資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
專題05 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點(diǎn)突破】 4
【考點(diǎn)1】一元二次不等式的求解 4
【考點(diǎn)2】三個二次之間的關(guān)系 5
【考點(diǎn)3】一元二次不等式恒成立問題 6
【分層檢測】 7
【基礎(chǔ)篇】 7
【能力篇】 9
【培優(yōu)篇】 10
考試要求：
1.會結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程實(shí)根的存在性及實(shí)根的個數(shù)，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系.
2.會從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義.
3.能借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
1.一元二次不等式
只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式.
2.三個“二次”間的關(guān)系
判別式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函數(shù) y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的圖象
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有兩相異實(shí)根x1，x2(x1＜x2) 有兩相等實(shí)根 x1＝x2＝－ 沒有實(shí)數(shù)根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集
不等式 解集
ab
(x－a)·(x－b)>0 {x|xb} {x|x≠a} {x|xa}
(x－a)·(x－b)<0 {x|a4.分式不等式與整式不等式
(1)>0(<0) f(x)·g(x)>0(<0).
(2)≥0(≤0) f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
1.絕對值不等式|x|>a(a>0)的解集為(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|0)的解集為
(－a，a).
記憶口訣：大于號取兩邊，小于號取中間.
2.解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)時不要忘記當(dāng)a＝0時的情形.
3.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的條件要結(jié)合其對應(yīng)的函數(shù)圖象決定.
(1)不等式ax2＋bx＋c>0對任意實(shí)數(shù)x恒成立 或
(2)不等式ax2＋bx＋c<0對任意實(shí)數(shù)x恒成立 或
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·山東·高考真題）已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，則不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·全國·高考真題）已知集合則（ ）
A． B．
C． D．
二、填空題
4．（2023·全國·高考真題）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是 .
【考點(diǎn)1】一元二次不等式的求解
一、單選題
1．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知，若，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C．或 D．或
2．（2024·福建寧德·三模）函數(shù)，若關(guān)于的不等式有且僅有三個整數(shù)解，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）下列說法正確的是（ ）
A．不等式的解集是
B．不等式的解集是
C．若不等式恒成立，則a的取值范圍是
D．若關(guān)于x的不等式的解集是，則的值為
4．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（且），且，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．為R上的增函數(shù) B．無極值
C． D．
三、填空題
5．（2024·浙江紹興·二模）已知集合，，且有4個子集，則實(shí)數(shù)的最小值是 .
6．（2023·上海寶山·二模）已知函數(shù)（且），若關(guān)于的不等式的解集為，其中，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
反思提升：
含有參數(shù)的不等式的求解，往往需要比較(相應(yīng)方程)根的大小，對參數(shù)進(jìn)行分類討論.
(1)若二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，可先考慮分解因式，再對參數(shù)進(jìn)行討論；若不易分解因式，則可對判別式進(jìn)行分類討論.
(2)若二次項(xiàng)系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，然后再討論二次項(xiàng)系數(shù)不為零的情形及判別式Δ的正負(fù)，以便確定解集的形式.
(3)其次對相應(yīng)方程的根進(jìn)行討論，比較大小，以便寫出解集.
【考點(diǎn)2】三個二次之間的關(guān)系
一、單選題
1．（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式的解為，那么的解集為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·上海黃浦·模擬預(yù)測）已知不等式有實(shí)數(shù)解．結(jié)論（1）：設(shè)是的兩個解，則對于任意的，不等式和恒成立；結(jié)論（2）：設(shè)是的一個解，若總存在，使得，則，下列說法正確的是（ ）
A．結(jié)論①、②都成立 B．結(jié)論①、②都不成立
C．結(jié)論①成立，結(jié)論②不成立 D．結(jié)論①不成立，結(jié)論②成立
3．（2021·安徽·二模）設(shè)集合，，且，則實(shí)數(shù)（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·新疆·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，滿足，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
5．（20-21高一上·浙江臺州·期中）若非負(fù)實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為 .
6．（2020·浙江·二模）已知函數(shù)，，，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
反思提升：
1.一元二次方程的根就是相應(yīng)一元二次函數(shù)的零點(diǎn)，也是相應(yīng)一元二次不等式解集的端點(diǎn)值.
2.給出一元二次不等式的解集，相當(dāng)于知道了相應(yīng)二次函數(shù)的開口方向及與x軸的交點(diǎn)，可以利用代入根或根與系數(shù)的關(guān)系求待定系數(shù).
