資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
【命題猜想4】平面圖形綜合—七種圖形法求不規(guī)則及組合圖形的面積。
【命題說明】
求不規(guī)則及組合圖形的周長與面積是小升初平面圖形考察的核心內(nèi)容，相對立體圖形，平面圖形的直觀性更強，難度在于不規(guī)則圖形的轉(zhuǎn)化，這需要我們熟悉和掌握常用的平移對稱方法，下面介紹幾種常用的方法：
（1）公式法：所求面積的圖形是規(guī)則圖形，如扇形、特殊三角形、特殊四邊形等，可直接利用公式計算。
（2）割補法：就是從割和補兩種不同角度認識同一個面積。還有的是從不同的角度認識某個長方形面積的一半。通過對面積問題的訓(xùn)練可以打開思維。特別是結(jié)合算兩次的思想能讓我們的思維理念得到很大提升。最后我寫了算兩次解決面積問題，來詮釋前面的理論。21世紀教育網(wǎng)版權(quán)所有
（3）和差法：所求面積的圖形是不規(guī)則圖形，可通過轉(zhuǎn)化變成規(guī)則圖形面積的和或差，這是求陰影部分面積最常用的方法。21教育網(wǎng)
（4）等積變換法：以線段比為對象運用兩個面積比來表示同一個面積比，有的是運用整體與局部思想整體由各個局部合成。有的是抓住面積不變，從兩個不同的底和高來表示同一個三角形的面積或者隨便求出直角邊的平方。
（5）容斥原理：容斥原理這個詞可能聽起來比較陌生，它還有另一個名詞，重疊法。如果運用得當，掌握其精髓，在求解陰影部分面積，以及相關(guān)應(yīng)用題時，能起到事半功倍的作用。21cnjy.com
【預(yù)測命題1】平移法與組合法求周長。
例題：（2023·山東菏澤·小升初真題）計算下面圖形的周長。
解析：
【答案】（1）40厘米；（2）48分米
【分析】（1）通過平移可得一個正方形，根據(jù)正方形的周長＝邊長×4，代入數(shù)值，即可求解；
（2）通過平移可得一個長方形，長方形的長為10＋4＝14（分米），寬為10分米，根據(jù)長方形的周長＝（長＋寬）×2，代入數(shù)值，即可求解。
【詳解】（1）10×4＝40（厘米）
（2）（10＋4＋10）×2
＝（14＋10）×2
＝24×2
＝48（分米）
【真題練習】
1．（2023·江蘇·小升初真題）計算下面圖形的周長。（單位：厘米）
2．（2023·江西新余·小升初真題）求下圖的周長。
3．（2023·長沙·小升初真題）想一想，怎樣才能算出下面圖形的周長。
【預(yù)測命題2】減法拓展思路求面積。
例題：（2023·江蘇泰州·小升初真題）求涂色部分的面積。
解析：
【答案】42平方米
【分析】涂色部分的面積＝大長方形的面積－小長方形的面積，長方形的面積＝長×寬，小長方形的長＝（12－3）米，小長方形的寬＝（8－2）米，據(jù)此列式解答即可。
【詳解】12－3＝9（米）
8－2＝6（米）
涂色部分的面積：
12×8－9×6
＝96－54
＝42（平方米）
【真題練習】
1．（2023·遼寧大連·小升初真題）求陰影部分的面積。
2．（2023·廣東惠州·小升初真題）下圖陰影部分的面積是多少平方米？
3．（2023·四川·小升初真題）求圖中陰影部分的面積。（單位：厘米）
【預(yù)測命題3】加法分割思路求面積。
例題：（2023·貴州銅仁·小升初真題）計算下面圖形的面積。
【答案】75cm2
【分析】由圖可知，圖形的面積＝長為6cm，寬為5cm的長方形面積＋上底為5cm，下底為10cm，高為（12－6）cm的梯形面積，根據(jù)梯形的面積＝（上底＋下底）×高÷2，長方形的面積＝長×寬，代入數(shù)據(jù)解答即可。
【詳解】6×5＋（5＋10）×（12－6）÷2
＝30＋15×6÷2
＝30＋90÷2
＝30＋45
＝75（cm2）
圖形的面積是75cm2。
【真題練習】
1．（2023·遼寧·小升初真題）求陰影部分的面積。（單位：厘米）

2．（2023·陜西西安·小升初真題）計算下面圖形的周長與面積。
3．（2023·河北秦皇島·小升初真題）求下面組合圖形的面積。（單位：cm）
