資源簡(jiǎn)介

九年級(jí)上冊(cè)簡(jiǎn)介
《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)包括二次根式、一元二次方程、旋轉(zhuǎn)、圓、概率初步五章內(nèi)容，學(xué)習(xí)內(nèi)容涉及到了《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）的四個(gè)領(lǐng)域“數(shù)與代數(shù)”“空間與圖形”“統(tǒng)計(jì)與概率”“課題學(xué)習(xí)”。
本書(shū)供義務(wù)教育九年級(jí)上學(xué)期使用，全書(shū)共需約61課時(shí)，具體分配如下：
第21章 　二次根式 　　　　　約9課時(shí)
第22章 　一元二次方程 　　　約13課時(shí)
第23章 　旋轉(zhuǎn) 　　　　　　　約8課時(shí)
第24章 　圓 　　　　　　　　約17課時(shí)
第25章 　概率初步　　　　　約14課時(shí)
一、 教科書(shū)內(nèi)容安排
1.二次根式
學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)整式與分式，知道用式子可以表示實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系。解決與數(shù)量關(guān)系有關(guān)的問(wèn)題還會(huì)遇到二次根式。“二次根式” 一章就來(lái)認(rèn)識(shí)這種式子，探索它的性質(zhì)，掌握它的運(yùn)算。
在這一章，首先讓學(xué)生了解二次根式的概念，并掌握以下重要結(jié)論：
（1）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；
（2）；
（3） (a≥0)．
關(guān)于二次根式的運(yùn)算，由于二次根式的乘除相對(duì)于二次根式的加減來(lái)說(shuō)更易于掌握，教科書(shū)先安排二次根式的乘除，再安排二次根式的加減。“二次根式的乘除”一節(jié)的內(nèi)容有兩條發(fā)展的線索。一條是用具體計(jì)算的例子體會(huì)二次根式乘除法則的合理性，并運(yùn)用二次根式的乘除法則進(jìn)行運(yùn)算；一條是由二次根式的乘除法則得到
　　(a≥0，b≥0)，
　 　　(a≥0，b>0)
并運(yùn)用它們進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)。
“二次根式的加減”一節(jié)先安排二次根式加減的內(nèi)容，再安排二次根式加減乘除混合運(yùn)算的內(nèi)容。在本節(jié)中，注意類(lèi)比整式運(yùn)算的有關(guān)內(nèi)容。例如，讓學(xué)生比較二次根式的加減與整式的加減，又如，通過(guò)例題說(shuō)明在二次根式的運(yùn)算中，多項(xiàng)式乘法法則和乘法公式仍然適用。這些處理有助于學(xué)生掌握本節(jié)內(nèi)容。
2. 一元二次方程
學(xué)生已經(jīng)掌握了用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的方法。在解決某些實(shí)際問(wèn)題時(shí)還會(huì)遇到一種新方程 ── 一元二次方程。“一元二次方程”一章就來(lái)認(rèn)識(shí)這種方程，討論這種方程的解法, 并運(yùn)用這種方程解決一些實(shí)際問(wèn)題。
本章首先通過(guò)雕像設(shè)計(jì)、制作方盒、排球比賽等問(wèn)題引出一元二次方程的概念，給出一元二次方程的一般形式。然后讓學(xué)生通過(guò)數(shù)值代入的方法找出某些簡(jiǎn)單的一元二次方程的解，對(duì)一元二次方程的解加以體會(huì)，并給出一元二次方程的根的概念，
“22.2 降次──解一元二次方程”一節(jié)介紹配方法、公式法、因式分解法三種解一元二次方程的方法。下面分別加以說(shuō)明。
（1）在介紹配方法時(shí)，首先通過(guò)實(shí)際問(wèn)題引出形如的方程。這樣的方程可以化為更為簡(jiǎn)單的形如的方程，由平方根的概念，可以得到這個(gè)方程的解。進(jìn)而舉例說(shuō)明如何解形如的方程。然后舉例說(shuō)明一元二次方程可以化為形如
的方程，引出配方法。最后安排運(yùn)用配方法解一元二次方程的例題。在例題中，涉及二次項(xiàng)系數(shù)不是1的一元二次方程，也涉及沒(méi)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程。對(duì)于沒(méi)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，學(xué)了“公式法”以后，學(xué)生對(duì)這個(gè)內(nèi)容會(huì)有進(jìn)一步的理解。
（2）在介紹公式法時(shí)，首先借助配方法討論方程的解法，得到一元二次方程的求根公式。然后安排運(yùn)用公式法解一元二次方程的例題。在例題中，涉及有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根的一元二次方程，也涉及沒(méi)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程。由此引出一元二次方程的解的三種情況。
（3）在介紹因式分解法時(shí)，首先通過(guò)實(shí)際問(wèn)題引出易于用因式分解法的一元二次方程，引出因式分解法。然后安排運(yùn)用因式分解法解一元二次方程的例題。最后對(duì)配方法、公式法、因式分解法三種解一元二次方程的方法進(jìn)行小結(jié)。
“22.3實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程”一節(jié)安排了四個(gè)探究欄目，分別探究傳播、成本下降率、面積、勻變速運(yùn)動(dòng)等問(wèn)題，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型。
3.旋轉(zhuǎn)
學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了平移、軸對(duì)稱，探索了它們的性質(zhì)，并運(yùn)用它們進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)。本書(shū)中圖形變換又增添了一名新成員――旋轉(zhuǎn)。“旋轉(zhuǎn)”一章就來(lái)認(rèn)識(shí)這種變換，探索它的性質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，認(rèn)識(shí)中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形。
“23.1 旋轉(zhuǎn)”一節(jié)首先通過(guò)實(shí)例介紹旋轉(zhuǎn)的概念。然后讓學(xué)生探究旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，通過(guò)例題說(shuō)明作一個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形的方法。最后舉例說(shuō)明用旋轉(zhuǎn)可以進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)。
“23.2 中心對(duì)稱”一節(jié)首先通過(guò)實(shí)例介紹中心對(duì)稱的概念。然后讓學(xué)生探究中心對(duì)稱的性質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，通過(guò)例題說(shuō)明作與一個(gè)圖形成中心對(duì)稱的圖形的方法。這些內(nèi)容之后，通過(guò)線段、平行四邊形引出中心對(duì)稱圖形的概念。最后介紹關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，以及利用這一關(guān)系作與一個(gè)圖形成中心對(duì)稱的圖形的方法。
“23.3 課題學(xué)習(xí) 圖案設(shè)計(jì)”一節(jié)讓學(xué)生探索圖形之間的變換關(guān)系（平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)及其組合），靈活運(yùn)用平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)的組合進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)。
4．圓
圓是一種常見(jiàn)的圖形。在“圓”這一章，學(xué)生將進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圓，探索它的性質(zhì)，并用這些知識(shí)解決一些實(shí)際問(wèn)題。通過(guò)這一章的學(xué)習(xí)，學(xué)生的解決圖形問(wèn)題的能力將會(huì)進(jìn)一步提高。
“24.1 圓”一節(jié)首先介紹圓及其有關(guān)概念。然后讓學(xué)生探究與垂直于弦的直徑有關(guān)的結(jié)論，并運(yùn)用這些結(jié)論解決問(wèn)題。接下來(lái)，讓學(xué)生探究弧、弦、圓心角的關(guān)系，并運(yùn)用上述關(guān)系解決問(wèn)題。最后讓學(xué)生探究圓周角與圓心角的關(guān)系，并運(yùn)用上述關(guān)系解決問(wèn)題。
“24.2與圓有關(guān)的位置關(guān)系”一節(jié)首先介紹點(diǎn)和圓的三種位置關(guān)系、三角形的外心的概念，并通過(guò)證明“在同一直線上的三點(diǎn)不能作圓”引出了反證法。然后介紹直線和圓的三種位置關(guān)系、切線的概念以及與切線有關(guān)的結(jié)論。最后介紹圓和圓的位置關(guān)系。
“24.3 正多邊形和圓”一節(jié)揭示了正多邊形和圓的關(guān)系，介紹了等分圓周得到正多邊形的方法。
“24.4 弧長(zhǎng)和扇形面積”一節(jié)首先介紹弧長(zhǎng)公式。然后介紹扇形及其面積公式。最后介紹圓錐的側(cè)面積公式。
5.概率初步
將一枚硬幣拋擲一次，可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面，出現(xiàn)正面的可能性大還是出現(xiàn)反面的可能性大呢？學(xué)了“概率”一章，學(xué)生就能更好地認(rèn)識(shí)這個(gè)問(wèn)題了。掌握了概率的初步知識(shí)，學(xué)生還會(huì)解決更多的實(shí)際問(wèn)題。
“25.1 概率”一節(jié)首先通過(guò)實(shí)例介紹隨機(jī)事件的概念，然后通過(guò)擲幣問(wèn)題引出概率的概念。
“25.2用列舉法求概率”一節(jié)首先通過(guò)具體試驗(yàn)引出用列舉法求概率的方法。然后安排運(yùn)用這種方法求概率的例題。在例題中，涉及列表及畫(huà)樹(shù)形圖。
“25.3利用頻率估計(jì)概率”一節(jié)通過(guò)幼樹(shù)成活率和柑橘損壞率等問(wèn)題介紹了用頻率估計(jì)概率的方法。
“25.4 課題學(xué)習(xí) 鍵盤(pán)上字母的排列規(guī)律”一節(jié)讓學(xué)生通過(guò)這一課題的研究體會(huì)概率的廣泛應(yīng)用。
二、本書(shū)編寫(xiě)特點(diǎn)
（一）注重知識(shí)間的聯(lián)系與綜合
學(xué)生經(jīng)過(guò)初中兩年的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步積累了“數(shù)與代數(shù)”“空間與圖形”“統(tǒng)計(jì)與概率”等領(lǐng)域的知識(shí)以及學(xué)習(xí)這些知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)。本書(shū)內(nèi)容都是以學(xué)生已學(xué)內(nèi)容為基礎(chǔ)的。因此本書(shū)各章都注意從學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，幫助學(xué)生學(xué)好新內(nèi)容。
在“二次根式”一章，教科書(shū)注意從算術(shù)平方根的意義得到與二次根式有關(guān)的結(jié)論，注意二次根式的加減與整式的加減，以及二次根式的混合運(yùn)算與多項(xiàng)式乘法的類(lèi)比，幫助學(xué)生掌握新內(nèi)容。
在“一元二次方程”一章，突出解一元二次方程的關(guān)鍵是將一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程來(lái)解。在講配方法時(shí)，用框圖的形式展示用配方法實(shí)現(xiàn)上述轉(zhuǎn)化的過(guò)程，并強(qiáng)調(diào)其中的關(guān)鍵步驟是運(yùn)用。另外，為了加強(qiáng)與因式分解的聯(lián)系，體現(xiàn)因式分解的作用，專門(mén)介紹了用因式分解法解一元二次方程。
在“旋轉(zhuǎn)”一章，注意運(yùn)用已學(xué)知識(shí)證明有關(guān)結(jié)論。從學(xué)生熟悉的線段、平行四邊形出發(fā)，引出中心對(duì)稱圖形的概念。本章的第2個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)還從坐標(biāo)的角度揭示了中心對(duì)稱與軸對(duì)稱的關(guān)系。
在“圓”一章，注意運(yùn)用所學(xué)圖形變換知識(shí)。如從圓是軸對(duì)稱圖形的角度認(rèn)識(shí)與垂直于弦的直徑有關(guān)的結(jié)論；從旋轉(zhuǎn)的角度認(rèn)識(shí)弧、弦、圓心角的關(guān)系。這一章也注意了運(yùn)用已學(xué)知識(shí)證明有關(guān)結(jié)論，如證明圓周角與圓心角的關(guān)系。
在“概率”一章，從頻率的穩(wěn)定值出發(fā)引出概率的概念，介紹用頻率估計(jì)概率的方法，都加強(qiáng)了概率與統(tǒng)計(jì)的聯(lián)系。
此外，本書(shū)還注意了知識(shí)的綜合運(yùn)用，如在“旋轉(zhuǎn)”一章安排了綜合運(yùn)用平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)的組合進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)的內(nèi)容。在“圓”一章，圓的有關(guān)性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系等內(nèi)容的討論，實(shí)際上也是所學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用。
總之，注意揭示知識(shí)之間的聯(lián)系，易于學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握新內(nèi)容，注意知識(shí)的綜合運(yùn)用，有助于學(xué)生能力的提高。
（二）注重探索結(jié)論
本書(shū)各章都注意揭示得出結(jié)論的過(guò)程，加深學(xué)生對(duì)相關(guān)結(jié)論的理解，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。
在“二次根式”一章，讓學(xué)生根據(jù)平方根的意義填空，進(jìn)而得出以及(a≥0)的結(jié)論。讓學(xué)生通過(guò)特殊數(shù)值的計(jì)算體會(huì)二次根式的乘除法則規(guī)定的合理性。
在“一元二次方程”一章，讓學(xué)生思考各種類(lèi)型的一元二次方程如何用配方法得解，討論如何配方。通過(guò)設(shè)置探究欄目加大了讓學(xué)生探究解決實(shí)際問(wèn)題的力度。此外，本章中的選學(xué)內(nèi)容“觀察與猜想 發(fā)現(xiàn)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”也是強(qiáng)調(diào)結(jié)論的探索過(guò)程。
在“旋轉(zhuǎn)”一章，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，中心對(duì)稱的性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)有什么關(guān)系，這些內(nèi)容都是讓學(xué)生進(jìn)行探究的。此外，本章還安排了許多探索和發(fā)現(xiàn)圖形之間的變換關(guān)系的問(wèn)題。
在“圓”一章，結(jié)論較多，也注意體現(xiàn)了結(jié)論的探索過(guò)程。例如結(jié)合圓的軸對(duì)稱性，發(fā)現(xiàn)垂徑定理及其推論；利用圓的旋轉(zhuǎn)發(fā)現(xiàn)圓中弧、弦、圓心角之間的關(guān)系；通過(guò)度量，發(fā)現(xiàn)圓心角與圓周角的數(shù)量關(guān)系；利用直觀操作，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓之間的位置關(guān)系等等。
在“概率”一章，則注意通過(guò)解決具體問(wèn)題獲得對(duì)概率的理解，掌握用列舉法求概率的方法以及用頻率估計(jì)概率的方法。
（三）注重聯(lián)系實(shí)際
1. 從實(shí)際出發(fā)引入有關(guān)內(nèi)容
在本書(shū)中，二次根式的概念、二次根式的加減都是從實(shí)際問(wèn)題引出的，體現(xiàn)了式在表示數(shù)量關(guān)系上的作用。一元二次方程的概念則是通過(guò)雕像設(shè)計(jì)、制作方盒、排球比賽等問(wèn)題引出的，體現(xiàn)了方程刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的作用。旋轉(zhuǎn)的概念則是由時(shí)針、葉片等實(shí)例引入的，體現(xiàn)了圖形變換與實(shí)際的緊密聯(lián)系。在“圓”一章，由趙州橋的主橋拱半徑的問(wèn)題引出垂徑定理；由海洋館中觀景問(wèn)題引出圓周角與圓心角、圓周角之間的關(guān)系。概率的概念也是結(jié)合擲幣試驗(yàn)幫助學(xué)生理解的。
2. 運(yùn)用有關(guān)內(nèi)容解決實(shí)際問(wèn)題
本書(shū)內(nèi)容與實(shí)際聯(lián)系緊密，在掌握了相關(guān)內(nèi)容以后，又可以運(yùn)用它們解決實(shí)際問(wèn)題。在本書(shū)中，一元二次方程的應(yīng)用是這方面的一個(gè)重點(diǎn)。教科書(shū)通過(guò)設(shè)置探究欄目，解決傳播、成本下降率、面積、勻變速運(yùn)動(dòng)等問(wèn)題，突出這一重點(diǎn)。圓的內(nèi)容可以用來(lái)解決許多實(shí)際問(wèn)題，求趙州橋的主橋拱半徑的問(wèn)題，求正多邊形亭子地基的周長(zhǎng)與面積，計(jì)算蒙古包的用料都要借助圓的有關(guān)知識(shí)。概率也有廣泛的應(yīng)用。用列舉法可以求出許多實(shí)際問(wèn)題中的概率。還特意安排課題學(xué)習(xí)的內(nèi)容，使學(xué)生對(duì)概率的應(yīng)用有進(jìn)一步的體會(huì)。
三、幾個(gè)值得關(guān)注的問(wèn)題
（一）把握好教學(xué)要求