【考點(diǎn)3】一元二次不等式恒成立問題
一、單選題
1．（2024·浙江·模擬預(yù)測）若不等式的解為全體實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·湖北·二模）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，若對于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)x可能為（ ）
A． B．0 C．1 D．2
二、多選題
3．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測）下列說法正確的是（ ）
A．若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)?br/>B．當(dāng)時，不等式恒成立，則的取值范圍是
C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
D．若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是
4．（23-24高一上·江蘇南京·期末）已知關(guān)于的不等式的解集是，則（ ）
A．
B．
C．
D．不等式的解集是或
三、填空題
5．（2023·河北·模擬預(yù)測）設(shè)向量滿足，，若存在實(shí)數(shù)，，則向量與的夾角的取值范圍為 ．
6．（23-24高三上·全國·階段練習(xí)）對任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
反思提升：
(1)對于二次不等式恒成立問題常見的類型有兩種，一是在全集R上恒成立，二是在某給定區(qū)間上恒成立.
(2)解決恒成立問題一定要搞清誰是自變量，誰是參數(shù)，一般地，知道誰的范圍，誰就是變量，求誰的范圍，誰就是參數(shù).
①若ax2＋bx＋c＞0恒成立，則有a＞0，且Δ＜0；若ax2＋bx＋c＜0恒成立，則有a＜0，且Δ＜0.②對第二種情況，要充分結(jié)合函數(shù)圖象利用函數(shù)的最值求解(也可采用分離參數(shù)的方法).
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·云南·模擬預(yù)測）若是一元二次方程的根，則該方程的兩根之和為（ ）
A．2 B． C． D．1
2．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．（2023·福建廈門·二模）不等式（）恒成立的一個充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·上海·模擬預(yù)測）有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后超過100人患了流感，若設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，那么x滿足的不等關(guān)系為（ ）
A．x（1+x）≥100 B．1+x（1+x）＞100
C．x+x（1+x）≥100 D．1+x+x（1+x）＞100
二、多選題
5．（2024·廣西南寧·二模）若表示集合M和N關(guān)系的Venn圖如圖所示，則M，N可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)和實(shí)數(shù)，，則下列說法正確的是（ ）
A．定義在上的函數(shù)恒有，則當(dāng)時，函數(shù)的圖象有對稱軸
B．定義在上的函數(shù)恒有，則當(dāng)時，函數(shù)具有周期性
C．若，，，則，恒成立
D．若，，，且的4個不同的零點(diǎn)分別為，且，則
三、填空題
7．（2022·遼寧鞍山·模擬預(yù)測）設(shè)矩形的周長為，把它沿對角線對折后，設(shè)交于點(diǎn)，此時點(diǎn)記作，如圖所示，設(shè)，，則△的面積的最大值為 ．
8．（2023·上海崇明·一模）已知不平行的兩個向量滿足，．若對任意的，都有成立，則的最小值等于 ．
9．（2024·貴州黔西·一模）已知，若，均有不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
四、解答題
10．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)求不等式的解集；
(2)若，且存在使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
11．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知二次函數(shù)（，為實(shí)數(shù)）
(1)若函數(shù)圖象過點(diǎn)，對，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若函數(shù)圖象過點(diǎn)，對，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
12．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，且的解集為．
(1)求和的值；
(2)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則的解集為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（23-24高一上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M足，當(dāng)時，，若對于任意的，都有，則實(shí)數(shù)的取值可以是（ ）
A．3 B． C． D．6
三、填空題
3．（2023·廣西南寧·模擬預(yù)測）已知，，且，則的最小值為 ．
四、解答題
4．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的不等式對任意實(shí)數(shù)x恒成立.
(1)求滿足條件的實(shí)數(shù)a，b的所有值；
(2)若對恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2024·陜西榆林·三模）某興趣小組的幾位同學(xué)在研究不等式時給出一道題：已知函數(shù).函數(shù)，當(dāng)時，的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江寧波·一模）已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則滿足要求的有序數(shù)對有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．無數(shù)個
3．（2023·廣東廣州·三模）定義，設(shè)函數(shù)，若使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）．
A． B．
C． D．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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專題05 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點(diǎn)突破】 5
【考點(diǎn)1】一元二次不等式的求解 5
【考點(diǎn)2】三個二次之間的關(guān)系 9
【考點(diǎn)3】一元二次不等式恒成立問題 13
【分層檢測】 17
【基礎(chǔ)篇】 17
【能力篇】 26
【培優(yōu)篇】 29
考試要求：
1.會結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程實(shí)根的存在性及實(shí)根的個數(shù)，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系.
2.會從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義.
3.能借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
1.一元二次不等式
只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式.
