資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
8.2圓錐曲線的概念與性質(zhì)
【備考指南】 2
【知識導圖】 3
【考點梳理】 8
考點一：橢圓的定義與方程 8
考點二：橢圓的離心率 15
考點三：雙曲線的定義與方程 20
考點四：雙曲線的漸近線 25
考點五：雙曲線的離心率 33
考點六：拋物線的定義與方程 40
【真題在線】 46
【專項突破】 62
考點 考情分析 考頻
橢圓 2023年新高考Ⅱ卷T5 2023年全國甲卷T7 2022年新高考Ⅰ卷T16 2022年新高考Ⅱ卷T16 2022年全國甲卷T10 2021年新高考Ⅰ卷T5 2021年全國甲卷T15 2021年全國乙卷T11 3年8考
雙曲線 2023年新高考Ⅰ卷T16 2023年新高考Ⅱ卷T21 2023年全國乙卷T11 2022年全國甲卷T14 2022年全國乙卷T11 2021年新高考Ⅱ卷T13 2021年全國甲卷T5 2021年全國乙卷T13 3年8考
拋物線 2023年新高考Ⅱ卷T10 2023年全國甲卷T20 2022年新高考Ⅰ卷T11 2022年新高考Ⅱ卷T10 2022年全國乙卷T5 2021年新高考Ⅰ卷T14 2021年新高考Ⅱ卷T3 3年7考
直線與圓錐曲線位置關系 2023年新高考Ⅰ卷T22 2023年新高考Ⅱ卷T21 2022年新高考Ⅰ卷T21 2022年新高考Ⅱ卷T21 2022年全國甲卷T20 2022年全國乙卷T20 2021年新高考Ⅰ卷T21 2021年新高考Ⅱ卷T20 2021年全國甲卷T20 2021年全國乙卷T21 3年10考
預測：圓錐曲線為高考必考點，通常考察2-3個小題，考察難度易、中、難都有可能出現(xiàn)，在解答題的考查中，一般情況第一問相對較易，第二問的計算量增加，難度相對較大.建議在進行復習時，全面掌握好基礎知識，同時也要加強學生計算能力的鍛煉，加強邏輯思維能力的鍛煉，正確的理解題意，合理的進行轉化.
考點一：橢圓的定義與方程
【典例精析】（多選）（2024·廣東·三模）已知橢圓的長軸端點分別為 兩個焦點分別為是上任意一點，則（ ）
A．的離心率為 B．的周長為
C．面積的最大值為 D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，求出其長短半軸長及半焦距，再逐項計算判斷得解.
【詳解】橢圓的長半軸長，短半軸長，半焦距，
對于A，的離心率為，A正確；
對于B，的周長為，B正確；
對于C，，設，，
則面積的最大值為，C錯誤；
對于D，，，，
因此，D正確.
故選：ABD

【變式訓練】
一、單選題
1．（2024·安徽池州·二模）已知圓和兩點為圓所在平面內(nèi)的動點，記以為直徑的圓為圓，以為直徑的圓為圓，則下列說法一定正確的是（ ）
A．若圓與圓內(nèi)切，則圓與圓內(nèi)切
B．若圓與圓外切，則圓與圓外切
C．若，且圓與圓內(nèi)切，則點的軌跡為橢圓
D．若，且圓與圓外切，則點的軌跡為雙曲線
2．（23-24高二上·江蘇南通·期中）已知橢圓C：的左焦點為F，P為C上一動點，定點，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·河南周口·模擬預測）已知分別為橢圓的左、右焦點，P為橢圓上任意一點（不在x軸上），外接圓的半徑為R，內(nèi)切圓的圓心為I，半徑為r，直線PI交x軸于點M，G為的重心，O為坐標原點，則下列說法正確的是（ ）
A．r為定值 B．
C．的最大值為 D．直線IG的傾斜角不變
4．（2024·山西呂梁·一模）畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓的兩條切線互相垂直，則兩切線的交點位于一個與橢圓同中心的圓上，稱此圓為該橢圓的蒙日圓．已知橢圓分別為橢圓的左、右焦點，，其短軸上的一個端點到的距離為，點在橢圓上，直線，則（ ）
A．直線與蒙日圓相切
B．橢圓的蒙日圓方程為
C．若點是橢圓的蒙日圓上的動點，過點作橢圓的兩條切線，分別交蒙日圓于兩點，則的長恒為4
D．記點到直線的距離為，則的最小值為
三、填空題
5．（23-24高二上·安徽蕪湖·期末）已知橢圓的上、下頂點分別為M，N，點P為橢圓上任意一點（不同于M，N），若點Q滿足，則點Q到坐標原點距離的取值范圍為 ．
參考答案：
1．C
【分析】先證明當時，若，則圓與圓內(nèi)切，圓與圓外切；若，則圓與圓外切，圓與圓內(nèi)切，從而A和B錯誤；然后當時，將條件變?yōu)椋瑥亩鶕?jù)橢圓定義知點的軌跡為橢圓，C正確；當時，將條件變?yōu)椋瑥亩鶕?jù)雙曲線定義知點的軌跡為雙曲線的左支，D錯誤.
【詳解】我們分別記的中點為，顯然是的中點，故，.
當時，在圓內(nèi)，此時，圓和圓不可能與圓外切，而圓與圓內(nèi)切等價于，
即，即，同理，圓與圓內(nèi)切也等價于；
當時，在圓外，故“圓與圓內(nèi)切”和“圓與圓外切”分別等價于和，
即和，即和.
所以，此時“圓與圓內(nèi)切”和“圓與圓外切”分別等價于和，同理，“圓與圓內(nèi)切”和“圓與圓外切”分別等價于和.
下面考慮四個選項（我們沒有考慮的情況，因為不需要分析此種情況也可判斷所有選項的正確性）：
由于當時，若，則圓與圓內(nèi)切，圓與圓外切；
若，則圓與圓外切，圓與圓內(nèi)切.
這分別構成A選項和B選項的反例，故A和B錯誤；
若，則，此時“圓與圓內(nèi)切”和“圓與圓內(nèi)切”都等價于，
而根據(jù)橢圓定義，對應的軌跡即為，C正確；
若，則，此時“圓與圓外切”等價于，
而根據(jù)雙曲線定義，對應的軌跡為，
僅僅是雙曲線的半支，D錯誤.
故選：C.
2．B
【分析】
記橢圓的右焦點為，由橢圓定義轉化為，當是的延長線橢圓的交點時，可取得最大值．
【詳解】，在橢圓內(nèi)部，記橢圓的右焦點為，，橢圓中，在橢圓上，
，，
，當是的延長線橢圓的交點時，取等號，
所以的最大值為，
故選：B．
3．BCD
【分析】設，對于A：利用等面積法求得，即可判斷；對于B：利用內(nèi)切圓的性質(zhì)結合橢圓定義分析判斷；對于C：，結合解三角形的相關知識可得，，結合橢圓性質(zhì)分析判斷；對于D：根據(jù)題意可得，，結合角平分線的性質(zhì)可得，即可得，再求點G的坐標即可判斷.
【詳解】由題意可知：，
則，
設，則，
對于選項A：因為的面積，
又因為，可得，
由于不是定值，所以不r為定值，故A錯誤；
對于選項B：因為，分別是，的角平分線，
由角平分線定理可得，
所以，故B正確；
對于選項C：設，
由正弦定理可得：，即
由余弦定理可得：
，
即，整理得，
則，解得，
可得，
又因為當在短軸的端點時，最大，最小，
此時，，
可得，則，
所以的最大值為，故C正確；
對于選項D：因為在橢圓上，
可得，即，
則，
又因為，可得，，
由選項B可知，則，
又因為，可得，
則，即，
由，可得點的坐標為，
由重心坐標公式可知點的坐標為，
即直線與x軸垂直，傾斜角為，是定值，故D正確；
故選：BCD.
【點睛】方法點睛：焦點三角形的作用:在焦點三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關系，如正余弦定理、勾股定理結合起來．
4．AC
【分析】根據(jù)蒙日圓的概念求出蒙日圓的方程判斷AB，根據(jù)圓的性質(zhì)判斷C，根據(jù)橢圓的定義和點到直線的距離公式判斷D.
【詳解】當兩切線分別與兩坐標軸垂直時，兩切線的方程分別為、，
所以點在蒙日圓上，故蒙日圓的方程為，
又由題意可得，，結合解得，，
對于A選項，蒙日圓圓心到直線的距離為，
所以，直線與蒙日圓相切，故A正確；
對于B選項，的蒙日圓的方程為，故B錯誤；
對于C選項，由題意可知，，所以為蒙日圓的直徑，，故C正確；
對于D選項，由橢圓的定義可得，，
所以，，
直線的方程為，
點到直線的距離為，
所以，，
當且僅當時，等號成立，故D錯誤；
故選：AC
5．
【分析】設，代入橢圓方程可得，再由題意可得，設，直接列方程即可出軌跡的方程，所以，由兩點間的距離公式結合三角函數(shù)的性質(zhì)可求出答案.
【詳解】設，由已知，
，，
所以，
設，因為，
所以，
所以，，
即，∴軌跡的方程為.
所以，
點Q到坐標原點距離為，
因為，，所以.
點Q到坐標原點距離的取值范圍為.
故答案為：.
【點睛】關鍵點睛：本題的解題關鍵是求出，即可求出軌跡的方程，設，由兩點的距離公式結合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.
