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外接球問題解題策略
班級 姓名
學習目標
1．理解幾種重要的空間幾何體的外接模型；
2．掌握尋找外接球球心的方法；
3．掌握求解外接球球心的方法．
學習過程
自學指導 自學檢測及課堂展示
補體法構造正方體或長方體確定球心 長方體或正方體的外接球的球心是在其體對角線的中點處．以下是常見的、基本的幾何體補成正方體或長方體的途徑與方法．(1)有三個面都是直角三角形的三棱錐，有三條棱兩兩垂直，另一面為銳角三角形（墻角模型，如圖①），兩兩垂直的三條棱就是長方體的長、寬、高。(2)四個面都是銳角三角形且對棱相等的三棱錐（對棱相等模型，如圖②），對棱的長度分別為長方體面對角線的。 (3)四個面都是直角三角形的三棱錐（如圖③），最長的棱就是長方體的體對角線。(4)有三個面都是直角三角形的三棱錐，沒有三條棱兩兩垂直，另一面為銳角三角形（如圖④），最長棱就是長方體的體對角線。① ② ③ ④【例1-1】已知三棱錐A－BCD的四個頂點A，B，C，D都在球O的表面上，AC⊥平面BCD，BC⊥CD，且AC＝，BC＝2，CD＝，則球O的表面積為 .【例1-2】已知S，A，B，C，是球O表面上的點，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝，則球O的表面積等于 .【例1-3】三棱錐中，已知，，，那么該三棱錐外接球的表面積為 .
直棱柱、圓柱模型 如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內接于球（同時直棱柱也內接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 圖1 圖2 圖3第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；第三步：勾股定理：，解出【例2-1】已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為 .【例2-2】直三棱柱的各頂點都在同一球面上，若，，則此球的表面積等于 .
直棱錐模型（一條直線垂直于一個平面） 如圖，平面，求外接球半徑.解題步驟：第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑，連接，則必過球心；第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得)，；第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①；②.【例3-1】已知在三棱錐S－ABC中，SA⊥平面ABC，且∠ACB＝30°，AC＝2AB＝2，SA＝1．則該三棱錐的外接球的體積為 .【例3-2】三棱錐中，，，平面，，則該三棱錐的外接球表面積為 .
側棱相等模型 如圖，的射影是的外心三棱錐的三條側棱相等三棱錐的底面在圓錐的底上，頂點點也是圓錐的頂點.解題步驟：第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點共線；第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高(也是圓錐的高)；第三步：勾股定理：，解出.【例4-1】已知四棱錐的的側棱長均為，底面是兩鄰邊長分別為和的矩形，則該四棱錐外接球的表面積為 .【例4-2】在三棱錐中，，，，則該三棱錐外接球的體積為 .
課后作業
一、基礎訓練題
1．點A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD兩兩垂直，且AB＝1，AC＝2，AD＝3，則該球的表面積為(　　)
A．7π　　　　　　 　B．14π　　　　　　 　C．π　　　　　 　　D．
2．設三棱柱的側棱垂直于底面，所有棱長都為，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為(　　)．
A．　　　　　 　 B．　　　　　　　 C．　　　　　　D．
3．在三棱錐S－ABC中，側棱SA⊥底面ABC，AB＝5，BC＝8，∠ABC＝60°，SA＝2，則該三棱錐的外接球的表面積為(　　)
A．π　　　　　　　　B．π　　　　　　　　C．π　　　　　　　D．π
4．在三棱錐P－ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝120 ，PA＝AB＝AC＝2，若該三棱錐的頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為(　　)
