資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
8.6.3 平面與平面垂直（一）
二面角及平面與平面垂直的判定定理
班級 姓名
學習目標
1．理解二面角的有關概念，會作二面角的平面角，能求簡單二面角平面角的大小．
2．了解面面垂直的定義，掌握面面垂直的判定定理，初步學會用定理證明垂直關系．
3．熟悉線線垂直、線面垂直的轉化．
學習過程
自學指導 自學檢測及課堂展示
閱讀教材，完成右邊的內容 一、二面角的概念(1)半平面的定義：平面內的一條直線，把這個平面分成兩部分，其中的每一部分都叫做半平面．(2)二面角的定義：從一條直線出發的 所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面．(3)二面角記法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q(AB為棱，α，β分別為二面角的兩個面，P在α內，Q在β內，且P，Q不在棱上)．(4)二面角的畫法第一種是臥式法，也稱為平臥式；第二種是立式法，也稱為直立式. (5)二面角的大小用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度．(6)二面角的平面角若有①O∈l；②OA α，OB β；③OA⊥l，OB⊥l，則二面角α－l－β的平面角是∠AOB．二面角的平面角α的取值范圍是 .平面角是直角的二面角叫做直二面角．【即時訓練1】(1)(多選題)下列說法正確的是(　　)A．兩個相交平面組成的圖形叫做二面角B．異面直線a，b分別和一個二面角的兩個半平面垂直，則a，b所成的角與這個二面角的平面角相等或互補C．二面角的平面角是從棱上一點出發，分別在兩個半平面內作射線所成的角的最小角D．二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關系(2)以下角：①異面直線所成的角；②直線和平面所成的角；③二面角的平面角．其中可能為鈍角的有 .
閱讀教材，完成右邊的內容 二、平面與平面垂直的定義(1)定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是 ，就說這兩個平面互相垂直．(2)畫法 (3)記作： ．
閱讀教材，完成右邊的內容 三、平面與平面垂直的判定定理(1)文字語言：如果一個平面過另一個平面的 ，那么這兩個平面垂直．(2)符號語言： .(3)圖形語言：【即時訓練2】設有直線m，n和平面α，β，則下列結論中正確的是 .①若m⊥n，m α，n β，則α⊥β；②若m∥n，n⊥β，m α，則α⊥β；③若m⊥n，α∩β＝m，n α，則α⊥β；④若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β.⑤α⊥γ，β⊥γ，則α⊥β； ⑥m∥α，m⊥β，則α⊥β
簡單的二面角的求法 例1、(1)如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上的一點，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小．(2)如圖，在三棱錐V－ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝，求二面角V－AB－C的大小．變式1、(1)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD與底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值為 .(2)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形是等邊三角形，且AB＝，AA1＝，則二面角A1－BC－A的大小為 .
定義法證明面面垂直 例2、如圖，在四面體ABCD中，BD＝a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a，求證：平面ABD⊥平面BCD.變式2、在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為A1A的中點，求證：平面EBD⊥平面C1BD.
例5、如圖，E，F分別為直角三角形ABC的直角邊AC和斜邊AB的中點，沿EF將△AEF折起到△A′EF位置，連接A′B，A′C，P為A′C的中點．(1)求證：EP∥平面A′FB；(2)求證：平面A′EC⊥平面A′BC.