在本書(shū)中，既有一元二次方程、圓這樣的傳統(tǒng)的重要內(nèi)容，又有概率初步知識(shí)這樣的新增內(nèi)容，需要對(duì)內(nèi)容要求有一個(gè)很好的把握。
在“二次根式”一章，主要是了解二次根式的概念及其加、減、乘、除運(yùn)算法則，并會(huì)用它們進(jìn)行有關(guān)實(shí)數(shù)的簡(jiǎn)單四則運(yùn)算。有些內(nèi)容，像分母有理化,在課程標(biāo)準(zhǔn)中是明確不作要求的。這樣可以突出二次根式概念和運(yùn)算的重點(diǎn)。
在“一元二次方程”一章，主要是讓學(xué)生能夠根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元二次方程，進(jìn)一步體會(huì)方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型；理解配方法，會(huì)用配方法、公式法、因式分解法解簡(jiǎn)單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程。而一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系只作為選學(xué)內(nèi)容要求。這樣可以突出一元二次方程解法和應(yīng)用的重點(diǎn)。
在“旋轉(zhuǎn)”一章，主要是通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)，探索它的基本性質(zhì)，理解對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等的性質(zhì)；能夠按要求作出簡(jiǎn)單平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形；了解平行四邊形、圓是中心對(duì)稱圖形；探索圖形之間的變換關(guān)系（軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)及其組合），靈活運(yùn)用軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)的組合進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)。本章涉及的圖形不宜過(guò)于復(fù)雜，重點(diǎn)在于對(duì)圖形變換的理解。
在“圓”一章，主要是對(duì)圓及其相關(guān)圖形的認(rèn)識(shí)，很多內(nèi)容帶有一定的綜合性，因此不宜提出過(guò)高的要求。本章涉及的證明是從全套書(shū)關(guān)于推理證明的總體設(shè)計(jì)安排，是讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)推理證明。因此與證明有關(guān)的題目的綜合性不宜過(guò)強(qiáng)，難度不宜過(guò)大。
概率初步知識(shí)是新增內(nèi)容，也不宜提出過(guò)高的要求。主要是讓學(xué)生在具體情境中了解概率的意義，會(huì)用列舉法計(jì)算簡(jiǎn)單事件發(fā)生的概率；知道大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)頻率可作為事件發(fā)生概率的估計(jì)值；通過(guò)實(shí)例進(jìn)一步豐富對(duì)概率的認(rèn)識(shí)，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題。由于所學(xué)內(nèi)容不多，本章涉及的問(wèn)題也不宜過(guò)于復(fù)雜。
（二）加強(qiáng)信息技術(shù)的應(yīng)用
在本書(shū)中，對(duì)旋轉(zhuǎn)等圖形變換以及對(duì)圓等圖形的認(rèn)識(shí)，比較適合采用信息技術(shù)工具。
在“旋轉(zhuǎn)”一章中，可以利用計(jì)算機(jī)中的畫(huà)圖軟件探索旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。再有，利用旋轉(zhuǎn)變換可以進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)，借助計(jì)算機(jī)則更加方便。此外， 利用計(jì)算機(jī)中的畫(huà)圖軟件可以方便地作出一個(gè)圖形關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱圖形。利用軟件的度量功能得出坐標(biāo),從而發(fā)現(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系。
在“圓”一章，許多內(nèi)容可以借助信息技術(shù)工具進(jìn)行研究。例如，有許多計(jì)算機(jī)軟件具有測(cè)量功能，可以方便地測(cè)出圓周角、圓心角的大小，從而發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系。另外，還可以利用信息技術(shù)工具，畫(huà)出動(dòng)態(tài)的圖形，方便直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的研究。這些內(nèi)容在書(shū)中都有明確的提示，有條件的同學(xué)可以嘗試。
在本書(shū)的教學(xué)中，如有條件，應(yīng)注意發(fā)揮信息技術(shù)工具的作用
第二十一章 “二次根式”簡(jiǎn)介
本章內(nèi)容“二次根式”是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的重要內(nèi)容。從《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》看，關(guān)于數(shù)的內(nèi)容，第三學(xué)段主要學(xué)習(xí)有理數(shù)和實(shí)數(shù)。對(duì)于有理數(shù)和實(shí)數(shù)，本套教課書(shū)主要分三章編寫(xiě)，分別是7年級(jí)上冊(cè)第1章“有理數(shù)”，7年級(jí)下冊(cè)第10章“實(shí)數(shù)”和本章“二次根式”。本章是在第10章的基礎(chǔ)上繼續(xù)研究有關(guān)實(shí)數(shù)的內(nèi)容。
在第10章“實(shí)數(shù)”中，學(xué)生學(xué)習(xí)了一些有關(guān)實(shí)數(shù)的概念和運(yùn)算，所學(xué)概念主要有平方根、算術(shù)平方根、立方根以及無(wú)理數(shù)和實(shí)數(shù)的概念；關(guān)于運(yùn)算，主要是利用平方運(yùn)算和立方運(yùn)算求某些數(shù)的平方根和立方根，并對(duì)有理數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算法則在實(shí)數(shù)的運(yùn)算中仍然成立這一點(diǎn)有所體驗(yàn)。
本章是在第10章的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究二次根式的概念和運(yùn)算。在本章中，學(xué)生將學(xué)習(xí)二次根式的概念、性質(zhì)、運(yùn)算法則和化簡(jiǎn)的方法，通過(guò)對(duì)二次根式的概念和性質(zhì)的學(xué)習(xí)，學(xué)生將對(duì)實(shí)數(shù)的概念有更深刻的認(rèn)識(shí)，通過(guò)對(duì)二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算的學(xué)習(xí)，學(xué)生將對(duì)實(shí)數(shù)的簡(jiǎn)單四則運(yùn)算有進(jìn)一步的了解。學(xué)習(xí)本章的關(guān)鍵是理解二次根式的概念和性質(zhì)，它們是學(xué)習(xí)二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算的依據(jù)，重點(diǎn)是二次根式的化簡(jiǎn)和運(yùn)算，難點(diǎn)是正確理解二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則的合理性。
本章內(nèi)容與已學(xué) “實(shí)數(shù)”“整式”“勾股定理”等內(nèi)容聯(lián)系緊密，同時(shí)也是以后將要學(xué)習(xí)的“解直角三角形”“一元二次方程”和“二次函數(shù)”等內(nèi)容的重要基礎(chǔ)，并為學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)中不等式、函數(shù)以及解析幾何等的大部分知識(shí)作好準(zhǔn)備。
本章教學(xué)時(shí)間約需9課時(shí)，具體分配如下（僅供參考）：
21．1 二次根式 　　　　　　　　　約2課時(shí)
21．2 二次根式的乘除 　　　　　　約2課時(shí)
21．3 二次根式的加減 　　　　　　約3課時(shí)
數(shù)學(xué)活動(dòng)
小結(jié) 　　　　　　　　　　　　　　約2課時(shí)
一、教科書(shū)內(nèi)容與課程學(xué)習(xí)目標(biāo)
（一）本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖
（二）教科書(shū)內(nèi)容
本章內(nèi)容分為三節(jié)，第一節(jié)主要學(xué)習(xí)二次根式的概念和性質(zhì)，本節(jié)既是第10章相關(guān)內(nèi)容的發(fā)展，同時(shí)又是后面兩節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ)，因此本節(jié)起承上啟下的作用；第二節(jié)是二次根式的乘除運(yùn)算，主要研究二次根式的乘除運(yùn)算法則和二次根式的化簡(jiǎn)；第三節(jié)是二次根式的加減，主要研究二次根式的加減運(yùn)算法則和進(jìn)一步完善二次根式的化簡(jiǎn)。
在第21.1節(jié) “二次根式”中，教科書(shū)首先給出四個(gè)實(shí)際問(wèn)題，這些實(shí)際問(wèn)題的背景是學(xué)生比較熟悉的，其中包含的數(shù)學(xué)關(guān)系也是比較簡(jiǎn)單的，前三個(gè)是幾何問(wèn)題，分別是已知直角三角形的兩條直角邊求斜邊的長(zhǎng)、已知正方形的面積求邊長(zhǎng)和已知圓的面積求半徑，最后一個(gè)實(shí)際問(wèn)題是物理方面的，涉及到的數(shù)學(xué)關(guān)系是，要求用h表示t。解決這四個(gè)問(wèn)題需要利用已學(xué)的平方根和算術(shù)平方根的知識(shí)，這四個(gè)問(wèn)題的答案，在結(jié)果的表達(dá)式上有共同的特點(diǎn)，即都是用算術(shù)平方根的形式表示出來(lái)的，這樣教科書(shū)就從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)分析所得答案的表達(dá)式的共同特點(diǎn)引出二次根式的概念。在二次根式的概念中，重要的一點(diǎn)是理解被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)的要求，教科書(shū)結(jié)合例題對(duì)此進(jìn)行了較詳細(xì)的分析。接下去，教科書(shū)依次探討了關(guān)于二次根式的結(jié)論：是一個(gè)非負(fù)數(shù)、、(a≥0)。對(duì)于“是非負(fù)數(shù)”，教科書(shū)是利用算術(shù)平方根的概念得到的；對(duì)于，教科書(shū)則采用由特殊到一般的方法歸納得出的。在研究這個(gè)結(jié)論時(shí)，教科書(shū)首先設(shè)置“探究”欄目，要求學(xué)生利用算術(shù)平方根的概念進(jìn)行幾個(gè)具體的計(jì)算，并對(duì)運(yùn)算過(guò)程和運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行進(jìn)一步的分析，最后歸納給出這條結(jié)論；對(duì)于結(jié)論(a≥0)，教科書(shū)同樣采用了讓學(xué)生通過(guò)具體計(jì)算，分析運(yùn)算過(guò)程和運(yùn)算結(jié)果，最后歸納得出一般結(jié)論的方法進(jìn)行研究。第一節(jié)的內(nèi)容是學(xué)習(xí)后兩節(jié)內(nèi)容的直接基礎(chǔ)。
對(duì)于二次根式的運(yùn)算，教科書(shū)首先研究了乘除運(yùn)算，這是21.2節(jié)“二次根式的乘除”的內(nèi)容。本節(jié)中，除了學(xué)習(xí)二次根式的乘除運(yùn)算法則外，還研究了二次根式的化簡(jiǎn)。對(duì)于二次根式的乘除運(yùn)算，教科書(shū)首先研究了二次根式的乘法運(yùn)算，二次根式的乘法法則是利用由特殊到一般的方法歸納給出的。教科書(shū)先設(shè)置一個(gè)“探究”欄目，在“探究”欄目中包含兩個(gè)不同層次的探究問(wèn)題。第一步是讓學(xué)生通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律，第二步是讓學(xué)生對(duì)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行驗(yàn)證，因此第一步中的被開(kāi)方數(shù)都是完全平方數(shù)，這樣有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，第二步中的被開(kāi)方數(shù)不是完全平方數(shù)，要求用計(jì)算器進(jìn)行驗(yàn)算，以確認(rèn)規(guī)律是否正確。這樣，學(xué)生通過(guò)“探究”欄目的活動(dòng)，就可以發(fā)現(xiàn)與之間的關(guān)系，從而得到二次根式乘法的運(yùn)算法則，運(yùn)用運(yùn)算法則就可以進(jìn)行二次根式的乘法運(yùn)算。如果將二次根式的乘法法則反過(guò)來(lái)看，就可以得到積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，利用這條性質(zhì)可以化簡(jiǎn)二次根式，這樣教科書(shū)就給出了一種化簡(jiǎn)二次根式的方法。對(duì)于二次根式的除法運(yùn)算，類(lèi)似于乘法運(yùn)算，教科書(shū)也采用了由特殊到一般的方法，通過(guò)歸納得出二次根式除法的運(yùn)算法則，繼而得到商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，利用這條性質(zhì)也可以化簡(jiǎn)二次根式，這樣教科書(shū)又給出一種化簡(jiǎn)二次根式的方法。本節(jié)最后，教科書(shū)結(jié)合本章例題，給出了最簡(jiǎn)二次根式的概念，明確了化簡(jiǎn)二次根式的方向，這為下一節(jié)學(xué)習(xí)二次根式的加減運(yùn)算作好鋪墊。
第21.3節(jié)是“二次根式的加減”，本小節(jié)的主要內(nèi)容是二次根式的加減運(yùn)算和二次根式的加、減、乘、除混合運(yùn)算，本小節(jié)的基礎(chǔ)是學(xué)生已經(jīng)掌握了把一個(gè)二次根式化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式的方法。學(xué)習(xí)二次根式的運(yùn)算是研究數(shù)學(xué)的需要，也是實(shí)際的需要。本節(jié)開(kāi)始，教科書(shū)結(jié)合一個(gè)實(shí)際問(wèn)題引出二次根式的加法運(yùn)算，使學(xué)生感到研究二次根式的加減運(yùn)算是實(shí)際的需要。這個(gè)實(shí)際問(wèn)題是要在一塊長(zhǎng)方形木板上截出兩塊面積不同的正方形木板，當(dāng)然解決這個(gè)實(shí)際問(wèn)題的方法可能不同，教科書(shū)采用的是先求出兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的和，再將這個(gè)和與長(zhǎng)方形的長(zhǎng)進(jìn)行比較的方法，利用這種方法會(huì)遇到求二次根式的和的問(wèn)題，這樣教科書(shū)就從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)引出了二次根式的加法運(yùn)算的問(wèn)題。之后，教科書(shū)結(jié)合這個(gè)例子，研究了二次根式加減運(yùn)算的法則，明確了二次根式的加減首先是化簡(jiǎn)，在化簡(jiǎn)之后就是類(lèi)似于整式的加減運(yùn)算了。整式加減無(wú)非是去括號(hào)與合并同類(lèi)項(xiàng)，二次根式在化簡(jiǎn)之后也是如此，合并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式（合并同類(lèi)二次根式）實(shí)際上相當(dāng)于合并同類(lèi)項(xiàng)，合并的依據(jù)是分配律，關(guān)于這一點(diǎn)，在第10章“實(shí)數(shù)”中已經(jīng)有所涉及，教科書(shū)也在邊空給出說(shuō)明。在分別學(xué)習(xí)了二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算的基礎(chǔ)上，就可以研究它們的混合運(yùn)算了。教科書(shū)以例題的方式介紹了二次根式的加、減、乘、除混合運(yùn)算的例子，突出了二次根式與整式之間的關(guān)系，體現(xiàn)了整式的運(yùn)算性質(zhì)、公式和法則與二次根式相關(guān)內(nèi)容的一致性。
（三）課程學(xué)習(xí)目標(biāo)
對(duì)于本章內(nèi)容，教學(xué)中應(yīng)達(dá)到以下幾方面要求：
1. 理解二次根式的概念，了解被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的理由；
2. 了解最簡(jiǎn)二次根式的概念；
3. 理解并掌握下列結(jié)論：
（1））是非負(fù)數(shù)；　（2）；　（3）(a≥0)；
4. 掌握二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算法則，會(huì)用它們進(jìn)行有關(guān)實(shí)數(shù)的簡(jiǎn)單四則運(yùn)算；
5. 了解代數(shù)式的概念，進(jìn)一步體會(huì)代數(shù)式在表示數(shù)量關(guān)系方面的作用。
二、本章編寫(xiě)特點(diǎn)
（一）注意加強(qiáng)知識(shí)間的縱向聯(lián)系
