資源簡介

二項分布
引入
1.回顧本章知識結構：翻開《書》89頁
2.二項分布與超幾何分布（兩類重要的概率模型）
新課
1．伯努利試驗
只包含___________________的試驗叫做伯努利試驗．
n重伯努利試驗
(1)定義：將一個伯努利試驗___________進行______所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗．
(2)特征：
①同一個伯努利試驗重復做_______
②各次試驗的結果_______________
引例：某飛碟運動員每次射擊中靶的概率為0.8，連續3次擊中，求中靶次數X的分布列？
3．二項分布
在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發生的概率為p(0[微思考]　(1)在二項分布的概念中，n，p，k各表示什么意義？
(2)二項分布與兩點分布有何關系？
4．二項分布的均值和方差
(1)均值：若X～B(n，p)，則E(X)＝_______
(2)方差：若X～B(n，p)，則D(X)＝__________
三．基本知能小試
1．判斷正誤
（1）在伯努利試驗中，關注的是事件A是否發生，而在n重伯努利試驗中，關注的是事件A發生的次數．(　　)
（2）n重伯努利試驗中每次試驗只有發生與不發生兩種結果．(　　)
2.判斷下列試驗是不是n重伯努利試驗：
（1）依次投擲四枚質地不均勻的硬幣，3次正面向上
（2）某人射擊，擊中目標的概率是穩定的，他連續射擊了10次，其中6次擊中
（3）100件產品中包含10件次品，不放回地抽取6件
（4）12道四選一的單選題，隨機猜結果
四．題型總結
題型一:n重伯努利試驗
例題1.某氣象站天氣預報的準確率為80%，計算：(結果保留到小數點后面第2位)
(1)5次預報中恰有2次準確的概率； (2)5次預報中至少有2次準確的概率；
(3)5次預報中恰有2次準確，且其中第3次預報準確的概率．
練習1.已知兩名射擊運動員的射擊水平：甲擊中目標靶的概率是0.7，乙擊中目標靶的概率是0.6.若讓甲、乙兩人各自向目標靶射擊3次，則
(1)甲恰好擊中目標2次的概率是________；
(2)兩名運動員都恰好擊中目標2次的概率是________．(結果保留兩位有效數字)
題型二　二項分布的均值方差
例題2.一出租車司機從某飯店到火車站途中有6個交通崗， 假設他在各交通崗遇到紅燈這一事件是相互獨立的， 并且概率都是.
①求這位司機遇到紅燈數X的期望與方差；
②若遇上紅燈， 則需等待30秒， 求司機總共等待時間Y的期望與方差．
練習2.拋擲一枚骰子，當出現5點或6點時，就說這次試驗成功，求在30次試驗中成功次數X的均值和方差.
題型三　二項分布的應用
例題3.在一次數學考試中，第14題和第15題為選做題．規定每位考生必須且只需在其中選做一題．設4名考生選做這兩題的可能性均為.
(1)求其中甲、乙2名考生選做同一道題的概率；
(2)設這4名考生中選做第15題的考生人數為X，求X的分布列．
練習3.甲、乙兩隊參加奧運知識競賽，每隊三人，每人回答一個問題，答對者為本隊贏得一分，答錯得零分．假設甲隊中每人答對的概率均為，乙隊中三人答對的概率分別為，，，且各人回答正確與否相互之間沒有影響．
若用ξ表示甲隊的總得分，求隨機變量ξ的分布列和均值．
課后練習
1．若，則P(X＝2)等于 ________.
2.某運動員投籃投中的概率p＝0.6，則重復5次投籃時投中次數Y的數學期望等于________．
3.設隨機變量X的分布列為，k＝0,1,2，…，n，
且E(X)＝24，則D(X)的值為______
4.如圖，一個質點在隨機外力的作用下，從原點0出發，每隔1s等可能地向左或向右移動一個單位，共移動6次.求下列事件的概率.
（1）質點回到原點； （2）質點位于4的位置.
5. 將一枚質地均勻的硬幣連續拋擲4次，X表示“正面朝上”出現的次數.
（1）求X的分布列；（2）求X的均值和方差.
6.甲 乙兩選手進行象棋比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，那么采用3局2勝制還是采用5局3勝制對甲更看利？
（提示：可以假定賽完所有n局，把n局比賽看成n重伯努利試驗，利用二項分布求“甲最終獲勝”的概率.）
7．某人一次種植了n株沙柳，各株沙柳的成活與否是相互獨立的，成活率為p，設ξ為成活沙柳的株數，均值E(ξ)為3，標準差為.