（1） （2）
【預(yù)測命題4】割補法求面積。
例題：（2023·寧夏固原·小升初真題）求陰影部分的周長和面積。（單位：厘米）
解析：
【答案】周長是62.8厘米；面積是157平方厘米
【分析】觀察圖形可知，陰影部分的周長＝一個半徑是10厘米的圓周長的一半＋一個直徑是10厘米的圓周長，通過割補可知，陰影部分的面積＝一個半徑是10厘米的圓面積的一半；根據(jù)圓周長公式：C＝2πr＝πd，用2×3.14×10÷2＋3.14×10即可求出陰影部分的周長，再根據(jù)圓面積公式：S＝πr2，用3.14×102÷2即可求出陰影部分的面積。
【詳解】2×3.14×10÷2＋3.14×10
＝31.4＋31.4
＝62.8（厘米）
3.14×102÷2
＝3.14×100÷2
＝157（平方厘米）
陰影部分的周長是62.8厘米，面積是157平方厘米。
【真題練習】
1．（2023·河北衡水·小升初真題）求下圖中陰影部分的面積。

2．（2023·甘肅白銀·小升初真題）求圖中陰影部分的面積。（量位：厘米）

3．（2023·四川綿陽·小升初真題）求出圖中陰影部分的面積和周長。
【命題猜想4】平面圖形綜合—七種圖形法求不規(guī)則及組合圖形的面積。
【命題說明】
求不規(guī)則及組合圖形的周長與面積是小升初平面圖形考察的核心內(nèi)容，相對立體圖形，平面圖形的直觀性更強，難度在于不規(guī)則圖形的轉(zhuǎn)化，這需要我們熟悉和掌握常用的平移對稱方法，下面介紹幾種常用的方法：
（1）公式法：所求面積的圖形是規(guī)則圖形，如扇形、特殊三角形、特殊四邊形等，可直接利用公式計算。
（2）割補法：就是從割和補兩種不同角度認識同一個面積。還有的是從不同的角度認識某個長方形面積的一半。通過對面積問題的訓(xùn)練可以打開思維。特別是結(jié)合算兩次的思想能讓我們的思維理念得到很大提升。最后我寫了算兩次解決面積問題，來詮釋前面的理論。21世紀教育網(wǎng)版權(quán)所有
（3）和差法：所求面積的圖形是不規(guī)則圖形，可通過轉(zhuǎn)化變成規(guī)則圖形面積的和或差，這是求陰影部分面積最常用的方法。21教育網(wǎng)
（4）等積變換法：以線段比為對象運用兩個面積比來表示同一個面積比，有的是運用整體與局部思想整體由各個局部合成。有的是抓住面積不變，從兩個不同的底和高來表示同一個三角形的面積或者隨便求出直角邊的平方。
（5）容斥原理：容斥原理這個詞可能聽起來比較陌生，它還有另一個名詞，重疊法。如果運用得當，掌握其精髓，在求解陰影部分面積，以及相關(guān)應(yīng)用題時，能起到事半功倍的作用。21cnjy.com
【預(yù)測命題1】平移法與組合法求周長。
例題：（2023·山東菏澤·小升初真題）計算下面圖形的周長。
解析：
【答案】（1）40厘米；（2）48分米
【分析】（1）通過平移可得一個正方形，根據(jù)正方形的周長＝邊長×4，代入數(shù)值，即可求解；
（2）通過平移可得一個長方形，長方形的長為10＋4＝14（分米），寬為10分米，根據(jù)長方形的周長＝（長＋寬）×2，代入數(shù)值，即可求解。
【詳解】（1）10×4＝40（厘米）
（2）（10＋4＋10）×2
＝（14＋10）×2
＝24×2
＝48（分米）
【真題練習】
1．（2023·江蘇·小升初真題）計算下面圖形的周長。（單位：厘米）
【答案】34厘米
【分析】
將其中一條6厘米的線段向右移動，與右邊3厘米的線段連接，再將另外一條6厘米的線段向左移，與左邊的3厘米的線段連接。將兩端2厘米的線段向上移動和4厘米線段連接，可以將圖形組合成一個長方形，長是9厘米，寬是8厘米，周長＝（長＋寬）×2得出周長。如圖。
【詳解】
3＋6＝9（厘米）
4＋2＋2＝8（厘米）
（9＋8）×2
＝17×2
＝34（厘米）
答：圖形的周長34厘米。
2．（2023·江西新余·小升初真題）求下圖的周長。
【答案】142分米