2.三個“二次”間的關(guān)系
判別式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函數(shù) y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的圖象
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有兩相異實(shí)根x1，x2(x1＜x2) 有兩相等實(shí)根 x1＝x2＝－ 沒有實(shí)數(shù)根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集
不等式 解集
ab
(x－a)·(x－b)>0 {x|xb} {x|x≠a} {x|xa}
(x－a)·(x－b)<0 {x|a4.分式不等式與整式不等式
(1)>0(<0) f(x)·g(x)>0(<0).
(2)≥0(≤0) f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
1.絕對值不等式|x|>a(a>0)的解集為(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|0)的解集為
(－a，a).
記憶口訣：大于號取兩邊，小于號取中間.
2.解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)時不要忘記當(dāng)a＝0時的情形.
3.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的條件要結(jié)合其對應(yīng)的函數(shù)圖象決定.
(1)不等式ax2＋bx＋c>0對任意實(shí)數(shù)x恒成立 或
(2)不等式ax2＋bx＋c<0對任意實(shí)數(shù)x恒成立 或
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·山東·高考真題）已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，則不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·全國·高考真題）已知集合則（ ）
A． B．
C． D．
二、填空題
4．（2023·全國·高考真題）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是 .
參考答案：
1．C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根據(jù)交集的運(yùn)算解出．
方法二：將集合中的元素逐個代入不等式驗(yàn)證，即可解出．
【詳解】方法一：因?yàn)椋?br/>所以．
故選：C．
方法二：因?yàn)椋瑢⒋氩坏仁剑挥惺共坏仁匠闪ⅲ裕?br/>故選：C．
2．A
【分析】本題可根據(jù)圖像得出結(jié)果.
【詳解】結(jié)合圖像易知，
不等式的解集，
故選：A.
3．D
【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到結(jié)果.
【詳解】由解得，
所以，
又因?yàn)椋裕?br/>故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查的是有關(guān)集合的問題，涉及到的知識點(diǎn)有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題目.
4．
【分析】原問題等價于恒成立，據(jù)此將所得的不等式進(jìn)行恒等變形，可得，由右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性可得實(shí)數(shù)的二次不等式，求解二次不等式后可確定實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上恒成立，
則，即在區(qū)間上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
結(jié)合題意可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
【考點(diǎn)1】一元二次不等式的求解
一、單選題
1．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知，若，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C．或 D．或
2．（2024·福建寧德·三模）函數(shù)，若關(guān)于的不等式有且僅有三個整數(shù)解，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）下列說法正確的是（ ）
A．不等式的解集是
B．不等式的解集是
C．若不等式恒成立，則a的取值范圍是
D．若關(guān)于x的不等式的解集是，則的值為
4．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（且），且，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．為R上的增函數(shù) B．無極值
C． D．
三、填空題
5．（2024·浙江紹興·二模）已知集合，，且有4個子集，則實(shí)數(shù)的最小值是 .
6．（2023·上海寶山·二模）已知函數(shù)（且），若關(guān)于的不等式的解集為，其中，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
參考答案：
1．A
【分析】將代入，然后轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解可得.
【詳解】因?yàn)椋裕葍r于，
解得.
故選：A
2．A
【分析】求導(dǎo)，求得的單調(diào)區(qū)間，作出的圖象，分類討論求得的解集，結(jié)合圖象可得的取值范圍為.
【詳解】對函數(shù)求導(dǎo)可得，令，解得，令，解得，又時，，
所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為和，
作出圖象如圖所示：
當(dāng)時，由，可得，
由圖象可知，不存在整數(shù)點(diǎn)滿足條件，
當(dāng)時，由，可得，
由圖象可知，不存在整數(shù)點(diǎn)滿足條件，
當(dāng)時，由，可得，
又， ，，
由的遞增區(qū)間為，所以，
所以要使有三個整數(shù)解，則，
所以關(guān)于的不等式有且僅有三個整數(shù)解，
則的取值范圍為.
故選：A.
3．CD
【分析】
對于AB，直接解一元二次不等式即可判斷；對于C，對分類討論即可判斷；對于D，由一元二次不等式的解集與一元二次方程的根的關(guān)系，先求得，然后即可判斷.
【詳解】對于A，或，故A錯誤；
對于B，，故B錯誤；
若不等式恒成立，
當(dāng)時，是不可能成立的，
所以只能，而該不等式組無解，綜上，故C正確；
對于D，由題意得是一元二次方程的兩根，
從而，解得，
而當(dāng)時，一元二次不等式滿足題意，
所以的值為，故D正確.
