資源簡介

3 線段的垂直平分線
第1課時 垂直平分線的性質(zhì)定理與判定定理
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1、能夠證明線段的垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理。
2、經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程，進(jìn)一步發(fā)展自己的推理證明意識和能力。
【學(xué)習(xí)策略】
老師要善于引導(dǎo)學(xué)生從問題出發(fā)，根據(jù)觀察、實(shí)驗的結(jié)果，先得出猜想，然后再進(jìn)行證明，要求學(xué)生掌握證明的基本要求和方法，注意數(shù)學(xué)壓想方法的強(qiáng)化和滲透．
【學(xué)習(xí)過程】
一、情境導(dǎo)入：
如圖，A、B表示兩個倉庫，要在A、B一側(cè)的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的
距離相等，碼頭應(yīng)建在什么位置
其中“到兩個倉庫的距離相等”，要強(qiáng)調(diào)這幾個字在題中有很重要的作用．
“你能用公理或?qū)W過的定理證明這一結(jié)論嗎
二.新課學(xué)習(xí)：
線段垂直平分線的判定定理
1、把定理“線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等”改寫成“如果…，那么…”的形式。
2、寫出上面定理的逆命題，它是真命題嗎？如果是請證明它。
3、線段垂直平分線的性質(zhì)定理：
線段垂直平分線的判定定理：
三.嘗試應(yīng)用：
1、如圖，在 △ABC 中，AB = AC，O 是 △ABC 內(nèi)一點(diǎn)，且 OB = OC.求證：直線 AO 垂直平分線段BC．
2、如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)E，已知△BCE的周長為8，AC－BC=2，求AB與BC的長.
3、如圖，Rt△ABC中，∠ACB=900, ∠BAC=600,DE垂直平分BC，垂足為D，交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在DE的延長線上，且AF=CE，試探究圖中相等的線段。
四、課堂小結(jié)
1．線段垂直平分線的性質(zhì)。 2．線段平分線的判定。
五.達(dá)標(biāo)測試
一．選擇題（共3小題）
1．如圖所示的儀器中，OD=OE，CD=CE．小州把這個儀器往直線l上一放，使點(diǎn)D、E落在直線l上，作直線OC，則OC⊥l，他這樣判斷的理由是（　　）
A．到一個角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角的角平分線上 B．角平分線上的點(diǎn)到這個角兩邊的距離相等
C．到線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上 D．線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等
2.如圖，△ABC中，AB的線段的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，垂足為E，若AC=5cm,BC=4cm,則△ADE的周長為（ ）。
A．9cm B.8cm C.7cm D.6cm
XXK]
3．如圖，點(diǎn)D為線段AB與線段BC的垂直平分線的交點(diǎn)，連接AC、BD、DC，若∠A=35°，∠ABD=44°，則∠DCA的度數(shù)為（　　）
A．10° B．18° C．15° D．9°
二．填空題（共3小題）
4．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分線DE交BC的延長線于點(diǎn)E，則CE的長為　 　．
5．如圖，在△ABC中，AB、AC的垂直平分線l1、l2相交于點(diǎn)O，若∠BAC等于82°，則∠OBC=　 　°．
6．如圖，△ABC中，BC=7，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，AC的垂直平分線分別交AC、BC于點(diǎn)F、G．則△AEG的周長為　 　．
三．解答題（共2小題）
7．如圖，若AB是CD的垂直平分線，E，F(xiàn)是AC，AD的中點(diǎn)，連結(jié)BE，BF．
（1）請寫出圖中任意兩對相等線段：　 　，　 　；
證明：BE=BF．
8.如圖在△ABC中，AD是∠BAC平分線,AD的垂直平分線分別交AB、BC延長線于F、E.求證：
（1）∠EAD=∠EDA ;（2）DF∥AC.
參考答案
達(dá)標(biāo)測試答案：
一．選擇題（共3小題）
1．【解析】選C．∵OD=OE，∴O點(diǎn)在線段DE的垂直平分線上，
∵CD=CE，∴C點(diǎn)在線段DE的垂直平分線上，
∴CO是線段DE的垂直平分線上，
∴OC⊥l．
2．【解析】選A．根據(jù)題意得DE是AB的垂直平分線，
∴BE=AE，
∴AE+AC+EC=AC+BC=4+5=9(cm)，
∴△AEC的周長為9cm．
3．【解析】選D．連接AD，∵點(diǎn)D為線段AB與線段BC的垂直平分線的交點(diǎn)，
∴DA=DB，DB=DC，∴∠DAB=∠ABD=44°，DA=DC，
∴∠DCA=∠DAC=∠DAB﹣∠CAB=9°，
二．填空題（共3小題）
4．【解析】：設(shè)CE=x，連接AE，
∵DE是線段AB的垂直平分線，
∴AE=BE=BC+CE=3+x，
∴在Rt△ACE中，AE2=AC2+CE2，即（3+x）2=42+x2，
解得x=．
答案：．
5．【解析】：連接OA，
∵∠BAC=82°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣82°=98°，
∵AB、AC的垂直平分線交于點(diǎn)O，
∴OB=OA，OC=OA，
∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，
∴∠OBC+∠OCB=98°﹣（∠OBA+∠OCA）=16°，
∴∠OBC=8°，
答案：8．
6．【解析】：如圖．∵DE、FG分別是邊AB、AC的垂直平分線，
∴BE=AE，AG=GC，∴BE+GC=AE+AG，
∴C△AEG=AE+AG+EG，=BE+GC+EG，
=BC，又∵BC=7，∴C△AEG=7．
答案：7．
三．解析題（共2小題）
7．【解析】：（1）∵AB是CD的垂直平分線，
∴AC=AD，BC=BD，
答案：AC=AD；BC=BD；
（2）∵AC=AD，E，F(xiàn)是AC，AD的中點(diǎn)，
∴AE=AF，
∵AC=AD，AB⊥CD，
∴∠CAB=∠DAB，
在△ACB和△ADB中，
，
∴△ACB≌△ADB，
∴BE=BF．
【解析】（1）∵EF是AD的垂直平分線，
∴AE=DE，
∴∠EAD=∠EDA；
（2）∵EF是AD的垂直平分線，
∴AF=DF，
∴∠FAD=∠FDA，
∵AD是∠BAC平分線，
∴∠FAD=∠CAD，
∴∠FDA=∠CAD，
∴DF∥AC.
