資源簡介

3 公式法
第1課時
【學習目標】
（1）了解運用公式法分解因式的意義；
（2）會用平方差公式進行因式分解；
（3）了解提公因式法是分解因式，首先考慮方法，再考慮用平方差公式分解因式．
（4）在引導學生逆用乘法公式的過程中，發展學生的觀察能力培養學生逆向思維的意識，同時讓學生了解換元的思想方法．
【學習策略】
讓學生經歷通過整式乘法的平方差公式的逆向運用得出因式分解的平方差公式的過程，發展學生的觀察能力和逆向思維能力，讓學生進一步了解分解因式與整式的乘法運算之間的互逆關系．
【學習過程】
一、情境導入：
1.填空：
（1）（x+3）（x–3） = ；
（2）（4x+y）（4x–y）= ；
（3）（1+2x）（1–2x）= ；
（4）（3m+2n）（3m–2n）= ．
2.根據上面式子填空：
（1）9m2–4n2= ；
（2）16x2–y2= ；
（3）x2–9= ；
（4）1–4x2= ．
二.新課學習：
觀察上述第二組式子的左邊有什么共同特征？把它們寫成乘積形式以后又有什么共同特征？
結論：a2–b2=（a+b）（a–b）
［例1］把下列各式分解因式：
（1）25－16x2;
（2）9a2－b2.
解：（1）25－16x2=52－（4x）2
=（5+4x）（5－4x）;
（2）9a2－ b2=（3a）2－（b）2
=（3a+b）（3a－b）.
［例2］把下列各式分解因式:
（1）9（m+n）2－（m－n）2;
（2）2x3－8x.
解：（1）9（m +n）2－（m－n）2
=［3（m +n）］2－（m－n）2
=［3（m +n）+（m－n）］［3（m +n）－（m－n）］
=（3 m +3n+ m－n）（3 m +3n－m +n）
=（4 m +2n）（2 m +4n）
=4（2 m +n）（m +2n）
（2）2x3－8x=2x（x2－4）
=2x（x+2）（x－2）
三.嘗試應用：
1、判斷正誤：
（1）x2+y2=（x+y）(x–y) ( )
（2）–x2+y2=–（x+y）(x–y) ( )
（3）x2–y2=（x+y）(x–y) ( )
（4）–x2–y2=–（x+y）(x–y) ( )
2、把下列各式因式分解：
（1）4–m2 （2）9m2–4n2
（3）a2b2－m2 （4）(m－a)2－(n＋b)2
（5）–16x4＋81y4 （6）3x3y–12xy
3、如圖，在一塊邊長為a的正方形紙片的四角，各剪去一個邊長為b的正方形．用a 與b表示剩余部分的面積，并求當a=3.6，b=0.8時的面積．
四.達標測試
一．選擇題（共3小題）
1．多項式x2﹣4分解因式的結果是（　　）
A．（x+2）（x﹣2） B．（x﹣2）2 C．（x+4）（x﹣4） D．x（x﹣4）
2．下列多項式中能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．a2+（﹣b）2 B．5m2﹣20mn C．﹣x2﹣y2 D．﹣x2+9
3．若a+b=3，a﹣b=7，則b2﹣a2的值為（　　）
A．﹣21 B．21 C．﹣10 D．10
二．填空題（共3小題）
4．分解因式：9﹣b2=　 　．
5．分解因式：（2a+b）2﹣（a+2b）2=　 　．
6．已知a2﹣b2=5，a+b=﹣2，那么代數式a﹣b的值　 　．
三．解答題（共3小題）
7．因式分解：25（m+n）2﹣（m﹣n）2．
8.分解因式：（x+5）2﹣4．
9.已知：A=4x+y，B=4x﹣y，計算A2﹣B2．3 公式法
第2課時 用完全平方公式因式分解
【學習目標】
（1）會用完全平方公式進行因式分解；
（2）清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考慮的方法，再考慮用平方差公式或完全平方公式進行分解因式．
（3）通過觀察，推導分解因式與整式乘法的關系，感受事物間的因果聯系．
【學習策略】
整式乘法中的完全平方公式從左到右轉換為從右到左就形成因式分解的完全平方公式，這樣的轉換正是由正向思維轉到逆向思維的體現．
【學習過程】
一、復習回顧
填空：
（1）（a+b）（a-b） = ；
（2）（a+b）2= ；
（3）（a–b）2= ；
根據上面式子填空：
（1）a2–b2= ；
（2）a2–2ab+b2= ；
（3）a2+2ab+b2= ；
結 論：形如a2+2ab+b2 與a2–2ab+b2的式子稱為完全平方式．
二.新課學習：
觀察下列哪些式子是完全平方式？如果是，請將它們進行因式分解．
（1）x2–4y2 （2）x2+4xy–4y2 （3）4m2–6mn+9n2 （4）m2+6mn+9n2
結論：找完全平方式可以緊扣下列口訣：首平方、尾平方，首尾相乘兩倍在中央；
用完全平方公式可以進行因式分解，
a2–2ab+b2=（a–b）2 a2+2ab+b2=（a+b）2
例題講解
［例1］把下列完全平方式分解因式：
（1）x2+14x+49; （2）（m+n）2－6（m +n）+9.