故選：CD.
4．ABC
【分析】先求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性和極值，再利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較a，b，c的大小，利用函數(shù)的單調(diào)性比較對應(yīng)函數(shù)值的大小.
【詳解】解：已知函數(shù)（且），
則，則，
所以，故在R上單調(diào)遞增，A選項(xiàng)正確；
因?yàn)闉镽上的增函數(shù)，所以無極值，B選項(xiàng)正確；
因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以，
因?yàn)槭菧p函數(shù)，所以，
因?yàn)槭菧p函數(shù)，所以，
綜上可知，，又為增函數(shù)，則，C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯誤；
故選：ABC.
5．/0.5
【分析】根據(jù)的子集個數(shù)，得到元素個數(shù)，分和討論，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【詳解】由有4個子集，所以中有2個元素，
所以，所以 ，
所以滿足，或，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為，或，
故答案為：
6．
【分析】根據(jù)題意結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷出，，且的解集為，根據(jù)一元二次不等式和相應(yīng)方程的關(guān)系可得，結(jié)合b的范圍，即可求得答案.
【詳解】由題意知若，即，
∴，
∴當(dāng)時，；當(dāng) 時，，
∵的解集為，
∴，，且的解集為，
∴與是的兩根，
故，∴，
又，∴，
又，∴ ，
故答案為：
反思提升：
含有參數(shù)的不等式的求解，往往需要比較(相應(yīng)方程)根的大小，對參數(shù)進(jìn)行分類討論.
(1)若二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，可先考慮分解因式，再對參數(shù)進(jìn)行討論；若不易分解因式，則可對判別式進(jìn)行分類討論.
(2)若二次項(xiàng)系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，然后再討論二次項(xiàng)系數(shù)不為零的情形及判別式Δ的正負(fù)，以便確定解集的形式.
(3)其次對相應(yīng)方程的根進(jìn)行討論，比較大小，以便寫出解集.
【考點(diǎn)2】三個二次之間的關(guān)系
一、單選題
1．（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式的解為，那么的解集為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·上海黃浦·模擬預(yù)測）已知不等式有實(shí)數(shù)解．結(jié)論（1）：設(shè)是的兩個解，則對于任意的，不等式和恒成立；結(jié)論（2）：設(shè)是的一個解，若總存在，使得，則，下列說法正確的是（ ）
A．結(jié)論①、②都成立 B．結(jié)論①、②都不成立
C．結(jié)論①成立，結(jié)論②不成立 D．結(jié)論①不成立，結(jié)論②成立
3．（2021·安徽·二模）設(shè)集合，，且，則實(shí)數(shù)（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·新疆·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，滿足，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
5．（20-21高一上·浙江臺州·期中）若非負(fù)實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為 .
6．（2020·浙江·二模）已知函數(shù)，，，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)題意得出a、b、c的關(guān)系，代入新的一元二次不等式求解即可.
【詳解】一元二次不等式的解為，
所以的解為，且，
由韋達(dá)定理得，代入得
，
故選：D.
2．B
【分析】根據(jù)一元二次不等式與二次方程以及二次函數(shù)之間的關(guān)系，以及考慮特殊情況通過排除法確定選項(xiàng).
【詳解】當(dāng)且 時，
的解為全體實(shí)數(shù)，故對任意的，與 的關(guān)系不確定，例如：取而，所以 ，故結(jié)論①不成立.
當(dāng)且 時，的解為 ，其中 是的兩個根.當(dāng) 此時 ，但 值不確定，比如：，取 ，則，但 ，故結(jié)論②不成立.
故選：B
3．A
【分析】若的兩個根分別為，利用一元二次方程的根與對應(yīng)不等式解集的關(guān)系得，由韋達(dá)定理結(jié)合已知條件求，進(jìn)而可求.
【詳解】若的兩個根分別為且，
∴且，，
∵，且，
∴，
綜上，可得：.
故選：A.
4．C
【分析】由題設(shè)知關(guān)于對稱且開口向上，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性有，求解集.
【詳解】依題意，有二次函數(shù)關(guān)于對稱且開口向上，
∴根據(jù)二次函數(shù)的對稱性：若，即有，
∴.
故選：C
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由題設(shè)可得關(guān)于對稱且開口向上，根據(jù)對稱性求函數(shù)不等式的解集即可.
5．
【解析】令，結(jié)合題意，得到，根據(jù)關(guān)于的方程必須有解，利用，求得以，即可求解.
