資源簡介

7.1.2全概率公式
一．新課
1.例引：銀行儲蓄卡的密碼由6位數字組成.某人在銀行自助取款機上取錢時，忘記了密碼的最后1位數字，求：（1）任意按最后1位數字，不超過2次就按對的概率；
（2）如果記得密碼的最后1位是偶數，不超過2次就按對的概率.
2.全概率公式
3.貝葉斯公式*
二.基本知能小試
1．判斷正誤
(1)應用全概率公式時，各個事件并不一定互斥．(　　)
(2)若P(A)>0，P()>0，則P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)．(　　)
三．題型總結
題型一:全概率公式的應用
例1：某公司有三個制造廠，全部產品的40%由甲廠生產，45%由乙廠生產，15%由丙廠生產，而甲、乙、丙三廠生產的不合格品率分別為1%,2%,3%.求從該公司產品中隨機抽出一件產品為不合格品的概率．
練習1. 某學校有A，B兩家餐廳，王同學第1天午餐時隨機地選擇一家餐廳用餐.如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.6；如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.8.計算王同學第2天去A餐廳用餐的概率.
練習2.甲、乙、丙三家公司生產同一種產品，已知三家公司的市場占有率如圖所示，且三家公司產品的次品率分別為2%,1%和3%.則任取一件產品，
求它是次品的概率為______
練習3.某工廠有兩個車間生產同型號家用電器，第一車間的次品率為0.15，第二車間的次品率為0.12，兩個車間的成品都混合堆放在一個倉庫，假設第一、二車間生產的成品比例為2∶3，今有一客戶從成品倉庫中隨機提一臺成品，則該產品合格的概率為________．
題型二:全概率公式和貝葉斯公式的應用
例2.有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起.已知第1，2，3臺車床加工的零件數分別占總數的25%，30%，45%.（1）任取一個零件，計算它是次品的概率；
（2）如果取到的零件是次品，計算它是第第i (i =1，2，3）臺車床加工的概率.
練習4.張宇去某地參加會議，他乘高鐵、汽車、飛機去的概率分別為0.5,0.3,0.2.他乘高鐵、汽車、飛機前往遲到的概率分別為，，，乘其他交通工具前往遲到的概率不變．若他遲到了，求他乘的是高鐵的概率．
五．課后作業
1．甲、乙、丙三個車間生產同一種產品，其產量分別占總量的25%,35%,40%，次品率分別為5%,4%,2%. 從這批產品中任取一件，則它是次品的概率為(　　)
A．0.012 3　　　　　　　　 B．0.023 4
C．0.034 5 D．0.045 6
2．盒中有2個紅球，3個黑球，今隨機地從中取出一個，觀察其顏色后放回，并加上同色球2個，再從盒中第二次抽取一球，則第二次抽出的是黑球的概率為(　　)
A. B.
C. D.
3．某射擊小組共有20名射手，其中一級射手4人，二級射手8人，三級射手8人；一、二、三級射手能通過選拔進入比賽的概率分別是0.9,0.7,0.4.則任選一名射手能通過選拔進入比賽的概率為(　　)A．0.62 B．0.48 C．0.5 D．0.4
4．從有10個紅球和10個黑球的袋子中，每次隨機摸出1個球，摸出不再放回，第1次摸到紅球的概率為，那么第2次摸到紅球的概率為________．
5.現有12道四選一的單選題，學生張君對其中9道題有思路，3道題完全沒有思路.有思路的題做對的概率為0.9，沒有思路的題只好任意猜一個答案，猜對答案的概率為0.25.張君從這12道題中隨機選擇1題，求他做對該題的概率為___________
6. 兩批同種規格的產品，第一批占40%，次品率為5%；第二批占60%，次品率為4%.將兩批產品混合，從混合產品中任取1件.
（1）求這件產品是合格品的概率；（2）已知取到的是合格品，求它取自第一批產品的概率.
.
7.(多選)甲罐中有3個紅球、2個黑球,乙罐中有2個紅球、2個黑球,先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐,以A表示事件“從甲罐取出的球是紅球”,再從乙罐中隨機取出一球,以B表示事件“從乙罐取出的球是紅球”,則 ( )
A.P(A)= B.P(B|A)= C.P(B)= D.P(A|B)=
8．甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球， 乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球(球除顏色外，大小質地均相同)．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以和表示由甲罐中取出的球是紅球、白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是紅球的事件．下列結論正確的個數是（ ）
①事件與相互獨立； ②，，是兩兩互斥的事件； ③；
④； ⑤
A．5 B．4 C．3 D．2
9．《書》P52習題7.1 T3，4，5，7，8，9，10，11，12，13，147.1.2全概率公式
一．新課
1引例. 銀行儲蓄卡的密碼由6位數字組成.某人在銀行自助取款機上取錢時，忘記了密碼的最后1位數字，求：
（1）任意按最后1位數字，不超過2次就按對的概率；
（2）如果記得密碼的最后1位是偶數，不超過2次就按對的概率.
