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第四章 因式分解
1 因式分解
【學習目標】
1、經歷從分解因數到分解因式的類比過程．
2、了解因式分解的意義，以及它與整式乘法的相互關系．
3、感受因式分解在解決相關問題中的作用．
【學習策略】
讓學生經歷從分解因數到分解因式的過程，讓學生體會數學思想——類比思想，讓學生了解分解因式與整式的乘法運算之間的互逆關系，感受分解因式在解決相關問題中的作用．
【學習過程】
一、情境導入：
計算(a＋b)(a－b)＝a2－b2．
這是大家學過的平方差公式，我們是在整式乘法中學習的．從式子(a＋b)(a－b)＝a2－b2中看，由等號左邊可以推出等號右邊，那么從等號右邊能否推出等號左邊呢？即a2－b2＝(a＋b)(a－b)是否成立呢？
a2－b2＝(a＋b)(a－b)是成立的，那么如何去推導呢？這就是我們即將學習的內容：因式分解的問題．
二.新課學習：
1．討論993－99能被100整除嗎？你是怎樣想的？與同伴交流．
93－99能被100整除．
因為993－99＝99×992－99＝99×(992－1)＝99×9800＝99×98×100，
其中有一個因數為100，
所以993－99能被100整除．
993－99還能被哪些正整數整除？（99，98，980，990，9702）
從上面的推導過程看，等號左邊是一個數，而等號右邊是變成了幾個數的積的形式．
2．議一議
你能嘗試把a3－a化成n個整式的乘積的形式嗎？與同伴交流．
大家可以觀察a3－a與993－99這兩個代數式．
a3－a＝a(a2－1)＝a(a－1)(a＋1)
3．做一做
（1）計算下列各式：
①(m＋4)(m－4)＝__________；
②(y－3)2＝__________；
③3x(x－1)＝__________；
④m(a＋b＋c)＝__________；
⑤a(a＋1)(a－1)＝__________．
（2）根據上面的算式填空：
①3x2－3x＝(　　)(　　)；
②m2－16＝(　　)(　　)；
③ma＋mb＋mc＝(　　)(　　)；
④y2－6y＋9＝(　　)2．
⑤a3－a＝(　　)(　　).．
能分析一下兩個題中的形式變換嗎？
在（1）中我們知道從左邊推右邊是整式乘法；在（2）中從左邊推右邊是分解因式.
結論：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解．
三、嘗試應用
1.下列變形是因式分解嗎？為什么？
（1）a+b=b+a （2）4x2y–8xy2+1=4xy(x–y)+1
（3）a(a–b)=a2–ab （4）a2–2ab+b2=(a–b)2
2.下列各式從左到右的變形是分解因式的是（ ）.
A．a（a－b）＝a2－ab； B．a2－2a＋1＝a（a－2）＋1
C．x2－x＝x（x－1）； D．x2－＝（x＋）（x－）
3.連一連：
a2－1 (a+1)(a－1)
a2+6a+9 (3a+1)(3a－1)
a2－4a+4 a(a－b)
9a2－1 (a+3)2
a2－ab (a－2)2
四、課堂小結
（1）分解因式與整式的乘法是一種互逆關系；
（2）分解因式的結果要以積的形式表示；
（3）每個因式必須是整式，且每個因式的次數都必須低于原來的多項式的次數；
（4）必須分解到每個多項式不能再分解為止．
五.達標測試
一．選擇題（共3小題）
1．下列由左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是（　　）
A．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y） B．（x+2）（x+3）=x2+5x+6
C．x2+3x+5=x（x+3）+5 D．m2﹣n2+2=（m+n）（m﹣n）+2
2．對于算式20132﹣2013，說法不正確的是（　　）
A．能被2013整除 B．既能被2012整除又能被2013整除
C．能被2012整除 D．能被8整除
3．下列從左到右的變形：①5x2y=5yx2；②（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；③a2﹣2a+1=（a﹣1）2；④x2+3x=x（x+3），其中是因式分解的個數是（　?。?br/>A．0個 B．1個 C．2個 D．3個　
二．填空題（共3小題）
4．（x+3）（2x﹣1）是多項式　 　因式分解的結果．
5．當k=　 　時，二次三項式x2﹣kx+12分解因式的結果是（x﹣4）（x﹣3）．
6．如圖，由一個邊長為a的小正方形與兩個長、寬分別為a、b的小矩形拼接成矩形ABCD，則整個圖形可表達出一些有關多項式分解因式的等式，請你寫出其中任意三個等式：　 ?。?br/>三．解答題（共3小題）
7．兩位同學將一個二次三項式分解因式，一位同學因看錯了一次項系數而分解成2（x﹣1）（x﹣9），另一位同學因看錯了常數項而分解成2（x﹣2）（x﹣4），請將原多項式分解因式．
8．將下面相對應的因式分解用線連起來．
9．閱讀理解題：我們知道因式分解與整式乘法是互逆的關系，那么逆用乘法公式（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，
即x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）是否可以分解因式呢？當然可以，而且也很簡單．
如：（1）x2+4x+3=x2+（1+3）x+1×3=（x+1）（x+3）；
（2）x2﹣4x﹣5=x2+（1﹣5）x+1×（﹣5）=（x+1）（x﹣5）．
請你仿照上述方法，把多項式分解因式：x2﹣7x﹣18．
參考答案
達標測試答案：
一．選擇題
1．【解析】選A．A、是因式分解，故本選項正確；B、不是因式分解，故本選項錯誤；
C、不是因式分解，故本選項錯誤；D、不是因式分解，故本選項錯誤；
2．【解析】選D．20132﹣2013=2013×（2013﹣1）=2013×2012，則結果能被2013及2012整除，不能被8整除．
3．【解析】選C．：③a2﹣2a+1=（a﹣1）2；④x2+3x=x（x+3）是因式分解，
二．填空題
4．【解析】：（x+3）（2x﹣1）=2x2+5x﹣3，
5．【解析】：∵（x﹣4）（x﹣3）=x2﹣7x+12，∴﹣k=﹣7，k=7．
6．【解析】：把圖形分割成一個正方形，兩個長方形計算面積，則有：a2+2ab=a（a+2b）；
把圖形分割成兩個長方形，一邊長分別是a+b，b，寬都是a，則有：a（a+b）+ab=a（a+2b）；
用整個圖形的面積減去一個邊長為a，a+b的長方形，得到另外一個長方形，邊長是a，b，即：a（a+2b）﹣a（a+b）=ab．
三．解析題（共3小題）
7．解：設原多項式為ax2+bx+c（其中a、b、c均為常數，且abc≠0）．
∵2（x﹣1）（x﹣9）=2（x2﹣10x+9）=2x2﹣20x+18，
∴a=2，c=18；
又∵2（x﹣2）（x﹣4）=2（x2﹣6x+8）=2x2﹣12x+16，
∴b=﹣12．
∴原多項式為2x2﹣12x+18，將它分解因式，得
2x2﹣12x+18=2（x2﹣6x+9）=2（x﹣3）2．
8．解：（1）a2﹣1=（a+1）（a﹣1）；
（2）a2+6a+9=（a+3）2；
（3）a2﹣4a+4=（a﹣2）2；
（4）4a2﹣1=（2a+1）（2a﹣1）；
（5）a2﹣ab=a（a﹣b）．
9．【解析】：x2﹣7x﹣18=x2+（﹣9+2）x+（﹣9）×2=（x﹣9）（x+2）．
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