【詳解】令，
則，兩邊平方，可得， （1）
因?yàn)椋?br/>所以， （2）
由（1）（2）可得，
整理得，
因?yàn)殛P(guān)于的方程必須有解，所以，
解得，因?yàn)椋裕缘淖畲笾禐?6，
即的最大值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】解答中把轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程必須有解，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解是解答本題的關(guān)鍵.
6．或
【解析】設(shè)，是方程的兩個實(shí)根，則可得或，進(jìn)而可得，由可得對任意，均有，即可得，由韋達(dá)定理和根的判別式列出不等式組即可得解.
【詳解】由，可設(shè)，是方程即的兩個實(shí)根，
則，或，
則，
=
.
由可得對任意，均有，
即對任意均成立，
由，，可得對任意均成立，
所以，
所以即，
解得或.
故答案為：或.
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次不等式與一元二次方程的關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想和計(jì)算能力，屬于中檔題.
反思提升：
1.一元二次方程的根就是相應(yīng)一元二次函數(shù)的零點(diǎn)，也是相應(yīng)一元二次不等式解集的端點(diǎn)值.
2.給出一元二次不等式的解集，相當(dāng)于知道了相應(yīng)二次函數(shù)的開口方向及與x軸的交點(diǎn)，可以利用代入根或根與系數(shù)的關(guān)系求待定系數(shù).
【考點(diǎn)3】一元二次不等式恒成立問題
一、單選題
1．（2024·浙江·模擬預(yù)測）若不等式的解為全體實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·湖北·二模）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，若對于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)x可能為（ ）
A． B．0 C．1 D．2
二、多選題
3．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測）下列說法正確的是（ ）
A．若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)?br/>B．當(dāng)時，不等式恒成立，則的取值范圍是
C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
D．若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是
4．（23-24高一上·江蘇南京·期末）已知關(guān)于的不等式的解集是，則（ ）
A．
B．
C．
D．不等式的解集是或
三、填空題
5．（2023·河北·模擬預(yù)測）設(shè)向量滿足，，若存在實(shí)數(shù)，，則向量與的夾角的取值范圍為 ．
6．（23-24高三上·全國·階段練習(xí)）對任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
參考答案：
1．C
【分析】分類討論與兩種情況，結(jié)合二次不等式恒成立問題的解決方法即可得解.
【詳解】當(dāng)時，不等式可化為，顯然不合題意；
當(dāng)時，因?yàn)榈慕鉃槿w實(shí)數(shù)，
所以，解得；
綜上：.
故選：C.
2．A
【分析】由與的關(guān)系且為等差數(shù)列，求出，由，得，構(gòu)造函數(shù)，由在時恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.
【詳解】因?yàn)椋瑫r，，
時，，
所以，，，
因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，，
從而，，
所以，即，
則當(dāng)時，恒成立，
，解得或，
只有選項(xiàng)A符合題意，
故選：A
3．AD
【分析】A選項(xiàng)，利用抽象函數(shù)定義域的求解判斷即可；B選項(xiàng)，分和兩種情況，結(jié)合根的判別式得到不等式，求出答案；C選項(xiàng)，求出的定義域即可判斷；D選項(xiàng)，將問題轉(zhuǎn)化為能夠取到所有正數(shù)，分和兩種情況，結(jié)合根的判別式得到不等式組，求出答案.
【詳解】A選項(xiàng)，對于，由，得，
對于，令，解得，
故函數(shù)的定義域?yàn)椋珹正確；
B選項(xiàng)，當(dāng)時，恒成立，滿足要求，
當(dāng)時，需滿足，解得，
綜上，的取值范圍是，B錯誤；
C選項(xiàng)，令，解得，
當(dāng) 時顯然無意義，所以不可能在上單調(diào)遞減，C錯誤；
D選項(xiàng)，若函數(shù)的值域?yàn)椋?br/>則能夠取到所有正數(shù)，
當(dāng)時，能夠取到所有正數(shù)，滿足要求，
當(dāng)時，需滿足，即，解得，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，D正確.
故選：AD.
4．ABD
【分析】由一元二次不等式的解和韋達(dá)定理逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】由題意可知，1，3是方程的兩個根，且，，
A：由以上可知，故A正確；
B：當(dāng)時，代入方程可得，故B正確；
C：因?yàn)椋坏仁降慕饧牵蕦⒋氩坏仁阶筮厼椋蔆錯誤；
D：原不等式可變?yōu)椋遥s分可得，解集為或，故D正確；
故選：ABD
5．
【分析】利用性質(zhì)，將不等式平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量積，再由關(guān)于t的一元二次不等式有解，利用判別式可得.