分析：最后1位密碼“不超過2次就按對”等價于“第1次按對，或者第1次按錯但第2次按對”.因此，可以先把復雜事件用簡單事件表示，再利用概率的性質求解.
解：（1）設“第i次按對密碼”（，2），則事件“不超過2次就按對密碼”可表示為
.
事件與事件互斥，由概率的加法公式及乘法公式，得
.
因此，任意按最后1位數字，不超過2次就按對的概率為.
（2）設“最后1位密碼為偶數”，則
.
因此，如果記得密碼的最后1位是偶數，不超過2次就按對的概率為.
2.全概率公式
一般地，設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對任意事件B Ω，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai)__________________,則稱該公式為全概率公式．
上述公式可借助圖形來理解：
3.貝葉斯公式：設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對任意的事件B Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝＝，i＝1,2，…，n.
二.基本知能小試
1．判斷正誤
(1)應用全概率公式時，各個事件并不一定互斥．(　　)
(2)若P(A)>0，P()>0，則P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)．(　　)
答案： (1)×　(2)√
三．題型總結
題型一:全概率公式的應用
例1：某公司有三個制造廠，全部產品的40%由甲廠生產，45%由乙廠生產，15%由丙廠生產，而甲、乙、丙三廠生產的不合格品率分別為1%,2%,3%.求從該公司產品中隨機抽出一件產品為不合格品的概率．
[解]　設A1＝“抽到甲廠的產品”，A2＝“抽到乙廠的產品”，A3＝“抽到丙廠的產品”，B＝“抽到不合格品”，
則A1，A2，A3兩兩互斥，且Ω＝A1∪A2∪A3.
于是B＝B(A1∪A2∪A3)＝BA1∪BA2∪BA3.
由題意可知BA1，BA2，BA3兩兩互斥，因而有
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)．
又P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.45，P(A3)＝0.15，
P(B|A1)＝0.01，P(B|A2)＝0.02，P(B|A3)＝0.03，
所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝0.4×0.01＋0.45×0.02＋0.15×0.03＝0.017 5
[方法技巧]
全概率公式針對的是某一個過程中已知條件求出最后結果的概率，解題步驟如下：
(1)找出條件事件里的某一個完備事件組，分別命名為Ai；
(2)命名目標的概率事件為事件B；
(3)代入全概率公式求解．
練習1. 某學校有A，B兩家餐廳，王同學第1天午餐時隨機地選擇一家餐廳用餐.如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.6；如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.8.計算王同學第2天去A餐廳用餐的概率.
解：設“第1天去A餐廳用餐”，“第1天去B餐廳用餐”，“第2天去A餐廳用餐”，則.，且與互斥，根據題意得
，，.
由全概率公式，得
.
因此，王同學第2天去A餐廳用餐的概率為0.7.
練習2.甲、乙、丙三家公司生產同一種產品，已知三家公司的市場占有率如圖所示，且三家公司產品的次品率分別為2%,1%和3%.則任取一件產品，
求它是次品的概率為______
解析：設B＝“任取一家公司生產的產品為次品”，Ai＝“產品為第i家公司生產的”(i＝甲、乙、丙)，
則Ω＝A甲∪A乙∪A丙且A甲，A乙，A丙兩兩互斥，根據題意得P(A甲)＝0.5，P(A乙)＝0.25，P(A丙)＝0.25，由全概率公式得P(B)＝P(A甲)P(B|A甲)＋P(A乙)·P(B|A乙)＋P(A丙)P(B|A丙)＝0.5×0.02＋0.25×0.01＋0.25×0.03＝0.02.
答案：0.02
練習3.某工廠有兩個車間生產同型號家用電器，第一車間的次品率為0.15，第二車間的次品率為0.12，兩個車間的成品都混合堆放在一個倉庫，假設第一、二車間生產的成品比例為2∶3，今有一客戶從成品倉庫中隨機提一臺成品，則該產品合格的概率為________．
解析：設B＝{從倉庫中隨機提出的一臺是合格品}，
Ai＝{提出的一臺是第i車間生產的}，i＝1,2，
則有B＝A1B∪A2B，由題意知
P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.6，P(B|A1)＝0.85，
P(B|A2)＝0.88，
由全概率公式得
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)
＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868.
答案：0.868
例2.有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起.已知第1，2，3臺車床加工的零件數分別占總數的25%，30%，45%.
（1）任取一個零件，計算它是次品的概率；
（2）如果取到的零件是次品，計算它是第第i (i =1，2，3）臺車床加工的概率.