本章內(nèi)容屬于“數(shù)與代數(shù)”這個(gè)領(lǐng)域，對(duì)于實(shí)數(shù)的內(nèi)容，本套教科書(shū)主要分為兩章學(xué)習(xí)，分別是七年級(jí)下冊(cè)的第10章“實(shí)數(shù)”和本章“二次根式”。在“實(shí)數(shù)”一章中，主要研究了平方根、立方根的概念和求法，實(shí)數(shù)的有關(guān)概念和運(yùn)算，學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)已經(jīng)由有理數(shù)的范圍擴(kuò)大到實(shí)數(shù)范圍，并對(duì)實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算法則有了初步的感受，這些就為本章的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。因此，本章編寫(xiě)時(shí)充分注意與已有經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系，在“實(shí)數(shù)”一章的基礎(chǔ)上進(jìn)行編寫(xiě)。例如，對(duì)于二次根式的加減運(yùn)算，在“實(shí)數(shù)”一章中，學(xué)生在體驗(yàn)“有理數(shù)的運(yùn)算律和運(yùn)算法則在實(shí)數(shù)的范圍內(nèi)仍然成立”的過(guò)程中有所接觸，本章就在此基礎(chǔ)上利用分配律給出了加減法的運(yùn)算法則，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)運(yùn)算律在數(shù)的擴(kuò)充過(guò)程中的一致性。
本章內(nèi)容與第15章“整式”有著密切的聯(lián)系。由于數(shù)式通性，當(dāng)將二次根式中的實(shí)數(shù)看成字母時(shí)，二次根式的運(yùn)算實(shí)際上就是整式的運(yùn)算，因此整式的運(yùn)算法則和公式在二次根式的運(yùn)算中繼續(xù)使用，因此本章編寫(xiě)時(shí)，強(qiáng)調(diào)了與整式相關(guān)內(nèi)容的聯(lián)系。例如，教科書(shū)在介紹二次根式的混合運(yùn)算時(shí)，強(qiáng)調(diào)了利用多項(xiàng)式的乘法法則和乘法公式進(jìn)行運(yùn)算，突出了二次根式運(yùn)算的本質(zhì)，這樣的編寫(xiě)方式加強(qiáng)了知識(shí)之間的相互聯(lián)系，有助于使學(xué)生的學(xué)習(xí)形成正遷移。
（二）加強(qiáng)與實(shí)際的聯(lián)系
研究二次根式的概念和運(yùn)算既是數(shù)學(xué)內(nèi)在的需要，也是實(shí)際的需要，因此本章編寫(xiě)時(shí)，注意加強(qiáng)與實(shí)際的聯(lián)系。例如，二次根式概念的引入是結(jié)合四個(gè)實(shí)際問(wèn)題展開(kāi)的，二次根式加法運(yùn)算是結(jié)合實(shí)際中裁截板材引出的，另外本章也有較多的應(yīng)用本章內(nèi)容解決實(shí)際問(wèn)題的例題和習(xí)題，如計(jì)算鋼材問(wèn)題、確定紙張規(guī)格問(wèn)題、電視塔的傳播半徑問(wèn)題等。加強(qiáng)二次根式與實(shí)際的聯(lián)系，將一些重要的概念和運(yùn)算緊密結(jié)合實(shí)際生活展開(kāi)，使學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中認(rèn)識(shí)二次根式的有關(guān)概念和運(yùn)算，這樣的一種編寫(xiě)方式有助于學(xué)生理解二次根式的本質(zhì)，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性．
（三）加大學(xué)生探索空間，體現(xiàn)由特殊到一般的認(rèn)識(shí)過(guò)程
由于本章內(nèi)容與以前所學(xué)的實(shí)數(shù)內(nèi)容有較多聯(lián)系，在思考問(wèn)題的方法上與整式的內(nèi)容又有很多相通之處，因此對(duì)于一些重要結(jié)論，編寫(xiě)時(shí)注意了讓學(xué)生通過(guò)觀察、思考、討論等探究活動(dòng)歸納得出結(jié)論的過(guò)程。例如，對(duì)于二次根式的乘法法則，教科書(shū)首先讓學(xué)生利用二次根式的概念和性質(zhì)進(jìn)行幾個(gè)具體的計(jì)算，其中有兩個(gè)二次根式相乘的問(wèn)題，也有積的算術(shù)平方根的問(wèn)題，學(xué)生通過(guò)具體計(jì)算，并觀察所得結(jié)果發(fā)現(xiàn)二次根式相乘與積的算術(shù)平方根之間的關(guān)系，并利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算，然后利用計(jì)算器進(jìn)行驗(yàn)證，最后歸納得出二次根式的乘法運(yùn)算法則，這個(gè)過(guò)程實(shí)際上讓學(xué)生通過(guò)探究活動(dòng)經(jīng)歷了一個(gè)由特殊到一般的認(rèn)識(shí)過(guò)程；同樣，二次根式的除法運(yùn)算法則也是采用通過(guò)學(xué)生的探索活動(dòng)，由特殊到一般地歸納得出結(jié)論的方法。這樣，根據(jù)本章內(nèi)容的特點(diǎn)，本章編寫(xiě)時(shí)盡可能多地給學(xué)生留出探索交流的空間，通過(guò)這樣的探究活動(dòng)發(fā)展學(xué)生的思維能力，有效改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，掌握認(rèn)識(shí)事物的一般規(guī)律．
三、幾個(gè)值得關(guān)注的問(wèn)題
（一）適當(dāng)加強(qiáng)練習(xí)，為后續(xù)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)
本章內(nèi)容屬于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中較基礎(chǔ)的內(nèi)容，尤其是二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算是后續(xù)學(xué)習(xí)解直角三角形、一元二次方程和二次函數(shù)的重要基礎(chǔ)，例如在“銳角三角函數(shù)”一章中，會(huì)遇到很多實(shí)際問(wèn)題，在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，要遇到將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以及二次根式的加減運(yùn)算，在“一元二次方程”中，利用公式法解方程時(shí)，會(huì)用到二次根式的性質(zhì)，在“二次函數(shù)”一章中，判斷二次函數(shù)的圖象與x軸是否有交點(diǎn)時(shí)，會(huì)遇到根的判別式中被開(kāi)方數(shù)小于0的情形，這里需要深刻理解二次根式的意義。因此二次根式的有關(guān)概念和運(yùn)算是學(xué)好這些后續(xù)內(nèi)容的重要基礎(chǔ)，而熟練掌握二次根式的概念和運(yùn)算需要一定的訓(xùn)練。這樣，教學(xué)中可以適當(dāng)增加練習(xí)，使學(xué)生較好地理解二次根式的意義，較好地掌握二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算，為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)，也為學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)中不等式、函數(shù)以及解析幾何等的大部分知識(shí)作好準(zhǔn)備。
另外，本章內(nèi)容與“整式”“勾股定理”等聯(lián)系緊密，在加強(qiáng)練習(xí)的過(guò)程中，要注意強(qiáng)調(diào)知識(shí)之間的相互聯(lián)系，進(jìn)一步加深對(duì)整式和勾股定理等內(nèi)容的理解，使學(xué)生養(yǎng)成以聯(lián)系和發(fā)展的觀點(diǎn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的習(xí)慣．
（二）引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)
本章的重點(diǎn)是讓學(xué)生理解二次根式的概念和，并會(huì)熟練運(yùn)用法則進(jìn)行運(yùn)算。本章編寫(xiě)時(shí)，注重說(shuō)明性質(zhì)和法則成立的合理性，突出了它們的數(shù)學(xué)本質(zhì)。例如，教科書(shū)在介紹二次根式的性質(zhì)時(shí)，首先讓學(xué)生通過(guò)探究活動(dòng)，對(duì)這條性質(zhì)有所感受，然后再?gòu)乃阈g(shù)平方根的意義出發(fā)，結(jié)合具體例子對(duì)這條性質(zhì)進(jìn)行分析，最后由特殊到一般地得到這條性質(zhì)，這樣就可以使學(xué)生對(duì)這條性質(zhì)的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)有了較深刻的認(rèn)識(shí)。另外，對(duì)于概念，本章編寫(xiě)時(shí)遵循淡化概念名詞，突出概念實(shí)質(zhì)的原則。例如，本章在介紹二次根式的乘除運(yùn)算時(shí)，沒(méi)有給出分母有理化的概念，而是結(jié)合具體例子說(shuō)明了分母有理化的要求，再如，對(duì)于二次根式的加減運(yùn)算，教科書(shū)回避了同類(lèi)二次根式的概念，突出強(qiáng)調(diào)了運(yùn)算時(shí)先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式再進(jìn)行合并的方法。這樣處理內(nèi)容的目的是使學(xué)生將學(xué)習(xí)的重點(diǎn)放在理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)上來(lái)。因此，教學(xué)中注意體會(huì)教科書(shū)的編寫(xiě)意圖，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。
第二十二章“一元二次方程”簡(jiǎn)介
教科書(shū)內(nèi)容和課程學(xué)習(xí)目標(biāo)
（一）教科書(shū)內(nèi)容
本章的主要內(nèi)容包括：一元二次方程及其有關(guān)概念，一元二次方程的解法（配方法、公式法、因式分解法）以及運(yùn)用一元二次方程分析和解決實(shí)際問(wèn)題.
全章共包括三節(jié)：
22．1 　一元二次方程
22．2 　降次
22．3 　實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程
22.1 節(jié)以實(shí)際問(wèn)題為背景，引出一元二次方程的概念，歸納出一元二次方程的一般形式，給出一元二次方程的根的概念，并提出一元二次方程的根不唯一.這些概念是全章后續(xù)內(nèi)容的基礎(chǔ).
22.2節(jié)討論一元二次方程的基本解法，其中包括配方法、公式法和因式分解法等，這一節(jié)是全章的重點(diǎn)內(nèi)容之一。本套教科書(shū)在本章之前的方程都是一次方程或可化為一次方程的分式方程，一元二次方程是首次出現(xiàn)的一次以上的方程。解二次方程的基本策略是將其轉(zhuǎn)化為一次方程，這就是“降次”。22.2節(jié)首先通過(guò)解比較簡(jiǎn)單的一元二次方程，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)直接開(kāi)平方法解方程；然后討論比較復(fù)雜的一元二次方程，通過(guò)對(duì)比一邊為完全平方形式的方程，使學(xué)生認(rèn)識(shí)配方法的基本原理并掌握其具體方法；有了配方法作基礎(chǔ)，再討論如何用配方法解一元二次方程的一般形式，就得到一元二次方程的求根公式，于是有了直接利用公式的公式法。本節(jié)最后討論因式分解法解一元二次方程，這種解法要使方程的一邊為兩個(gè)一次因式相乘，另一邊為0，再分別令每個(gè)一次因式為0。這幾種解法都是依降次的思想，將二次方程轉(zhuǎn)化為一次方程，只是具體的降次手段有所不同。
22．3節(jié)安排了4個(gè)探究?jī)?nèi)容，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，分別討論傳播問(wèn)題、增長(zhǎng)率問(wèn)題、幾何圖形面積問(wèn)題和勻變速運(yùn)動(dòng)。一元二次方程與許多實(shí)際問(wèn)題都有聯(lián)系，本節(jié)不是按照實(shí)際問(wèn)題的類(lèi)型分類(lèi)和選材的，而是選取幾個(gè)具有一定代表性的實(shí)際問(wèn)題來(lái)進(jìn)一步討論如何建立和利用方程模型，重點(diǎn)在分析實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系并以方程形式進(jìn)行表示，這種數(shù)學(xué)建模思想的體現(xiàn)與前面有關(guān)方程各章是一致的，只是在問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系的復(fù)雜程度上又有新的發(fā)展，數(shù)學(xué)模型由一次方程或可以化為一次方程的分式方程變?yōu)橐辉畏匠獭?br/>本章從引言到小結(jié)始終保持貼近實(shí)際、貼近生活。這樣安排的主要目的是：
1．反映客觀世界與數(shù)學(xué)的密切聯(lián)系；
2．加強(qiáng)對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)和能力的培養(yǎng)。
課程標(biāo)準(zhǔn)沒(méi)有將一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）列為必學(xué)內(nèi)容，因此本章也未在課文中安排有關(guān)內(nèi)容。考慮到部分學(xué)有余力的學(xué)生可以進(jìn)一步擴(kuò)大對(duì)一元二次方程的認(rèn)識(shí)，以及這個(gè)內(nèi)容是比較重要的數(shù)學(xué)知識(shí)，教科書(shū)在選學(xué)欄目“觀察與猜想”中安排了有關(guān)內(nèi)容，希望能提供一些問(wèn)題給部分學(xué)生去探究。
在本章小結(jié)中，教科書(shū)通過(guò)本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖和思考題，再次強(qiáng)調(diào)解一元二次方程與實(shí)際問(wèn)題之間的聯(lián)系，突出解一元二次方程的基本思路以及具體方法，這是本章的重點(diǎn)內(nèi)容。
一元二次方程是本套初中數(shù)學(xué)教科書(shū)中所學(xué)習(xí)的最后一種方程，從某種意義上說(shuō)，學(xué)習(xí)本章也具有對(duì)方程的學(xué)習(xí)進(jìn)行總結(jié)的作用。
（二）本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖
（三）課程學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．以分析實(shí)際問(wèn)題中的等量關(guān)系并求解其中的未知數(shù)為背景，認(rèn)識(shí)一元二次方程及其有關(guān)概念；
2．根據(jù)化歸的思想，抓住“降次”這一基本策略，掌握配方法、公式法和因式分解法等一元二次方程的基本解法；
3．經(jīng)歷分析和解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)一元二次方程的數(shù)學(xué)模型作用，進(jìn)一步提高在實(shí)際問(wèn)題中運(yùn)用方程這種重要數(shù)學(xué)工具的基本能力。
（四）課時(shí)安排
本章教學(xué)時(shí)間約需13課時(shí)，具體分配如下（僅供參考）：
22．1 　一元二次方程 　　　　　　　　　　2課時(shí)
22．2 　降次 　　　　　　　　　　　　　　6課時(shí)
22．3 　實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程 　　　　　3課時(shí)
數(shù)學(xué)活動(dòng)
小結(jié) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　2課時(shí)
二、本章編寫(xiě)特點(diǎn)
本章教科書(shū)在編寫(xiě)中力圖體現(xiàn)以下兩個(gè)特點(diǎn)。
（一）重視一元二次方程與實(shí)際的聯(lián)系，再次體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想
數(shù)學(xué)是以數(shù)量關(guān)系和空間形式為主要研究對(duì)象的科學(xué)，數(shù)量關(guān)系和空間形式是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來(lái)的，這樣的抽象是一個(gè)逐步深入的過(guò)程.方程是含有未知數(shù)的等式，它們表達(dá)了數(shù)量之間的相等關(guān)系。正如前面所學(xué)習(xí)過(guò)的其他方程，一元二次方程可以表達(dá)許多實(shí)際問(wèn)題中包含的數(shù)量相等關(guān)系，因而也可以作為分析和解決這些問(wèn)題的重要數(shù)學(xué)模型。從反映方程與實(shí)際問(wèn)題的密切聯(lián)系的角度看，本章與本套教科書(shū)前面有關(guān)方程的各章是一脈相承的，實(shí)際問(wèn)題情境始終貫穿于本章之中。
如前所述，本章從引言到小結(jié)始終保持貼近實(shí)際、貼近生活。引言中的雕像問(wèn)題是典型的黃金分割問(wèn)題，本章內(nèi)容由它說(shuō)起，引出一個(gè)具體的一元二次方程，接著在22．1節(jié)又利用面積問(wèn)題和體育比賽中的組合問(wèn)題補(bǔ)充兩個(gè)一元二次方程的具體例子，在這三個(gè)具體例子的基礎(chǔ)上歸納出一元二次方程的定義及一般形式。這樣編排可以反映一元二次方程及其有關(guān)概念是來(lái)源于現(xiàn)實(shí)世界的。
在22．2節(jié)討論一元二次方程的解法時(shí)，教科書(shū)安排了問(wèn)題1～3，它們都是比較簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。這樣編排可以反映討論一元二次方程的解法是解決現(xiàn)實(shí)世界實(shí)際問(wèn)題的客觀需要，使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)一元二次方程的解法可以解決許多實(shí)際問(wèn)題。
在22．3節(jié)，教科書(shū)安排了探究1～4，它們是比前面出現(xiàn)的實(shí)際問(wèn)題更復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題，討論這些問(wèn)題是在前面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上拾級(jí)而上。這樣編排可以結(jié)合本章內(nèi)容再次體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想，進(jìn)一步加強(qiáng)利用一元二次方程分析解決實(shí)際問(wèn)題能力的培養(yǎng)訓(xùn)練，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)于實(shí)際問(wèn)題的興趣和意識(shí)，從長(zhǎng)遠(yuǎn)看這將有助于培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際的意識(shí)和開(kāi)拓創(chuàng)新精神.