A．10π　　　　　　 B．18π　　　　　　 　C．20π　　　　　　　 D．9π
5．正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為(　　)
A．　　　　　　　 B．16π　　　　　　　 　C．9π　　　　　　　　D．
6．在三棱錐中，，，且，則該三棱錐外接球的表面積為　　
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　 C．　　　　　　 D．
7．已知正四棱錐P－ABCD的各頂點都在同一球面上，底面正方形的邊長為，若該正四棱錐的體積為
2，則此球的體積為(　　)
A．　　　　　　　B．　　　　　　　　 C．　　　　　　 　D．
8．已知圓柱的高為2，底面半徑為，若該圓柱的兩個底面的圓周都在同一個球面上，則這個球的表面積等于(　　)
A．4π 　　　　　　　B．　　　　　　　　 C．　　　　　　　　D．16π
9．在三棱錐A－BCD中，AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，AC＝BD＝4，則三棱錐外接球的表面積為________．
10．已知圓錐的頂點為，母線與底面所成的角為，底面圓心到的距離為1，則該圓錐外接球的表面積為________．
11．已知圓臺上底面圓的半徑為2，下底面圓的半徑為，圓臺的外接球的球心為，且球心在圓臺的軸上，滿足，則圓臺的外接球的表面積為________．
12．如圖，半徑為2的半球內有一內接正六棱錐，則此正六棱錐的側面積是________．
外接球問題解題策略參考答案
1、【答案】B　
【解析】三棱錐A－BCD的三條側棱兩兩互相垂直，所以把它補為長方體，
長方體的體對角線長是＝，它的外接球半徑是，
外接球的表面積是4π×＝14π．
2、【答案】B　
【解析】，．
3、【答案】B　
【解析】由題意知，AB＝5，BC＝8，∠ABC＝60°，
由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2×AB×BC×cos∠ABC，解得AC＝7，
設△ABC的外接圓半徑為r，則△ABC的外接圓直徑2r＝＝，
∴r＝，又∵側棱SA⊥底面ABC，
∴三棱錐的外接球的球心到平面ABC的距離h＝SA＝，
則外接球的半徑R＝＝，則該三棱錐的外接球的表面積為S＝4πR2＝π.
4、【答案】C　
【解析】如圖1，先由余弦定理求出BC＝2，再由正弦定理求出r＝AO1＝2，
外接球的直徑R＝＝，所以該球的表面積為4πR2＝20π．
5、【答案】A　
【解析】如圖所示，設球半徑為R，底面中心為O′且球心為O，
∵正四棱錐P ABCD中AB＝2，∴AO′＝，
∵PO′＝4，∴在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2，
∴R2＝()2＋(4－R)2，解得R＝，
∴該球的表面積為4πR2＝4π×2＝.
6、【答案】D　
【解析】由題意，點在底面上的射影是的中點，是三角形的外心，令球心為，
，且，，
又，
如圖在直角三角形中，，即，
，則該三棱錐外接球的表面積為．
7、【答案】C　
【解析】如圖所示，設底面正方形ABCD的中心為O′，
正四棱錐P－ABCD的外接球的球心為O，
∵底面正方形的邊長為，∴O′D＝1，
∵正四棱錐的體積為2，∴VP－ABCD＝×()2×PO′＝2，解得PO′＝3，
∴OO′＝|PO′－PO|＝|3－R|，
在Rt△OO′D中，由勾股定理可得OO′2＋O′D2＝OD2，即(3－R)2＋12＝R2，
解得R＝，∴V球＝πR3＝π×3＝．
8、【答案】D　
【解析】由題意知圓柱的中心O為這個球的球心，
于是，球的半徑r＝OB＝＝＝2．故這個球的表面積S＝4πr2＝16π．故選D．
9、【答案】　
【解析】構造長方體，三個長度為三對面的對角線長，設長寬高分別為，
則，，，
，，，．
10、【答案】　
【解析】依題意得，圓錐底面半徑，高．
設圓錐外接球半徑為，則，即，
解得：．外接球的表面積為．
11、【答案】
【解析】設外接球的半徑為，幾何體的軸截面如圖：
，，
且，得，
解得，球的表面積為．
12、【答案】
【解析】顯然正六棱錐的底面的外接圓是球的一個大圓，于是可求得底面邊長為2，
又正六棱錐的高依題意可得為2，，斜高為：．
依此可求得正六棱錐的側面積：，故答案為．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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