【分析】根據(jù)題意可知，將該圖形缺口處橫著的線段向上平移則得到一個長38分米寬26分米的長方形，根據(jù)長方形周長＝（長＋寬）×2，再加上缺口處豎著的兩條線段為7分米，據(jù)此解答即可。
【詳解】（38＋26）×2＋7×2
＝64×2＋14
＝128＋14
＝142（分米）
該圖形周長為142分米。
3．（2023·長沙·小升初真題）想一想，怎樣才能算出下面圖形的周長。
【答案】30厘米
【分析】通過平移，把圖形變成一個長方形，長方形的長是10 厘米，寬是5厘米，根據(jù)長方形的周長＝（長＋寬）×2，即可求出圖形周長。據(jù)此解答即可。
【詳解】
（10＋5）×2
＝15×2
＝30（厘米）
即圖形的周長是30厘米。
【預(yù)測命題2】減法拓展思路求面積。
例題：（2023·江蘇泰州·小升初真題）求涂色部分的面積。
解析：
【答案】42平方米
【分析】涂色部分的面積＝大長方形的面積－小長方形的面積，長方形的面積＝長×寬，小長方形的長＝（12－3）米，小長方形的寬＝（8－2）米，據(jù)此列式解答即可。
【詳解】12－3＝9（米）
8－2＝6（米）
涂色部分的面積：
12×8－9×6
＝96－54
＝42（平方米）
【真題練習】
1．（2023·遼寧大連·小升初真題）求陰影部分的面積。
【答案】37.68dm2
【分析】陰影部分面積＝直徑是8dm的圓的面積－直徑是（8÷2）dm圓的面積，根據(jù)圓的面積公式：面積＝π×半徑2，代入數(shù)據(jù)，即可解答。
【詳解】3.14×（8÷2）2－3.14×（8÷2÷2）2
＝3.14×42－3.14÷（4÷2）2
＝3.14×16－3.14×22
＝50.24－3.14×4
＝50.24－12.56
＝37.68（dm2）
陰影部分面積是37.68dm2。
2．（2023·廣東惠州·小升初真題）下圖陰影部分的面積是多少平方米？
【答案】1625平方米
【分析】陰影部分的面積＝梯形面積－長方形面積，根據(jù)長方形面積＝長×寬，梯形面積＝（上底＋下底）×高÷2，即可解答。
【詳解】（42＋68）×35÷2－30×10
＝110×35÷2－300
＝3850÷2－300
＝1925－300
＝1625（平方米）
陰影部分的面積是1625平方米。
3．（2023·四川·小升初真題）求圖中陰影部分的面積。（單位：厘米）
【答案】10.26平方厘米
【分析】陰影部分的面積等于四分之一圓的面積減去三角形的面積，根據(jù)圓的面積公式：S＝πr2，三角形的面積公式：S＝ah÷2，把數(shù)據(jù)代入公式解答。
【詳解】
（平方厘米）
陰影部分的面積是10.26平方厘米。
【預(yù)測命題3】加法分割思路求面積。
例題：（2023·貴州銅仁·小升初真題）計算下面圖形的面積。
【答案】75cm2
【分析】由圖可知，圖形的面積＝長為6cm，寬為5cm的長方形面積＋上底為5cm，下底為10cm，高為（12－6）cm的梯形面積，根據(jù)梯形的面積＝（上底＋下底）×高÷2，長方形的面積＝長×寬，代入數(shù)據(jù)解答即可。
【詳解】6×5＋（5＋10）×（12－6）÷2
＝30＋15×6÷2
＝30＋90÷2
＝30＋45
＝75（cm2）
圖形的面積是75cm2。
【真題練習】
1．（2023·遼寧·小升初真題）求陰影部分的面積。（單位：厘米）

【答案】8400平方厘米
【分析】假設(shè)左邊梯形的高為h1，右邊梯形的高為h2，h1＋h2＝（160－40）厘米，兩個梯形的上底都是40厘米，下底為100厘米，利用梯形的面積公式分別表示出左邊梯形和右邊梯形的面積，兩個梯形的面積相加即可求出陰影部分的面積。
【詳解】假設(shè)左邊梯形的高為h1，右邊梯形的高為h2，
h1＋h2
＝160－40
＝120（厘米）
（40＋100）×h1÷2＋（40＋100）×h2÷2
＝140×h1÷2＋140×h2÷2
＝70 h1＋70×h2
＝70×（h1＋h2）
＝70×120
＝8400（平方厘米）
即陰影部分的面積是8400平方厘米。
2．（2023·陜西西安·小升初真題）計算下面圖形的周長與面積。
【答案】71.4cm；257cm2
