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5.3.1對數的概念（導學案）
預習探究
知識點1 對數的概念
若ax＝N(a＞0，且a≠1)，則數x叫做以a為底N的對數，a叫做對數的__ __，N叫做__ __，記作x＝_ _
[知識點撥]　對數式logaN可看作一種記號，表示關于x的方程ax＝N(a＞0，且a≠1)的解；也可以看作一種運算，即已知底為a(a＞0，且a≠1)，冪為N，求冪指數的運算，因此，對數式logaN又可看作冪運算的逆運算．
知識點2．常用對數和自然對數
(1)常用對數：通常我們將以_ _為底的對數叫做常用對數，并把log10N記為__ _.
(2)自然對數：在科學技術中常使用以無理數e＝2.71828…為底數的對數，以e為底的對數稱為自然對數，并把logeN記為__ _.
知識點3．對數與指數的關系
當a＞0，且a≠1時，ax＝N x＝__ __.
知識點4．對數的基本性質
(1)__ __和__ __沒有對數．
(2)loga1＝_ __(a＞0，且a≠1)．
(3)logaa＝__ __(a＞0，且a≠1)．
考點類析
題型一 指數式與對數式的互化
例1 完成以下指數式、對數式的互化.
(1)log5＝－1；(2) 16＝－4；(3)log125＝6；
(4)26＝64； (5)10－3＝0.001； (6)()－3＝8.
【思路分析】　先判斷出是指數式還是對數式，再利用指對數的關系轉化求解．
【歸納提升】　對數式logaN＝b是由指數式ab＝N變化得來的，兩式底數相同，對數式中的真數N就是指數式中的冪的值，而對數值b是指數式中的冪指數，對數式與指數式的關系如圖：
并非所有指數式都可以直接化為對數式．如(－3)2＝9就不能直接寫成log(－3)9＝2，只有a＞0且a≠1，N＞0時，才有ax＝N x＝logaN.
【變式】將下列指數式化為對數式，對數式化為指數式：
(1)42＝16；(2)102＝100；(3)4＝2；(4)32＝－5.
題型二　 對數定義與性質的應用
例2 求下列各式中的x：
(1)log3(log2x)＝0；　　　(2)log3(log7x)＝1；(3)lg(lnx)＝1；(4)lg(lnx)＝0.
【思路分析】　利用指數式與對數式的互化進行解答．
【歸納提升】　對數性質在計算中的應用
(1)對數運算時的常用性質：logaa＝1，loga1＝0.
(2)使用對數的性質時，有時需要將底數或真數進行變形后才能運用；對于多重對數符號的，可以先把內層視為整體，逐層使用對數的性質．
【變式】求下列各式中x的值：
(1)x＝16；　　　　(2)log8x＝－； (3)log2(log4x)＝0；　　　　
當堂自測
1．下列說法：
①零和負數沒有對數； ②任何一個指數式都可以化成為對數式；
③以10為底的對數叫做常用對數；④以e為底的對數叫做自然對數．
其中正確命題的個數為（ ）
A．1　　 B．2　　　　C．3　　 D．4
2．logx＝4，則x、y之間的關系正確的是（ ）
A．x4＝　　 B．y＝64x C．y＝3x4　　 D．x＝
3．已知loga2b＝c，則（ ）
A．a2b＝c　 B．a2c＝b　　　　C．bc＝2a　 D．c2a＝b
4．下列指數式與對數式互化不正確的一組是（ ）
A．100＝1與lg1＝0 B．27－＝與log27＝－3
C．log39＝2與32＝9 D．log55＝1與51＝5
5．將下列指數式與對數式互化：
(1)log216＝4；(2)27＝－3；
(3)43＝64；(4)3－2＝.5.3.1對數的概念（導學案）
預習探究
知識點1 對數的概念
若ax＝N(a＞0，且a≠1)，則數x叫做以a為底N的對數，a叫做對數的__底數__，N叫做__真數__，記作x＝__logaN__
[知識點撥]　對數式logaN可看作一種記號，表示關于x的方程ax＝N(a＞0，且a≠1)的解；也可以看作一種運算，即已知底為a(a＞0，且a≠1)，冪為N，求冪指數的運算，因此，對數式logaN又可看作冪運算的逆運算．
知識點2．常用對數和自然對數
(1)常用對數：通常我們將以__10__為底的對數叫做常用對數，并把log10N記為__lgN__.
(2)自然對數：在科學技術中常使用以無理數e＝2.71828…為底數的對數，以e為底的對數稱為自然對數，并把logeN記為__lnN__.
