部6m處，問旗桿第二次是在離地面多少米處斷裂的？
參考答案
達(dá)標(biāo)測試答案：
一．選擇題（共3小題）
1．【解析】選C．將直角三角形的三條邊長同時(shí)擴(kuò)大同一倍數(shù)，得到的三角形與原三角形相似，因而得到的三角形是直角三角形．
2．【解析】選C．A、12+22=（）2，能構(gòu)成直角三角形，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、12+（）2=22，能構(gòu)成直角三角形，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、62+82≠122，不能構(gòu)成直角三角形，此選項(xiàng)正確；
D、32+42=52，能構(gòu)成直角三角形，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
3．【解析】選B．設(shè)最大半圓半徑為c，最小半圓半徑為a，第三個(gè)半圓半徑為b，則三角形中最長邊為2c，最短邊長為2a，第三邊為2b；
∵較小的兩個(gè)半圓面積之和等于較大的半圓面積，∴+=，化簡得，a2+b2=c2，∴（2a）2+（2b）2=（2c）2，符合勾股定理的逆定理，即三角形為直角三角形．
二．填空題（共3小題）
4．【解析】：∵62+82=102，∴此三角形為直角三角形，
∴此三角形的面積為：×6×8=24．
答案：24．
5．【解析】：∵梯子、地面、墻剛好形成一直角三角形，
∴梯腳與墻角的距離==5m．
答案：5．
6．【解析】：如右圖所示，連接AC，∵∠B=90°，AB=4，BC=3，
∴AC==5，∵DC=12，AD=13，
∴52+122=169=132，∴△ADC是直角三角形，
∴S木板=S△ADC﹣S△ABC=×DC×AC﹣AB×BC=30﹣6=24．
答案：24．
三．解析題（共3小題）
7．【解析】：∵直角△ABC的兩直角邊分別為6，8，
∴AB==10，∵以BC為直徑的半圓的面積是 π=8π，
以AC為直徑的半圓的面積是 π=，
以AB為直徑的面積是 ×π=，
△ABC的面積是 AC BC=24，
∴陰影部分的面積是8π++24﹣=24，
答案：24．
8．【解析】：∵等腰三角形ABC，CD⊥AB，
∴AD=BD=AB=12m，∵AC=BC=13m，
∴CD==5m．
答：AB邊上的高CD的長度是5米．
9．【解析】：∵OA=9m，OB=12m，
∴AB===12（m），
∴旗桿的長=OA+AB=9+15=24（m）．
設(shè)OC=x，則CD=24﹣x，
在Rt△OCD中，OD2+OC2=CD2，即62+x2=（24﹣x）2，解得x=（m）．
答：旗桿第二次是在離地面米處斷裂的．
A
D
B
C
12 直角三角形
第2課時(shí)
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1、了解直角三角形全等的判定定理（HL），發(fā)展演繹推理能力；
2、采用動(dòng)手動(dòng)腦相結(jié)合的方式，進(jìn)一步學(xué)習(xí)嚴(yán)密科學(xué)的證明方法；
3、通過推理、論證的訓(xùn)練，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度，不懈的探究精神和良好的說理方法。
【學(xué)習(xí)策略】
定理的應(yīng)用方面靈活性較強(qiáng)，給教師和學(xué)生發(fā)揮的余地較大，結(jié)論和方法并不惟一，教師要充分利用好這個(gè)資源，可以達(dá)到一題多解，舉一反三的效果，不僅讓學(xué)生進(jìn)一步掌握了推理證明的方法，而且發(fā)展了同學(xué)們演繹推理的能力．
【學(xué)習(xí)過程】
一、情境導(dǎo)入：
1.判斷兩個(gè)三角形全等的方法有哪幾種？
2.已知一條邊和斜邊，求作一個(gè)直角三角形。想一想，怎么畫？同學(xué)們相互交流。
3、有兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等嗎？如果其中一個(gè)角是直角呢？請證明你的結(jié)論。
二.新課學(xué)習(xí)：
問題1：兩邊分別相等且其中一邊的對角分別相等的兩個(gè)三角形全等嗎？如果其中一邊所對的角是直角呢？請證明你認(rèn)為正確的結(jié)論。
問題2：（做一做）已知一條直角邊和斜邊，求作一個(gè)直角三角形。
作直角三角形：
寫出已知、求作、作法。
與教材第19頁小明作的直角三角形進(jìn)行比較，你們倆個(gè)作直角三角形的是全等的嗎？
得出定理：
（1）．“HL”定理．已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′．
求證：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′
證明：在Rt△ABC中，AC=AB2一BC2(勾股定理)．
又∵在Rt△ A' B' C'中，A' C' =A'C'=A'B'2一B'C'2 (勾股定理)．
AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'．