課后作業
一、基礎訓練題
1．直線l⊥平面α，l 平面β，則α與β的位置關系是(　　)
A．平行　　　 　B．可能重合　 C．相交且垂直 D．相交不垂直
2．從二面角內一點分別向二面角的兩個面引垂線，則這兩條垂線所夾的角與二面角的平面角的關系是(　　)
A．互為余角 B．相等 C．其和為周角 D．互為補角
3．(多選題)若m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，則下列說法不正確的是(　　)
A．若m⊥β，m α，則α⊥β B．若α⊥γ，α⊥β，則β∥γ
C．若m∥α，n∥α，則m∥n D．若m α，n α，m∥β，n∥β，則α∥β
4．把正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，則△ABC是(　　)
A．等邊三角形　 B．直角三角形　　C．銳角三角形 D．鈍角三角形
5．下列不能確定兩個平面垂直的是(　　)
A．兩個平面相交，所成二面角是直二面角
B．一個平面垂直于另一個平面內的一條直線
C．一個平面經過另一個平面的一條垂線
D．平面α內的直線a垂直于平面β內的直線b
6．如圖，AB是圓的直徑，PA垂直于圓所在的平面，C是圓上一點(不同于A、B)且PA＝AC，則二面角P BC A的大小為(　　)
A．60° B．30° C．45° D．15°
7．已知AB是圓柱上底面的一條直徑，C是上底面圓周上異于A，B的一點，D為下底面圓周上一點，且AD垂直于圓柱的底面，則必有(　　)
A．平面ABC⊥平面BCD
B．平面BCD⊥平面ACD
C．平面ABD⊥平面ACD
D．平面BCD⊥平面ABD
8．(多選題)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，M為棱BB1的中點，則下列結論中正確的是(　　)
A．D1O∥平面A1BC1
B．MO⊥平面A1BC1
C．異面直線BC1與AC所成的角等于60°
D．二面角M－AC－B等于90°
9．在正方體ABCD A1B1C1D1中，E是CC1的中點，則平面EBD與平面AA1C1C的位置關系是________．(填“垂直”“不垂直”其中的一個)
10．以等腰直角三角形斜邊上的高為棱，把它折成直二面角，則折疊后原等腰直角三角形兩條直角邊的夾角為________．
11．如圖，在四棱錐V－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，其他四個側面都是側棱長為的等腰三角形，則二面角V－AB－C的度數是________．
12．如圖，在四面體PABC中，PA＝PB＝PC，△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC，O為AB的中點，請從以下平面中選出兩個相互垂直的平面________(只填序號)．
①平面PAB；②平面ABC；③平面PAC；④平面PBC；⑤平面POC.
13．如圖，已知六棱錐P ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結論正確的是________．(填序號)
①PB⊥AD；
②平面PAB⊥平面PAE；
③BC∥平面PAE；
④直線PD與平面ABC所成的角為45°．
14．如圖，在四棱錐P ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD．
求證：平面PDC⊥平面PAD．
15．如圖，棱柱ABC A1B1C1的側面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B．
證明：平面AB1C⊥平面A1BC1．
16．如圖，在長方體ABCD A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分別AD和BC上，且EF∥AB．若二面角C1 EF C等于45°，求BF的值．
17．如圖，在四棱錐P ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠CDA＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝DC＝1，AB＝2．
(1)證明：平面PAC⊥平面PBC；
(2)求點D到平面PBC的距離．
二、綜合訓練題
18．(多選題)如圖，在三棱錐P－ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，點E，F，G分別是所在棱的中點，則下面結論中，正確的是(　　)
A．平面EFG∥平面PBC
B．平面EFG⊥平面ABC
C．∠BPC是直線EF與直線PC所成的角
D．∠FEG是平面PAB與平面ABC所成二面角的平面角
19．如圖，在一個60°的二面角的棱上有A，B兩點，線段AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內，并且都垂直于棱AB，且AB＝AC＝1，BD＝2，
則CD的長為(　　)
A．2 B.
C．2 D.