先把多項式化成符合完全平方公式特點的形式，然后再根據公式分解因式.公式中的a,b可以是單項式，也可以是多項式.
［例2］把下列各式分解因式：
（1）3ax2+6axy+3ay2; （2）－x2－4y2+4xy.
一個三項式，如果發現它不能直接用完全平方公式分解時，要仔細觀察它是否有公因式，若有公因式應先提取公因式，再考慮用完全平方公式分解因式.
如果三項中有兩項能寫成兩數或式的平方，但符號不是“+”號時，可以先提取“－”號，然后再用完全平方公式分解因式.
三.嘗試應用：
1．下列多項式能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．m2－mn+n2 B．（a+b）2－4ab C．x2－2x+ D．x2+2x－1
2．若a+b=4，則a2+2ab+b2的值是（ ）
A．8 B．16 C．2 D．4
3．下列各式不是完全平方式的是（ ）
A．x2+4x+1 B．x2－2xy+y2 C．x2y2+2xy+1 D．m2－mn+n2
4.如果x2+6x+k 是一個完全平方式，那么k的值是__________；
5.把下列各式因式分解：
（1）x2–4x+4 （2）9a2+6ab+b2 （3）m2–
（4）3ax2+6axy+3ay2 （5）–x2–4y2+4xy
四、課堂小結
多項式同時具備條件：①含字母a和b；②三項式；③可提公因式后，再用公式法分解.
五.達標測試
一．選擇題（共6小題）
1．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（　　）
A．x2+x+1 B．x2+2x+1 C．x2+2x﹣1 D．x2﹣2x﹣1
2．下列代數式變形正確的是（　　）
A．﹣a+b=（a+b） B．﹣4a2+b2=（2a﹣b）（2a+b）
C．（﹣x﹣y）2=（x+y）2 D．x2﹣4x﹣3=（x﹣2）2﹣3
3．若多項式x2+2ax+4能用完全平方公式進行因式分解，則a值為（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．±4　
二．填空題（共6小題）
4.分解因式：4a2﹣4a+1=　 　．
5.．若多項式x2﹣2（m﹣3）x+16能用完全平方公式進行因式分解，則m的值應為　 　．
6.分解因式：（a+b）2﹣12（a+b）+36=　 　．　
三．解答題（共6小題）
7．分解因式：ax2﹣2ax+a．
8．已知x﹣y=﹣1，xy=3，求x3y﹣2x2y2+xy3的值．
9.（1）實驗與觀察：（用“＞”、“=”或“＜”填空）
當x=﹣5時，代數式x2﹣2x+2　 　1；
當x=1時，代數式x2﹣2x+2　 　1；…
（2）歸納與證明：換幾個數再試試，你發現了什么？請寫出來并證明它是正確的；
（3）拓展與應用：求代數式a2+b2﹣6a﹣8b+30的最小值．
　
參考答案
達標測試答案：
一．選擇題（共3小題）
1.【解析】選B．A、x2+x+1，無法分解因式，故此選項錯誤；B、x2+2x+1=（x+1）2，故此選項錯誤；C、x2+2x﹣1，無法分解因式，故此選項錯誤；D、x2﹣2x﹣1，無法分解因式，故此選項錯誤；
2.【解析】選C．A、﹣a+b=﹣（a﹣b），故此選項錯誤；B、﹣4a2+b2=（b﹣2a）（2a+b），故此選項錯誤；C、（﹣x﹣y）2=（x+y）2，正確；D、x2﹣4x﹣3=（x﹣2）2﹣7，故此選項錯誤；
3.【解析】選C．：∵多項式x2+2ax+4能用完全平方公式進行因式分解，∴2a=±4，解得：a=±2．
二．填空題（共3小題）
4.【解析】：4a2﹣4a+1=（2a﹣1）2．
5．【解析】：∵x2﹣2（m﹣3）x+16能用完全平方公式進行因式分解，∴﹣2（m﹣3）=±8，
解得m=﹣1或7．
6.．【解析】解：原式=（a+b﹣6）2．
三．解析題（共3小題）
7.解：ax2﹣2ax+a，
=a（x2﹣2x+1），
=a（x﹣1）2．
8.解：原式=xy（x2﹣2xy+y2）
=xy（x﹣y）2，
把x﹣y=﹣1，xy=3代入得：原式=3．
9.解：（1）把x=﹣5代入x2﹣2x+2，得25+10+2=37＞1；
把x=1代入x2﹣2x+2，得1﹣2+2=1，
答案：＞，=；
（2）∵x2﹣2x+2=x2﹣2x+1+1=（x﹣1）2+1，
X為任何實數時，（x﹣1）2≥0，∴（x﹣1）2+1≥1；
（3）a2+b2﹣6a﹣8b+30=（a﹣3）2+（b﹣4）2+5．
∵（a﹣3）2≥0，（b﹣4）2≥0，
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+5≥5，
∴代數式a2+b2﹣6a﹣8b+30的最小值是5．
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