【詳解】設(shè)向量與的夾角為，由，利用平面向量的數(shù)量積可得
，即存在實(shí)數(shù)，使成立，于是，即，所以，所以向量與的夾角的取值范圍．
故答案為：
6．
【分析】設(shè)，，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化成，構(gòu)造，根據(jù)單調(diào)性求最值.
【詳解】設(shè)，
，
則，
則恒成立可化為恒成立，
即恒成立，故，
設(shè)，
易知在時遞減，在時遞增，
所以，
而顯然在時單調(diào)遞增，所以，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題將恒成立問題轉(zhuǎn)化成求最值問題，然后采用雙換元和輪流作主法求最值.
反思提升：
(1)對于二次不等式恒成立問題常見的類型有兩種，一是在全集R上恒成立，二是在某給定區(qū)間上恒成立.
(2)解決恒成立問題一定要搞清誰是自變量，誰是參數(shù)，一般地，知道誰的范圍，誰就是變量，求誰的范圍，誰就是參數(shù).
①若ax2＋bx＋c＞0恒成立，則有a＞0，且Δ＜0；若ax2＋bx＋c＜0恒成立，則有a＜0，且Δ＜0.②對第二種情況，要充分結(jié)合函數(shù)圖象利用函數(shù)的最值求解(也可采用分離參數(shù)的方法).
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·云南·模擬預(yù)測）若是一元二次方程的根，則該方程的兩根之和為（ ）
A．2 B． C． D．1
2．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．（2023·福建廈門·二模）不等式（）恒成立的一個充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·上海·模擬預(yù)測）有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后超過100人患了流感，若設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，那么x滿足的不等關(guān)系為（ ）
A．x（1+x）≥100 B．1+x（1+x）＞100
C．x+x（1+x）≥100 D．1+x+x（1+x）＞100
二、多選題
5．（2024·廣西南寧·二模）若表示集合M和N關(guān)系的Venn圖如圖所示，則M，N可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)和實(shí)數(shù)，，則下列說法正確的是（ ）
A．定義在上的函數(shù)恒有，則當(dāng)時，函數(shù)的圖象有對稱軸
B．定義在上的函數(shù)恒有，則當(dāng)時，函數(shù)具有周期性
C．若，，，則，恒成立
D．若，，，且的4個不同的零點(diǎn)分別為，且，則
三、填空題
7．（2022·遼寧鞍山·模擬預(yù)測）設(shè)矩形的周長為，把它沿對角線對折后，設(shè)交于點(diǎn)，此時點(diǎn)記作，如圖所示，設(shè)，，則△的面積的最大值為 ．
8．（2023·上海崇明·一模）已知不平行的兩個向量滿足，．若對任意的，都有成立，則的最小值等于 ．
9．（2024·貴州黔西·一模）已知，若，均有不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
四、解答題
10．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)求不等式的解集；
(2)若，且存在使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
11．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知二次函數(shù)（，為實(shí)數(shù)）
(1)若函數(shù)圖象過點(diǎn)，對，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若函數(shù)圖象過點(diǎn)，對，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
12．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，且的解集為．
(1)求和的值；
(2)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
參考答案：
1．A
【分析】根據(jù)實(shí)系數(shù)一元二次方程的根的特點(diǎn)，求出另一個虛根，相加即可.
【詳解】設(shè)的另一個根是，易知與一定是共軛復(fù)數(shù)，故，故.
故選：A
2．B
【分析】分別解出兩個不等式的解集，即可求解.
【詳解】因?yàn)椋獾没颍?br/>即，解得或，
所以“”是“”的必要不充分條件，
故選：B
3．A
【分析】
分和兩種情況討論求出的范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得解.
【詳解】當(dāng)時，，得，與題意矛盾，
當(dāng)時，則，解得，
綜上所述，，
所以不等式（）恒成立的一個充分不必要條件是A選項(xiàng).
故選：A.
4．D
【分析】先求出第一輪后患了流感的人數(shù)，進(jìn)一步求出經(jīng)過第二輪后患了流感的人數(shù).
【詳解】若每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，
則經(jīng)過第一輪后有（1+x）個人患了流感，
經(jīng)過第二輪后有[（1+x）+x（1+x）]個人患了流感，
∴x滿足的不等關(guān)系為（1+x）+x（1+x）＞100.