(1)求n和p的值，并寫出ξ的分布列；
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補種，求需要補種沙柳的概率．二項分布
引入
1.回顧本章知識結構：翻開《書》89頁
2.二項分布與超幾何分布（兩類重要的概率模型）
新課
1．伯努利試驗
只包含_兩個可能結果_的試驗叫做伯努利試驗．
n重伯努利試驗
(1)定義：將一個伯努利試驗_獨立地重復_進行_n次_所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗．
(2)特征：
①同一個伯努利試驗重復做_n次
②各次試驗的結果_相互獨立_
引例：某飛碟運動員每次射擊中靶的概率為0.8，連續3次擊中，求中靶次數X的分布列？
解：X的可能取值為0,1,2,3. 用Ai表示“第i次射擊中靶”(i=1,2,3)，則A1，A2，A3相互獨立，
中靶次數X的分布列：
3．二項分布
在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發生的概率為p(0[微思考]　(1)在二項分布的概念中，n，p，k各表示什么意義？
n：重復試驗的次數；p是在一次試驗中某事件A發生的概率；
k是在n次獨立重復試驗中事件A發生的次數．
(2)二項分布與兩點分布有何關系？
兩點分布是n＝1的二項分布．
兩點分布的試驗次數為1，二項分布的試驗次數為n
兩點分布的均值E(X)＝p，方差D(X)＝p(1－p)
4．二項分布的均值和方差
(1)均值：若X～B(n，p)，則E(X)＝np
(2)方差：若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)_
三．基本知能小試
1．判斷正誤
（1）在伯努利試驗中，關注的是事件A是否發生，而在n重伯努利試驗中，關注的是事件A發生的次數．(√)
（2）n重伯努利試驗中每次試驗只有發生與不發生兩種結果．(√ )
2.判斷下列試驗是不是n重伯努利試驗：（①可在相同條件下重復進行②試驗結果相互獨立）
（1）依次投擲四枚質地不均勻的硬幣，3次正面向上.×（試驗條件不同）
（2）某人射擊，擊中目標的概率是穩定的，他連續射擊了10次，其中6次擊中.√
（3）100件產品中包含10件次品，不放回地抽取6件.×（試驗結果不相互獨立）
（4）12道四選一的單選題，隨機猜結果.√
四．題型總結
題型一:n重伯努利試驗
例題1.某氣象站天氣預報的準確率為80%，計算：(結果保留到小數點后面第2位)
(1)5次預報中恰有2次準確的概率； (2)5次預報中至少有2次準確的概率；
(3)5次預報中恰有2次準確，且其中第3次預報準確的概率．
解：設X為預報準確的次數，則X～B(5，0.8)
(1)P(X=2)=C×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，
(2)P(X≥2)=1-P(X≤1）=1-C×0.25-C×0.8×0.24≈0.99.
(3)說明第1,2,4,5次中恰有1次準確．
∴所求概率為C×0.8×0.23×0.8＝0.020 48≈0.02.
練習1.已知兩名射擊運動員的射擊水平：甲擊中目標靶的概率是0.7，乙擊中目標靶的概率是0.6.若讓甲、乙兩人各自向目標靶射擊3次，則
(1)甲恰好擊中目標2次的概率是0.44；
(2)兩名運動員都恰好擊中目標2次的概率是0.19．(結果保留兩位有效數字)
設X為甲擊中目標的次數，Y為乙擊中目標的次數，由題意得X～B(3，0.7)，Y～B(3，0.6)
(1)P(X=2)=C×0.72×0.3≈0.44.
(2)甲、乙兩人恰好都擊中2次的概率是[C×0.72×0.3]×[C×0.62×0.4]≈0.19.
題型二　二項分布的均值方差
例題2.一出租車司機從某飯店到火車站途中有6個交通崗， 假設他在各交通崗遇到紅燈這一事件是相互獨立的， 并且概率都是.
①求這位司機遇到紅燈數X的期望與方差；
②若遇上紅燈， 則需等待30秒， 求司機總共等待時間Y的期望與方差．
①易知司機遇上紅燈次數X服從二項分布，且X～B，
∴E(X)＝6×＝2，D(X)＝6××＝.
②由已知Y＝30X，∴E(Y)＝30E(X)＝60，D(Y)＝900D(X)＝1 200.
練習2.拋擲一枚骰子，當出現5點或6點時，就說這次試驗成功，求在30次試驗中成功次數X的均值和方差.