考點二：橢圓的離心率
【典例精析】（多選）（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）在平面直角坐標系xOy中，長、短軸所在直線不與坐標軸重合的橢圓稱為“斜橢圓”，將焦點在坐標軸上的橢圓繞著對稱中心順時針旋轉，即得“斜橢圓”，設在上，則（ ）
A．“斜橢圓”的焦點所在直線的方程為 B．的離心率為
C．旋轉前的橢圓標準方程為 D．
【答案】BCD
【分析】根據(jù)橢圓的對稱性可聯(lián)立以及與橢圓方程，進而可判斷焦點所在的直線，即可判斷A，根據(jù)直線與橢圓的交點間距離可求解長軸以及短軸長，即可求解BC，根據(jù)方程有解，利用判別式即可求解.
【詳解】由題意可知，斜橢圓關于和對稱，聯(lián)立直線與，可得，聯(lián)立直線與，可得，所以兩焦點所在直線方程為，A選項錯誤；
由可知，與相交的兩點之間距離等于短軸為，與相交的兩點之間距離等于長軸為，故焦距為，故的離心率為，選項正確；
旋轉不改變橢圓的長短軸大小，所以旋轉前的橢圓焦點在軸上，曲線方程為選項正確；
因為，關于的方程有解，所以，解得，所以選項正確，
故選：BCD．
【變式訓練】
一、單選題
1．（2024·四川雅安·三模）在平面直角坐標系中，設橢圓與雙曲線的離心率分別為，其中且雙曲線漸近線的斜率絕對值小于，則下列關系中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·陜西安康·模擬預測）已知橢圓的離心率，上頂點的坐標為，右頂點為為上橫坐標為1的點，直線與軸交于點為坐標原點，則（ ）
A．1 B． C． D．
二、多選題
3．（2023·全國·模擬預測）橢圓的左、右焦點分別為，，點是上一點，滿足，，且的面積為，則的值可能為（ ）
A．3 B． C．4 D．
4．（2024·湖北·模擬預測）已知橢圓：的左、右焦點分別為、，又，，且直線，的斜率之積為，則（ ）
A．
B．
C．的離心率為
D．若上的點滿足，則
三、填空題
5．（2022·四川綿陽·二模）第24屆冬奧會，是中國歷史上第一次舉辦的冬季奧運會，國家體育場(鳥巢)成為北京冬奧會開、閉幕式的場館．國家體育場“鳥巢”的鋼結構鳥瞰圖如圖，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，若由外層橢圓長軸一端點A和短軸一端點B分別向內(nèi)層橢圓引切線AC，BD，且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為 ．
參考答案：
1．D
【分析】由題意及雙曲線的漸近線的斜率可得，再由橢圓，雙曲線的離心率的求法，分別判斷出所給命題的真假．
【詳解】由題意可得雙曲線的漸近線的斜率的絕對值為，則，
所以，所以,，所以C不正確；
，所以，所以B不正確；
，所以A不正確；
，且，則，所以D正確．
故選：D．
2．D
【分析】根據(jù)題意，求得橢圓的方程為，不妨設且，求得，得出直線的方程，求得的坐標，即可求解.
【詳解】由題意知，橢圓的離心率，可得，即，
又由橢圓的上頂點的坐標為，可得，
因為，可得，所以橢圓的方程為，
又因為點為上橫坐標為1的點，不妨設且，
將點代入橢圓的方程，可得，可得，即，
因為點為橢圓的右頂點，可得，所以，
則直線的方程為，令，可得，即，
所以.
故選：D.
3．AB
【分析】結合題意，先根據(jù)橢圓的定義，可得，然后利用余弦定理求出橢圓的離心率或，再利用三角形的面積公式可求出橢圓的，即可求出的值.
【詳解】由橢圓的定義，得，
又因為，所以，
由，得，
由余弦定理，得，
當時，整理，得，
即，
解得或（因為橢圓離心率的取值范圍是，舍去）；
當時，整理得：，
即，
解得或（因為橢圓離心率的取值范圍是，舍去）；
因為的面積為，
所以，
解得：（負值已舍去），
所以或.
故選：AB.
4．BCD
【分析】由斜率之積為-1可得B正確；由B和橢圓的性質(zhì)可得A錯誤；由關系可得C正確；由橢圓的性質(zhì)結合三角形面積公式可得D正確.
【詳解】B選項：因為，即，故，故B正確；
A選項：由得，，為等比數(shù)列，若A成立，則為等差數(shù)列，即，，為常數(shù)列，顯然不成立，故A錯誤；
C選項：因為，，所以.
方程兩邊同除以得，，解得，負值舍去，
故離心率為，故C正確；
D選項：由橢圓定義得，，兩邊平方得，
因為，由余弦定理可得，
兩式相減得，
所以，，
又，且，
所以，
所以，故D正確.
故選：BCD.

5．
【分析】分別設出內(nèi)外橢圓的方程，求出、點的坐標，得到直線與的方程，分別與內(nèi)橢圓聯(lián)立，根據(jù)得到的一元二次方程中的，表示出與，根據(jù)，即可得到離心率的值.
【詳解】設內(nèi)層橢圓方程為，由于內(nèi)外橢圓離心率相同，由題意可設外層橢圓方程為.
所以點坐標為，點坐標為，設切線的方程為，切線的方程為，
聯(lián)立直線的方程與內(nèi)層橢圓方程得，，因為直線與橢圓相切，
所以，
整理可得，.
同理，聯(lián)立直線的方程與內(nèi)層橢圓方程，可推出，
所以.
因為，所以，則，
所以.
故答案為：.
考點三：雙曲線的定義與方程
【典例精析】（多選）（2023·廣東·模擬預測）已知雙曲線：（，），的左、右焦點分別為，，為上一點，則以下結論中，正確的是（ ）
A．若，且軸，則的方程為
B．若的一條漸近線方程是，則的離心率為
C．若點在的右支上，的離心率為，則等腰的面積為
D．若，則的離心率的取值范圍是
【答案】AD
【分析】由雙曲線上一點，及軸，可得的值，即可求得雙曲線方程，從而判斷A；根據(jù)雙曲線漸近線方程與離心率的關系即可判斷B；根據(jù)雙曲線的離心率與焦點三角形的幾何性質(zhì)即可求得等腰的面積，從而判斷C；由已知結合正弦定理與雙曲線的定義、焦半徑的取值范圍即可求得雙曲線離心率的范圍，從而判斷D.
【詳解】對于A，若，且軸，則，，
所以，則，所以，則的方程為，故A正確；
對于B，若的一條漸近線方程是，則，離心率，故B不正確；
對于C，若的離心率為，則，所以，若點在的右支上，為等腰三角形，則，連接，如圖，
則是直角三角形，所以，故C不正確；
對于D，若，由正弦定理得，可知點在雙曲線的左支上，故，
則，又，所以，整理得，解得，
所以的離心率的取值范圍是，故D正確.
故選：AD.
【變式訓練】
一、單選題
1．（2024·河南·二模）已知雙曲線的左，右焦點分別為為坐標原點，焦距為，點在雙曲線上，，且的面積為，則雙曲線的離心率為（ ）
A．2 B． C． D．4
2．（2024·遼寧·二模）已知雙曲線的左焦點為，漸近線方程為，焦距為8，點的坐標為，點為的右支上的一點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·全國·模擬預測）關于方程表示的曲線，下列說法正確的是（ ）
A．可以表示兩條平行的直線，且這兩條直線的距離為2
B．若為雙曲線，則為鈍角
C．若為銳角，則為焦點在軸上的橢圓
D．若為橢圓，為橢圓上不與長軸頂點重合的點，則
4．（2021·河北張家口·三模）已知方程表示的曲線是雙曲線，其離心率為，則（ ）
A．
B．點是該雙曲線的一個焦點
C．
D．該雙曲線的漸近線方程可能為
三、填空題
5．（2024·上海金山·二模）已知雙曲線(，)，給定的四點、、、中恰有三個點在雙曲線上，則該雙曲線的離心率是 ．
參考答案：
1．C
【分析】依題意可得為直角三角形，且，設，，利用雙曲線的定義及勾股定理求出，再由的面積為求出，最后由焦距求出，即可求出離心率.
【詳解】因為的面積為，所以的面積為.
又，所以，所以為直角三角形，且.
設，，所以，
所以，
所以，又，所以.
焦距為，所以，則，
所以，則離心率.

故選：C.
2．C
【分析】利用雙曲線的定義及漸近線方程，將轉化為的形式，通過點共線判斷并計算的最小值即可.
【詳解】如圖所示
由題意知，解得
記的右焦點為，即，
由雙曲線的定義，得，即
所以，
當且僅當點在線段上時等號成立,
所以的最小值為.
故選：C.
3．AD
【分析】當時，表直線，求出直線方程即可判斷A；根據(jù)雙曲線的形式，即可判斷B；化為標準方程，根據(jù)橢圓方程形式，即可判斷C；設出的坐標，表示出，結合橢圓的方程，即可判斷D.
【詳解】對于A項，當，即時，方程為，解得，因此可以表示兩條平行的直線，且這兩條直線的距離為2，故A選項正確；
對于B項，若為雙曲線，則，即，故為鈍角或平角，故B選項錯誤；
對于C項，若為銳角，則，即.
將原方程化為標準方程為，因此為焦點在軸上的橢圓，故C選項錯誤；
對于D項，若為橢圓，則為銳角，
設橢圓方程為，則，
不妨設，
將點的坐標代入橢圓方程得，即，
故，故選項正確.
故選：AD．
4．AC
【分析】對于A，若方程是雙曲線，則；對于B，化簡可知焦點在軸上；對于C，，即可得到；對于D，雙曲線的漸近線斜率的平方，即可得到漸近線方程．
【詳解】對于A，因為方程表示的曲線是雙曲線，所以，解得，故選項正確；
對于B，將化為，得焦點在軸上，故選項錯誤；
對于C，因為，所以，故選項正確；
對于D，因為雙曲線的漸近線斜率的平方，所以選項錯誤.