知識點3．對數與指數的關系
當a＞0，且a≠1時，ax＝N x＝__logaN__.
知識點4．對數的基本性質
(1)__零__和__負數__沒有對數．
(2)loga1＝__0__(a＞0，且a≠1)．
(3)logaa＝__1__(a＞0，且a≠1)．
考點類析：
題型一 指數式與對數式的互化
例1 完成以下指數式、對數式的互化.
(1)log5＝－1；(2) 16＝－4；(3)log125＝6；
(4)26＝64； (5)10－3＝0.001； (6)()－3＝8.
【思路分析】　先判斷出是指數式還是對數式，再利用指對數的關系轉化求解．
【解析】　(1)∵log5＝－1，∴5－1＝.(2)∵16＝－4，∴()－4＝16.
(3)∵log125＝6，∴()6＝125.(4)∵26＝64，∴log264＝6.
(5)∵10－3＝0.001，∴lg0.001＝－3.(6)∵()－3＝8，∴8＝－3.
【歸納提升】　對數式logaN＝b是由指數式ab＝N變化得來的，兩式底數相同，對數式中的真數N就是指數式中的冪的值，而對數值b是指數式中的冪指數，對數式與指數式的關系如圖：
并非所有指數式都可以直接化為對數式．如(－3)2＝9就不能直接寫成log(－3)9＝2，只有a＞0且a≠1，N＞0時，才有ax＝N x＝logaN.
【變式】將下列指數式化為對數式，對數式化為指數式：
(1)42＝16；(2)102＝100；(3)4＝2；(4)32＝－5.
[分析]　按照指數式與對數式的關系轉化，冪底數對應對數底數，指數對應對數，冪對應真數．
【解析】　(1)log416＝2.(2)lg100＝2.(3)log42＝.(4)()－5＝32.
題型二　 對數定義與性質的應用
例2 求下列各式中的x：
(1)log3(log2x)＝0；　　　(2)log3(log7x)＝1；(3)lg(lnx)＝1；(4)lg(lnx)＝0.
【思路分析】　利用指數式與對數式的互化進行解答．
【解析】　(1)由log3(log2x)＝0得log2x＝1，∴x＝2；
(2)log3(log7x)＝1，log7x＝31＝3，∴x＝73＝343；
(3)lg(lnx)＝1，lnx＝10，∴x＝e10；
(4)lg(lnx)＝0，lnx＝1，∴x＝e.
【歸納提升】　對數性質在計算中的應用
(1)對數運算時的常用性質：logaa＝1，loga1＝0.
(2)使用對數的性質時，有時需要將底數或真數進行變形后才能運用；對于多重對數符號的，可以先把內層視為整體，逐層使用對數的性質．
【變式】求下列各式中x的值：
(1)x＝16；　　　　(2)log8x＝－； (3)log2(log4x)＝0；　　　　
【解析】　(1)∵x＝16，∴()x＝16，即2－x＝24.∴－x＝4，即x＝－4.
(2)∵log8x＝－，∴x＝8－＝＝.
(3)∵log2(log4x)＝0，∴log4x＝1，∴x＝4.
當堂自測
1．下列說法：
①零和負數沒有對數； ②任何一個指數式都可以化成為對數式；
③以10為底的對數叫做常用對數；④以e為底的對數叫做自然對數．
其中正確命題的個數為（ C ）
A．1　　 B．2　　　　C．3　　 D．4
【解析】　①正確；②當底數小于0的指數式不可以化成對數式；③④叫法正確，故選C．
2．logx＝4，則x、y之間的關系正確的是（ A ）
A．x4＝　　 B．y＝64x C．y＝3x4　　 D．x＝
3．已知loga2b＝c，則（ B ）
A．a2b＝c　 B．a2c＝b　　　　C．bc＝2a　 D．c2a＝b
4．下列指數式與對數式互化不正確的一組是（ B ）
A．100＝1與lg1＝0 B．27－＝與log27＝－3
C．log39＝2與32＝9 D．log55＝1與51＝5
【解析】　對B選項27－＝化為對數式為log27＝－.
5．將下列指數式與對數式互化：
(1)log216＝4；(2)27＝－3；
(3)43＝64；(4)3－2＝.
【解析】　(1)∵log216＝4，∴24＝16；
(2)∵27＝－3，∴()－3＝27；
(3)43＝64，∴log464＝3；(4)∵3－2＝，∴log3＝－2.

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