故選：D．
5．ACD
【分析】由題意可知：集合N是集合M的真子集.對于A：根據(jù)包含關(guān)系分析判斷即可；對于B：根據(jù)一元二次不等式求集合M，進(jìn)而判斷M，N之間的關(guān)系；對于C：根據(jù)對數(shù)函數(shù)定義域求集合M，根據(jù)指數(shù)函數(shù)以及基本不等式求集合N，進(jìn)而判斷M，N之間的關(guān)系；對于D：分析可知，進(jìn)而判斷M，N之間的關(guān)系.
【詳解】由題意可知：集合N是集合M的真子集，
對于選項(xiàng)A：可知集合N是集合M的真子集，故A正確；
對于選項(xiàng)B：因?yàn)椋?br/>可知集合M是集合N的真子集，故B錯誤；
對于選項(xiàng)C：因?yàn)椋?br/>且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
可得，
可知集合N是集合M的真子集，故C正確；
對于選項(xiàng)D：因?yàn)椋?br/>可知集合N是集合M的真子集，故D正確；
故選：ACD.
6．ACD
【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性和周期性可分別判斷AB；求出時的解析式，然后根據(jù)自變量范圍代入相應(yīng)表達(dá)式解不等式即可判斷C；將問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)有四個交點(diǎn)，結(jié)合圖象求得四根的關(guān)系即可判斷D.
【詳解】對于A，若，則，
所以函數(shù)的圖象的對稱軸為直線，故A正確.
對于B，當(dāng)時，.
若，則，函數(shù)不具有周期性，故B錯誤.
對于C，若，，則，
當(dāng)時，，
則，
即當(dāng)時，.
當(dāng)時，，
所以
，所以恒成立，C正確.
對于D，當(dāng)時，，則，
令，
作出函數(shù)的圖象和直線，如圖.
要使有4個不同的零點(diǎn)，則函數(shù)的圖象與直線有4個不同的交點(diǎn).
又，則，
所以，，
所以，，
則，
所以，D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：關(guān)于函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的有關(guān)問題，一般轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，利用函數(shù)圖象分析求解即可.
7．/4.5
【分析】由題設(shè)可得，結(jié)合基本不等式得到關(guān)于的一元二次不等式并求解集，結(jié)合△的面積即可得最大值，注意成立條件.
【詳解】由題意△△，而，，
所以，而矩形的周長為，
則，整理得，僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ?br/>所以，而，可得，
則，而△的面積，故最大值為，此時.
故答案為：
8．
【分析】先由數(shù)量積的定義推得，再將問題轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立的問題，從而得解.
【詳解】依題意，設(shè)與的夾角為，，
因?yàn)椋裕矗?br/>則，所以，
因?yàn)閷θ我獾模加谐闪ⅲ?br/>所以，即，即對于恒成立，
故，又，解得，
綜上，，則的最小值為.
故答案為：.
9．
【分析】求導(dǎo)，令求得，則，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值可得，進(jìn)而不等式在R上恒成立，解一元二次不等式即可求解.
【詳解】由題意知，，得
則，
令，則，即，得，
所以，，
又函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，且，
所以單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
故，
因?yàn)楹愠闪ⅲ床坏仁皆赗上恒成立，
由，得，解得，
即實(shí)數(shù)n的取值范圍為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的恒成立問題的求解策略：
形如的恒成立的求解策略：
1、構(gòu)造函數(shù)法：令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，只需恒成立即可；
2、參數(shù)分離法：轉(zhuǎn)化為或恒成立，即或恒成立，只需利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值即可；
3，數(shù)形結(jié)合法：結(jié)合函數(shù)的圖象在的圖象的上方（或下方），進(jìn)而得到不等式恒成立.
10．(1)
(2)
【分析】（1）借助零點(diǎn)分段法計(jì)算即可得；
（2）借助絕對值三角不等式可得，再解出含的不等式即可得.
【詳解】（1），即，
當(dāng)時，，該方程無解；
當(dāng)時，，解得；
當(dāng)時，，解得；
綜上所述，，
不等式的解集為；
（2）由題知，，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
，解得或，
實(shí)數(shù)的取值范圍為.
11．(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得，由，恒成立列出不等式求解即得.
（2）由對恒成立，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)求出答案即可.
【詳解】（1）依題意，，即，
由，恒成立，得，
即，整理得，
解得.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
（2）由（1）知，，
由，得，即，
依題意，對恒成立，
令，
則對，恒成立，于是，
解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．
12．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)即可求解，
（2）將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即可利用二次函數(shù)零點(diǎn)分布求解.