13 線段的垂直平分線
第2課時 三角形三邊的垂直平分線
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1、能夠證明三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)。
2、能夠利用尺規(guī)作已知線段的垂直平分線和已知底邊及底邊上的高作出等腰三角形。
3、經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程，進(jìn)一步發(fā)展自己的推理證明意識和能力。
【學(xué)習(xí)策略】
從尺規(guī)作圖，邏輯推理多層次地理解并證明了三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等。老師要善于引導(dǎo)學(xué)生從問題出發(fā)，根據(jù)觀察、實(shí)驗的結(jié)果，先得出猜想，然后再進(jìn)行證明，要求學(xué)生掌握證明的基本要求和方法，注意數(shù)學(xué)壓想方法的強(qiáng)化和滲透．
【學(xué)習(xí)過程】
知識回顧
1、線段垂直平分線的性質(zhì)定理 線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)的距離 。
2、線段垂直平分線的判定定理 到一條線段的兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的 上。
二.新課學(xué)習(xí)：
1.三角形三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn) ，并且這一點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離相等.
證明：三角形三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn) ，并且這一點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離相等.
已知：
求證：
證明：
2.已知三角形的一邊及這邊上的高做三角形
（1）已知三角形的一條邊及這條邊上的高，你能作出三角形嗎 如果能，能作幾個 所作出的三角形都全等嗎
（2）已知等腰三角形的底邊及底邊上的高，你能用尺規(guī)作出等腰三角形嗎 能作幾個
3、已知一個等腰三角形的底邊及底邊上的高，求作這個等腰三角形．
已知：線段a、h
求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h
作法：
4.用尺規(guī)作線段的垂直平分線
已知：線段
求作：線段AB的垂直平分線.
作法：
三.嘗試應(yīng)用：
1、如圖，有A、B、C三個工廠，現(xiàn)要建一個供水站，使它到這三個工廠的距離相等，求供水站的位置.
（要求尺規(guī)作圖，只保留作圖痕跡，不寫作法）
2、已知：線段a和h（如圖）
求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h。
作法：
四、課堂小結(jié)
與線段平分線有關(guān)的尺規(guī)作圖.
五.達(dá)標(biāo)測試
一．選擇題（共2小題）
1．下列命題：①線段垂直平分線上任一點(diǎn)到線段兩端距離相等；②線段上任一點(diǎn)到垂直平分線兩端距離相等；③經(jīng)過線段中點(diǎn)的直線只有一條；④過線段上任一點(diǎn)可以作這條線段的中垂線；⑤點(diǎn)P在線段AB外且PA=PB，過點(diǎn)P作直線MN，則MN是線段AB的垂直平分線.真命題有（ 　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2．如圖，在已知的△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以B，C為圓心，以大于BC的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)M，N；②作直線MN交AB于點(diǎn)D，連接CD． 若CD=AC，∠A=50°，則∠ACB的度數(shù)為（　　）
A．90° B．95° C．100° D．105°　
二．解答題（共2小題）
3．電信部門要修建一座電視信號發(fā)射塔P，按照設(shè)計要求，發(fā)射塔P到兩城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條高速公路m和n的距離也必須相等．請在圖中作出發(fā)射塔P的位置．（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
4．如圖，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且OB=OC。求證：AO⊥BC.
參考答案
達(dá)標(biāo)測試答案：
一．選擇題（共2小題）
1．【解析】選A．∵②③④⑤說法錯誤，①說法正確，∴真命題只有一個.
2．【解析】選D．∵CD=AC，∠A=50°，∴∠ADC=∠A=50°，
根據(jù)題意得：MN是BC的垂直平分線，
∴CD=BD，∴∠BCD=∠B，
∴∠B=∠ADC=25°，
∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=105°．
二．解析題（共2小題）
3．【解析】：設(shè)兩條公路相交于O點(diǎn)．P為線段AB的垂直平分線與∠MON的平分線交點(diǎn)或是與∠QON的平分線交點(diǎn)即為發(fā)射塔的位置．如圖，滿足條件的點(diǎn)有兩個，即P、P′．
【解析】：延長AO交BC于D，
在△ABO和△ACO中,AB=AC,OB=OC,AO=AO，
∴△ABO≌△ACO(SSS)，
∴∠BAO=∠CAO，
即∠BAD=∠CAD(全等三角形的對應(yīng)角相等)，
∴AD⊥BC,
即AO⊥BC(等腰三角形頂角的平分線與底邊上的高互相重合).
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