故選：
【點睛】本題關鍵之處在于對雙曲線方程的辨析，如何通過雙曲線方程求焦點、離心率、漸近線方程等．
5．
【分析】根據(jù)雙曲線的對稱性可得，兩點一定在雙曲線上，然后再判斷另一個點，求出雙曲線方程，再根據(jù)離心率公式即可得解.
【詳解】根據(jù)雙曲線的對稱性可得，兩點一定在雙曲線上，
若在雙曲線上，
則，方程組無解，故不在雙曲線上，
則在雙曲線上，
則，解得，
所以雙曲線的離心率.
故答案為：.
考點四：雙曲線的漸近線
【典例精析】（多選）（2023·河北·模擬預測）雙曲線的左、右焦點分別是，過的直線與雙曲線右支交于兩點，記和的內(nèi)切圓半徑分別為和，則（ ）
A．和的內(nèi)切圓圓心的連線與軸垂直
B．為定值
C．若，則的離心率
D．若，則的漸近線方程為
【答案】ABD
【分析】設，的內(nèi)切圓圓心分別為，設圓切分別于點，過的直線與雙曲線的右支交于兩點，由切線長定理及雙曲線的定義即可求得，再根據(jù)直角三角形邊角關系以及相似三角形的性質(zhì)求得，再逐項判斷即可得答案.
【詳解】
對于A，設，的內(nèi)切圓圓心分別為，設圓切分別于點，過的直線與雙曲線的右支交于兩點，由切線長定理，可得
，
所以，則，
所以點的橫坐標為，即點的橫坐標也為，同理點的橫坐標也為，故軸，A正確；
對于B，在中，，
，所以，所以，即，B正確；
對于C，由解得，即，則雙曲線的離心率，C錯誤；
對于D，，由可得，所以或（舍），
則，則，所以的漸近線方程為，D正確．
故選：ABD.
【變式訓練】
一、單選題
1．（2024·天津·二模）已知雙曲線的一條漸近線與拋物線交于點（異于坐標原點），點到拋物線焦點的距離是到軸距離的3倍，過雙曲線的左 右頂點作雙曲線同一條漸近線的垂線，垂足分別為，則雙曲線的實軸長為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
2．（2024·福建廈門·三模）已知雙曲線，過右焦點作一條漸近線的垂線，垂足為，點在上，且，則的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．3
二、多選題
3．（2023·山西·模擬預測）如圖，已知，分別為雙曲線C：（，）的左、右焦點，過作圓O：的切線，切點為A，且在第三象限與C及C的漸近線分別交于點M，N，則（ ）
A．直線OA與雙曲線C無交點
B．若，則
C．若，則C的漸近線方程為
D．若，則C的離心率為
4．（2024·山西·二模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，左、右頂點分別為，，為坐標原點，直線交雙曲線的右支于，兩點（不同于右頂點），且與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點，則（ ）
A．為定值
B．
C．點到兩條漸近線的距離之和的最小值為
D．不存在直線使
三、填空題
5．（2024·河南鄭州·三模）已知雙曲線的離心率為分別是它的兩條漸近線上的兩點（不與坐標原點重合），點在雙曲線上且 的面積為6，則該雙曲線的實軸長為 ．
參考答案：
1．D
【分析】由拋物線定義及點在拋物線上求得，結合雙曲線漸近線性質(zhì)及，列方程求得關系，即可得的值.
【詳解】設與拋物線相交的漸近線為，則設，
則，解得，所以點的坐標為，代入拋物線方程得，解得，
設漸近線的傾斜角為，則，
又，解得，
所以，故，
所以，解得，
所以雙曲線的實軸長為.
故選：D.

2．B
【分析】利用漸近線方程和過焦點的垂線方程可求得垂足點A坐標為，再由向量關系去求出點的坐標，再代入雙曲線方程可得離心率的關系式，最后可解得.
【詳解】
由右焦點作一條漸近線的垂線，可設直線方程為：，
與該漸近線方程：，聯(lián)立方程組解得：，
即點A坐標為，再設點，則由可得：
，即，
把該點代入橢圓方程可得：，
化簡得：，由雙曲線的離心率可得：
，解得：，
因為雙曲線的離心率，所以，
故選：B.
3．ACD
【分析】對于A項，運用求得，進而求得直線OA的方程，從而可判斷直線OA與雙曲線交點個數(shù)，對于B項，運用雙曲線定義可得，結合可求得結果，對于C項，運用雙曲線定義及余弦定理求得值，進而求得漸近線方程，對于D項，由列方程求得值，代入離心率公式計算即可.
【詳解】如圖所示，
對于A項，設，，
由題意可知，，
所以，
從而直線的斜率為，
所以直線OA的斜率為，
所以直線OA的方程為，恰好是C的一條漸近線，
所以直線OA與雙曲線C無交點，故A項正確；
對于B項， 因為，
所以由雙曲線的定義知，，
由A項知，，
所以，故B項錯誤；
對于C項，由，得，
由雙曲線的定義得，
在中，由余弦定理得，
化簡得，
所以C的漸近線方程為，故C項正確；
對于D項，因為，，
所以，
設直線ON的傾斜角為，則，
又因為，所以，
又因為，
所以，解得，
所以，故D項正確．
故選：ACD.
4．BD
【分析】對于A，根據(jù)，取垂直于x軸的直線，結合條件可判斷A；對于B，設直線的方程為，利用韋達定理可得，聯(lián)立直線與漸近線方程，可分別解得，，結合弦長公式可判斷B；對于C，設，可得P到兩漸近線距離可判斷C；由題可得恒成立可判斷D.
【詳解】雙曲線的漸近線為，
對于A：因為，
作直線，，且，分別交軸上方漸近線于，，
交軸下方漸近線于，，
有對稱性可知：，
此時，
又因為為定值，所以，
即不是定值，故A錯誤；
對于B，由題意可知：直線不與y軸垂直，設直線的方程為，
聯(lián)立得，得，
則，且,
所以，
聯(lián)立，得，聯(lián)立，得，
所以，則，
結合弦長公式可得，
即，故B正確；
對于C，設，則，漸近線為，
所以P到兩漸近線距離為：
，
當且僅當時，等號成立，故C錯誤；
對于D，設，則，可得，
由圖可得，即恒成立，
故不存在直線使，故D正確.
故選：BD.
【點睛】關鍵點點睛：本題D選項可借助，結合，得到，從而得解.
5．
【分析】利用離心率求得，繼而得到漸近線方程：，由向量等式推得點為的中點，設出點,求得點坐標，代入雙曲線方程，化簡得，最后利用面積即可求得的值.
【詳解】
如圖，由可得，故雙曲線的漸近線方程為，
不妨設，因則點為的中點，則，
將其代入中，整理得：，
又,且,則的面積為，
即，解得,故雙曲線的實軸長為.
故答案為：.
考點五：雙曲線的離心率
【典例精析】（多選）（2022·廣東·模擬預測）已知雙曲線的方程為兩點分別是雙曲線的左，右頂點，點是雙曲線上任意一點（與兩點不重合），記直線的斜率分別為，則（ ）
A．雙曲線的焦點到漸近線的距離為4
B．若雙曲線的實半軸長，虛半軸長同時增加相同的長度，則離心率變大
C．為定值
D．存在實數(shù)使得直線與雙曲線左，右兩支各有一個交點
【答案】AC
【分析】A選項，求出漸近線方程，利用點到直線距離公式求出焦點到漸近線距離；B選項，把實半軸長，虛半軸長同時增加相同的長度后的離心率和變化前的離心率均求出來，用作差法進行比較即可；C選項，求出，相乘是否是定值；D選項，把直線斜率與漸近線斜率相比，數(shù)形結合得到結果.
【詳解】對于A，因為雙曲線的一個焦點，漸近線方程化為，
焦點到漸近線的距離為，故正確；
對于B，雙曲線的離心率，若的實半軸長，虛半軸長同時增加相同的長度，則，
所以新離心率，
即離心率變小，故B錯誤；
對于選項C，
，
，
又點在雙曲線上，
，
，
（定值），故C正確；
對于D，雙曲線的漸近線方程為，.根據(jù)雙曲線圖象可知直線若與雙曲線有兩個交點，這兩個交點必在雙曲線的同一支上，故D錯誤；
故選：AC
【變式訓練】
一、單選題
1．（2024·山東濟南·三模）在平面直角坐標系中，已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點P在C上，且，，則C的離心率為（ ）
A． B． C．3 D．2
2．（2024·全國·模擬預測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，若的離心率為，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，延長與另一條漸近線交于點，若，為坐標原點，則的面積為（ ）
A． B． C． D．6
二、多選題
3．（2023·遼寧錦州·模擬預測）已知，是橢圓：與雙曲線：的公共焦點，，分別是與的離心率，且P是與的一個公共點，滿足，則下列結論中正確的是（ ）
A． B．
C．的最小值為 D．的最大值為
4．（2024·安徽·模擬預測）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，直線：與C的左、右兩支分別交于M，N兩點（點N在第一象限），點在直線上，點Q在直線上，且，則（ ）
A．C的離心率為3 B．當時，
C． D．為定值
三、填空題
5．（2024·全國·模擬預測）已知雙曲線：（，）的焦距為6，且直線與雙曲線的右支有交點，則當雙曲線的離心率最小時，雙曲線的標準方程為 ．
參考答案：
1．D
【分析】在中運用雙曲線的定義和余弦定理可得，在中運用余弦定理可得，再由離心率公式計算即可．
【詳解】如圖所示，根據(jù)雙曲線的定義，，，
在中，由余弦定理得,
即，
又因為，所以，
所以，即.