分析：取到的零件可能來自第1臺車床，也可能來自第2臺或第3臺車床，有3種可能.如果設“任取一零件為次品”，“零件為第i臺車床加工”（，2，3），如圖7.1-3，那么可將事件B表示為3個兩兩互斥事件的并，利用全概率公式可以計算出事件B的概率.
圖7.1-3
解：設“任取一個零件為次品”，“零件為第i臺車床加工”（，2，3），則，且，，兩兩互斥.根據題意得
，，，
，.
（1）由全概率公式，替
.
（2）“如果取到的零件是次品，計算它是第i（，2，3）合車床加工的概率”，就是計算在B發生的條件下，事件發生的概率.
.
類似地，可得
，.
練習4.張宇去某地參加會議，他乘高鐵、汽車、飛機去的概率分別為0.5,0.3,0.2.他乘高鐵、汽車、飛機前往遲到的概率分別為，，，乘其他交通工具前往遲到的概率不變．若他遲到了，求他乘的是高鐵的概率．
[解]　設B＝“遲到”，A1＝“乘高鐵”，A2＝“乘汽車”，A3＝“乘飛機”．
根據題意，有
P(A1)＝0.5，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.2，
P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝.
由貝葉斯公式，有
P(A1|B)＝
＝
＝.
因此，張宇乘的是高鐵的概率為.
五．課后作業
1．甲、乙、丙三個車間生產同一種產品，其產量分別占總量的25%,35%,40%，次品率分別為5%,4%,2%. 從這批產品中任取一件，則它是次品的概率為(　　)
A．0.012 3　　　　　　　　 B．0.023 4
C．0.034 5 D．0.045 6
解析：選C　本題為簡單的全概率公式的應用，從這批產品中任取一件，則它是次品的概率為0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.034 5.
2．盒中有2個紅球，3個黑球，今隨機地從中取出一個，觀察其顏色后放回，并加上同色球2個，再從盒中第二次抽取一球，則第二次抽出的是黑球的概率為(　　)
A. B.
C. D.
解析：選A　設A＝“第一次抽出的是黑球”，B＝“第二次抽出的是黑球”，則B＝AB＋B.
由題意P(A)＝＝，P(B|A)＝＝，
P()＝＝，P(B|)＝＝，
所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)
＝×＋×＝.
3．某射擊小組共有20名射手，其中一級射手4人，二級射手8人，三級射手8人；一、二、三級射手能通過選拔進入比賽的概率分別是0.9,0.7,0.4.則任選一名射手能通過選拔進入比賽的概率為(　　)
A．0.62 B．0.48
C．0.5 D．0.4
解析：選A　設A1為進入比賽的一級射手，A2為進入比賽的二級射手，A3為進入比賽的三級射手，則P(A1)＝0.2，P(A2)＝0.4，P(A3)＝0.4且A1，A2，A3兩兩互斥，B＝“任取一名射手進入比賽”，則P(B)＝0.2×0.9＋0.4×0.7＋0.4×0.4＝0.62.
4．從有10個紅球和10個黑球的袋子中，每次隨機摸出1個球，摸出不再放回，第1次摸到紅球的概率為，那么第2次摸到紅球的概率為________．
解析：由全概率公式可求得第2次摸到紅球的概率為.答案：
5.現有12道四選一的單選題，學生張君對其中9道題有思路，3道題完全沒有思路.有思路的題做對的概率為0.9，沒有思路的題只好任意猜一個答案，猜對答案的概率為0.25.張君從這12道題中隨機選擇1題，求他做對該題的概率為___________
【答案】
【解析】
【分析】記事件張君選擇的是有思路的題，記事件答對該題，利用全概率公式可求得所求事件的概率.
【詳解】記事件張君選擇的是有思路的題，記事件答對該題，
則，，，，
由全概率公式可得
6. 兩批同種規格的產品，第一批占40%，次品率為5%；第二批占60%，次品率為4%.將兩批產品混合，從混合產品中任取1件.
（1）求這件產品是合格品的概率；
（2）已知取到的是合格品，求它取自第一批產品的概率.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）直接求解即可；
（2）根據條件概率公式計算即可.
【詳解】（1）求這件產品是合格品的概率為
（2）設{取到的是合格品}，{產品來自第批}，
則，
則，
根據公式得：
.