20．如圖，在三棱錐P ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則在三棱錐P ABC的四個面中，互相垂直的面有________對．
三、能力提升題
21．如圖，二面角α l β的大小是60°，線段AB α，B∈l，AB與l所成的角為30°，則AB與平面β所成的角的正弦值是________．
22．在如圖所示的圓臺中，AC是下底面圓O的直徑，EF是上底面圓O′的直徑，FB是圓臺的一條母線．已知EF＝FB＝AC＝2，AB＝BC，則二面角F－BC－A的余弦值為________．
8.6.3　平面與平面垂直
參考答案
1、【答案】C
【解析】由面面垂直的判定定理，得α與β垂直，故選C．
2、【答案】D
【解析】畫圖知從二面角內一點分別向二面角的兩個面引垂線，則這兩條垂線所夾的角與二面角的平面角互為補角，所以選D．
3、【答案】BCD
4、【答案】A
【解析】如圖①，設正方形ABCD的邊長為1，
AC與BD相交于O，則折成直二面角后如圖②，
AB＝BC＝1，AC＝＝＝1，則△ABC是等邊三角形．
5、【答案】D　
【解析】如圖所示，在正方體ABCD A1B1C1D1中，
平面A1B1CD內的直線A1B1垂直于平面ABCD內的一條直線BC，
但平面A1B1CD與平面ABCD顯然不垂直．
6、【答案】C　
【解析】由條件得：PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝C，
∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA為二面角P BC A的平面角．
在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故選C．
7、【答案】B
【解析】因為AB是圓柱上底面的一條直徑，所以AC⊥BC．又AD垂直于圓柱的底面，
所以AD⊥BC．因為AC∩AD＝A，所以BC⊥平面ACD．又BC 平面BCD，
所以平面BCD⊥平面ACD．故選B．
8、【答案】ABC
【解析】對于A，連接B1D1交A1C1于E，連接BE，則四邊形D1OBE為平行四邊形，所以D1O∥BE，
因為D1O 平面A1BC1，BE 平面A1BC1，所以D1O∥平面A1BC1，故正確；
對于B，連接B1D，BD，因為O為底面ABCD的中心，M為棱BB1的中點，
所以MO∥B1D，易證B1D⊥平面A1BC1，所以MO⊥平面A1BC1，故正確；
對于C，因為AC∥A1C1，所以∠A1C1B為異面直線BC1與AC所成的角，
因為△A1C1B為等邊三角形，所以∠A1C1B＝60°，故正確；
對于D，因為BO⊥AC，MO⊥AC，所以∠MOB為二面角M－AC－B的平面角，
顯然不等于90°，故不正確．故選D.
9、【答案】垂直
【解析】如圖，在正方體中，CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD．
又AC⊥BD，CC1∩AC＝C，
所以BD⊥平面AA1C1C．
又BD 平面EBD，所以平面EBD⊥平面AA1C1C．
10、【答案】60°　
【解析】如圖所示，是等腰直角三角形ABC以斜邊AB上的高CD為棱，
折成直二面角后的圖形，折疊后AD⊥CD，BD⊥DC，
∠ADB即所成二面角的平面角，故∠ADB＝90°．
設AD＝a，則有BD＝CD＝a，所以AB＝AC＝BC＝a，
所以△ABC是等邊三角形，
所以折疊后原等腰直角三角形兩條直角邊AC，BC的夾角為60°．
11、【答案】60°
【解析】如圖，取AB的中點E，CD的中點F，連接VE，EF，VF，
由題意知，AB⊥VE，AB⊥EF，所以∠VEF為二面角V－AB－C的平面角．
易知△VEF為正三角形，所以∠VEF＝60°.
12、【答案】②⑤(或①⑤)
【解析】∵在四面體PABC中，PA＝PB＝PC，△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC，O為AB的中點，
∴CO⊥AB，PO⊥AB. ∵CO∩PO＝O，CO，PO 平面POC，∴AB⊥平面POC.
∵AB 平面ABC，AB 平面PAB，∴平面POC⊥平面ABC，平面PAB⊥平面POC.