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C' (SSS)．
定理 斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．
這一定理可以簡單地用“斜邊、直角邊”或“HL”表示．
例題：如圖，有兩個(gè)長度相等的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，兩個(gè)滑梯的傾斜角 ∠B和∠F的大小有什么關(guān)系？
三.嘗試應(yīng)用：
1、下列各選項(xiàng)中的兩個(gè)直角三角形不一定全等的是（ ）
A.兩條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形。
B.兩條銳角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形。
C.斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形。
D.有一個(gè)銳角及這個(gè)銳角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。
2、下列長度的三條線段能構(gòu)成直角三角形的是（ ）
①8、15、17 ②4、5、6、 ③7.5、4、8.5 ④ 24、25、7 ⑤ 5、8、10
A.①②④ B.②④⑤ C.①③⑤ D.①③④
3、下列命題中，假命題是（ ）
A.三個(gè)角的度數(shù)之比為1：3：4的三角形是直角三角形。
B.三個(gè)角的度數(shù)之比為1：3：2的三角形是直角三角形。
C.三邊長之比為的三角形是直角三角形。
D.三邊長之比為的三角形是直角三角形。
四、課堂小結(jié)
1.直角三角形全等的判定定理:
定理:斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(斜邊,直角邊或HL).
公理:三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（SSS）.
公理:兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（SAS）.
公理:兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（ASA）.
推論:兩角及其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（AAS）.
2.直角三角形全等的判定條件可歸納為:
一邊及一個(gè)銳角對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等;
兩邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等;
命題:兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等
五.達(dá)標(biāo)測試
一．選擇題（共3小題）
1．要判定兩個(gè)直角三角形全等，下列說法正確的有（　　）
①有兩條直角邊對應(yīng)相等； ②有兩個(gè)銳角對應(yīng)相等； ③有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等； ④有一條直角邊和一個(gè)銳角相等； ⑤有斜邊和一個(gè)銳角對應(yīng)相等； ⑥有兩條邊相等．
A．6個(gè) B．5個(gè) C．4個(gè) D．3個(gè)
2．如圖，已知AB=AD，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無法判定△ABC≌△ADC的是（　　）
A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°
3．如圖，矩形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，連接AE并延長交BC的延長線于點(diǎn)F，連接BD、DF，則圖中全等的直角三角形共有（　　）
A．3對 B．4對 C．5對 D．6對　
二．填空題（共3小題）
4．如圖，AB⊥CF，垂足為B，AB∥DE，點(diǎn)E在CF上，CE=FB，AC=DF，依據(jù)以上條件可以判定△ABC≌△DEF，這種判定三角形全等的方法，可以簡寫為　 　．
5．如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根據(jù)“HL”判定，還需要加條件　 　．
6．如圖，平行四邊形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，則圖中的全等三角形有　 　．
三．解答題（共3小題）
7．如圖：在△ABC，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求證：AF平分∠BAC．
8．如圖，在△ABC中，AD是中線，分別過點(diǎn)B、C作AD延長線及AD的垂線BE、CF，垂足分別為點(diǎn)E、F．求證：BE=CF．