本章結(jié)尾的小結(jié)中，再次以知識(shí)結(jié)構(gòu)圖的形式強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模思想，表現(xiàn)實(shí)際問(wèn)題和列、解一元二次方程的聯(lián)系，這種概括起了畫(huà)龍點(diǎn)睛的作用。
（二）重視一元二次方程的特殊性，突出解一元二次方程的基本策略以及解法中的關(guān)鍵步驟
在學(xué)習(xí)本章之前，學(xué)生已經(jīng)分兩次學(xué)習(xí)過(guò)整式方程（一元一次方程、二元一次方程組），并且學(xué)習(xí)了可以化為一元一次方程的分式方程，他們對(duì)于解方程的基本思路（使方程逐步化為的形式）已經(jīng)比較熟悉，按照這種思路可以繼續(xù)考慮一元二次方程的解法。
一元二次方程與前面的方程相比，特點(diǎn)在于未知數(shù)的次數(shù)是2（二次），新的問(wèn)題是如何將一元二次方程轉(zhuǎn)化為已經(jīng)會(huì)解的方程，即一次方程。從這個(gè)新問(wèn)題入手，可以自然地引出解一元二次方程的基本策略和關(guān)鍵步驟。教科書(shū)分析問(wèn)題時(shí)注意了體現(xiàn)出“降次” 是很自然、很合理地產(chǎn)生的，這是在原來(lái)已經(jīng)認(rèn)識(shí)了的解方程的基本思路基礎(chǔ)上，結(jié)合一元二次方程的實(shí)際而得到的解決問(wèn)題的基本策略。這樣處理既突出了一元二次方程解法上的特點(diǎn)及其算理，又反映了一元二次方程與一元一次方程在解法上的內(nèi)在聯(lián)系。各種解法中能夠創(chuàng)造條件實(shí)現(xiàn)降次的步驟（配方、開(kāi)方、分解因式等）就是該解法的關(guān)鍵步驟，它們是落實(shí)降次的具體措施。
教科書(shū)的第22.2節(jié)以“降次”為節(jié)名，其用意在于強(qiáng)調(diào)解一元二次方程的基本策略。在討論各種具體解法時(shí)，教科書(shū)把重點(diǎn)放在分析方程的形式特征上，并結(jié)合這些特征提出具體的有針對(duì)性的解法，強(qiáng)調(diào)其中的關(guān)鍵步驟所起的重要作用，這些內(nèi)容形成了課文的核心部分。
三、幾個(gè)值得關(guān)注的問(wèn)題
本章的主要內(nèi)容包括一元二次方程的基本概念、基本解法、應(yīng)用舉例等，這些都是重要的基礎(chǔ)知識(shí)，打好基礎(chǔ)很重要，因此教學(xué)中應(yīng)注意使學(xué)生切實(shí)掌握它們。此外，本章教學(xué)應(yīng)特別關(guān)注以下問(wèn)題。
（一）教學(xué)中應(yīng)重視聯(lián)系實(shí)際問(wèn)題，加強(qiáng)對(duì)于數(shù)學(xué)建模思想的滲透
在本章的教學(xué)和學(xué)習(xí)中，應(yīng)重視相關(guān)內(nèi)容與實(shí)際的聯(lián)系，可以選擇一些適合一元二次方程內(nèi)容而又接近本班學(xué)生生活的實(shí)際問(wèn)題，結(jié)合這些問(wèn)題展開(kāi)教學(xué)的內(nèi)容。要注意避免脫離任何實(shí)際問(wèn)題單純地講述一元二次方程的內(nèi)容，雖然這種純數(shù)學(xué)的處理方法在數(shù)學(xué)體系內(nèi)部并無(wú)問(wèn)題，但是從教學(xué)角度看它具有局限性，不適合初中學(xué)生接受，也不利于全面地提高學(xué)生素質(zhì)。總之，要充分注意有關(guān)現(xiàn)實(shí)背景，通過(guò)它們反映出一元二次方程來(lái)自實(shí)際又服務(wù)于實(shí)際，加強(qiáng)對(duì)一元二次方程是解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)模型的反映。
對(duì)于把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有關(guān)一元二次方程的問(wèn)題，關(guān)鍵是弄清實(shí)際問(wèn)題的背景，找出實(shí)際問(wèn)題中相關(guān)數(shù)量之間的相等關(guān)系，并把這樣的關(guān)系 “翻譯”為一元二次方程。這里需要指出，正確地理解實(shí)際問(wèn)題情境是完成這一工作的基礎(chǔ)。因此，本章的教學(xué)不能是封閉于數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部的，而應(yīng)是聯(lián)系實(shí)際問(wèn)題的開(kāi)放式的，同時(shí)在豐富的內(nèi)容中不失提煉數(shù)學(xué)知識(shí)這個(gè)精髓，最終使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，提高數(shù)學(xué)基本技能和能力，并且能運(yùn)用它們處理某些實(shí)際問(wèn)題。
在本章的教學(xué)中，可以從多種角度表達(dá)和思考實(shí)際問(wèn)題，例如借助圖象、表格、式子等進(jìn)行不同形式來(lái)描述問(wèn)題，分析問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)量關(guān)系，并建立相應(yīng)的一元二次方程模型。教學(xué)中還應(yīng)使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題的結(jié)果要接受實(shí)際檢驗(yàn)，注意檢驗(yàn)所得方程及其根的實(shí)際意義，進(jìn)行必要的討論，找出合乎實(shí)際的結(jié)果。
（二）教學(xué)中應(yīng)結(jié)合一元二次方程的特點(diǎn)，從說(shuō)理的角度討論方程的解法
本章所討論的對(duì)象是一元二次方程，它的特殊性是其未知數(shù)為二次，這是前所未見(jiàn)的。將面臨的新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)會(huì)解的老問(wèn)題，是解決問(wèn)題的基本思路。正因如此，將一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程，即“降次”，成為解一元二次方程的基本策略。這也是化歸思想在解一元二次方程時(shí)的具體體現(xiàn)。教學(xué)中應(yīng)從一元二次方程的特點(diǎn)入手，通過(guò)對(duì)比以前所學(xué)方程來(lái)分析一元二次的特殊性，分析一元二次方程解法的產(chǎn)生背景，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到降次是自然的、合理的，從而能順利地接受它，并用它探究一元二次方程的具體解法，而不是死記硬背解法步驟。教學(xué)中應(yīng)重視使學(xué)生明白各種解法的道理，結(jié)合探究解法再次體會(huì)化歸思想在解方程時(shí)的指導(dǎo)作用，進(jìn)而理解一元二次方程的具體解法的關(guān)鍵步驟及其算理，將已有對(duì)解方程的認(rèn)識(shí)再繼續(xù)加深和擴(kuò)大。
教學(xué)中應(yīng)反復(fù)指出學(xué)習(xí)一元二次方程的解法時(shí)要了解以下兩點(diǎn)：
1．用配方法、因式分解法等解一元二次方程時(shí)，要通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃蜗仁狗匠剔D(zhuǎn)化為一元一次方程，也就是使未知數(shù)從二次變?yōu)橐淮巍Ｒ辉畏匠痰慕荡巫冃危怯梢粋€(gè)二次方程得到兩個(gè)一次方程，因此一個(gè)一元二次方程有兩個(gè)根。.
2．配方法是公式法的基礎(chǔ)，通過(guò)配方法得出了求根公式；公式法是直接利用求根公式，它省略了具體的配方過(guò)程。
第二十三章“旋轉(zhuǎn)”簡(jiǎn)介
學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平移與軸對(duì)稱，對(duì)于圖形變換已經(jīng)有所認(rèn)識(shí)。從平移與軸對(duì)稱的學(xué)習(xí)來(lái)看，學(xué)習(xí)一種圖形變換大致包括以下內(nèi)容：
（1） 通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)這種圖形變換；
（2） 探索這種圖形變換的性質(zhì)；
（3） 作出一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)這種圖形變換后的圖形；
（4）利用這種圖形變換進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)；
?(5) 用坐標(biāo)表示這種圖形變換。
本章“旋轉(zhuǎn)”的學(xué)習(xí)也是從以上幾個(gè)方面展開(kāi)的。關(guān)于（5），本章只涉及用坐標(biāo)表示中心對(duì)稱。
本章教學(xué)時(shí)間約需8課時(shí)，具體分配如下（僅供參考）：
23.1 　圖形的旋轉(zhuǎn) 　　　　　　　　　　　2課時(shí)
23.2 　中心對(duì)稱 　　　　　　　　　　　　3課時(shí)
23.3 　課題學(xué)習(xí) 圖案設(shè)計(jì) 　　　　　　　　2課時(shí)
數(shù)學(xué)活動(dòng)
小結(jié) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　1課時(shí)
一、教科書(shū)內(nèi)容和課程學(xué)習(xí)目標(biāo)
（一）本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖
（二）教科書(shū)內(nèi)容
按照全套教科書(shū)的內(nèi)容安排，本章學(xué)習(xí)第三種圖形變換──旋轉(zhuǎn)。此前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平移與軸對(duì)稱兩種圖形變換。本章第一節(jié)學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)的有關(guān)內(nèi)容；在此基礎(chǔ)上，第二節(jié)學(xué)習(xí)特殊的旋轉(zhuǎn)──中心對(duì)稱；第三節(jié)則是平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)的綜合運(yùn)用。
在第一節(jié)中，首先通過(guò)時(shí)針、葉片等實(shí)例引出旋轉(zhuǎn)的概念。然后設(shè)置了一個(gè)“探究”欄目，讓學(xué)生探索對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等等性質(zhì)。接下來(lái)，安排了一個(gè)按要求作出簡(jiǎn)單平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形的例題。最后說(shuō)明利用旋轉(zhuǎn)進(jìn)行簡(jiǎn)單的圖案設(shè)計(jì)的內(nèi)容。在本節(jié)中，旋轉(zhuǎn)的概念、性質(zhì)以及有關(guān)作圖的內(nèi)容環(huán)環(huán)相扣：由概念得出性質(zhì)；由性質(zhì)得出有關(guān)作圖的方法。應(yīng)關(guān)注這些內(nèi)容之間的聯(lián)系，使前一部分內(nèi)容為后一部分內(nèi)容作好準(zhǔn)備，使后一部分內(nèi)容復(fù)習(xí)鞏固前一部分內(nèi)容。
第二節(jié)有三部分內(nèi)容：中心對(duì)稱的概念、性質(zhì)和有關(guān)作圖，中心對(duì)稱圖形的概念，以及關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系。
關(guān)于中心對(duì)稱，首先通過(guò)具體例子給出中心對(duì)稱的概念，然后探究中心對(duì)稱的性質(zhì)，最后說(shuō)明作與已知圖形中心對(duì)稱的圖形的方法。關(guān)于中心對(duì)稱的定義，學(xué)生應(yīng)能體會(huì)到以下兩層意思：
（1）有兩個(gè)圖形，能夠完全重合，即形狀大小都相同；
（2）對(duì)重合的方式有限制，也就是它們的位置關(guān)系必須滿足一個(gè)條件：將其中一個(gè)圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后能夠與另一個(gè)圖形重合。
也就是說(shuō)，全等的圖形不一定是中心對(duì)稱的，而中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形一定是全等的。
關(guān)于中心對(duì)稱圖形，主要讓學(xué)生通過(guò)線段、平行四邊形加以認(rèn)識(shí)，并了解中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形的聯(lián)系與區(qū)別。
關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系可以由學(xué)生探究得出，由此得到利用坐標(biāo)作與已知圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖形的方法。
第三節(jié)是“課題學(xué)習(xí)”的內(nèi)容，要求學(xué)生探索圖形之間的變換關(guān)系（軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)及其組合），靈活運(yùn)用軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)的組合進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)。此前，教科書(shū)在七年級(jí)下冊(cè)第五章“相交線與平行線”安排了平移以及利用平移進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)的內(nèi)容；在八年級(jí)上冊(cè)第十四章“軸對(duì)稱”安排了軸對(duì)稱以及利用軸對(duì)稱進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)的內(nèi)容，并指出“將平移和軸對(duì)稱結(jié)合起來(lái)，可以設(shè)計(jì)出更美麗的圖案”。通過(guò)平移與軸對(duì)稱的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)具備了一定的用圖形變換進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，這些是學(xué)生運(yùn)用平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)的組合進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。在本節(jié)中，首先通過(guò)一個(gè)例子讓學(xué)生對(duì)課題有所了解，然后讓學(xué)生搜集圖案，設(shè)計(jì)圖案。搜集圖案并加以分析，了解圖形之間的變換關(guān)系有助于學(xué)生自己進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)圖案的過(guò)程中，應(yīng)關(guān)注學(xué)生構(gòu)思、實(shí)施、合作交流等環(huán)節(jié)。
（三）課程學(xué)習(xí)目標(biāo)
本章的學(xué)習(xí)目標(biāo)如下：
1．通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)，探索它的基本性質(zhì)，理解對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等的性質(zhì)；
2．能夠按要求作出簡(jiǎn)單平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形，欣賞旋轉(zhuǎn)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用。
3．通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)中心對(duì)稱，探索它的基本性質(zhì)，理解對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段被對(duì)稱中心平分的性質(zhì)，了解平行四邊形、圓是中心對(duì)稱圖形；
4．探索圖形之間的變換關(guān)系（軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)及其組合），靈活運(yùn)用軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)的組合進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)。
二、本章編寫(xiě)特點(diǎn)
（一）注重聯(lián)系實(shí)際
旋轉(zhuǎn)與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系緊密，為此，章前引言中列舉了旋轉(zhuǎn)的大量實(shí)例。應(yīng)通過(guò)實(shí)例認(rèn)識(shí)和感受旋轉(zhuǎn)。中心對(duì)稱圖形在現(xiàn)實(shí)生活中也比較常見(jiàn)，也可以通過(guò)具體實(shí)例加深學(xué)生對(duì)中心對(duì)稱圖形的認(rèn)識(shí)。
許多美麗的圖案可以由旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)而成。讓學(xué)生利用旋轉(zhuǎn)進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)，可以復(fù)習(xí)鞏固所學(xué)的知識(shí)，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。讓學(xué)生運(yùn)用軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)的組合進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)，可以進(jìn)一步深化學(xué)生所學(xué)知識(shí)，加強(qiáng)圖形變換與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系。
（二）注重探索結(jié)論
本章在多處設(shè)置探究點(diǎn)，給學(xué)生思考探索留有余地。
圖23.1-3中，△ AˊBˊCˊ由△ABC旋轉(zhuǎn)而成，讓學(xué)生結(jié)合此圖探究旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。