X～B(30，)，E（X)=30×=10，D(X)=30××（1-）=
題型三　二項分布的應用
例題3.在一次數學考試中，第14題和第15題為選做題．規定每位考生必須且只需在其中選做一題．設4名考生選做這兩題的可能性均為.
(1)求其中甲、乙2名考生選做同一道題的概率；
(2)設這4名考生中選做第15題的考生人數為X，求X的分布列．
解：(1)設A=“甲選做第14題”，B=“乙選做第14題”，則甲、乙2名考生選做同一道題的事件為“AB∪ ”，且事件A，B相互獨立．
所以P(AB∪ )＝P(A)P(B)＋P()P()
＝×＋×＝.
(2)隨機變量X的可能取值為0,1,2,3,4.且X～B.
所以P(X＝k)＝Ck4－k＝C4(k＝0,1,2,3,4)．
所以隨機變量X的分布列為
X 0 1 2 3 4
P
練習3.甲、乙兩隊參加奧運知識競賽，每隊三人，每人回答一個問題，答對者為本隊贏得一分，答錯得零分．假設甲隊中每人答對的概率均為，乙隊中三人答對的概率分別為，，，且各人回答正確與否相互之間沒有影響．
若用ξ表示甲隊的總得分，求隨機變量ξ的分布列和均值．
解：由題意知，ξ的所有可能取值為0,1,2,3，且ξ～B，則有
P(ξ＝0)＝C×3＝，
P(ξ＝1)＝C××2＝，
P(ξ＝2)＝C×2×＝，
P(ξ＝3)＝C×3＝，
所以ξ的分布列為
ξ 0 1 2 3
P
由于隨機變量ξ～B，則有E(ξ)＝3×＝2.
課后練習
若，則P(X＝2)等于 ________.
P(X＝2)＝C2×4＝15××＝.
某運動員投籃投中的概率p＝0.6，則重復5次投籃時投中次數Y的數學期望等于________．
∵Y服從二項分布，即Y～B(5,0.6)，∴E(Y)＝np＝5×0.6＝3，
即重復5次投籃時投中次數Y的數學期望為3
3.設隨機變量X的分布列為，k＝0,1,2，…，n，
且E(X)＝24，則D(X)的值為______
由題意可知X～B，∴E(X)＝n＝24.∴n＝36.∴D(X)＝36××＝8.
4.如圖，一個質點在隨機外力的作用下，從原點0出發，每隔1s等可能地向左或向右移動一個單位，共移動6次.求下列事件的概率.
（1）質點回到原點；
（2）質點位于4的位置.
【詳解】設質點向右移動的次數為，又質點每隔1s等可能地向左或向右移動一個單位，
共移動6次，且每次移動是相互獨立，則.
（1）質點回到原點，則，，所以質點回到原點的概率是；
（2）當質點位于4的位置時，則，，
所以質點位于4的位置的概率是.
5. 將一枚質地均勻的硬幣連續拋擲4次，X表示“正面朝上”出現的次數.
（1）求X的分布列；（2）求X的均值和方差.
解：一枚質地均勻的硬幣拋擲一次正面朝上的概率為，
且每次是否正面朝上是相互獨立，所以，
，
所以X的分布列為：
（2）根據（1），
所以.
6.甲 乙兩選手進行象棋比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，那么采用3局2勝制還是采用5局3勝制對甲更看利？
（提示：可以假定賽完所有n局，把n局比賽看成n重伯努利試驗，利用二項分布求“甲最終獲勝”的概率.）
解：采用3局2勝制，不妨設賽滿3局，用X表示3局比賽中甲勝的局數，則.甲最終獲勝的概率為
.
采用5局3勝制，不妨設賽滿5局，用X表示5局比賽中甲勝的局數，則.甲最終獲勝的概率為
.
因，所以5局3勝制對甲有利.實際上，比賽局數越多，對實力較強者越有利.
7．某人一次種植了n株沙柳，各株沙柳的成活與否是相互獨立的，成活率為p，設ξ為成活沙柳的株數，均值E(ξ)為3，標準差為.
(1)求n和p的值，并寫出ξ的分布列；
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補種，求需要補種沙柳的概率．
解：由題意知，ξ～B(n，p)，P(ξ＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1，…，n.
(1)由E(ξ)＝np＝3，D(ξ)＝np(1－p)＝，
得1－p＝，從而n＝6，p＝.
ξ的分布列為
ξ 0 1 2 3 4 5 6
P
(2)記“需要補種沙柳”為事件A，則P(A)＝P(ξ≤3)，
得P(A)＝＋＋＋＝，
所以需要補種沙柳的概率為.

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