資源簡介

4角平分線
第1課時 角平分線的性質定理與判定定理
【學習目標】
1．角平分線的性質定理的證明；角平分線的判定定理的證明。
2、進一步發展自己的推理證明意識和能力，解決幾何中的問題。
【學習策略】
采用“實驗——猜想——驗證”的課堂教學方法，適時啟發誘導，讓學生展開討論，充分發揮學生的主體參與意識，激發學習興趣，調動學習的積極性，培養學生良好的思維方法與習慣．
【學習過程】
一、情境導入：
1、問題：（1）還記得角平分線的概念嗎？
（2）還記得角平分線上的點有什么性質嗎？
（3）以前我們用折紙的方法得到了這個結論，我們能進行嚴格意義的證明嗎？
2.先利用10分鐘閱讀并思考P28—P29教材內容，先證明角平分線的性質定理的證明，然后寫出它的逆命題，并嘗試著證明，清楚用尺規作已知角的角平分線的方法及證明。
二.新課學習：
證明：角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等。（畫圖，寫出已知、求證）
已知： .
求證：
證明：
定理：
幾何語言：
逆命題：
已知：
求證：
證明：
由此得出定理：
三.嘗試應用：
1、如圖，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，BE、CD相交于O
（1）如果∠1 =∠2，求證：OB=OC；
（2）如果，OB=OC求證：∠1 =∠2.
2、如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，點D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F，且DE=DF，求DE的長.
3.合作探究：如圖，在△ABC中 ，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E.
（1）已知CD=cm，求AB的長；
（2）求證：AB=AC+CD。
四、課堂小結
1、角平分線的性質定理 ：角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等.
2、角平分線的判定定理 ：在一個角的內部, 且到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上
五.達標測試
一．選擇題（共3小題）
1．如圖，已知點P到BE，BD，AC的距離相等，則下列說法不正確的是（　　）
A．P在∠B的角平分線上 B．P在∠ACE的角平分線上
C．P在∠DAC的角平分線上 D．P到A，B，C三點的距離相等
2．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分線，DE⊥AB于E，下列結論錯誤的是（　　）
A．BD+DE=BC B．DE平分∠ADB C．AD平分∠EDC D．AC+DE＞AD
3．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，BD是角平分線，DE⊥AB，E為垂足，若△ADE的周長等于10cm，則AB的長是（　　）
A．8cm B．9cm C．10cm D．20cm　
二．填空題（共2小題）
4．如圖，△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于D，若∠A=50°，則∠BDC=　 　度．
5．如圖，AB∥CD，O為∠BAC，∠ACD平分線的交點，OE⊥AC交AC于E，且OE=2，則AB與CD之間的距離等于　 　．
三．解答題（共3小題）
6．如圖，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于點D，若AB=AC．求證：AD平分∠BAC．
7．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．
（1）求DE的長；
（2）求△ADB的面積．
8．如圖，四邊形ABCD中，AC為∠BAD的角平分線，AB=AD，E、F兩點分別在AB、AD上，且AE=DF．請完整說明為何四邊形AECF的面積為四邊形ABCD的一半．
參考答案
達標測試答案：
一．選擇題（共3小題）
1．【解析】選D．利用到角兩邊距離相等的點在角的平分線上的逆定理可知A，B，C都對，只有D不對．
2．【解析】選B．A、∵CD=DE，∴BD+DE=BC，所以A是正確結論；B、缺少條件，不能得出，所以B是錯誤結論；
C、∴AC=AE又有AD=AD，可證△AED≌△ACD，∴∠ADE=∠ADC即AD平分∠EDC；
所以C是正確結論；D、在△ACD中，CD+AC＞AD，
所以ED+AC＞AD．所以D是正確結論．
3．【解析】：選C．∵BD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，∠C=90°，
易得△BCD≌△BED，∴CD=DE，BE=BC，
∴△ADE的周長=DE+AE+AD=CD+AD+AE=AC+AE=BC+AE=BE+EA=AB=10cm．
二．填空題（共2小題）
4．【解析】：∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=130°．∵∠ABC與∠ACB的平分線相交于D，∴∠DB=∠DCB=65°，∴∠BDC=115°．答案：115°
5．【解析】：過點O作FG⊥AB，∵AB∥CD，∴∠BFG+∠FGD=180°，∵∠BFG=90°，
∴∠FGD=90°，∴FG⊥CD，∴FG就是AB與CD之間的距離．
∵O為∠BAC，∠ACD平分線的交點，OE⊥AC交AC于E，
∴OE=OF=OG（角平分線上的點，到角兩邊距離相等），
∴AB與CD之間的距離等于2 OE=4．答案：4．
三．解析題（共3小題）
6．【解析】：方法一：連接BC，
∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，
∴∠CFB=∠BEC=90°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
在△BCF和△CBE中
∵
∴△BCF≌△CBE（AAS），
∴BF=CE，
在△BFD和△CED中
∵，
∴△BFD≌△CED（AAS），
∴DF=DE，
∴AD平分∠BAC．
7．【解析】：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE，∵CD=3，∴DE=3；
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB===10，
∴△ADB的面積為S△ADB=AB DE=×10×3=15．
8．【解析】解：分別作CG⊥AB與G，CH⊥AD與H，
∵AC為∠BAD的角平分線，∴CG=CH，
∵AB=AD，
∴△ABC面積=△ACD面積，
又∵AE=DF，
∴△AEC面積=△CDF面積，
∴△BCE面積=△ABC面積﹣△AEC面積，
△BCE面積=△ACD面積﹣△CDF面積，
∴△BCE面積=△ACF面積，
∵四邊形AECF面積=△AEC面積+△ACF面積，
四邊形AECF面積=△AEC面積+△BCE面積，
∴四邊形AECF面積=△ABC面積，
又∵四邊形ABCD面積=△ABC面積+△ACD面積，
又∵四邊形ABCD面積=2△ABC面積，
∴四邊形AECF面積為四邊形ABCD面積的一半．
14 角平分線
第2課時 三角形三個內角的角平分線
【學習目標】
1．證明三角形三個內角的平分線的性質定理；
2.綜合運用角平分線的判定和性質定理，解決幾何中的問題
【學習策略】
采用“實驗——猜想——驗證”的課堂教學方法，適時啟發誘導，讓學生展開討論，充分發揮學生的主體參與意識，激發學習興趣，調動學習的積極性，培養學生良好的思維方法與習慣．
【學習過程】
一、知識回顧：
三角形角平分線性質定理和判定定理的內容是什么？
1、角平分線的性質定理：
2、角平分線的判定定理：
二.新課學習：
作三角形的三個內角的角平分線，你發現三條角平分線位置有什么關系？你能證明證明這個結論嗎？
已知：
求證：
證明：
（本題基本思路提示）：兩條直線相交只有一個交點.要想證明三條直線相交于一點,只要能證明兩條直線的交點在第三條直線上即可.
（2）問題：在上面的證明過程中除了證明三角形的三條角平分線相交于一點外，還發現這個點到三邊的距離關系怎樣？
歸納：定理:
證明此定理.
已知：（自己動手作出圖形）
求證：
證明：
證明：在一個角的內部，且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上。
三.嘗試應用：
1、已知：如圖，設△ABC的角平分線BM、CN相交于點P，
求證：P點在∠BAC的角平分線上。
2、已知：OP是∠MON內的一條射線，AC⊥OM,AD⊥ON,BE⊥OM,BF⊥ON,垂足分別為C、D、E、F，且AC=AD
求證：BE=BF.
四、課堂小結
三角形三條角平分線交于一點，且這一點到三角形各邊的距離相等．
五．達標測試
一．選擇題（共1小題）
1.一到三角形三邊距離相等的點是（ ）
A.三條中線的交點 B.三條高的交點 C.三條角平分線的交點 D.不能確定
二．填空題（共3小題）
2．在△ABC中，∠C=900, ∠A的平分線交BC于D,BC=21cm,BD:DC=4:3,則D到AB的距離為 .
3．如圖，點P為△ABC三條角平分線交點，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，則PD　 　PE　 　PF．
三．解答題（共3小題）
4．如圖，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是Rt△ABC的角平分線.求證：BD＝2CD.
5.如圖，P是∠AOB平分線上的一點，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別為C，D.求證：
（1）OC＝OD；
（2）OP是CD的垂直平分線.
[
6.如圖，CE⊥AB于點E，BD⊥AC于點D，BD、CE交于點O，且BO=CO．求證：O在∠BAC的角平分線上．
參考答案
達標測試答案：
一．選擇題（共1小題）
1．C．
二．填空題（共2小題）
2．9cm
3．【解析】：∵點P為△ABC三條角平分線交點，PD⊥AB，PE⊥BC，∴PD=PE，同理可得PD=PF，∴PD=PE=PF．答案：=，=．
三．解析題（共3小題）
4.證明：∵∠C=90°,∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
又∵AD是Rt△ABC的角平分線,
∴∠B =∠BAD=∠DAC=30°，
即BD=AD,CD=1/2AD（直角三角形中30°角所對直角邊為斜邊的一半），
∴BD=2CD.
5．證明：（1）∵P是∠AOB平分線上的一點,PC⊥OA,PD⊥OB，
∴∠POC=∠POD，
∵PO=PO，∴△PCO≌△PDO(AAS)，
∴OC=OD，∠CPO=∠DPO，PC=PD；
(2)∵∠CPO=∠DPO，PC=PD，
∴△PCD是等腰三角形，
∴PO⊥CD,PO平分CD（等腰三角形三線合一），
∴OP是CD的垂直平分線.
6．證明： ∵CE相交BD于O，
∴∠BOE=∠COD，
又∵BD⊥AC,CE⊥AB，∴∠B=∠C，
∵BO=CO，∴△COD≌△BOE，
∴DO=EO，
依題BD⊥AC,CE⊥AB，
由角平分線定理的逆定理得O在∠BAC的角平分線上.
A
B
C
4

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