圖23.2-3中，△ ABC與△AˊBˊCˊ關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱。學(xué)生已經(jīng)知道，成軸對(duì)稱的兩點(diǎn)所連線段被對(duì)稱軸垂直平分。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)成中心對(duì)稱的兩點(diǎn)所連線段與對(duì)稱中心有什么關(guān)系。
在平面直角坐標(biāo)系中，如果兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)有什么關(guān)系，這一點(diǎn)是讓學(xué)生結(jié)合圖23.2-9進(jìn)行探究的。
許多圖形可以由基本圖形旋轉(zhuǎn)而成。為了更好地認(rèn)識(shí)圖形，本章安排了許多探索和發(fā)現(xiàn)圖形之間的變換關(guān)系的問(wèn)題。探索和發(fā)現(xiàn)圖形之間的變換關(guān)系也有助于學(xué)生運(yùn)用軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)的組合進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)。
（三）注重與已學(xué)圖形變換的聯(lián)系
同平移、軸對(duì)稱一樣，已知圖形經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)得到一個(gè)新圖形。平移、軸對(duì)稱不改變圖形的形狀和大小，旋轉(zhuǎn)也具有這樣的性質(zhì)。因此，平移、軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)都是全等變換。以后所學(xué)的相似變換則不具有這個(gè)性質(zhì)。
在作已知圖形平移后的圖形或作與已知圖形成軸對(duì)稱的圖形時(shí)，只要確定已知圖形中的一些特殊點(diǎn)（如多邊形的頂點(diǎn)）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，這種處理對(duì)于作已知圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形也適用。
中心對(duì)稱與軸對(duì)稱類(lèi)比著來(lái)學(xué)習(xí)，對(duì)學(xué)生掌握新知識(shí)有幫助。本章的第2個(gè)活動(dòng)還從坐標(biāo)的角度揭示了中心對(duì)稱與軸對(duì)稱的關(guān)系。一般地，點(diǎn)A（x，y）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)是（x，－y），點(diǎn)B（x，－y）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)是（－x，－y）。因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)是（x，y），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（－x，－y），所以點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。由此可知，將一點(diǎn)作上述兩次軸對(duì)稱變換相當(dāng)于作出這個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)。
在本章中，還要求學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)圖形變換進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)，這樣做可以加強(qiáng)變換之間的聯(lián)系，深化學(xué)生對(duì)圖形變換的認(rèn)識(shí)。
三、幾個(gè)值得關(guān)注的問(wèn)題
（一）關(guān)于中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形
與軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形類(lèi)似，中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形是兩個(gè)不同而又緊密聯(lián)系的概念。
中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形的區(qū)別是：中心對(duì)稱是指兩個(gè)全等圖形之間的相互位置關(guān)系，成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，其中一個(gè)圖形上所有點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn)都在另一個(gè)圖形上，反之，另一個(gè)圖形上所有點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn)又都在這個(gè)圖形上；而中心對(duì)稱圖形是指一個(gè)圖形本身成中心對(duì)稱，中心圖形上所有點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn)都在這個(gè)圖形本身上。
中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形的聯(lián)系是：如果將中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體（一個(gè)圖形），那么這個(gè)圖形就是中心對(duì)稱圖形；一個(gè)中心對(duì)稱圖形，如果把對(duì)稱的部分看成是兩個(gè)圖形，那么它們又是關(guān)于中心對(duì)稱的。
應(yīng)幫助學(xué)生認(rèn)清中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系，獲得清晰明確的認(rèn)識(shí)。
（二）關(guān)于計(jì)算機(jī)的使用
利用計(jì)算機(jī)中的畫(huà)圖軟件可以方便地作出一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)某個(gè)角度后的圖形。可以利用軟件的度量功能,從而發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。改變點(diǎn)O的位置或改變這個(gè)圖形的位置，再對(duì)這個(gè)圖形作旋轉(zhuǎn)變換，仍然可以得出上述結(jié)論。
利用旋轉(zhuǎn)變換可以進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)，借助計(jì)算機(jī)則更加方便。有條件的話，可以讓學(xué)生充分發(fā)揮自己的想象力，進(jìn)行這方面的嘗試。
利用計(jì)算機(jī)中的畫(huà)圖軟件可以方便地作出一個(gè)圖形關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱圖形。利用軟件的度量功能得出坐標(biāo),從而發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反。改變這個(gè)圖形的位置，仍然可以得出上述結(jié)論。
在以上諸方面，計(jì)算機(jī)都可以發(fā)揮作用，如果條件具備，可以加以嘗試。
第二十四章“圓”簡(jiǎn)介
與三角形、四邊形等一樣，圓也是基本的平面圖形，也是“空間與圖形”的主要研究對(duì)象，是人們生活中常見(jiàn)的圖形。本章將在學(xué)生前面學(xué)習(xí)了一些基本的直線形──三角形、四邊形等的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究一個(gè)基本的曲線形──圓，探索圓的有關(guān)性質(zhì)，了解與圓有關(guān)的位置關(guān)系等，并結(jié)合一些圖形性質(zhì)的證明，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力。本章共安排四個(gè)小節(jié)和兩個(gè)選學(xué)內(nèi)容，教學(xué)時(shí)間大約需要17課時(shí)，具體安排如下（僅供參考）：
24.1 　圓 　　　　　　　　　　　　　　　　　5課時(shí)
24.2 　與圓有關(guān)的位置關(guān)系 　　　　　　　　　6課時(shí)
24.3 　正多邊形和圓 　　　　　　　　　　　　2課時(shí)
24.4 　弧長(zhǎng)和扇形的面積 　　　　　　　　　　2課時(shí)
數(shù)學(xué)活動(dòng)
小結(jié) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2課時(shí)
一、教科書(shū)內(nèi)容和課程學(xué)習(xí)目標(biāo)
（一）本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖
本章知識(shí)結(jié)構(gòu)如下圖所示：
（二）教科書(shū)內(nèi)容
本章是在學(xué)習(xí)了直線圖形的有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，來(lái)研究一種特殊的曲線圖形──圓的有關(guān)性質(zhì)。圓也是常見(jiàn)的幾何圖形之一，不僅日常生活中的許多物體是圓形的，而且在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、交通運(yùn)輸、土木建筑等方面都可以看到圓。圓的有關(guān)性質(zhì)，也被廣泛的應(yīng)用。圓也是平面幾何中最基本的圖形之一，它不僅在幾何中有重要地位，而且是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)以及其他科學(xué)的重要的基礎(chǔ)。圓的許多性質(zhì)，比較集中地反映了事物內(nèi)部量變與質(zhì)變的關(guān)系、一般與特殊的關(guān)系、矛盾的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系等等。結(jié)合圓的有關(guān)知識(shí)，可以對(duì)學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義世界觀的教育。所以這一章的教學(xué)，在初中的學(xué)習(xí)中也占有重要地位。
本章是在小學(xué)學(xué)過(guò)的一些圓的知識(shí)的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)的研究圓的概念、性質(zhì)、圓中有關(guān)的角、點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓、圓與正多邊形之間的位置、數(shù)量關(guān)系。本章共分為四個(gè)小節(jié)，第1小節(jié)是“圓”，主要是圓的有關(guān)概念和性質(zhì)，圓的概念和性質(zhì)是進(jìn)一步研究圓與其他圖形位置、數(shù)量關(guān)系的主要依據(jù)，是全章的基礎(chǔ)。這一節(jié)包括“圓”“垂直于弦的直徑”“弧、弦、圓心角”“圓周角”四個(gè)部分。“24.1.1 圓”的主要內(nèi)容是圓的定義和圓中的一些相關(guān)概念。圓的定義是研究圓的有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)。在小學(xué)，學(xué)生接觸過(guò)圓，對(duì)它有一定的認(rèn)識(shí)。教科書(shū)首先結(jié)合生活中一些圓的實(shí)際例子，在學(xué)生小學(xué)學(xué)過(guò)的畫(huà)圓的基礎(chǔ)上，通過(guò)設(shè)置一個(gè)觀察欄目，用“發(fā)生法”給出了圓的定義。進(jìn)一步的教科書(shū)又分析了圓上每一個(gè)點(diǎn)與圓心的距離都等于定長(zhǎng)，同時(shí)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在圓上，這樣實(shí)際上從點(diǎn)和集合的角度進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圓，這樣再認(rèn)識(shí)之后，學(xué)生對(duì)圓的認(rèn)識(shí)就加深了。接下來(lái)，是與圓有關(guān)的一些概念，如半徑、直徑、弦、弧等，對(duì)于這些概念要讓學(xué)生結(jié)合圖形進(jìn)行認(rèn)識(shí)，并多進(jìn)行比較，以搞清他們的異同。
在接下來(lái)的幾部分，教科書(shū)探究并證明了垂徑定理、弧、弦、圓心角的關(guān)系定理、圓周角定理。垂徑定理及其推論反映了圓的重要性質(zhì)，是圓的軸對(duì)稱性的具體化，也是證明線段相等、角相等、垂直關(guān)系的重要依據(jù)，同時(shí)也為進(jìn)行圓的計(jì)算和作圖提供了方法和依據(jù)；圓周角定理及其推論對(duì)于角的計(jì)算、證明角相等、弧、弦相等等問(wèn)題提供了十分簡(jiǎn)便的方法。所以垂徑定理及其推論、圓周角定理及其推論是本小節(jié)的重點(diǎn)，也是本章的重點(diǎn)內(nèi)容。而垂徑定理及其推論的條件和結(jié)論比較復(fù)雜，容易混淆，圓周角定理的證明要用到完全歸納法，學(xué)生對(duì)與分類(lèi)證明的必要性不易理解，所以這兩部分內(nèi)容也是本節(jié)的難點(diǎn)。
“24.2 與圓有關(guān)的位置關(guān)系”包括三部分內(nèi)容，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系。在“點(diǎn)與圓的位置關(guān)系”中，教科書(shū)首先結(jié)合射擊問(wèn)題，給出了點(diǎn)與圓的三種不同位置關(guān)系，接下來(lái)討論了過(guò)三點(diǎn)的圓，并結(jié)合“過(guò)同一直線上的三點(diǎn)不能作圓”介紹了反證法。在“直線與圓的位置關(guān)系”中，教科書(shū)首先討論了直線與圓的三種位置關(guān)系，然后重點(diǎn)研究了直線與圓相切的情況，給出了直線與圓相切的判定定理、性質(zhì)定理、切線長(zhǎng)定理，在此基礎(chǔ)上介紹了三角形的內(nèi)切圓。在“圓與圓的位置關(guān)系”中，重點(diǎn)是討論圓與圓的不同位置關(guān)系。本小節(jié)中，直線與圓的位置關(guān)系是中心內(nèi)容，切線的判定定理、性質(zhì)定理、切線長(zhǎng)定理等則是研究直線與圓的有關(guān)問(wèn)題時(shí)常用的定理，是本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容。反證法的思想在前面章節(jié)有所滲透，在這一小節(jié)正式提出，它是一種間接證法，學(xué)生接受還是有一定的困難，所以對(duì)于反證法的教學(xué)是本節(jié)的一個(gè)難點(diǎn)；另外切線的判定定理和性質(zhì)定理的題設(shè)和結(jié)論容易混淆，證明性質(zhì)定理又要用到反證法，因此這兩個(gè)定理的教學(xué)也是本節(jié)的難點(diǎn)，這些也同時(shí)是本章的難點(diǎn)。
正多邊形是一種特殊的多邊形，它有一些類(lèi)似于圓的性質(zhì)。例如，圓有獨(dú)特的對(duì)稱性，它不僅是軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形，而且它的任意一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸，繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度都能和原來(lái)的圖形重合。正多邊形也是軸對(duì)稱圖形，正n邊形就有n條對(duì)稱軸，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，它也是中心對(duì)稱圖形，而且繞中心每旋轉(zhuǎn)，都能和原來(lái)的圖形重合，可見(jiàn)正多邊形和圓有很多內(nèi)在的聯(lián)系。另外，正多邊形也在生產(chǎn)和生活中有著廣泛的應(yīng)用，所以教科書(shū)接下來(lái)安排了“正多邊形和圓”的內(nèi)容。教科書(shū)回顧學(xué)生已經(jīng)了解的正多邊形概念的基礎(chǔ)上，以正五邊形為例，證明了利用等分圓周得到正五邊形的方法，接下來(lái)介紹了正多邊形的有關(guān)概念，如中心、半徑、中心角、邊心距等，并進(jìn)一步介紹了畫(huà)正多邊形的方法。正多邊形的有關(guān)計(jì)算是本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容，這些計(jì)算都是幾何中的基礎(chǔ)知識(shí)，正確掌握它們也要綜合運(yùn)用以前所學(xué)的知識(shí)，這些知識(shí)在生產(chǎn)和生活中也常要用到。本節(jié)的教學(xué)難點(diǎn)在學(xué)生對(duì)正n邊形中“n”的接受和理解上。學(xué)生對(duì)三角形、四邊形、圓等這些具體圖形比較習(xí)慣，對(duì)于泛指的n邊形不習(xí)慣。為了降低難度，教科書(shū)涉及的證明、計(jì)算等問(wèn)題都是結(jié)合具體的多邊形為例的，教學(xué)時(shí)要注意把這種針對(duì)具體圖形的結(jié)論和方法推廣，使學(xué)生實(shí)現(xiàn)由具體到抽象，特殊到一般的認(rèn)識(shí)上的飛躍，提高學(xué)生的思維能力。
教科書(shū)接下來(lái)的24.4節(jié)的主要內(nèi)容是一些與圓有關(guān)的計(jì)算，包括兩部分“弧長(zhǎng)和扇形的面積”“圓錐的側(cè)面積和全面積”。“弧長(zhǎng)和扇形的面積”是在小學(xué)學(xué)過(guò)的圓周長(zhǎng)、面積公式的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來(lái)的，應(yīng)用這些公式，就可以計(jì)算一些與圓有關(guān)的簡(jiǎn)單組合圖形的周長(zhǎng)和面積。由于圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形，所以教科書(shū)接下來(lái)介紹了圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算。這些計(jì)算不僅是幾何中基本的計(jì)算，也是日常生活中經(jīng)常要用到的，運(yùn)用這些知識(shí)也可以解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。圓錐的側(cè)面積的計(jì)算還可以培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，因此對(duì)這部分內(nèi)容的教學(xué)也要重視。
（三）課程學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．理解圓及其有關(guān)概念，理解弧、弦、圓心角的關(guān)系，探索并了解點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，探索并掌握?qǐng)A周角與圓心角的關(guān)系、直徑所對(duì)的圓周角的特征。