9．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AD，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，將一塊等腰直角三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別與A、D重合，連結(jié)BE、EC．試猜想線段BE和EC的數(shù)量及位置關(guān)系，并證明你的猜想．
參考答案
達(dá)標(biāo)測試答案：
一．選擇題（共3小題）
1．【解析】：選D．①有兩條直角邊對應(yīng)相等，可以利用SAS證明全等，正確；
②有兩個(gè)銳角對應(yīng)相等，不能利用AAA證明全等，錯(cuò)誤；
③有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等，可以利用HL證明全等，正確；
④有一條直角邊和一個(gè)銳角相等，不一定可以利用AAS證明全等，錯(cuò)誤；
⑤有斜邊和一個(gè)銳角對應(yīng)相等，可以利用AAS證明全等，正確；
⑥有兩條邊相等，不一定可以利用HL或SAS證明全等，錯(cuò)誤；
2．【解析】選C．A、添加CB=CD，根據(jù)SSS，能判定△ABC≌△ADC，A選項(xiàng)不符合題意；B、添加∠BAC=∠DAC，根據(jù)SAS，能判定△ABC≌△ADC，B選項(xiàng)不符合題意；C、添加∠BCA=∠DCA時(shí)，不能判定△ABC≌△ADC，C選項(xiàng)符合題意；
D、添加∠B=∠D=90°，根據(jù)HL，能判定△ABC≌△ADC，D選項(xiàng)不符合題意；
3．【解析】選B． E是CD中點(diǎn)，DE=EC，矩形ABCD，可得AD=BC，AB=CD，
∠DCB=∠DCF=90°，AD∥BF，∠DAE=∠EFC，圖中全等的直角三角形有：∠DEA=∠CEF，∠DAE=∠EFC，DE=EC，在△AED和△FEC中
則△AED≌△FEC（AAS），
∴CF=AD=BC，
在△BDC和△FDC中
△BDC≌△FDC（SAS），
同理，△BDC ≌△DBA，即，△BDC≌△FDC≌△DBA，
△AED≌△FEC，△BDC≌△FDC≌△DBA，共4對．
二．填空題（共3小題）
4．【解析】：∵AB⊥CF，AB∥DE，
∴△ABC和△DEF都是直角三角形．
∵CE=FB，CE為公共部分，
∴CB=EF，
又∵AC=DF，
∴由HL定理可判定△ABC≌△DEF．
答案：HL．
5．【解析】：還需添加條件AB=AC，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
答案：AB=AC．
6．【解析】：圖中的全等三角形有：△AOE≌△COF，Rt△ABE≌Rt△CDF，△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△ABD≌△CDB；
理由如下：∵平行四邊形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，
∴OA=OC，在△AOE與△COF中
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE=CF，在Rt△ABE與Rt△CDF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL），
進(jìn)而可得，△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△ABD≌△CDB．
答案：△AOE≌△COF，Rt△ABE≌Rt△CDF，△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△ABD≌△CDB
三．解析題（共3小題）
7．【解析】證明：∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，
∴∠AEC=∠ADB=90°，
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴AE=AD，
在Rt△AEF和Rt△ADF中，
∴Rt△AEF≌Rt△ADF（HL），
∴EF=DF，
∴AF平分∠BAC．
8．【解析】證明：∵D是BC邊上的中點(diǎn)，∴BD=CD，
又∵分別過點(diǎn)B、C作AD延長線及AD的垂線BE、CF，
∴CF∥BE，∴∠E=∠CFD，∠DBE=∠FCD
∴△BDE≌△CDF，
∴CF=BE．
9．【解析】證明：∵AB=AD，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴AB=CD，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=DE，∠EAD=∠EDA=45°，
∴∠EAB=∠BAC+∠EAD=135°，∠EDC=180°﹣∠ADE=135°，
∴∠EAB=∠EDC，
在△EAB和△EDC中，
，
∴△EAB≌△EDC（SAS），
∴∠AEB=∠DEC，EB=EC，
∵∠AEB+∠BED=90°，
∴∠DEC+∠BED=90°，
∴∠BEC=90°，
即BE⊥EC．
1

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