在中，由余弦定理得，，
且,
所以，
化解得，
即，
，
，
所以，
即，則
故離心率.
故選：D.
2．B
【分析】根據(jù)離心率求出雙曲線的漸近線方程，利用兩角差的正切公式求出，再根據(jù)求出的值，由的面積等于的面積，即可求解.
【詳解】由的離心率為，可得，則，
則的漸近線方程為，則，
則，
設漸近線方程為，，
則點到雙曲線的漸近線的距離為， 則，
因為，則，即，，
易知的面積等于的面積，
即．

故選：B.
3．BD
【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的焦點可判斷A,由圓錐曲線的定義以及離心率的計算公式可判斷B，結合對勾函數(shù)的性質(zhì)可判斷C，利用三角換元可判斷D.
【詳解】對選項A：橢圓和雙曲線共焦點，故，故A錯誤；
對選項B：，不妨設為第一象限的點，即，由于，，故，，故，即，即，故B正確；

對選項C：由得，則，令，所以，
由于，所以對勾函數(shù)在單調(diào)遞增，故,沒有最小值，故C錯誤，
對選項D：設，，，
，若最大值為，則，，，即，，，成立，故D正確；
故選：BD
4．BCD
【分析】根據(jù)離心率的公式即可求解A，聯(lián)立直線與拋物線方程， 根據(jù)弦長公式即可求解B，根據(jù)二倍角公式以及斜率關系即可求解C，根據(jù)角的關系即可求解線段長度相等，判斷D.
【詳解】由題意得，，故A錯誤；
聯(lián)立，得，解得或，則，故B正確；
由直線：可知，又，，故在線段的中垂線上，
設，的斜率分別為，，，故直線的方程為，
聯(lián)立，得，
設，則，，故.
當軸時，，是等腰直角三角形，且易知；
當不垂直于x軸時，直線的斜率為，故，
因為，所以，所以，，故C正確；
因為，故，故，故D正確.
故選:BCD.
5．
【分析】法一：求出點關于直線的對稱點，結合雙曲線定義求出2a的最大值即可求解；法二：確定直線與雙曲線相切時離心率最小,聯(lián)立直線與雙曲線利用判別式等于0即可求解.
【詳解】解法一 由題，雙曲線的半焦距，故雙曲線的左、右焦點分別為，,
當雙曲線的離心率最小時，取得最大值，
設直線與雙曲線的右支的一個交點為，則最大．
記點關于直線的對稱點為，則，解得，
所以．因為，又，
所以，所以，則雙曲線的標準方程為．
解法二 由于雙曲線的離心率越大，雙曲線的開口越大，離心率越小，雙曲線的開口越小，
要保證直線與雙曲線的右支有交點，則當雙曲線的離心率最小時，與雙曲線的右支相切,
與，聯(lián)立得：，
則，解得，又，所以，，
則雙曲線的標準方程為．
故答案為：.
考點六：拋物線的定義與方程
【典例精析】（多選）（2024·河南鄭州·三模）已知直線（不同時為0），圓，則（ ）
A．當時，直線與圓相切
B．當時，直線與圓不可能相交
C．當時，與圓外切且與直線相切的動圓圓心的軌跡是一條拋物線
D．當時，直線與坐標軸相交于兩點，則圓上存在點滿足
【答案】ACD
【分析】首先將圓的方程化為標準式，即可得到圓心坐標與半徑，求出圓心到直線的距離即可判斷A，利用特殊值判斷B，根據(jù)拋物線的定義判斷C，求出以為直徑的圓的方程，即可判斷兩圓相交，從而判斷D.
【詳解】圓即，圓心為，半徑；
對于A：若，則圓心到直線的距離，
所以直線與圓相切，故A正確；
對于B：當，時滿足，此時直線方程為，
則圓心到直線的距離為，顯然直線與圓相交，故B錯誤；
對于C：當時直線，則直線與直線平行，
且兩平行線間的距離，
依題意動圓圓心到直線的距離與到的距離相等，
且點不在直線上，
根據(jù)拋物線的定義可知動圓圓心的軌跡是一條拋物線，故C正確；
對于D：不妨令，，的中點為，又，
所以以為直徑的圓的方程為，
又，所以圓與圓相交，
所以圓上存在點滿足，故D正確.
故選：ACD
【變式訓練】
一、單選題
1．（2024·江蘇·模擬預測）經(jīng)過拋物線焦點的直線與交于，兩點，與拋物線的準線交于點，若，，成等差數(shù)列，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·安徽安慶·三模）已知拋物線的焦點到其準線的距離為2，點是拋物線上兩個不同點，且，則（ ）
A． B． C． D．3
二、多選題
3．（2024·河北·二模）已知為坐標原點，焦點為的拋物線過點，過且與垂直的直線與拋物線的另一交點為，則（ ）
A． B．
C． D．直線與拋物線的準線相交于點
4．（2023·遼寧大連·模擬預測）已知拋物線的焦點為，焦點到準線的距離為，為上的一個動點，則（ ）
A．的焦點坐標為
B．若，則周長的最小值為
C．若，則的最小值為
D．在軸上不存在點，使得為鈍角
三、填空題
5．（22-23高三上·湖南益陽·期末）已知拋物線的焦點為，圓與交于兩點，其中點在第一象限，點在直線上運動，記.
①當時，有；
②當時，有；
③可能是等腰直角三角形；
其中命題中正確的有 .
參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)等差中項得到，設直線方程為，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，由焦點弦弦長公式得到，表達出，得到方程，求出，結合兩根之和，兩根之積，求出，得到答案.
【詳解】由題意得，，拋物線的準線方程為，
因為過拋物線焦點的直線與拋物線交于兩點，且與拋物線的準線相交，
所以直線的斜率存在且不為0，設直線方程為，
與聯(lián)立得，
設，顯然，則，，
故，又，
故，解得，
故，
又，故，解得，
故.
故選：D
2．A
【分析】拋物線的焦點到其準線的距離為，又，進而利用得，從而可得的值.
【詳解】因為拋物線的焦點到其準線的距離為2，所以，
所以,即,
由得，即，則，
由焦半徑公式可得.
故選：A.
3．ACD
【分析】將點代入拋物線方程可確定拋物線方程，可判斷A；由拋物線定義可求，可判斷B；求出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立解得點，從而求出，可判斷C；易求出直線與準線交點，可判斷D.
【詳解】由拋物線過點，
可得，則，故A正確；
由上可知拋物線，準線方程為，
所以，故B錯誤；
由已知可得，所以直線的方程為，即，
聯(lián)立方程組，得，
解得或，故，
所以，故C正確；
由直線的方程，令，得，
所以直線與拋物線的準線相交于點，故D正確.
故選：ACD
4．BCD
【分析】利用焦準距求出拋物線，可得焦點坐標，判斷選項A；根據(jù)拋物線的定義的應用，結合周長公式，判斷選項B；設，利用兩點間距離公式結合二次函數(shù)的性質(zhì)，求出的最小值，判斷選項C；設，由數(shù)量積的坐標運算，判斷出選項D．
【詳解】選項A，拋物線，焦點到準線的距離為，則，焦點，錯誤；
選項B，，，，
設到準線的距離為，到準線的距離為，
則的周長為，正確；
選項C，設，，則，
當時，的最小值為，正確；
選項D，設，，，，
，
，不可能為鈍角，正確；
故選：BCD
5．①②
【分析】聯(lián)立方程求得，結合可得，當時，點三點共線，求得，即可求得，判斷①；當時，由，求得的值，判斷②；分情況討論為等腰直角三角形情況，判斷③.
【詳解】由圓與，聯(lián)立方程，解得或（舍），當時，，
所以，
從而，
即，因為點在直線上運動，所以，
則，
①當時，點三點共線，由于，
所以，所以，
由題意知，所以，故①正確；
②當時，即，所以，
即，
解得，又，得，所以②正確；
③若是等腰直角三角形，
則或或為直角，
因為，
當時，則，得，
此時，不是等腰直角三角形，
由對稱性可知當時，也不是等腰直角三角形，；
當時，因為首先是等腰三角形，由拋物線的對稱性可知點在軸上，
此時，，,
,即，故不是等腰直角三角形，
綜上所述，不可能是等腰直角三角形，所以③錯誤，
故答案為：①②.
【點睛】方法點睛：題目中涉及到向量的運算即，因此要利用向量的坐標運算，表示出，則①②即可判斷；判斷是否為等腰直角三角形，要討論直角頂點可能的位置，即分類討論，結合拋物線的對稱性進行解答.
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）設O為坐標原點，為橢圓的兩個焦點，點 P在C上，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全國·高考真題）設A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全國·高考真題）設橢圓的離心率分別為．若，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全國·高考真題）已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線與C交于A，B兩點，若面積是面積的2倍，則（ ）．
A． B． C． D．
6．（2022·全國·高考真題）橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全國·高考真題）設F為拋物線的焦點，點A在C上，點，若，則（ ）
A．2 B． C．3 D．
二、多選題
8．（2023·全國·高考真題）設O為坐標原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準線，則（ ）．
A． B．
C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形
9．（2022·全國·高考真題）已知O為坐標原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，若，則（ ）
A．直線的斜率為 B．
C． D．
10．（2022·全國·高考真題）雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點，且，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·全國·高考真題）已知O為坐標原點，點在拋物線上，過點的直線交C于P，Q兩點，則（ ）
A．C的準線為 B．直線AB與C相切
C． D．
三、填空題
12．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線的左、右焦點分別為．點在上，點在軸上，，則的離心率為 ．
13．（2022·全國·高考真題）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點，且，則l的方程為 ．
14．（2022·全國·高考真題）若雙曲線的漸近線與圓相切，則 ．
15．（2022·全國·高考真題）已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長是 ．
參考答案：
1．B
【分析】方法一：根據(jù)焦點三角形面積公式求出的面積，即可得到點的坐標，從而得出的值；
方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，再結合中線的向量公式以及數(shù)量積即可求出；
方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，即可根據(jù)中線定理求出．
【詳解】方法一：設，所以，
由，解得：，
由橢圓方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此．
故選：B．
方法二：因為①，，
即②，聯(lián)立①②，
解得：，
而，所以，
即．
故選：B．
方法三：因為①，，
即②，聯(lián)立①②，解得：，
由中線定理可知，，易知，解得：．
故選：B．
【點睛】本題根據(jù)求解的目標可以選擇利用橢圓中的二級結論焦點三角形的面積公式快速解出，也可以常規(guī)利用定義結合余弦定理，以及向量的數(shù)量積解決中線問題的方式解決，還可以直接用中線定理解決，難度不是很大．
2．D
【分析】根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長.