2.了解切線的概念，探索并掌握切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑之間的位置關(guān)系，能判定一條直線是否為圓的切線，會(huì)過(guò)圓上一點(diǎn)畫(huà)圓的切線。
3.了解三角形的內(nèi)心和外心，探索如何過(guò)一點(diǎn)、兩點(diǎn)和不在同一直線上的三點(diǎn)作圓。
4.了解正多邊形的概念，掌握用等分圓周畫(huà)圓的內(nèi)接正多邊形的方法；會(huì)計(jì)算弧長(zhǎng)及扇形的面積、圓錐的側(cè)面積及全面積。
5.結(jié)合相關(guān)圖形性質(zhì)的探索和證明，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力和推理論證的表達(dá)能力；通過(guò)這一章的教學(xué)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)解決問(wèn)題的能力，同時(shí)對(duì)學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義世界觀的教育。
二、本章編寫(xiě)特點(diǎn)
（一）突出圖形性質(zhì)的探索過(guò)程，重視直觀操作和邏輯推理的有機(jī)結(jié)合
圓是日常生活中常見(jiàn)的圖形之一，也是平面幾何中的基本圖形，本章重點(diǎn)研究了與圓有關(guān)的一些性質(zhì)。教科書(shū)在編寫(xiě)時(shí)，注意突出圖形性質(zhì)的探索過(guò)程，重視直觀操作和邏輯推理的有機(jī)結(jié)合，通過(guò)多種手段，如觀察度量、實(shí)驗(yàn)操作、圖形變換、邏輯推理等來(lái)探索圖形的性質(zhì)。
例如結(jié)合圓的軸對(duì)稱性，發(fā)現(xiàn)垂徑定理及其推論；利用圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，發(fā)現(xiàn)圓中弧、弦、圓心角之間的關(guān)系；通過(guò)觀察、度量，發(fā)現(xiàn)圓心角與圓周角、圓周角之間的數(shù)量關(guān)系；利用直觀操作，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓之間的位置關(guān)系等等。在學(xué)生通過(guò)觀察、操作、變換探究出圖形的性質(zhì)后，還要求學(xué)生能對(duì)發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)進(jìn)行證明，使直觀操作和邏輯推理有機(jī)的整合在一起，使推理論證成為學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、探究得出結(jié)論的自然延續(xù)。
（二）注意聯(lián)系實(shí)際
圓是人們?nèi)粘Ｉ詈蜕a(chǎn)中應(yīng)用較廣的一種幾何圖形，不僅日常生活中許多物體是圓形的，而且在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、交通運(yùn)輸、土木建筑等方面都可以見(jiàn)到圓。這部分內(nèi)容與實(shí)際聯(lián)系比較緊密。在教科書(shū)編寫(xiě)時(shí)，也充分注意到這一點(diǎn)。例如，在引入圓、正多邊形等概念時(shí)，舉出了大量的實(shí)際生活中的例子；在介紹點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，也是注意從它們?cè)趯?shí)際生活中的應(yīng)用引入；利用垂徑定理解決求趙州橋的主橋拱半徑的問(wèn)題；根據(jù)海洋館中人們視野的關(guān)系引出研究圓周角與圓心角、圓周角之間的關(guān)系；利用正多邊形的有關(guān)計(jì)算求亭子的地基；實(shí)際問(wèn)題中有關(guān)弧長(zhǎng)、扇形的面積、圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算問(wèn)題等等。教科書(shū)的例、習(xí)題中也有一些實(shí)際應(yīng)用的例子等等。這些材料都是從實(shí)際中提煉出來(lái)的，要通過(guò)這些知識(shí)的教學(xué)，幫助學(xué)生從實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題、運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。教學(xué)時(shí)，還可以根據(jù)本地區(qū)的實(shí)際，選擇一些實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生加以解決，提高他們應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。
（三）重視滲透數(shù)學(xué)思想方法
教學(xué)中不僅要教知識(shí)，更重要的是教方法，本章重涉及的數(shù)學(xué)思想方法也比較多。例如，圓周角定理證明中的通過(guò)分類(lèi)討論，把一般問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊情況來(lái)證明；研究點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系時(shí)的分類(lèi)的思想；研究正多邊形的有關(guān)問(wèn)題是通過(guò)把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形來(lái)解決的；正多邊形的畫(huà)圖是通過(guò)等分圓來(lái)完成的；等等。通過(guò)這些知識(shí)的教學(xué)，使學(xué)生學(xué)會(huì)化未知為已知、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單、化一般為特殊或化特殊為一般的思考方法，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。
另外，在本章，通過(guò)理論聯(lián)系實(shí)際，對(duì)學(xué)生進(jìn)行唯物論認(rèn)識(shí)論的教育；通過(guò)圓的許多性質(zhì)之間的內(nèi)在聯(lián)系，圓與其他圖形之間量變與質(zhì)變的關(guān)系，一般與特殊之間的關(guān)系等，對(duì)學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義觀點(diǎn)的教育；使學(xué)生增強(qiáng)民族的自豪感和振興中華的使命感，對(duì)他們進(jìn)行學(xué)習(xí)目的的教育，培養(yǎng)他們良好的個(gè)性品質(zhì)。
三、幾個(gè)值得關(guān)注的問(wèn)題
（一）進(jìn)一步培養(yǎng)推理論證能力
從培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力來(lái)說(shuō)，“圓”這一階段處于學(xué)生初步掌握了推理論證方法的基礎(chǔ)上進(jìn)一步鞏固和提高的階段，不僅要求學(xué)生能熟練地用綜合法證明命題，熟悉探索法的推理過(guò)程，而且要求了解反證法。教學(xué)中要重視推理論證的教學(xué)，進(jìn)一步提高學(xué)生的思維能力。教科書(shū)在這方面也還是很重視的。在推理與證明的要求方面，除了要求學(xué)生對(duì)經(jīng)過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、探究得出的結(jié)論進(jìn)行證明以外，有一些圖形的性質(zhì)是直接由已有的結(jié)論經(jīng)過(guò)推理論證得出的。另外，為了鞏固并提高學(xué)生的推理論證能力，本章的定理證明中，除了采用了規(guī)范的證明方法外，還有一些采用了探索式的證明方法。這種方法不是先有了定理再去證明它，而是根據(jù)題設(shè)和已有知識(shí)，經(jīng)過(guò)推理，得出結(jié)論。這些對(duì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，活躍學(xué)生的思維，對(duì)發(fā)展學(xué)生的思維能力有好處。教學(xué)中要注意啟發(fā)和引導(dǎo)，使學(xué)生在熟悉“規(guī)范證明”的基礎(chǔ)上，推理論證能力有所提高和發(fā)展。
另外，這部分內(nèi)容所涉及的圖形很多是圓和直線形的組合，而且題目也相對(duì)以前比較復(fù)雜，教學(xué)時(shí)應(yīng)注意多幫助學(xué)生復(fù)習(xí)有關(guān)直線形的知識(shí)，做到以新帶舊、新舊結(jié)合，而且要加強(qiáng)解題思路的分析，幫助學(xué)生樹(shù)立已知與未知、簡(jiǎn)單與復(fù)雜、特殊與一般在一定條件下可以轉(zhuǎn)化的思想，使學(xué)生學(xué)會(huì)把未知化為已知，把復(fù)雜問(wèn)題化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，把一般問(wèn)題化為特殊問(wèn)題的思考方法。如對(duì)于圓周角定理的證明，可以先從最簡(jiǎn)單的情況──角的一邊經(jīng)過(guò)圓心時(shí)入手，再推廣到一般情形。通過(guò)這樣的訓(xùn)練，可以提高學(xué)生邏輯思維能力和分析解決實(shí)際問(wèn)題的能力。
（二）重視知識(shí)間的聯(lián)系與綜合
圓是學(xué)生學(xué)習(xí)的第一個(gè)曲線形。學(xué)生由學(xué)習(xí)直線形到曲線形，在認(rèn)識(shí)上是一個(gè)飛躍。在教學(xué)時(shí)，應(yīng)注意充分利用學(xué)生在小學(xué)學(xué)過(guò)的圓的知識(shí)，搞好銜接。同時(shí)要注意加強(qiáng)圓和直線形的聯(lián)系，把圓和直線形的有關(guān)問(wèn)題對(duì)照講解。如在講“不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓”時(shí)，可以和“兩點(diǎn)確定一條直線”相對(duì)照，這樣可以加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解。教科書(shū)在編寫(xiě)時(shí)，也注意從學(xué)生學(xué)習(xí)的規(guī)律出發(fā)，加強(qiáng)新舊知識(shí)的聯(lián)系，發(fā)揮知識(shí)的遷移作用。例如，在講圓的定義時(shí)，先回顧小學(xué)學(xué)過(guò)的定義，在分析圓上的點(diǎn)的特征的基礎(chǔ)上，用集合語(yǔ)言重新給出描述；在學(xué)習(xí)圓及正多邊形的計(jì)算時(shí)，注意將新知識(shí)與直角三角形的知識(shí)、小學(xué)學(xué)過(guò)的圓的周長(zhǎng)與面積的知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，使新知識(shí)在學(xué)生眼里不陌生，容易接受。
圓是一種特殊曲線，它有獨(dú)特的對(duì)稱性。它不僅是軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形，而且它的任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸。繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度都能與原來(lái)的圖形重合（旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性）。圓的對(duì)稱性在日常生活和生產(chǎn)中有著廣泛的應(yīng)用，因此應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生很好地掌握。在研究圓的有關(guān)性質(zhì)時(shí)，充分利用圓的對(duì)稱性也是本章編寫(xiě)的一個(gè)特點(diǎn)。如垂徑定理，弧、弦、圓心角的關(guān)系，切線長(zhǎng)定理等，都是讓學(xué)生充分利用圓的這些對(duì)稱性，通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)等探究出性質(zhì)，再進(jìn)行證明，體現(xiàn)圖形的認(rèn)識(shí)、圖形的變換、圖形的證明的有機(jī)結(jié)合。這些也是教學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)注意的。
（三）注意把握好教學(xué)要求
本章教學(xué)內(nèi)容與以往教材內(nèi)容相比，刪減幅度比較大（原義教大綱教材53課時(shí)，現(xiàn)在17課時(shí)），教學(xué)時(shí)要注意把握好教學(xué)要求。教學(xué)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)限制在課標(biāo)和教材所出現(xiàn)的范圍，按照課標(biāo)要求刪減的內(nèi)容，教學(xué)中不要再揀回，以免影響學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)。對(duì)于推理論證的要求，課程標(biāo)準(zhǔn)中在本章沒(méi)有明確規(guī)定。教科書(shū)中是按照整套教科書(shū)對(duì)于推理證明的要求來(lái)處理的。在本章，要求學(xué)生對(duì)于一些圓的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行證明，并利用這些性質(zhì)去證明一些相關(guān)的結(jié)論。但要注意，這里的證明也要控制難度，對(duì)于一般學(xué)生，控制在教科書(shū)“綜合應(yīng)用”的題目難度內(nèi)，對(duì)于學(xué)有余力的學(xué)生，可以要求他們完成“拓廣探索”欄目的習(xí)題。
反證法的思想在七年級(jí)上冊(cè)教科書(shū)代數(shù)部分就有涉及，在后續(xù)的相關(guān)章節(jié)也有應(yīng)用。但當(dāng)時(shí)只是滲透反證法的思想，沒(méi)有作為一種方法提出。在本章，結(jié)合“過(guò)同一直線上的三點(diǎn)不能作圓”，正式提出了反證法，并且在后續(xù)內(nèi)容，如“圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑”的證明時(shí)也有應(yīng)用。由于反證法是一種間接證法，學(xué)生接受起來(lái)有一定困難。因此，教科書(shū)主要是要求讓學(xué)生理解反證法的思想，后續(xù)習(xí)題也沒(méi)有安排相應(yīng)的習(xí)題。這里也要注意把握好對(duì)反證法的要求，不要讓學(xué)生作過(guò)多過(guò)難的關(guān)于反證法的習(xí)題。
另外，圓有許多重要性質(zhì)，其中最主要的是圓的對(duì)稱性（軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)不變性），教科書(shū)在證明圓的許多重要性質(zhì)時(shí)，都運(yùn)用了它的對(duì)稱性。但是，因?yàn)橛脤?duì)稱的定義證明問(wèn)題，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)比較困難，所以在本章的教學(xué)中， 一方面要重視利用圓的對(duì)稱性（教科書(shū)中在使用圓的對(duì)稱性）；另一方面又不應(yīng)要求學(xué)生嚴(yán)格地利用對(duì)稱性寫(xiě)出證明過(guò)程。教學(xué)中要把握好這個(gè)要求。
（四）重視信息技術(shù)的應(yīng)用
在本章的教學(xué)中，有條件的學(xué)校還是要重視信息技術(shù)工具的使用。利用信息技術(shù)工具，可以很方便地制作圖形，可以很方便地讓圖形動(dòng)起來(lái)。許多計(jì)算機(jī)軟件還具有測(cè)量功能，這也有利于我們?cè)趫D形運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中去發(fā)現(xiàn)其中不變的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，有利于發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)。
例如，本章許多圖形的性質(zhì)都可以利用計(jì)算機(jī)軟件設(shè)置一些探究活動(dòng)，讓圖形動(dòng)起來(lái)，在這種運(yùn)動(dòng)變化中發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)。如弧、弦、圓心角之間的關(guān)系。有許多計(jì)算機(jī)軟件具有測(cè)量功能，可以方便地測(cè)出角的大小和線段的長(zhǎng)度，這也有利于在運(yùn)動(dòng)變化中觀察它們的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)。如圓周角定理。另外還可以通過(guò)計(jì)算機(jī)軟件讓圖形動(dòng)起來(lái)，在動(dòng)態(tài)變化過(guò)程中去發(fā)現(xiàn)點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，還可以通過(guò)測(cè)量，去發(fā)現(xiàn)這種位置關(guān)系所對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，如直線與圓的位置關(guān)系中直線到圓心的距離與圓的半徑的關(guān)系，兩圓位置關(guān)系中圓心距與圓半徑的關(guān)系等。
第二十五章“概率初步”簡(jiǎn)介
從《數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)》看，本章屬于“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域，對(duì)于該領(lǐng)域的內(nèi)容，本套教科書(shū)共安排了四章，這四章采用統(tǒng)計(jì)和概率分開(kāi)編排的方式，前三章是統(tǒng)計(jì)，最后一章是概率。一方面，概率與統(tǒng)計(jì)相對(duì)獨(dú)立，另一方面概率又以統(tǒng)計(jì)為依托。本章概率知識(shí)的學(xué)習(xí)要以前三章的統(tǒng)計(jì)部分的知識(shí)為基礎(chǔ)。
本章教學(xué)時(shí)間約需14課時(shí)，具體分配如下（僅供參考）：
25．1 　概 率 　　　　　　　　　　　　約4課時(shí)
25．2 　用列舉法求概率 　　　　　　　約4課時(shí)
25．3 　利用頻率估計(jì)概率 　　　　　　約2課時(shí)
25．4 　課題學(xué)習(xí) 　　　　　　　　　　約2課時(shí)
數(shù)學(xué)活動(dòng)
小結(jié) 　　　　　　　　　　　　　　　　約2課時(shí)
一、教科書(shū)內(nèi)容和課程學(xué)習(xí)目標(biāo)
（一）本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖
（二）教科書(shū)內(nèi)容