【分析】組合圖形的周長＝圓周長的一半＋正方形周長，圓周長的一半＝圓周率×半徑，正方形周長＝邊長×4；
組合圖形的面積＝半圓面積＋正方形面積，半圓面積＝圓周率×半徑的平方÷2，正方形面積＝邊長×邊長。
【詳解】3.14×10＋10×4
＝31.4＋40
＝71.4（cm）
3.14×102÷2＋10×10
＝3.14×100÷2＋100
＝157＋100
＝257（cm2）
組合圖形的周長是71.4cm，面積是257cm2。
3．（2023·河北秦皇島·小升初真題）求下面組合圖形的面積。（單位：cm）
（1） （2）
【答案】（1）575cm2；（2）494cm2
【分析】（1）如圖：，組合圖形的面積＝底是16cm，高是（20－15）cm的平行四邊形面積＋上底是（16＋16）cm，下底是34cm，高是15cm的梯形面積；根據(jù)平行四邊形面積公式：面積＝底×高，梯形面積公式：面積＝（上底＋下底）×高÷2，代入數(shù)據(jù)，即可解答。
（2）組合圖形面積＝長是19cm，寬是16cm的長方形面積＋底是19cm，高是20cm的三角形面積；根據(jù)長方形面積公式：面積＝長×寬；三角形面積公式：面積＝底×高÷2，代入數(shù)據(jù)，即可解答。
【詳解】（1）16×（20－15）＋（16＋16＋34）×15÷2
＝16×5＋（32＋34）×15÷2
＝80＋66×15÷2
＝80＋990÷2
＝80＋495
＝575（cm2）
（2）19×16＋19×20÷2
＝304＋380÷2
＝304＋190
＝494（cm2）
【預(yù)測命題4】割補法求面積。
例題：（2023·寧夏固原·小升初真題）求陰影部分的周長和面積。（單位：厘米）
解析：
【答案】周長是62.8厘米；面積是157平方厘米
【分析】觀察圖形可知，陰影部分的周長＝一個半徑是10厘米的圓周長的一半＋一個直徑是10厘米的圓周長，通過割補可知，陰影部分的面積＝一個半徑是10厘米的圓面積的一半；根據(jù)圓周長公式：C＝2πr＝πd，用2×3.14×10÷2＋3.14×10即可求出陰影部分的周長，再根據(jù)圓面積公式：S＝πr2，用3.14×102÷2即可求出陰影部分的面積。
【詳解】2×3.14×10÷2＋3.14×10
＝31.4＋31.4
＝62.8（厘米）
3.14×102÷2
＝3.14×100÷2
＝157（平方厘米）
陰影部分的周長是62.8厘米，面積是157平方厘米。
【真題練習】
1．（2023·河北衡水·小升初真題）求下圖中陰影部分的面積。

【答案】32平方厘米
【分析】如圖：通過平移，把左上角和右上角的陰影部分平移下來，與下方的陰影部分組成一個長為8厘米，寬為（8÷2）厘米的長方形，再利用長方形的面積公式，即可求出陰影部分的面積。
【詳解】8×（8÷2）
＝8×4
＝32（平方厘米）
即陰影部分的面積是32平方厘米。
2．（2023·甘肅白銀·小升初真題）求圖中陰影部分的面積。（量位：厘米）

【答案】25平方厘米
【分析】觀察圖形可知，把左邊陰影部分移到右邊，如圖：，陰影部分面積化為底是10厘米，高是（10÷2）厘米的三角形面積，根據(jù)三角形面積公式：面積＝底×高÷2，代入數(shù)據(jù)，即可解答。
【詳解】10×（10÷2）÷2
＝10×5÷2
＝50÷2
＝25（平方厘米）
3．（2023·四川綿陽·小升初真題）求出圖中陰影部分的面積和周長。
【答案】面積96m2；周長49.12m
【分析】
如圖，把左邊的陰影半圓向右平移到右邊空白的半圓，這樣陰影部分就是一個長12m、寬8m的長方形；根據(jù)長方形的面積＝長×寬，代入數(shù)據(jù)計算，即可求出陰影部分的面積。
觀察圖形可知，陰影部分的周長＝圓的周長＋12×2，其中圓的周長公式C＝πd，代入數(shù)據(jù)計算求解。
【詳解】12×8＝96（m2）
3.14×8＋12×2
＝25.12＋24
＝49.12（m）
陰影部分的面積是96m2，陰影部分的周長是49.12m。
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