【詳解】由，則，
解得，
所以雙曲線的一條漸近線為，
則圓心到漸近線的距離，
所以弦長.
故選：D
3．D
【分析】根據(jù)點差法分析可得，對于A、B、D：通過聯(lián)立方程判斷交點個數(shù)，逐項分析判斷；對于C：結合雙曲線的漸近線分析判斷.
【詳解】設，則的中點，
可得，
因為在雙曲線上，則，兩式相減得，
所以.
對于選項A： 可得，則，
聯(lián)立方程，消去y得，
此時，
所以直線AB與雙曲線沒有交點，故A錯誤；
對于選項B：可得，則，
聯(lián)立方程，消去y得，
此時，
所以直線AB與雙曲線沒有交點，故B錯誤；
對于選項C：可得，則
由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，
所以直線AB與雙曲線沒有交點，故C錯誤；
對于選項D：，則，
聯(lián)立方程，消去y得，
此時，故直線AB與雙曲線有交兩個交點，故D正確；
故選：D.
4．A
【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，結合離心率的意義列式計算作答.
【詳解】由，得，因此，而，所以.
故選：A
5．C
【分析】首先聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用，求出范圍，再根據(jù)三角形面積比得到關于的方程，解出即可.
【詳解】將直線與橢圓聯(lián)立，消去可得，
因為直線與橢圓相交于點，則，解得，
設到的距離到距離，易知，
則，，
，解得或（舍去），
故選：C.
6．A
【分析】設，則，根據(jù)斜率公式結合題意可得，再根據(jù)，將用表示，整理，再結合離心率公式即可得解.
【詳解】[方法一]：設而不求
設，則
則由得：，
由，得，
所以，即，
所以橢圓的離心率，故選A.
[方法二]：第三定義
設右端點為B，連接PB，由橢圓的對稱性知：
故，
由橢圓第三定義得：，
故
所以橢圓的離心率，故選A.
7．B
【分析】根據(jù)拋物線上的點到焦點和準線的距離相等，從而求得點的橫坐標，進而求得點坐標，即可得到答案.
【詳解】由題意得，，則，
即點到準線的距離為2，所以點的橫坐標為，
不妨設點在軸上方，代入得，，
所以.
故選：B
8．AC
【分析】先求得焦點坐標，從而求得，根據(jù)弦長公式求得，根據(jù)圓與等腰三角形的知識確定正確答案.
【詳解】A選項：直線過點，所以拋物線的焦點，
所以，則A選項正確，且拋物線的方程為.
B選項：設，
由消去并化簡得，
解得，所以，B選項錯誤.
C選項：設的中點為，到直線的距離分別為，
因為，
即到直線的距離等于的一半，所以以為直徑的圓與直線相切，C選項正確.
D選項：直線，即，
到直線的距離為，
所以三角形的面積為，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D選項錯誤.
故選：AC.

9．ACD
【分析】由及拋物線方程求得，再由斜率公式即可判斷A選項；表示出直線的方程，聯(lián)立拋物線求得，即可求出判斷B選項；由拋物線的定義求出即可判斷C選項；由，求得，為鈍角即可判斷D選項.
【詳解】對于A，易得，由可得點在的垂直平分線上，則點橫坐標為，
代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；
對于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，
設，則，則，代入拋物線得，解得，則，
則，B錯誤；
對于C，由拋物線定義知：，C正確；
對于D，，則為鈍角，
又，則為鈍角，
又，則，D正確.
故選：ACD.
10．AC
【分析】依題意不妨設雙曲線焦點在軸，設過作圓的切線切點為，利用正弦定理結合三角變換、雙曲線的定義得到或，即可得解，注意就在雙支上還是在單支上分類討論.
【詳解】[方法一]：幾何法，雙曲線定義的應用
情況一
M、N在雙曲線的同一支，依題意不妨設雙曲線焦點在軸，設過作圓的切線切點為B，
所以，因為，所以在雙曲線的左支，
，， ，設，由即，則，
選A
情況二
若M、N在雙曲線的兩支，因為，所以在雙曲線的右支，
所以，， ，設，
由，即，則，
所以，即，
所以雙曲線的離心率
選C
[方法二]：答案回代法
特值雙曲線
，
過且與圓相切的一條直線為，
兩交點都在左支,，
，
則，
特值雙曲線，
過且與圓相切的一條直線為，
兩交點在左右兩支，在右支，，
，
則，
[方法三]：
依題意不妨設雙曲線焦點在軸，設過作圓的切線切點為，
若分別在左右支，
因為，且，所以在雙曲線的右支，
又，，，
設，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以雙曲線的離心率
若均在左支上，
同理有，其中為鈍角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故選：AC.
11．BCD
【分析】求出拋物線方程可判斷A，聯(lián)立AB與拋物線的方程求交點可判斷B，利用距離公式及弦長公式可判斷C、D.
【詳解】將點的代入拋物線方程得，所以拋物線方程為，故準線方程為，A錯誤；
，所以直線的方程為，
聯(lián)立，可得，解得，故B正確；
設過的直線為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點，
所以，直線的斜率存在，設其方程為，，
聯(lián)立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正確；
因為，，
所以，而，故D正確.
故選：BCD
12．/
【分析】方法一：利用雙曲線的定義與向量數(shù)積的幾何意義得到關于的表達式，從而利用勾股定理求得，進而利用余弦定理得到的齊次方程，從而得解.
方法二：依題意設出各點坐標，從而由向量坐標運算求得，，將點代入雙曲線得到關于的齊次方程，從而得解；
【詳解】方法一：
依題意，設，則，
在中，，則，故或（舍去），
所以，，則，
故，
所以在中，，整理得，
故.
方法二:
依題意，得，令，
因為，所以，則，
又，所以，則，
又點在上，則，整理得，則，
所以，即，
整理得，則，解得或，
又，所以或（舍去），故.
故答案為：.
【點睛】關鍵點睛：雙曲線過焦點的三角形的解決關鍵是充分利用雙曲線的定義，結合勾股定理與余弦定理得到關于的齊次方程，從而得解.
13．
【分析】令的中點為，設，，利用點差法得到，設直線，，，求出、的坐標，再根據(jù)求出、，即可得解；
【詳解】[方法一]：弦中點問題：點差法
令的中點為，設，，利用點差法得到，
設直線，，，求出、的坐標，
再根據(jù)求出、，即可得解；
解：令的中點為，因為，所以，
設，，則，，
所以，即
所以，即，設直線，，，
令得，令得，即，，
所以，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直線，即；
故答案為：
[方法二]：直線與圓錐曲線相交的常規(guī)方法
解：由題意知，點既為線段的中點又是線段MN的中點，
設，，設直線，，，
則，，，因為，所以
聯(lián)立直線AB與橢圓方程得消掉y得
其中，
∴AB中點E的橫坐標,又，∴
∵，，∴,又，解得m=2
所以直線，即
14．
【分析】首先求出雙曲線的漸近線方程，再將圓的方程化為標準式，即可得到圓心坐標與半徑，依題意圓心到直線的距離等于圓的半徑，即可得到方程，解得即可．
【詳解】解：雙曲線的漸近線為，即，
不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑，
依題意圓心到漸近線的距離，
解得或（舍去）．
故答案為：．
15．13
【分析】利用離心率得到橢圓的方程為，根據(jù)離心率得到直線的斜率，進而利用直線的垂直關系得到直線的斜率，寫出直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，利用弦長公式求得，得，根據(jù)對稱性將的周長轉化為的周長，利用橢圓的定義得到周長為.
【詳解】∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設左焦點為，右焦點為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為， 直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，
判別式，
∴，
∴ ， 得，
∵為線段的垂直平分線，根據(jù)對稱性，，∴的周長等于的周長，利用橢圓的定義得到周長為.
故答案為：13.