本章的主要內(nèi)容是隨機(jī)事件的定義，概率的定義，計(jì)算簡(jiǎn)單事件概率的方法，主要是列舉法（包括列表法和畫(huà)數(shù)行圖法），利用頻率估計(jì)概率。中心內(nèi)容是體會(huì)隨機(jī)觀念和概率思想。
全章共包括3節(jié)：
25.1 　概 率
學(xué)生在前兩個(gè)學(xué)段已經(jīng)接觸到了一些與可能性有關(guān)的初步知識(shí)，在本節(jié)將學(xué)習(xí)更加數(shù)學(xué)化和抽象化地描述可能性的知識(shí)──概率。
在25.1.1節(jié)中，教科書(shū)通過(guò)設(shè)置的問(wèn)題1的抽簽問(wèn)題和問(wèn)題2的擲骰子問(wèn)題，讓學(xué)生來(lái)感受到，在一定條件下重復(fù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)，有些事件是必然發(fā)生的，有些事件是不可能發(fā)生的，有些事件是有可能發(fā)生也有可能不發(fā)的。教科書(shū)為了避免出現(xiàn)太多的概念，所以沒(méi)有給出必然事件和不可能事件的概念，只給出了隨機(jī)事件的概念。在學(xué)習(xí)了問(wèn)題1和問(wèn)題2后，學(xué)生就能夠判斷一個(gè)事件是必然會(huì)發(fā)生的事件、不可能發(fā)生的事件還是隨機(jī)事件。問(wèn)題3是一個(gè)摸球問(wèn)題，通過(guò)這個(gè)問(wèn)題要使學(xué)生在前兩個(gè)學(xué)段知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步認(rèn)識(shí)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性，即：一般地，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有大有小，不同的隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小有可能不同。通過(guò)問(wèn)題3的學(xué)習(xí)，使學(xué)生能夠初步判斷幾個(gè)事件發(fā)生的可能性的相對(duì)大小。
在學(xué)習(xí)了25.1.1節(jié)的隨機(jī)事件以及隨機(jī)發(fā)生的可能性大小的基礎(chǔ)上，25.1.2節(jié)給出了對(duì)事件發(fā)生可能性的更加抽象和更加數(shù)學(xué)化的描述──概率。教科書(shū)設(shè)置了一個(gè)投幣實(shí)驗(yàn)，一方面讓學(xué)生親自動(dòng)手實(shí)驗(yàn)獲得數(shù)據(jù)，另一方面還給出投幣實(shí)驗(yàn)的歷史數(shù)據(jù)，為學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律提供幫助。通過(guò)學(xué)生的親手實(shí)驗(yàn)和歷史數(shù)據(jù)，學(xué)生能夠用自己在“統(tǒng)計(jì)”中學(xué)過(guò)的頻率知識(shí)來(lái)研究投擲一枚硬幣時(shí)“正面向上”的頻率的大小。可以發(fā)現(xiàn)，在重復(fù)投擲一枚硬幣時(shí)，“正面向上”的頻率在0.5的左右擺動(dòng)，隨著投擲次數(shù)的增加，一般地，頻率會(huì)呈現(xiàn)出一定的穩(wěn)定性：在0.5的左右擺動(dòng)的幅度會(huì)越來(lái)越小。由于“正面向上”的頻率呈現(xiàn)出上述的穩(wěn)定性，我們就用0.5這個(gè)常數(shù)來(lái)表示“正面向上”發(fā)生的可能性到大小。
從隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到的常數(shù)可以刻畫(huà)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小這一事實(shí)出發(fā)，教科書(shū)引出了概率的定義：一般地，在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)P附近，那么這個(gè)常數(shù)P就叫做事件A發(fā)生的概率，記為P（A）=p。則根據(jù)概率的定義可知，當(dāng)A是不可能發(fā)生的事件時(shí)P（A）=0，；當(dāng)A是必然發(fā)生的事件時(shí)P（A）=1，；當(dāng)A是隨機(jī)事件時(shí)，0＜P（A）＜1；概率的值越大則事件發(fā)生的可能性就越大。
從概率定義可知，概率是通過(guò)大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中頻率的穩(wěn)定性得到的一個(gè)0~1的常數(shù)，它反映了事件發(fā)生的可能性的大小。需要注意，概率是針對(duì)大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)而言的，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)反映的規(guī)律并非意味著在每一次實(shí)驗(yàn)中一定存在。從這個(gè)意義上說(shuō)，即使某事件發(fā)生的概率非常大，但在一次實(shí)驗(yàn)中也有可能不發(fā)生；即使事件發(fā)生的概率非常小，但在一次實(shí)驗(yàn)中也可能發(fā)生。
25.2 用列舉法求概率
在本節(jié)的開(kāi)始，教科書(shū)設(shè)計(jì)了兩個(gè)實(shí)驗(yàn)：抽簽實(shí)驗(yàn)和擲骰子實(shí)驗(yàn)。通過(guò)這兩個(gè)實(shí)驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)如下的規(guī)律：一般地，如果在一次實(shí)驗(yàn)中，共有種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P（A）=。事實(shí)上，這個(gè)規(guī)律也可以看作從另一角度出發(fā)給出的概率定義，即概率的古典定義。
根據(jù)概率的古典定義，我們采用列舉的方法計(jì)算一些簡(jiǎn)單事件的概率。例1~3都是通過(guò)列舉的方法得到在一次實(shí)驗(yàn)中所有可能的結(jié)果數(shù)，以及所求事件包含的結(jié)果數(shù)，即而計(jì)算出所求事件的概率。
例4與前三個(gè)例題有所不同，這個(gè)事件在實(shí)驗(yàn)時(shí)包含了兩步，這就要求把兩步可能的結(jié)果都列舉出來(lái)，再利用古典定義來(lái)計(jì)算概率。例4的實(shí)驗(yàn)中每一步可能的結(jié)果只有兩個(gè)，兩步的所有可能結(jié)果也只有2×2=4個(gè)。
與例4類(lèi)似，例5的每次實(shí)驗(yàn)也是包含兩步，但每一步可能產(chǎn)生的結(jié)果數(shù)卻遠(yuǎn)較例4為多，有6個(gè)。這樣，用例4那樣簡(jiǎn)單的列舉法就有些捉襟見(jiàn)肘了，這時(shí)教科書(shū)給出了一種比較方便的列舉方法──列表法，這種方法適合在兩步的實(shí)驗(yàn)中，每一步出現(xiàn)的結(jié)果較多的情況。采用這種方法可以一目了然地看出投擲兩個(gè)骰子可能出現(xiàn)的所有結(jié)果為6×6=36個(gè)。
與例5相比，例6的難度有進(jìn)一步的提高，所提問(wèn)的兩個(gè)事件都包含了3步，對(duì)于包含3步的實(shí)驗(yàn)，這是一個(gè)3維的問(wèn)題，用例5中列表的方法來(lái)列舉出所有可能的結(jié)果已經(jīng)不可能。為此，教科書(shū)在例題中給出了一種新的列舉方法──樹(shù)形圖法。樹(shù)形圖法是一種適應(yīng)性比較廣泛的方法，能夠用列表法解決的問(wèn)題當(dāng)然也能用樹(shù)形圖方法來(lái)解決，應(yīng)該說(shuō)，這種方法是第三學(xué)段的學(xué)生在尚未掌握概率乘法的情況下，用處最廣泛的方法。
25.3 利用頻率估計(jì)概率
由25.1節(jié)的概率定義可知，在同樣條件下，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，根據(jù)一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率所逐漸穩(wěn)定到的常數(shù)可以估計(jì)這個(gè)事件發(fā)生的概率，教科書(shū)在第25.3節(jié)就結(jié)合具體情境研究了如何用頻率估計(jì)概率。
問(wèn)題1考查了某種幼數(shù)移植的成活率，幼樹(shù)的成活率實(shí)際上就是一種概率。這個(gè)實(shí)際問(wèn)題中的移植實(shí)驗(yàn)不屬于各種結(jié)果可能性相等的類(lèi)型，因而也就不能用25.2節(jié)中概率的古典定義去計(jì)算概率，只能用頻率去估計(jì)。
在同樣條件下，大量移植這種幼樹(shù)并統(tǒng)計(jì)成活情況（制成統(tǒng)計(jì)表的形式），計(jì)算成活頻率，隨著移植棵數(shù)的增加，成活頻率會(huì)越來(lái)越穩(wěn)定于某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是這種幼樹(shù)的移植成活率，在這個(gè)移植成活率問(wèn)題中，事實(shí)上應(yīng)用了“用樣本估計(jì)總體”的統(tǒng)計(jì)思想。
問(wèn)題1的目的比較單純，而問(wèn)題2則略顯復(fù)雜：除了確定柑橘損壞的概率外，還要在去掉損壞柑橘后保證利潤(rùn)的前提下，確定柑橘的零售價(jià)格。這里一方面要應(yīng)用“用樣本估計(jì)總體”的統(tǒng)計(jì)思想以及用頻率估計(jì)概率的思想計(jì)算出柑橘的損壞率，另一方面還要根據(jù)已知的損壞率為達(dá)到盈利的目的采取定價(jià)決策。
問(wèn)題3指出，在解決某些實(shí)際的概率問(wèn)題時(shí)，有時(shí)應(yīng)用實(shí)際的考查對(duì)象有時(shí)是不方便的，這樣就提出了模擬實(shí)驗(yàn)必要性與合理性。設(shè)置這個(gè)問(wèn)題的目的不在于讓學(xué)生獲得最后的精確結(jié)果，而是讓學(xué)生根據(jù)具體的問(wèn)題情境設(shè)計(jì)合適的模擬實(shí)驗(yàn)策略。
最后，在本節(jié)中教科書(shū)還介紹了用計(jì)算器如何產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，如何用計(jì)算器進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)。
25.4 課題學(xué)習(xí) 鍵盤(pán)上字母的排列規(guī)律
教材在最后一節(jié)安排了一個(gè)具有一定綜合性和活動(dòng)性的“課題學(xué)習(xí)”，這個(gè)“課題學(xué)習(xí)”選用了與學(xué)生生活聯(lián)系密切的鍵盤(pán)上字母的排列規(guī)律問(wèn)題。由于本章是《課程標(biāo)準(zhǔn)》“統(tǒng)計(jì)與概率”部分的最后一章，因此這個(gè)課題學(xué)習(xí)的綜合性比前面三章統(tǒng)計(jì)中的課題學(xué)習(xí)更強(qiáng)。為了便于教學(xué)操作，教科書(shū)沒(méi)有像以前那樣要求學(xué)生進(jìn)行收集數(shù)據(jù)、用統(tǒng)計(jì)表圖整理和描述數(shù)據(jù)的整個(gè)統(tǒng)計(jì)過(guò)程，而是直接把需要的數(shù)據(jù)──字母使用頻率以表格的形式直接提供給他們，僅要求他們根據(jù)頻率，按從大到小地把鍵盤(pán)上的字母排列出來(lái)，最后估計(jì)每個(gè)字母出現(xiàn)的概率，從而解釋為什么鍵盤(pán)上的字母為什么如此排列。
完成這個(gè)課題學(xué)習(xí)，要求學(xué)生綜合運(yùn)用本章及以前所學(xué)的統(tǒng)計(jì)與概率的知識(shí)和方法，通過(guò)經(jīng)歷從大到小地排列各字母使用頻率的過(guò)程，感受概率在現(xiàn)實(shí)生活中的重要作用。在這個(gè)過(guò)程中，讓學(xué)生進(jìn)一步感受用樣本估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)思想及概率的思想，進(jìn)一步體驗(yàn)概率在進(jìn)行決策時(shí)的重要作用。
（三）課程學(xué)習(xí)目標(biāo)
本章教科書(shū)的設(shè)計(jì)與編寫(xiě)以下列目標(biāo)為出發(fā)點(diǎn)：
1．理解什么是必然發(fā)生的事件、不可能發(fā)生的事件，什么是隨機(jī)事件；
2．在具體情境中了解概率的意義，體會(huì)概率是描述不確定現(xiàn)象的規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，理解概率的取值范圍的意義，發(fā)展隨機(jī)觀念。能夠運(yùn)用列舉法（包括列表、畫(huà)樹(shù)形圖）計(jì)算簡(jiǎn)單事件發(fā)生的概率；
3．能夠通過(guò)實(shí)驗(yàn)，獲得事件發(fā)生的頻率；知道大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)頻率可作為事件發(fā)生概率的估計(jì)值，理解頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系。通過(guò)實(shí)例進(jìn)一步豐富對(duì)概率的認(rèn)識(shí)，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題。了解進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)的必要性，能根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際背景設(shè)計(jì)合理的模擬實(shí)驗(yàn)。
二、本章編寫(xiě)特點(diǎn)
（一）注重隨機(jī)觀念的滲透
本章是第三學(xué)段“統(tǒng)計(jì)與概率”的最后一章，主要內(nèi)容是理解隨機(jī)觀念及概率的思想方法。在現(xiàn)實(shí)世界中，有許多現(xiàn)象我們是可以事先預(yù)言其結(jié)果的，如下雨必有云；同性電荷相斥；在△ABC中，若AB=AC，則∠B=∠C；因?yàn)椋浴Ｒ陨鲜聦?shí)的反面，下雨而無(wú)云；同性電荷相吸；，而等。這種在一定條件下必然發(fā)生或必然不發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性事件（或現(xiàn)象）。確定性事件的特點(diǎn)是：當(dāng)條件給定時(shí)，其結(jié)果可以事先確切地預(yù)言或推算。代數(shù)、幾何都是研究這類(lèi)現(xiàn)象的工具。
然而，在現(xiàn)實(shí)世界中還存在著許多現(xiàn)象，我們無(wú)法事先斷定其結(jié)果。例如，向上拋出一枚硬幣，落地時(shí)其結(jié)果是正面向上，還是背面向上？事先是無(wú)法準(zhǔn)確斷言的。又如新生兒的體重，在出生之前也無(wú)法準(zhǔn)確斷言是多少。某一路段，在一定時(shí)間段內(nèi)有多少車(chē)輛通過(guò)，也是無(wú)法事先斷定的。這類(lèi)事件很多。它們的共同特點(diǎn)是：在相同的條件下，重復(fù)同一實(shí)驗(yàn)（或觀察）時(shí)，會(huì)得到不同的結(jié)果，就一次或少數(shù)幾次實(shí)驗(yàn)來(lái)看，其結(jié)果是不確定的、無(wú)規(guī)律的，但當(dāng)大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)（或觀察）時(shí)，其結(jié)果就整體來(lái)說(shuō)呈現(xiàn)出某種固有規(guī)律性。例如，將上述的拋硬幣實(shí)驗(yàn)大量重復(fù)時(shí)，就可以發(fā)現(xiàn)正面朝上或反面朝上的次數(shù)總是大致相等的。通過(guò)大量統(tǒng)計(jì)新生嬰兒的體重時(shí)，也會(huì)發(fā)現(xiàn)這些數(shù)字絕大多數(shù)集中在某一點(diǎn)附近，離開(kāi)這點(diǎn)越遠(yuǎn)數(shù)字越少，呈現(xiàn)出一種確定的分布。這種大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)（或觀察）時(shí)所呈現(xiàn)出的集體規(guī)律性，稱為統(tǒng)計(jì)規(guī)律。這類(lèi)在個(gè)別實(shí)驗(yàn)中呈現(xiàn)出不確定性，而在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，又具有某種統(tǒng)計(jì)規(guī)律的現(xiàn)象，這就是隨機(jī)事件。
隨機(jī)事件在現(xiàn)實(shí)世界中是普遍存在的，教師應(yīng)該努力培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)觀念，并讓學(xué)生知道，研究隨機(jī)事件掌握其規(guī)律進(jìn)而利用其規(guī)律是有實(shí)際意義的。概率論就是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的數(shù)學(xué)工具。教師應(yīng)舉出大量事件，讓學(xué)生判斷，這些事件是確定性事件還是隨機(jī)事件。教師應(yīng)該注意，所舉的事例一定要在學(xué)生的知識(shí)范圍和生活經(jīng)驗(yàn)之內(nèi)，超出這個(gè)范圍，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)觀念是無(wú)益的。
（二）突出概率思想的內(nèi)涵
在前兩個(gè)學(xué)段，學(xué)生對(duì)事件發(fā)生的可能性的大小已經(jīng)有了初步的認(rèn)識(shí)，在本章，他們將學(xué)習(xí)一種用確定性的數(shù)學(xué)來(lái)研究不確定現(xiàn)象的模型──概率。對(duì)于隨機(jī)事件及其概率的認(rèn)識(shí)，學(xué)生需要一個(gè)較長(zhǎng)時(shí)期的認(rèn)知過(guò)程。學(xué)生對(duì)概率思想的理解和掌握會(huì)隨著自身年齡的增長(zhǎng)以及知識(shí)面和生活經(jīng)驗(yàn)的延伸而發(fā)展。
我們知道，概率的獲取有理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)估算兩種，從這兩個(gè)理解角度出發(fā)，可以給出不同的概率定義：一個(gè)是古典概型（理論計(jì)算），另一個(gè)是實(shí)驗(yàn)概率（用頻率估計(jì)）。本章的定義是從第二個(gè)角度給出的。對(duì)于隨機(jī)事件概率的計(jì)算，有些用理論計(jì)算比較方便，比如說(shuō)本章25.2節(jié)“用列舉法求概率”中的概率，事實(shí)上采用的就是理論計(jì)算。還有一些事件的概率無(wú)法用理論計(jì)算來(lái)解決，就只能通過(guò)概率實(shí)驗(yàn)，用頻率來(lái)估算。比如25．3節(jié)“利用頻率估計(jì)概率”中的概率估算。還有一類(lèi)事件的概率，比如投硬幣或投骰子某一面朝上，既可以用理論來(lái)計(jì)算也可以用頻率來(lái)估算，從理論上說(shuō)，硬幣兩個(gè)面是是對(duì)稱的，兩個(gè)面分別朝上的可能性是相等的，所以兩個(gè)面朝上的概率都為0.5，通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)也可以估算出硬幣正面朝上的概率為0.5；投骰子的道理相同。應(yīng)該讓學(xué)生們理解，在遇到任何計(jì)算概率的問(wèn)題時(shí)，如果能夠用理論來(lái)計(jì)算首先就應(yīng)該采用理論計(jì)算的方式，這樣的計(jì)算是概率的精確值，用頻率估計(jì)概率通常會(huì)出現(xiàn)誤差，當(dāng)然這樣的誤差是正常的。