【詳解】（1）由得，
易知，則，解得，
由于的解集為，則，解得．
（2）由（1）知，由得，
得在上恒成立，
，故．
令，若在上恒成立，
則，即，解得或，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則的解集為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（23-24高一上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M足，當(dāng)時，，若對于任意的，都有，則實(shí)數(shù)的取值可以是（ ）
A．3 B． C． D．6
三、填空題
3．（2023·廣西南寧·模擬預(yù)測）已知，，且，則的最小值為 ．
四、解答題
4．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的不等式對任意實(shí)數(shù)x恒成立.
(1)求滿足條件的實(shí)數(shù)a，b的所有值；
(2)若對恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
參考答案：
1．C
【分析】根據(jù)奇偶性定義得出為上偶函數(shù)，當(dāng)時，得出，即可得出的單調(diào)性，將轉(zhuǎn)化為，求解即可．
【詳解】定義域?yàn)椋蕿樯吓己瘮?shù)，
當(dāng)時，，
因?yàn)椋裕?br/>所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
整理得，，解得，
故選：C．
2．AB
【分析】
根據(jù)，且當(dāng)時，，作出函數(shù)的部分圖象，結(jié)合圖象即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍，從而得出結(jié)論.
【詳解】由函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M足，
當(dāng)時，可得，
當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，；
作出函數(shù)的部分圖象如下圖所示：
由類周期函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時，恒成立；
解方程可得或；
又因?yàn)閷τ谌我獾模加校脠D象可知，
因此選項(xiàng)AB符合題意.
故選：AB
3．9
【分析】由基本不等式以及一元二次不等式結(jié)合題目條件即可得解.
【詳解】因?yàn)椋杂苫静坏仁娇傻茫?br/>即，令，則不等式變?yōu)椋?br/>解得或（舍去），即，
所以，即的最小值為9.
故答案為：9.
4．(1)
(2)
【分析】（1）代入得和得，，聯(lián)立即可得到答案；
（2）由（1）化簡得，分離參數(shù)得在上恒成立，再利用基本不等式即可得到右邊最值，即可得到答案.
【詳解】（1）當(dāng)時,不等式化為,,
所以,①
當(dāng)時,同理可得,②
聯(lián)立①和②，解得.
而時,原不等式為
顯然恒成立,所以.
（2）由（1）知,
所以,
因?yàn)?所以,所以在上恒成立.
令,則.
因?yàn)?
當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,所以,
所以,即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2024·陜西榆林·三模）某興趣小組的幾位同學(xué)在研究不等式時給出一道題：已知函數(shù).函數(shù)，當(dāng)時，的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江寧波·一模）已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則滿足要求的有序數(shù)對有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．無數(shù)個
3．（2023·廣東廣州·三模）定義，設(shè)函數(shù)，若使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）．
A． B．
C． D．
參考答案：
1．C
【分析】先求導(dǎo)得到的單調(diào)性，從而得到當(dāng)時，，當(dāng)時，，令，為增函數(shù)，求出，或，當(dāng)成立時，有，求出不等式解集.
【詳解】，定義域?yàn)椋?br/>，
令，則由，可得，
，則，在恒成立，
在上單調(diào)遞減，，故當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
令，易證為增函數(shù)，
，
，
或，
當(dāng)成立時，有，
故與取交集，或與或取交集，
所以或.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求導(dǎo)后，利用換元思想得到的單調(diào)性，結(jié)合特殊點(diǎn)的函數(shù)值，得到當(dāng)時，，當(dāng)時，，再結(jié)合同構(gòu)思想求出和的解集.
2．B
【分析】由題意有，通過分析得到，是滿足題意的唯一解，注意檢驗(yàn).
【詳解】由題意若不等式在上恒成立，
則必須滿足，即，
由，兩式相加得，
再由，兩式相加得，
結(jié)合（4），（5）兩式可知，代入不等式組得，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)，時，，
有，，滿足在上恒成立，
綜上所述：滿足要求的有序數(shù)對為：，共一個.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵是首先得到，進(jìn)一步由不等式的性質(zhì)通過分析即可求解.
3．A
【分析】先考慮命題使得成立的否定為真命題時a的取值范圍，再求其補(bǔ)集即可.
【詳解】命題使得成立的否定為對，，
因?yàn)楫?dāng)或時，，當(dāng)時，，
所以當(dāng)或時，，
若命題，為真命題，
則當(dāng)時，恒成立，
所以，其中，
設(shè)，
當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，函數(shù)取最小值，所以，
所以，矛盾；
當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，函數(shù)取最小值，所以，
所以，矛盾；
當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以時，函數(shù)取最小值，所以，
所以，
所以當(dāng)時，命題，為真命題，
所以若使得成立，則a的取值范圍為.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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