一、單選題
1．（2024·四川涼山·三模）橢圓的光學性質(zhì)是：從一個焦點發(fā)出的光線照射到橢圓上，其反射光線會經(jīng)過另一個焦點；雙曲線的光學性質(zhì)是：從一個焦點發(fā)出的光線照射到雙曲線上，其反射光線的延長線會經(jīng)過另一個焦點．如圖示橢圓光學裝置1，光線經(jīng)過橢圓焦點射出經(jīng)橢圓兩次反射后又回到焦點，經(jīng)歷時長為，在裝置1中放入與橢圓具有公共焦點雙曲線構成如圖示裝置2，光線從焦點射出依次經(jīng)雙曲線及橢圓反射后回到經(jīng)歷時長．若，則該裝置中橢圓的離心率與雙曲線的離心率之比為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山西臨汾·三模）已知橢圓與橢圓有相同的焦點，且與直線相切，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·云南曲靖·二模）設點的坐標分別是,是平面內(nèi)的動點，直線的斜率之積為，動點的軌跡與曲線相交于4個點，以這四個交點為頂點的矩形的面積等于，則軌跡的離心率等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·陜西榆林·三模）設為雙曲線的上 下焦點，點為的上頂點，以為直徑的圓交的一條漸近線于兩點，若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·江蘇揚州·模擬預測）雙曲線具有光學性質(zhì)，從雙曲線一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點．若雙曲線E：的左、右焦點分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖中的A，B兩點反射后，分別經(jīng)過點C和D，且，，則E的離心率為（ ）

A． B． C． D．
6．（2024·北京順義·二模）已知拋物線的焦點為，準線為，為上一點，直線與相交于點，與軸交于點.若為的中點，則（ ）
A．4 B．6 C． D．8
二、多選題
7．（2024·浙江·二模）已知橢圓左右兩個焦點分別為和，動直線經(jīng)過橢圓左焦點與橢圓交于兩點，且恒成立，下列說法正確的是（ ）
A． B．
C．離心率 D．若，則
8．（2024·安徽·模擬預測）設兩點的坐標分別為直線相交于點，且它們的斜率之積為，則下列說法中正確的是（ ）
A．的軌跡方程為
B．的軌跡與橢圓共焦點
C．是的軌跡的一條漸近線
D．過能做4條直線與的軌跡有且只有一個公共點
三、填空題
9．（2024·全國·模擬預測）已知拋物線的焦點為，準線為，過點且傾斜角為的直線交拋物線于點A（點A在第一象限），過點A作，垂足為，直線交軸于點，若的外接圓的面積為，則拋物線的方程為 ．
10．（2024·寧夏石嘴山·三模）已知雙曲線的左右焦點分別為、，曲線上的點滿足，，，則雙曲線的離心率為 ．
11．（2024·海南省直轄縣級單位·一模）在中，，，于，若為的垂心，且.則到直線距離的最小值是 .
四、解答題
12．（2024·四川雅安·三模）設分別為橢圓的左右焦點，橢圓的短軸長為是直線上除外的任意一點，且直線的斜率與直線的斜率之比為3.
(1)求橢圓的方程；
(2)過右焦點的直線交橢圓于兩點，設直線的斜率分別為，判斷是否成等差數(shù)列？并說明理由.
13．（2024·山西臨汾·三模）如圖，在平面直角坐標系中，和是軸上關于原點對稱的兩個點，過點傾斜角為的直線與拋物線交于兩點，且．
(1)若為的焦點，求證：；
(2)過點作軸的垂線，垂足為，若，求直線的方程．
14．（2024·廣東·二模）雙曲線的焦點為（在下方），虛軸的右端點為，過點且垂直于軸的直線交雙曲線于點（在第一象限），與直線交于點，記的周長為的周長為．
(1)若的一條漸近線為，求的方程；
(2)已知動直線與相切于點，過點且與垂直的直線分別交軸，軸于兩點，為線段上一點，設為常數(shù)．若為定值，求的最大值．
參考答案：
1．C
【分析】通過裝置1與裝置2，利用橢圓和雙曲線的定義找到之間的關系，再由已知，進而得到之間關系，從而求出橢圓離心率與雙曲線離心率之比.
【詳解】不妨設光的傳播速度為單位1，橢圓的長軸長為，焦距為，雙曲線的實軸長為，焦距為，則由裝置1知，
由裝置2知：，可得：，
又由題知：，所以，
故橢圓離心率與雙曲線離心率之比為，
故選：C.
2．A
【分析】由橢圓得出焦點坐標，根據(jù)橢圓與直線相切聯(lián)立方程組，得出，根據(jù)離心率公式計算即可．
【詳解】由橢圓得，焦點，
因為橢圓與有相同的焦點，所以橢圓的焦點，則，
又因為與直線相切，則橢圓與直線只有1個交點，
聯(lián)立方程組得，，
則，化簡得，，解得或（不合題意舍），
則，又，所以，
故選：A．
3．B
【分析】首先求點的軌跡方程，再根據(jù)對稱性，利用坐標表示四邊形的面積，并求雙曲線方程，即可求解.
【詳解】設，則，所以動點的軌跡的方程為，
設軌跡與曲線在第一象限的交點為，則，
且，由對稱性可知所求矩形的面積，
解得，，故.
因為在曲線上，所以，
軌跡的方程可化為，所以軌跡是雙曲線，且，
離心率滿足：，所以.
故選：B
4．C
【分析】聯(lián)立雙曲線的漸近線與圓的方程可得、點坐標，結合點坐標借助向量夾角計算公式可得、的關系，即可得離心率.
【詳解】由題意知以為直徑的圓的方程為，
根據(jù)對稱性，不妨設一條漸近線方程為，在第二象限，
聯(lián)立，解得或，
則，又，
所以，
則，即，
所以離心率.
故選：C.
5．C
【分析】使用題設條件得到的比值，然后引入?yún)?shù)并得到等量關系，最后使用余弦定理即可得到齊次方程并求解.
【詳解】根據(jù)題意，三點共線，三點共線.
而，且由知，
故.
所以，
故可設，，.
由于，
故.
從而，，故，.
而，結合余弦定理得.
故，解得，所以.
故選：C.
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于在求得線段間比例后引入?yún)?shù)，方便后續(xù)的研究.
6．B
【分析】先根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)求出點的橫坐標，從而可得點的坐標，進而可求出直線的方程，進而可求得點的坐標，再根據(jù)兩點間的距離公式即可得解.
【詳解】，準線的方程為，
過點左，垂足為，
則，
因為為的中點，所以，所以，
所以，所以，則，
根據(jù)拋物線的對稱性不妨設在第一象限，則，
則，
所以直線的方程為，
令，則，即，
所以.

故選：B.
7．AB
【分析】根據(jù)橢圓定義利用通徑長可求得，由橢圓性質(zhì)可得，且離心率，聯(lián)立直線和橢圓方程可知當，方程無解，因此D錯誤.
【詳解】如下圖所示：
易知，由橢圓定義可知，
因為恒成立，所以，
當軸，即為通徑時，最小，所以，
解得，所以A正確；
當為長軸時，最大，此時，所以，即B正確；
可得橢圓方程為，易知，所以離心率，即C錯誤；
因為，可設直線的方程為，，
聯(lián)立，整理可得，
因此；
若，可得，即，所以；
整理得，此時方程無解，因此D錯誤.
故選：AB
8．BC
【分析】對A，設點，，根據(jù)條件列式求出軌跡方程可判斷；對B，由點的軌跡方程求出焦點坐標可判斷；對C，點的軌跡方程求出漸近線方程可判斷；對D，點在軸上，過點的直線與點的軌跡只有一個公共點，只有兩條切線，其中與漸近線平行的直線過點不合題意.
【詳解】對于A，設點，，則，，
所以，化簡得，所以點的軌跡方程為.故A錯誤；
對于B，由A選項，點的軌跡的焦點為與橢圓共焦點，故B正確；
對于C，點的軌跡對應曲線的漸近線為，故C正確；
對于D，點在軸上，設，則，，
所以直線，與漸近線平行，但點不在點的軌跡上，
故過點只能作點的軌跡兩條切線，如圖所示，故D錯誤.
故選：BC.

9．
【分析】根據(jù)題意結合拋物線的性質(zhì)可得是Rt的外接圓的直徑，可知，過點A作軸，結合拋物線的定義可得，即可得方程.
【詳解】如圖，因為直線的傾斜角為，，

可知，，
設準線與軸交于點，則坐標原點是線段的中點，，
可知點是線段的中點，則，
即為直角三角形，為斜邊，
所以是Rt的外接圓的直徑，
由題意可得：，解得．
過點A作軸，垂足為，
在Rt中，，
又因為，則，即，
所以拋物線的方程為．
故答案為：
10．/
【分析】利用 ，可得 ， ，結合雙曲線的定義，即可求得雙曲線的離心率.
【詳解】因為，，所以，
又，所以，，
所以，
則，即雙曲線的離心率為.
故答案為：.
11．
【分析】首先利用垂心的性質(zhì)，求得點的軌跡方程，再利用數(shù)形結合求距離的最小值.
【詳解】設，由可知，，又，，

則，
因為點為的垂心，所以，
即，即()，
聯(lián)立，得，得，
則直線與橢圓相離，如圖，

設直線與橢圓相切，
聯(lián)立，得，
令，得，
由圖可知，與橢圓相切的切點到直線的距離最近，
此時最近距離為平行線和間的距離，即.
故答案為：
12．(1)
(2)成等差數(shù)列，理由見解析
【分析】（1）由橢圓的短軸長為,求出，再由是直線上除(2,0)外的任意一點，且,求出，進而得到橢圓標準方程；
（2）①當直線的斜率為時，不妨設，表達斜率，推出結論；②當直線的斜率不為時，設的方程：.
聯(lián)立方程，求出，表達出來斜率，得到結論.
【詳解】（1）由已知得.
設，則，,
所以橢圓的方程為.
（2）①當直線的斜率為時，的方程：，
不妨設，
，
所以
②當直線的斜率不為0時，如圖，設的方程：.
由，得.
則
又，所以.
綜上，.所以成等差數(shù)列.
13．(1)證明見解析
(2)．
【分析】（1）將轉化為(坐標表示),從而求出點的坐標即可解答；或者由，可看作是以為直徑的圓與拋物線交點，從而求出的坐標即可解答；
（2）由，易得，即，所以點必在中垂線上，聯(lián)立直線與拋物線方程，再結合即可求解.