7.(多選)甲罐中有3個紅球、2個黑球,乙罐中有2個紅球、2個黑球,先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐,以A表示事件“從甲罐取出的球是紅球”,再從乙罐中隨機取出一球,以B表示事件“從乙罐取出的球是紅球”,則 ( )
A.P(A)= B.P(B|A)= C.P(B)= D.P(A|B)=
【答案】ACD
8．甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球， 乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球(球除顏色外，大小質地均相同)．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以和表示由甲罐中取出的球是紅球、白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是紅球的事件．下列結論正確的個數是（ ）
①事件與相互獨立； ②，，是兩兩互斥的事件； ③；
④； ⑤
A．5 B．4 C．3 D．2
【詳解】顯然，，，是兩兩互斥的事件，且
，，而，①錯誤，②正確；
，，所以，③正確；
④正確；
，⑤錯誤，綜上：結論正確個數為3.故選：C
.
9．《書》P52習題7.1 T3，4，5，7- 14
T8. 甲、乙兩人同時向一目標射擊，已知甲命中目標的概率為0.6，乙命中目標的概率為0.5.已知目標至少被命中1次，求甲命中目標的概率.
【答案】0.75
【解析】
【分析】先求目標至少被命中1次的概率，然后根據條件概率公式即可求得.
【詳解】由題意可得，目標至少被命中1次的概率為，
又因為甲命中目標的概率為，
所以目標至少被命中1次，甲命中目標的概率.
T9. 甲和乙兩個箱子中各裝有10個球，其中甲箱中有5個紅球、5個白球，乙箱中有8個紅球、2個白球.擲一枚質地均勻的骰子，如果點數為1或2，從甲箱子隨機摸出1個球；如果點數為3，4，5，6，從乙箱子中隨機摸出1個球.求摸到紅球的概率.
【答案】
【解析】
【分析】分別計算出從甲箱中摸到紅球的概率和從乙箱中摸到紅球的概率，然后利用概率的加法公式即可.
【詳解】從甲箱中摸紅球：擲到點數為1或2的概率為，再從甲箱中摸到紅球的概率為，
故從甲箱中摸到紅球的概率為；
從乙箱中摸紅球：擲到點數為3，4，5，6的概率為，再從乙箱中摸到紅球的概率為，
故從乙箱中摸到紅球的概率為；
綜上所述：摸到紅球的概率為.
T10. 在、、三個地區爆發了流感，這三個地區分別有、、的人患了流感假設這三個地區的人口數的比為，現從這三個地區中任意選取一個人.
（1）求這個人患流感的概率；
（2）如果此人患流感，求此人選自地區的概率.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用全概率公式可求得所求事件的概率；
（2）利用條件概率公式可求得所求事件的概率.
【詳解】（1）記事件選取的這個人患了流感，記事件此人來自地區，記事件此人來自地區，記事件此人來自地區，
則，且、、彼此互斥，
由題意可得，，，
，，，
由全概率公式可得
；
（2）由條件概率公式可得.
T11. 已知，，，證明：.
【答案】證明見解析.
【解析】
【分析】根據得到，然后利用條件概率公式直接就可證明.
【詳解】因為，，所以，即 ,
所以，即.
綜合運用
T12. 一批產品共有100件，其中5件為不合格品.收貨方從中不放回地隨機抽取產品進行檢驗，并按以下規則判斷是否接受這批產品：如果抽檢的第1件產品不合格，則拒絕整批產品；如果抽檢的第1件產品合格，則再抽1件，如果抽檢的第2件產品合格，則接受整批產品，否則拒絕整批產品.求這批產品被拒絕的概率.
【答案】
【解析】
【分析】先求抽檢第1件產品不合格的概率，再求抽檢的第1件產品合格，第2件產品不合格的概率，兩個概率之和即為所求概率.
【詳解】抽檢第1件產品不合格的概率為，
抽檢的第1件產品合格，第2件產品不合格的概率為，
所以這批產品被拒絕的概率為.
T13. 在孟德爾豌豆試驗中，子二代的基因型為、、，其中為顯性基因，為隱性基因，且這三種基因型的比為.如果在子二代中任意選取顆豌豆作為父本雜交，那么子三代中基因型為的概率是多大？
【答案】
【解析】
【分析】記事件子三代中基因型為，記事件選擇的是、，記事件選擇的是、，記事件選擇的是、，利用全概率公式可求得所求事件的概率.
【詳解】記事件子三代中基因型為，記事件選擇的是、，記事件選擇的是、，記事件選擇的是、，
則，，.
在子二代中任取顆豌豆作為父本雜交，分以下三種情況討論：
①若選擇的是、，則子三代中基因型為的概率為；
②若選擇的是、，則子三代中基因型為的概率為；
③若選擇的是、，則子三代中基因型為的概率為.
綜上所述，
.
因此，子三代中基因型為的概率是.
T14. 證明條件概率的性質（1）和（2）.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【解析】
【分析】結合條件概率的概念和概率的性質進行證明即可.
【詳解】性質（1）：因為，所以；
性質（2）因為和是兩個互斥事件，所以和是兩個互斥事件，
所以
.

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