13、【答案】②④　
【解析】因為AD∥BC，PB與BC不垂直，故PB與AD不垂直，①不正確；
由PA⊥AB，AE⊥AB，PA∩AE＝A，得AB⊥平面PAE，
因為AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAE，②正確；
延長CB，EA，兩者相交(圖略)，因此BC與平面PAE相交，③不正確；
由于PA⊥平面ABC，所以∠PDA就是直線PD與平面ABC所成的角，
由PA＝2AB，AD＝2AB，得PA＝AD，所以∠PDA＝45°，④正確．
14、【證明】因為PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD．
因為CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD．
因為CD 平面PDC，所以平面PDC⊥平面PAD．
15、【證明】因為BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1，
又B1C⊥A1B，且BC1∩A1B＝B，所以B1C⊥平面A1BC1，
又B1C 平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1．
16、【解】因為AB⊥平面BC1，C1F 平面BC1，CF 平面BC1，所以AB⊥C1F，AB⊥CF．
又EF∥AB，所以C1F⊥EF，CF⊥EF，所以∠C1FC是二面角C1 EF C的平面角，即∠C1FC＝45°．
所以△FCC1是等腰直角三角形，所以CF＝CC1＝AA1＝1．
又BC＝2，所以BF＝BC－CF＝2－1＝1．
17、【解】(1)證明：由已知得AC＝＝，BC＝＝，AB＝2，
所以AC2＋BC2＝AB2，所以BC⊥AC，
因為PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，所以PA⊥BC，
因為PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，
因為BC 平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC．
(2)由(1)得BC⊥平面PAC，BC⊥AC，BC＝，PC＝＝，
設點D到平面PBC的距離為d，
因為VP BCD＝VD PBC，所以××DC×AD×PA＝××PC×BC×d，
所以××1×1×1＝××××d，
解得d＝，所以點D到平面PBC的距離為．
18、【答案】ABC
【解析】易得GF∥PC，GE∥CB，GF∩GE＝G，PC∩CB＝C，
∴平面EFG∥平面PBC，∴A正確．
∵PC⊥BC，PC⊥AC，PC∥GF，
∴GF⊥BC，GF⊥AC.
又BC∩AC＝C，BC，AC 平面ABC，
∴GF⊥平面ABC.∵GF 平面EFG，
∴平面EFG⊥平面ABC，∴B正確．
易知EF∥BP，∠BPC為銳角，∴∠BPC是直線EF與直線PC所成的角，∴C正確．
∵GE與AB不一定垂直，∴∠FEG不一定是平面PAB與平面ABC所成二面角的平面角，∴D錯誤．
19、【答案】C
【解析】過點A作AE∥BD，且AE＝BD，
連接DE，CE，∵BD⊥AB，∴AE⊥AB，
又AC⊥AB，∴∠CAE即為二面角的平面角，
∴∠CAE＝60°，
∴CE＝＝＝.
∵AC⊥AB，AE⊥AB，AC∩AE＝A，
∴AB⊥平面CAE.
由AE∥BD，AE＝BD，知四邊形ABDE為平行四邊形，
∴DE∥AB，DE＝AB，
∴DE⊥平面CAE，又CE 平面CAE，∴DE⊥CE，
∴CD＝＝＝2.
20、【答案】3　
【解析】因為PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，所以PA⊥平面PBC．
因為PA 平面PAB，PA 平面PAC，
所以平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC．
同理可證平面PAB⊥平面PAC．
21、【答案】　
【解析】如圖，作AO⊥β于O，AC⊥l于C，連接OB，OC，則OC⊥l．
設AB與β所成的角為θ，則∠ABO＝θ，
由圖得sin θ＝＝·＝sin 30°·sin 60°＝．
22、【答案】
【解析】連接OO′，過點F作FM⊥OB，垂足為點M，則有FM∥OO′.
又OO′⊥平面ABC，所以FM⊥平面ABC，可得FM＝＝3.
過點M作MN⊥BC，垂足為點N，連接FN，可得FN⊥BC，
從而∠FNM為二面角F－BC－A的平面角．
又AB＝BC，AC是圓O的直徑，所以MN＝BMsin 45°＝.
從而FN＝，可得cos∠FNM＝.
所以二面角F－BC－A的余弦值為.
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