【詳解】（1）法一：
由題可知，，
設，，
則，．
因為，故，
解之得，．
，
．
．
法二：
由題可知，，
設點，因為，故點在圓上，
又因為點也在上，聯(lián)立與得
．
解之得．
因為，故．
故，．
．
．
（2）因為，，
所以，故．
所以點必在中垂線上．
方法一：
設，直線的方程為，，．
將代入
得：
，，．
因為點在中垂線上，故．
所以，即，左右兩邊同時除以得，解得：或，又因為
所以，．
因為，所以即．
所以，，，．
所以直線的方程為
即．
方法二：
設，直線的方程為，，，
將代入
得：
，，．
因為點必在中垂線上，且,
所以點為的中點，故，．
因為，所以即．
所以，，．
所以直線的方程為．
即．
14．(1)；
(2)1.
【分析】（1）根據(jù)結合雙曲線定義求出，然后根據(jù)漸近線求解即可.
（2）設直線方程與（1）得到的雙曲線聯(lián)立，根據(jù)直線與雙曲線相切表示k，再根據(jù)垂直以及向量關系求解即可.
【詳解】（1）依題意，
，解得，又雙曲線的一條漸近線為，則，即，
所以雙曲線的方程為.
（2）由（1）知，則雙曲線方程為，設，
過的直線的方程為，即，令，顯然，
由消去y得，顯然，
由直線與雙曲線只有一個公共點，得，
化簡得，代入得，
由直線與雙曲線相切，得，而，于是，
過點T且與垂直的直線的直線斜率為，方程為，
令，得，即，令，得，即，
設，由，得，即，
代入得，
依題意，該雙曲線與雙曲線共焦點，則，
化簡得，于是，
，當且僅當，時取等號，
所以的最大值為1.
【點睛】易錯點睛：求解軌跡方程問題，設出動點坐標，根據(jù)條件求列出方程，再化簡整理求解，還應特別注意：補上在軌跡上而坐標不是方程解的點，剔出不在軌跡上而坐標是方程解的點.
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8.2圓錐曲線的概念與性質(zhì)
【備考指南】 2
【知識導圖】 3
【考點梳理】 8
考點一：橢圓的定義與方程 8
考點二：橢圓的離心率 9
考點三：雙曲線的定義與方程 10
考點四：雙曲線的漸近線 11
考點五：雙曲線的離心率 13
考點六：拋物線的定義與方程 14
【真題在線】 15
【專項突破】 17
考點 考情分析 考頻
橢圓 2023年新高考Ⅱ卷T5 2023年全國甲卷T7 2022年新高考Ⅰ卷T16 2022年新高考Ⅱ卷T16 2022年全國甲卷T10 2021年新高考Ⅰ卷T5 2021年全國甲卷T15 2021年全國乙卷T11 3年8考
雙曲線 2023年新高考Ⅰ卷T16 2023年新高考Ⅱ卷T21 2023年全國乙卷T11 2022年全國甲卷T14 2022年全國乙卷T11 2021年新高考Ⅱ卷T13 2021年全國甲卷T5 2021年全國乙卷T13 3年8考
拋物線 2023年新高考Ⅱ卷T10 2023年全國甲卷T20 2022年新高考Ⅰ卷T11 2022年新高考Ⅱ卷T10 2022年全國乙卷T5 2021年新高考Ⅰ卷T14 2021年新高考Ⅱ卷T3 3年7考
直線與圓錐曲線位置關系 2023年新高考Ⅰ卷T22 2023年新高考Ⅱ卷T21 2022年新高考Ⅰ卷T21 2022年新高考Ⅱ卷T21 2022年全國甲卷T20 2022年全國乙卷T20 2021年新高考Ⅰ卷T21 2021年新高考Ⅱ卷T20 2021年全國甲卷T20 2021年全國乙卷T21 3年10考
預測：圓錐曲線為高考必考點，通常考察2-3個小題，考察難度易、中、難都有可能出現(xiàn)，在解答題的考查中，一般情況第一問相對較易，第二問的計算量增加，難度相對較大.建議在進行復習時，全面掌握好基礎知識，同時也要加強學生計算能力的鍛煉，加強邏輯思維能力的鍛煉，正確的理解題意，合理的進行轉化.
考點一：橢圓的定義與方程
【典例精析】（多選）（2024·廣東·三模）已知橢圓的長軸端點分別為 兩個焦點分別為是上任意一點，則（ ）
A．的離心率為 B．的周長為
C．面積的最大值為 D．
【變式訓練】
一、單選題
1．（2024·安徽池州·二模）已知圓和兩點為圓所在平面內(nèi)的動點，記以為直徑的圓為圓，以為直徑的圓為圓，則下列說法一定正確的是（ ）
A．若圓與圓內(nèi)切，則圓與圓內(nèi)切
B．若圓與圓外切，則圓與圓外切
C．若，且圓與圓內(nèi)切，則點的軌跡為橢圓
D．若，且圓與圓外切，則點的軌跡為雙曲線
2．（23-24高二上·江蘇南通·期中）已知橢圓C：的左焦點為F，P為C上一動點，定點，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·河南周口·模擬預測）已知分別為橢圓的左、右焦點，P為橢圓上任意一點（不在x軸上），外接圓的半徑為R，內(nèi)切圓的圓心為I，半徑為r，直線PI交x軸于點M，G為的重心，O為坐標原點，則下列說法正確的是（ ）
A．r為定值 B．
C．的最大值為 D．直線IG的傾斜角不變
4．（2024·山西呂梁·一模）畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓的兩條切線互相垂直，則兩切線的交點位于一個與橢圓同中心的圓上，稱此圓為該橢圓的蒙日圓．已知橢圓分別為橢圓的左、右焦點，，其短軸上的一個端點到的距離為，點在橢圓上，直線，則（ ）
A．直線與蒙日圓相切
B．橢圓的蒙日圓方程為
C．若點是橢圓的蒙日圓上的動點，過點作橢圓的兩條切線，分別交蒙日圓于兩點，則的長恒為4
D．記點到直線的距離為，則的最小值為
三、填空題
5．（23-24高二上·安徽蕪湖·期末）已知橢圓的上、下頂點分別為M，N，點P為橢圓上任意一點（不同于M，N），若點Q滿足，則點Q到坐標原點距離的取值范圍為 ．
考點二：橢圓的離心率
【典例精析】（多選）（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）在平面直角坐標系xOy中，長、短軸所在直線不與坐標軸重合的橢圓稱為“斜橢圓”，將焦點在坐標軸上的橢圓繞著對稱中心順時針旋轉，即得“斜橢圓”，設在上，則（ ）
A．“斜橢圓”的焦點所在直線的方程為 B．的離心率為
C．旋轉前的橢圓標準方程為 D．
【變式訓練】
一、單選題
1．（2024·四川雅安·三模）在平面直角坐標系中，設橢圓與雙曲線的離心率分別為，其中且雙曲線漸近線的斜率絕對值小于，則下列關系中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·陜西安康·模擬預測）已知橢圓的離心率，上頂點的坐標為，右頂點為為上橫坐標為1的點，直線與軸交于點為坐標原點，則（ ）
A．1 B． C． D．
二、多選題
3．（2023·全國·模擬預測）橢圓的左、右焦點分別為，，點是上一點，滿足，，且的面積為，則的值可能為（ ）
A．3 B． C．4 D．
4．（2024·湖北·模擬預測）已知橢圓：的左、右焦點分別為、，又，，且直線，的斜率之積為，則（ ）
A．
B．
C．的離心率為
D．若上的點滿足，則
三、填空題
5．（2022·四川綿陽·二模）第24屆冬奧會，是中國歷史上第一次舉辦的冬季奧運會，國家體育場(鳥巢)成為北京冬奧會開、閉幕式的場館．國家體育場“鳥巢”的鋼結構鳥瞰圖如圖，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，若由外層橢圓長軸一端點A和短軸一端點B分別向內(nèi)層橢圓引切線AC，BD，且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為 ．
考點三：雙曲線的定義與方程
【典例精析】（多選）（2023·廣東·模擬預測）已知雙曲線：（，），的左、右焦點分別為，，為上一點，則以下結論中，正確的是（ ）
A．若，且軸，則的方程為
B．若的一條漸近線方程是，則的離心率為
C．若點在的右支上，的離心率為，則等腰的面積為
D．若，則的離心率的取值范圍是
【變式訓練】
一、單選題
1．（2024·河南·二模）已知雙曲線的左，右焦點分別為為坐標原點，焦距為，點在雙曲線上，，且的面積為，則雙曲線的離心率為（ ）
A．2 B． C． D．4
2．（2024·遼寧·二模）已知雙曲線的左焦點為，漸近線方程為，焦距為8，點的坐標為，點為的右支上的一點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·全國·模擬預測）關于方程表示的曲線，下列說法正確的是（ ）
A．可以表示兩條平行的直線，且這兩條直線的距離為2
B．若為雙曲線，則為鈍角
C．若為銳角，則為焦點在軸上的橢圓
D．若為橢圓，為橢圓上不與長軸頂點重合的點，則
4．（2021·河北張家口·三模）已知方程表示的曲線是雙曲線，其離心率為，則（ ）
A．
B．點是該雙曲線的一個焦點
C．
D．該雙曲線的漸近線方程可能為
三、填空題
5．（2024·上海金山·二模）已知雙曲線(，)，給定的四點、、、中恰有三個點在雙曲線上，則該雙曲線的離心率是 ．
考點四：雙曲線的漸近線
【典例精析】（多選）（2023·河北·模擬預測）雙曲線的左、右焦點分別是，過的直線與雙曲線右支交于兩點，記和的內(nèi)切圓半徑分別為和，則（ ）
A．和的內(nèi)切圓圓心的連線與軸垂直
B．為定值
C．若，則的離心率
D．若，則的漸近線方程為
【變式訓練】
一、單選題
1．（2024·天津·二模）已知雙曲線的一條漸近線與拋物線交于點（異于坐標原點），點到拋物線焦點的距離是到軸距離的3倍，過雙曲線的左 右頂點作雙曲線同一條漸近線的垂線，垂足分別為，則雙曲線的實軸長為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
2．（2024·福建廈門·三模）已知雙曲線，過右焦點作一條漸近線的垂線，垂足為，點在上，且，則的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．3
二、多選題
3．（2023·山西·模擬預測）如圖，已知，分別為雙曲線C：（，）的左、右焦點，過作圓O：的切線，切點為A，且在第三象限與C及C的漸近線分別交于點M，N，則（ ）
A．直線OA與雙曲線C無交點
B．若，則
C．若，則C的漸近線方程為
D．若，則C的離心率為
4．（2024·山西·二模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，左、右頂點分別為，，為坐標原點，直線交雙曲線的右支于，兩點（不同于右頂點），且與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點，則（ ）
A．為定值
B．
C．點到兩條漸近線的距離之和的最小值為