注意讓學(xué)生理解概率的內(nèi)涵，概率是針對(duì)大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)而言的，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)反映的規(guī)律并非意味著在每一次實(shí)驗(yàn)中一定存在。從這個(gè)意義上說(shuō)，即使某一事件發(fā)生的概率非常大，但在一次實(shí)驗(yàn)中也有可能不發(fā)生；即使一事件發(fā)生的概率非常小，但在一次實(shí)驗(yàn)中也可能發(fā)生，比如買(mǎi)獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)。
（三）深刻領(lǐng)會(huì)概率概念中蘊(yùn)涵的辨證思想
人們?cè)陂L(zhǎng)期的實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，在隨機(jī)現(xiàn)象大量重復(fù)中，由于眾多微小的偶然因素的影響，每次測(cè)得的結(jié)果雖不盡相同（具有偶然性），但大量重復(fù)測(cè)得結(jié)果的平均值卻幾乎必然地穩(wěn)定于某一定數(shù)。這個(gè)規(guī)律稱為大數(shù)法則，亦稱大數(shù)定律，是證明大量隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的一組定理的總稱。在理解概率的定義時(shí)，有一點(diǎn)必須注意：即使某事件發(fā)生的概率是，也并不意味次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，事件必然會(huì)發(fā)生1次，盡管概率值本身是精確的。這個(gè)事實(shí)說(shuō)明：必然性與偶然性（即隨機(jī)性）是對(duì)立統(tǒng)一的概念，偶然性蘊(yùn)涵內(nèi)在必然的規(guī)律；反過(guò)來(lái)被斷定為必然的東西，是由純粹的偶然性構(gòu)成的。
三、幾個(gè)值得關(guān)注的問(wèn)題
（一）注意揭示概率與頻率的聯(lián)系與區(qū)別
初學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率的學(xué)生常常無(wú)法理解概率與頻率的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別，有時(shí)會(huì)把兩者相混淆。教師應(yīng)該向?qū)W生指明，從數(shù)學(xué)角度來(lái)說(shuō)，統(tǒng)計(jì)與概率這兩個(gè)學(xué)科是互為依托，相互作用的。概率這一概念是建立在頻率這一統(tǒng)計(jì)量的穩(wěn)定性基礎(chǔ)之上的，而統(tǒng)計(jì)也離不開(kāi)概率的理論支撐。相同條件下，一個(gè)事件發(fā)生的概率是一個(gè)常數(shù)，是由事件固有的屬性決定的，但是如果用概率實(shí)驗(yàn)的方法，頻率會(huì)隨著樣本空間的變化而變化，但隨著樣本的增加，頻率會(huì)越來(lái)越集中于一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)就是概率。所以用頻率估計(jì)出來(lái)的概率通常是不精確的，要有誤差。這就是所說(shuō)的“實(shí)驗(yàn)概率穩(wěn)定于理論概率而又不等于理論概率”。
（二）鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，注意現(xiàn)代信息技術(shù)的應(yīng)用
為了首先讓學(xué)生通過(guò)具體的實(shí)驗(yàn)操作獲得一定的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)對(duì)概率意義的理解與掌握，教科書(shū)在25.1.2節(jié)給出概率定義之前，設(shè)置了一個(gè)投擲硬幣的實(shí)驗(yàn)，為學(xué)生提供一個(gè)體驗(yàn)概率實(shí)驗(yàn)的機(jī)會(huì)。由于在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中需要獲得的投擲次數(shù)相對(duì)較多，所以這里就需要發(fā)動(dòng) 全體學(xué)生積極參與，動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，靠集體的力量快速地獲得實(shí)驗(yàn)頻率，圓滿地完成實(shí)驗(yàn)。
在學(xué)習(xí)用頻率估計(jì)概率這部分內(nèi)容時(shí)，一方面要鼓勵(lì)學(xué)生親自動(dòng)手，集體合作，這主要是針對(duì)一些比較簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)，比如說(shuō)投幣實(shí)驗(yàn)，投圖釘實(shí)驗(yàn)以及像閱讀與理解短文中的布豐投針實(shí)驗(yàn)等。另一方面也鼓勵(lì)學(xué)生采用模擬方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，特別是利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)。我們知道，為了使用頻率估計(jì)的概率盡可能地準(zhǔn)確就需要進(jìn)行大量的重復(fù)實(shí)驗(yàn)，這樣的實(shí)驗(yàn)是極其費(fèi)時(shí)費(fèi)力的，所以應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生使用現(xiàn)代信息技術(shù)，比如教科書(shū)就給出了用計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的例子。在學(xué)生掌握模擬實(shí)驗(yàn)時(shí)，重要的不是獲得最終的結(jié)果，而是針對(duì)一個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，讓學(xué)生提出一種切實(shí)可行的進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)的策略，教科書(shū)25.3節(jié)的問(wèn)題3就是這樣。
（三）注意把握好教學(xué)難度
必須注意的是，本學(xué)段的概率內(nèi)容還處在一個(gè)比較初級(jí)的水平，就《課程標(biāo)準(zhǔn)》來(lái)看，這個(gè)階段的學(xué)生并沒(méi)有學(xué)習(xí)概率中的乘法，所以他們還只能用列表法和樹(shù)形圖法計(jì)算一些簡(jiǎn)單的概率問(wèn)題。因此，如果問(wèn)題超過(guò)3步的難度，學(xué)生完成起來(lái)就會(huì)非常吃力。所以一般來(lái)說(shuō)，教學(xué)中不益將問(wèn)題的難度超過(guò)3步
（四）注意選取豐富、科學(xué)且真實(shí)的素材，充分體現(xiàn)概率與生活的密切聯(lián)系
概率與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系越來(lái)越緊密，這一領(lǐng)域的內(nèi)容對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)應(yīng)該是充滿趣味性和吸引力的，本套教科書(shū)編寫(xiě)時(shí)特別注意將概率的學(xué)習(xí)與實(shí)際問(wèn)題緊密結(jié)合，選擇典型的、學(xué)生感興趣的和富有時(shí)代氣息的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題作為例子，在解決這些實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中學(xué)習(xí)計(jì)算概率的方法，掌握概率的概念、理解概率的意義，本章亦是如此。例如，在第25.1節(jié)中，教科書(shū)借助于“抽簽問(wèn)題”和“擲骰子問(wèn)題”引出隨機(jī)事件的概念；用“摸球問(wèn)題”來(lái)引出事件發(fā)生的可能性的大小；用“投幣實(shí)驗(yàn)”引出概率的統(tǒng)計(jì)學(xué)定義；又如25.2節(jié)中的例3，這是一個(gè)“掃雷游戲題”，相信使用過(guò)電腦的學(xué)生對(duì)其一定不會(huì)陌生，當(dāng)然，沒(méi)有用過(guò)電腦的學(xué)生在閱讀本題的背景后，對(duì)本題也一定會(huì)很感興趣的。再如，在第20.3節(jié)中，教科書(shū)選擇了一個(gè)與學(xué)生生活密切聯(lián)系的“鍵盤(pán)上字母的排列規(guī)律”作為“課題學(xué)習(xí)”，使學(xué)生綜合運(yùn)用本章知識(shí)和方法來(lái)體會(huì)概率在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用。因此，教學(xué)時(shí)要注意聯(lián)系實(shí)際問(wèn)題，可以和學(xué)生一起挖掘身邊的素材進(jìn)行教學(xué)，使學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，體會(huì)隨機(jī)的思想，培養(yǎng)概率思維，同時(shí)也使學(xué)生感受到概率與實(shí)際生活的密切聯(lián)系，體會(huì)概率在采取決策解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的作用，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)概率知識(shí)的積極性。
《人教版九年級(jí)上冊(cè)全書(shū)教案》
第二十一章 二次根式
教材內(nèi)容
1．本單元教學(xué)的主要內(nèi)容：
二次根式的概念；二次根式的加減；二次根式的乘除；最簡(jiǎn)二次根式．
2．本單元在教材中的地位和作用：
二次根式是在學(xué)完了八年級(jí)下冊(cè)第十七章《反比例正函數(shù)》、第十八章《勾股定理及其應(yīng)用》等內(nèi)容的基礎(chǔ)之上繼續(xù)學(xué)習(xí)的，它也是今后學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)．
教學(xué)目標(biāo)
1．知識(shí)與技能
（1）理解二次根式的概念．
（2）理解（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，（）2=a（a≥0），=a（a≥0）．
（3）掌握·＝（a≥0，b≥0），=·；
=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）．
（4）了解最簡(jiǎn)二次根式的概念并靈活運(yùn)用它們對(duì)二次根式進(jìn)行加減．
2．過(guò)程與方法
（1）先提出問(wèn)題，讓學(xué)生探討、分析問(wèn)題，師生共同歸納，得出概念．再對(duì)概念的內(nèi)涵進(jìn)行分析，得出幾個(gè)重要結(jié)論，并運(yùn)用這些重要結(jié)論進(jìn)行二次根式的計(jì)算和化簡(jiǎn)．
（2）用具體數(shù)據(jù)探究規(guī)律，用不完全歸納法得出二次根式的乘（除）法規(guī)定，并運(yùn)用規(guī)定進(jìn)行計(jì)算．
（3）利用逆向思維，得出二次根式的乘（除）法規(guī)定的逆向等式并運(yùn)用它進(jìn)行化簡(jiǎn)．
（4）通過(guò)分析前面的計(jì)算和化簡(jiǎn)結(jié)果，抓住它們的共同特點(diǎn)，給出最簡(jiǎn)二次根式的概念．利用最簡(jiǎn)二次根式的概念，來(lái)對(duì)相同的二次根式進(jìn)行合并，達(dá)到對(duì)二次根式進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)的目的．
3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀
通過(guò)本單元的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生：利用規(guī)定準(zhǔn)確計(jì)算和化簡(jiǎn)的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神，經(jīng)過(guò)探索二次根式的重要結(jié)論，二次根式的乘除規(guī)定，發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力．
教學(xué)重點(diǎn)
1．二次根式（a≥0）的內(nèi)涵．（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；（）2＝a（a≥0）；=a（a≥0）及其運(yùn)用．
2．二次根式乘除法的規(guī)定及其運(yùn)用．
3．最簡(jiǎn)二次根式的概念．
4．二次根式的加減運(yùn)算．
教學(xué)難點(diǎn)
1．對(duì)（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)的理解；對(duì)等式（）2＝a（a≥0）及=a（a≥0）的理解及應(yīng)用．
2．二次根式的乘法、除法的條件限制．
3．利用最簡(jiǎn)二次根式的概念把一個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式．
教學(xué)關(guān)鍵
1．潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生從具體到一般的推理能力，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)．
2．培養(yǎng)學(xué)生利用二次根式的規(guī)定和重要結(jié)論進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算的能力，培養(yǎng)學(xué)生一絲不茍的科學(xué)精神．
單元課時(shí)劃分
本單元教學(xué)時(shí)間約需11課時(shí)，具體分配如下：
21．1 二次根式 3課時(shí)
21．2 二次根式的乘法 3課時(shí)
21．3 二次根式的加減 3課時(shí)
教學(xué)活動(dòng)、習(xí)題課、小結(jié) 2課時(shí)
21．1 二次根式
第一課時(shí)
教學(xué)內(nèi)容
二次根式的概念及其運(yùn)用
教學(xué)目標(biāo)
理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意義解答具體題目．
提出問(wèn)題，根據(jù)問(wèn)題給出概念，應(yīng)用概念解決實(shí)際問(wèn)題．
教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵
1．重點(diǎn)：形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；
2．難點(diǎn)與關(guān)鍵：利用“（a≥0）”解決具體問(wèn)題．
教學(xué)過(guò)程
一、復(fù)習(xí)引入
（學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成下列三個(gè)問(wèn)題：
問(wèn)題1：已知反比例函數(shù)y=，那么它的圖象在第一象限橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)的坐標(biāo)是___________．
問(wèn)題2：如圖，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB邊的長(zhǎng)是__________．
問(wèn)題3：甲射擊6次，各次擊中的環(huán)數(shù)如下：8、7、9、9、7、8，那么甲這次射擊的方差是S2，那么S=_________．
老師點(diǎn)評(píng)：
問(wèn)題1：橫、縱坐標(biāo)相等，即x=y，所以x2=3．因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以x=，所以所求點(diǎn)的坐標(biāo)（，）．
問(wèn)題2：由勾股定理得AB=
問(wèn)題3：由方差的概念得S= .
二、探索新知
很明顯、、，都是一些正數(shù)的算術(shù)平方根．像這樣一些正數(shù)的算術(shù)平方根的式子，我們就把它稱二次根式．因此，一般地，我們把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號(hào)．
（學(xué)生活動(dòng)）議一議：
1．-1有算術(shù)平方根嗎？
2．0的算術(shù)平方根是多少？
3．當(dāng)a<0，有意義嗎？
老師點(diǎn)評(píng):（略）
例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、-、、（x≥0，y≥0）．
分析：二次根式應(yīng)滿足兩個(gè)條件：第一，有二次根號(hào)“”；第二，被開(kāi)方數(shù)是正數(shù)或0．
解：二次根式有：、（x>0）、、-、（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：、、、．
例2．當(dāng)x是多少時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？
分析：由二次根式的定義可知，被開(kāi)方數(shù)一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意義．
解：由3x-1≥0，得：x≥
當(dāng)x≥時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義．
三、鞏固練習(xí)
教材P練習(xí)1、2、3．
四、應(yīng)用拓展
例3．當(dāng)x是多少時(shí)，+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？
分析：要使+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須同時(shí)滿足中的≥0和中的x+1≠0．
解：依題意，得
由①得：x≥-
由②得：x≠-1
當(dāng)x≥-且x≠-1?

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