D．不存在直線使
三、填空題
5．（2024·河南鄭州·三模）已知雙曲線的離心率為分別是它的兩條漸近線上的兩點（不與坐標原點重合），點在雙曲線上且 的面積為6，則該雙曲線的實軸長為 ．
考點五：雙曲線的離心率
【典例精析】（多選）（2022·廣東·模擬預測）已知雙曲線的方程為兩點分別是雙曲線的左，右頂點，點是雙曲線上任意一點（與兩點不重合），記直線的斜率分別為，則（ ）
A．雙曲線的焦點到漸近線的距離為4
B．若雙曲線的實半軸長，虛半軸長同時增加相同的長度，則離心率變大
C．為定值
D．存在實數(shù)使得直線與雙曲線左，右兩支各有一個交點
【變式訓練】
一、單選題
1．（2024·山東濟南·三模）在平面直角坐標系中，已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點P在C上，且，，則C的離心率為（ ）
A． B． C．3 D．2
2．（2024·全國·模擬預測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，若的離心率為，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，延長與另一條漸近線交于點，若，為坐標原點，則的面積為（ ）
A． B． C． D．6
二、多選題
3．（2023·遼寧錦州·模擬預測）已知，是橢圓：與雙曲線：的公共焦點，，分別是與的離心率，且P是與的一個公共點，滿足，則下列結論中正確的是（ ）
A． B．
C．的最小值為 D．的最大值為
4．（2024·安徽·模擬預測）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，直線：與C的左、右兩支分別交于M，N兩點（點N在第一象限），點在直線上，點Q在直線上，且，則（ ）
A．C的離心率為3 B．當時，
C． D．為定值
三、填空題
5．（2024·全國·模擬預測）已知雙曲線：（，）的焦距為6，且直線與雙曲線的右支有交點，則當雙曲線的離心率最小時，雙曲線的標準方程為 ．
考點六：拋物線的定義與方程
【典例精析】（多選）（2024·河南鄭州·三模）已知直線（不同時為0），圓，則（ ）
A．當時，直線與圓相切
B．當時，直線與圓不可能相交
C．當時，與圓外切且與直線相切的動圓圓心的軌跡是一條拋物線
D．當時，直線與坐標軸相交于兩點，則圓上存在點滿足
【變式訓練】
一、單選題
1．（2024·江蘇·模擬預測）經(jīng)過拋物線焦點的直線與交于，兩點，與拋物線的準線交于點，若，，成等差數(shù)列，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·安徽安慶·三模）已知拋物線的焦點到其準線的距離為2，點是拋物線上兩個不同點，且，則（ ）
A． B． C． D．3
二、多選題
3．（2024·河北·二模）已知為坐標原點，焦點為的拋物線過點，過且與垂直的直線與拋物線的另一交點為，則（ ）
A． B．
C． D．直線與拋物線的準線相交于點
4．（2023·遼寧大連·模擬預測）已知拋物線的焦點為，焦點到準線的距離為，為上的一個動點，則（ ）
A．的焦點坐標為
B．若，則周長的最小值為
C．若，則的最小值為
D．在軸上不存在點，使得為鈍角
三、填空題
5．（22-23高三上·湖南益陽·期末）已知拋物線的焦點為，圓與交于兩點，其中點在第一象限，點在直線上運動，記.
①當時，有；
②當時，有；
③可能是等腰直角三角形；
其中命題中正確的有 .
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）設O為坐標原點，為橢圓的兩個焦點，點 P在C上，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全國·高考真題）設A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全國·高考真題）設橢圓的離心率分別為．若，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全國·高考真題）已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線與C交于A，B兩點，若面積是面積的2倍，則（ ）．
A． B． C． D．
6．（2022·全國·高考真題）橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全國·高考真題）設F為拋物線的焦點，點A在C上，點，若，則（ ）
A．2 B． C．3 D．
二、多選題
8．（2023·全國·高考真題）設O為坐標原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準線，則（ ）．
A． B．
C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形
9．（2022·全國·高考真題）已知O為坐標原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，若，則（ ）
A．直線的斜率為 B．
C． D．
10．（2022·全國·高考真題）雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點，且，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·全國·高考真題）已知O為坐標原點，點在拋物線上，過點的直線交C于P，Q兩點，則（ ）
A．C的準線為 B．直線AB與C相切
C． D．
三、填空題
12．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線的左、右焦點分別為．點在上，點在軸上，，則的離心率為 ．
13．（2022·全國·高考真題）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點，且，則l的方程為 ．
14．（2022·全國·高考真題）若雙曲線的漸近線與圓相切，則 ．
15．（2022·全國·高考真題）已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長是 ．
一、單選題
1．（2024·四川涼山·三模）橢圓的光學性質(zhì)是：從一個焦點發(fā)出的光線照射到橢圓上，其反射光線會經(jīng)過另一個焦點；雙曲線的光學性質(zhì)是：從一個焦點發(fā)出的光線照射到雙曲線上，其反射光線的延長線會經(jīng)過另一個焦點．如圖示橢圓光學裝置1，光線經(jīng)過橢圓焦點射出經(jīng)橢圓兩次反射后又回到焦點，經(jīng)歷時長為，在裝置1中放入與橢圓具有公共焦點雙曲線構成如圖示裝置2，光線從焦點射出依次經(jīng)雙曲線及橢圓反射后回到經(jīng)歷時長．若，則該裝置中橢圓的離心率與雙曲線的離心率之比為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山西臨汾·三模）已知橢圓與橢圓有相同的焦點，且與直線相切，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·云南曲靖·二模）設點的坐標分別是,是平面內(nèi)的動點，直線的斜率之積為，動點的軌跡與曲線相交于4個點，以這四個交點為頂點的矩形的面積等于，則軌跡的離心率等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·陜西榆林·三模）設為雙曲線的上 下焦點，點為的上頂點，以為直徑的圓交的一條漸近線于兩點，若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·江蘇揚州·模擬預測）雙曲線具有光學性質(zhì)，從雙曲線一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點．若雙曲線E：的左、右焦點分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖中的A，B兩點反射后，分別經(jīng)過點C和D，且，，則E的離心率為（ ）

A． B． C． D．
6．（2024·北京順義·二模）已知拋物線的焦點為，準線為，為上一點，直線與相交于點，與軸交于點.若為的中點，則（ ）
A．4 B．6 C． D．8
二、多選題
7．（2024·浙江·二模）已知橢圓左右兩個焦點分別為和，動直線經(jīng)過橢圓左焦點與橢圓交于兩點，且恒成立，下列說法正確的是（ ）
A． B．
C．離心率 D．若，則
8．（2024·安徽·模擬預測）設兩點的坐標分別為直線相交于點，且它們的斜率之積為，則下列說法中正確的是（ ）
A．的軌跡方程為
B．的軌跡與橢圓共焦點
C．是的軌跡的一條漸近線
D．過能做4條直線與的軌跡有且只有一個公共點
三、填空題
9．（2024·全國·模擬預測）已知拋物線的焦點為，準線為，過點且傾斜角為的直線交拋物線于點A（點A在第一象限），過點A作，垂足為，直線交軸于點，若的外接圓的面積為，則拋物線的方程為 ．
10．（2024·寧夏石嘴山·三模）已知雙曲線的左右焦點分別為、，曲線上的點滿足，，，則雙曲線的離心率為 ．
11．（2024·海南省直轄縣級單位·一模）在中，，，于，若為的垂心，且.則到直線距離的最小值是 .
四、解答題
12．（2024·四川雅安·三模）設分別為橢圓的左右焦點，橢圓的短軸長為是直線上除外的任意一點，且直線的斜率與直線的斜率之比為3.
(1)求橢圓的方程；
(2)過右焦點的直線交橢圓于兩點，設直線的斜率分別為，判斷是否成等差數(shù)列？并說明理由.
13．（2024·山西臨汾·三模）如圖，在平面直角坐標系中，和是軸上關于原點對稱的兩個點，過點傾斜角為的直線與拋物線交于兩點，且．
(1)若為的焦點，求證：；
(2)過點作軸的垂線，垂足為，若，求直線的方程．
14．（2024·廣東·二模）雙曲線的焦點為（在下方），虛軸的右端點為，過點且垂直于軸的直線交雙曲線于點（在第一象限），與直線交于點，記的周長為的周長為．
(1)若的一條漸近線為，求的方程；
(2)已知動直線與相切于點，過點且與垂直的直線分別交軸，軸于兩點，為線段上一點，設為常數(shù)．若為定值，求的最大值．
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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